MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK F:\EGYJEGYZ\20\alapok.doc 4 Feb 20 www.rmki.kfki.hu/~szego/egyjegyz. A Dirac-delta 2. Elektrodinamika mozgó közegekben 3. Függvénytranszformációk (Fourier transzformáció) 4. Konvektív derivált
A Dirac-delta, (x) Az -dimenziós Maxwell eloszlás f(v) m exp[ (v v ) /( 2 T / m)] 2T 0 2 és dv f(v) Jelölések: v sebesség, m tömeg, T hőmérséklet. Az eloszlás alakja csökkenő T mellett (, 0.5, 0.2, 0.05): 2.75.5.25 0.75 0.5 0.25-4 -2 2 4 2
Azt tudjuk, hogy lim dv f(v) DE MI AZ ÉRTELEME lim f(v) T0 lim T0 T0 m 2T exp[ (v v 0 ) 2 /( 2T / m)] Ez nem függvény, a függvényfogalom általánosítása kell, a határérték disztribúció. lim f(v) (v) T0 ahol (v) nem 0: a disztribúció tartója A disztribúciót alapjában véve integrálja értelmezi: dv (v) v dv f(v) f( 0 ) dv f(v) v f( 0 ) 3
Műveletek: -azonos tartójú disztribúciót nem lehet összeszorozni dv (av) a d(av) (av) (v) a dv f(v) (a v) dv f(a v) (v) f(a) 2 2 ( v a ) (( v a)( v a)) { ( v a) ( v a)} 2 a Általánosan ( f ( v)) { ( v ai )} i f '( v) va i deriválás: igaz maradjon az (u v) = u v + u v szabály. v dv f(v) ' f'( 0 ) 4
ELEKTRODINAMIKA MOZGÓ KÖZEGEKBEN Kérdés: hogyan transzformálódnak a fizikai mennyiségek különböző sebességgel mozgó koordinátarendszerek között. Egyszerűbb kérdés először: töltések rendszerét vizsgáljuk elfogatás során. 5
Ha a fekete rendszert a zöldbe az R forgatás viszi át R cos sin sin cos (a i, j ) A zöld rendszerben a fekete rendszer {x2, x2 } vektorait az R - transzformáció kapcsolja össze: x =R - x 6
Definíciók: skalár vektor tenzor Tértükrözés (x ) = (x) V (x ) = R V(x) T i,j (x ) = a i,i a j,j T i,j (x) (ism. indexre összegzés) P(x,y,z) = (-x,-y,-z) pszeudoskalár P (x ) = -(x) axiálvektor P A (x ) = A (x) vektor P V (x ) = -V(x) két vektor vektorszorzata axiálvektor! Az egyes fizikai mennyiségek transzformációja eltérő a nem-relativisztikus és relativisztikus esetekben!!!! A Newton egyenletek invariánsok eltolásokra és elforgatásokra. Erre vonatkozóan: skalár idő, töltés, töltéssűrűség, energia vektor hely, sebesség, térerősség axiálvektor mágneses tér ( mert rote ~ B/t) 7
A Maxwell egyenletek invariánsok a Lorentz-transzformációkra (4-eltolás, elforgatás, gyorsítás). Erre vonatkozóan skalár töltés 4-vector (c idő, hely), (energia/c, sebesség) 4-tenzor: a térmennyiségek F, 0 Ex(x) (x) Ey(x) Ez(x) E B x z B (x) 0 (x) y (x) E B B y x (x) z 0 (x) (x) Ez(x) By(x) B (x) x 0 Ha L, olyan Lorentz-transzformáció, amely az álló rendszerből u-sebességgel mozgó rendszerbe transzformál: F, (x )=L, L, F, (x) A transzformáció képletei u<<c esetében Ha egy rendszerben E =0, B = B ; E = -(u x B )/c 8
A Maxwell egyenletek cgs (Gauss) és SI rendszerben c.g.s. 0 =, 0 = A Lorentz erő: SI rendszerben a vakuum permittivitása 0 =0-9 /(36) Farad/m, [dimenziója: t 2 q 2 / m l 3 ] A permeabilitás 0 = 4 0-7 Newton/amp 2 = 4 0-7 Henry/m; [dimenziója: m l / q 2 ] -/2 c=( 0 0) Az anyagi közeg relatív permittivitása a vakuumhoz képest, Azaz D = 0 E, B = 0 H. 9
A Lorentz erő: Az elektromágneses tér energiasűrűsége: c.g.s.: (H B + E D)/(8π) SI: (H B + E D)/2 Poynting vektor (energiafluxus): c.g.s: (E H) (c/4π) SI: E H Az impulzussűrűség ennek /c 2 -d része. 0
A Maxwell egyenletekben szerepel az eltolási áram, D/t. Megmutatjuk, hogy ez a nemrelativisztikus esetben elhanyagolható, mert u 2 /c 2 rendű: D/t = o E/ ~ o o uh/ = uh/ c 2 Ezért az eltolási áramot általában el fogjuk hagyni. a másik oldal: rot H ~ H/l
Függvénytranszformációk. A 3-d tér koordinátarendszerét az {e x, e y, e z } egységvektorok feszítik ki. Az a vektor koordinátái {a x, a y, a z }. A koordinátákat megkapjuk: a x = a e x,stb. Az a vektor ezután felírható komponenseivel: a = a x e x + a y e y + a z e z 2
Ez általánosítható tetszőleges dimenzióra. A vektorterek analógiájára bevezethetünk függvénytereket, értelmezve a függvények közötti merőlegességet : Pl. { v n } vektortér {g n (x)} függvénytér, merőlegesség : g n (x) g m (x) (x) dx = n,m / {/2, sinnx, cosnx }, E szerint a függvénytér szerint kifejtve egy f(x) {-,}-ben periódikus, négyzetesen integrálható függvényt: a k b k f(x)cos(kx)dx f(x)sin(kx)dx f (x) a0 / 2 (ak coskx bk sinkx) k Így a függvényteret egy vektortér komponenseivel fejeztük ki; a függvényt számokra képeztük le. 3
További általánosítás, ha függvényt függvényekre képezzük le. {g(k,x)} függvénytér, merőlegesség : g(k,x) g * (k,x) (x) dx = (k-k ) Pl. {exp(-ikx)}, (/2)exp(-i(k-k )x) dx = (k-k ) inverze F(k) 2 f(x) exp( ikx) dx f(x) F(k) exp(ikx) dk 2 Praktikus eredmény: a deriválás a koordinátatérben szorzást jelent a Fourier térben! 4
CSOPORTSEBESSÉG Legyen a i (x,t) hullámok szuperpozíciója, k=k o körül: a i (x,t) = dk A i (k) exp i(kx - (k)t) Sorbafejtve (k) = (k o ) + k /k o a i (x,t) = A i (k o ) exp i(k o x - (k o )t) dk exp ik (x - /k o t) Az integrál akkor ad járulékot, ha a hullámcsomag terjedési sebessége, a csoportsebesség értéke: v g = /k csoportsebesség = teljes energiafluxus/teljes energiasűrűség 5
Konvektív derivált A folyadékelem sebességének (v(x,t)) változását nem egy pontban, hanem az áramlás mentén szeretnénk vizsgálni: 6
7