Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján
Irányítástechnika rendszerek Irányítástechnika Budapest, 2008 2
Az előadás felépítése 1. 2. 3. 4. Irányítástechnika Budapest, 2008 3
Blokkvázlat D/A átalakítás Tartószerv A/D átalakítás rendszer blokkvázlata Irányítástechnika Budapest, 2008 4
Blokkvázlat : Blokkvázlat D/A átalakítás Tartószerv A/D átalakítás Tartószerv D/A ZOH Folytonos rendszer A/D Számítógép Az irányítás elemei a következők: Analóg/digitális (A/D) jelátalakító, az irányítási algoritmust realizáló számitógép, digitál/analóg (D/A) jelátalakító. Irányítástechnika Budapest, 2008 5
D/A átalakítás Blokkvázlat D/A átalakítás Tartószerv A/D átalakítás A diszkrét idejű jelből kódolási eljárással folytonos idejű impulzus sorozatot állít elő, mely a D/A átalakító analóg kimenő jele. A D/A átalakításhoz kapcsolódik a tartószerv. A tartószerv feladata két mintavételi pont között a jel biztosítása. A D/A konverter kimenő impulzussorozatából folytonos idejű jelet biztosít. A tartószerv meghatározza, hogy két mintavételi időpont között hogyan változik a jel. Irányítástechnika Budapest, 2008 6
Tartószerv Blokkvázlat D/A átalakítás Tartószerv A/D átalakítás A legegyszerűbb tartószerv a zérusrendű (ZOH) tarószerv, mely állandó értéken (előző kimeneti függvény érték) tartja a kimenetet, míg a a következő mintavétel sorra nem kerül. A zérus rendű tartószerv a D/A átalakító kimenetét integrálja h mintavételi ideig. Így a zérusrendű tartószerv átviteli függvénye: G ZOH (s) = 1 e sh s Elsőrendű tartó (FOH) a két mintavételi pont értékeinek adott meredekségű összekötését biztosítja. Léteznek magasabbrendű tartószervek, melyek törekszenek a folytonos jelalak két mintavétel közötti értékének minél tökéletesebb visszaadására. Irányítástechnika Budapest, 2008 7
A/D átalakítás Blokkvázlat D/A átalakítás Tartószerv A/D átalakítás Az időben folytonos rendszer kimenetét egy kódolási eljárással diszkrét jellé alakítja. EZt a diszkretizált, majd digitalizált jelet használjuk fel a számítógéppel irányított szabályozó bemeneteként. Példa a diszkrét és folytonos jelek kapcsolatára: 1.4 1.2 1 Átmeneti függvény 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 Time (sec)/ Minta(samples) Irányítástechnika Budapest, 2008 8
Folytonos modell Mintavételi idő figyelembe vétele modell diszkrét állapottér Irányítástechnika Budapest, 2008 9
Folytonos modell Folytonos modell Mintavételi idő figyelembe vétele modell Az alábbiakban kifejezzük egy folytonos idejű állapottér modellnek az egységugrásra ekvivalens diszkrét idejű állapottér modell megfelelőjét. Adott az alábbi folytonos idejű állapottér reprezentáció x 0 kezdeti értékkel ẋ = Ax + bu y = c T x ahol az inhomogén állapotegyenlet megoldása a következő: x(t) = e At x 0 + 0 e A(t τ) bu(τ)dτ. Irányítástechnika Budapest, 2008 10
Mintavételi idő figyelembe vétele Folytonos modell Mintavételi idő figyelembe vétele modell Legyen a mintavételi idő állandó: h = t k+1 t k = állandó valamint feltételezzük, hogy két mintavételi idő között a bemenőjel nem változik. Az állapotegyenlet megoldása: x(t k+1 ) = e A(t k+1 t k ) x(t k ) + tk+1 e A(t k+1 τ )bu(τ)dτ t k Irányítástechnika Budapest, 2008 11
modell Folytonos modell Mintavételi idő figyelembe vétele modell A folytonos modell ekvivalens diszkrét idejű állapottér reprezentációja: ahol x(t k+1 ) = Φx(t k ) + Γu(t k ) y(t k ) = Cx(t k ) + Du(t k ) Φ = e Ah Γ = A 1 [ e Ah I n ] b Irányítástechnika Budapest, 2008 12
Diszkrét rendszerek stabilitása Minimál reprezentáció Irányítástechnika Budapest, 2008 13
Diszkrét rendszerek stabilitása Re(λ i ) < 0 i = 1..n Re(e Ah ) < 1 Diszkrét rendszerek stabilitása Minimál reprezentáció A folytonos idejû rendszer pólusai 4 3 2 A diszkrét idejû rendszer pólusai 2 1.5 1 1 0.5 Im 0 0-1 -0.5-2 -1-3 -1.5-4 -5 0 5 Re -2-2 0 2 Re Irányítástechnika Budapest, 2008 14
Megfigyelhetőség Diszkrét rendszerek stabilitása Minimál reprezentáció Állapot megfigyelhetőség: Adott (Φ, Γ, c T ). Mi a feltétele annak, hogy az x(t) állapotokat minden a t t 0 időpontra meghatározhassuk a rendszer jövőbeli input és output függvényeinek ismeretében? Az O n (c T, Φ) mátrixot a diszkrét idejű rendszer megfigyelhetőségi mátrixának nevezzük. [ ] T O n = c T c T Φ. c T Φ n 1. Irányítástechnika Budapest, 2008 15
Megfigyelhetőség Diszkrét rendszerek stabilitása Minimál reprezentáció Tétel: Kálmán-féle rangfeltétel Egy (c T, Φ) pár megfigyelhető akkor és csak akkor, ha megfigyelhetőségi mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz rang { O n (c T, Φ) } = n. Irányítástechnika Budapest, 2008 16
Irányíthatóság Diszkrét rendszerek stabilitása Minimál reprezentáció Állapot : Adott (Φ, Γ, c T ), és x(t) a t = t 0 = 0 időpontban. Mi a feltétele annak, hogy találjunk olyan u(t), t t 0 irányítást, amely a rendszert véges T idő alatt az x(0) állapotból egy tetszőleges x(t ), x(t ) x(0) állapotba vigye? Az C n (Φ, b) mátrixot a diszkrét idejű rendszer i mátrixának nevezzük. C n = [ b Φb... Φ n 1 b ] Irányítástechnika Budapest, 2008 17
Irányíthatóság Diszkrét rendszerek stabilitása Minimál reprezentáció Tétel: Kálmán-féle rangfeltétel Egy (Φ, b) pár akkor és csak akkor irányítható, ha i mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz rang {C n (Φ, b)} = n. Irányítástechnika Budapest, 2008 18
Minimál reprezentáció Diszkrét rendszerek stabilitása Minimál reprezentáció Egy rendszer (Φ, Γ, c T ) állapottér reprezentációja minimál reprezentáció, ha együttesen irányítható és megfigyelhető, azaz rango n (c T, Φ) = rangc n (Φ, b) = n. Irányítástechnika Budapest, 2008 19
1. példa 2. példa 3. példa Megoldás Irányítástechnika Budapest, 2008 20
1. példa 1. példa 2. példa 3. példa Megoldás Határozzuk meg az folytonos állapottér reprezentáció egységugrásra ekvivalens állapottér reprezentáció mátrixait. ẋ = ax + bu y = x A diszkrét megfelelő: x(t k+1 ) = Φx(t k ) + Γu(t k ) y(t k ) = Cx(t k ) ahol Φ = e ah Γ = 1 a ( e ah 1 ) b Irányítástechnika Budapest, 2008 21
1. példa 2. példa 3. példa Megoldás 2. példa Folytonos állapottér reprezentáció: ] [ ] [ ] [ẋ1 2 0 x1 = + ẋ 2 0 3 x 2 y = [ 1 1 ] [ ] x 1 x 2 [ ] 1 u 2 A diszkrét megfelelő: Φ = e Ah = [ e 2h 0 ] 0 e 3h Γ = A 1 [e Ah I 2 ]b [ 1 ] [ ] [ ] 0 = 2 e 2h 1 0 1 1 0 0 e 3h 1 2 3 ] = [ e 2h 1 2 2(1 e 3h ) 3 Irányítástechnika Budapest, 2008 22
3. példa 1. példa 2. példa 3. példa Megoldás Határozzuk meg az átviteli függvénnyel adott rendszer diszkrét idejű állapottér reprezentációját. G = 1 (s + 1)(s + 2) Írjuk fel az átviteli függvény diagonális állapottér reprezentációját. ] [ẋ1 ẋ 2 [ ] [ ] 1 0 x1 = + 0 2 x 2 [ ] 1 1 y = [ 1 1 ] [ x 1 x 2 u ] Irányítástechnika Budapest, 2008 23
Megoldás 1. példa 2. példa 3. példa Megoldás A diszkrét megfelelő: Φ = e Ah = [ e h 0 ] 0 e 2h Γ = A 1 [e Ah I 2 ]b [ ] [ ] [ ] 1 0 e = h 1 0 1 1 0 0 e 2h 1 1 2 [ ] 1 e h = e 2h 1 2 Irányítástechnika Budapest, 2008 24