DINAMIKUS RENDSZEREK OKTATÁSA VRML SEGÍTSÉGÉVEL TEACHING OF DYNAMICAL SYSTEMS BY MEANS OF VRML Juhász Ferencné - Juhász Ferenc Gábor Dénes Főiskola Összefoglaló Az irányításelmélet tanításához, a rendszerelemzés és tervezés gyakorlat-orientált oktatásához szimulációs programok adják meg a lehetőséget. A MATLAB programrendszer lehetőséget ad lineáris, nemlineáris, folytonos és diszkrét rendszerek vizsgálatára, az eredmények grafikus megjelenítésére. A VRML nyelv felhasználása az eredmények 3D-s megjelenítésében lép túl a programrendszer aa lehetőségeken. Az állapotterek virtuális valóságbeli ábrái a távoktatási anyagokban is könnyen elhelyezhetők, és már a fogalmak elsajátítása során támogathatják azok könnyebb megértését. Megjelenítésük, tananyagokban való alkalmazásuk nem igényel különösebb szoftvertámogatást. Kulcsszavak matlab, virtuális valóság, korszerű oktatási eszközök Abstract Simulation applications enshure useful tools for the practice-oriented teaching of control theory, system analysis and planning. The MATLAB application is a high-level language and interactive environment, that supports the investigation of linear and non-linear, continuous and discrete systems and accomplishes the visualisation of the results. The application of VRML language extends the possibilities of the application in 3D graphical representation. The state-space charts converted into virtual reality can be easily published via the internet. The study of these results requires any special software tool, it is enough to install a free plugin into the browser. Keywords matlab, virtual reality, contemporary educational tools 1
1. Bevezetés A virtuális valóság ma már meghatározó szerepet tölt be a fejlett képzési rendszerekkel rendelkező országok oktatáspolitikájában. Nincs olyan területe az oktatásnak, ahol ne lenne szükség a 3 dimenziós megjelenítésre és az interaktivitásra. A valóságot utánzó virtuális eszközök megjelenése a számítástechnikában újfajta lehetőséget ad az oktatási módszerek fejlesztése során is. A virtuális valóság egy dinamikus és reagálni képes számítógép által generált szintetikus környezet, amely a valósághoz nagyon hasonló érzetet kelt a vele kapcsolatba kerülő felhasználóval. Képes valós és absztrakt rendszerek megjelenítésére.(juhász, 003) A MATLAB programrendszer új változata rendelkezik már virtuális valóságbeli szolgáltatásokkal, ezek igen kellemes lehetőségeket biztosítanak a felhasználóknak. Ezek a szolgáltatások megkívánják a MATLAB szoftver alkalmazását, de ugyanakkor nem biztosítanak minden a virtuális világban megszokott lehetőséget. Ilyen alkalmazásokra mutatunk példákat az irányításelmélet területéről.. Dinamikus rendszer szimulációja A dinamikus rendszerek elemzése során a bemenő és kimenő jelek ismeretén túl, a belső állapotváltozók dinamizmusának ismerete is fontos (Szilágyi-Juhászné, 007). Az állapotterek vizsgálata - különösen nemlineáris viselkedés esetén - a nagy bonyolultsága miatt, a tananyag nehezen elsajátítható része. Ehhez nyújt segítséget a virtuális állapotteres ábrázolás..1. Dinamikus nemlineáris rendszer modellje A j bemenettel, k kimenettel és n állapotváltozóval rendelkező MIMO (Multi Input, Multi Outpu dinamikus rendszer matematikai modellje n elsőrendű közönséges differenciálegyenletből és k algebrai egyenletből áll. Alakja a következő: dx( f ( x(, u ) (1) y( g( x(, u ) ahol az x ( állapotváltozó, az u ( bemenőjel, az y ( kimenőjel megfelelő méretű vektorok. Az irányításelméletben a rendszerek viselkedését általában a dinamikus rendszert leíró kauzális és időinvariáns (1) állapotegyenlet megoldásaként keressük. A megoldás a t [ 0, ) idő intervallumban, az x (0) kezdeti állapotnak (konstans) és az u 0, ha t<0 és u u(, ha t 0 (gerjesztés, tetszőleges belépő függvény) feltételnek tesz eleget. Ezen feltételeknek eleget tevő analitikus megoldás csak speciális függvények esetében létezik, ezért a szimulációk során általában csak numerikus megoldások alkalmazhatók... Egyensúlyi helyzet Ha az x (0) kezdeti feltételre és az u(=u 0 1(=c (konstans) gerjesztésre f(x(0),u(0))=0 állapotsebesség adódik, akkor a dinamikus rendszer egy meghatározott állapottérbeli P pontból kimozdulni már nem képes, ezt a pontot stabilis munkapontnak nevezzük. Ha viszont ez nem 0 akkor az állapotváltozók és a kimenőjelek is időbeli változást mutatnak.
Ha a gerjesztés zérus, a mozgást az állapotváltozók kezdeti értékei generálják, ezt a mozgást a rendszer sajátmozgásának nevezik. Ha a kezdeti értékek vektora zérus vektor, és a mozgás az u( gerjesztés hatására alakul ki, akkor a rendszer gerjesztett mozgásáról beszélünk. Ha kezdeti érték és gerjesztés is jelen van, akkor a mozgás összetett. 1.ábra Saját, gerjesztett és összetett mozgás Stabilis rendszerek esetén a mozgás egy P 0 pontból indul és egy P pontban ér véget, vagyis t= -ben létrejön az állapotváltozók mindegyikének egyensúlyi értéke. Nemlineáris rendszer modellje a következő állapot-egyenletrendszer: dx1 f1( x1(, x, x3( ) x1( x u( dx 3 f ( x1(, x, x3( ) 10x1 9x1 x () dx3( f 3( x1(, x, x3( ) x x3.ábra Dinamikus modell trajektória seregének ábrái MATLAB segítségével 3
Vizsgáljuk meg az állapotváltozók mozgását több kezdetiérték esetén, MATLAB szimulációval. Az alakzatok forgatása, mozgatása, átléptékezéssel valósul meg, amely időnként megváltoztatja az eredmények jellegét. Nem annyira látványos a VRML-ben generált eredmény, de az elemzése, mozgatása a térben nem deformálja a görbéket. 3.ábra A rendszer trajektóriái a virtuális térben 3. Diffúziós egyenlet megoldása Az általános matematikai szimulációs programok nem sokat tudnak kezdeni a nemlineáris és a parciális differenciálegyenletekkel, ezek kezelésére általában célprogramokat írnak. Találunk ilyeneket a MATLAB és a Mathematica programrendszerekben is, de ezek kezelése mélyebb rendszer ismeretet és programozási tudást vár el a kezelőtől.(tóth J.-Simon L.P., 005). Elemezzük a következő példát. A 0u( t, 1u( t, 0 parciális differenciálegyenlet megoldását vizsgáljuk az u(0,=3sin(, x [0,1] és u(t,0)=u(t,1)=0, ha t R + peremfeltételekkel. A megoldás Laplace transzformációval egyszerűen megkapható. Az egyenlet és a peremfeltételek: su ( s, u(0, 1U ( s, ahol U ( s,0) U ( s,1) 0, amelynek a megoldása U ( s, 3sin( /(4 s). Ha az inverz transzformációval visszatérünk a t idősikra, akkor a megoldást -4 t u(t, 3e sin( alakban kapjuk meg. A megoldás egy felület, amely MATLAB segítségével könnyen ábrázolható. A grafikus 3D kép forgatható, mozgatható, kicsinyíthető vagy nagyítható. Az ábrák forgatása, közelítése átléptékezéssel valósul meg. Ha megvizsgáljuk a kapott ábrákat azt tapasztaljuk, hogy a transzformációk időnként megváltoztatják az eredmények jellegét, lásd 4. ábra.. A MATLAB a 7. verziójától ad lehetőséget a grafikus eredmények virtuális valóságbeli kezelésére. 4
4.ábra Felület MATLAB segítségével készült ábrái, forgatás és mozgatás alkalmazásakor Az ábrákon jól látszik, hogy jelentős tartományváltozás következett be forgatáskor, valamint ugyanez tapasztalható forgatás nélküli mozgáskor is. Ha VRML-ben jelenítjük meg a felületet, akkor eredeti méretben kapjuk meg az eredményt, és a vizsgálat során végzett mozgások nem változtatják meg azt arányaiban. A VRML nyelv egy egyszerű böngészőbe integrált bővítő programmal ad lehetőséget az eredmények grafikus megjelenítésére. Bővítő programként a Cortona VRML kliens illetve a Flux Player, valamint a Vivaty Player jöhet szóba (6-13. sorszámú irodalmak). 5
5.ábra Felület a virtuális térben, mozgatással 6.ábra A mozgatás nem deformálja a felület arányait A virtuális világban megjelenített eredmények könnyen elhelyezhetők távoktatási anyagokban, honlapokon, így már a fogalmak elektronikus oktató anyagokban történő bevezetése során támogathatják azok könnyebb megértését,. A tanulók beléphetnek a virtuális világba, az interaktivitásnak köszönhetően mozoghatnak benne, tanulmányozhatják a görbeseregek illetve felületek tulajdonságait, de nem ronthatják el azokat. Alkalmazásuk a tananyagokban nem igényel különösebb szoftvertámogatást. Irodalomjegyzék [1] Dr.Szilágyi B.- Dr.Juhász Fné,007, Szabályozástechnika gyakorlatok. BME IIT, elektronikus jegyzet [] Tóth J.- Simon L.P.005, Differenciálegyenletek. Typotex Budapest, [3] Juhász Ferenc,003, Virtuális valóság modellezése. LSI Budapest [4] Ames A.L. - Nadeau D.R. - Moreland J.L.,000, VRML.0 Alapkönyv. Panem- John Wiley&Sons [5] VRML.0 Sourcebook - http://www.wiley.com/legacy/compbooks/vrmlsbk/toc/toc.htm [6] Cortona - http://www.parallelgraphics.com/products/cortona/ [7] XJ3D - http://www.xj3d.org/download.html [8] Flux Player - http://www.mediamachines.com/ [9] Vivaty Player - http://www.vivaty.com/downloads/player/ 6
[10] VRML and X3D - http://xml.coverpages.org/vrml-x3d.html [11] http://www.xml.com/lpt/a/003/08/06/x3d.html [1] X3D International Specification Standards - http://www.web3d.org/x3d/specifications/x3d_specification.html [13] Scalable Vector Graphics - http://www.w3.org/tr/svg/intro.html 7