ELEKTROMÁGNESSÉG (A jelen segédanyag, az előadás és a számonkéés alapja:) Hevesi Ime: Elektomosságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 7
ELEKTROMOSSÁGTAN A. Elektosztatikai té vákuumban. Az elektomos töltés. Coulomb tövénye. Az elektomos té. Gauss tétele 3. Az elektomos potenciál B. Elektosztatikai té anyag jelenlétében 4. Elektomos té vezető jelenlétében 5. Elektosztatikai té szigetelő (dielektikum) jelenlétében C. A stacionáius áam (egyenáam) 6. Áam és ellenállás 7. Egyenáamú áamköök D. A stacionáius áam és a mágneses té 8. Mágneses té vákuumban 9. Mágneses té az anyagban. Töltött észecskék mozgása elektomos és mágneses tében E. Az elektomos áam szilád testekben, folyadékokban és gázokban. Az elektomos áam fémekben és félvezetőkben. Kontakt- és temoelektomos jelenségek 3. Az elektomos áam folyadékokban 4. Az elektomos áam gázokban
F. Az időben változó elektomágneses té 5. Az elektomágneses indukció 6. A Maxwell-egyenletek 7. Elektomágneses ezgések 8. Váltakozó áamok 9. Az indukció és az áam mágneses hatásának néhány technikai alkalmazása. Elektomágneses hullámok 3
A. AZ ELEKTROSZTATIKAI TÉR VÁKUUMBAN 4. AZ ELEKTROMOS TÖLTÉS. COULOMB TÖRVÉNYE Elektomos alapjelenségek. Boostyánkő-hatás - elektomos hatás - papídaabokat vonzza! - i.e. 6: milétoszi Thales - boostyánkő: elekton (göög)
. Kétféle (+ és-) elektomos töltés 5 töltését pozitív -nak nevezték el 3. A dözsölés eedménye: a kétféle (+ és-) elektomos töltés szétválasztása
4. Fémúd is elektomos töltése tesz szet dözsölés hatásáa 6 Fém (vezető) údban az elektomos töltés könnyen mozog! éintkezés esetén átmehet az egyik testől a másika! vezetők-szigetelők 5. Az elektoszkóp és az elektométe (működésük magyaázata!)
Kíséletek elektoszkóppal 7 (a) (b) (c) - a töltés átvihető (ismételve: nő a kitéés!) - ellentétes előjelű töltések vezetők-szigetelők közömbösítés! a kétféle (+ és -) töltés azonos mennyiségű éintkezésko a töltések szétválnak, de az össztöltés állandó maad!
Az elektomos megosztás 8 (a) (b) így az eedetileg semleges vezető töltései a megosztással szétválasztott egyik fajta szétválaszthatók! töltés elvezethető, így a vezető töltött lesz
Megosztáson alapuló, egyszeű elektosztatikus töltés-geneáto az elektofo 9 - a feltöltött szigetelő nem veszíti el töltését, így a művelet ismételhető; ilymódon tetszőleges mennyiségű töltés összegyűjthető! - a töltések összegyűjtésével felhalmozható többletenegia az elektosztatikus eők ellenében végzett munka eedménye! Az elektomos megosztással ételmezhető:
Elektonikus méőműsze a töltés méésée - az előadás elektosztatikai kíséleteinek jelentős észében a póbagolyó töltését nem a koábban má ismetetett, elektomechanikus elvű elektométeel hatáozzuk meg, hanem az ábán látható elektonikus elektométe kimenetée kötött voltméőől olvassuk le - ennek okai: - sokkal ézékenyebb (nincs súlódás!) - kvantitatív - a polaitást közvetlenül mutatja Működése: - a K kapcsoló nyitásával megszüntetjük P földelését (így lesz a készülék méőkész) - ha az M mintavevő golyót a P fémpohá belsejéhez éintjük, akko annak teljes (!) töltése a poháa keül (ld. később: töltések vezetőn) - ez a töltés a C C P kapacitást (C 3 (C M ill. C P ) miatt) -az M -en tipikus, kv -os feszültségek (földhöz képest!) helyett- a műveleti eősítő számáa biztonságos, V -os feszültsége tölti fel - ha az e feszültség (és ezzel a U C töltés) méésée szolgáló feszültségméőt közvetlenül a C -e kötnénk, akko ögtön kisütné azt! ennek megelőzésée szolgál a FET bemenetű elektométe műveleti eősítő, amely kimenetén (esetünkben -szeese beállított feszültségeősítés mellett) aká ma -es áamot is kiadhat a feszültségméő számáa úgy, hogy eközben bemenete mindössze fa (ekkoa a speciális, elektométe műveleti eősítő ún. bias áama) áammal süti ki a C C P kapacitást - (a MΩ-os védőellenállás (µa max. bemenő áamnál) kv -ig védi az eősítőt)
Az elektomos töltés () (a) Az elektomos töltés az anyag egyik alaptulajdonsága Atomok: - mag ( -5 m): p +, n - e - -felhő ( - m): e - - abszolút étékben megegyeznek elektomos töltése semleges - - e - felvétellel vagy leadással: ion; össztöltése Vezetők: - elektomos töltései elmozdulhatnak elektomos tében (Fémek szekezete: + ionokból álló kistályács és aa delokalizálódó e - -gáz) Szigetelők: szabad elektonok nincsenek bennük, atomjaik/molekuláik csak polaizálódhatnak, elektomos dipólussá válhatnak elektomos té hatásáa Ezzel az anyagszekezeti képpel az eddigi kíséletek (éintkezési elektomosság, megosztás, vezetés-szigetelés, stb.) magyaázhatók!
(b) Az elektomos töltés kvantáltsága pl. Millikan kíséletéből (ld. később!) következően: ± N e, itt: e elemi töltés, N: temészetes szám Minden létező töltés az e elemi töltés egész számú (amely lehet negatív is!) többszööse. (e azonban olyan kicsiny, hogy makoszkopikus vizsgálatokban a töltést (folytonos) fluidumnak tekinthetjük!) (c) Az elektomos töltés megmaadásának tétele Zát endszeben az elektomos töltések teljes mennyisége (azaz a pozitív és negatív töltések algebai összege) állandó. (Zát endsze: olyan endsze, amelynek hatáán töltések nem halad(hat)nak át) (+ és töltés keletkezhet és eltűnhet ugyan, de csak egyszee, pl. pákeltés, annihiláció) (d) Az elektomos töltés elativisztikusan invaiáns mennyiség Az elektomos töltés nagyságát különböző vonatkoztatási endszeekben méve mindig ugyanakkoa éték adódik.
Részecskék jele, töltése és tömege 3 észecske jele töltése tömege neve elekton e e m e 9, 3 kg poton neuton p +e m p,673 7 kg n m n,675 7 kg α-észecske α +e m α 6,697 7 kg kvak ±e/3, ±e/3 De kvakokat szabad állapotban soha nem észleltek!
Coulomb-tövénye (785) 4 Coulomb-féle toziós inga (gondoljuk végig a koabeli kíséleti nehézségeket: geom. szimmetia felhasználásával töltés-osztás, töltés-szivágás, stb.) F ~ F ~ F K pontszeű töltések (v. ponttöltések) esetée áll fenn egynemű töltések: > különnemű töltések: < F K ˆ
látszik: F F (vö. Newton III. töv.) 5 a) A ecipok négyzetes távolságfüggés ~ mekkoa a δ? F + δ Diekt kíséleti bizonyítékok: néhány % pontosság Indiekt kíséleti bizonyítékok: SOKKAL pontosabbak! Alapja: töltött, ües gömbben az elektomos eőhatás (téeősség) akko és csak akko zéus, ha δ Plimpton, Lawton (936): δ < 9 Williams, Falle, Hill (97): δ 6
6 b) A Coulomb-tövény évényessége különböző távolságoknál - a C.-töv. évényességét az ~ 5 m... 3 m tatományban tekinthetjük bizonyítottnak < -6 m az elmélet évényessége(?) (Nem tekinthető ponttöltésnek) > 3 m kíséleti ellenőzés hiánya (?) (de: δ esetén (kvantumtéelmélet): a foton nyugalmi tömege véges vákuumbeli fény (elektomágneses hullám) tejedési sebesség λ-függő lenne. Az elektomos töltés SI egysége coulomb (C), az SI -ben számaztatott egység! C As Nm C 9 F K ilyen egységekkel: K 9 elemi töltés: e,6-9 C C 6 8 elekton töltése C K ε 8,85 itt ε 4πε a vákuum pemittivitása (vagy dielektomos 4 π K N m állandója); ezzel: 4π F ε
Az elektomágnesesség elmélete szeint (ld. később!) K ill. ε a következő kapcsolatban áll a c vákuumbeli fénysebességgel: 7 K 4π ε 7 N A c ahol c a vákuumbeli fénysebesség, c 3 8 m/s Az elektomos töltés CGS-egysége önkényesen válasszuk: K F el. sztat. töltésegység cm 3/ g / s - El. sztat. töltésegység, g, cm, s: abszolút elektosztatikai egységendsze, másnéven elektosztatikai CGS-endsze C 3 9 el.sztat. töltésegység e 4,8 el.sztat. töltésegység Az elektomos eők szupepozíciójának elve - ahhoz, hogy egy több ponttöltésből álló (,,..., N ) ill. egy folytonos töltéselosztású endszenek egy ponttöltése (ábánkon a ) gyakoolt hatását kiszámolhassuk, a Coulombtövény nem elegendő!
8 - egy másik tövénye is szükség van, amely a következő kíséleti tapasztalat: két töltés közötti eőhatást más töltések jelenléte nem változtatja meg (vö. a Coulomb-tövény lineáis a.-kban) F a F a + F a + K + F an N i F ai N i K a ai i ˆ ai Töltésendsze által egy ponttöltése gyakoolt eő megegyezik a töltésendsze egyes töltései által külön-külön a ponttöltése gyakoolt Coulomb-eők vektoi összegével. Téfogati, felületi, vagy vonalmenti töltéseloszlás esetén: - Téfogatelem: dv d ezek a d töltéselemek má ponttöltésnek tekinthetők! - Felületelem: df d minde: Coulomb tövény - Vonalelem: dl d az eedő eő integálással megkapható!
Vessük össze egy H -atom potonja és elektonja közötti elektosztatikus és gavitációs eőket! 9 F g mem γ p 3,6 47 N F e 4π ε e 8, 8 N Fe F g 39,3 (mindkettő invez négyzetes távolságfüggésű, így től nem is függ) az elemi észecskék kölcsönhatásainak vizsgálatako az elektosztatikus eőkhöz képest a gavitációs eőket elhanyagolhatjuk! - viszont a kozmikus testek kölcsönhatásaiban a gavitációs eők a meghatáozók! Kölcsönhatások: Relatív eősség: Gavitációs kölcsönhatás: Gyenge k. 5 Elektomágneses k. 38 Eős k. 4
. AZ ELEKTROMOS TÉR. GAUSS TÉTELE Elektomos té (v. elektomos mező) - Távolhatás elmélete (a töltések közvetítő nélkül ézik egymás jelenlétét) - Közelhatás (Faaday) elmélete: a töltés elektomos teet hoz léte, és ez a té hat a másik töltése - EZ A HELYTÁLLÓ! - Az elektomos té fizikai ealitás, ugyanis enegiája, impulzusa van! A B Elektomos töltés elektomos té elektomos töltés ( ) (E) ( ) Kétféle feladat: a, adott töltéselosztás té meghatáozása b, adott téeősség töltése ható eő meghatáozása Teet létehozó töltés () Póbatöltés ( p ) (pontszeű, kis töltésű!) Az elektomos téeősség (E) - az elektomos teet a p (kicsiny) póbatöltéssel detektáljuk
Milyen mennyiséggel jellemezzük az elektomos (elektosztatikus) teet? Tapasztalat (Coulomb-tövénye): a (geometiai) té bámely (A, B, C,... ) pontjában a póbatöltése ható eő (F(A), F(B), F(C),...) egyenesen aányos p -vel (a póbatöltés nagysága) hányadosuk csak a tée jellemző! F (A) F (A)... p p E (A) F (A) E (A) p F (B) F (B)... p p E (B) F (B) E (B) p - Az E () elektomos téeősség jellemzi az elektomos teet! - Egysége (SI): N C F ( ) E( ) p ; E ( ) F( p ) Elektomos eők szupepozíciójának elve elektomos téeősségek szupepozíciójának elve E E i
Ponttöltések elektomos tee 3 a) Egy ponttöltés (Tetszőleges előjelű, p e:) E F p 4π ε p ˆ p 4π ε E 4π ε ˆ b, Több ponttöltés: (elektomos eők téeősségek szupepozíciójának elve:) E 4π ε N i i i i i
Folyamatosan eloszló töltés elektomos tee 4 (vö.: a töltés kvantált!) d λ dl σ df ρ dv töltéssűűség (vonalmenti) (felületi) (téfogati) λ dl σ df ρ dv d de 4π ε (itt az ˆ ˆ iányú egységvekto) E ˆ d 4π ε
Elektomos eővonalak 5 Az elektomos té szemléltetésée szolgálnak, de ennél többe alkalmatlanok: a té megadásához az E () függvény kell! - Eővonal (iányítást is jelölünk ajtuk): olyan göbék, amelyek (iányított) éintője minden pontjukban az ottani téeősség iánya. - sűűségük aányos a téeősséggel
Néhány egyszeű töltés(endsze) eővonalai: 6
- az elektosztatikus té eővonalai mindig a + töltésből indulnak, és a töltésekben végződnek 7 nincs a semmiben induló/végződő, sem pedig zát eővonal az elektosztatikai té övénymentes vektoté, foásai/nyelői a +/- töltések - az eővonalak sohasem metszik egymást - a ponttöltések általában NEM az eővonalak mentén mozognak! Elektomos eővonalak láthatóvá tétele A(z elnyújtott alakú) szigetelő szemcsék az elektomos tében -dielektomos polaizáció événdipólusokká válnak ezek beállnak a té iányába és láncokba endeződnek kiajzolják az eővonalakat!
Elektomos dipólus 8 - ellentétesen egyenlő töltések l távolságban: elektomos dipólus - ha hatását tőle távoli pontban vizsgáljuk, azaz l <<, akko: pontszeű dipólus p l Elektomos dipólmomentum def.: itt l a negatív töltésből a pozitívba mutató helyvekto SI egysége: C m (célszeű definíció, met ez hatáozza meg a pontszeű dipól teét, ill. az el. tének a dipóla gyakoolt hatását) - Az elektomos dipólus fontos töltésendsze, mivel (a pemanens- vagy az indukált polaizáció miatt) elektomosan semleges endszeekben (az atomok, molekulák is ilyenek!) igen gyakoi! Elektomos súlypont: i i s (analóg a tömegközépponttal (súlypont)) i (itt i egy efeenciapontból az i. töltésbe mutató helyzetvekto, s pedig a efeenciapontból az elektomos súlypontba mutató helyzetvekto) - Semleges töltésendszeben (pl. atom) a polaizáció miatt a + és töltések súlypontja gyakan nem esik egybe dipólus!
Dipólus elektomos tee 9 A dipólus elektomos teét célszeűen előszö az ún. Gauss-féle főhelyzetekben számítjuk ki, azután ezek alapján általánosítunk: a) az A pont a dipólushoz képest a Gauss-féle első főhelyzetben van (ld. ába!) - A téeősség a dipólustól távol ( >> l): az eők egyiányúak, ezét: ahol: + E 4π ε ( l / ) E A E + E E 4π ε ( + l / ) (közös nevező, >> l, p l kihasználásával adódik:) E A 4π ε p 3 b) a B pont a dipólushoz képest a Gauss-féle második főhelyzetben van (ld. ába!)
- a töltések távolsága a B ponttól azonos, így: E + E 4π ε + ( l / ) 3 - E B + és E B - a töltéseken átmenő egyenessel ugyanakkoa (Θ) szöget zának be, ezét az E B -nek l -e meőleges komponense zéus, vagyis E B iánya megegyezik -p iányával - E B nagysága pedig az ábáól láthatóan: E B E + cosθ 4π ε l / l + l ( / ) ( ) + / - ebből >> l, p l kihasználásával a keesett téeősség: E B 4π ε p 3 FONTOS: E 3 (fennáll a dipólustól tetszőleges (ögzített) iányban távolodva is!), azaz e gyosabban cseng le, mint a ponttöltés teének téeőssége ( E )
Tetszőleges helyzetű pontban: 3 - általános esetben a téeősség meghatáozása szellemesen visszavezethető a két gaussi főhelyzete (ezét volt édemes definiálni azokat!): - a B pontból bocsássunk meőlegest az AP egyenese, és az így kapott C metszéspontba képzeletben helyezzünk egy + és egy - töltést (azaz együttesen semmit)! - így a C -be tett + az A -beli - -val olyan dipólt alkot, amelye P az első főhelyzetben van, a C -be tett - a B -beli + -val pedig olyan dipólt, amelyhez képest P a második főhelyzetben helyezkedik el - az eedeti dipól p dipólmomentumából a P pont helyzete által meghatáozott CAB szög ismeetében kiszámolható a p és p, így a fenti eedmények felhasználásával a P -beli téeősség meghatáozható (Általános esetben, a dipólustól távol: E ( p) 3 p 5 3 4π ε ) - láthatóan -bámely ögzített iányban- ez is -3 szeint csökken a távolsággal!
Eőhatások dipólusok között 3 (egyiányú dipólok esete) l << F 4π ε 6 p 4 - ez vonzó eő (ui. a jobboldali dipólt a baloldali dipól pozitív töltése jobban vonzza, mint amennyie a -távolabb lévő!- negatív töltése taszítja) - ellentétes iányú dipólmomentumok esetén viszont: taszítás ( különböző momentumú dipólusok esetén: F ) 4 4π ε (egyiányú dipólok esete) - ellentétes iányú dipólmom. -ok között viszont: vonzás 6 p - ez taszító eő (a baloldali dipól mindkét töltése jobban taszítja a jobboldali dipólt, mint vonzza) p F ' 3p 4 4π ε Még gyosabban lecseng ( -el), mint a dipólus-töltés kölcsönhatás: F 4
A dipólusok által egymása gyakoolt eő nemcsak távolságuktól függ, hanem egymáshoz viszonyított helyzetüktől is! Nem centális eő! 33 Van de Waals eők - semleges molekulák között ható gyenge vonzóeők (mindig vonzó, met indukált dipóla hat!) - a biológiában igen fontos szeepük van, pl. a fehéjék -működésükhöz elengedhetetlen- konfomációs stabilitásának biztosításában Ezek eők a fentiek alapján ételmezhetők, távolságfüggésük meghatáozható: - a p dipólmomentumú () molekula polaizálja a () molekulát, p dipólmomentumot indukálva benne - minthogy a dipól tee -3 szeint cseng le, a () helyen a polaizáló téeősség: - az indukált dipólmomentum ezzel aányos: - a fentiek szeint két dipól kölcsönhatási eeje: p p 3 F ~ p p ~ 4 p 7 E p 3 tehát a fenti módon keletkező van de Waals eőke fennáll: F ~ p 7
Egyenletes töltéseloszlások által keltett téeősség 34 a) Végtelenül hosszú egyenes vonal mentén homogén módon, folytonosan eloszló töltés elektomos tee d λ dy (λ: lineáis töltéssűűség) d ˆd de 4π ε E 4π ε E πε λ x tehát: E ~ x - b) Végtelen kitejedésű síkon homogén módon, folytonosan eloszló töltés elektomos tee d σ df (σ: felületi töltéssűűség) - a satíozott csíkok teét az a) pontban má kiszámoltuk! - ennek felhasználásával: E σ ε
A téeősség nem függ a lemeztől való távolságtól! 35 A töltött lemez mindkét oldalán homogén az elektomos té! c) Két végtelen kitejedésű, páhuzamos síkon homogén módon eloszló, ellentétes előjelű töltések elektomos tee - a b) alatti eedményünkből, a szupepozíció elvének alkalmazásával kapható: a té a lemezek között homogén, kívül viszont zéus (síkkondenzáto!):
Ponttöltés elektomos tében 36 Ponttöltés mozgása homogén elektomos tében - konstans eő egyenletesen gyosuló mozgás (vö. hajítás gavitációs tében) F E a F m E m - példaként elekton (e, m e ) mozgását tágyaljuk, homogén elektomos tében (pl. síkkondenzátoban) - ha az elektont v kezdősebességgel lőjük be a koo. sz. kezdőpontjában, az el. tée meőlegesen (ld. ába; vö. vízszintes hajítás): v E a, x a y e E m e e E x ( t) v t, v y t) a t t m (, e y e E m ( t) a t t e x(t) és y(t) fenti kifejezéséből az időt eliminálva adódik a pálya egyenlete:
e E y ( x) x m v paabolapálya! e 37 - gyakan így téítik el az elektonsugaat (pl. katódsugá oszcilloszkópban) Millikan kísélete (9) Előzmény: Helmholtz ( 88): az elektolízis Faaday-tövényeiből ha az anyag atomos, akko a töltés is az, van legkisebb elemi töltés: F 9 e,6 C (itt: F a Faaday-állandó, N N A az Avogado-szám) A - de ez sok ion töltésének átlagát adja, nem diekt méése egy ion töltésének! - a polasztással nyet olajcseppek -a dözsölés miatt- elektomosan töltöttek! - ha szükséges, a cseppek töltése megváltoztatható a öntgenfoás bekapcsolásával (a öntgensugá ionizálja a levegőben lévő molekulákat, amelyek a cseppekkel ütközve megváltoztatják azok töltését) - a síkkondenzátoa kapcsolt V feszültség a kondenzátoban homogén el. teet hoz léte, amely a cseppeke a töltésüktől függő eővel hat -így a cseppeket lebegtetni ill. mozgatni lehet; ilyen viselkedésükből töltésük megállapítható!
- lebegtetés helyett (a Bown-mozgás okozta nehézségek elkeülésée) olyan téeősséget választunk, amelynél a csepp mozog (mondjuk, felfelé) 38 - az elektosztatikus eő és a nehézségi eő eedőjének hatásáa a csepp addig gyosul, míg a -Stokes-tövénnyel számolható- közegellenállás azt ki nem egyenlíti - az egyenletes mozgás v sebességée fennáll: 4π E 3 l 3 ( ρ ρ ) g 6 π η v - a kiszámításához szükség van még a csepp sugaáa, ami azonban a fényelhajlás és a Bown-mozgás miatt a mikoszkópon nem leolvasható - ezét az elekt. teet kikapcsolva a cseppet esni hagyjuk, amelynek állandó v sebességée: 4π 3 3 ( ρ ρl ) g 6 π η v - az ebből kifejezett -et beíva a két egyenlet összeadásával nyet 6π η ( v + v E kifejezésbe, a csepp töltése meghatáozható )
M. változtatta: V : 7... 5 V ( mindig édemes!) :,5... 6 µm p (a levegő nyomása):... 5 Pa 39 Minden mét töltés-éték (a kíséleti hibán belül) az e,6-9 C egész számú többszööse volt! Dipólus homogén elektomos tében F E - a töltések absz. étéke azonos a dipólusa ható eedő eő zéus! - a dipólusa ható fogatónyomaték: M (l x F) (l x E) M p E Kísélet: a dipóla fogatónyomaték hat! magáa hagyva fogási ezgő mozgást végez! d ϕ p E Θ p Esinϕ d t α ϕ (itt α: szöggyosulás kis kitéésnél) Θ
Θ T π peiódusidővel leng (a súlódás miatt temészetesen csillapodik!) p E 4 vezető úddal ugyanez: megosztás dipólus ez is beáll a té iányába! Dipólus potenciális enegiája elektomos tében - a dipóla ható fogatónyomaték: M p E sin ϕ - a dipólus ϕ ϕ elfogatásako a külső eők munkája: W ϕ ϕ M dϕ ϕ ϕ pe sinϕ dϕ pe (cosϕ cos ) ϕ ha az elfogatást lassan végeztük (azaz közben nem változott (zéus maadt) a endsze kinetikus
enegiája), akkoa a fogatás közben a külső eők W munkája a endsze U potenciális enegiáját (konzevatív a té!) növelte: U U W 4 - a dipól U -hoz tatozó ϕ helyzetéből (ha van ilyen!) kiindulva: U ϕ Uϕ + Wϕ ϕ W ϕ ϕ - tudjuk, hogy a potenciális enegia csak egy additív konstans eejéig meghatáozott; válasszuk e konstanst úgy, hogy az Uϕ függvény egyszeű legyen: minthogy a W első tagja ϕ π esetén eltűnik ( cos ( π ) ), válasszuk e helyzetet a potenciál zéushelyének, U! π ezzel a választással: U p E cos ϕ p E - e kifejezésnek ϕ a van minimuma a dipólus igyekszik befodulni a té iányába! Dipólus inhomogén elektomos tében - a töltéseke ható eők: F + E F - - E - ezeknek megfelel: eőpá: (- E, + E) eő: F (E - E) fogatónyomaték + eő általában foogva gyosul a nagyobb téeő felé
Speciális eset: 4 - a téeősségek (E, E ) iánya a + és a - helyén egyenlőnek tekinthető - tegyük fel: E független y és z-től! a téeősség (és a téeősség változásának) iányában (x): d E E l cosϕ d x E (kis l-e) d E F x d x F x d E d x ( E' E) l cosϕ p cosϕ p x d E d x ; ha ϕ, akko: d x F x d E p Általános eset: l (l x, l y, l z ) E E E - ekko a E l x + l y + l z x y z E x közelítésben: F E p +... x vagyis: ( F ( p ) E p gad )E ahol a p fomális jelölés ezt takaja : p px + p y + pz x y z
Az elektomosan töltött test vonzza a töltetlen vezetőt és szigetelőt (mélyebb ételmezés) 43 - a fentiek fényében világos, hogy a megosztással vagy polaizációval létehozott dipólust csak az inhomogén el. té vonzza (és az MINDIG vonzza, sohasem taszítja, mivel a dipól iányát a té hatáozza meg, és a töltések tee a töltésektől távolodva mindig csökken!) a) fémgolyó (megosztás) b) ill. bodzabélgolyó (polaizáció) Az elektomos fluxus (Φ E ): (vulgáisan, dimenziótól eltekintve: a felületen átmenő E -vonalak száma ) A fluxus bámely vektotée definiálható így (pl. mágneses indukcióa)! a) ha a felület(elem) meőleges a (felületelemen) homogén E elektomos tée:
ill. (oldalnézet) 44 ilyenko: Φ E E f b) ha a felület(elem) nomálisa Θ szöget zá be a(felületelemen) homogén E téel: ill. oldalnézetben: Φ E E n f (f a felületelem teülete) azaz: Φ E E f cos Θ, másképpen: Φ E E f (itt f az ún. felületvekto ) (felületvekto def.: iánya a felületelem nomálisa, nagysága a felületelem teülete) - az elektomos fluxus SI-egysége: N m C
c) tetszőleges felület és elektomos té esetén: 45 f, f, f N : a felület egy (N elemű) beosztása (olyan legyen, amelye (előít pontossággal) a f i -ken belül E konstans, és a f i -k sík felületelemek!) Φ E E i f i f esetén: Φ E E d f f d) tetszőleges, zát felület és tetszőleges elektomos té esetén: Megállapodás: df mindig kifelé mutat a zát téészből (külső nomális)
Φ E f E d f 46 a fentiek szeint: - negatív fluxus: a téfogatba belépő fluxus - pozitív fluxus: a téfogatból kilépő fluxus Példa: f : több eővonal lép ki, mint be > Φ E > f : több eővonal lép be, mint ki < Φ E < f 3, f 4 : ugyanannyi eővonal lép be, mint ki Φ E Vegyük észe: itt a téfogatból nem indul ki, és abban nem végződik eővonal ( nincs benne elektomos töltés!), VAGY: a téfogatból kiinduló és abban végződő eővonalak száma egyenlő ( )
A Gauss-tétel 47 Számoljuk ki az elektomos téeősségfluxust egy ponttöltés köé ajzolt, sugaú gömbfelülete! E 4π ε - a felületen: - E minden pontban meőleges a gömbfelülete (E df), ezét: Φ E E d f 4π ε df (4π ) 4π ε ε Φ E tehát független a gömb sugaától, csak attól függ, mekkoa töltés van a gömbfelületen belül! Most bebizonyítjuk, hogy a kapott összefüggés tetszőleges, zát felülete is fennáll: a) Egyetlen ponttöltés esetée: - tetszőleges felület beosztását tetszőlegesen finomítva (úgy, hogy a legnagyobb felületelem átméője is -hoz tatson!), a beosztások felületelemei egye jobban közelíthetők kis síklapokkal - egy ilyen kis síklap fluxusa (láttuk ui., hogy homogén tében lévő síklap fluxusa a síklap tée meőleges síka való vetülete teületének szozata a téeősséggel) a beosztás finomítása közben egye jobban megközelíti annak a gömbfelület-daabnak a fluxusát, amely (akáhol) átmegy
a kis síklapon, és amelyet a töltésből kiinduló, a kis síklap hatáán végigfutó félegyenesek vágnak ki a gömbfelületből (ld. ába!) - emiatt ilymódon tetszőleges F felület minden beosztásához hozzáendelhető a ponttöltés köül (általában különböző sugáal) ít gömbfelület-daabok egy halmaza, amelynek daabjai együttesen (egymás közti átfedés nélkül) kiteszik azt az Ω F tészöget, amely alatt a felület a pontból látható, és amely a beosztás finomításával egye jobban megközelíti tetszőleges felületünket, fluxusa pedig annak fluxusát - egyetlen ilyen F G gömbfelület-daab fluxusa (a koábbiak szeint) független a sugaától; a töltésen kívül csak attól függ, mekkoa ΩF G tészög alatt látszik FG a pontból: df Φ E E d f dω Ω FG 4πε 4πε πε F G F G 4 F G - mindezek alapján a téeősség tetszőleges F felülete vett fluxusa a teet létehozó töltésen kívül csak attól függ, mekkoa Ω F tészög alatt látható az F felület a ponttöltés helyéől, és e fluxus étéke: Φ Ω E F (ezt a észeedményt édemes megjegyezni!) 4πε - a töltést köülvevő bámely zát felület tészöge a pontból 4π, így az aa vett téeőfluxus /ε, vagyis ezzel bebizonyítottuk, hogy tetszőleges zát felülete is fennáll: Φ E d f E ε 48 b) Fenti (besatíozott) edményünkből következik (tekintettel koábbi, a zát felület felületvektoának iányáa vonatkozó konvenciónka), hogy tetszőleges zát felületen kívüli ponttöltés fluxusa e felülete mindig zéus (hiszen a felület -ból látható és az eltakat észének tészöge megegyezik, így fluxusaik abszolút étéke is ugyanakkoa, azonban fluxusaik előjele -felületvektoaik
iánya miatt- ellentétes). Ugyanígy az is nyilvánvaló, hogy ha egy zát felületnek olyan daabjai vannak (ld. az ábát!), amelyek a töltés helyéől nézve eltakaják egymást (a felület zátsága miatt az egymás mögötti ilyen daabok száma szükségképpen páatlan!), akko a -ból látható daab (az ábán f ) kivételével a többi (ábánkon f és f 3 ) fluxusa (a felületen kívüli töltés fenti esetével azonos okból) zéusa összegződik, így fenti a) eedményünk ilyen típusú zát felületeke is évényes. 49 c) Több ponttöltés esetée: Φ E E d f (a szupepozíció elve miatt ) ( Ei ) d f i E i d f - a jobboldalon egyetlen töltése vonatkozó fluxusok szeepelnek, amelyeket a) és b) alatt má tágyaltunk, tehát: Φ N E E d f i ε ε vagyis tetszőleges zát felület fluxusa a felületen belüli ponttöltések összegének /ε -szoosa! d) Tetszőleges töltéselosztás (a töltés kvantáltsága miatt) mindig összetehető ponttöltésekből, így a tétel aa is évényes! Bebizonyítottuk tehát: Gauss tétele (vákuumban): tetszőleges, zát f felülete vonatkoztatott elektomos fluxus megegyezik a felületen belüli elektomos töltések algebai összegének /ε -szoosával. i
(vegyük észe, hogy -bizonyításunk szeint- e tétel akko is évényes, ha az elektomos téhez a zát felületen kívüli töltések hatása is hozzájául!) Gauss tétele ekvivalens Coulomb tövényével! belátjuk (egyszeű esetben): Gauss-tétel Coulomb-tövény - a ponttöltés köé ít sugaú gömbe (f 4 π) (feltéve, hogy centális az eőté!): 5 ε ( 4π ) Edf E df E E 4π ε F E 4π ε (ami a Coulomb-tövény!) - azt pedig má láttuk, hogy: Coulomb-tövény Gauss-tétel, VAGYIS: EKVIVALENSEK! A Gauss-tétel jelentősége (előnyei a C. -töv. -hez viszonyítva): a) Megfelelő szimmetiájú elektomos tében a Gauss-tétellel egyszeűbben kiszámítható a téeősség! b) JOBBAN KIFEJEZI A TÉRSZEMLÉLETET! ( Maxwell-tövények)!
A Gauss-tétel és a ecipok négyzetes tövény 5 E, gavitációs té eőtövénye is - a Gauss-tételt a ecipok négyzetes távolságtövényből kaptuk minden ecipok négyzetes fizikai tée (pl. gavitációs ) évényes! de: CSAKIS ilyene! - ha pl. E 3 lenne a távolságtövény, akko a Gauss-tétel nem állna fenn: φ E Edf (4π ) 3 4π ε ε, vagyis függene -től, noha a felületen (gömbön) belüli f töltésmennyiség változatlan! Nem lenne évényes a Gauss-tétel! A Gauss-tétel diffeenciális alakja - tekintsünk az el. tében egy tetsz. F zát felületet; az általa köülzát téfogatot jelölje V! - jelölje ρ() a téfogati töltéssűűséget! ρ ()dv V ' - ezzel a Gauss-tétel integális alakja: F ' E d f ε V ' ρ dv
- a matematikai Gauss -féle integáltétel: bm. olyan vektotée, amelynek divegenciája létezik az F zát felület által közefogott V téfogatban, fennáll: F ' E d f V ' div E dv - a két utóbbi egyenlet balodala megegyezik, így jobboldaluk is; ebből: div E dv V ' ρ ε 5 - ez csak akko lehetséges tetszőleges V -e, ha az integandusz eltűnik: a Gauss-tétel diffeenciális alakja: div E Emlékeztető: vektoté divegenciája div F( ) F (jelölés) vekto-skalá függvény ; koodinátafüggetlen def.: div F( ) lim V f ' F d V f ρ ε (Maxwell első tövénye!) ahol f a V téfogatot hatáoló kis, zát felület, amely a hatáátmenetko az végpontjáa húzódik össze nabla diffeenciálopeáto (jelölés): Deékszögű koodinátákkal kifejezve:,, x y z div F( ) F x x Fy + y F + z z
A Gauss-tétel diffeenciális alakja szeint - ha ρ ugyanannyi eővonal megy ki, amennyi bejön nincs ott foása - ha ρ < több jön be: nyelő - ha ρ > több megy ki: foás, ezét: > 53 Az elektosztatikai té foásos vektoté, amelynek foásai a töltések. Példák a Gauss-tövény alkalmazásaia ) R sugaú gömb felületén egyenletesen eloszló töltés elektomos tee (a Coulomb-tövény alapján meghatáozása nem tiviális ) - gömbszimmetikus töltéseloszlás gömbszimmetikus té téeőssége adiális iányú, és csak -től függ: E E() a) a gömb középpontjától > R távolságban (ld. ába): a G.-tételből: f E d f 4 π E ε E 4π ε vagyis a gömbön kívül a té olyan, mint a gömb középpontjában elhelyezett ponttöltés tee! b) a gömb középpontjától < R távolságban (ld. ába):
a G.-tételből: E d f 4 π E E f tehát a gömbhéjon belül nincs elektomos té, a téeősség ott zéus! 54 ) R sugaú, szigetelő gömb téfogatában egyenletesen eloszló töltés elektomos tee a) a gömb középpontjától > R távolságban (ld. ába): a G.-tételből: f E d f 4 π E ε E 4π ε vagyis, ugyanúgy, mint fenti esetünkben, a gömbön kívül a té olyan, mint a gömb középpontjában elhelyezett ponttöltés tee! b) a gömb középpontjától < R távolságban (ld. ába): a G.-tételből: f E d f 4 π E R 3 3 ε E 4π ε R 3
a gömbhéjon belül az elektomos té a középponttól mét távolsággal egyenesen aányos 55 3) Végtelen egyenes mentén állandó lineáis töltéssűűséggel eloszló töltések elektomos tee geometiai szimmetia E az egyenese, és csak től függ: E E() a G.-tételből (a koaxiális henge alaplapjaia (azokon: E df, df 3 ) a fluxus zéus, maad a palást): λ l λ E () l π E ε π ε 4) Végtelen síkon állandó felületi töltéssűűséggel eloszló töltések elektomos tee - geometiai szimmetia E a síka - a G.-tételből (a henge palástjáa a fluxus zéus, maadnak az alaplapok): σ f f E ε E σ ε - má a Gauss-tövény felíásako látszik: E nem függ a síktól mét távolságtól!
3. AZ ELEKTROMOS POTENCIÁL 56 Az elektomos té munkája a) Egyetlen ponttöltés teének munkája, mialatt a P póbatöltés az pontból a pontba jut: dw F dl p E dl W F dl E dl p A tee: W p 4π ε dl 4π ε E, amelyben:, ezzel: dl dl cos Θ d, (ld. az ábán!) p d p p emiatt: W 4π ε 4π ε
vagyis: a W munka csak és étékétől (azaz a kezdő- és végponttól) függ, az úttól nem! 57 b) A szupepozíció elve miatt ez tetszőleges töltésendsze teée is évényes! Az elektosztatikai té konzevatív eőté! - bizonyításunk soán F() e nem használhatunk ki semmit! következésképp: Bámely CENTRÁLIS (F() F() ) ERŐTÉR KONZERVATÍV! (pl. a gavitációs eőté is) De: nem minden konzevatív té centális! (pl.: egy dipól tee is konzevatív, pedig nem is gömbszimmetikus) Az elektosztatikai té övénymentessége - Minden konzevatív té övénymentes, hiszen: - konzevatív tében tekintsünk egy tetszőleges zát göbét! - válasszuk ki e göbe akámelyik két (különböző) pontját ( és ); ezek a göbét két észe ( 3 és 4 ) osztják - a té (adott póbatöltésen végzett) munkája a tetszőleges zát göbe mentén: W 34 W 3 + W 4 - a konzevatív té és között végzett munkája def. szeint
58 független az úttól: W 3 W 4, ezét W 34 W 4 + W 4 - itt a jobboldalon ugyanazon úton ellentétes iányban végzett munkák állnak, így abszolút étékük azonos, de előjelük ellentétes (met akámelyik közelítő összegükben minden E i l i elemi belső szozat ellentett lesz cos ϕ -cos (π-ϕ) miatt), így a jobboldal mindig zéus, vagyis: W 34 konzevatív té tetszőleges zát göbe mentén végzett munkája zéus! - az ilyen teet (amelye tetsz. zát g göbén W E dl ) övénymentesnek mondják g p Az elektosztatikus té övénymentes vektoté, azaz tetsz. zát g göbéjée fennáll: g Edl belső szozat > lenne, vagyis az eővonal mentén - ez az enegiamegmaadás tövényéből is következik: ha a valamely úton nem lenne zéus, akko vagy ezen az úton, vagy ezt az utat ellenkező iányban befutva a > lenne; közben azonban sem a póbatöltés, sem a té nem változik enegiát (munkát) nyenénk semmiből! Az elektosztatikus té eővonalai nem lehetnek zát göbék (ezt említettük má)! hiszen: ha lehetnének, akko az eővonal iányában haladva minden E dl elemi E dl lenne, ami ellentmondana az övénymentességnek!
Nincs olyan 3 dimenziós elektosztatikus té, amelynek eővonalai azonos iányba mutatnának, de eltéő sűűségűek lennének! 59 ennek oka: a bejelölt útvonalon E dl lenne, ami ellentmondana az övénymentességnek! Az övénymentesség definíciójának diffeenciális alakja - az övénymentesség eddig használt g E dl integális def. -ját most átíjuk diffeenciális alakba: Stokes tétele: bámely g zát göbée kifeszített tetszőleges f felülete (ha azokon a vektoté folytonosan diffeenciálható) fennáll, hogy - a fenti két egyenletből: ot Edf tetszőleges f -e ez csak akko teljesülhet, ha: f E dl g f ot Edf ot E, ez az övénymentesség diffeenciális definíciója Minden övénymentes vektotében (és csakis ott) bevezethető egy (skalá)potenciál!
6 Emlékeztető: vektoté otációja ot F( ) x F (jelölés) vekto-vekto függvény ; koodinátafüggetlen def.: a ot F vekto n iányú komponense: ahol: - g: kis, zát síkgöbe (nomálisa n, amely a g köüljáási iányával jobbcsavat alkot), amely a hatáátmenetko az végpontjáa húzódik össze - f: a g által bezát teület i Fx x Deékszögű komponensei: x F j Fy y k Fz z ot n F lim f g F d s f Az elektomos potenciál Láttuk: a ponttöltés teének munkája, ha p elmozdul az helyől a helye: W p 4π ε p - a té konzevatív, így W felíható a két pontban vett U i potenciális enegiák különbségeként:
6 4π ε p emiatt U + konst. W U U ; válasszuk: -nél U konst. tehát ponttöltés potenciális enegiája a töltéstől távolságban a nullnívó ilyen választása esetén: U 4π ε p A szupepozíció elve miatt töltésendsze potenciális enegiája ilyen tagok -ja. ha a töltések előjele azonos: p > U > ha a töltések előjele eltéő: p < U < - ez a potenciális enegia a té bámely P pontjában a tétől ÉS a p -póbatöltéstől függ ha az utóbbi függést kiküszöböljük, AKKOR A TÉR JELLEMZÉSÉRE ALKALMAS! Az elektomos potenciál: - a té tetszőleges P pontjában az odahelyezett p, p, póbatöltés pot. enegiája: U, U, - a tapasztalat (és az azt kifejező C. -töv.) szeint közöttük a té tetszőleges (ögzített) P U ' U '' pontjában fennáll:... ϕ ' ' ' p p
6 Ez a hányados p -től má független, az adott pontban csak a tée jellemző, így a té jellemzésée használható: U ϕ elektomos potenciál p - ezzel p töltés potenciális enegiája φ potenciálú helyen: U p ϕ - Az elektomos potenciállal a té bámely úton végzett munkája felíható, miközben a p töltés a té pontjából a pontjába jut: W U -U p (ϕ - ϕ ) p V - Elnevezés: V ϕ - ϕ potenciál különbség, másnéven feszültség - Ha a p a P pontból a be mozog: W p, P (ϕ p - ϕ ); választás: ϕ (a gyakolatban: a potenciál nullnívója a Föld potenciálja (paktikus választás)) ekko: W p, p ϕ, ϕ Wp, p A potenciál számétéke az a munka, amelyet a té végez, miközben a pozitív egységnyi töltést az adott pontból a zéusnak választott potenciálú pontba ( ill. a földfelület) juttatja. - a potenciál egysége (Alessando Volta (745-87) tiszteletée): volt (V) ; V J C (µv -6 V, mv -3 V, kv 3 V, MV 6 V) Az elektonvolt: ev (enegia- ill. munkaegység, NEM potenciál egység!)
ev,6 9 C V,6 9 J 63 ( kev 3 ev, MeV 6 ev, GeV 9 ev) - Az elektomos téeősség egysége (láttuk: N/C) a potenciál egységével V/m alakban is N Nm J V megadható, hiszen:. C Cm C m m Látni fogjuk: az elektosztatikus tének a téeőséggel ill. a potenciállal való meghatáozása EKVIVALENS! (ui. egymásból -additív konstanstól eltekintve- meghatáozhatók, amint ezt a téeősség-függvény potenciálfüggvény esete má láttuk is!) Ponttöltések potenciálja a) Egy ponttöltés potenciálja: - a potenciál a té tetszőleges, a teet létehozó ponttöltéstől távolságban lévő pontjában: ϕ U p 4π ε p p 4π ε b) Ponttöltések endszeének potenciálja:,,, N ponttöltések,,,, N
- a potenciál a té tetszőleges, a teet létehozó i ponttöltésektől i távolságokban lévő pontjában: 64 A szupepozíció elve ételmében F F i, így az a és a b pont közötti vonalintegálja hasonlóképpen: N i p ip Wab W i, ahol Wi, vagyis i 4πε i,a i,b N N i p i p W ab 4π ε i 4π ε i i,a i,b W ab U U U 4π ε N i i i p ϕ 4π ε N i i i Folytonosan eloszló töltések potenciálja d dϕ, ϕ d 4π ε 4π ε Téfogati töltéseloszlás esetén: d ρ dv ϕ 4π ε ρ dv V Felületi téfogateloszlás esetén: d σ df ϕ 4π ε σ df f
Elektomos dipólus potenciálja 65 tetszőleges, a dipólustól távoli pontban: >> l (a) ; ˆ láttuk: a potenciál a két ponttöltés potenciáljának összege: ϕ () 4π ε + 4π ε ( + (itt +, - : absz. ét. skalá!) + ) + acos Θ a, + a l ; + a cos Θ + + a ϕ( ) 4π ε e közelítésekkel: p vagy más fomában (minthogy p cosθ p pcosθ ): ϕ (, Θ) 4π ε (adott távolságban φ iányfüggő; Θ π/ -e pl. zéus!) a dipólus potenciálja - szeinti távolságfüggésű; gyosabban lecseng, mint a ponttöltés ( - -es távolságfüggésű) potenciálja!
66 Töltésendsze potenciálja nagy távolságban l << i i N i πε ϕ 4 ) ( i << a) ponttöltés közelítés: - i N i 4 ) ( π ε ϕ i Ebben a közelítésben a töltésendsze potenciálja olyan, mint a töltések algebai összegével egyenlő töltésű ponttöltés potenciálja! b) dipólus közelítés (pontosabb!): i i i ˆ ˆ ezzel: + i i i ˆ ˆ, amelyben kihasználtuk, hogy << esetén: + + + ( itt - )
tehát: N i i ˆ ϕ ( ) + 4, másképpen: π ε i 67 ϕ ( i) ˆ ( ) + itt p i i 4π ε 4π ε N i i i a töltéseloszlás dipólmomentuma ponttöltés potenciálja dipólus potenciálja Ez az eedmény közvetlen folyománya a ponttöltése és a dipóla kapott koábbi eedményeinknek! (szupepozíció elve!) Elektomosan semleges töltéshalmaz esetén (ilyenko nem nyomja el a fenti. tag a -at): Példák: a) Dipólközelítés ϕ ( ) p ˆ + 4π ε vízmolekula (H O, ld. ába!) potenciálja esetünkben i de p i i p + p dipólközelítés: ϕ () ~
b) Kvadupól-közelítés 68 A kvadupólust két, ellentétes iányú dipólus alkotja, amelyek egymáshoz közel helyezkednek el, és dipólmomentumaik abszolút étéke megegyezik. - def. -jából következően a kvadupólusnak mind össztöltése, mind eedő dipólmomentuma zéus! szén-dioxid molekula (CO, ld. ába!) potenciálja esetünkben i és p p + p - emiatt a CO molekula potenciálja mind ponttöltés-, mind pedig dipól-közelítésben zéus, pedig valójában nem az! - a nemzéus potenciál ételmezéséhez a potenciál i faktoának i szeinti sofejtésében ( i << ) a hamadik tagot is figyelembe kell venni - e közelítésben ϕ () ~ (még gyosabban lecseng -el, mint a dipól potenciálja!) 3
Az elektomos téeősség és a potenciál kapcsolata 69 a) E ϕ összefüggés: ϕ ϕ Edl (má láttuk!) b ) ϕ E kapcsolat - az a) összefüggésből: ϕ ϕ ϕ E d l - ebből kis l esetén: ϕ E (ez vektook belső szozata!) (amelyben E a téeősség az pontban; ) - ez deékszögű komponensekkel: ( E x + E y + E z) ϕ x y z E x x, amelyből: ϕ ; E y ϕ y ; E z ϕ z (itt az index aa utal, hogy a téeő ill. a deivált étékét az pontban kell venni) Vagyis: E ϕ ϕ ϕ ( x y, z) i + j + k, (itt i, j, k ende az x, y,z iányú egységvekto) x y z E z deékszögű koodinátaendszeben épp a ϕ () gadiense! E () ϕ() gad a téeősség vekto a potenciál negatív gadiense!
(a leggyosabb potenciálcsökkenés iányába mutat) 7 Emlékeztető: skaláté gadiensvektoa gadu U (jelölés) skalá-vekto függvény; a skaláté diffeenciálhányados vektoa - Az U() skaláté az pontban diffeenciálható, ha van olyan d vekto, amely az (kis) megváltozásával m egszoozva (ez (minthogy iányfüggő!) vektook skaláis szozata!) kis (h( )) hibával (pontosan: esetén még elatív étékben (h( )/ ) is -hoz tató hibával!) megadja az U() (az helyől való elmozdulásnak megfelelő) megváltozását: h( ) U U( + ) - U( ) d + h( ), amelyben esetén. (ez a definíció azét nem olyan alakú, mint az egyetlen skalá változós függvény diffeenciálhányadosát definiáló, megszokott kifejezés, met itt a független változó megváltozása vekto, amellyel nem lehet osztani!) Ez a d vekto az pontban az U() skaláté diffeenciálhányadosa, másnéven gadiensvektoa. ( ez a gadiens koodinátafüggetlen definíciója) - A gadiensvekto deékszögű koodinátákkal ( a gadiens létezik, ha U koodinátái szeint folytonosan U U U paciálisan diffeenciálható): gad U i + j + k, x y z ahol i, j, k ende az x, y, z iányú egységvekto - Egy skalámező gadiensvektoának iánya minden pontban megadja a mező változása legnagyobb meedekségének adott pontbeli iányát, hossza pedig a legnagyobb meedekség nagyságát.
A potenciálegyenlet (Laplace-Poisson egyenlet) 7 felmeül a kédés: hogyan lehet a töltéseloszlásból kiszámítani a potenciálfüggvényt? - a potenciálegyenlet megadásához szükséges: az el. teet (E) meghatáozó összefüggés ( Gauss-tétel), és az E (φ) kapcsolat - ezeket elektosztatikus tée má ismejük: () div E () (Gauss-tétel) ρ ( ) ε E( () ) gad ϕ ( ) ()-t behelyettesítve ()-be kapjuk a keesett potenciálegyenletet: ρ ϕ, (ϕ ( )) Laplace-Poisson egyenlet ε ( itt a Laplace-opeáto: div gad x + y + z - a L.-P. egyenlet egyszeű (és szép) alakú, de megoldani (egzaktul, analitikusan) általában igen nehéz, gyakan nem is lehet! Példa: Hatáozzuk meg síkkondenzáto feszültségét (a fegyvezetei közötti potenciálkülönbséget) a téeősség függvényében! )
- láttuk: síkkondenzátoban E konst. (homogén elektomos té) 7 - a lemezeke meőleges úton (azaz a téeősség iányában) haladva: ϕ a ϕ x x E dx E x - a másik lemeznél: b pontnál: x d, ϕ x ϕ b, (φ az x távolság lineáis fgv. -e) ϕ ϕ E d a b ϕa ϕb E d V d Ekvipotenciális felületek - a potenciálté szemléltetésée hasznosak (többe nem!) ϕ ( x, y,z) const. A egyenlettel megadott felületeket ekvipotenciális felületeknek nevezik. keessük: dl -eket, amelyeke dϕ (ezek a dl -ek vannak az ekvipotenciális felület P pontbeli éintősíkjában) láttuk: dϕ - E dl a keesett dl -ek meőlegesek E -e! tehát: az ekvipotenciális felületek minden pontban E -e Az eővonalak meőlegesek az ekvipotenciális felületeke!
73 Ha az ekvipotenciális felületek közötti potenciálkülönbség étéke minden szomszédos felületpáa ugyanakkoa étékű, akko az ekvipotenciális felületek (E iányában mét) sűűsége aányos a téeősséggel. Példák: egyszeű töltésendszeek által keltett el. té - (baloldali ábák:) potenciálfüggvényei (folytonos vonalak) - (jobboldali ábák:) eővonalai (folytonos vonalak) és ekvipotenciális felületei (szaggatott vonalak) a) (pozitív) ponttöltés tee b) két egynemű (pozitív) ponttöltés tee ( ϕ : hipebolikus)
c) elektomos dipólus tee 74 Töltésendsze elektosztatikus enegiája Tekintsünk egy N számú ponttöltésből álló töltésendszet (a töltés kvantált mivolta miatt ez az általános eset!)! - a endsze potenciális enegiája a töltéseiből képezhető mini, j és a j, i töltéspá ugyanaz, így csak den lehetséges i, j töltéspá (távolságuk ij ) U ij potenciális enegiájából tevődik össze; a szupepozíció elve miatt ezek összege (vigyázat, itt a egysze (pl. i<j -e) kell figyelembe venni!) (ezt úgy is indokolhatjuk, hogy ha a töltésendszet úgy építjük fel, hogy a töltéseket -növekvő index szeinti soendben- a
végtelenből (a potenciál(is enegia) választott zéushelye) egyenként mozgatjuk végső helyüke, akko eközben a endsze potenciális enegiáját lépésenként ende U ; U 3 +U 3 ; U 4 +U 4 +U 34 ;... étékkel, vagyis összesen ezek összegével növeljük) - a endsze U potenciális enegiája tehát: N U i j i, j - ezt gyakan célszeű azokkal az U i potenciális enegiákkal felíni, amelyekkel az egyes töltések a többi töltés teében endelkeznek ( U lőle U ii ) i N j j i U i j U i< j ; a töltés önmagáa nem hat, ezét hiányzik be- i - csakhogy ezek U i ö sszegében minden U ij tag kétsze szeepel (U ij az U i -ből, a vele megegyező étékű U ji pedig az U j -ből), noha U fenti kifejezésében csak az egyike (a kisebb első indexűe) van szükség, emiatt: N U U i, vagyis: i A töltésendsze potenciális enegiája azon potenciális enegiák összegének a fele, amelyekkel a endsze egyes töltései a endsze többi töltésének teében endelkeznek. - az e kifejezésben szeeplő U i -ket sokszo előnyös a többi töltés teének az adott töltés helyén vett φ i potenciáljával kifejezni (U i φ i i ), ezekkel: A töltésendsze potenciális enegiája: U N i i ahol φ i a endsze többi töltése által keltett elektomos té potenciálja a ϕ i, i helyén; étéke: 75
4π ε (amint azt koábban, a potenciál tágyalásako láttuk:) ϕ i N j j i j i j 76 Töltött vezetőkből álló endsze enegiája - tegyük fel, hogy a,,... töltésű,,... testek (ld. ába) anyaga vezető! - láttuk: elektosztatikus egyensúlyban minden vezető teljes téfogata ekvipotenciális tatomány adott vezető minden töltésének ugyanakkoa a potenciálja (ϕ, ϕ, ) fenti eedményünk tehát esetünke közvetlenül alkalmazható: Töltött vezetőkből álló endsze enegiája: U ϕ + ϕ + K ahol ϕ i a többi töltés ( j, j i) teének potenciálja az i. test (teljes) téfogatában ez folytonos töltéseloszlása: - felületi töltéseloszlása: ( ) σ df U σ ϕ df - téfogati töltéseloszlása: ( ρ dv ) U f V ρ ϕ dv
Az elektomos té enegiája 77 Hatáozzuk meg egy töltésű, nagyméetű síkkondenzáto enegiáját! - nagyméetű az inhomogén té téfogata << a homogén té téfogatánál (ui. a keület a lineáis méet., a felület viszont a lineáis méet. hatványával nő!) így a té homogénnek tekinthető! A töltésendsze enegiájáa kapott koábbi eedményünkből a kondenzáto pot. enegiája: U ϕ + ϕ ϕ ϕ ( ϕ ϕ ) E d ( láttuk: ϕ - ϕ E d) (ϕ helyett az E téeősséget akajuk behozni!) - láttuk: E σ ε ε f ebből E() ill. (E) kifejezését a jobboldalon beíva kapjuk: U ε d f E ε f d ε E V ill. U V f d a kondenzáto téfogata (amelyben az E elektomos té található) a jobboldali kifejezésből a téfogategysége eső potenciális enegia: U ε E az elektomos té enegiasűűsége
(ezzel: U V ε E dv ) 78 Hol táolódik az elektomos enegia? - a töltések hodozzák? - az elektomos té hodozza? Az időben változó elektomos teek elektomágneses hullámként, az azokat létehozó töltésektől függetlenül tejednek AZ ELEKTROMOS TÉRBEN!