. gyakolat.1. Feladat: (HN 5B-7) Egy d vastagságú lemezben egyenletes ρ téfogatmenti töltés van. A lemez a ±y és ±z iányokban gyakolatilag végtelen (9. ába); az x tengely zéuspontját úgy választottuk meg, hogy az a lemez d szélességének a felénél legyen. Számitsuk ki az elektomos téeősség nagyságát x pozitív étékeie az a) < x < d/; b) x > d/ eseteke. 9. ába. A 5B-7 feladathoz Megoldás: Az elektosztatikus téeősség foásai a töltések, ezét: 1) a szimmetia miatt a téeősségnek csak x komponense van, ) pozitív töltéssűűség esetén pozitív x-eke pozitív, negatív x-eke negatív iányú, emiatt 3) a lemez szélességének felező síkjában nulla. A Gauss tövény szeint ε E fluxusa egy zát A felülete = Az összes töltés a felületen belüli téfogatban ε E da = ρ d (.1.1) A (A) együnk fel a lemez belsejében egy olyan, x magasságú hengeszeű testet, pl. egyenes hasábot, amelynek két egymással és a lemez felületével páhuzamos A nagyságú felülete van és amely magasságát a lemez középpáhuzamos síkja felezi (ld. 1. ába). Ee felíva a (.1.1) Gauss tövényt és felhasználva, hogy a lemez belsejében ρ állandó, illetve E a hasáb mindkét A felületée meőleges és kifelé mutat, továbbá, hogy a hasáb oldallapjaival/palástjával E páhuzamos, tehát azoka fluxusa : ε E A = ρ A x E = ρ ε x x d (.1.) 9
1. ába. Téeősség egy egyenletesen töltött szigetelő lemezben A lemezen kívül ( x > d/) a téeősség állandó 3 és étéke (.1.) maximuma, azaz E = ρ d ε (.1.3) együk észe, hogy a lemezen kívűl a té pontosan ugyanolyan, mint egy végtelen σ töltéssűűségű D lemez esetén, mivel σ = ρ d... Feladat: (HN 5B-1) Egy nagyon hosszú, R sugaú fémúdon σ egyenletes felületmenti töltéssűűség van. (a) Elhanyagolva a úd végeinek hatását, számítsuk ki az E téeősséget a henge felszínétől R távolságban. (b) Számítsuk ki azt a v sebességet, amellyel egy elekton a úd köül R távolságban stacionáius köpályán mozogna. Megoldás: (a) Az, hogy a fémúd nagyon hosszú azt jelenti, hogy (első közelítésben) végtelennek tekinthetjük. Szimmetia okokból a téeősség meőleges kell legyen az egyenletesen feltöltött henge felületée, ezét nagysága csak a távolságtól függ. A Gauss tövény használatához egy, a fémúddal koaxiális henge alakú, sugaú és l hosszúságú felületet vegyünk fel. Mivel a téeősség ennek a hengenek a palástjáa mindenütt meőleges és állandó nagyságú a hatáoló köök síkjával pedig páhuzamos, ee a teljes zát felülete vett fluxus megegyezik az sugaú hengepalásta vett fluxussal. Az ezen a felületen belüli összes töltés pedig a σ töltéssűűség és a fémúd l hosszúságú szakasza felületének szozata. A Gauss tövény szeint tehát a téeősség a vezetőn kívül ε o π l E = R π l σ E() = R σ ε o (..1) 3 Ez szimmetia okokból is következik. 1
Innen a téeősség a fémúdtól R távolságban ( = R) E(R) = σ (..) ε o (b) Ha egy elekton keing ezen az = R sugaú köpályán, akko e E = m e v v = e E R m e = e σ R ε o m e. (..3).3. Feladat: (HN 5C-18) Egy R sugaú gömbben az E elektomos téeősség kifelé mutat, és étéke mindenütt konstans, E o. Így, E = E oˆ, ahol ˆ a kifelé mutató sugáíányú egységvekto. (a) Felhasználva Gauss tövényét vezessük le hogy hogyan függ a ρ() téfogatmenti töltessűűség az sugától. (Útmutatás: az integálszámítás alaptétele szeint 4 ha g(x) = x dg f(t)dt, akko o dx = f(x)) (b) A gömb középpontjával kapcsolatban mílyen nehézség adódik? Megoldás: Legyen a gömbben a töltéssűűség ρ. Mivel E iányú a té gömszimmetikus, ezét ρ csak a távolságtól függ, az iánytól nem. ρ = ρ(). A (.1.1) Gauss tövény alkalmazásához vegyünk fel egy sugaú köncentikus A gömbfelületet. Ee a felülete E mindenhol meőleges, így a Gauss tövény szeint ε o E() 4 π = ρ() d (.3.1) A jobboldal integál kiszámításához vegyük figyelembe, hogy ρ = ρ() csak nagyságától függ, ezét a téfogata való integálást elvégezhetjük úgy is, hogy téfogatelemeknek sugaú és d vastagságú gömbhéjakat választunk 5. Egy ilyen gömbhéj d téfogata d = 4 π d, töltése dq = ρ( ) d = 4 π ρ d, azaz a Gauss tövény szeint: ε o E() 4 π = 4 π ε o E o = ( ) ρ( ) d (.3.) ρ( ) d (.3.3) 4 Az integálási változó neve bámi lehet, amit nem kevehetünk össze az integálás hatáával. Itt a t-t választottuk. 5 agyis az A felület által hatáolt téfogatot felosztjuk koncentikus, d vastag d G = da d G( ) gömbhéjaka, amelyekben ρ jó közelítéssel állandó, tehát az integál ezeke egyszeűen kiszámítható, majd az így kapott függvényt integáljuk és R között: ρ( ) d = ρ( ) d G = ρ( ) d () = G( ) ( ρ( ) 4 π ) d = 4 π G( ) ρ( ) d da G 11
Az integálszámítás alaptétele A mi esetünkben Tehát ha g() = f() = d g() d f( ) d akko (.3.4) (.3.5) f() ρ() (.3.6) g() ε o E o (.3.7) ρ() = ε o E o ρ() = ε o E o 1 b) Látható, hogy ha, akko ρ(). (.3.8).4. Feladat: (HN 6B-9) A té egy tatományában a volt egységekben kifejezett potencíált a [ ] [ ] = (3 )x + (, )y m m függvény adja meg, ahol x és y méteekben megadott távolságok. Számítsuk ki az x = 1 cm, y = 15 cm koodínátájú helyen levő elektona ható eő nagyságát és iányát. Megoldás: A potenciál és a téeősség közötti kapcsolat E x = E = gad () (.4.1) (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z), E y =, E z =, x y z Esetünkben (x, y, x) = (x, y) = A x + B y E x = A x, E y = B, E z = F x = e A x, F y = e B F = e Ex + Ey + Ez = e 4 A x + B (.4.) [ ] Az eő iánya az x tengellyel α szöget zá be, ahol tg α = B, B =,, A x [ ] [ ] m A = 3 és A x =.6 Behelyettesítve a számétékeket m/ m F x = 6, 1 1, 6 1 19 = 9, 6 1 N F y =, 1, 6 1 19 = 3, 1 N F = 9, 6 + 3, 1 = 1, 119 1 19 N tg α =, /, 6 =.33 α = 18.4 o. (.4.3) 1
.5. Feladat: (HN 6B-1) Két egyfoma kicsiny fémgömb töltese q 1 illetve q. Egymást 1 m távolságból 9 1 3 N eővel vonzzák. A gömböket összeéintjuk, majd újból egymástól 1 m távolsága helyezzük el. Ekko úgy találjuk, hogy 1 3 N eővel taszítják egymást. Számítsuk ki a q 1 és q töltéseket. Megoldás: Összeéintés előtt a gömböknek különböző előjelű töltése volt ezét vonzották egymást. Összeéintés után a töltéseik kiegyenlítődtek és mindkettő töltése azonos előjelűvé és q = q 1 + q nagyságúvá vált, ezét taszítják egymást 6 Az egyenleteket felíva F 1 = K q 1 q = 9 1 9 q 1 q = 9 1 3 N F = K q = 9 19 q = 1 3 N (.5.1) innen, mivel vagy q 1, vagy q negativ kell legyen q 1 q = 9 1 3 /9 1 9 = 1 1 C ( q1 + q ) = 1 3 /9 1 9 =, 1 13 C ; (.5.) q 1 + q = ±, 1 13 C q 1 + q = ±, 1 13 = ±9, 434 1 7 C q = 1 1 1 q 1 q 1 1 1 1 q 1 = ±9, 434 1 7 C q1 9, 434 1 7 q 1 1 1 =. (.5.3) A két egyenletet felíva q1 9, 434 1 7 q 1 1 1 = (.5.4) q1 + 9, 434 1 7 q 1 1 1 =. (.5.5) Jelöljük a négyzetgyök előjelét felső indexben q 1,± + = 9, 434 1 7 ± 3, 5555 1 1 + 4 1 1 = 9, 434 1 7 ±, 7487 1 6 q1,± = 9, 434 1 7 ± 3, 5555 1 1 + 4 1 1 = 9, 434 1 7 ±, 7487 1 6 6 Ez aa utal, hogy kezdetben nem volt azonos nagyságú a töltésük. (.5.6) (.5.7) (.5.8) (.5.9) 13
q + 1 = q + = q 1 = q = 1, 5767 1 6 C 6.345 1 7 C 6.345 1 7 C 1, 5767 1 6 C 1, 5767 1 6 C 6.345 1 7 C 6.345 1 7 C 1, 5767 1 6 C. (.5.1) (.5.11) (.5.1) (.5.13) Innen látható, hogy elég lett volna a négyzetgyökvonásnál a pozitív előjelet használni amivel megkaptuk volna a az első két megoldást, majd utána felcseélni az előjeleket a második két megoldáshoz. isszahelyettesítve pl. ez első két megoldást és elhagyva a felső indexet K K q 1 q ( q1 +q ) = 9 1 9 1,5767 1 6,6345 1 6 1 = 9 1 3 N, (.5.14) = 9 1 9 (1,5767 1 6 +,6345 1 6 ) =. 1 3 N. (.5.15) 4.6. Feladat: (HN 6C-17) Egy R sugaú gömb belsejében a töltéssűűség a középponttól való távolsággal aányos, azaz ϱ() = A, ha ( < < R), ahol A egy állandó. (a) Mi A SI egysége? (b) Mekkoa a gömb teljes Q töltése A-val és R-el kifejezve? (c) Gauss tövényét felhasználva számítsuk ki a gömb belsejében és kívül, a középponttól távolsága az E téeősséget. (d) Számítsuk ki a potenciált függvényében a gömbön belül is, kívül is. (Legyen = a végtelenben.) Megoldás: (a) Az A paaméte métékegysége C/m 4. (b) A gömb teljes töltése: Q = R ϱ()4 πd = R A4 3 πd = AR 4 π. (.6.1) (c) A téeősség kiszámolásához EdA = Q ε (.6.) a Gauss-tövényt használjuk. A gömbön belüli téésze alkalmazva E4 π = 1 ϱ()4 πd = 1 A 4 π, (.6.3) ε ε 14
amelyből A gömbön kívüli téésze az E = A 4ε ( < < R). (.6.4) E4 π = 1 ε AR 4 π (.6.5) íható, amelyből E = AR4 4ε 1 (R < ). (.6.6) (d) Az elektomos potenciál meghatáozása a gömbön kívül (R < ) az U() U( ) = AR 4 1 AR4 d = 4ε 4ε [ ] 1 (.6.7) integál kiszámolásával töténik. Innen a végtelenbeli zéus potenciálhoz viszonyítva az -beli potenciál: U() = AR4 1 (R < ). (.6.8) 4ε A potenciál a gömb felszínén ugyancsak a végtelenbeli zéus potenciálhoz viszonyítva: U() = AR3 4ε ( = R). (.6.9) A felületől a gömb belseje felé haladva a potenciálkülönbség R U() U(R) = A 4ε d = A 1ε [ 3 ] R = A 1ε 3 + A 1ε R 3. (.6.1) Így a gömb belsejében lévő pontban a potenciál a végtelenhez viszonyítva: U() = AR3 A 3 + A R 3 = A 3 + A R 3 ( < < R). (.6.11) 4ε 1ε 1ε 1ε 3ε Házi feladat (gyakolása): 5/ 1, 5, 1, 15, 16, 19, 6/3, 7, 8, 9, 1, 4, 7, 33, 37, 41 15