Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik eleméhez csak egy elemet rendelek a B-ből. (Másképpen: az A halmaznak nincs olyan eleme, amelyhez több B-beli elemet rendelünk.) Ha az A halmaznak csak egy olyan eleme is van, amelyhez több elemet rendeltünk a B-ből, akkor nem egyértelmű a hozzárendelés. A hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű, ha a ordítottja is egyértelmű. Függvények Függvénynek nevezzük az egyértelmű hozzárendeléseket. A üggvény értelmezési tartományának nevezzük az A halmaz azon részhalmazát, amelynek minden eleméhez hozzárendelünk egy B-beli elemet. Jele: ÉT vagy D A üggvény értékkészlete a B halmaz azon részhalmaza, amelyeknek minden elemét hozzárendeltük az értelmezési tartomány elemeihez. Jele: ÉK vagy R A üggvény megadható:. Utasítással 2. Táblázattal 3. Formulával 4. Nyíl diagrammon 5. Graikonon ÉT (Értelmezési tartomány) Ék (Értékkészlet) P (Periódus 0.oszt) ZH (Zérushely) SzÉ (Szélsőérték) Monotonitás Paritás : A B A üggvények elemzése A üggvény értelmezési tartományának nevezzük az A halmaz azon részhalmazát, amelynek minden eleméhez hozzárendelünk egy B-beli elemet. Jele: ÉT v D A üggvény értékkészlete a B halmaz azon részhalmaza, amelyeknek minden elemét hozzárendeltük az értelmezési tartomány elemeihez. Jele: ÉK v R A zérus hely (ZH) az a hely, ahol a üggvény értéke 0 (ahol a graikonja az tengelyt metszi).
A periódus (0.oszt): Ha a üggvény értékei rendszeresen ismétlődnek, akkor azt mondjuk, hogy a v. periodikus. Ilyenkor vannak olyan számok, amellyel bármely helyről arrébb menve ugyanazt az értéket találjuk. Ezek közül a legkisebbet nevezzük a v. periódusának. A v. periódusa P, ha (+P) = () pl. a trigonometrikus üggvények. Szélső érték: Ha az egész értelmezési tartományt nézve van a üggvénynek legkisebb értéke, akkor azt mondjuk, hogy minimuma van. Az a hely, ahol a v. elveszi a legkisebb értéket az a minimumhely. Ha az egész értelmezési tartományt nézve van a üggvénynek legnagyobb értéke, akkor azt mondjuk, hogy maimuma van. Az a hely, ahol a v. elveszi a legnagyobb értéket az a maimumhely. Szigorúan monoton növekedő a üggvény, ha nagyobb helyen mindig nagyobb értéket vesz el. Szigorúan monoton csökkenő a üggvény, ha nagyobb helyen mindig kisebb értéket vesz el. Paritás: Egy üggvény, ha ellentett helyen ugyanazt az értéket veszi el. ( ) = () A üggvények graikonja tükrös az y tengelyre. Pl.: II; 2 Egy üggvény páratlan, ha ellentett helyen ellentett értéket vesz el. ( ) = () A páratlan üggvények graikonja tükrös az origóra. Pl. ; Alapüggvények. A konstans üggvény. A konstans üggvény értéke minden helyen ugyanaz. Elsőokú üggvények: Az elsőokú üggvények általános alakja: y m b m a meredekség, b az egyenes y tengelymetszete 2 4 3 2 3 4 ÉT: ÉK: ZH: Szé: Monotonitás Hol pozitív az értéke? Hol negatív az értéke? Hol vesz el egy adott értéket? Az abszolút érték-üggvény Kétéle jelölést használhatunk az elemzésnél: D = R R = [0; [ ZH: = 0 : ] ;0[ SZMN:] 0; [ ÉT: R ÉK: y 0 ZH: = 0 : < 0 SZMN: > 0 Tudni kell, hogy hol pozitív a üggvény értéke, hol negatív a üggvény értéke. Milyen tartományban vesz el egy adott értéknél kisebb, ill. nagyobb értéket!
A négyzet üggvény Alapüggvény: () = 2 ÉT: R ÉK: y 0 ZH: = 0 SZÉ: min (0;0) : < 0 SZMN: > 0 Lineáris törtüggvények: ÉT : 0 ÉK : y 0 ZH : Sz.é. : ÉT : ;0 0; ÉK : ;0 0; ZH : Sz.é. : D Rl 0 R y Rl y 0 ZH : Sz.é. : D R\ 0 R R\ 0 ZH : Sz.é. : Függvény transzormációk A korábbi tapasztalatok alapján oglaljuk össze a üggvény transzormációkat! Az alap üggvény: () cr +. ()+c () üggvény graikonját c-vel eltoljuk az y tengely mentén. 2. () () üggvény graikonját tükrözzük az tengelyre. 3. c () () üggvény graikonját c- szeresére nyújtjuk az y tengely mentén. 4. (+c) () graikonját el kell tolni c-vel balra az tengely mentén.
Gyakorló eladatok:. Ábrázolja és elemezze a köv. üggvényt! 2 Hol pozitív a üggvény értéke? Hol negatív a üggvény értéke? Hol 0 a üggvény értéke? a) D = N b) D = Z c) D = Q d) D = R 2. Adja meg a képen látható üggvény hozzárendelési utasítását képlettel és szöveggel is! Adja meg a üggvény értékét az = 4 helyen! Melyik helyen 2 a üggvény értéke? 3. Ábrázolja és elemezze a köv. üggvényt! 5 2 D = [ 4;6[ 4. Ábrázolja és elemezze! D = R 2 3 4 Hol pozitív a üggvény értéke? Hol negatív a üggvény értéke? Hol 0 a üggvény értéke? Melyik helyen 6 a üggvény értéke? 5. Adja meg a képen látható üggvény hozzárendelési utasítását! Hol pozitív a üggvény értéke? Hol negatív a üggvény értéke? Hol 0 a üggvény értéke? Mennyi a legnagyobb érték? Oldja meg úgy is a eladatot, hogy D = [ 4;0] 6. Ábrázolja és elemezze! D = R 2 2 3 Hol pozitív a üggvény értéke? Hol negatív a üggvény értéke? Hol 0 a üggvény értéke? Mennyi a legnagyobb érték? Mennyi a legkisebb érték? Mennyi a üggvény értéke a 4 helyen? Melyik helyen 3 a üggvény értéke? 7. Ábrázolja és elemezze! () = 2 + 6 + 5 D = [ 5; 2[ 8. Ábrázolja és elemezze! 2 3 9. Ábrázolja és elemezze! 3 2 0. osztályos transzormációk 5. ( ) Pl.: () ; () sin( ) Ez a üggvény ellentett helyen veszi el ugyanazt az értéket, mint amit az () üggvény az helyen elvesz. Ezért az () graikonját tükrözzük az tengelyre.
6. (c ) Pl.: () 2; () cos 2; () sin( ) 2 Ez a üggvény c-szer kisebb helyen veszi el ugyanazt az értéket, mint amit az () üggvény az helyen elvesz. Ezért az () graikonját /cszeresére nyújtjuk az tengely mentén. 7. (c +a) Pl.: () 2 4 (Emelt szintű traó.) () 2 4 2( 2) a graikonját 2-vel balra toljuk, és az y = 2 egyeneshez a elére zsugorítjuk az tengely mentén.!! Nem árt 2 3 helyen behelyettesítéssel ellenőrizni a transzormációt. (Néhány helyen kiszámolni a üggvény értékét és a graikonon megnézni, hogy stimmel-e!)