BME Gépészmérnöki Kar 3. vizsga (2A) Név: Műszaki Mechanikai Tanszék 2. január. Neptun: 2 Szilárdságtan Aláírás: 3. feladat (2 pont) A vázolt befogott tartót a p intenzitású megoszló erőrendszer, az F koncentrált erő és a B keresztmetszetben működő M nyomatékú koncentrált erőpár terheli. A keresztmetszet állandó a tartó hossza mentén. Adatok : F = 5 [N], M = [Nm], p = 2 [kn/m], a =,6 [m], b = 3 [mm], b 2 = [mm], c = 6 [mm], c 2 = 4 [mm], E = 2 [GPa]. a) A jellemző értékek bejelölésével jelleghelyesen rajzolja meg a tartó igénybevételi ábráit! b) Adja meg a veszélyes keresztmetszet helyét, valamint számítsa ki ebben a keresztmetszetben a maximális HMH-féle egyenértékű feszültséget! A keresztmetszet mely pontjában/pontjaiban ébred ez a feszültség? c) A veszélyes keresztmetszet P pontjában számítsa ki a nyírásból származó csúsztatófeszültséget (P pontot alulról és felülről közelítve is)! d) Adja meg az x = 2a helyen a deformált tartó súlypontvonalának görbületi sugarát! 2. feladat (2 pont) Az ábrán vázolt, ABC félkörívből és a hozzáhegesztett CD egyenes szakaszból álló rúdszerkezet terhelése a D keresztmetszetben ható M nagyságú koncentrált erőpár. A tartó keresztmetszete d átmérőjű kör. a) Írja fel a rúd igénybevételi függvényeit paraméteresen az M koncentrált erőpár és a B keresztmetszetben ható FB reakcióerő felhasználásával! b) Határozza meg a reakció erőrendszert Castigliano tétele alapján! c) Számítsa ki a B keresztmetszet súlypontjában ébredő normálfeszültséget! d) Határozza meg a normálfeszültséget a rúd B keresztmetszetének külső pontjában (vagyis a nagyobb görbületi sugáron fekvő szélső szálban)! 3. feladat (2 pont) y b c a e c x Egy test felszínén a mellékelt elrendezés szerinti nyúlásmérő bélyegekkel mérik az a, b, c fajlagos nyúlásokat. a) Határozza meg a xy fajlagos szögváltozás és a xy feszültség értékét! (Segítség: c = e c T e c, ahol e c az x tengellyel szöget bezáró egyenes egységvektora.) b) Határozza meg a z irányú fajlagos nyúlást, és a fajlagos térfogatváltozást, felhasználva, hogy a test terheletlen felszíni pontjában történik a mérés! c) Adja meg az alakváltozási energiasűrűség paraméteres kifejezését a feszültségi- és alakváltozási mátrix nemzérus elemeivel kifejezve! d) Határozza meg az x irányú normálfeszültséget és az egyik főfeszültséget! Adatok: =,3 E = 2 GPa a = 5-6 b = 2-6 c = 5-6 = 45 o
BMEGEMMAGM2 Szilárdságtan 2..., A csoport vizsgafeladat megoldása. feladat a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása előtt célszerű a reakció erőrendszert meghatározni. (Bár ennél a feladatnál ez nem szükségszerű, hiszen jobb oldalról elindulva felrajzolhatóak az igénybevételi ábrák enélkül is). A reakció erőrendszer számításakor elsőként feltételezzük az ismeretlen A y reakcióerő és M A reakciónyomaték irányát a megadott koordinátarendszerben pozitív értelműnek. Ez esetben az y-irányú erőegyensúlyi egyenlet: F yi = A y p 2a+F = A y = p 2a F = 9 [N]. () i Mivel pozitív értékre jött ki, emiatt a felvett irány helyes. Vagyis a megadott koordinátarend-
szerben A y = 9 [N]. Az A pontra felírt nyomatéki egyenlet: j M (A) z j = M A M 2a (p 2a)+3a F = (2) M A = M +4a 2 p 3a F = 8 [Nm]. (3) Mivel pozitív értékre jött ki, emiatt a felvett irány helyes. Vagyis a megadott koordinátarendszerben M A = 8 [N]. Az igénybevételi ábrák (N, V, M h, M t ) közül a normál- és csavaróigénybevétel a tartó hossza mentén zérus, ezeket külön nem rajzoljuk ki. b) A veszélyes keresztmetszet a befogás helyén van, itt ébred a maximális hajlítónyomaték. A veszélyes pontok a veszélyes keresztmetszet alsó (y = b /2) és felső (y = b /2) pontai. Ezekben a pontokban csak a hajlításból származó normálfeszültség ébred. Vagyis a HMH-féle egyenértékű feszültség azonos a Navier-képlettel számított normálfeszültséggel. Vagyis: σmax HMH = M A b I z 2 = 8,5 = 34,43 [MPa], (4),3667 7 ahol I z a keresztmetszetnek a hajlítás tengelyére számított másodrendű nyomatéka: I z = c b 3 2 c 2 b 3 2 2 =,3667 7 [ m 4]. (5) c) A P pont helyén a nyírásból származó csúsztatófeszültség a keresztmetszet húsvastagságával együtt ugrásszerűen változik. Más értéket kapunk, ha a P pontot felülről, illetve alulról vizsgáljuk. A nyírásból származó feszültség számítása: τ = V S(P) z, (6) I z v ahol V = 9 [N] az A keresztmetszetben működő nyíróerő nagysága. S z (P) a P-től kifelé (súlypont felől nézve) eső keresztmetszetrész statikai nyomatéka a z tengelyre, melyet az alábbiak szerint számítunk: S (P) z = ( c b b 2 2 )( b 2 b ) b 2 =,6,, = 6 [ 6 m 3]. (7) 4 Vagyis a keresett csúsztatófeszültségek: τ felülről = V S(P) z = I z c τ alulról = V S (P) z I z (c c 2 ) = 9 6 6 =,684 [MPa], (8),3667 7,6 9 6 6 = 2,5 [MPa]. (9),3667 7,2 2
d) Az x = 2a helyen a hajlítónyomaték értéke: M h (x = 2a) = F a+p a2 2 A tartó súlypontvonalának ρ görbületi sugara: = 54 [Nm]. () ρ = M h I z E ρ = I ze =,3667 7 2 9 M h 54 = 48,77 [m]. () 3
2. feladat a) A igénybevételi függvények felírásához koordinátát/koordinátákat kell választanunk. Több lehetséges megoldás közül egyet szemléltet a fenti ábra, ami az előjel-konvenciót is ábrázolja. A koordináták megválasztásától függetlenül a tartót 3 szakaszra kell bontani az alábbiak szerint: I. szakasz: D C rész, x =...R/2, II. szakasz: III. szakasz: Ennek megfelelően az igénybevételi függvények: I. szakasz: II. szakasz: III. szakasz: C B rész, Ψ =...π/2, B A rész, ϕ =...π/2. N I (x) =, V I (x) =, M hi (x) = M, M ti (x) =. (2) N II (Ψ) =, V II (Ψ) =, M hii (Ψ) = M, M tii (Ψ) =. (3) N III (ϕ) = F B sinϕ, V III (ϕ) = F B cosϕ, M hiii (ϕ) = M +F B R sinϕ, M tiii (ϕ) =. (4) b) A tartó statikailag határozatlan. A feladatot többféleképpen is meg lehet oldani. Talán a legegyszerűbb ha azt a plusz feltételt használjuk ki, hogy a B keresztmetszet vízszintes irányú f B elmozdulása zérus. A Castigliano-tétel alkalmazása esetén nem szükséges külön segéderő felvétele, hiszen itt amúgy is működik a vízszintes irányú F B erő. Ennek felhasználásával az alakváltozási feltétel: f B = I hajl E (s) M (s) M (s) ds. = A tartó 3 részre bontásával ez az alábbiak szerint írható: = R/2 M hi (x) M hi (x) dx+ π/2 (s) M hii (Ψ) M hii (Ψ) RdΨ+ 4 M h (s) M h(s) ds. (5) π/2 M hiii (ϕ) M hiii (ϕ) Rdϕ, (6)
ahol a második és harmadik integrálba be kellett írni egy R szorzót, mivel ds = RdΨ és ds = Rdϕ. Továbbá szükséges az alábbi mennyiségek meghatározása is: M hi (x) =, M hii (Ψ) =, Ennek ismeretében (6) kifejezés az alábbira egyszerűsödik: = π/2 ( M +F B R sinϕ)(r sinϕ)rdϕ = = F B R 3 [ ϕ 2 2 sin2ϕ ] π/2 Tehát a keresett F B reakcióerő: π/2 M hiii (ϕ) = R sinϕ. (7) ( FB R 3 sin 2 ϕ M R 2 sinϕ ) dϕ,(8) M R 2 [ cosϕ] π/2 = F BR 3 π M R 2. (9) 4 F B = 4M Rπ = 4 = 6366,2 [N]. (2),2 π Az A keresztmetszetben működő reakcióerő vízszintes irányú, ellentétes értelmű és azonos nagyságú mint F B. Az ugyanitt fellépő reakciónyomaték: M A = F B R M = 273,24 [Nm] (órajárással ellentétes értelmű). c) Először is meg kell vizsgálni a tartó geometriáját annak érdekében, hogy eldöntsük a síkgörbe rudakra vonatkozó Grashof-képlet alkalmazhatóságát: R d = 4 Grashof-képletet kell alkalmazni A Grashof képlet tiszta hajlítás esetére (ami a B keresztmetszetben is van): ( ) R d > 2. (2) σ = M h RA + M R z I R+z. (22) A súlypontban z =, vagyis a keresett feszültség: σ = M(B) h RA =,2,9635 = 2,55 [MPa], A = d2 π 3 4 = [,9635 3 m 2]. (23) d) Mivel 2 < R d < 8, emiatt a (22) kifejezésben I helyett használható a hajlítás tengelyére számított I y másodrendű nyomaték: A külső pontban: σ = M h RA + M R z I y R+z = I y = d4 π 64 = 3,6796 7 [ m 4]. (24),2,9635 + 3,5,2 3,6796 7 2,2+,25 (25) σ = 74,98 [MPa] (26) 5
3. feladat a) Az alakváltozási tenzor mátrixa a test felszínén: ε x 2 γ xy [ε] = 2 γ yx ε y. (27) ε z A nyúlásmérű bélyegek elhelyezése miatt tudjuk, hogy ε x = ε a és ε y = ε b. A szimmetria miatt pedig γ xy = γ yx. Az ismeretlen komponensek: γ xy, ε z. Ha a c irányú fajlagos nyúlást felírjuk, akkor ebből az egyenletből γ xy meghatározható. A c irányban a fajlagos nyúlás számítása: ε c = e T cεe c, ahol [ e T c ] = [ cosα sinα ] = 2 [ ]. (28) Tehát: ε c = [ ] 2 ε x 2 γ xy 2 γ yx ε y ε z, (29) 2 ε c = [ ε x + ] 2 2 γ yx 2 γ xy +ε y, (3) 2 ε c = (ε x + 2 2 γ yx + 2 ) γ xy +ε y = 2 (ε x +γ xy +ε y ). (3) Vagyis az ismeretlen γ xy már számítható: A τ xy számítása: τ xy = G γ xy = γ xy = 2ε c ε x ε y = 2ε c ε a ε b, γ xy = 2,5 4. (32) E 2(+ν) γ xy = 2 9 2(+,3) ( 2,5 4), τ xy = 9,23 [MPa]. (33) b) Mivel a test felszíne terheletlen, emiatt írhatjuk, hogy σ z =. A Hooke törvényt felhasználva, ez az alábbi skalár egyenletet jelenti: = E ( ε z + ν ) +ν 2ν (ε x +ε y +ε z ). (34) Megoldva ε z -re, kapjuk, hogy A fajlagos térfogatváltozás: ε z = ν ν (ε x +ε y ), ε z =,5 4. (35) ε V = V V = ε I = (ε x +ε y +ε z ), ε V = 2 4. (36) c) A feszültségi tenzor mátrixának szerkezete a test felszíni (terheletlen) pontjában: σ x τ xy [σ] = τ yx σ y. (37) 6
Emiatt az alakváltozási energiasűrűség az alábbi alakra egyszerűsödik: d) A Hooke-törvény felhasználásával: σ x = E +ν Az egyik főfeszültség a σ z =. u = 2 σ : ε = 2 (σ xε x +σ y ε y +τ xy γ xy ). (38) ( ε x + ν 2ν (ε x +ε y +ε z ) ), σ x = 46,5 [MPa]. (39) 7