Numerical Treatment of Linear Parabolic Problems

MTA Doktori Értekezés Tézisei Numerical Treatment of Linear Parabolic Problems Faragó István Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2008

3 1. Kutatási feladat A természetben és a társadalomban lezajló folyamatok nagy részét parabolikus differenciálegyenletek, illetve azok diszkretizációi írják le. Ezért a megfelelően megválasztott folytonos illetve diszkrét modell alkalmas eszköz a jelenségek kvantitatív és kvalitatív vizsgálatára. A kutatás célját két probléma motiválta. a. A modellezett folyamatok olyan alapvető, a jelenség lényegéből eredő kvalitatív tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyeknek megfelelő tulajdonságokkal a folytonos illetve diszkrét matematikai modellnek is rendelkezniük szükséges; b. A folytonos modellek többnyire összetettek, ezért közvetlen kezelésük (numerikus megoldásuk illetve a kvalitatív tulajdonságok biztosítása) meglehetősen bonyolult feladat, és az esetek jelentős részében ez nem is lehetséges. A parciális differenciálegyenletek klasszikus elmélete már viszonylag régóta vizsgálja a megoldás létezését és egyértelműségét, az analitikus előállíthatóság kérdését stb. (Lásd pld. [6, 10, 19].) Ugyanakkor a kvalitatív vizsgálatok viszonylag újkeletűek, a klasszikus eredmények az ötvenes évek közepétől származnak, pld. [6, 14, 26]. A diszkrét modellek intenzívebb kvalitatív vizsgálata a hatvanas évekre tehető, itt fontos megemlíteni a [3, 4, 7, 22, 25] dolgozatokat. Napjainkban a téma kutatása széleskörben elterjedt, és a publikációk száma folyamatosan növekszik. Az operátorszeletelések első változata, a szekvenciális szeletelés már az ötvenes években fellelhető [1], míg a módosított (magasabb rendű) változata a hatvanas évek végén, egyidejűleg két dolgozatban is megjelent [13, 23]. Azóta a különböző területeken számos alkalmazásuk is megtalálható. A dolgozatomban a fentiekben megfogalmazott kérdésekre kerestem a választ. a. Célkitűzésem volt a különböző kvalitatív tulajdonságok meghatározása a folytonos modellekben és megvizsgálni ezek kölcsönhatását. Emellett célom volt megadni azokat a (szükséges és elégséges) feltételeket, amelyek biztosítják a parabolikus modell különböző lényeges kvalitatív tulajdonságait. Hasonlóan, fontosnak tartottam megvizsgálni a diszkrét modellek kvalitatív tulajdonságait. Mivel ezek a modellek a folytonos modell valamely numerikus eljáráson alapuló diszkretizációjából származnak, ezért a kvalitatív szempontból adekvát numerikus modell feltételeinek megadása a numerikus eljárás diszkretizációs paramétereire jelent feltételeket. Szükséges volt megvizsgálni, hogy ezek a feltételek hogyan viszonyulnak a konvergencia általános és el nem hagyható feltételéhez. b. Az összetett fizikai jelenségeket tekinthetjük több, egyszerűbb jelenség együttes hatásának eredményének is. Az operátorszeletelés (angol terminológiában: operator splitting) olyan eljárás, amely a fenti sajátosság figyelembevételével az összetett feladatokat bizonyos stratégia szerint meghatározott egyszerűbb feladatok sorozatára vezeti vissza. Célom volt hatékony és új szeletelési eljárások (algoritmusok) kidolgozása; a már ismert illetve az újonnan kifejlesztett szeletelések különböző tulajdonságainak vizsgálata; a szeletelési eljárások illetve a szeletelt feladatokra alkalmazott numerikus módszerek kölcsönhatásának vizsgálata, továbbá az eljárások alkalmazása valós feladatokra.

4 2. A vizsgálati módszerek A kitűzött célok eléréséhez kutatásaim során, a feladat összetettsége miatt, a matematika számos, lényegében különböző diszciplinájához tartozó eszközét kellett felhasználnom. Ezek többnyire a klasszikus alkalmazott analízis eszközei voltak, de egyéb ismeretekre (eszközökre) is szükségem volt. Az első részben a folytonos modellek vizsgálatára a parciális differenciálegyenletek összehasonlítási elvét, valamint a klasszikus folytonos maximum elvet tekintettem. A diszkrét modell kvalitatív vizsgálata alapvetően a numerikus lineáris algebra eszköztárát igényelte. Itt főleg a monoton mátrixok (többnyire M-mátrixok) elméletét, a Ciarlet- illetve a Stoyan-féle maximum elvet alkalmaztam. A θ-módszer nemnegativitására vonatkozó, a szükséges és elégséges feltételét megadó tételben kulcsszerepet játszott Rózsa Pál egyenletes kontinuáns mátrixok invertálására vonatkozó eredménye. Értelemszerűen számos, a numerikus analízis területéhez szorosan kapcsolódó egyéb eszköz is alkalmazásra került (véges differenciák módszere, véges elemes approximáció). A Crank-Nicolson módszer maximum-normabeli stabilitási állandójának meghatározához a Dunford-Schwarz operátorkalkulust alkalmazzuk az egydimenziós hővezetési feladatok numerikus megoldására. A második rész felhasználja a funkcionálanalízis bizonyos eszközeit: operátorok kommutátora, operátor-félcsoportok elmélete, Lie-Trotter formula, Hille-Yosida tétele, Baker- Cambell-Hausdorff formula, stb. A Strang-Marcsuk szeletelés illetve a szimmetrikusan súlyozott szekvenciális szeletelések konzisztenciájának és konvergenciájának bizonyítására a C 0 -félcsoportok elmélete mellett a Lax Richtmyer tételt alkalmaztam. Ez a rész valós feladatok numerikus és számítógépes megoldását is tartalmazza, így eszközként a numerikus szimuláció, párhuzamos számítások elmélete és gyakorlata, illetve a légszennyeződés matematikai modellezésének fizikai háttere is alkalmazásra került. A konkrét vizsgálati módszerek kapcsán fontos megjegyezni, hogy a modell jellegű feladatokban többnyire önkényesen választhatjuk meg a feladatot leíró paramétereket. Ezen esetekben úgy választjuk meg a paramétereket, hogy a megoldás meghatározható legyen, ezért ezen esetben a numerikus/számítógépes eredmények pontosságának meghatározása (a pontos megoldástól való eltérése) közvetlen módon lehetséges. Ugyanakkor valós feladatok esetén általában a pontos matematikai megoldást nem ismerjük, annak analitikus alakjának meghatározása nem lehetséges. Ezért a módszerek pontosságának meghatározásához pontos megoldásnak azt a numerikus eredményt vettük, amelyet a jellemezni kívánt módszernél lényegesen finomabb felosztású, esetenként magasabb rendben pontos módszerekkel határoztunk meg. (Azt tekintettük pontos megoldásnak, amikor egyrészt a rácsháló további finomítása már nem eredményezte a megoldás megváltozását, illetve valamely másik, a vizsgálat tárgyától különböző módszer is ugyanezt az eredményt szolgáltatta nagy finomságú rácshálón.) Ugyanakkor, ahol rendelkezésünkre álltak, numerikus eredményeinket összevetettük a mérési eredményekkel. Megjegyezzük, hogy az ilyen összehasonlítás nemcsak a numerikus modellt, hanem egyben a matematikai modell minőségét is jellemzi. Fontos módszertani kérdés a hibák mérésének illetve a megoldás megjelenítésének kérdése. Munkáimban a hibamérés kétféleképpen történik: vagy egy előre rögzített időrétegen, vagy a teljes diszkrét tér-idő rácshálón. (Az irodalomban mindkettő elfogadott.) A megoldást többnyire ábrákkal jellemeztem, de több esetben is megadom a konkrét numerikus értékeket, elsősorban akkor, amikor a módszer konvergenciájának rendjét vizsgáljuk.

5 3. Új tudományos eredmények és alkalmazásaik Célom egy olyan alkalmazott matematikai dolgozat elkészítése volt, amely valós problémák által motivált; elméletileg új matematikai eredményeket tartalmaz; az elért eredményeket alkalmazza a gyakorlatban is felmerülő problémák megoldására. 3.1. Motiváció A dolgozat első fejezete részben a kvalitatív módon helyes diszkrét modellek megkonstruálásával foglalkozik. Ennek szükségességét jellemzi a következő példa, v.ö. [FQ8, FQ9]. Tekintsük a forrásmentes, kétdimenziós hővezetési egyenletet, homogén első peremfeltétellel egy téglalapon. (A hővezetési együtthatót egynek választjuk.) Numerikus megoldására a rögzített x = 1/10 és y = 1/12 lépésközű rácshálón válasszuk a bi-lineáris véges elemes szemi-diszkretizációt, az időbeli diszkretizáláshoz pedig a Crank-Nicolson módszert, valamely t megválasztással. (Mivel ez a módszer feltétel nélkül stabil, ezért tetszőleges t esetén konvergens a módszer.) Legyen a nemnegatív kezdeti függvény a 3.1 ábra szerinti. 1 Temperature 0.5 y 0 x 3.1. ábra. A kezdeti függvény approximációja a rácshálón. Először válasszuk meg az idő szerinti lépésközt t = 0.1 értéknek és határozzuk meg a hőmérséklet közelítő értékét a t = 1 időpontban, azaz a tizedik időrétegen. Az eredményt a 3.2 ábra bal oldala ábrázolja. A hőmérséklet változását a P (1/2, 1/6) rögzített rácspontban és a [0, 2.5] időintervallumon a jobb oldali ábra szemlélteti. Látható, hogy a kezdeti hőmérséklet nemnegativitása nem őrződik meg, ami fizikailag nyilván nem lehetséges. Mindemellett az adott P pontban a hőmérséklet változását leíró függvény oszcillál, ami szintén ellentmond a fizikai jelenségnek. Tehát a t = 0.1 megválasztás melleti numerikus modell kvalitatív módon helytelenül viselkedik, a modell nem adekvát az eredeti fizikai jelenséggel. Csökkentsük az idő szerinti diszkretizáció lépésközét! Legyen t = 0.005, és ismételjük meg a számításunkat. Az eredményt a 3.3 ábra tartalmazza. Látható, hogy az approximált hőmérséklet korrekt viselkedésű. Ugyanakkor, mint azt a 3.4 ábra mutatja, nem lehet tetszőlegesen kicsire sem csökkenteni t-t: ha pld. t = 0.0001, a kapott eredményt ez az ábra szemlélteti. Látható, hogy ismét megjelentek az inkorrekt negatív értékek,

6 0.3 0.4 0.2 Temperature 0.2 0 0.2 0.4 y x Temperature 0.1 0 0.1 0.2 0 Time 2.5 3.2. ábra. t = 0.1 megválasztás esetén a Crank-Nicolson módszerrel approximált hőmérséklet a 10. időrétegen, illetve a hőmérséklet alakulása a rögzített P (1/2, 1/6) pontban. 0.25 Temperature 0.4 0.3 0.2 0.1 0 y Temperature 0.2 0.15 0.1 0.05 x 0 0 Time 0.125 3.3. ábra. t = 0.005 megválasztás esetén a Crank-Nicolson módszerrel approximált hőmérséklet a 10. időrétegen, illetve a hőmérséklet alakulása a rögzített P (1/2, 1/6) pontban. és számos további, fizikailag motivált kvalitatív tulajdonságát (maximum-minimum elv, maximum-normabeli monoton csökkenés stb.) elveszíti a model. Mindez tehát azt jelenti, hogy a diszkrét modell helytelenül lett megválasztva az első és harmadik esetben. Feladatunk azon feltételek megadása, amelyek mellett a diszkrét modell kvalitatív módon korrekt. Tekintsük a d darab szennyezőanyag terjedését leíró légszennyeződési folyamat matematikai modelljét [27]: c i t = (uc i) + (K c i ) σ i c i + g i (x, t) + R i (x, c 1,..., c d ). (1) A fenti képletben i = 1, 2,... d, és c i = c i (x, t) jelöli az i-edik szennyezőanyag koncentrációját. A képlet jobb oldalán szereplő tagok rendre az egyes fizikai részfolyamatokat leíró tagok, nevezetesen, az advekció, a turbulens diffúzió, az ülepedés, a szennyezőanyag kibocsátása és a kémiai reakciók. Feltételezzük, hogy a koncentráció-eloszlás a kezdeti időpontban (t = 0) ismert. Az ilyen típusú feladatokat egységesen, ún. operátoralakban a következő módon ad-

7 Temperature 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 Temperature 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0.01 0.02 0.03 0 0.0001 Time 0.0025 3.4. ábra. t = 0.0001 megválasztás esetén a Crank-Nicolson módszerrel approximált hőmérséklet a 10. időrétegen, illetve a hőmérséklet alakulása a rögzített P (1/2, 1/6) pontban. hatjuk meg: dw(t) dt = Aw(t) d A i w(t), t (0, T ) w(0) = w 0, ahol w az ismeretlen függvény, w 0 adott elem, A i (i = 1, 2,... d) adott operátorok. (Megjegyezzük, hogy amennyiben vannak peremfeltételek, akkor azok az operátorok értelmezési tartományában szerepelnek.) A (2) feladat (az ún. absztrakt Cauchy-feladat) pontos megoldása speciális esetben formálisan közvetlenül is felírható. Amikor A olyan lineáris operátor, amely egy C 0 -félcsoportot generál, akkor w(t) = exp(ta)w(0), ahol exp(ta) az A operátor által generált félcsoport. Mivel a fenti megoldás előállítása (ha az egyáltalán lehetséges) többnyire csak formális, ezért a numerikus módszerek alkalmazása többnyire elkerülhetetlen. Ennek lényege, hogy az exponenciális függvényt approximáljuk valamilyen (általában) racionális függvénnyel, azaz exp(z) r(z). Ekkor a numerikus módszer algoritmusa y n+1 = r(τa)y n, ahol τ > 0 a diszkretizációs paraméter, és y n jelenti az approximácót a t = nτ időrétegen. Például, legyen 1 + (1 θ)z r(z) = (3) 1 θz az ún. θ-módszer, és d = 2. Ekkor: ahol y n+1 = r θ (τ(a 1 + A 2 ))y n, r θ (τ(a 1 + A 2 )) = ( I θτ(a 1 + A 2 )) 1 ( I + (1 θ)τ(a 1 + A 2 )) és I az identitásoperátor. A fenti megközelítés hiányossága, hogy nem használjuk fel az A operátor speciális szerkezetét, nevezetesen, hogy több, egyszerűbb struktúrájú operátor összege. A továbbiakban célunk olyan eljárás definiálása, amely alkalmas a fenti sajátosság kihasználására. 3.2. Új tudományos eredmények Először a folytonos modellekre vonatkozó fontosabb eredményeket ismertetjük. Legyen Ω egy korlátos, d-dimenziós, egyszeresen összefüggő tartomány, amelynek Ω határa (2)

8 Lipschitz-folytonos. Jelölje Q τ = Ω (0, τ), Qτ = Ω [0, τ], Q τ = Ω (0, τ], Γ τ = ( Ω [0, τ]) (Ω {0}), ahol τ > 0 tetszőleges. A Γ τ halmazt parabolikus peremnek nevezzük. Ekkor valamely rögzített T > 0 mellett az alábbi lineáris parciális differenciáloperátort vizsgáljuk: L t ς a ς ς 1 x1... ς d xd t 0 ς δ 0 ς δ a ς D ς, (4) ahol δ a differenciáloperátor rendje, és az együtthatófüggvények megfelelően simák. Vezessük be a következő definiciókat. 3.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a (4) operátor monoton, ha minden olyan v 1, v 2 dom L függvényre, amelyre v 1 Γt v 2 Γt és (Lv 1 ) Q t (Lv 2 ) Q t, a v 1 Q t v 2 Q t egyenlőtlenség érvényes teszőleges t (0, T ) esetén. Nyilvánvalóan lineáris operátorok esetén ez a tulajdonság ekvivalens az alábbi tulajdonsággal: 3.2. Definíció. Azt mondjuk, hogy a (4) operátor nemnegativitás-megőrző (NP), ha minden olyan v dom L függvényre, amelyre v Γt 0 és (Lv) Q t 0, a v Q t 0 egyenlőtlenség érvényes tetszőleges t (0, T ) esetén. A továbbiakban olyan definíciókat fogalmazunk meg, amelyek segítségével egy ismeretlen v dom L függvény tartományon felvett értékeit a határon felvett értékeivel, illetve a képtérben felvett Lv értékeivel tudjuk becsülni. Ezeket összefoglalóan maximumminimum elvnek nevezzük. 3.3. Definíció. Azt mondjuk, hogy a (4) operátor kielégíti a gyenge maximum-minimum elvet (WMP), ha minden v dom L függvényre a min{0, min v}+t min{0, inf Γ t Q t Q t Lv} min v max Q t egyenlőtlenség érvényes tetszőleges t (0, T ) esetén. v max{0, max Γ t v}+t max{0, sup Lv} Q t (5) 3.4. Definíció. Azt mondjuk, hogy a (4) operátor kielégíti az erős maximum-minimum elvet (SMP), ha minden v dom L függvényre a min v + t min{0, inf Γ t Q t Q t Lv} min v max Q t egyenlőtlenség érvényes tetszőleges t (0, T ) esetén. v max v + t max{0, sup Lv} (6) Γ t Q t Amikor Lv előjele ismert, akkor becslés adható v parabolikus peremen felvett értékeivel. 3.5. Definíció. Azt mondjuk, hogy a (4) operátor kielégíti a gyenge perem maximumminimum elvet (WBMP), ha minden v dom L függvényre, amelyre Lv Q t 0, a min{0, min Γt v} min Qt v egyenlőtlenség érvényes tetszőleges t (0, T ) esetén. 3.6. Definíció. Azt mondjuk, hogy a (4) operátor kielégíti az erős perem maximumminimum elvet (SBMP), ha minden olyan v dom L függvényre, amelyre Lv Q t 0, a min Γt v = min Qt v egyenlőség érvényes tetszőleges t (0, T ) esetén.

1 9 A maximum-minimum elvek szoros kapcsolatban állnak az alábbi tulajdonsággal. 3.7. Definíció. Azt mondjuk, hogy a (4) operátor maximum normában kontraktív (MNC), ha bármely két olyan ˆv, ṽ dom L függvényre, amelyekre Lˆv Q t = Lṽ Q t és ˆv Ω [0,t ] = ṽ Ω [0,t ], a max x Ω ˆv(x, t ) ṽ(x, t ) max ˆv(x, 0) ṽ(x, 0) x Ω egyenlőtlenség érvényes tetszőleges t (0, T ) esetén. Jelölje 1 : (x, t) 1 az azonosan 1 függvényt és a 0 az a (0,...,0) függvényt. Nyilvánvalóan L1 = a 0. 3.1. Tétel. Az L operátor kvalitatív tulajdonságai közötti kapcsolat a 3.5 ábra szerinti. (A kipontozott implikáció az a 0 előjelére tett feltételt jelöli.) 5 2 8 1 1 1 1 1 1 9 2 5 * 2 1 8 1 1 8 1 1 9 * 2 2 + 8 8 1 3.5. ábra. A folytonos kvalitatív tulajdonságok közötti kapcsolat. Következményként, 3.2. Tétel. Ha a (4) szerinti L operátor nemnegativitás-megőrző, és a 0 0, akkor a gyenge maximum-minimum elv és a maximum-normabeli kontraktivitási tulajdonságok egyaránt érvényesek. Ha a 0 = 0, akkor a nemnegativitás-megőrző operátor valamennyi fenti kvalitatív tulajdonsággal rendelkezik. A másodrendű operátorok (azaz δ = 2 a (4) képletben) kiemelkedő szerepet játszanak. Legyen tehát L d t 2 d a m,k a m a 0. (7) x m x k x m m,k=1 3.3. Tétel. Jelölje S(x, t) := [a m,k (x, t)] mátrixot és tegyük fel, hogy ez a mátrix Q T -n pozitív szemidefinit. Ekkor a (7) operátor nemnegativitás-megőrző. (Ez a tétel általánosítja a [5, 10] munkák speciális operátorokra vonatkozó eredményeit.) A fenti eredmény és a 3.2 Tétel alapján 3.4. Tétel. A L t d m=1 2 x 2 m=1 m d-dimenziós hővezetési operátor a korábban definiált kvalitatív tulajdonságok mindegyikével rendelkezik. (8)

1 10 Áttérünk a diszkrét modell kvalitatív tulajdonságainak tárgyalására. Legyen P = {x 1, x 2,..., x N } és P = {x N+1, x N+2,..., x N+N } az Ω és a Ω pontjaiból álló ponthalmazok, továbbá N = N + N és P = P P, T és t < T adottak. Legyen M egy olyan természetes szám, amelyre M t T < (M + 1) t). Vezessük be az R = {t i = i t i = 0, 1,..., M} és valamely τ R számra a jelöléseket. A továbbiakban a R τ = {t R 0 < t < τ}, R τ = {t R 0 < t τ}, R 0 τ = {t R 0 t τ}, (9) Q τ = P R τ, Qτ = P R 0 τ, Q τ = P R τ, G τ = (P R 0 τ) (P {0}) rácshálókon értelmezett diszkrét rácsoperátorok kvalitatív tulajdonságait hasonló módon definiálhatjuk, mint a folytonos esetben. (Lásd [FQ10].) Legyen tehát L a Q tm Q tm típusú függvényekre értelmezett lineáris operátor. Vezessünk be két speciális rácsfüggvényt: 1 és tt, amelyek a Q tm halmazon értelmezettek a 1(x i, t n ) = 1 és a tt(x i, t n ) = n t egyenlőségekkel, ahol (x i, t n ) Q tm. 3.5. Tétel. Legyen L egy diszkrét lineáris rácsoperátor. Ekkor kvalitatív tulajdonságaira érvényes a 3.6 ábra szerinti kapcsolat., 5 2 8 1 1 1, 9 2 1 1 1 1 8, 5 * 2 8 1 1, 9 * 2, 2, + 8 8 1 1 1 J J J J 3.6. ábra. A diszkrét kvalitatív tulajdonságok közötti kapcsolat. (Az ábrában a tulajdonságok előtti D a diszkrét változatra utal.) Definiáljuk a dom L halmaz két részhalmazát: H 0 = {ν dom L; Lν Q t 0} és H 1 = {ν dom L; ν G t 0; Lν Q t 0}. 3.6. Tétel. Legyen L egy diszkrét nemnegativitás-megőrző rácsoperátor (DNP) és tegyük fel, hogy L 1 0. Ekkor H 0 -n L kielégíti a diszkrét gyenge maximum-minimum elvet (DWMP), és így a diszkrét gyenge perem maximum-minimum elvet (DWBMP) is. Ha L 1 = 0, akkor H 1 -n az L operátorra érvényes a diszkrét erős maximum-minimum elv (DSMP), és ezért a DWMP, DSBMP és DWBMP tulajdonságok is igazak. A numerikus modellek egy részében a diszkrét rácsoperátor speciális alakú: egy rögzített időrétegen felvett értéke csak két időrétegtől függ, azaz (Lν) n i = (X (n) 1 ν n X (n) 2 ν n 1 ) i, i = 1,..., N, n = 1,..., M, (10)

11 ahol X (n) 1, X (n) 2 IR N N adott mátrixok. Az ilyen típusú operátorokat kétréteges operátornak nevezzük. Vezessük be a következő jelöléseket: e = [1,..., 1] IR N; e 0 és e azon N illetve N dimenziós vektorok, amelyekre e = [e 0 e ]. 3.7. Tétel. Ha a (10) szerinti L diszkrét rácsoperátor nemnegativitás-megőrző és kielégíti a (X (n) 1 X (n) 2 )e 0, valamint a t(n(x (n) 1 X (n) 2 )e + X (n) 2 e) e 0 feltételeket, akkor DWMP és a DMNC tulajdonságú is. Ha a (X (n) 1 X (n) 2 )e = 0 és a tx (n) 2 e e 0 feltétel teljesül, akkor az operátor mindegyik felsorolt diszkrét kvalitatív tulajdonsággal rendelkezik. A továbbiakban a DNP (nemnegativitási) tulajdonságra mondunk ki feltételeket. Írjuk fel az X (n) 1 és X (n) 2 mátrixokat is particionált alakban: X (n) 1 = [X (n) 10 X (n) 1 ], X(n) 2 = [X (n) 20 X (n) 2 ], ahol X (n) 10 és X (n) 20 négyzetes mátrixok; X (n) 1, X(n) 2 IRN N. 3.8. Tétel. Tegyük fel, hogy az X (n) 10 (n = 1,..., M) mátrixok regulárisak. Ekkor a (10) szerinti L operátor pontosan akkor DNP tulajdonságú, amikor minden n = 1,..., M esetén az alábbi feltételek érvényesek: (P1) (X (n) 10 ) 1 0, (P2) (X (n) 10 ) 1 X (n) 1 0, (P3) (X (n) 10 ) 1 X (n) 2 0. Ezért a következő állítás érvényes: 3.9. Tétel. Tegyük fel, hogy a (P1)-(P3) feltételek teljesülnek. Ekkor a DNP tulajdonság mellett (X (n) 1 X (n) 2 )e 0 és t(n(x (n) 1 X (n) 2 )e + X (n) 2 e) e 0 esetén a DWMP, DWBMP és DMNC tulajdonságok érvényesek; (X (n) 1 X (n) 2 )e = 0 és tx (n) 1 e e 0 (vagy tx (n) 2 e e 0 ) esetén pedig a DWMP, DSMP, DWBMP, DSBMP és DMNC tulajdonságok mindegyike érvényes. A szűkebb H 0 és H 1 halmazokon enyhébb feltételek adhatók. 3.10. Tétel. Tegyük fel, hogy a (P1)-(P3) feltételek teljesülnek. Ekkor a DNP tulajdonság mellett (X (n) 1 X (n) 2 )e 0 esetén a DWMP, DWBMP és DMNC tulajdonságok; (X (n) 1 X (n) 2 )e = 0 esetén pedig a DWMP, DSMP, DWBMP, DSBMP és DMNC tulajdonság érvényesek minden H 0 és H 1 -beli rácsfüggvény esetén. A továbbiakban tekintsük az operátort leíró mátrixok X (n) 1 = 1 t M(n) + θk (n), X (n) 2 = 1 t M(n) (1 θ)k (n) (11) alakú előállítását. (A folytonos operátorok szokásos diszkretizációja ilyen alakú diszkrét rácsoperátort eredményez.)

12 3.11. Tétel. Tegyük fel, hogy a (11) mátrixokkal definiált, (10) szerinti L rácsoperátor DNP tulajdonságú és emellett M (n) e e 0. Ekkor, a DNP tulajdonság mellett, K (n) e 0 esetén az L rácsoperátor DWMP, DWBMP és DMNC tulajdonságú is, míg K (n) e = 0 esetén a DWMP, DSMP, DWBMP, DSBMP és DMNC tulajdonságok mindegyikével rendelkezik. A numerikus lineáris algebra irodalmában ismert fogalom a mátrixokra vonatkozó különböző maximum elvek. A következőkben ezekre mondunk ki új állításokat, és megvizsgáljuk a rácsoperátorokra definiált maximum elvekkel való kapcsolatukat. Legyenek H IR k k blokk-mátrix és y IR k egy blokk-vektor a következő alakúak: ( ) ( ) H1 H H = 2 y1, y =, (12) 0 I ahol H 1 IR k 1 k 1, I IR k 2 k 2 az egységmátrix, H 2 IR k 1 k 2, 0 IR k 2 k 1, y 1 IR k1 és y 2 IR k 2 (k = k 1 + k 2 ). Ciarlet és Stoyan munkái alapján [3, 21, 22] vezessük be a következő definíciókat. 3.8. Definíció. Azt mondjuk, hogy a H mátrix kielégíti a Ciarlet-féle mátrix maximum elvet (CMMP), ha minden olyan y 1 IR k1 és y 2 IR k 2 vektorra, amelyekre H 1 y 1 + H 2 y 2 0, a max{y 1 } max{0, y 2 } reláció érvényes. Ha a H 1 y 1 + H 2 y 2 = 0 és y 2 0 feltételek esetén a max{y 1 } max{y 2 } reláció teljesül, akkor a H mátrix kielégíti a Stoyan-féle mátrix maximum elvet (SMMP). A CMMP tulajdonságokhoz (amelyből a SMMP tulajdonság következik) szükséges és elégséges feltétel a következő [3]: 1. H monoton mátrix, 2. H 1 1 H 2 e k2 e k1. A második feltétel enyhíthető a H 1 e k1 + H 2 e k2 0 elégséges feltétellel. A következő állítás ekvivalens feltételt fogalmaz meg. 3.12. Tétel. A H mátrix pontosan akkor CMMP tulajdonságú, amikor a implikációk érvényesek. H 1 y 1 + H 2 y 2 0, és y 2 0 max{y 1 } 0; (13) H 1 y 1 + H 2 y 2 0, és y 2 0 max{y 1 } max{y 2 } (14) A két definíció kombinálása vezet a következő fogalomhoz: 3.9. Definíció. Azt mondjuk, hogy a H mátrix kielégíti a Ciarlet Stoyan-féle mátrix maximum elvet (CSMMP), ha minden olyan y 1 IR k1 és y 2 IR k 2 vektorra, amelyekre H 1 y 1 + H 2 y 2 0, a max{y 1 } max{y 2 } reláció érvényes. A CSMMP tulajdonságra a következő tétel ad szükséges és elégséges feltételt. 3.13. Tétel. Legyen H monoton mátrix. Ekkor pontosan akkor rendelkezik a CSMMP tulajdonsággal, amikor a H 1 e k1 + H 2 e k2 = 0 egyenlőség fennáll. y 2

13 Tekintsük a Hy = b egyenletrendszert, ahol most ( ) ( A B u (n) H =, y = 0 I u (n 1) ) ( f (n), b = u (n 1) ), (15) és A = ( A0 A 0 I ) ( B0 B, B = 0 I ) (, u (n) = Ez ismert A 0, B 0, B és A mátrixok mellett az u (n) 0 u (n) ) ( f, f (n) (n) = f (n) ). (16) A 0 u (n) 0 = B 0 u (n 1) 0 + B u (n 1) A u (n) + f (n) (17) iterációs eljárást generálja, ahol a priori ismerjük az u (n 1) 0, u (n 1), u (n) valamint az f (n) vektorokat, és u (n) 0 az egyetlen ismeretlen vektor. A H mátrixra megfogalmazott Ciarletés Stoyan-féle maximum elv ekkor kapcsolatba hozható a korábban általunk bevezetett maximum elvekkel. Eredményül azt kapjuk, hogy a rácsoperátorokra megfogalmazott maximum elvek bővebb függvényosztályon vannak értelmezve, ugyanakkor az egymásnak megfeleltethető maximum elvek feltételei a közös részen megegyeznek. A 3.1 táblázatban összefoglaltuk, hogy a folytonos feladatot leíró függvények milyen tulajdonsága mellett alkalmazhatók az egyes elvek. (Feltesszük, hogy a diszkretizáció megőrzi a folytonos függvény kvalitatív tulajdonságát.) Táblázatunkban az alábbi jelöléseket alkalmaztuk: f(x, t) a forrástag, u 0 (x) a kezdeti függvény és u (x, t) az első peremfeltételt leíró függvény. f u 0 u DNP nemnegatív nemnegatív nemnegatív NPCAP nemnegatív nemnegatív nemnegatív és időben monoton csökken DWMP tetszőleges tetszőleges tetszőleges DSMP tetszőleges tetszőleges tetszőleges DWBMP nemnegatív tetszőleges tetszőleges Ciarlet nemnegatív tetszőleges időben monoton csökken DSBMP nemnegatív tetszőleges tetszőleges Stoyan nulla nemnegatív nemnegatív és időtől független 3.1. táblázat. A folytonos feladatot leíró függvények feltételei az egyes kvalitatív tulajdonságokhoz. Megvizsgáljuk, hogy a L t d m=1 (k m (x, t) ) x m x m d m=1 a m (x, t) x m a 0 (x, t) (18) alakú differenciálegyenlet a véges differenciás illetve végeselemes diszkretizáció esetén milyen kvalitatív tulajdonságokkal rendelkezik. 3.14. Tétel. Jelölje L a (18) operátor véges differenciás approximációját. Ha L DNP tulajdonságú, akkor a 0 0 esetén DWMP, DWBMP és DMNC tulajdonságú, míg a 0 = 0 esetén a DWMP, DSMP, DWBMP, DSBMP és DMNC tulajdonságok mindegyikével rendelkezik.

14 Megjegyezzük, hogy a fenti tételben az elsőrendű deriváltakat centrális differenciával avagy up-wind sémával egyaránt approximálhatjuk. Végeselemes approximáció esetén az alábbi állítás érvényes: 3.15. Tétel. Jelölje L a (18) operátor valamely végeselemes approximációját. Ha L DNP tulajdonságú, akkor a 0 = 0 esetén DWMP, DSMP, DWBMP, DSBMP és DMNC tulajdonságú is. Ha a 0 nemnegatív és x-től független, akkor L DNP, DWMP, DWBMP és DMNC tulajdonságú. Az eddigi eredmények alapján látható, hogy a nemnegativitás megőrzése (DNP tulajdonság) kulcsszerepet játszik a többi kvalitatív tulajdonság biztosításában. Ezért alapvető fontosságú a DNP tulajdonság feltételének megadása. Tekintsük a L / t 2 / x 2 egydimenziós hővezetési operátort. Az approximáló rácsoperátort a (h, τ) lépésközű ekvidisztáns rácshálón definiáljuk (h = 1/(N +1), ahol N a térbeli belső osztáspontok száma). A hagyományos véges differencia illetve lineáris véges elemek módszerével minden rögzített rácshálón egy (10) alakú L rácsoperátort nyerünk, amely egyrészt függ a rácsháló lépésközétől, másrészt egy θ [0, 1], az idő szerinti approximációt leíró paramétertől. Az L operátort leíró mátrixok alakja véges differencia módszer esetén X 10 = 1 t I 0 + θk 0 = tridiag X 20 = 1 [ 1 θ t I 0 (1 θ)k 0 = tridiag, h 2 [ θ h, 1 2 t + 2 θ h, θ ] IR N N, 2 h 2 1 t 21 θ h 2, 1 θ ] IR N N, h 2 (19) X 1 = θ h 2 E; X 2 = 1 θ ( 1 0... 0 0 E, ahol E = h 2 0 0... 0 1 ) T IR N 2. lineáris végeselem módszer esetén X 10 = 1 t I 0 + θk 0 = tridiag X 20 = 1 [ 1 t I 0 (1 θ)k 0 = tridiag 6 t + 1 θ, h 2 X 1 = [ 1 6 t θ h, 2 2 3 t + 2 θ h, 1 2 6 t θ ] h 2 2 3 t 21 θ, h 2 ( 1 6 t θ ) ( 1 E; X h 2 2 = 6 t + 1 θ ) E. h 2 1 6 t + 1 θ ] h 2 Célunk a 3.8 Tétel (P1)-(P3) feltételeinek biztosítása. Ehhez szükséges az X 10 egyenletesen kontinuáns, szimmetrikus mátrix inverzének meghatározása [15]. A módszer konvergenciájára (a rácsháló finomítása mellett a numerikus megoldás pontos megoldáshoz tartása) a lépésközökre vonatkozóan pontos feltétel adható: q := τ h 1, ha θ [0, 0.5); 2 2(1 θ) q tetszőleges, ha θ [0.5, 1]. (20) (21)

15 A DNP tulajdonság elégséges feltételeként szolgál a maximum-normabeli kontraktivitást biztosító q 1, ha θ [0, 1); 1 θ (22) q tetszőleges, ha θ = 1 feltétel (pld. [16, 24]). Könnyen látható, hogy N = 1 esetén (22) egyben szükséges feltétel is. Ugyanakkor Lorenz [12] és Stoyan [21] megmutatta, hogy N 2 esetén q értéke növelhető, nevezetesen q 1 + 2θ + 1 θ(1 θ) 3θ(1 θ) mellett is érvényes a DNP tulajdonság. Kérdéses volt, hogy N növelésével hogyan viselkedik a módszer, és meddig növelhető N növelésével a felső határ, illetve, hogy tetszőleges rögzített N esetén megadható-e szükséges és elégséges feltétel a nemnegativitás megőrzésére. 3.16. Tétel. Az L véges differenciás rácsoperátor tetszőleges számú ekvidisztáns térbeli felosztás esetén pontosan akkor DNP tulajdonságú, amikor a (22) feltétel teljesül. Tetszőleges N 2 esetén pontosan a (23) feltétel mellett rendelkezik L a DNP tulajdonsággal. Pontosan akkor létezik olyan N 0 IN természetes szám, amely mellett L DNP tulajdonságú minden N N 0 esetén, amikor a feltétel teljesül. q 1 1 θ θ(1 θ) A lineáris végeselemes operátorra az alábbi eredményt igazoltuk. 3.17. Tétel. Az L végeselemes rácsoperátor tetszőleges θ [0, 1] mellett DNP tulajdonságú minden N 1 esetén pontosan akkor, amikor a feltétel teljesül; (23) (24) 1 6θ q 1 3(1 θ) ; (25) minden N 2 esetén pontosan akkor, amikor a 1 3( 1 + 2θ) + 9 16θ(1 θ) q 6θ 12θ(1 θ) feltétel teljesül. Emellett pontosan akkor létezik olyan N 0 IN természetes szám, amely mellett L DNP tulajdonságú minden N N 0 esetén, amikor q q, ahol q a (26) egyenlet pozitív megoldása. θ(1 θ)q 2 1 (θ + 4)q + A = 0; 6 A = qθ + 1/12[1/6 + (1 θ)q] (27)

16 θ N = 1 N = 2 N = 0 0.5 0.5 0.5 0.5 (12q) 1 0.8333 0.9574 0.9661 0.5 1 2 3/3 2(2 2) 1 3.2. táblázat. A DNP tulajdonságot biztosító felső korlátok véges differencia esetén. θ N = 1 N = 2 N = 0 nem megengedett nem megengedett nem megengedett 0.5 1/3 q 2/3 1/3 q 5/3 1/3 q 0.748 1 1/6 q 1/6 q 1/6 q 3.3. táblázat. A DNP tulajdonságot biztosító felső korlátok lineáris véges elemek esetén. A néhány speciálisan megválasztott θ érték melletti korlátokat megadjuk a 3.2 (véges differenciák) és a 3.3 (lineáris végeselemek) táblázatokban. Tetszőleges d dimenzióban is megadható a (18) alakú L operátornak megfeleltetett rácsoperátor DNP tulajdonságát biztosító elégséges feltétel. Az up-wind séma esetén ezt a t h 2 min (28) (1 θ) (2k + a h min a inf h 2 min ), feltétel biztosítja, ahol k = sup (x,t) QT { d m=1 k m(x, t)}, a = sup (x,t) QT { d m=1 a m(x, t) } és a inf = inf QT a 0. Középponti approximációra esetén a h i+sign((am) (n) t i )x m 2(k m) (n) i+0.5sign((am ) i ) (a m ) (n) i h 2 min (1 θ) (2k a inf h 2 min ) (29) feltétellel biztosíthatjuk. A DNP tulajdonság biztosítására lineáris végeselemes közelítésre hasonló eredmények nyerhetők. Ugyanakkor fontos megjegyeznünk, hogy két lényeges különbség van a véges differenciás korlátokkal való összhasonlításban: Az egydimenziós hővezetési egyenlethez hasonlóan megjelenik az alsó korlát is; A rácsháló generálására egy geometriai feltételt adunk meg, amelyet a rácsháló kompaktságának nevezünk. Például, a d = 2 esetben háromszögekre való felbontás esetén a maximális belső szögnek π/2-nél kisebbnek kell lennie, míg téglalapokra való felbontás esetén az oldalak aránya nem lehet 2-nél nagyobb. A feltételeket jellemzi az alábbi állítás, amely a (8) szerinti L operátorra vonatkozik. Vezessük be az alábbi jelöléseket: S = min T Th (meas d 1 S i ), S = max T Th (meas d 1 S i ), (30) T = min T Th (meas d T i ), T = max T Th (meas d T i ), (31) γ (d) = min cos γ ij, (32)

17 ahol T h -val jelöltük az Ω tartomány azon felbontásását, amely a T i d-dimenziós szimplexekből áll; S i és γ ij az egyes szimplexek oldalalait illetve az oldallapok által bezárt belső szögeket jelölik. 3.18. Tétel. Legyen T h szigorúan hegyesszögű felbontás, azaz γ ij (0, π/2). Ekkor ( ) d 2 1 T 2 ( ) 2 d 2 2 1 T t (33) (d + 1)(d + 2) θ γ (d) S (d + 1)(d + 2) 1 θ S esetén a lineáris végeselemes rácsoperátor DNP tulajdonságú. A dolgozat kiemelten kezeli a Crank-Nicolson módszert, azaz a θ-módszeres diszkretizációt θ = 0.5 megválasztással. Egyik eredmény a módszer maximum-normabeli stabilitására vonatkozik az egydimenziós hővezetési egyenlet véges differenciás megoldására. Mint ismeretes, a módszer tetszőleges q érték mellett konvergens, viszont Kraaijewanger kimutatta [9], hogy maximum normában csak q 1.5 esetén kontraktív.(ez a korlát a térbeli felosztások számára nézve egyenletes. Egy rögzített felosztásra a korlátok kissé növelhetők, lásd [8].) Tehát tetszőlegesen nagy q értékek mellett a kezdeti érték diszkeretizációjának maximum-normája C > 1-szeresére növekedhet. Kérdéses ezen szám meghatározása. A legismertebb becslés Serdyukova eredménye [17]: C < 23. Az alábbi tétel a szektoriális operátorok tulajdonságainak felhasználásával megmutatja, hogy egyrészt megadható alsó korlát is C -re, másrészt a felső korlát lényegesen csökkenthető. 3.19. Tétel. A Crank-Nicolson módszer stabilitási állandójára az egydimenziós hővezetési egyenlet véges differenciás approximiója esetén érvényes a 3 C < 4.325 becslés. Az előző tétel bebizonyítja, hogy a Crank-Nicolson módszer, amely abszolút stabil ugyan, adekvát numerikus modellt csak eléggé szigorú megszorítások mellett eredményez. Ez, mint azt a dolgozatban kimutatom, a számítások során a módszer másodrendjének (azaz a módszer legfontosabb értékének) elvesztéséhez vezet. Célunk volt a módszer olyan módosítását bevezetni, amely a rend megtartása mellett lényegében megszabadul a fenti korlátozó feltételtől. Ez a módszer az ún. Spijker-féle korlát miatt [20] nem alapulhat az exponenciális függvény ugyanazon racionális approximációján. Módszerünk olyan kombinált eljáráson alapul, ahol néhány kezdeti lépésben egy jó tulajdonságú elsőrendű módszert alkalmazunk, majd utána a másodrendű Crank-Nicolson módszert. A kezdeti lépések alkalmasan megválasztott számával biztosítani tudjuk a kontraktivitást, míg a rendnél a másodrendű Crank-Nicolson módszer dominál. Általában az implicit Euler módszert választjuk a kezdeti lépésekhez. (Megjegyezzük, hogy az ilyen jellegű megközelítést Luskin és Rannacher már korábban javasolta [11], de ők nem sima kezdeti függvényekre alkalmazták ezt a módszert, ezért az első lépések simító módszert jelentettek. A kontraktivitást nem vizsgálták.) A módszerek összehasonlítása céljából tekintsük a 3.4 táblázatot. Itt nemsima kezdeti függvényre a maximum-normabeli hibát határoztuk meg. A táblázatban DM jelöli azt a módosított módszert, amelyben n 0 számú kezdeti implicit Euler (IE) lépést teszünk, míg CN a Crank-Nicolson módszert jelöli. Látható, hogy módszerünk nagy q (azaz nagy t) esetén is pontos. Mindemellett a Crank-Nicolson módszer, ellentétben a másik két módszerrel, nem kontraktív. A dolgozat második része az operátorszeletelések elméletével és gyakorlatával (alkalmazásaival) foglalkozik.

18 q 106000 38000 24000 8620 3460 n 0 1 2 3 10 50 DM 0.0667 3.63( 4) 2.53( 5) 2.39( 5) 2.56( 5) CN 0.5210 0.4941 0.4927 0.4673 0.4192 IE 0.0336 0.0015 0.0011 1.38( 4) 4.14( 5) 3.4. táblázat. Maximum norma hiba h = 0.002 esetén az egyes módszerekre nemsima kezdeti függvényre. Tekintsük a (2) egyenletet, ahol először feltételezzük, hogy A i : X X egész téren értelmezett lineáris operátorok, ahol X valamely rögzített Banach-tér, és operátor-normán az indukált szuprémum-normát értjük. A (2) absztrakt Cauchy feladat megoldásának azon w : (0, T ) X függvényt nevezzük, amely folytonosan differenciálható a (0, T )-n és kielégíti a (2) feladatot. Így az X tér megválasztásától függően egyaránt tárgyalható a klasszikus illetve a gyenge megoldás. Az operátorszeletelés alapötlete, hogy az exp(z) r(z) approximáció során az exp( d 1 z i) függvényt első lépésben nem racionális függvénnyel, hanem az egyes részoperátorok exponenciálisainak segítségével approximáljuk. A legkézenfekvőbb az d d exp( z i ) exp(z d+1 i ) (34) típusú közelítés, de bevezethetjük az exp( d d 1 z i ) exp( z i 2 ) exp(z d 1 d) exp( z d i 2 ) (35) típusú közelítést is. Vegyük észre, hogy az első közelítésben lényeges a sorrend a jobb oldalon. Ezért célszerűnek látszik annak [ d d ] exp( z i ) 1 d exp(z i ) + exp(z d+1 i ) (36) 2 típusú szimmetrizált változatát is bevezetni. Nyilvánvalóan, skalárok esetén (34)-(36) egyenlőséget jelent, de tetszőleges korlátos operátorokra ez nem áll fenn. Ugyanakkor, ha az operátorok páronként kommutálnak, akkor ismételten igaz az egyenlőség. A fenti közelítéseket alkalmazhatjuk az (2) feladat közelítő megoldására az ω τ = {t n = nτ, n = 0, 1,... N; Nτ = T } rácshálón a következő módon. Tegyük fel, hogy az A i operátorok szintén generátorok, és vezessük be a következő operátorfüggvényeket: és r szek (τa) := d exp(τa d+1 i) ; (37) d 1 r SM (τa) := exp( 1 2 τa d 1 i) exp(τa d ) exp( 1 2 τa d i) (38) [ d r szim (τa) := 1 exp(τa i ) + 2 ] d exp(τa d+1 i ). (39)

19 Ezen operátorok segítségével definiálhatók az új numerikus módszerek, nevezetesen wszel N ((n + 1)τ) = r szel(τa)wszel N (nτ), n = 0, 1,... N, (40) ahol szel {szek; SM; szim} és wszel N (nτ) az adott szeleteléshez tartozó numerikus megoldás az ω τ rácshálón. A fenti operátorszeletelési eljárásokat rendre szekvenciális, Strang- Marcsuk és szimmetrikus szekvenciális szeleteléseknek nevezzük. A (40) algoritmus realizálásának lényeges pontja az exp(a i ) kiszámítása, pontosabban, az exp(τa i )v kifejezés meghatározása valamely adott v elem esetén. Mivel ez nem más, mint egy τ hosszúságú intervallumon értelmezett, v kezdeti vektorú, A i operátorú homogén Cauchy-feladat megoldása, ezért például a szekvenciális szeletelés algoritmikus realizálása a következő feladatok megoldását jelenti: dw n i dt (t) = A iw n i (t), w n i ((n 1)τ) = w n i 1(nτ), (n 1)τ < t nτ, ahol i = 1, 2,... d és n = 1, 2,... N. A szeletelt megoldás (41) w N szek(nτ) = w n d (nτ) (42) és az algoritmusban w0 n (nτ) = wszek N ((n 1)τ), továbbá wn szek (0) = w(0) a (2) kezdeti feltételből ismert w 0 elem. Tehát az algoritmus: A 1 A 2 A d }{{} 1. lépés A 1 A 2 A d }{{} 2. lépés A 1 A 2 A }{{} d. N. lépés A többi módszerre hasonlóan megadható az algoritmus (pld. [FS1]). 3.10. Definíció. Az Err szel = w(τ) wszel N (τ) kifejezést az adott szeletelési eljárás lokális szeletelési hibájának nevezzük. Azt mondjuk, hogy az adott szeletelési eljárás p-ed rendű, ha Err szel = O(τ p+1 ). Egy adott szeletelést konzisztensnek nevezünk, ha rendje p > 0. A fenti szeletelési hiba nulla, ha az operátorok kommutálnak. Ugyanakkor nem volt ismeretes a válasz arra a kérdésre, hogy a kommutálás szükséges feltétele-e a szeletelési hiba eltűnésének. Megmutatható a következő állítás: 3.20. Tétel. A szekvenciális szeletelés lokális hibája két operátor esetén pontosan akkor nulla, amikor az operátorok páronként kommutálnak. Három vagy több operátor esetén a lokális hiba eltűnéséhez a páronkénti kommutálás elégséges, de nem szükséges feltétel. A Stang-Marcsuk és a szimmetrikus szekvenciális szeletelés lokális hibájának eltűnéséhez tetszőleges számú operátorok esetén a páronkénti kommutálás elégséges, de nem szükséges feltétel. A fenti tétel komoly gyakorlati következménye, hogy valós modellek esetén a páronkénti kommutálás biztosítása általában irreális feltételeket ró ki a fizikai mezőre [FS8, FS10]. Tetszőleges operátorokra a szekvenciális szeletelés elsőrendű, a másik két szeletelés másodrendű. Ugyanakkor az operátorok speciális tulajdonsága esetén a rend növelhető. Jelölje [, ] az operátorok kommutátorát. Megmutatható [FS11, FS17], hogy ha teljesül a [0.5A 1 + A 2, [A 1, A 2 ]] = 0 feltétel, akkor a Strang-Marcsuk, ha pedig a [A 1 A 2, [A 1, A 2 ]] = 0 feltétel, akkor a szimmetrikus szekvenciális szeletelés harmadrendű. A fenti szeletelések mellett új szeletelési eljárásokat is bevezethetünk.

20 3.11. Definíció ([FS3, FS15]). A Φ(s 1, s 2,..., s d ) = d s i (d 1), azaz az r as (τa) := d exp(τa i ) (d 1)I megválasztású operátorszeletelést additív szeletelésnek nevezzük. Ennek alkalmazása az alábbi algoritmus szerint történik. Először rögzített n = 1, 2,..., N mellett megoldjuk a dw n i dt (t) = A iw n i (t), wi n ((n 1)τ) = w as (N) ((n 1)τ), (n 1)τ < t nτ, feladatokat minden i = 1, 2,..., d értékre. Ezután a szeletelt megoldást a (43) w (N) as (nτ) = d wi n (nτ) (d 1)w as (N) ((n 1)τ) módon határozzuk meg. (A w as (N) (0) = w(0) érték a (2) feladatból ismert.) Tehát az algoritmus: A 1 A 1 A 1. =.... =. A d ( 1. lépés ) A d ( 2. lépés ) A d ( N. lépés ) A módszer elsőrendű, és fő előnye az algoritmusában található: az egyes időrétegeken a szeletelt feladatok ugyanazon kezdeti függvényt használják, ezért ezek egymástól függetlenül, párhuzamosan oldhatók meg. Ennek megfelelően a módszer algoritmusa temészetes módon párhuzamosítható, és megfelelő struktúrájú számítógépeken a számítások sebessége növelhető. (Ennek légszennyeződési feladatokon történő jellemzésére lásd [FS20] és [28] munkákat.) A módszer hátránya a stabilitás biztosítása: az algoritmusban lévő negatív előjel ennek könnyű belátását még a kontraktív félcsoportokat generáló operátorok esetén sem teszi lehetővé. Ezért célszerű a módszer alábbi módosítása: a számításainkat az egyes szeletelt feladatokban az operátorok d-szeresével oldjuk meg, majd az eredményeket átlagoljuk. Ez algoritmikusan a következőt jelenti: Először rögzített n = 1, 2,..., N mellett megoldjuk a dw n i dt (t) = da iw n i (t), w n i ((n 1)τ) = w (N) mas((n 1)τ) (n 1)τ < t nτ, feladatokat az i = 1, 2,..., d értékekre. Ezután a szeletelt megoldást a (44) w (N) mas(nτ) = (1/d) d wi n (nτ)

21 képlettel határozzuk meg. Ezt az eljárást módosított additív szeletelésnek nevezzük. A módszer stabilitását, és így konvergenciáját könnyebb belátni, ugyanakkor a számítási időigény megnő. (Számítógépes realizálására és alkalmazására valós feladatokon lásd [FS16].) Egy másik lehetséges új szeletelési eljárás az ún. iterált szeletelés, amelynek algoritmusa a következő [FS15, FS18]. Egy rögzített [(n 1)τ, nτ] időintervallumon az alábbi iterációs eljárást hajtjuk végre: dwi n (t) dt dwi+1 n dt = A 1 w n i (t) + A 2 w n i 1(t), és w n i ((n 1)τ) = w (N) is ((n 1)τ) (45) = A 1 w n i (t) + A 2 w n i+1(t), és w n i+1((n 1)τ) = w (N) is ((n 1)τ) (46) ahol i = 1, 3, 5,..., 2m 1 és w0 n egy tetszőlegesen megválasztott rögzített kezdeti függvény. A szeletelt megoldás w (N) is (nτ) = w2m(nτ). n (Megjegyezzük, hogy m = 1 esetén a módszer az ismert ADI-módszer folytonos változatának tekinthető.) A módszer fő előnye a pontosság: minden egyes különálló iterációs lépés egy renddel növeli a lokális hiba rendjét. (Ha a w0(0) 1 = w 0 feltétel teljesül, akkor egy teljes (45) (46) lépés már konzisztens módszert eredményez.) Fontos kérdés, hogy a kezdeti iterációs érték alkalmas megválasztásával hogyan növelhető a módszer rendje. 3.21. Tétel. Tegyük fel, hogy az iteráció kezdő függvényére érvényes a w (s) 0 (0) = (A 1 + A 2 ) s w(0), s = 0, 1,..., p egyenlőség. Ekkor a (45) illetve (46) szerinti m iterációs lépés után a lokális szeletelési hiba nagysága O(τ m+p+1 ). Az eddigiekben homogén feladatokra alkalmaztuk az operátorszeletelést. A gyakorlatban ugyanakkor igen fontos az inhomogén eset, azaz a { w (t) = Aw(t) + f(t), t [0, T ], (47) w(0) adott, Cauchy-feladat vizsgálata, ahol A = A 1 +A 2 és f = f 1 +f 2. Az alábbi állítás megmutatja, hogy a homogén feladatokra bebizonyított rend megőrződik [FS19]. 3.22. Tétel. Tegyük fel, hogy az f 1, f 2 függvényekre f i : [0, T ] IR n és f i C 3 ([0, T ]), i = 1, 2. Ekkor a (47) inhomogén feladatra alkalmazott Strang-Marcsuk és a szimmetrikus szekvenciális operátorszeletelések másodrendűek. Az eddigiekben az operátorokról feltettük azok korlátosságát. (Ezt parciális differenciálegyenletek esetén a szemidiszkretizációval tudjuk biztosítani.) Ugyanakkor felmerül a kérdés: ha A 0 : X X sűrűn értelmezett lineáris operátor, akkor a { u (t) = A 0 u(t) t (0, t ], (48) u(0) = u 0, Banach-térbeli absztrakt Cauchy-feladatra A 0 = A 1 +A 2 esetén mi mondható el a megfelelő operátorszeletelésekről. A szekvenciális operátorszeletelést Bjorhus vizsgálta [2]. A Strang- Marcsuk és a szimmetrikus szekvenciális szeletelésekre az alábbi állítás érvenyes [FS13]. Vezessük be az alábbi jelöléseket az egyes operátorok és azok k-ik hatványainak (k = 1, 2, 3) értelmezési tartományára: D k = D(A k 1) D(A k 2) D(A k 0), k = 1, 2, 3 sűrűn értelmezettek X-ben és A k i Dk, i = 0, 1, 2, k = 1, 2, 3 zárt operátorok. Jelölje D = 3 k=1 D k.

22 3.23. Tétel. Az u 0 D kezdeti függvényekre a Strang-Marcsuk és a szimmetrikus szekvenciális szeletelések egyaránt másodrendűek. A fenti operátorszeletelések valójában speciális időbeli diszkretizációs módszerek, így az utóbbiakra vonatkozó technikák egy része sikeresen alkalmazható. Ilyen a Richardsonféle extrapolációs módszer, amely egy konvergens numerikus módszer két különböző rácshálón vett értékeiből, azok megfelelő súlyozásával határoz meg az eredeti módszernél magasabb rendben pontos új módszert. A másodrendűnél pontosabb operátorszeletelések, Sheng tétele alapján [18], mindig tartalmaznak negatív súlyparamétert, amely a stabilitás szempontjából előnytelen. Ezért ezen módszer alkalmazása az operátorszeletelésekre előnyös [FS5]. A Richardson-extarpoláció emellett akkor is előnyös, amikor egy magasabb rendű operátorszeletelés részfeladatainak megoldására egy alacsonyabb rendű numerikus megoldási módszert alkalmazunk. Ezt mutatja be a 3.5 táblázat, amely egy közönséges differenciálegyenleten két különböző megoldást hasonlít össze: a Richardsonféle módszerrel másodrendűvé tett szekvenciális szeletelést és a szimmetrikus szekvenciális szeletést, és mindkét esetben az implicit Euler módszert alkalmaztuk. A táblázatban az első szám a hiba nagyságát, a második (zárójelben lévő) szám pedig a hiba csökkenését, azaz a kombinált módszer rendjét jelenti. τ Rich. szekvenciális szim. szekvenciális 1 2.7494e(+1) 1.2657(+1) 0.1 2.6149(-3) (9.511(-5)) 5.4703(-3) (4.322(-4)) 0.01 1.2927(-5) (4.944(-3)) 7.2132(-4) (1.319(-1)) 0.001 1.2322(-7) (9.531(-3)) 7.3991(-5) (1.026(-1)) 3.5. táblázat. Két másodrendű módszer összehasonlítása imlicit Euler módszerrel. 3.3. Az eredmények hasznosítása A kutatás eredményeinek közvetett hasznosítási lehetőségét már az előző szakaszban érintettem. Ugyanakkor az új szeletelési eljárások, illetve az ismertek új tulajdonságainak kimutatása a numerikus / számítógépes modellezésben fontos, ezért közvetlenül hasznosítható. A dolgozatomban két területet nevezek meg, ahol az eredményeim közvetlenül hasznosíthatók: az elektromágnesség elmélete (Maxwell-egyenletek) és a nagyskálájú légszennyeződési modellek numerikus vizsgálata. Ezek közül a második kérdéskört részletesebben is tárgyaljuk, megvizsgálva a különböző operátorszeletelések hatékonyságát. Az új operátorszeletelési módszerek sikeresen működnek a dániai UNIDEM modellben, amely a régebbi DEM (Danish Eulerian Model) javított változata. A feladatok nagyságára jellemző, hogy a térbeli tartomány 4800 km 4800 km, amely a teljes európai kontinens mellett Afrika, Ázsia nagy részét, valamint az Atlanti-óceánt fedi le. A felbontáshoz két rácshálót alkalmaznak: egy durvábbat (50 km 50 km) és egy finomabbat (10 km 10 km), a megoldást pedig egy nagyteljesítményű SUN grid számítógépen határozzák meg. Köszönetnyilvánítás Ez a dolgozat több évtizedes, a numerikus analízis területén elvégzett kutatási eredményeim alapján készült. Mindenkinek hálás vagyok, akik eredményeim elérésében segítettek,

23 és nemcsak alkotótársaim, hanem alkotó társaim is voltak. A teljes névsor felsorolása reménytelen vállalkozás. Mégis, ha lehetséges, kiemelkednek közülük azok a fiatal kutatók, akiknek szakmai pályafutásuk kezdetekor jelen lehettem. A velük való együttműködés sokukkal a mai napig is tart, és nagy örömmel tölt el mindannyiuk szakmai fejlődése és nemzetközi elismertsége. Külön köszönet illeti Czách Lászlót, aki egy életre szólóan megszerettette velem a matematikát, és annak számtalan összefüggését megismertette velem. Köszönetemet fejezem ki kollégáimnak, akik lehetővé tették, hogy a napi elfoglatságaim mellett ez a dolgozat elkészüljön. A legnagyobb köszönet természetesen a családomat illeti: mindig ők jelentették azt a hátteret, amely nélkül a munka céltalan lett volna. Bízom abban, hogy a Tőlük ezen munkára elvont idő nem telt el értelmetlenül. 4. A disszertácó témakörében készült publikációim Itt csak a dolgozat szempontjából legfontosabb dolgozatokat sorolom fel. 4.1. A kvalitatív tulajdonságokhoz kapcsolodó dolgozatok FQ1. H. Farkas, I. Faragó, P. Simon, Qualitative properties of conductive heat transfer, in: Thermodynamics of energy conversion and transport, eds. S. Sienuitycz and A. De Vos, Berlin, 2000, Springer Verlag, 199-239. FQ2. I. Faragó, R. Horváth, On the nonnegativity conservation of finite element solutions of parabolic problems, in: P. Neittaanmäki, M. Krizek eds; Finite Element Methods. Three-Dimentional Problems, Sci. Appl., 2001, Tokyo, 78-86. FQ3. I. Faragó, Nonnegativity of the difference schemes, Pure Math. Appl., 6 (1996) 147-159. FQ4. I. Faragó, C. Palencia, Sharpening the estimate of the stability bound in the maximum-norm of the Crank Nicolson scheme for the one-dimensional heat equation, Appl. Numer. Math. 42 (2002) 133-140. FQ5. I. Faragó, M. Kovács, On the maximum norm contractivity of second order damped single step methods, Calcolo, 2 (2003) 91-108. FQ6. I. Faragó, R. Horváth, S. Korotov, Discrete maximum principle for linear parabolic problems solved on hybrid meshes, Appl. Numer. Math. 43 (2005) 249-264. FQ7. I. Faragó, R. Horváth, W. Schilders, Investigation of numerical time integrations of the Maxwell equations using the staggered grid spatial discretization, Int. J. Num. Modelling, 18 (2005) 149-169. FQ8. I. Faragó, R. Horváth, Discrete maximum principle and adequate discretizations of linear parabolic problems, SIAM Scientific Computing, 28 (2006) 2313-2336. FQ9. I. Faragó, R. Horváth, A review of reliable numerical models for three-dimensional linear parabolic problems, Int. J. Numer. Meth. Engng., 70 (2007) 25-45.

24 FQ10. I. Faragó, R. Horváth, Continuous and discrete parabolic operators and their qualitative properties, IMA Numerical Analysis, (közlésre elfogadva). FQ11. M. Botchev, I. Faragó, R. Horváth, Application of the operator splitting to the Maxwell equations including a source term, Appl. Num. Math., 59 (2009) 522-541. FQ12. I. Faragó, R. Horváth, Qualitative properties of monotone linear operators, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 8 (2008) 1-15. FQ13. I. Faragó, Discrete maximum principle for finite element parabolic models in higher dimensions, Math. Comp. Sim., (to appear) FQ14. I. Faragó, Qualitative analysis of the Crank-Nicolson method for the heat conduction equation, Lect. Notes Comp. Sci., 5434, Springer Verlag, Berlin, (2009) 44-55. 4.2. Az operátorszeleteléshez kapcsolódó dolgozatok FS1. I. Faragó, Splitting methods for abstract Cauchy problems, in: Z. Li, L. Vulkov, J. Wasniewski eds. Numerical Analysis and Its Application, Berlin, 2005 Lect. Notes Comp. Sci. 3401, Springer Verlag,, 35-45. FS2. I. Faragó, Operator splittings and numerical methods, in: I. Lirkov, S. Margenov, J. Wasniewski eds. Large-Scale Scientific Computing, Berlin, 2006, Lect. Notes Comp. Sci. 3743, Springer Verlag, 347-354. FS3. I. Faragó, New operator splittings and their applications, in: T. Boyanov et al. eds. Numerical Methods and Application, Berlin, 2007, Lect. Notes Comp. Sci. 4310, Springer Verlag, 443-450. FS4. I. Faragó, Á. Havasi, The mathemathical background of operator splitting and the effect of non-commutativity, in: S. Margenov, J. Wasniewski, P. Yalamov eds; Large- Scale Scientific Computing, Berlin, 2002, Lect. Notes Comp. Sci., 2179, Springer Verlag, 264-271. FS5. I. Faragó, Á. Havasi, On the Richardson extrapolation as applied to the sequential splitting method, Lirkov and al. eds; Lect. Notes Comp. Sci., 4818, Berlin, 2007, Springer Verlag, 174-181. FS6. I. Faragó, K. Georgiev, Z.Zlatev, Parallelization of advection-diffusion-chemistry modules, Lect. Notes Comp. Sci., 4818, Springer Verlag, Berlin (2007) 28-39. FS7. I. Faragó, A modified iterated operator splitting method, Applied Mathematical Modelling, 2007 doi:10.1016/j.apm.2007.04.018. FS8. I. Dimov, I. Faragó, Á. Havasi, Z. Zlatev, L-commuataivity of the operators in splitting methods for air pollution models, Annales Univ. Sci. Sec. Math., 44 (2001) 127-148. FS9. M. Botchev, I. Faragó, Á. Havasi, Testing weighted splitting schemes on a onecolumn transport-chemistry model, Int. J. Environmental Pollution., 22 (2004) 3-16. FS10. I. Dimov, I. Faragó, Á. Havasi, Z. Zlatev, Operator splitting and commutativity analysis in the Danish Eulerian Model, Math. Comp. Sim. 67 (2004) 217-233.