Fizikus Vándorgyűlés 2016 Szeged, augusztus 26.

Institut für Theoretische Physik, Freie Universität Berlin Fizikus Vándorgyűlés 2016 Szeged, 2016. augusztus 26. 1 / 30

Neumann-entrópia definíciója A ρ sűrűségmátrix Neumann-entrópiája S(ρ) = Trρ log ρ. Másképpen: ha p i jelöli ρ sajátértékeit, akkor S(ρ) a {p i } valószínűségeloszlás Shannon-entrópiája: S(ρ) = H Shannon ({p i }) = i p i log p i. 2 / 30

A Neumann-entrópia fizikában A kvantum statisztikus fizikában betölti (az egyensúlyi) entrópia szerepét. mértéke. (Kétrészű tiszta állapotok redukált sűrűségmátrixai esetén.) Az unitér termalizáció során a fenti két szerep kötődik össze. Univerzalitási osztályok és kvantumkritikusság indikátora. Egy állapot tömöríthetőségének mértéke. 3 / 30

Történeti háttér 4 / 30

Neumann-entrópia és a véges hőmérsékletű egyensúlyi állapotok Egy H Hamilton-operátorhoz tartozó β inverz-hőmérsékletű Gibbs-állapot ρ β = e βh Tr(e βh ). Definiáljuk a következő funkcionált a sűrűség mátrixok konvex terén: F (ρ) = Tr(ρH) β 1 S(ρ). Ez a funkcionál adott β-nál a ρ β állapoton veszi fel a minimumát. Termodinamikai szabadenergia F = E TS. Így beazonosíthatjuk (Boltzmannt és Neumannt követve) a Trρ log ρ kifejezést az entrópiával. 5 / 30

Neumann-entrópia és összefonódás kétrészű rendszerekben Tekintsünk egy kétrészű rendszert leíró szeparábilis Hilbert-teret H = H A H B, és azon egy tiszta állapotot ψ ψ. Az A és B részrendszerhez tartozó redukált sűrűségmátrixok: Tr B ( ψ ψ ) = ρ A és Tr A ( ψ ψ ) = ρ B. Ezek teljesen leírják az állapotot az adott részrendszerekben. A A = B(H A ) 1l B ψ a ψ = Tr A (aρ A ) a A A A B = 1l A B(H B ) ψ b ψ = Tr B (bρ B ) b A B 6 / 30

Neumann-entrópia és összefonódás kétrészű rendszerekben Tekintsük ψ Schmidt-dekompozícióját: ψ = min{ H A, H B } n=1 λ n Φ A n Φ B n, ahol { Φ A n } H A n=1 és { ΦB n } H B n=1 ortonormált bázis H A -n ill. H B -n. A redukált sűrűségmátrixok: ρ s = n λ 2 n Φ s n Φ s n, s = A, B. Neumann- és Rényi-entrópiák S (1) B = S (1) A = Trρ A log ρ A = n λ 2 n log λ 2 n, S (α) B = S (α) A = 1 α 1 log Trρα A = 1 α 1 log n λ 2α n. Ezek jó összefonódási mértékek, ha α [0, 1]. A Neumann-entrópia rádásul visszaadja a szinglet desztillálási rátát is. 7 / 30

i entrópia z unitér termalizáció elméletében Egy H H kvencs esetén az összefonódási entrópia (lokálisan) extenzívvé válik termális entrópia: 8 / 30

Alapállapot: Bekenstein-Hawking-képlet és az első felületi törvények A Bekenstein-Hawking-képlet: S BH = A 4L 2 P = c3 A 4G. Diszkretizált térelméletekben (pl. csatolt kvantumos oszcillátorrenszerekben) megvizsgálták az alapállapot megszorításainak entrópiáját (R. Sorkin, Proc 10th Int. Conf. Gen. Rel. & Grav. 734-736 (1983) arxiv:1402.3589; L. Bombelli, R. K. Koul, J. Lee, R. D. Sorkin, Phys. Rev. D 34, 373 (1986); M. Srednicki, Phys. Rev. Lett. 71, 666 (1993); C. Holzhey, F. Larsen, F. Wilczek, Nucl. Phys. B 424-443 (1994); S. N. Solodukhin, Living Rev. Relativity 14, 8 (2011). S B = S A A 9 / 30

Kvantumkritikus alapállapotok entrópia-aszimptotikája 1+1 dimenzióban 1 + 1 dimenziós rendszerekben a gap-telen és gap-pel rendelkező rendszerek entrópia-aszimptotikája nagyon különböző ( C. Holzhey, F. Larsen, F. Wilczek, Nucl. Phys. B 424-443 (1994); Vidal et al. PRL 90, 227902 (2003); P. Calabrese and J. Cardy, JSTAT 06002 (2004); J. Eisert et al, Rev. Mod. Phys. 82, 277 (2010).) S L = c 3 log L + k 10 / 30

Centrális töltés kvadratikus fermion modellek esetén - entrópiából S L = R 6 log L 1 6 L S L = s(λα) = 1 L α=1 2πi Γ(ɛ) s(λ) 1 dλ α=1 λ λα = 1 2πi Γ(ɛ) s(λ) d log(d L (λ)) dλ, dλ r s r=s mod 2 log(1 e i(ks kr ) )+ 1 log(1 e i(ks kr ) )+ R 6 r s 6 B.-Q.Jin, V.E.Korepin, J. Stat. Phys. 79-95 (2004) J.P. Keating, F. Mezzadri, Phys.Rev. Lett. 94, 050501 (2005) V. Eisler, Z., Phys. Rev. A 71, 042318 (2005) Z. Kádár, Z., Phys. Rev. A 82, 032334 (2010) V. Eisler, Z., Phys. Rev. A.89, 032321 (2014) F. Ares, J. G. Esteve, F. Falceto, E. Sánchez-Burillo, J. Phys. A, 245301 (2014) ( ) 1+γ E 6 I 3 log 2. 11 / 30

Kvantumkritikus alapállapotok entrópia-aszimptotikája magasabb dimenzióban 2+1 dimenziós kritikus spin modellek, Dirac-fermionok, csatolt harmonikus oszcillátorok esetén S = al + b log L. (J. Eisert et al, Rev. Mod. Phys. 82, 277 (2010).) Sarok- és éljárulékok. (A. B. Kallin, et al, Phys. Rev. B 84, 165134 (2011); Kovács, F. Iglói, EPL 97, 67009 (2012).) d-dimenziós véges Fermi-felülettel rendelkező Fermi-folyadékok esetén S = σl d 1 log L. M. M. Wolf, Phys. Rev. Lett. 96, 010404 (2006). D. Gioev and I. Klich, Phys. Rev. Lett. 96, 100503 (2006). T. Barthel, M-C. Chung, and U. Schollwöck, Phys. Rev. A 74, 022329 (2006). S. Farkas, Z., J. Math. Phys. 48, 102110 (2007). B. Swingle, Phys. Rev. Lett. 105, 050502 (2010). 12 / 30

Kvantumkritikus fermionikus alapállapotok entrópia-aszimptotikája magasabb dimenzióban d-dimenziós véges Fermi-felülettel rendelkező Fermi-folyadékok esetén π π/2 q y 0 t y =1.0 t y =0.7 t y =0.2 -π/2 -π -π -π/2 0 π/2 π q x c σ = k int 6 1 ds (2π) d 1 q ds r n qn r. F A M. M. Wolf, Phys. Rev. Lett. 96, 010404 (2006). D. Gioev and I. Klich, Phys. Rev. Lett. 96, 100503 (2006). T. Barthel, M-C. Chung, and U. Schollwöck, Phys. Rev. A 74, 022329 (2006). S. Farkas, Z., J. Math. Phys. 48, 102110 (2007). B. Swingle, Phys. Rev. Lett. 105, 050502 (2010). 13 / 30

Topologikus rend Topologikus rend esetén S ent = S A + S B + S C S AB S BC S AC + S ABC > 0. A. Kitaev and J. Preskill, Phys. Rev. Lett. 96, 110404 (2006). L. Savary and L. Balents, arxiv:1601.03742 (2016). 14 / 30

Neumann-entrópia és tömörítés Quantum Shannon McMillan Theorem: Let ω be an ergodic state on the quantum spin chain algebra A = i= M d with restricted density matrices ρ L, and entropy density s. For any ɛ > 0 there exists an integer L(ɛ) such that for all L L(ɛ) there exists an (1 ɛ)-essential-subspace projection P L,ɛ in the subalgebra A L with the properties: Tr(ρ L P L,ɛ ) > 1 ɛ, Tr(P L,ɛ ) > 2 L(s+ɛ), Moreover, for all projections P A L with Tr(P) < 2 L(s ɛ) we have Tr(ρ L P) < ɛ. (Hiai and Petz ( 91); Bjelakovic and Seiler ( 02), etc.) Egyszerűen megfogalmazva: ρ L -nek ɛ-tartója egy 2 S(ρ L) -dimenziós altér. Egydimenziós gap-es rendszerek esetén ez a tartó szaturálódik (mert S L szaturálódik). Tr(A i 1 A i2 A i N ) i 1, i 2,... i N. i 15 / 30

Kevert állapotok kétrészű összefonódás Tekintsünk egy tiszta állapotot a H = H A1 H A2 H B Hilbert-téren. Mekkora az összefonódás az A 1 és A 2 részrendszer között? Az A = A 1 A 2 részrendszer állapota (redukált sűrűsǵmátrixa), ρ A = Tr B ( Ψ Ψ ), kevert. Az A 1 részrendszer Neumann-entrópiája, S A1 = Trρ A1 log ρ A1, az A 1 és A 2 B közötti összefonódást méri. A kölcsönös információ, I (A 1 : A2) = S A1 + S A2 S A, az A 1 és A 2 részrendszer közötti teljes korrelációt jellemzi. 16 / 30

Kölcsönös információ Gibbs-állapotokban A kölcsönös információ: I (A : B)=S(ρ A )+S(ρ B ) S(ρ AB ). I (A : B)-ra fennáll egy felületi törvény (Wolf, Verstraete, Hastings, Cirac, PRL 100, 070502 (2008)). A Hamilton-operátort felbontva H = H A + H B + H : F (ρ AB ) F (ρ A ρ B ) Tr(Hρ AB ) β 1 S(ρ AB ) Tr(H(ρ A ρ B )) β 1 (S(ρ A ) + S(ρ B )) I (A : B) βtr[h (ρ A ρ B ρ AB )] I (A : B) 2β h A. Léteznek-e fizikailag releváns állapotok melyek sértik a fenti felületi törvényt? 17 / 30

Az első (és eddig utolsó) ellenpélda A kezdeti állapot: ρ 0 = 1 Z L e β lh l 1 Z R e βr Hr, Az időfejlődés: ρ(t) = e ith ρ 0e ith, ahol H = 1 ) (c m+1 2 cm + c mc m+1 m= (H. Araki and T.G. Ho, Proc. Steklov Inst. Math. 228, 191 (2000); Y. Ogata, Phys. Rev. E 66, 016135 (2002); W.H. Aschbacher and C.-A. Pillet, J. Stat. Phys. 112, 1153 (2002).) 18 / 30

Az állandósult nem egyensúlyi állapot (NESS) szerkezete A modern terminológia szerint egy GGE-szerű állapotot kapunk: ahol β = (β l + β r )/2. ρ = 1 Z e βh eff, H eff = ( µ + n Q n + + µ n Qn ), Az effektív Hamilton-operátort H eff a páros és páratlan töltésekkel adjuk meg: Q + n = 1 2 Q n = 1 2i j= j= n=0 ( ) c j+n c j + c j c j+n, ( ) c j+n c j c j c j+n. β l β r β l +β r n n 2 1 { 4 µ + n = δ n,1, µ n páros, π n = 0 n páratlan. 19 / 30

Analitikus és numerikus eredmények S L = σ log L + k, σ = 1 π 2 [ a Li 2 ( a b a +b Li 2 ( b a b ) ( ) b a + (1 a)li 2 1 a ) + (1 b)li 2 ( a b 1 b )], 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 β L =0 β L =1 β L =2 0 2 4 6 8 10 β R I t (A:B) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 I t (A:B)-I (A:B) -2-1 0 1 2 0 ln(t/l) L=20 L=40 L=60 L=80 L=100 0 20 40 60 80 100 t 0.2 0.1 V. Eisler, Z., Phys. Rev. A 89, 032321 (2014). Hasonló eredmények: S. Ajisaka, F. Barra, B. Zunkovic, New J. Phys. 16 033028 (2014); F. Ares, J. G. Esteve, F. Falceto, E. Sánchez-Burillo, J. Phys. A: Math. Theor. 47 245301 (2014); M. Hoogeveen, B. Doyon, arxiv:1412.7568. 20 / 30

Kevert állapotok összefonódása Egy H = H A H B Hilbert-téren megadott kevert állapot szeparálható, ha felírható szorzat állapotok keverékeként: ρ = i p i (ρ A,i ρ B,i ). Parciális transzponálás egy szeparálhatő állapoton ρ T B = i p i (ρ A,i ρ B,i ) T B = i p i ρ A,i ρ T B,i. ismét egy állapothoz vezet. Ha ρ T B -nek van negatív sajátértéke, akkor összefonódott volt. Összefonódási negativitás és a logaritmikus negativitás definíciója N (ρ A ) = ( ρ T 2 A 1 1)/2, E(ρ A) = log ρ T 2 A 1 = log Tr ρt 2. (G. Vidal and R.F. Werner, Phys. Rev. A 65, 032314 (2002); M. B. Plenio, Phys. Rev. Lett. 95, 090503 (2005).) 21 / 30

Negativitás a konformtérleméletben: a replika trükk A redukált sűrűségmátrix kifejezése pályaintegrállal: ρ({φ x}, {φ x })= 1 [dφ(y, τ)] δ(φ(y, 0) φ x Z ) δ(φ(y, β) φ x)e S E x x Parciális transzponálás: a vágások (beazonosításának) felcserélése: Momentumok kiszámolás replika trükkel: P. Calabrese, J. Cardy, JSTAT P06002 (2004); P. Calabrese, J. Cardy, J. Phys. A: Math. Theor. 42 504005 (2009); P. Calabrese, J. Cardy, E. Tonni, Phys. Rev. Lett. 109, 130502 (2012); P. Calabrese, J. Cardy, E. Tonni JSTAT P02008 (2013). Ugyanezt az eljárást használják a Monte Carlo számolásoknál is: (C.-M. Chung, V. Alba, L. Bonnes, P. Chen, A. M. Läuchli, Phys. Rev. B 90, 064401 (2014).) 22 / 30

Negativitás a konformtérleméletben: twist-tér kifejtés Ha a részrendszer N darab diszjunkt intervallumból áll, akkor a momentumok: N Trρ n A = T n(u i )T n(v i ), i=1 Tr(ρ T 2 A )n = N [ S 2 Tn(u i )T n(v i ) ], i=1 ahol S 2 [ Tn(u i )T n(v i ) ] = { T n(u i )T n(v i ) if i I 1, T n(u i )T n(v i ) if i I 2. 23 / 30

Negativitás egyensúlyi állapotokban Két szomszédos intervallum esetén, alapállapotban: Tr(ρ T 2 ) ne (l 1l 2) c/6(ne /2 2/ne ) c/6(ne /2+1/ne ) (l 1 + l 2) Tr(ρ T 2 ) n 0 c/12(no /2 1/no ) ((l 1l 2(l 1 + l 2)) E = lim log ne 1 Tr(ρT 2 ) ne = c l1l2 log 4 l 1 + l 2 (P. Calabrese, J. Cardy, E. Tonni, Phys. Rev. Lett. 109, 130502 (2012); JSTAT P02008 (2013).) A termális állapotban: E = c 4 log β π tanh lπ β + cnst. (V. Eisler, Z., New J. Phys. 16 123020 (2014); P. Calabrese, J. Cardy, E. Tonni, J. Phys. A 48, 015006 (2015).) 24 / 30

Nemegyensúlyi állapotokban β l βr t = 0 t > 0 Harmonikus lánc esetén H = 1 (pn 2 + Ω 2 0xn 2 ) + 1 k(x n+1 x n) 2. 2 2 n n Az állandósult nemegyensúlyi állapotban: Időfejődés E = E(β1) + E(β2). 2 (V. Eisler, Z., New J. Phys. 16 123020 (2014), M. Hoogeveen and B. Doyon, Nucl. Phys. B 898, 78 (2015), X. Wen, P-Y. Chang, S. Ryu, Phys. Rev. B 92, 075109 (2015).) 25 / 30

Visszahatás a kvantum-információelméletre Új negativitásra vonatkozó sejtések és tételek: N 2 A BC N 2 A B + N 2 A C (H. Huan, G. Vidal, Phys. Rev. A 91 012339 (2015); K.M.R. Audenaert, Lin. & Multilin. Alg. 63 2526-2536 (2015).) Más negativitásszerű mennyiségek konstrukciója. Negativitás fermionikus gauss-i állapotok esetén. 26 / 30

Gauss-i állapotok fermion rendszereken: negativitás Egy speciális bázis választása esetén: ρ T B = 1 i 2 O+ + 1 + i 2 O, ( Γ 11 Γ 12 Γ = Γ 21 Γ 22 ) ( Γ 11, Γ + = iγ 12 iγ 21 Γ 22 ) ( Γ 11 iγ 12, Γ = iγ 21 Γ 22 ). Így zárt képleteket kaphatunk a ρ T 2 A momentumaira: Tr(ρ T 2 A )3 = 1 2 det ( ) 1 + 3Γ 2 + + 3 det 4 2 ( 1 + Γ 2 + + 2Γ +Γ 4 ). 27 / 30

CFT eredmények ellenőrzése rácsmodelleken 1.2 1 0.8 L=100 L=200 L=400 L=600 CFT 6 5 R3 0.6 -R3 4 22026.5 1.06865e+13 CFTb 0.4 3 0.2 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 z=l/l 2 β=50 β=100 β=200 β= 1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 l V. Eisler, Z., New J. Phys. 17 053048 (2015). Other similar results on free fermions directly using our decomposition: A. Coser, E. Tonni, P. Calabrese, Partial transpose of two disjoint blocks in XY spin chains, J. Stat. Mech. P08005 (2015) A. Coser, E. Tonni, P. Calabrese, Towards entanglement negativity of two disjoint intervals for a one dimensional free fermion, J. Stat. Mech. (2016) 033116 (2016) A. Coser, E. Tonni, P. Calabrese, Spin structures and entanglement of two disjoint intervals in conformal field theories, arxiv:1511.08328. P.-Y. Chang, X. Wen, Entanglement negativity in free-fermion systems: An overlap matrix approach, Phys. Rev. B 93, 195140 (2016). C, P. Herzog, Y. Wang, Estimation for Entanglement Negativity of Free Fermions, arxiv:1601.00678. 28 / 30

Negativitás 2+1 dimenziós fermion-rendszereken 29 / 30

Kitekintés Termalizációval és ekvilibrációval kapcsolatos fontos kérdések (ETH, NESS, GGE). Topologikus rend véges hőmérséklet esetén. A naiv Rényi-féle kölcsönös információ jobb általánosításai. Többrészű összefonódás ben. 30 / 30