Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Polimertechnika Tanszék Polimer anyagtudomány BMEGEPTMG04, +0+v, 5 krp VII. POLIMEREK MECHANIKAI VISELKEDÉSÉNEK MODELLEZÉSE. Szerkezeti-mechanikai modellezés Vas László Mihály 04.05.06. Felhasznált források Irodalom. Bodor G.-Vas L.M.: Polimer anyagtudomány. Kézirat. BME, Bp. 000.. Halász L.-Zrínyi M.: Bevezetés a polimerfizikába. Műszaki K., Bp. 989.. Ward I.M.-Hadley D.W.: An Introduction to the Properties of Solid Polymers. J.Wiley&Sons, Chichester, 99. 4. Varga J.: Műanyagok fizikája. BME MTKI, Bp. 984. 5. Strobl G.: The Physics of Polymers. Concepts of Understanding their Structures and Behaviour. Springer Verlag, Berlin. 996. 6. Ponomarjov Sz.D.. szerk.: Szilárdsági számítások a gépészetben. 7. kötet. Stabilitás, gumi elemek. Műszaki K. Bp. 966. 7. Vas L.M.: Idealizált statisztikus szálkötegcellák és alkalmazásuk szálas szerkezetek, kompozitok modellezésére. MTA doktori értekezés. Bp. 007. 8. Eisele U.: Introduction to Polymer Physics. Springer-Verlag Verlag, Berlin 990. Ajánlott irodalom 9. Oswald T.A.-Menges G.: Materials Science of Polymers for Engineers. Hanser Pub., New York, 996. 0. Li Sh.-Wang G.: Micromechanics and Nanomechanics. World Scientific Pub. Co., Singapore 008.. Menges G.: Werkstoffkunde der Kunststoffe. C.Hanser Verlag, München, 985. 05.05.. 04.05.06.
Mechanikai viselkedés modellezése. Fenomenológiai (jelenségleíró) modellezés Lineárisan rugalmas (LE, lineárisan elasztikus) modellek (fémek, illetve polimerek igen kis deformációja esetén); Lineárisan viszkoelasztikus (LVE) modellek (polimerek viszonylag kis deformációja esetében); Nemlineárisan rugalmas (NLE, nemlineárisan elasztikus) modellek (fémek és polimerek nagy deformációja és monoton növekvő vagy csökkenő terhelése esetében); Nemlineárisan viszkoelasztikus (NLVE) modellek (polimerek nagy deformációja és tetszőleges terhelésmódja mellett). Szerkezeti-mechanikai modellezés Elasztomerek statisztikus polimerháló modellje; Erősen orientált lineáris polimerek statisztikus szálkötegcella modellje; Egyéb modellek. 04.05.06. Szerkezeti-mechanikai modellezés. Elasztomerek polimerháló modellje. Polimer lánc statisztikája. Láncvégtávolság várható értéke és szórása: n n E( h) E( ai ) i i h h T { E(cosα ), E(cos β ), E(cosγ )} 0 i E( h ) E h E( hx + hy + hz ) E( hx ) nl i i 04.05.06. D T ( h) E( hh ) Tehetetlenségi sugár: Kovariancia mátrix n n J mori ri R m nmo n i i 4
Szerkezeti-mechanikai modellezés. Elasztomerek polimerháló modellje. Polimer lánc statisztikája. Szabadon kapcsolt lánc szórása (a független komponensek miatt itt a kovariancia mátrix diagonális ): T C E( hh ) E( h ); E( h ); E( h ) h x y z T E( h h) trch E( hx + hy + hz ) nl Vegyértékszögek hatása: + cosθ E( h ) nl nl cosθ Rotáció energiaminimumainak (gátló) hatása: + cosθ E( h ) nl σ nl Q nl cosθ + cosϕ σ cosϕ L nl nele Statisztikusan ekvivalens szabadon kapcsolt lánc (l e, n e ): h nl Q nele Mért: L, h h le L L ne le 04.05.06. 5 Szerkezeti-mechanikai modellezés. Elasztomerek polimerháló modellje. Polimer lánc statisztikája. A láncvégtávolság sűrűségfüggvénye r x + y + z D-s bolyongás h l l x o n P b b ( x + y + z ) f ( x, y, z) ϕ( x) ϕ( y) ϕ( z) e π x ϕ( x) e σ π σ nl σ b ( x h < x + dx, y h < y + dy, z h < z + dz) f ( x, y, z dv x y z ) 04.05.06. 6
Szerkezeti-mechanikai modellezés. Elasztomerek polimerháló modellje. Polimer lánc statisztikája 4. A láncvégtávolság sűrűségfüggvénye h h hx + hy + hz P b b r ( r h < r + dr) fh( r) dr f ( r)4π r dr e 4π r dr π 04.05.06. 7 Szerkezeti-mechanikai modellezés. Elasztomerek polimerháló modellje. Modell-feltételek () A térháló reguláris, azaz a hálópontok közötti ágak egyforma hosszúak; () Deformálatlan állapotú polimerben a hálóágak végponttávolságai az egyedi láncra vonatkozó normális (Gauss) eloszlással írhatók le; () A deformáció során nincs térfogatváltozás; (4) A láncágak mikroszkopikus és a polimer test makroszkopikus deformációja lokálisan azonos, azaz a test makroszintű deformációjának arányában változik a hálópontok távolsága is; (5) A háló deformációja az ideális entrópia-rugalmasságon alapul. Kiegyenesített hálóágak Göngyölödött hálóágak 04.05.06. 8 4
Szerkezeti-mechanikai modellezés. Elasztomerek polimerháló modellje 4.a. Műszaki és valódi feszültség Húzás: -irányban (y-tengely) Nyúlásarány: λ li i l0i Térfogatállandóság λ λλ Keresztmetszet (i-irányra merőleges): Aoi lojlok; A A l l A λ λ oi i j k oi j k λi ( i j k; i, j, k {,,} Műszaki feszültség: Valódi feszültség: F f i i Aoi F σ i i λi fi Ai 04.05.06. 9 Szerkezeti-mechanikai modellezés. Elasztomerek polimerháló modellje 4.b. Deformálatlan háló entrópiája Hálóág entrópiája (dω a mikroállapotok száma): b b ( x + y + z ) dω N e dxdydz π s o k ln dω C kb ( x + y + z ) N[ hálóág / mm ] b C k ln NdV π A deformálatlan polimerháló entrópiája: b So sodω sonfdv N + R R π R b ( x + y + z ) [ C kb ( x + y z )] e dxdydz S o N C k 04.05.06. 0 5
Szerkezeti-mechanikai modellezés. Elasztomerek polimerháló modellje 4.c. Deformált háló entrópiája Deformált hálóág entrópiája: s k ln Ω C kb Deformált háló entrópiája: ( λ x + λ y + λ z ) l λ i i l0i x' xλ y' yλ z' zλ b S sdω snfdv N R R π R k S N C ( λ + λ + λ ) A deformált háló entrópiaváltozása: b ( x + y + z ) [ C kb ( λ x + λ y + λ z )] e dxdydz 04.05.06. [ + λ + λ ] k S S So N λ Szerkezeti-mechanikai modellezés. Elasztomerek polimerháló modellje 5. A gumi nagyrugalmas potenciálja A gumi feszültség-nyúlás összefüggése σ σ G σ σ G [ λ λ ] [ λ λ ] Alkalmazás egytengelyű húzásra Hiperelasztikus anyag Neo-Hooke törvénye (Rivlin) G [ λ + λ + λ ] [ λ + λ + ] W NkT F T S λ W W W dw dλ + dλ + dλ λ λ λ λ λλ W fi λi σi λi fi σσ G λ Gλ λ λ λ σ f f G λ λ λ 0,5 λ,5 04.05.06. 6
Szerkezeti-mechanikai modellezés. Elasztomerek polimerháló modellje 6. Valós elasztomeren mért és modellezett eredmények Mért Modell Modell Mért 04.05.06. Szerkezeti-mechanikai modellezés. Elasztomerek polimerháló modellje Összefoglalás () A hálóág láncvégtávolság vektora (h) D-s normális eloszlású (k,, ) Szabadon kapcsolt láncmodell statisztikusan ekvivalens lánc: ( ) ( ) h h α β γ E( h) 0 E ( h ) nl ; h; h l e i l cos i; cos i; cos i h h D ( h k ) nl / () A polimerháló modell feltételezései a) Reguláris háló; b) Láncvégtávolság eloszlása: h k ~N(0; nl ); c) Egyenletes eloszlású deformáció d) Térfogatállandóság; e) Csak entrópiarugalmas deformáció ébred () Nyúlásarány, valódi és műszaki feszültség λk l k / lok f k Fk / Aok σ k Fk / Ak λk fk λ λλ Deformálatlan : xk Deformált : xk λk xk (4) A gumi nagyrugalmas potenciálja S ( s s o ) fdv R (5) A gumi feszültség-deformációs összefüggése Mooney-Rivlin formula σ σ G σ σ G s o k ln dω k ln Nf ( x) dv s k ln dω k ln Nf ( x ) dv [ λ λ ] [ λ λ ] G F T S Egytengelyű húzás (Neo-Hooke törvény): 0.05.06. 04.05.06. W [ λ + λ + λ ] W λk σ σ G λ λ fλ λ λk W fk λk 4 7
Szerkezeti-mechanikai modellezés. Elasztomerek polimerháló modellje 7. hálóág ρ N cm M n ρ deformálatlan polimer sűrűsége Mn hálóágak számszerinti átlagos molekulatömege Valós polimer háló tulajdonságai eltérések a modelltől Geometriai jellemzők Elhanyagolások Mechanikai jellemzők Nem csak entrópia-, hanem energiarugalmas deformáció is fellép Viszkoelasztikus viselkedés hiszterézis A szabadon kapcsolt polimerlánc nyújtott állapotában is érvényes (n>>) az alábbi f(r) sűrűségfüggvény: f ( r) shl ( z) ln n zl ( z) ln n z + C L ( z) r z nl C r x + y + z l nπ 9 0 4 z + 99 50 6 z +... 04.05.06. 0.05.06. r a lánc kiterjedése, a láncvégtávolság L - inverz Langevin függvény L ( w) cthw z L ( z) w w Kuhn W. Grün F.: Kolloid Z. 0. (94) p48. 5 Szerkezeti-mechanikai modellezés. Elasztomerek polimerháló modellje 8. Az entrópiarugalmasság invariánsát (I ) az energiarugalmas viselkedés hozzávételéhez a második invariánssal (I ) kiegészítve, a gumi szakadásáig terjedően pontos leírást adó összefüggés (a térfogatállandóság miatt I 0) kapható az alábbi, ún. Rivlin-féle potenciálból: i j W W ( I, I) cij II i, j 0 I λ + λ + λ I λ λ + λλ + λλ I λ λλ Polinomiális hiperelasztikus modell (Green-féle alakváltozási tenzor invariánsai) Ha csak c 0, c 0 0, úgy a gumi egytengelyű húzására vonatkozó Mooney- Rivlin v. általánosított Neo-Hooke modell: c W c σ σ + 0 0 I + c 0 I c0 λ 0,5 λ,5...,0 λ λ Még több taggal A gumi viselkedése szakadásig leírható 04.05.06. 0.05.06. 6 8
Szerkezeti-mechanikai modellezés. Elasztomerek polimerháló modellje 9. A térhálós polimerekre egyfajta módon kiterjesztett van der Waals egyenletet (mint a polimer feldolgozásban használt Spencer-Gilmore egyenletet) alkalmazza az ún. Kilian-egyenlet, amely szoros kapcsolatban áll a Mooney-Rivlin egyenlettel is: Λ σ σ EΛ m cλ Λm Λ Λ λ λ σ valódi húzófeszültség Λ m van der Waals paraméter (terjedelem), maximális nyújthatóság (Λ Λ m ) c van der Waals paraméter, a hálóláncok közötti kölcsönhatásához Összefüggés a Mooney-Rivlin egyenlet paramétereivel: E a C0 ; Λm E a C0 Λm 0.05.06. 04.05.06. 7 Szerkezeti-mechanikai modellezés. Hiperelasztikus anyagmodellek A lineárisan rugalmas modell nemlineáris kiterjesztése > Saint-Venant Kirchoff modell Az anyag szerkezeti tulajdonságaiból kiinduló mechanikai anyagmodellek: > Neo-Hooke modell (Rivlin, 948) > Arruda-Boyce modell (99) (kocka-elemben 8 átlós lánc) Megfigyelt viselkedés fenomenológiai leírása: > Mooney-Rivlin modell (95) (általánosított Neo-Hooke Hooke) > Polinomiális modell (Rivlin-Saunders, 95) > Ogden modell (97) > Yeoh modell (99) (redukált polinomiális modell) Fenomenológiai és szerkezeti-mechanikai modellek kombinációja: >Kilian modell (van der Waals modell)(98) > Gent modell (996) http://en.wikipedia.org/wiki/hyperelastic_material 04.05.06. 0.05.06. 8 9
Szerkezeti-mechanikai modellezés. Erősen orientált polimerek. A Prevorsek-féle szerkezetmodell és blokk-formája Molekulaláncok, mint szálak Ward I.M.: Journal of the Textile Institute, Vol.86. No.. (995) 89-98. 04.05.06. 9 Szerkezeti-mechanikai modellezés. Erősen orientált polimerek. Szál (molekulalánc) deformációja x-irányú nyújtásra D D 04.05.06. 0 0
IDEALIZÁLT SZÁLKÖTEGCELLÁK RENDSZERE Idealizált szálkötegcellák - Alaptípusok Szálak: lineárisan rugalmasak (E-típus), tökéletesen hajlékonyak és egy véletlen szakítónyúlás értéknél ( ) elszakadnak. Idealizált szálkötegcellák, mint szálosztályok: mechanikai állapot, geometriai helyzet és a befogás szerint. ε Szakadás ε+ Szakadás εo>0 εo<0 ε Szakadás ε Szakadás ε b Csúszás 0 u S εs E-köteg u 0 u S< εs u S>εS u EH-köteg 0 u b u S u bl ES-köteg u 0 u B> ET-köteg u 04.05.06. Szerkezeti-mechanikai modellezés. Erősen orientált polimerek. Idealizált szálkötegek, mint a statisztikus szerkezeti és mechanikai tulajdonságokat megjelenítő modellelemek 04.05.06.
IDEALIZÁLT SZÁLKÖTEGCELLÁK RENDSZERE Szálkötegcellák várható köteghúzóerő folyamata E-köteg EH-köteg ES-köteg Normált kötegerő; FH, FT 0,75 0,5 0,5 ET-köteg AE0,; VE0,; ET0,; ST0,; Ca0; Cb0 Szál E-köteg ET-köteg (FL) ET-köteg (FT) 0 0 0,5,5 Normált kötegnyúlás, z 04.05.06. Szerkezeti-mechanikai modellezés. Erősen orientált polimerek polimerek A Prevorsek-féle orientált szerkezet Takayanagi blokkmodelljének törtlineáris kötegszakítógörbe-közelítéseközelítése 04.05.06. 4