Miskolci Egyete Gépészérnöki és Inforatikai Kar Körengeréjjal erevített körleez stabilitásvizsgálata PD értekezés készítette: Bureister Dániel okleveles gépészérnök Sályi István Gépészeti Tudoányok Doktori Iskola, Gépészeti Alaptudoányok Téaterület, Szilárd Testek Mecanikája Téacsoport Doktori iskola vezető: Dr. Tisza Miklós az MTA doktora, egyetei tanár Téacsoport vezető: Dr. Kozák Ire az MTA rendes tagja, professor eeritus Téavezető: Dr. Szeidl György az MTA doktora, professor eeritus Miskolc 04
Tartalojegyzék Jelölésjegyzék iv. Bevezetés.. Stabilitási feladatok és jellezőik......................... Irodali előzények...............................3. Célkitűzések................................... 4. Körleez tengelyszietrikus kiajlása 6.. A kitűzött feladat isertetése......................... 6.. A feladat egyenletei............................... 7.3. Pereén kétoldali éjerevítéssel ellátott körleez stabilitásvizsgálata.. 3.4. Pereén egyoldali éjerevítéssel ellátott körleez............. 8 3. Körgyűrű alakú leez tengelyszietrikus kiajlása 3 3.. A vizsgált feladat beutatása......................... 3 3.. Nuerikus eljárás a kritikus terelés egatározására............ 4 3.3. Eredények lyukas körleezre......................... 7 3.4. Pereén egyoldali éjerevítéssel ellátott körgyűrű alakú leez...... 3 4. Ne tengelyszietrikus kiajlás 35 4.. Körleez egyenletei ne tengelyszietrikus kiajlásra.......... 35 4.. A körengeréj egyenletei........................... 36 4.3. Egyoldalon erevített töör körleez.................... 43 4.4. Egyoldalon erevített lyukas körleez.................... 47 4.5. Kétoldalt szietrikusan erevített körleez................ 5 5. Közbenső sugáron erevített leez stabilitása 57 5.. A szerkezet felépítése.............................. 57 5.. Stabilitásvizsgálat tengelyszietrikus alakváltozás feltételezése ellett.. 60 5.3. Stabilitásvizsgálat ne tengelyszietrikus alakváltozás esetén...... 66 6. Összefoglalás 7 6.. Tudoányos előzények............................ 7 6.. Célkitűzések................................... 73 6.3. Új tudoányos eredények.......................... 74 6.4. Az eredények alkalazatósága....................... 76 6.5. További kutatási feladatok........................... 77 6.6. Publikációk az értekezés téájában...................... 77 i
Tartalojegyzék 7. Suary of te Tesis Stability of Sell-stiffened Circular Plates 79 Függelék 8 A. A éj részfeladatainak egoldásai 8 A.. Krülov-függvények............................... 8 A.. Az. részfeladat egoldása........................... 83 A.3. A. részfeladat egoldása........................... 84 A.4. A leez egy oldalára erősített éj részfeladatainak egoldása........ 85 B. Töör leez zárt alakú egoldása és deriváltjai 87 C. Az elozduláskoordináták száraztatása elozdulásfüggvényből 89 D. Körengeréjban szereplő fizikai ennyiségek Fourier együttatói 9 Irodalojegyzék 97 ii
Téavezetői Ajánlás Bureister Dániel Körengeréjjal erevített körleez stabilitásvizsgálata cíű P.D. értekezéséez A korszerű és nagy szilárdságú szerkezeti anyagok elterjedésével páruzaosan egyre több karcsú, illetve vékony szerkezeti ele kerül beépítésre a érnöki szerkezetekben. Eez kötődően, felerül a kérdés, ogy képesek-e az így beépített szerkezeti eleek a stabilitásuk elvesztése nélkül egőrizni teerviselő képességüket. Ha a válasz ne, akkor konstrukciós ódosításra, a szerkezeti ele avagy szerkezet erevítésére van szükség. Az utóbbi leetőség vizsgálata volt Bureister Dániel kutató unkájának célkitűzése körengeréjjal erevített kör és körgyűrűalakú vékony leezek esetén. A erevítés szerepét illetően száos kérdés erül fel. Kieelető ezek közül: (a) A ecanikai odell egválasztásának kérdése a pereen erevített töör körleez esetén, illetve eez kötődően a erevítő éj éretváltozása (agasság változása) atásának kérdése. (b) Lyukas, de pereén erevített körleez esetén a nuerikus egoldás leetőségének vizsgálata, és a geoetriai paraéterek atásának kérdése. (c) Az előző két esetben a ne tengelyszietrikus kiajlás leetőségeinek vizsgálata ez új, a Galjorkin függvények felasználásán alapuló éjodell alkalazását követelte eg és ezzel összefüggésben annak a kérdésnek tisztázása, ogy tengelyszietrikus avagy ne tengelyszietrikus kiajlási alakoz tartozik-e a legkisebb kritikus teer. (d) És végül a erevítő körengeréj közbülső, azaz ne a éj pereén történő elelyezésének atása a szerkezet kritikus terelésre illetve az optiális kritikus teret adó ely egkeresése. Az értekezés sziszteatikusan foglalkozik a felsorolt probléákkal, illetve az adekvát válaszok egkeresésével. A nuerikus egoldások előállítása gondos prograozói unkát tételezett fel, de Bureister Dániel ezt a kérdést is sikeresen egoldotta. Hozzátesze téavezetőként, ogy Bureister Dániel nagy szorgaloal, kooly kitartással és kiagasló precizitással végezte kutató unkáját. Az elért eredényeket rendszeresen publikálta a azai és nezetközi fóruokon. Eleget tett ily ódon a Sályi István doktori iskola publikációs követelényeinek. Az értekezés jól áttekintetően iserteti a kutató unka folyaatát és annak eredényeit: a száos ábra pedig esszeenően elősegíti annak áttekintését iként függ a kritikus teer a különböző paraéterektől. A négy célkitűzésez igazodó négy tézis töören foglalja össze a lényeges eredényeket. Bükkszentkereszt, 04. ájus 8. Szeidl György az MTA doktora professzor eeritus iii
Jelölésjegyzék A fontosabb jelölések felsorolása elkülönítetten és abc sorrendben tartalazza a görögés latinbetűs jelöléseket. Az egyes jelöléseket aga a folyó szöveg is értelezi, illetve agyarázza. A jelölésjegyzéknek indössze az a szerepe, ogy leetővé tegye a fontosabb jelölések gyors azonosítását. Görögbetűs jelölések α a (.8a) képlettel értelezett ennyiség α, α a (.45) egyenletekkel értelezett ennyiségek α n, α n a (4.5c) és (4.5d) összefüggéssel értelezett ennyiségek ˆα, ˆα ódosított α és α ennyiségek β a (.3a) képlettel értelezett ennyiség β n, β n a (4.5a) és (4.5b) összefüggéssel értelezett ennyiségek ζ a körengeréj felületére erőleges koordináta ϑ a leez szögelfordulása sugárirányban κ a (.8b) képlettel értelezett ennyiség κ, κ a (.45) egyenletekkel értelezett ennyiségek κ xx, κ ϕϕ, κ xϕ a éj görületének változását leíró ennyiségek λ a körleez pereének sugárirányú elozdulásából szárazó ennyiség λ n karakterisztikus egyenlet gyöke ν a éj és a leez anyagának közös Poisson tényezője ν p a körleez anyagának Poisson tényezője ν s a körengeréj anyagának Poisson tényezője ν o a (.3a) képlettel értelezett ennyiség ξ dienzióentes koordináta, ξ = x/ ρ dienzióentes változó, ρ = R/ ρ i körleez belső pereének dienziótlan koordinátája ρ s a éj dienzióentes sugara, ρ s = R s / ϕ szögkoordináta φ elozdulásfüggvény ψ ϕ, ψ x a körengeréj szögelfordulása x ill. ϕ tengelyek körül Latinbetűs jeölölések A nj, B nj integrációs állandók A, B konstansok az élerők száításáoz a,..., a 4 integrációs konstansok a n, b n a (4.4) összefüggésekkel értelezett ennyiség ˆB görbületi tenzor B konstans az élerők száításáoz b a éj és a leez közös vastagsága a körleez vastagsága b p iv
Jelölésjegyzék B R, B ϕϕ, B Rϕ b s c,..., c 4 e R, e ϕ, e z e ζ, e ϕ, e x E E p E s E p E s e xx, e xϕ, e ϕϕ F F o f f, f f o f of cr, F of cr I p I s J n ( Fρ) K nj, M nj, P nj, S nj M, M M o M R M xx, M ϕϕ, M xϕ N H N R, N ϕ, N Rϕ N R, N ϕ, N Rϕ N xx, N ϕϕ, N ϕx p x, p ϕ és p ζ p ζ p z q Q R Q xζ, Q ϕζ R r R i R s s u u u ϕ u ζ p a görbületi tenzor eleei enger-koordinátarendszerben a körengeréj vastagsága integrációs konstansok bázisvektorok az (R, ϕ, z) koordinátarendszerben bázisvektorok a (ζ, ϕ, x) koordinátarendszerben a éj és a leez anyagának közös rugalassági odulusa a körleez rugalassági odulusa a körengeréj rugalassági odulusa a (.4) képlettel értelezett ennyiség a (.3b) képlettel értelezett ennyiség a éj középfelületének alakváltozási jellezői a leezre ató dienzióentes terelési paraéter a szerkezetre ató dienzióentes teer a körleezre ató belső erő éj és leez között ató belső erő a szerkezetre ató külső teer erevítetlen körleez kritikus tere a körengeréj ossza a (.4) képlettel értelezett ennyiség a (.3b) képlettel értelezett ennyiség elsőfajú n-ed rendű Bessel-függvény integrációs állandók éj és leez között űködő nyoaték a körleez és körengeréj között űködő nyoaték élnyoaték a leezben nyoatéki tenzor eleei a körengeréjban felületi feszültségi tenzor dienzióentes N R, N ϕ, N Rϕ élerők élerők a körleezben a feszültségieredő-tenzor eleei a körengeréjban a éj középfelületén űködő egoszló terelések a éj középfelületén űködő egoszló teer sűrűsége a leez középfelületére erőleges egoszló teer a (3.6a) egyenlet szerint bevezetett változó nyíró élerő a leezben nyíróerők a körengeréjban sugárirányú enger-koordináta a (3.6b) egyenlet szerint bevezetett változó a körleez külső sugara a körgyűrű alakú leez belső pereének sugara a körengeréj sugara a (3.6c) egyenlet szerint bevezetett változó a w, q, r, s változókból képzett átrix a leez sugárirányú elozdulása a körengeréj tangenciális elozdulása a (.) egyenlet partikuláris egoldása v
Jelölésjegyzék u ζ u x a körengeréj felületre erőleges elozdulása a körengeréj tengelyével páruzaos elozdulása v a leez tangenciális irányú elozdulása V i Krülov-függvények w a leez középfelületére erőleges elozdulása x a körengeréj tengelyével páruzaos koordináta Y n ( Fρ) ásodfajú n-ed rendű Bessel-függvény z körengeréj tengelyével páruzaos koordináta Z,..., Z 4 partikuláris egoldások Egyéb jelölések, indexek teer indexében a kritikus értékre utal cr n H H ˆ n valaely ennyiség Fourier-sorfejtésének (,n)-edik tagja síkbeli Nabla operátor síkbeli Laplace operátor Laplace operátor a ρ változóval Laplace operátor tengelyszietrikus esetre Laplace operátor sorba fejtett elozdulásezőre Két vektor tenzoriális (diádikus) szorzatának nincs külön űveleti jele. Lásd pl. a H H szorzatot a (.7) egyenletcsoportban. Félkövér dőlt nagybetűvel jelöljük a tenzort szibolikus írásódban. A tenzor átrixának egyszer aláúzott álló félkövér betű a jelölése. A két betű azonos pl. ˆB és ˆB. vi
. fejezet Bevezetés.. Stabilitási feladatok és jellezőik Korszerű érnöki szerkezetek tervezésénél fontos szepont az adott szerkezet súlyának csökkentése, azaz a felasznált anyagennyiség inializálása. Ez a célkitűzés, párosulva a nuerikus ecanika és az anyagtudoány gyors fejlődésével azt eredényezte, ogy a valós szerkezeteket alkotó szerkezeti eleek rudak, leezek, illetve éjak geoetriai éretei egyre kedvezőbben alakultak, a rudak egyre karcsúbbak, a leezek és éjak pedig változatlan terelések ellett is egyre vékonyabbak lettek. Mivel a terelések egy része egyenes rudak esetén a rúd tengelye entén űködő nyoóerő, leezek esetén a leez saját síkjába eső teer, zárt éjak esetén pedig pl. a külső nyoás a szerkezet stabilitásvesztését eredényezeti, a kérdéses szerkezeti éretek csak akkor csökkentetők, a egarad a éretcsökkenés ellenére is a szerkezet stabilitása. Többek között ez leet az egyik oka annak, ogy a stabilitási vizsgálatokkal kapcsolatos kutatások növekvő intenzitással folytatódtak az elúlt úsz, arinc évben. Egy rugalas test (szerkezet) adott egyensúlyi állapotát akkor nevezzük stabilnak, a a test (szerkezet) az egyensúlyi elyzetét egzavaró kis értékű külső atások (zavarások) egszűnésével a test (szerkezet) visszatér eredeti egyensúlyi elyzetébe. Ellenkező esetben, a kis értékű atások (zavarások) eredényeként a test (szerkezet) új, az előzőtől eltérő ás egyensúlyi alakot vesz fel, vagy ne egyensúlyi elyzetbe kerül, akkor az eredeti egyensúlyi elyzetet instabilnak tekintjük. Adott szerkezet esetén az egyensúlyi elyzetek a tereléstől függenek. Kritikus terelésnél kisebb külső teer esetében csak stabil egyensúlyi elyzet leetséges. A terelést növelve azonban (a szerkezet kialakításától függő terelési típusok esetén) eléretünk egy olyan terelési értéket, aely felett az egyensúly ár instabillá válik: ugyanazon teer ellett több egyensúlyi elyzet válik leetségessé. Ezek közül az eredeti, ivel azt kis egzavarás atására elagyja a szerkezet, az instabil egyensúlyi állapot. A vonatkozó teer pedig a kritikus teer. A fentiek a stabilitásvesztés fő folyaatának csak vázlatos isertetését adják, anélkül azonban, ogy a további részletekre is kitértünk volna (pl. atárponti stabilitásvesztés, avagy dinaikus stabilitásvesztés stb.). Saját síkjában nyoott rugalas leeznek létezik olyan egyensúlyi elyzete, aikor a leez középfelületének zérus a középfelületre erőleges elozdulása, azaz síkfelület arad a középfelület. A külső tereléstől és a perefeltételektől függően létezet azonban a leeznek olyan egyensúlyi elyzete is, aelynél ne zérus a középfelület pontjainak Egyparaéteres terelést tételezünk fel!
.. Irodali előzények középfelületre erőleges elozdulása, azaz az eredetileg sík középfelület görbült felületté deforálódik: a leez kiajlik, azaz orpadás következik be. A kiajlás jelenségét azért kell egelőzni, ivel a leez orpadása a belső erőrendszer olyan átrendeződéséez vezetet, a síkbeli terelésből adódó ajlító atások egjelenésével, aely a szerkezet tönkreenetelét okozatja. A továbbiakban feltételezzük, ogy a stabilitásvesztés jelenségének vizsgálata során figyelen kívül agyatók a dinaikai atások. Ez az eset az úgynevezett konzervatív terelés ellett áll fenn. Megutatató, ogy a erev (ás néven iránytartó) terelés konzervatív. A jelen értekezés csak ilyen terelési esetekkel foglalkozik. Rugalas test egyensúlyának energetikai elvű vizsgálatára a Diriclet-elv szolgál alapul. A Diriclet-elv szerint egy egyensúlyi elyzet stabilis, a abból a elyzetből kiozdítva, a test teljes potenciális energiája nő, azaz a teljes potenciális energiának szigorú iniua van. A stabil egyensúlyi elyzetnek következésképp az a szükséges és elégséges feltétele, ogy a teljes potenciális energia első variációja zérus, íg a ásodik variációja pozitív legyen. Aennyiben a teljes potenciális energia ásodik variációja zérus, az egyensúlyi elyzet közöbös. A közöbös egyensúlyi elyzetnek további feltétele, ogy a test az adott egyensúlyi elyzetből való kisértékű elozdulás után is közöbös egyensúlyi elyzetben legyen. Ha a teljes potenciális energia ásodik variációja negatív, akkor az egyensúlyi elyzet szükségszerűen instabil. A stabilitásvizsgálat energia elvű vizsgálata az egyensúlyi görbék (utak) úgynevezett bifurkációs pontjainak egkeresését jelenti []. A stabilitás vizsgálatának ásik leetséges ódja az egyensúlyi ódszer asználata. Leez esetében ilyenkor kisértékű alakváltozás ellett a kiajlott alakoz tartozó egyensúlyi egyenleteket írjuk fel. Az alapegyenlet triviális egoldása a leez sík alakját jelenti, íg a triviálistól eltérő egoldás a kiajlott alakoz tartozik. A stabilitásvizsgálat során a leez differenciálegyenletének adott terelés, geoetriai éretek és perefeltételek ellett ne triviális egoldását keressük, ivel ilyenkor szűnik eg a leez sík alakjának stabilitása. A egoldandó feladat ilyenkor egy a feladatot leíró differenciálegyenlet(ek) és a vonatkozó perefeltételek által egatározott sajátérték probléára vezet. A legkisebb sajátérték adja a legkisebb olyan terelést, ely ellett kiajlott alak is leetséges ez a terelés egyben a leez kritikus terelése... Irodali előzények Mérnöki szerkezetek stabilitásának vizsgálata osszú últra tekint vissza. Hosszú karcsú rudak kiajlását ár Euler is vizsgálta. A leezek, ezen belül a körleezek stabilitási probléájával foglalkozó első cikk 890-ben jelent eg []. Azóta száos a kérdéskörrel foglalkozó tanulány jelent eg. A teljesség igénye nélkül eeljük ki ezek közül a legfontosabbaknak vélt [3 6]. tanulányokat. Egy szerkezet kiajlással szebeni ellenálló képességét többféleképpen növeletjük. Alkalazatunk különféle egtáasztásokat a szerkezet pereein avagy a szerkezeti űködést ne gátló és alkalasan egválasztott közbenső elyen, elyeken. Körleez esetén a leez pereén és a középső pontban egyidejűleg alkalazott egtáasztás, körgyűrű alakú leeznél pedig a két pereén egyidejűleg űködő táaszok alkalazása leet ilyen egoldás. Valaelyik táasz elyett vagy aellett ég további, koncentrikus táaszokat is beépítetünk a leez stabilitásának növelésére. Ezen felül a olyan egtáasztást alkalazunk, aely gátolja a leez elfordulását, akkor a erevítő atás tovább fokozató. Tevendran és Wang [7] cikkükben pereein csavarrugóval és/vagy görgősen egtáasztott körgyűrű alakú leezt vizsgáltak a Rayleig-Ritz ódszer segítségével. A
.. Irodali előzények rugóerevség alkalas egválasztásával a egfogást (a befogást) is terészetesen képesek voltak odellezni. Laura és szerzőtársai [8] alatti cikküben közbenső elyen és a pereén görgős egtáasztású, továbbá a pereén forgás ellen rugalasan egfogott körleezt vizsgálnak ugyancsak a Rayleig-Ritz ódszer felasználásával, tengelyszietrikus alakváltozások feltételezése ellett. Az előbbivel egegyező szerkezet stabilitását vizsgálják Wang és szerzőtársai ne tengelyszietrikus alakváltozást is feltételezve a Kircoff leezelélet alapján [9, 0], ajd ezt követően a Mindlin-féle elélettel száolva []. A egtáasztás elyének a stabilitás értelében vett optiális egválasztása is része a unkájuknak. Rao és Rao külső pereén és tetszőleges közbenső sugáron koncentrikusan egtáasztott körleezek kiajlását kutatták. A egtáasztások közül valaelyik vagy indegyik rugalas ele, esetenként a leez pereén is alkalaztak elfordulás ellen csavarrugót. A rugalas egtáasztás stabilitásra gyakorolt atását tengelyszietrikus és ne tengelyszietrikus alakváltozásra is vizsgálták [ 5]. Sűrűn bordázott leez vizsgálata oly ódon is végezető, ogy a erevítések atását a leez felületén átlagoljuk, és ortotrop anyagodellt alkalazunk, elynek eléleti átteréről bővebben Troitsky [6] alatti űvében olvasatunk. A erevítésnek ily ódon való figyelebevételével Siitses és szerzőtársa [7], valaint Srinivasan és szerzőtársa [8] alatti cikkükben foglalkoztak, elyben sugárirányban és koncentrikusan elelyezett sűrű erevítéssel ellátott körgyűrű illetve körcikk alakú leez stabilitása és szabadrezgései kerültek beutatásra. Kuelj és szerzőtársa pedig olyan ortotrop körgyűrű alakú leez stabilitását vizsgálták, elynek külső és belső pereén is a leez síkjában űködő egoszló terelés űködött [9]. Alkalazatunk kevés száú diszkrét erevítéseket leezeken. Körleez peree entén elelyezett erevítés atását a stabilitásra Pillips és szerzőtársa cikke [30] vizsgálta. Turvey [3] alatti cikkében asonlóan erevített körleez esetén kísérleti eredényeiről is beszáol, de stabilitási kérdésekkel ne foglalkozik. A szerző és unkatársai egy ásik tanulánya az átérője entén erevített körleez egyes feladatait vizsgálja, de stabilitási kérdésekkel ez a cikk se foglalkozik [3]. Irie és szerzőtársai pedig több sugárirányú erevítést tartalazó körgyűrű alakú leez stabilitását és szabadrezgéseit vizsgálta [33]. Bareeva és Lizarev koncentrikus körgyűrű alakú erevítésnek a leez síkfeszültségi állapotra gyakorolt atását vették figyelebe [34], íg Rossettos és szerzőtársa a erevítésnek az elfordulás elleni erevségét vették figyelebe tengelyszietrikus [35] és ne tengelyszietrikus [36] kiajlási alakok esetén, viszont a erevítés síkfeszültségi állapotra gyakorolt atását figyelen kívül agyták. Az idézett cikkek egyszerűsítéseit Frostig és Siitses [37, 38] alatti tanulányaik ne tartalazzák. Az idézett űvek tengelyszietrikus és ne tengelyszietrikus alakváltozás esetére is egadják a egoldást. A koncentrikus körgyűrű alakú erevítést síkgörbe rudakkal odellezték. Szilasy István egyetei doktori értekezésében [39] és egy későbbi cikkében [40] is foglalkozott a külső pereén körengeréjjal erevített körleez egyes stabilitási feladataival. Az első feladat egy töör, a ásodik feladat, pedig egy lyukas körleez egy pereértékfeladata volt. A szerző feltételezte, ogy (i) a leez síkjában űködő terelés erev és tengelyszietrikus (ii) a körleez és a körengeréj alakváltozás ugyancsak tengelyszietrikus. A szerző a körleez esetén a szögelfordulásra felírt differenciálegyenlet egoldását, a körengeréj esetén pedig a vékony éjak eléletén alapuló egoldást asználta fel. Az értekezés a fentebb áttekintett és a feladat jellege iatt ne túl nagy száú 3
.3. Célkitűzések szakirodali ivatkozásokra táaszkodva fogalazza eg a továbbiakban célkitűzéseit..3. Célkitűzések.3.. Pereén körengeréjjal kétoldalúan (egyoldalúan) erevített körleez tengelyszietrikus stabilitási feladata A stabilitásvizsgálat körleezre vonatkozó egyenleteinek tovább tágítva ezzel a egoldató feladatok körét és egaladva ily ódon Szilassy vizsgálatait [39, 40] a körleez függőleges elozdulására felírt alakját célszerű alkalazni, ne pedig a szögelfordulásezőre érvényes és az idézett két publikációban felasznált alakot. Ennek alapján fogalazató eg az alábbi és részekre bontott. Célkitűzés: (a) Határozzuk eg a kritikus terelést adó zárt alakú nelineáris egyenlet(ek)et, kiasználva a körleez és a éj középfelületének etszésvonalán egkövetelt illesztési feltételeket ind kétoldalúan, ind pedig egyoldalúan erevített körleez esetén. (b) Száítsuk ki a nelineáris egyenletek nuerikus egoldásával a dienzióentes kritikus terelést. (c) Tisztázni kell azt is, ogy ogyan befolyásolja a éj agasságának növelése a kritikus teer értékét. (d) Felvetődik a kérdés, ogy elyettesítető-e a erevítő éj rugalas táaszokkal, és a igen, elyek a táaszjellezők..3.. Pereén körengeréjjal kétoldalúan (egyoldalúan) erevített lyukas körleez tengelyszietrikus stabilitási feladata Az. Célkitűzésben egfogalazott alapvető feladat ogyan befolyásolja a erevítő éj a kritikus terelés értékét lyukas körleez esetén is felvetető és felvetendő. Probléaként jelenik eg ugyanakkor, ogy bár van zárt alakú egoldása a lyukas körleez stabilitási probléájával kapcsolatos differenciálegyenletnek, de az neezen kezelető, ivel a egoldásban álló Bessel függvények indexe is függ a keresett sajátértéktől (a kritikus tereléstől). Az utóbbi körülényt is tükrözi az alábbi. Célkitűzés: Alkalas nuerikus ódszer felasználásával érdees a ódszert a töör körleez stabilitási feladatán tesztelni atározzuk eg a dienzióentes kritikus terelést a lyukas körleez különböző egtáasztásaira kétoldalú (egyoldalú) erevítés esetén. (b) A vizsgálatok eredényei alapján tisztázandó, többek között, a belső pere éretváltozásának atása..3.3. Pereén körengeréjjal kétoldalúan (egyoldalúan) erevített körleez stabilitási feladata ne tengelyszietrikus alakváltozás feltételezése ellett Bár a szerkezet külső pereén űködő konstans sugárirányú nyoás tengelyszietrikus terelést ad, nincs garancia arra, ogy a szerkezet stabilitásvesztés utáni alakja is tengelyszietrikus lesz. Felvetődik ez esetben a kérdés, ogy a tengelyszietrikus, avagy a ne tengelyszietrikus alakváltozásoz tartozik-e a legkisebb kritikus teer. A 4
.3. Célkitűzések ne tengelyszietrikus kiajlási alak feltételezése ugyanakkor igényesebb ecanikai odell kialakítását tételezi fel. Eez kötődik a 3. Célkitűzés: A Fourier-sorfejtés ódszerét, valaint alkalas Galjorkin függvényeket alkalazva a éjfeladat egoldásában az utóbbi kérdéskör tekintetében Kozák [4, 5.o.] Vlaszov [4] és Jezsó [43] eredényeit is felasználva tisztázni kell, ogy ogyan állítató elő a egoldás az egyes Fourier-együttatókra nézve, és ogy ilyen pere és illesztési feltételeknek kell, ogy a Fourier-együttatók eleget tegyenek. Ezekre az eredényekre alapozva egatározató alkalas nuerikus eljárás felasználásával, ogy ekkora a kritikus teer értéke az összetartozó (azonos Fourierindexű) kiajlási alakok esetén. A száításokat különböző táasz elrendezésekre, valaint kétoldalúan (egyoldalúan) erevített körleezre (lyukas körleezre) is el kell végezni..3.4. Közbülső elyen erevített leez Felvetődik a kérdés, ogy iként viselkedik a szerkezet, a a erevítő körengeréj ne a leez külső pereén (töör körleez), illetve ne a leez külső és belső pereén (lyukas körleez) elyezkedik el. Ai a feladat közvetlen irodali előzényeit illeti, Frostig [38] cikkére ivatkozunk. Az idézett szerző körgyűrűnek (azaz körgyűrű alakú rúdnak) tekinti a leez valaely belső sugaránál elelyezkedő erevítést. Ez a feltevés csak akkor alkalazató, aint ez azonnal látszik az elnevezésekből is, a rúdszerű a erevítő ele a szerkezetben. Érdees azt is egjegyezni, ogy az irodalokutatás során ne találtunk ás ezen tárgykörben publikált eredényt. A fentiekez kötődik a 4. Célkitűzés: Dolgozzunk ki a közbülső erevítő éj atásának vizsgálatára alkalas odellt. Végezzünk száításokat (a) a kritikus terelés és (b) a éj optiális elyének egatározására. A vizsgálatok terjedjenek ki a neszietrikus alakváltozások leetőségének figyelebevételére is. 5
. fejezet Körleez tengelyszietrikus kiajlása.. A kitűzött feladat isertetése A vizsgálat tárgyát képező szerkezet etszeti képe a.. ábrán látató. A szerkezet egy töör körleezből, és a pereére erősített körengeréjból áll. A leez és a éj középfelületének sugarú kör a etszésvonala. Ezt az értéket tekintjük ajd a körleez külső sugarának. A leez vastagsága b p, a körengeréj vastagsága pedig b s. A körengeréj feltevés szerint szietrikus a leez középsíkjára. A középfelülettől ért ossza indkét irányban, pedig a éj agassága. A szerkezetre ató teer a leez középsíkjában űködő sugárirányú és állandó intenzitású vonalon egoszló erőrendszer. Ez erev (iránytartó) és f o =állandó sűrűségű. f o b p b s R ζ z x.. ábra. Geoetriai és terelési viszonyok Feltételezzük, ogy a leez és a éj egyaránt vékony, azaz asználatjuk a Kircoffféle klasszikus leez- és éjeléletet. Feltételezzük továbbá, ogy a vizsgált jelenséget (a szerkezet stabilitásvesztését) leíró egyenletek lineárisak. Hőatásokat ne veszünk figyelebe. A szerkezet indkét elee oogén izotrop rugalas anyagból készült, rugalassági odulusuk E p és E s, a vonatkozó Poisson tényezőket pedig rendre ν p és ν s jelöli. Tengelyszietrikus és rugalas alakváltozás feltételezése ellett a következő kérdéseket szeretnénk tisztázni: (a) Mekkora a szerkezet stabilitás vesztésez tartozó kritikus terelése? (b) Milyen értékű a erevítő körengeréj atása a kritikus teerre? A vizsgálatok során a szerkezetet gondolatban szétválasztjuk két részre (körleez és éj) és ezt követően a szerkezet egyes eleeire külön-külön írjuk fel a vonatkozó egyenle- 6
.. A feladat egyenletei teket. Az egyes részekre vonatkozó egoldásokat az illesztési feltételek kapcsolják össze. A leezre vonatkozó összefüggések felírásakor a.. ábrán szeléltetett és a körleezez középfelületéez kötöttnek vett jobbsodratú (R, ϕ, z) enger-koordinátarendszert asználjuk. A z = 0 sík a leez középfelülete. A középfelület tetszőleges pontjának az e R, e ϕ és e z egységvektorok által alkotott lokális bázisban rendre u, v és w jelöli az R, ϕ, és z irányú elozdulását. O z ϕ R u v e R e ϕ w e z.. ábra. Leezez kötött koordinátarendszer A körengeréj esetén a éj középfelületéez kötött (ζ, ϕ, x) koordináta-rendszert asználjuk ajd. Ezt a.3. ábra szelélteti. A tekintett koordináta-rendszerben ζ = 0 a körengeréj középfelületén. A koordináta-rendszerek illeszkedéséből adódóan fennáll x = z egyenlet is az sugarú körön. A ϕ polárszög azonos indkét koordináta-rendszerben (de a tengelyszietria iatt ne lesz szerepe a egoldásokban). A körengeréj középfelületén rendre u ζ, u ϕ és u ξ jelöli valaely pont elozdulás-koordinátáit az e ζ, e ϕ és e x egységvektorok alkotta lokális bázisban. O ϕ u ϕ u ξ u ζ x e ϕ e x e ζ ζ.3. ábra. A körengeréj középfelületéez kötött koordinátarendszer.. A feladat egyenletei... A szerkezet szétválasztása, illesztési feltételek A gondolatban kettéválasztott szerkezetet a.4. ábra szelélteti. Az ábra feltünteti az egyes szerkezeti eleek között űködő belső erőket is. A.4.a. ábra a körleezt és a körengeréjról átadódó (annak kerületén egoszló) sugárirányú és állandó intenzitású f erőrendszer sűrűség vektorát valaint az ugyancsak 7
.. A feladat egyenletei b p a. f M o u w f M o R z b. f o b p f f u ζ f o ζ M o M o.4. ábra. A szétválasztott szerkezeti eleek a kerületen egoszló M o sűrűségű erőpár rendszert jeleníti eg. A körengeréjt szeléltető.4.b. ábrarészlet a fentiek ellett a külső erőrendszer (a terelés) f o sűrűségvektorát is szelélteti. A körengeréj tengelyszietrikus alakváltozása esetén egyedül az u ζ (x) elozduláskoordináta játszik szerepet a egoldásokban. Ai a körleezt illeti nyilvánvaló, ogy u = u(r), w = w(r). Az illesztés elye a körleez és körengeréj középfelületeinek etszésvonala. Ezen sugarú körön, vagy ai ugyanaz, a körengeréj x = 0, ξ = 0 körén, illeszteni kell a kineatikai ennyiségeket. Nyilvánvaló, ogy a sugárirányú elozdulásnak az x u (R = ) = u ζ (x = 0) (.a) feltételt kell kielégítenie. A körleez ϑ és a éj ψ ϕ szögelfordulása a ϑ (R = ) = dw dr (R = ) = du ζ dx (x = 0) = ψ ϕ (x = 0) (.b) illesztési feltételnek köteles eleget tenni. A fenti képletek az elozdulás-koordináták és a szögelfordulások közötti kineatikai összefüggéseket is tartalazzák.... Egyenletek a körengeréjra Tengelyszietrikus viszonyok ellett az u ζ sugárirányú elozdulásező az isert d 4 u ζ dx + 4 4β4 u ζ = ( p ζ ν N ) xx I s E s (.) 8
.. A feladat egyenletei differenciálegyenletnek köteles eleget tenni [44, 468.o.] aol p ζ a éj középfelületén űködő sugárirányú egoszló teer sűrűsége, N xx az x irányban űködő élerő, továbbá ν o = 4 3( ν s ), β = ν o Re b s, (.3a) I s = b3 s, E s = E s. (.3b) νs Mivel a körengeréj palástja jelen esetben tereletlen, és az x irányban sincs a körengeréjon teer, következik, ogy p ζ és N xx zérus értékűek. A (.) egyenlet egoldását az x [0, ] intervalluban a következő alakban keressük: u ζ (x) = 4 a i V i (βx) + u ζ p ; u ζ p = p ζ /β 4 I s E s = 0, (.4) i= aol V i (βx) (i =,..., 4) az ún. Krülov-függvényeket jelöli ezek definícióját és tulajdonságait illetően lásd az A. függelék (A.) és (A.) képleteit. A egoldás iseretében a Q xζ nyíróerő illetve a M xx élnyoaték a Q xζ = I s E s d 3 u ζ dx 3, (.5a) d u ζ M xx = I s E s (.5b) dx képletekkel száítatók [44, 468-469.o.]. A éj középfelületének u ζ elozdulását két részfeladat szuperpozíciójából állítjuk elő. A következőkben feladatonként tekintjük át a pere- és illesztési feltételeket.. részfeladat. A éjat csak az f o és f erők terelik. A vonatkozó perefeltételek a Q xζ (x = 0) = f o f, (.6a) ψ ϕ (x = 0) = 0, (.6b) Q xζ (x = ) = 0, M xx (x = ) = 0 (.6c) (.6d) alakban íratók fel. Az illesztés elyén fellépő, és a.5. ábrán szeléltetett erők egyensúlyát a (.6a) egyenlet fejezi ki. f Q xζ (x 0) f o ζ Q xζ (x + 0).5. ábra. A körengeréj terelései az. jelű részfeladatra 9 x
.. A feladat egyenletei Mivel a fenti belső erők esetén páros függvény az u ζ (x), azaz fennáll az u ζ (x) = u ζ ( x) egyenlet, következik, ogy zérus értékű kell legyen a ϕ tengely körüli ψ ϕ (x = 0) szögelfordulás v.ö. (.6b). A.6c és (.6d) perefeltételek azt fejezik ki, ogy tereletlen a éj ásik vége.. részfeladat. A éjat az illesztés elyén csak az M o nyoaték tereli. Az erre az esetre vonatkozó perefeltételek az u ζ (x = 0) = 0, (.7a) alakban íratók fel. M xx (x = 0) = M o, (.7b) Q xζ (x = ) = 0, (.7c) M xx (x = ) = 0 A.6. ábra az illesztés elyén űködő élnyoatékokat szelélteti. A (.7b) perefeltétel a nyoatékok egyensúlyát fejezi ki. (.7d) M xx (x 0) M o M xx (x + 0) ζ.6. ábra. A körengeréj terelései a. jelű részfeladatra Mivel a fenti belső erők esetén páratlan függvény az u ζ (ξ), azaz fennáll az u ζ (ξ) = u ζ ( ξ) egyenlet, következik, ogy zérus értékű a ζ irányú elozdulás az x = 0 elyen lásd (.7a). A többi perefeltétel ne szorul különösebb agyarázatra. A részfeladatok szietriatulajdonságai iatt elegendő a körengeréjjal kapcsolatos egoldásokat az x [0, ] intervalluban egkeresni. Az f egoszló teer és az M o élnyoaték iseretlen paraéterként jelennek eg a részfeladatok egoldásaiban. Ezek a ennyiségek elvben a (.) illesztési feltételekből száítatók. A Krülov-függvények értelezését is kiasználva, a részletszáítások elvégzése után a egoldás enetét illetően lásd a függelék A.. és A.3. szakaszait kapjuk, ogy u ζ (x = 0) = ν o E ( ) 3 Re b s x cos β + cos β + sin β + sin β } {{ } α (f o f) = α (f o f) (.8a) 0
.. A feladat egyenletei és ψ ϕ (x = 0) = ν3 o E ( Re b s ) cos β + cos β + sin β sin β } {{ } κ M o = κm o. Az α és κ ennyiségeket a fenti egyenletek értelezik. A (.) illesztési feltételek és a fenti (.8) képletek egybevetéséből az u (R = ) = α (f o f), ϑ (R = ) = κm o b s (.8b) (.9a) (.9b) egyenletek fennállása következik. Később látni fogjuk, ogy a (.9b) egyenlet nelineáris egyenletként f értékét szolgáltatja ajd, íg a ásik, azaz a (.9a) egyenlet f o száítását teszi leetővé...3. A körleez alakváltozása, egyenletek saját síkban űködő terelésre A körleez saját síkjában űködő erők egyenletei síkfeszültségi feladat egoldásából száraznak. A pereein f konstans sugárirányú erőrendszerekkel terelt körgyűrű alakú leez esetén tengelyszietrikus viszonyok között az (R, ϕ, z) enger-koordinátarendszerben N R = A + B R, N ϕ = A B R, N Rϕ = N ϕr = 0 (.0a) (.0b) (.0c) a áro élerő (N Rϕ eltűnése a tengelyszietria következénye), aol az A és B állandók a perefeltételek függvényei. Töör körleez esetére A = f és B = 0. (.) A sugárirányú elozdulás az u = R b p E p [ A ( ν p ) B ] R ( + ν p) (.) forában írató fel A és B segítségével. Ennek egfelelően töör körleez esetén az illesztésnél u (R = ) = ( ν p ) f (.3) b p E p a sugárirányú elozdulás értéke. A fentieket illetően lásd pl.: [4, 9-97.o.]...4. A körleez alakváltozása, egyenletek a kiajlott egyensúlyi elyzetez tartozó állapotra Vezessük be az I p = b3 p, E p = E p ν p. (.4)
.. A feladat egyenletei jelöléseket. Megutatató az utóbbi jelölések felasználásával [4, 87-9.o.], ogy I p E p H H w ˆB N H = p z (.5) a saját síkjában is terelt leez leajlásának differenciálegyenlete. Az egyenletben álló síkbeli Nabla- és Laplace operátorok a H = R + R ϕ e ϕ, H = H H = R + R ϕ + R ϕ ódon íratók fel enger-koordinátarendszerben. Az egyenletben álló ˆB görbületi tenzort a [ ] BR B ˆB = w H H, ˆB = Rϕ = B ϕr B ϕϕ R w R ( R ódon értelezzük. Az egyenletben álló N H tenzor az élerők tenzora, aelynek [ ] NR N N H = Rϕ N ϕr N ϕ w ϕ ) R ( R ) w ϕ w + w R R R ϕ (.6a) (.6b) (.7a) (.7b) a átrixa. Az egyenletben álló ˆB N H szorzat a két tenzor belső (energia típusú) szorzata: ˆB N H = B R N R + B Rϕ N Rϕ + B ϕr N ϕr + B ϕϕ N ϕϕ. (.8) Az egyenletben álló p z körleez középfelületén űködő, arra erőleges erőrendszer sűrűsége. A jelen esetben ez zérus: p z = 0. Bevezetve a ρ = R/ dienzióentes változót a Laplace operátor a ˆ = ρ + ρ ρ + ρ ϕ, R e ˆ = H (.9) ódon írató fel. Továbbá bevezetve az N = N/f jelölést az élerőkre, valaint az R e F = f. (.0) I p E p dienzióentes terelési paraétert, a (.5) egyenlet a [ ( ) ( ˆ ˆ w w F N R ρ + N w w Rϕ + N ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ + )] w = 0 (.) ρ ϕ forára ozató. A egoldás iseretében a leezben szereplő valaennyi fizikai ennyiség egadató a w elozdulásező függvényében. A szögelfordulás, az élnyoaték, és nyíróerő értéke rendre a ϑ = dw M R = I pe p R e ( ) Q R = I p E p ˆ w Re 3 ρ képletekkel száítató. [ w ρ + ν p ρ N R w ρ = I pe p R 3 e dρ, (.a) ( w ρ + )] w, (.b) ρ ϕ ( ) ˆ FNR w (.c) ρ
.3. Pereén kétoldali éjerevítéssel ellátott körleez stabilitásvizsgálata.3. Pereén kétoldali éjerevítéssel ellátott körleez stabilitásvizsgálata.3.. A kritikus teret adó nelineáris egyenlet Figyelebe véve a (.0) és a (.) összefüggéseket, kapjuk, ogy N R = N ϕ =, elynek következtében a (.) egyenlet tengelyszietrikus viszonyok között a w + F w = 0 (.3) alakot ölti, aol = d dρ + d ρ dρ = d ρ dρ ( ρ d ) dρ. (.4) A (.3) egyenlet általános egoldása a w(ρ) = c Z + c Z + c 3 Z 3 + c 4 Z 4, (.5a) Z =, Z = ln ρ, Z 3 = J o ( Fρ), Z 4 = Y o ( Fρ) (.5b) alakban írató fel, aol c, c, c 3 és c 4 az integrációs állandókat, Z, Z, Z 3 és Z 4 pedig a lineárisan független partikuláris egoldásokat jelöli. A fenti és későbbi képletekben álló J n ( Fρ) és Y n ( Fρ), n = 0,,, 3,... az egész indexű Bessel-függvények szokott jelölése. A partikuláris egoldások deriváltjait illetően lásd a B. függelék képleteit. Mivel kis ρ-ra érvényes az Y o ( Fρ) π ln( Fρ) közelítés és J o (0) =, a egoldás korlátosságáoz a ρ = 0 elyen fenn kell állnia a c = c 4 /π (.6) egyenletnek. Ez az elozdulásező vonatkozásában azt jelenti, ogy w(ρ) = c + c 4 [Y o ( Fρ) ] π ln( Fρ) + c 3 J o ( Fρ). (.7) A következőkben kiasználjuk a jól isert [45] x J (x) = J (x) + J o (x) és x Y (x) = Y (x) + Y o (x) (.8) összefüggéseket, valaint a Z i partikuláris egoldások deriváltjait adó (B.) (B.4) képleteket. Az élerőt adó (.c) képletbe elyettesítve kapjuk, ogy Q R R 3 k I E = d dρ ( + F ) w = c 4 π F ρ. (.9) Mivel zérus a Q R élerő eredője az R = ρ sugarú körön, a R 0 a vonatkozó egyenletből c 4 = 0 és így πr Q R = 4c 4 f = 0 (.30) w(ρ) = c + c 3 J o ( Fρ) (.3) alakú a egoldás. Ne sérti az általánosságot, a a c konstans értéket zérusnak választjuk ezzel valójában a leez elvben atározatlan z irányú erevtestszerű ozgását írjuk 3
.3. Pereén kétoldali éjerevítéssel ellátott körleez stabilitásvizsgálata elő. A fennaradó integrációs konstansokat a ρ = elyen előírt illesztési feltételekből száítatjuk. A (.9b) egyenlet szerint ϑ (ρ = ) = κ M R (ρ = ). (.3) Itt a szögelfordulást a (.a) és a (B.3b) képletek alapján a ϑ (ρ = ) = c 3 FJ ( F) (.33) alakban íratjuk fel. A ajlítónyoaték száításánál figyelebe véve a (.b) egyenletet és a partikuláris egoldások deriváltaival kapcsolatos (B.3) összefüggéseket a ajlítónyoatékra az M R (ρ = ) = c 3 I p E p R e [ ( ν) FJ ( F) FJ o ( ] F) (.34) kifejezést kapjuk. A (.3), (.33) és (.34) képletek egybevetéséből a FJ ( F) κ I [ pe p ( ν) FJ ( F) FJ o ( ] F) = 0 (.35) nelineáris egyenlet adódik a kritikus teer egatározására..3.. Eredények azonos anyagú és vastagságú szerkezeti eleekre A továbbiakban feltételezzük, ogy azonos a körengeréj és a körleez anyaga és vastagsága azaz ogy E = E p = E s, ν = ν s = ν p, és b = b s = b p. Ha ezt kiasználjuk a (.3) képletekben, továbbá a felasználjuk a κ (.8b) alatti értelezését akkor a (.35) egyenlet a FJ ( F) ν 3 o ν b cos β + cos β + [ ( ν) FJ ( F) FJ o ( ] F) = 0 sin β sin β (.36) alakra ozató. Figyelebe véve, ogy β = ν o b, a fenti egyenlet egoldásaként adódó dienzióentes F cr kritikus teer rögzített ν ellett, csak a / és a b/ dienzióentes viszonyszáok függvénye. Továbbiakban a cr index a teerez tartozó kritikus érték jelölésére szolgál. Ennek f o I p E p egfelelően F o, f, f o kritikus értékeit rendre F o cr, f cr, f o cr jelöli, aol F o = Re a dienzióentes külső teer. Tegyük fel, ogy egoldottuk a fenti egyenletet, azaz iserjük F cr és f cr értékét. A (.9a) és (.3) egyenletek egybevetése alapján fennáll az egyenlet. Következik innen, ogy ( ν) b f cr E = α(f o cr f cr ) (.37) f o cr f cr = F o cr F cr = + ν ν o Re b cos β + cos β + sin β sin β. (.38) 4
.3. Pereén kétoldali éjerevítéssel ellátott körleez stabilitásvizsgálata fo cr Fo cr Nyilvánvaló, ogy az f cr = F cr tört rögzített ν ellett, csak a / és a b/ dienzióentes viszonyszáok függvénye. Ezt a ányadost, int függvényét a.7. ábra b szelélteti és ν különböző rögzített értékei ellett. F o cr F cr a. ν = 0.5.4 F o cr F cr b. ν = 0.3.4.. 0. 0.4 0.6 0.8 0. 0.4 0.6 0.8 F o cr F cr c. ν = 0.45.4. 0. 0.4 0.6 0.8 b = 0. ; b = 0.075 ; b = 0.05 ; b = 0.05.7. ábra. A F o cr /F cr ányados, int / függvénye, különböző b/ és ν értékekre Merevítetlen körleez kritikus terelésére és dienzióentes kritikus terelésére vezessük be a f o cr ( = 0) = f of cr és F o cr ( = 0) = F of cr (.39) jelöléseket. Nyilvánvaló a fentiek alapján, ogy az f o cr f of cr = F o cr F of cr (.40) tört ugyancsak a / és a b/ dienzióentes viszonyszáok függvénye. Fortran 90 forráskódú progra készült a (.36) alatti nelineáris egyenlet F cr egoldásának száítására és f o cr, f of cr, F o cr, F of cr kritikus terek egatározására. A kapott száítási eredényeket a ν 0.5, 0.3 és 0.45 értékeire a.8.a., b. és c. ábrák szeléltetik. Leolvasató az ábrákról ogy a agasság növelésével jelentősen növekszik kezdetben a kritikus teer. A függvény asziptotikus lefutású, vagyis a növelésének egy idő után ár nincs atása a kritikus teer értékére. A nelineáris egyenletben szereplő κ és az F o száítására szolgáló összefüggésben álló 5
.3. Pereén kétoldali éjerevítéssel ellátott körleez stabilitásvizsgálata α a viszonyszá függvénye. Ha a éj érete a végtelenez tart, akkor li α = li ( ν o Re b s ( ) Re E li κ = li νo 3 E b s ) 3 cos β + cos β + sin β + sin β cos β + cos β + sin β sin β = ν o E b s = ν3 o E ( Re b s ( Re b s ) 3, (.4a) ) b s. (.4b) a két ennyiség atárértéke. Az ezen atárértékekkel száolt kritikus teer értékét vízszintes szaggatott vonal jeleníti eg a.8. ábrán. F a. ν = 0.3 o cr 5 F of cr 4 3 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 F o cr F of cr b. ν = 0.5 5 4 3 F o cr F of cr c. ν = 0.45 5 4 3 0. 0.4 0.6 0.8 0. 0.4 0.6 0.8 b = 0. ; b = 0.075 ; b = 0.05 ; b = 0.05.8. ábra. A F o cr /F of cr ányados, int / függvénye, különböző b/ és ν értékekre A (.9) egyenletek a pereenti sugárirányú elozdulás és a peregörbén egoszló erőrendszer sűrűsége, valaint a szögelfordulás és peregörbén egoszló erőpárrendszer sűrűsége közötti kapcsolatot fejezik ki. Az összefüggések alapján a körleezt erevítő körengeréj egy a pereen egoszló nyoott rugóval és egy csavarrugóval elyettesítető. Az ilyen típusú egtáasztást a.9. ábra szelélteti 6
.3. Pereén kétoldali éjerevítéssel ellátott körleez stabilitásvizsgálata f o D κ f o D α A lineáris rugókarakterisztikát leíró.9. ábra. Rugókkal egtáasztott körleez f o f = k α u ζ, M o = k κ ϑ (.4) képletekben k α = α a úzásra, íg k κ = κ a csavarásra vonatkozó rugóerevség..3.3. Eredények eltérő tulajdonságú szerkezeti eleek esetére Aennyiben különbözik a körleez és az őt erevítő körengeréj anyaginősége vagy vastagsága, a (.35) egyenletet kell felasználni. Ilyenkor a kritikus teerre kapott eredények a b és viszonyszáokon kívül az anyagok rugalassági odulusainak Es E p viszonyszáától, valaint a falvastagságok bs b p viszonyszáától is függetnek. Az eltérő anyaginőségű szerkezeti eleek esetére a.0. ábra szelélteti az eredényeket: F cr E s /E p = 0.5,..., 5 0 5 E s /E p = 0.5 E s /E p = 0.5 E s /E p = E s /E p = 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5.0. ábra. A erevítés anyagának atása Az ábra az F cr dienzióentes teret szelélteti a viszonyszá függvényében, rögzített ν és bs b p = ellett az Es E p viszonyszá különböző értékeire. A erevítetlen körleezzel való jobb összeasonlítatóság érdekében a függőleges tengelyen F cr szerepel F o cr elyett, így a diagraon feltüntetett eredényekben nincs benne a éj (.8a) összefüggéssel leírt atása a leez síkjában űködő erőkre. A pereén szabad, valaint a pereén az elfordulást és az axiális ozgást egakadályozó táaszú körleez (sugárirányú ozgást egengedő befogás) kritikus terelését vízszintes szaggatott vonalak jelzik. Jól látszik, főleg a leeznél lágyabb anyagú erevítő éj esetén ogy kis éjagasságok esetén a szerkezet kritikus tere a szabad leezez tartozó érték közeléből indul: A agasság növekvő értékeivel egy darabig együtt nő az F cr kritikus teer is. Egy bizonyos érték felett azonban asziptotikus lesz a kritikus teret adó görbe. 7
.4. Pereén egyoldali éjerevítéssel ellátott körleez Az asziptota inden esetben kisebb a befogott leez kritikus terénél és annál jobban egközelíti a befogott körleezez tartozó értéket, inél nagyobb az Es E p ányados, azaz inél erevebb a körengeréj anyaga a leezez képest. A szerkezeti eleek egyásoz viszonyított vastagságának atását a.. ábra ivatott szeléltetni. A diagra függvényében szelélteti F cr -t, rögzített ν és Es E p = ellett különböző bs b p arányokra. Jellegét tekintve az előzőöz asonló a görbe lefutása, de a vastagságok viszonyszáának jelentősen nagyobb értékű a atása. Nagy agasságú és vastag éjak esetén a erevített leez kritikus terelése közel esik a pereén befogott leezez tartozó kritikus értékez. F cr b s /b p = 0.5,..., 5 0 5 0 b s /b p = 0.5 b s /b p = 0.5 b s /b p = b s /b p = 0. 0. 0.3 0.4 0.5.. ábra. A leez és éj vastagságának atása.4. Pereén egyoldali éjerevítéssel ellátott körleez.4.. A feladat isertetése, a körengeréj egyenletei A vizsgált körleezt oly ódon is leet erevíteni, ogy a erevítő körengeréj peree csatlakozik a körleez külső pereéez, azaz a éj csak a leez középfelületének egyik oldalán elyezkedik el. Az elrendezést a.. ábra szelélteti. f o b p b s R ζ z x.. ábra. Geoetriai és terelési viszonyok A szerkezetet az előző szakasz.4. ábrájáoz asonlóan két részre szedjük szét és külön-külön tekintjük a körleez, valaint a körengeréj alakváltozását. A leezre vonatkozó egyenletek ne változnak az előző feladatoz képest. Ai a körengeréjat illeti, az illesztés elyéez kötődő feltételek nyilvánvalón változnak ajd. 8
.4. Pereén egyoldali éjerevítéssel ellátott körleez A körengeréj elozdulásezejére vonatkozó általános egoldást ost is a (.4) egoldás szolgáltatja. A teljes egoldást, asonló ódon, int az előző esetben, két feladat szuperpozíciójából kapjuk eg. A két részfeladat perefeltételeit az alábbiak részletezik:. részfeladat. A éjat csak az f o és f tereli. A vonatkozó perefeltételek a Q xζ (x = 0) = f f o, M xx (x = 0) = 0, Q xζ (x = ) = 0, M xx (x = ) = 0 (.43a) (.43b) (.43c) (.43d) alakban íratók fel. Az összefüggésekben szereplő fizikai ennyiségeket a.3. ábra szelélteti. f f o ζ Q xζ (x + 0).3. ábra. A körengeréj terei az. jelű részfeladatra. részfeladat. A éjat ez esetben csak az M o nyoaték tereli. A vonatkozó perefeltételek a x Q xζ (x = 0) = 0, M xx (x = 0) = M o, Q xζ (x = ) = 0, M xx (x = ) = 0 (.44a) (.44b) (.44c) (.44d) alakban íratók fel. Az ezen részfeladatoz tartozó erőatásokat a.4. ábra szelélteti. M o M xx (x + 0) ζ.4. ábra. A körengeréj terei a. jelű részfeladatra x 9
.4. Pereén egyoldali éjerevítéssel ellátott körleez Ha ne szietrikusan elyezkedik el a körengeréj a körleez középsíkjára nézve, akkor ne asználatók fel a egoldás során a kineatikai jellegű a (.6b) és (.7b) egyenletek. Ezek elyett dinaikai ennyiségekre kell előírást tenni lásd a (.43a) és (.44a) összefügéseket. Figyelebe véve az elozdulásező (.4) alatti alakját, a fizikai ennyiségek száítási képleteit és a Krülov-függvények értelezését a részletes száítások az A.4. függelékben találatók az és cos (β) cos (β) u ζ (x = 0) = M cos (β) + cos (β) β o + I s E }{{ s } κ sin (β) sin (β) + (f cos (β) + cos (β) β 3 o f) (.45a) I s E }{{ s } α sin (β) sin (β) ψ ϕ (x = 0) = M o + cos (β) + cos (β) βi s E }{{ s } κ cos (β) cos (β) + (f cos (β) + cos (β) β o f) (.45b) I s E }{{ s } α eredényt kapjuk az illesztés elyén, aol az α, α, κ és κ skalárokat a fenti egyenletek értelezik. Vegyük észre, ogy jelen esetben ne válnak szét az egyes részfeladatok egoldásai, azaz egyes résztereinek atása van ind a sugárirányú elozdulásra, ind pedig a szögelfordulásra..4.. A körleez kritikus terét adó nelineáris egyenlet A körleezre változatlanul érvényesek a.. szakaszban isertetett összefüggések, viszont agát a kritikus teret az előző esettől eltérő ódon kapjuk eg. Tekintettel a (.) illesztési feltételekre, a sugárirányú elozdulás (.3) száítási képletére, a dienzióentes F értelezésére, továbbá bevezetve az ˆα ( ) I ˆα = α p E p és λ = bp Re jelöléseket, a (.45) alatti két egyenlet a (+ν) = α I p E p R e, λf = κ M R (ρ = ) + ˆα (F o F) ϑ (ρ = ) = κ M R (ρ = ) + ˆα (F o F) (.46a) (.46b) alakba írató át. A körleez elozdulásezejének egoldására változatlanul érvnyesek a.3.. szakaszban ondottak a (.3) képlettel bezárólag. Eszerint w(ρ) = c + c 3 J o ( Fρ), (.47) aol a c értéke isét nullának választató. A fennaradó c 3 integrációs konstanst a ρ = elyen előírt (.46) illesztési feltételekből száítatjuk. 0
.4. Pereén egyoldali éjerevítéssel ellátott körleez A (.46) egyenletrendszerből F o eliinálása után kapjuk, ogy ( ) ˆα ϑ (ρ = ) = κ κ M R (ρ = ) + λ ˆα F. (.48) ˆα ˆα Egybevetve a (.33) és (.34) képletekkel a c 3 = λ ˆα ˆα F FJ ( ( ) ˆα F) + κ κ Ip E p ˆα Re [ ( ν) FJ ( F) FJ o ( F) ] (.49) egyenlet adódik a fennaradó c 3 konstans száítására. A szerkezet kritikus terelését akkor kapjuk, a a w(0) elozdulás adott terelésre a végtelenez tart [46]. Mivel a (.47) elozdulásezőben szereplő J o korlátos, a c 3 konstans értékét kell egvizsgálnunk. Ezen tag végtelenez tart, a zérus a képletben szereplő kifejezés nevezője..4.3. Nuerikus eredények Száítógépi progra készült a F cr kritikus terelés egatározására. A szerkezetre ató F o cr tényleges terelés kritikus értékének egatározására a (.46) egyenletrendszer szolgál. A kapott száítási eredényeket a.5. ábra szelélteti. A száításokat bp = bs = 0.0, E p = E s = 00 GPa, ν = 0.3 és = 50 adatok ellett végeztük. Leolvasató az ábráról ogy a agasság növelésének egy bizonyos érték felett ár nincs atása a kritikus terelés értékére. F o cr b/ = 0.0 6 4 0 8 6 4 0 0.05 0. 0.5 0. 0.5 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5.5. ábra. Kritikus terelés töör körleezre A.5. ábrán két görbe szerepel. Egyik a vizsgált egyoldali erevítéssel erősített körleez, íg a ásik az előző szakaszban tárgyalt, a leez középsíkjára szietrikus elrendezésű körengeréjjal erevített körleez kritikus terelését ábrázolja.
.4.4. A fejezet eredényeinek összegezése.4. Pereén egyoldali éjerevítéssel ellátott körleez Összangban az.3.. Pereén körengeréjjal kétoldalúan (egyoldalúan) erevített körleez tengelyszietrikus stabilitási feladata alszakaszban egfogalazott. Célkitűzéssel: Levezettük a kritikus terelést adó zárt alakú nelineáris egyenlet(ek)et, kiasználva a körleez és a éj középfelületének etszésvonalán egkövetelt illesztési feltételeket, ind a kétoldalúan, ind pedig az egyoldalúan erevített körleez esetén lásd a (.35) és (.49) összefüggéseket. Nuerikus száításokat végeztünk a dienzióentes kritikus teer egatározására. Ezeket többek között a.8.,.0.,.. és.5. ábrák szeléltetik. A száítási eredények szerint ne érdees a éj agasságát egy bizonyos korlát fölé növelni, ert a korlátot egaladó agasságnövekedés nincs atással a kritikus teer értékére. Megatároztuk a szietrikus elrendezésű éjat elyettesítő rugalas táaszok jellezőit, azaz a vonatkozó rugóállandókat lásd a (.8) és (.9) összefüggéseket.
3. fejezet Körgyűrű alakú leez tengelyszietrikus kiajlása 3.. A vizsgált feladat beutatása 3... A szerkezet geoetriája, kényszerek A 3.. ábrán látató szerkezet etszeti képe, ely egy körgyűrű alakú leezből és a külső pereére rögzített erevítő körengeréjból áll. A jelen feladat geoetriája a. fejezetben tárgyalt szerkezettől annyiban tér el, ogy R i sugarú koncentrikus lyuk találató a körleezben. A terelés szintén változatlan. f o b p R i b s R ζ z x 3.. ábra. Geoetriai és terelési viszonyok A körgyűrű alakú leez belső peree leet szabad, int az a 3.. ábrán látató és különféleképpen egtáasztott axiális- vagy sugárirányban, illetve elfordulás ellen biztosított. A 3.. ábra néány alkalazató kényszert szeléltet. R i R i R i R i a. b. c. d. 3.. ábra. Kényszerek a belső pereen 3