CiicEl Kőzefeszülségek és haásuk a hullámejedés jellemzőie nyomásfüggő kőzefizai modellek Taalom Előszó 7 Bevezeés Koninuummechanai áekinés 3 Hullámejedés ugalmas és eológiai közegben 5 A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei 67 A kőzefeszülségek meghaáozásának indiek módszeei 99 Kőzefizai modellek a longiudinális hullámok ejedési jellemzői nyomásfüggésének magyaázaáa 7 Az akuszus jellemzők nyomásfüggésének laboaóiumi vizsgálaa kőzemagokon 3 A modellpaaméeek meghaáozásának inveziós algoimusa 9 A kőzefizai modell paaméeeinek inveziós meghaáozása 37 Kőzefizai modellek anszvezális hullámok ejedési jellemzői nyomásfüggésének leíásáa 53 Longiudinális és anszvezális hullámok nyomásfüggő kőzefizai modellpaaméeeinek együes meghaáozása 7 Összefoglalás 77 Köszönenyilváníás 78 Iodalomjegyzék 79 CiicEl Kőzefeszülségek és haásuk a hullámejedés jellemzőie nyomásfüggő kőzefizai modellek CiicEl Monogáfia sooza 8. Kőzefeszülségek és haásuk a hullámejedés jellemzőie nyomásfüggő kőzefizai modellek Miskolci Egyeem
CiicEL Monogáfia sooza 8. Kőzefeszülségek és haásuk a hullámejedés jellemzőie nyomásfüggő kőzefizai modellek Szekeszee: Dobóka Mihály, Somogyiné Molná Judi Miskolc, 4
CiicEL Monogáfia sooza 8. Soozaszekesző: Földessy János Kőzefeszülségek és haásuk a hullámejedés jellemzőie nyomásfüggő kőzefizai modellek Szekeszee: Dobóka Mihály, Somogyiné Molná Judi Szezők: Dobóka Mihály, Somogyiné Molná Judi, Kiss Ane Címlapfoó: Akuszus kőzefizai méőbeendezés A monogáfia a TÁMOP-4...A-//KONV--5 jelű pojek észekén, a Miskolci Egyeem saégiai kuaási eüleén működő Fennahaó Temészei Eőfoás Gazdálkodás Kiválósági Közpon evékenységének észekén az Új Széchenyi Tev keeében az Euópai Unió ámogaásával, az Euópai Szociális Alap ásfinanszíozásával valósul meg. Kiadó: Milagossa Kf. Miskolc E-mail: info@milagossa.hu A kiadásé felelős: Kövélyesi Ezsébe Készül: 4-ben Minden jog fennava! A Miskolci Egyeem íásbeli engedélye nélkül ilos e kiadvány észben, vagy egészben sokszoosíani ISSN: 64-395 ISBN: 978-65-873-3-7
TARTALOM Előszó 7. Bevezeés. Koninuummechanai áekinés 3.. Defomációk és feszülségek 5.. A mozgásegyenle 3.3. Anyagegyenleek 7.3.. Tökéleesen ugalmas es anyagegyenlee, feszülségfüggő ugalmas paaméeek 7.3.. Hooke-es anyagegyenlee és mozgásegyenlee 9.3.3. Folyadékmechanai anyagmodellek és mozgásegyenlee 3.3.4. Reológiai anyagmodellek és mozgásegyenlee 36 3. Hullámejedés ugalmas és eológiai közegben 5 3.. Kisampliúdójú hullámok ideális folyadékban 5 3.. Kisampliúdójú hullámok izoóp lineáisan ugalmas közegben 54 3.3. Kisampliúdójú hullámok viszkózus folyadékban 57 4. A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei 67 4.. Rugalmas közeg feléelezésével kidolgozo diek kőzefeszülség méő módszeek 68 4... Leeman módszee 68 4... Rocha és Silveio módszee 73 4..3. Blackwood módszee 75 4.. In-siu feszülségek és eológiai anyagjellemzők köülfúás nélküli meghaáozásának leheősége 76 4... Pime feszülségek és eológiai anyagjellemzők meghaáozásának leheősége fúólyuk faláa agaszo nyúlásméő bélyegekkel 8 4... Pime feszülségek és eológiai anyagjellemzők meghaáozásának leheősége fúólyukba agaszo ömö hengees szondával 84 4.3. In-siu feszülségek időbeli válozásának köveése 96 4.3.. Fúólyuk faláa agaszo nyúlásméő bélyegek alkalmazása feszülségállapo időbeli válozásának köveésée 97 4.3.. Fúólyukba agaszo ömö hengees szonda alkalmazása a feszülségállapo időbeli válozásának köveésée 98 5. A kőzefeszülségek meghaáozásának indiek módszeei 99 3
5.. A ejedési sebesség válozása és a kőzefeszülség közi kapcsola a nemzeközi szakiodalomban 5.. Az abszopciós ényező, ill. jósági ényező nyomásfüggése a nemzeközi szakiodalomban 6. Kőzefizai modellek a longiudinális hullámok ejedési jellemzői nyomásfüggésének magyaázaáa 7 6.. Kőzefizai modell felállíása a moepedések alapján 9 6... A moepedés koncenáció nyomásfüggése 6... A sebesség és a moepedés koncenáció-válozás kapcsolaa 6..3. A nyomásfüggő sebességmodell és a modellpaaméeek fizai jelenése 6.. Kőzefizai modell a póuséfoga válozása alapján 3 6... A póuséfoga nyomásfüggése 4 6... A sebesség és a póuséfoga válozás kapcsolaa 4 6..3. A nyomásfüggő sebességmodell és a modellpaaméeek fizai jelenése 5 6.3. Kőzefizai modellek felállíása az abszopciós ényező, ill. a jósági ényező nyomásfüggésének kvaniaív magyaázaáa 6 6.3.. A moepedés koncenáció nyomásfüggése 6 6.3.. A jósági ényező és a moepedés koncenáció kapcsolaa 7 6.3.3. A nyomásfüggő jósági ényező modell és a modellpaaméeek fizai jelenése 7 6.4. Akuszus hiszeézis vizsgálaa a ejedési sebesség vonakozásában 9 6.4.. Az akuszus hiszeézis iodalmi előzményei 6.4.. Az akuszus hiszeézis modell és paaméeeinek éelmezése 7. Az akuszus jellemzők nyomásfüggésének laboaóiumi vizsgálaa kőzemagokon 3 7.. A méőendsze felépíése, jellemző paaméeei 3 7.. Szakiodalmi jósági ényező adaok bemuaása 8 8. A modellpaaméeek meghaáozásának inveziós algoimusa 9 8.. Függelen lineáis inveziós eljáás bemuaása 9 8.. Együes inveziós eljáások bemuaása 3 8... Együes inveziós eljáás a sebesség-jósági ényező vonakozásában 3 8.. Együes inveziós eljáás a sebesség hiszeézis vonakozásában 33 8.3. A paaméebecslés jóságá jellemző mennyiségek 33 4
9. A kőzefizai modell paaméeeinek inveziós meghaáozása 37 9.. A ejedési sebesség modell paaméeeinek inveziós meghaáozása 37 9.. A jósági ényező modell paaméeeinek inveziós meghaáozása 4 9.3. A sebesség és jósági ényező modell paaméeeinek előállíása együes invezióval 45 9.4. A sebesség hiszeézis modell paaméeeinek együes inveziós meghaáozása 49. Kőzefizai modellek anszvezális hullámok ejedési jellemzői nyomásfüggésének leíásáa 53.. A anszvezális hullám jellemzőinek nyomásfüggése 53.. Kőzefizai modellek kiejeszése anszvezális hulláma 56... Kőzefizai modell a anszvezális sebesség és jósági ényező nyomásfüggésének magyaázaáa 56... Akuszus hiszeézis a anszvezális sebesség vonakozásában 58.3. A kifejlesze kőzefizai modellek alkalmazása a gyakolaban 59.3.. A ejedési sebesség modell paaméeeinek inveziós meghaáozása 6.3.. A jósági ényező modell paaméeeinek inveziós meghaáozása 63.3.3. A sebesség és jósági ényező modell paaméeeinek előállíása együes invezióval 66.3.4. A sebesség hiszeézis modell paaméeeinek együes inveziós meghaáozása 69. Longiudinális és anszvezális hullámok nyomásfüggő kőzefizai modellpaaméeeinek együes meghaáozása 7. Összefoglalás 77 Köszönenyilváníás 78 Iodalomjegyzék 79 5
ELŐSZÓ A CiicEL monogáfia sooza egy újabb köeel száll vesenybe a iszel Olvasó figyelmének elnyeéséé. De vajon milyen eséllyel, ha má maga az édeklődés felkelésének nemes kihívása sem nevezheő egyálalán héköznapinak? Hiszen hogyan kapcsolódhanak a kius nyesanyagok hazai gazdaságfejlesző poenciáljának kiaknázásáa élee hívo pogamba a köe címében megfogalmazoak: Kőzefeszülségek és haásuk a hullámejedés jellemzőie nyomásfüggő kőzefizai modellek. Talán a modellezés lehe a kulcsszó. Hiszen mindig is a modellezés vol az evolúció legeedményesebb eszköze. Má a földöéne embeiség színe lépésé megelőző szeeplőinek geneai fejlődése szemponjából is az bizonyul léfonosságúnak, hogy a külvilági haások észlelési apaszalaai mennyie seül valósághűen álalánosíani, különböző feléelezések visszacsaolásával. A biológiai evolúció sok évmilliónyi sponán fejleszőmunkájával mi magunk, a fő emék, póbálunk konkuálni. Szellemi evolúcióval, és jogos büszkeséggel udaosnak iulál modellezési evékenységgel. Reményeink szein hosszúávon. A héköznapi könös udományosa cseélve igyekszünk a valóságo minél használhaóbb modellekbe öneni. Ha pedig az ásványi és másodlagos foásokból beszeezheő kius nyesanyagok hozzáféheősége és hasznosíása édekében esszük mindez, egye kifinomulabb segédeszközökkel kell felvéezni vizsgálai fegyveáunka. Olyanokkal, amelyek má alkalmasak a ikán, kis koncenációban, kis inhomogeniással jelenkező kius elemeke magukba foglaló földani képződmények megbízhaó leképezésée is. A geofiza udománya álal kínál megismeési leheőségek legkoszeűbb, legjobb felbonású módszeének és egyben a geofiza kiálynőjének is ao szeizmus kuaás alappaaméeei olyan hullámejedési jellemzők, amelyeke igen nagyméékben befolyásolhanak a vizsgál kőzeösszle feszülség- és nyomás éékei. A vivőközeg állapoának ezen saus paaméeei ehá alapveő haással vannak a benne, a kuaás eszközekén geneál dinamus válozások ovaejedésée. A modellezés ágyá képező földani közeg dinamai viselkedésének finomhangolásáé felelős saus feszülségállapoo meghaáozó egy eő foása a gaviáció. Az a gaviáció, amely a négy alapveő fizai kölcsönhaás közül a leginkább héköznapinak aunk. Valójában azonban még haásközveíő észecskéje sem isme és az einseini fiza makoszkópus világa vonakozó gaviációs övényeinek 7
Előszó észecskefizában felá szabályokkal való összeegyezeése is váa még magáa. Az ehhez szükséges szubaomi kuaások kieljesíésének szándékával nemégiben üzembe állío legnagyobb észecskegyosíó működésének egy alapjá olyan óiás dipólmágnesek képez, amelyek gyáása nagy mennyiségű, a szupavezeésben nélkülözheelen nióbium ianáo igényel. Olyan soka, hogy az ezedfodulón a világ addigi nióbium-emelésének minegy 8%-á épíeék be az o felhasznál öbb, min eze dipólmágnesbe. E példa jól megvilágíja, hogy nem lehe kédés a kius elemek kuaásának fonossága. Hiszen nemcsak a fizai eek, hanem a kuaási eedmények kölcsönhaása is nyilvánvaló. Lehe, hogy éppen ezek a jelenkounk kuaásainak egy csúcsá képező észecskefizai kíséleek mellékemékekén felfedeze müon omogáfia és egy más csúcsá képviselő, a földudományi kuaások soán alkalmazo, ugalmas hullámoka épülő szeizmus omogáfia eedményei segíhe e modellezési echnák ovábbi kölcsönös módszeani fejleszésé. A módszeani fejleszések ma má nem nélkülözhe a koszeű számíásechnai leheőségek obbanásszeű fejlődésének hászelé, amelyek gyosan bővülő leheőségei meghaáozó szeepe jászanak mind az alap-, mind az alkalmazo kuaások felfelé ívelésében. Maximálisan élve ezzel a leheőséggel, (időnkén ugalmasan dacolva a haladási sebessége a ásadalmi koninuumban is befolyásoló saus feszülségmezőkkel,) a köe alkoói gádája álal kidolgozo és a köeben felvonulao alapkuaási eedmények közvelenül szolgálják gyakolai alkalmazások megalapozásá, kiszélesíésé. Olyan eszközáa eemve, amelyek gazdag élapjáól ki-ki udományos évágyának megfelelően válogaha. Az a kedves Olvasó, aki a kályháól elindulva, sziszemausan szeené felgöngyölíeni a köe aalmá, kiválóan bevezee koninuum mechanai áekinés segíi a udományos könös bemelegíésében. Aki pedig egyből szeené az magáa öleni, kedvée mazsolázha a kőzefeszülség meghaáozás diek és indiek módszeeinek áházából. Elmeülhe a longiudinális és anszvezális ejedési sebesség ovábbá az abszopciós és a jósági ényező nyomásfüggésée a moepedés koncenáció és a póuséfogaválozás alapján felállío ölees kőzefizai modellek ejelmeiben. Megismekedhe az akuszus hiszeézis és a kőzefizai modellek gyakolai alkalmazhaóságának igazolása édekében végze laboaóiumi eszelések meggyőző eedményeivel. Desszekén és az ínyenceknek pedig a köe fejezeeiben különböző szemponok alapján felállío kőzefizai modellek paaméeeinek inveziós és együes inveziós meghaáozásáa kidolgozo egyedülálló módszeeke ajánlhajuk. 8
Előszó A minden bizonnyal nem héköznapi szellemi évágyáé és szíves figyelméé cseébe olyan egyedülálló és világszínvonalú udományos eedményekkel ismekedhe meg a kedves Olvasó, amely a Miskolci Egyeem nagymúlú és nemzeközi elismeségű alkoókönyezeének kuaásaihoz kapcsolódnak. Olyan ismeeekkel megajándékozva ezzel a szakeüle művelői, amelyek a kius elemek földudományi kuaásának egye kifinomulabb meodá igénylő biodalmában sem nélkülözheők. DR. SZŰCS ISTVÁN anszékvezeő egyeemi docens Pécsi Tudományegyeem 9
. BEVEZETÉS Földalai üegléesíések evezésénél és kivielezésénél, a bányászai folyamaok és a emelés iányíásánál bizonsági és gazdaságossági szemponból is endkívül fonos az in-siu kőzefeszülségek ismeee. Különösen fonos ez a mélybányásza eüleén, függelenül aól, hogy milyen emészeű ásványi nyesanyag kiemeléséől (pl. kius elemek) van szó. A kőzefeszülségek méése egye a echnailag legnehezebben megvalósíhaó feladaoknak. Noha számos módsze ismeees a feszülségek meghaáozásáa, mindegynek vannak nehézségei, bizonyalanságai, ezé nem beszélheünk álalánosan elfogado és a gyakola köveelményei minden ekineben kielégíő eljáásól. A kőzekoninuumban ualkodó feszülségállapo a kőze számos anyagi jellemzőjée is haás gyakool. Így például a ugalmas és eológiai paaméeek, az elekomos és mágneses ulajdonságok üközhe a feszülségállapo haásá. Ezeknek az effekusoknak a anulmányozása kőzefizai szemponból önmagában is édekes és fonos. Pl. a szeizmus gyakola számáa igen jelenős kédés az, hogy a ugalmas hullámok ejedési jellemzőie (leggyakabban a fázissebessége) hogyan ha a kőzenyomás. Ha ez a kapcsolao ismejük, akko leheőség nyíl a ejedési sebesség és a mélység (amiől a kőzenyomás elsődlegesen függ) közöi összefüggés becslésée, ami a szeizmus időszelvény mélységszelvénnyé anszfomálásához alapveő fonosságú. A kapcsola megfodíásával pedig a sebességméésekből a kőzenyomás válozásaia kövekezeheünk. Ugyancsak ézékenyen függ a kőzenyomásól a szeizmus hullám abszopciós ényezője, ezen keeszül pedig a kőze jósági ényezője. Ezen jelenségek leíása (leheőség szein eleváns kőzefizai modellek felállíása) a nemzeközi kuaási evékenység homlokeében áll. A monogáfiában a kőzefeszülségek meghaáozásának néhány közvelen módszeé (köüléselés alkalmazó eljáások, angol eminológia szein sess elief echnique) ekinjük á, a közvee meghaáozás módszeei közül csupán a szeizmus/akuszus eljáásokhoz kapcsolódó kédésekkel foglalkozunk. Rövid bevezeés adunk a koninuummechanába, a kinemaai és dinamai alapok ismeeése uán az anyagegyenleekkel foglalkozunk észleesen. A lineáisan ugalmas es modellje melle a kőzemechanában leggyakabban alkalmazo eológiai anyagmodelleke is ágyaljuk, így a Kelvin-Voig es, a Maxwell-es és a Poyning-Thomson-féle sandad es anyagegyenleé észleezzük. Ennek soán kiéünk a defomáció-eadálás, illeve a feszülség-elaxáció jelenségée is. A eológiai anyagmodelleke ámaszkodva ámuaunk a (köülfúás alkalmazó) kőzefeszülség méési
Bevezeés módszeek ovábbfejleszésének leheőségeie. A javasol eljáások lényeges echnológiai egyszeűsíés jelenenek, és leheősége adnak az in-siu feszülségek melle a kőzekoninuum ugalmas és eológiai paaméeeinek egyidejű meghaáozásáa. A kőzefeszülségek áéeles haásai közül a ugalmas hullámok ejedési jellemzői (sebesség, abszopciós ényező, jósági ényező) emeljük ki. Noha ez a jelenségkö a nemzeközi szakiodalom észleesen ágyalja, az effekus mögö álló fizai haásoka kvaniaív módon leíó kőzefizai modellekkel ikán alálkozunk. A monogáfia keeében ámaszkodva a nemzeközi szakiodalom kvaliaív modell javaslaaia kőzefizai modelleke vezeünk be a anszvezális és longiudinális szeizmus/akuszus hullámok kőze nyomásfüggő ejedési sebességének és jósági ényezőjének kvaniaív leíásáa. A bevezee modellek alkalmasságá észben a Miskolci Egyeem Geofizai Tanszékén mé adaok, észben pedig a nemzeközi szakiodalomban publál adaok felhasználásával igazoljuk. A kőzenyomás hullámejedése gyakool haásának különlegesen édekes eülee az akuszus hiszeézis. A apaszala szein ugyanis a ejedési sebesség máskén váloz a nyomás függvényében a felehelés és a leehelés viszonyai közö. E jelenség leíásáa a nemzeközi iodalomban (főkén szekezei anyagoka vonakozóan) alálhaunk a ugalmasság nemlineáis elméleén alapuló javaslaoka. A jelen köeben megmuajuk, hogy a ejedési sebesség nyomásfüggésének leíásáa kidolgozo kőzefizai modellek alapján az akuszus hiszeézis jelensége egyszeűen magyaázhaó és a felállío kőzefizai modell kőzeminákon végze laboaóiumi méésekkel igazolhaó. A monogáfiában bemuao fejleszések kidolgozása soán a Miskolci Egyeem Geofizai Tanszékének munkaásai ámaszkodak a Műszaki Földudományi Ka Temészei Eőfoás Gazdálkodási Kiválósági Közponjának keeében működő Geoinfomációfeldolgozás Tudományos Műhelyében elé eedményeke.
. KONTINUUMMECHANIKAI ÁTTEKINTÉS DOBRÓKA MIHÁLY Miskolci Egyeem, Geofizai és Téinfomaai Inéze, 355 Miskolc-Egyeemváos E-mail: doboka@uni-miskolc.hu A emészeudományos megismeésben fonos szeepe kap a modellalkoás. Az anyagi világ jelenségei ui. nem udjuk eljességükben leíni, annál öbbnyie jóval bonyolulabbak. Éppen ezé öekszünk aa, hogy a jelenségek magyaázaában kiagadjuk a legfonosabb, leglényegesebb ulajdonságoka és az összes öbbi (más szemponból eseleg fonos) sajáságo elhanyagolva póbáljuk a jelenség magyaázaá (pl. emészei övény) megadni. Ebben a folyamaban ehá modell állíunk fel, és a ovábbiakban a modell ulajdonságaiól beszélünk. A modellalkoás soán a vizsgál sukúá endszein egyszeűsíjük, ugyanakko emészees köveelmény, hogy a modell ne jelensen úlzo egyszeűsíés és elfogadhaó ponossággal üközze a vizsgála ágyá. A koninuum fizában (így a koninuummechanában is) az anyago úgy képzeljük el, hogy az folyonosan kiöli a ee, vagyis bámilyen kis éfogaú eleme ugyanazon ulajdonságokkal íhaó le. A bámilyen kis éfoga haáeseben pono jelen, így a fizai jellemzőke ebben a közelíésben folyonos függvényekkel íjuk le. Ez a felfogás a közisme aomi szekezeel nyilvánvalóan ellenmondásban van. Ugyanakko nagyon sok jelenség leíásában (pl. ugalmasság, áamlások) nem szükséges (ső zavaóan bonyolul lenne) az aom- és molekulafizai leíás. A megoldás az, hogy a koninuum fizai leíásmódo az aomi haások álagolásával vezejük be: az, ami a fenomenologus ágyalásmódban ponkén kezelünk valójában egy a makoszkópus skálán elhanyagolhaóan kicsi, az aomi skálán ugyanakko igen nagy éfoga, amelyben elég sok aom van ahhoz, hogy az álagolás az aomi eselegességeke kiszűje, a nagy méeekben is lényeges ulajdonságoka azonban megasa. A fenomenologus ágyalásmód lényeges eleme az ún. anyagjellemző állandók bevezeése, amelyeknek az a szeepe, hogy az aomi méeeke öénő álagolás uán is ovábbvigyék az aomok lée és kölcsönhaása évén nagy méeeke is haó ulajdonságoka. Az anyagjellemzők endszein nem állandók, függnek a hőmésékleől (ami az aomi skálán végbemenő mozgások inenziásá jellemzi), de más mennyiségekől való függés is előfodulha. Így ehá az anyag egy egyszeűsíe modelljéhez, a koninuum modellhez juunk, amelye a kőzemechana és a kőzefiza számos eüleen alkalmaz. 3
Dobóka Mihály A koninuum mechanai ulajdonságai leíó elméle, a koninuummechana, fenomenologus udomány. A folyonossági hipoézis alapján az exenzív fizai mennyiségekhez (ömeg, impulzus, enegia) endelheő sűűségfüggvényeke maemaailag a helykoodináák folyonos függvényeinek ekinjük. Így pl. a ömeg-sűűségfüggvény a kövekezőképpen éelmezzük: m x,x,x3 lim, (.) V V ahol V a P x,x, pon köül felve kicsiny éfoga, m a benne foglal ömeg. A x3 V haáámenee fizailag éelmezzük, azaz a (.)-nek megfelelő dm dv egyenleben szeeplő dv éfoga fizailag infiniezimális. A maemaai éelemben ve V haáámene ui. kis éfoga eseén oda veze, hogy a V -be eső anyag má minőségileg más lesz. Ez öbbféleképpen bekövekezhe, a legnyilvánvalóbb azonban az, ha V az aomi éfoga nagyságendjébe es. Ekko a V -be eső anyag ulajdonságai egye inkább az aomi haások szabják meg. A makoszkopus skálán lejászódó jelenségek leíásához azonban az aomi mozgások egyedi ismeeée nincs szükség. Ha pl. a V éfogaban foglal impulzus vizsgáljuk, akko az apaszaljuk, hogy minél nagyobb a éfoga, az iány és nagyság szein endezelen aomi impulzusok eedője egye közelebb keül zéushoz, és az impulzus az álagsebességhez aozó álagimpulzus lesz. Így elég nagy V éfoga eseén az aomok egyedi mozgásáól má elekinheünk. Ez a éfoga makoszkopus szemponból még endszein igen kicsiny, azaz ponszeűnek ekinheő. A V haáámenee ehá úgy éelmezzük, hogy V egy olyan V éfogahoz a, amely az aomi skálán nagy (nagyon sok aomo foglal magában, így az aomok egyedi mozgása kiálagolód), makoszkopus skálán azonban kicsiny (olyan kicsiny, hogy makoszkopus szemponból V ponszeűnek ekinheő). Láhajuk, hogy a koninuummechanai és aomfizai ágyalásmód összeegyezeheő. A koninuummechanában aomok nagy csopojának, sokaságának egyszeűsíe leíásá kapjuk. Az aomok egyedi mozgásáól, az aomi haásokól így képe nem kaphaunk, cseébe azonban az egyenleek viszonylagos egyszeűségé nyejük. A koninuum közelíésből adódóan álalános (eszőleges koninuuma évényes) övényeke vezeheünk le. Ezek azonban éppen álalánosságuk mia a koninuum mozgásának eljes (zá) ágyalásá nem esz leheővé. 4
Koninuummechanai áekinés Mindig szükség van az anyag specifus ulajdonságai jellemző ovábbi egyenleeke vagy feléeleke. Ezek az anyagegyenleek, amelyek elkeülheelenül aalmaznak ún. anyagállandóka (pl. ugalmassági moduluszok). Az anyagállandók az anyag koninuumközelíésben elhanyagol aomi sajáosságai üköz, ezek képez a hida a makoszkopus és moszkopus ágyalásmód közö. Gázok és egyszeűbb kisályos szilád esek eseén egyes anyagállandók aomfizai, saiszus fizai módszeekkel meghaáozhaók. Bonyolulabb összeéelű esek (pl. kőzeek) eseén meghaáozásuk makoszkopus mééssel öén. A fizai mennyiségeke a koninuummechanában epezenáló függvények szakaszosan folyonosak, azaz lehenek a közegben felüleek (pl. éeghaáok), amelyek menén az egyes mennyiségek véges ugás szenvednek. E felüleek menén meghaáozo haáfeléeli egyenleeknek kell eljesülni... Defomációk és feszülségek A kinemaa a mechanának a mozgás leíásával foglalkozó ága. A mechana egymása épülő fejezeeiben anyagi pon, meev es, defomálhaó es egye bonyolulabb mozgásfomákkal alálkozunk. A kiejedés nélküli anyagi pon csak anszlációs mozgás végezhe. A meev es álalános elmozdulása má ké észből evőd össze: anszlációból és valamely engely köüli fogásból. A defomálhaó es eseében a anszláció és oáció melle a defomáció jelen meg. Ez a kijelenés fogalmazza meg a defomálhaó esek kinemaájának alapéele, amely szein a defomálhaó es elegendően kis éfogaának álalános elmozdulása (ha ez elég kicsiny) összeeheő egy anszlációból, egy oációból és háom egymása meőleges iányban ve megnyúlásból, ill. összehúzódásból. A koninuummechana keeében az elmozdulás az s, folyonos vekofüggvény adja meg. A kinemaai alapéel jelenésének szemléleése vége, vegyük fel a koodináa-endsze a defomálhaó koninuum P ponjában és ekinsük a P -hoz közeli (a P köül felve kicsiny éfogaból számazó) P pono. A koninuum mozgása soán P a á kielégíve az ' s vekoegyenlee, ahol s a P és ' P ponba megy ' P ponoka összeköő elmozdulás veko. Feléelezzük, hogy a P és P ponok közö nem húzód öési felüle. Ekko a ké (egymáshoz közeli) pon nem mozogha egymásól függelenül, közöük a koninuum anyaga álal meghaáozo maeiális kapcsola van. 5
Dobóka Mihály 6 Ez maemaailag úgy fejezhejük ki, hogy a P ponbeli elmozdulás P ponbeli jellemzőke vezejük vissza, vagy más szóval az 3 x,,x x s elmozdulás soba fejjük a,, P pon köül:... x x u x x u x x u x x u u u 3 3... x x u x x u x x u x x u u u 3 3... x x u x x u x x u x x u u u 3 3 3 3 3 3 3 3, (..) ahol a sofejésben szeeplő ovábbi magasabb endű agoka jelöli és a deiválak mellei index aa ual, hogy a deiválaka az oigóban ( P ) kell vennünk. A kinemaai alapéelben elegendően kis éfoga elmozdulásá -ól van szó. Ezen ponosan az kell éenünk, hogy a (..) egyenleekben az 3 x,,x x koodináák haványai és szozaai aalmazó magasabb endű agok legyenek elhanyagolhaók, azaz lineáis közelíéssel élünk. Emelle feléelezzük az is, hogy az első deiválak kicsinyek abban az éelemben, hogy szozaa és haványa elhanyagolhaók. Ezzel a (..) az,,3 i, x x u u u 3 j j j i i i (..) alako öli. A kövekezőkben alkalmazni fogjuk az ún. Einsein-féle konvenció, amely szein (..) így is felíhaó j j i i i x x u u u azaz, ha egy kifejezésben valamely index (vagy indexek) késze fodul(nak) elő, összegeznünk kell -ől 3-ig. A ovábbiakban a j i x u deiválak mellől a indexe elhagyjuk, így
Koninuummechanai áekinés 7. x x u u u j j i i i (..3) A j i x u deivál enzo szimmeus és aniszimmeus észe bonhajuk. x u x u x u x u x u i j j i i j j i j i Ezzel a (..3) elmozdulásoka az j i j j i j i j j i i i x x u x u x x u x u u u (..4) egyenlee kapjuk, ahol i u a P köül felve kis éfoga bámely ponjáa ugyanaz, vagyis i u ezen ponok mozgásáa nézve homogén anszláció jelen.,u,u u s 3 anszl Bevezeve a s o (..5) jelölés, könnyen beláhajuk, hogy a (..4)-ben szeeplő másod ag a [, ] vekoi szozaal egyez meg, ami az s, o s o oációs elmozdulás íja le. Így nyilvánvaló, hogy (..4) hamad agja a defomációs elmozdulásoka adja meg d 3 d d def u,,u u s, ahol. x x u x u u j j j j i d i (..6) Bevezeve az i j j i ij x u x u (..7)
Dobóka Mihály jelölés (..6) az d u x i ij j (..8) alaka hozhaó, ahol az ij szimmeus másodendű enzo neve defomációs enzo. A defomációs enzo elemei jelenésének iszázása vége vegyük fel az eedei koodináa-endsze x koodináa engelye menén egy egységnyi hosszúságú maeiális vonala és jelöljük az i,, vekoal. Ez a defomáció soán az ' s egyenlenek megfelelően (..8) szein az ',, vekoba megy á. A elaív nyúlás így ' i 3 i 3 mivel kis defomációka szoíkozunk,., 33, (..9) Az defomáció ehá az x koodináaengely menén felve egységnyi hosszúságú szakasz megnyúlásá, vagy máskén az x engely menén mé elaív nyúlás jeleni. Hasonló a jelenésük az, 33 elemeknek is. A defomációs enzo főálójában álló elemek az x,x, x3 engelyekbe eső maeiális vonalszakaszok elaív megnyúlásá adják. A főálón kívüli elemek jelenésé úgy vizsgálhajuk meg, hogy felvesszük az x koodináaengely iányába eső j egységveko, amely defomáció uán az ',, vekoba megy á. A (..9) egyenle segíségével az ', ' 3 defomációk négyzeei, valamin szozaai elhanyagolva az ' ', eedménye juunk. Felhasználva, hogy ' ' ' ', cos, skaláis szozao képezve és a 8
Koninuummechanai áekinés ahol ' ' és a ké veko álal bezá szög, a szöge eedmény adód, ahol felhasználuk, hogy kis szögeke annak a szögválozásnak a fele, amelye az eedeileg meőleges i és j sin. Az defomáció ehá vonalelemek szenvednek. Hasonló a jelenése az, 3 3 defomációknak is. élekkel a V abc éfogaú hasábo! A defomáció soán kelekező hasáb éfogaa közelíőleg iányokban felve Vegyük fel a defomálalan koninuumban a koodináa engelyekkel páhuzamos ε ε ε abc V' 33 lesz, azaz a elaív éfogaválozás V' V 33. V A defomációs enzo főálójában álló elemek összege (más néven a defomációs enzo spuja vagy első skalá invaiánsa) a elaív éfogaválozás jeleni. Máskén ez a qq egyenleel fejezhejük ki ( q -a összegzés!), vagy a defomációs enzo (..7) definíciója alapján u u u3 div s. (..) x x x 3 Ez a mennyiség a koodináa anszfomáció soán válozalan maad. A defomációk jellemzésée szokás bevezeni az E ( ) defomációs gömbenzo és az qq (..) 3 9
Dobóka Mihály E qq (..) 3 defomációs deviáo enzo, ahol az egységenzo, azaz, hai k., hai k A defomációs gömbenzohoz endelheő másodendű enzofelüle gömb, innen számaz az elnevezés. Ezzel a enzoal a defomációkból a isza éfogaválozás válaszjuk le. A defomációk E fennmaadó észe, a isza éfogaválozásól való eléés (deviáció) azaz az ún. ozulás muaja. Nyilvánvaló (..) alapján, hogy E qq. A defomációs enzo E E (..3) ( ) felbonása egyben a éfogaválozásól menes isza ozulása és a isza éfogaválozása való felbonás. A koninuum mozgásának dinamai ágyalása eősűűségek bevezeésé kívánja meg. A apaszala az muaja, hogy a koninuuma haó eőke ké csopoa oszhajuk: éfogai és felülei eőke. A é ado ponjában felve (fizailag) infiniezimális dv éfogaelemben levő koninuuma haó df éfogai eő * df f dv alakban adhajuk meg, ahol * f éfogai eősűűség inegálja adja F * f dv. V A éfogai eősűűsége máskén az * F f lim V V definícióval is kiszámíhajuk. a éfogai eősűűség. Véges V éfogaa haó eő a Vannak olyan eők, amelyek fizailag közvelenül nem a éfogaal, hanem a ömeggel aányosak. Ezeke a ömegeő sűűséggel jellemezhejük F f lim, m m
Koninuummechanai áekinés ahol m a V éfogaban foglal ömeg. Ezzel azonban V F * f lim f V m V vagy máskén f * f. (..4) A koninuumban ébedő eők más csopojá a felülei eők képez. Hogy a felülei eősűűség bevezeésének szükségességé megéhessük, a koninuumszemléleből kilépve gondoljunk aa, hogy ha egy szilád es belsejében gondolaban kijelölünk egy felülee és annak menén a ese megpóbáljuk keéválaszani, le kell küzdenünk azon aomok egymása kifeje haásá, amelyek a felüle ké oldalán néhány aoméeg mélységben (ehá véges éfogaban) helyezkednek el. Ezek az eők ehá makoszkopusan jelenkeznek, magyaázaukhoz azonban moszkopus (aomi) méeekig kell visszanyúlnunk. Ez a poblémá fenomenologusan úgy lehe megoldani, ha az éine aomány (néhány aoméegig ejedő) hamad dimenziójá elhanyagoljuk és a fellépő eőke felüleen megoszló eőendszenek ekinjük. Így juunk el a felülei eősűűség fogalmához n F n lim, (..5) A A ahol a A haáámenee úgy éelmezzük, hogy A egy olyan kicsiny A felülehez a, amely makoszkopus szemponból elhanyagolhaó (ponszeűnek ekinheő), de az aomi keeszmeszehez képes nagyon nagy. A (..5) másképpen így is íhaó F n da. (..6) A (..6)-ban az n "index" ual aa, hogy a felülei eő ado helyen nemcsak a felüle nagyságáól, hanem annak az n nomális egységvekoal jellemze iányíásáól is függ. (..6) alapján véges A felüleen haó felülei eő így számolhaunk F da n. (..7) A Mivel az n nomális egységveko minden ponban végelen sok iányba muaha, lászólag végelenül sok felülei eősűűség ismeee szükséges a felülei eők megadásához. Be lehe azonban bizonyíani, hogy n n. (..8) n x n x x3 3
Dobóka Mihály Ez az egyenle az muaja, ha valamely ponban ismejük háom egymása meőleges koodináasíkon haó x i felülei eősűűsége, akko bámilyen n iányíású felüleen haó felülei eősűűség (vagy más néven feszülség) kiszámíhaó a (..8) egyenle segíségével. Bevezeve a n n, n, n3 x,, 3 x,, 3 x 3, 3, 3 jelölés (..8) így is íhaó 33, i,,3 (..9) ni ij n j (ahol megállapodásunk szein j-e összegezni kell -ől 3-ig). A (..9) szein ehá a felülei eősűűség jellemzésée bevezehejük a ij másodendű enzo, amely az i- koodináaengely iányába muaó nomálissal elláo felüleen haó feszülségveko j- komponense. Bebizonyíhaó, hogy ez a enzo szimmeus, azaz ij ji. A enzo főálójában álló,, 33 elemek nomális iányú (húzó- vagy nyomó-) feszülségek, a, 3, 3 főálón kívüli elemek angenciális (nyíó- vagy csúszaó) feszülségek. A defomációs enzonál ismeee módon a feszülség enzo a feszülségi deviáo- és a feszülségi gömbenzo összegekén állíhajuk elő ahol T T, (..) T qq, T qq, (..) 3 3 qq a feszülség enzo főálójában álló elemeinek összege.
Koninuummechanai áekinés.. A mozgásegyenle A defomálhaó koninuumok mozgásegyenleének levezeéseko Newon II. övényének abból a megfogalmazásából indulunk ki, mely szein a es impulzusának idő szeini deiválja a ese haó eők eedőjével egyenlő, azaz di F. d A mozgó (áamló) koninuumban valamely V éfogaú ese úgy definiálunk, hogy egy ado időben kijelöl V haáoló felüleén levő koninuumelemeke (ponoka) ekinjük bámely későbbi időponban a éfoga haáoló felüleének, így a felüle és az álala közezá éfoga is együ mozog a koninuummal. Ez az jeleni, hogy a haáoló felüleen keeszül nincs anyagáamlás, egy ado időben V -ben foglal anyag mindenko V -ben maad, azaz a mozgás soán mindenko ugyanaól a esől van szó. A es impulzusá az I i dv V fomula alapján haáozhajuk meg, ahol v m i lim v V V s a éfogai impulzussűűség, v a sebesség. A ese haó eők eedője a éfogai és felülei eők összege, azaz F f dv V da. A mozgásegyenle inegális alakjá ezzel így íhajuk d d v dv V A n f dv n da, A V ahol V ( ), A ( ) a koninuummal együ mozgó éfoga, ill. felüle. A vekoegyenle i- koodináájáa a d d V vi dv fi dv n da (..) i V A egyenle adód. Ennek áalakíásáa felhasználjuk a 3
d d dv divv dv V V Dobóka Mihály azonosságo és a Gauss-Oszogadszkij éel n i da ij n j da ij da j i da div i dv A A A A V, ahol daj n j da és i i i,, i3 a feszülségi enzo i- soá, min fomális veko jelöli. I felhasználuk a (..9) egyenlee is. A (..) mozgásegyenle mos má így íhaó vi V div v v i fi div i dv. Mivel a V ( ) éfoga eszőleges, az inegál elűnéséből az inegandusz elűnésée kövekezeheünk vagy máskén vi vi div div v v f div, i v v f. i i i x k i (..) Ez a defomálhaó koninuum mozgásegyenleének lokális alakja, vagy más néven az impulzus mélegegyenlee. A koninuumelméleben az exenzív mennyiségek anszpojá leíó egyenleek álalában koninuiásegyenle alakjáa hozhaók. Ha valamely mennyiség éfogai sűűsége w, az ado mennyiség konvekív (a éfogaelem, min egész elmozdulásával együ jáó) áamsűűségé a J konv w wv mennyiség adja meg. A kondukív (a moszkopus mozgásokkal kond kapcsolaos) áamsűűsége J jelöli. Ekko a w mennyiség mélegegyenlee w div w konv kond J J, w vagy ha w -nek foásai (vagy nyelői) vannak akko w 4
w div konv kond J J, w w Koninuummechanai áekinés (..3) ahol a foáseősség, w -nek a éfogaegységben időegység ala emel vagy elnyel mennyiségé adja meg. Bevezeve a J konv imp v v konvekív és a kondukív impulzusáamsűűség vekooka a (..) egyenle a v konv kond i div i J imp Jimp fi J kond imp alako öli. A feszülségenzo (--szeese) ehá fizailag a kondukív impulzus áamsűűség, a fi éfogai eősűűség pedig az impulzus foáseősségének szeepé jássza. Ismeees, hogy hasonló mélegegyenle a öbbkomponenses folyékony elegy j- összeevőjének j (ömeg) sűűségée is felíhaó j konv kond div J m J m j ahol a konvekív ömegáam-sűűség J konv m, j v, a kondukív ömegáam-sűűség pedig a diffúziós mozgások leíásáa ad módo, a j foáseősség a j- összeevő podukciójá megadó kémiai eakcióa vonakoz. Egykomponenses folyadéka a foáseősség elhanyagolásával a ömeg mélegegyenleé div v koninuiási egyenle adja meg. A (..) egyenle bal oldalá áalakíva a (..4) vi vi div v v gad vi fi x k egyenlee juunk, ahol felhasználuk a div a A adiva Agad ( a ) azonosságo (ahol a és A a háom ékoodináa folyonos függvénye). A koninuiási egyenlee figyelembe véve (..) a vi v gad vi fi x k 5
Dobóka Mihály alako öli. A opeáo konvekív deiválnak nevezzük, míg paciális deivála másképp lokális, a v gad d d v gad neve szubszanciális deivál. Ezzel a mozgásegyenle dv i fi (..5) d xk alakban íhaó fel. Szilád koninuumokban a konvekció elhanyagolhaó, így mozgásegyenle d d és a u i f i. (..6) xk A (..5) mozgásegyenlenek vekoalakban a v v gad v f Div, (..7) (..6)-nak pedig a s f Div (..8) egyenleek felelnek meg, ahol Div a enzoi divegencia jele, a keős aláhúzás pedig enzo jelöl. A (..4) koninuiási egyenle a ömeg megmaadásának, (..5) pedig az impulzuséelnek a koninuummechanai megfogalmazása, vagyis álalános (bámilyen koninuuma évényes) emészeövény fejeznek ki. E négy skaláis egyenleben azonban (az f i ömegeőke ismenek ekinve) skaláis ismeelen van. A emészei alapövényekből kaphaó egyenleendsze ehá jelenősen alulhaáozo, így egyéelmű megoldása nem is lehe. Ahhoz, hogy a koninuum mozgásá dinamailag egyéelműen leíhassuk ovábbi ha egyenlee van szükség, amelyeke csak a koninuum anyagi minőségée, ugalmas ulajdonságaia e megszoíó feléelek alapján kaphajuk meg. Ezek az egyenleek a feszülségenzo ha függelen elemée felí anyagegyenleek. 6
Koninuummechanai áekinés.3. Anyagegyenleek Az anyagi koninuumok ugalmas ulajdonsága ekineében nagyon válozaosak. Olyan álalános anyagegyenle, amely mindez a válozaosságo áfogja, nem léez. Ehelye úgy kell eljánunk, hogy a vizsgál közeg összes ugalmas sajáságai közül kiagadjuk a leglényegesebbe, a legjellemzőbbe és a öbbi "zavaó" köülményől elvonakozaunk. Ez máskén úgy fejezhejük ki, hogy modell alkounk. A kövekezőkben a legfonosabb egyszeű és az ezekből felépíe összee anyagmodelleke ismeejük a eljesség igénye nélkül, főkén a kőzemechana és szeizma/akusza szemponjainak figyelembe véelével..3.. Tökéleesen ugalmas es anyagegyenlee, feszülségfüggő ugalmas paaméeek Tökéleesen ugalmas esől akko beszélünk, ha a feszülségek a koninuum ado helyén és ado időben csupán az o és akko ualkodó defomációkól függenek, azaz Az f,, 33,, 3, 3. (.3.) f függvénykapcsola álalában nemlineáis. Nagyon gyakan azonban kis defomációkhoz aozó kis feszülségválozással van dolgunk. Pl. ha egy ado feszülség állapoban léező mélybeli közegben ugalmas hullám ejed, a hullám kelee defomáció és feszülség peubáció igen kicsi a közeg eedei, saus ehelésének jellemzőihez képes. Ilyenko az f függvény haványsoának lineáis agjaival közelíheő ahol bevezeük a jelölés. A 6 f, (.3.),, 33,, 3,, c, 33,, 3, 3 3 f konsansoka ugalmassági állandóknak nevezzük. Ezek jellem- z a ökéleesen ugalmas ese a defomálalan állapo közelében. Nyilvánvalóan a sofejés bámely defomációs állapo köül elvégezhejük, amo is, 7
Dobóka Mihály. Ekko 8 6 f f, vagy f mia f 6. (.3.3) Az alap (vagy egyensúlyi) defomációa szupeponál kicsiny defomációka a feszülségválozással a (.3.)-höz hasonlóan a (.3.3) egyenle kapcsolja össze, azonban a c f ugalmassági állandók az alap defomációkól függenek. Ha a f függvénykapcsola inveálhaó, azaz g ( ) a c ( ) ugalmassági jellemzők a feszülségállapoól függenek. Az i mondoaka aláámaszja az a szeizmus apaszala, hogy a ugalmas hullámok sebessége az in-siu feszülségállapo függvénye. Mivel a ejedési sebesség a moduluszokól függ, láhajuk, hogy a sebesség/nyomás kapcsola leíásáa fenomenológiailag a ökéleesen ugalmas es modellje a nyomásfüggő moduluszokon keeszül alkalmas lehe. Temészeesen a megfelelő anyagegyenle előállíása ismé kőzeípusól, a kőze anyagi minőségéől függ. A észlees megfonolásoka és a nyomásfüggő sebessége leíó kőzefizai modelleke a monogáfia későbbi fejezeeiben észleesen ágyaljuk. Mivel a hullámok kis defomáció jelenenek, a (.3.3) sofejés ilyenko jó közelíés ad. A (.3.3)-ban szeeplő c f ugalmas paaméeek egy 6x6-os máixo alkonak. A koninuumoka megfogalmazo enegiaéel segíségével be lehe bizonyíani, hogy ez a máix szimmeus. Ez az jeleni, hogy álalános eseben az anizoóp koninuum ugalmas sajáságai függelen ugalmas paaméeel jellemezhejük. Az anyagszimmeia ulajdonságai a ugalmas állandók számá jelenősen csökkenhe. Pl. egyhajlású end-
Koninuummechanai áekinés szeben kisályosodó anyag eseén a függelen ugalmas paaméeek száma 3, ombuszos endsze eseén 9, négyzees endsze eseén 6. Az izoóp koninuum ké ugalmas állandóval jellemezheő. Számos gyakolai eseben, a szeizma eseében pedig a obbanási kédésekől elekinve mindig jó közelíés jelen a (.3.3) lineáis közelíés. Az az anyagmodell, amelyben a (.3.3) nemcsak kis defomációka évényes, a lineáisan ugalmas es modelljének nevezzük. Kis defomáció inevallumban a ökéleesen ugalmas es modellje a lineáisan ugalmas esbe megy á..3.. Hooke-es anyagegyenlee és mozgásegyenlee Az anizoópia fenomenológiai leíása a kőzefizában és a szeizmában is fonos. Ugyanakko a szeizmus gyakolaban indokol az egyszeűsíés, ezé a leginkább alkalmazo lineáisan ugalmas közegmodell az izoópiá feléelezi. A lineáisan ugalmas izoóp ese mindössze ké ugalmassági paamée jellemzi, ezeke öbbféleképpen is bevezehejük. A emodinamai megfonolásokkal kövekező ké paamée a és, az ún. első és másod Lamé állandó. Ezekkel a lineáisan ugalmas izoóp es vagy Hooke-es anyagegyenleé így íhajuk fel. (.3.4) A feszülségenzo spujáa innen a qq 3 K (.3.5) egyenlee kapjuk, ahol Bevezeve K a kompesszió modulusz. 3 T 3 qq feszülségi gömbenzo, (.3.5) alapján ennek a defomációs gömbenzoal való kapcsolaáa a T 3K E (.3.6) egyenlee íhajuk fel. A T E T feszülségi deviáo enzoa (.3.4) alapján így a T (.3.7) 9
3 Dobóka Mihály egyenle adód. A és anyagjellemző paaméeek álalában a hőmésékleől is függnek. A műszaki éleben a Lamé állandók helye gyakan használják az E Youngmodulusz és az m Poisson-számo. Egyengelyű ehelés (pl. egy végén befogo, más végén húzo hosszú vékony úd) eseén, ha az x engely iányú, a húzás E, (.3.8) így az E Young-modulusz közvelenül meghaáozhaó. A húzása meőleges síkban az, 33 defomáció ellenées előjelű és aányos az elaív nyúlással m 33 ahol m a Poisson-szám. A elaív éfogaválozás, m 33. (.3.9) m Mivel, így (.3.9)-ból m. Az egyenlőség az összenyomhaalan anyagoka vonakoz (pl. szaus ehelés folyadékban). A (nyújás) eseén a éfoga nem csökkenhe, és az E, m paaméeek összefüggésé keesve íjuk be a (.3.9) kifejezésé (.3.4)-be. Egyengelyű ehelésnél m, (.3.) m másész qq mia (hiszen csak egy feszülség komponens léez) m 3. (.3.) m A (.3.) és (.3.), valamin a (.3.8) egyenleeke összeveve vagy m, E 3
Koninuummechanai áekinés m m E, m. m m E A lineáisan ugalmas izoóp es mozgásegyenleé megkapjuk, ha a (.3.4) anyagegyenlee az álalános (..6) mozgásegyenlebe helyeesíjük. A (.3.4) feszülségenzo divegenciájá képezve homogén közeg eseén ( és helyől függelenek) x k ui x x k k uk x x k i, x k ahol felhasználuk a defomációs enzo (..7) definíciójá és az egyező indexeke összegeznünk kell. Mivel uk x x k i x i u x k k x i és x k, x a mozgásegyenlee így íhajuk fel i ui f i ui, (.3.) x vekoi alakban pedig (..) felhasználásával s f s gad div s i. (.3.3) Ez az egyenle a lineáisan ugalmas homogén izoóp es, a Hooke-es mozgásegyenlee, más néven Lamé egyenle. Maemaailag (.3.3) inhomogén, másodendű lineáis, csaol paciális diffeenciál egyenleendsze, melynek egyéelmű megoldásához kezdei és peemfeléelek köése szükséges. A kezdei éék pobléma kiűzése az jeleni, hogy - s, v, sebessége a vizsgál V éfoga minden ban előíjuk az elmozdulás és a * ponján. A peemfeléelek V éfogao haáoló A felüle ponjaiban íják elő az s * s, elmozdulás és a (nomális) iánymeni deivál ééké eszőleges időben. n 3
Dobóka Mihály Inhomogén lineáisan ugalmas izoóp es eseén a Lamé-"állandók" a hely függvényei:,x,x, x,x,x. A (.3.4) feszülségenzo divegenciájá így x 3 3 x k u i x u x x u x x x i k div s div s i k k k i i alakban íhajuk fel. A mozgásegyenle ezzel a ui f u i i x u x x u x x x i k divs divs i k k k i i alako öli, vagy vekoi alakban s f s gad div s ahol gad,o s vekoi szozás jelöl. gad gad s gad,o s gad div s.3.3. Folyadékmechanai anyagmodellek és mozgásegyenlee A folyadékok fenomenológiai definíciója azon a apaszalaon alapul, amely szein a folyadékokban fellépő éinőleges (nyíó) feszülségek annál kisebbek, minél lassúbb a defomáció. Ez a megfigyelés exapolálva az a koninuumo ekinjük folyadéknak, amelyben nyugalmi állapoban nyíó feszülségek nem lépnek fel, azaz a feszülségenzo főálón kívüli elemei minden koodináa-endszeben elűnnek. Izoóp folyadékokban a főálón levő elemek egyenlőek, azaz nyugalmi állapoban a feszülségi enzo p alakú, ahol p a skaláis nyomás. Ideális folyadék (Pascal-es) anyagegyenlee és mozgásegyenlee Ideálisnak az olyan folyadéko nevezzük, amelyben nyíófeszülségek mozgás közben sem lépnek fel, azaz az ideális folyadék feszülség enzoa bámilyen defomációa 3 (.3.4) p alakú. Mivel ekko T,
Koninuummechanai áekinés az ideális folyadék feszülségenzoa gömbenzo. Ez a folyadékmechanából isme Pascal-övény egy megfogalmazása, ezé az ideális folyadéko máskén Pascal-esnek is nevezzük. A (.3.4) egyenle csak a feszülségenzo alakjáa esz megszoíás, de nem anyagegyenle. Az anyagegyenle a feszülségeke álalában kinemaai jellemzőkkel kapcsolja össze. A folyadékmechanában eől eléően a nyomás álalában a sűűségől és a hőmésékleől való függésében vizsgáljuk. Ha pl. a nyomás csak sűűségől függ p p, baoóp folyadékól beszélünk. A (.3.4) egyenle gázok eseén is évényes. Ideális gázok állapoegyenleé a p T R egyenle adja, ahol R a gázállandó és T az abszolú hőmésékle. Speciális állapoválozásoknál az állapoegyenle egyszeűbb alako öl. Pl. izoemus folyamaoknál p konsans adiabaus állapoválozás eseén pedig p konsans p v,, c p ahol, c az állandó nyomáson, c v pedig az állandó éfogaon mé fajhő. c Az ideális folyadék mozgásegyenleé (..5) és (.3.4) alapján a vi p v gad vi fi x i egyenle adja, vagy vekoi alakban v v gad v f gad p. (.3.5) Ez az egyenle az Eule-egyenle. 33
Dobóka Mihály A newoni folyadék anyagegyenlee és mozgásegyenlee Az ideális folyadékmodell számos gyakolai pobléma leíásá nem eszi leheővé. Köznapi apaszala, hogy a hullámok a folyadékban abszobeálódnak, vagy áamlásko a folyadékban súlódási veszeségek lépnek fel. Ezek magyaázaáa egy ovábbfejlesze folyadékmodelle van szükség. A folyadékok fenomenológiai definíciójánál kiemelük, hogy a nyíófeszülségek annál kisebbek, minél lassúbb a defomáció. Ez az jeleni, hogy a folyadékban fellépő súlódásból számazó feszülségek a defomációk gyosaságáól, az. vi xk v x k i defomációs sebesség enzoól függenek, azaz...... ' f,, 33,, 3, 3. A geofizai alkalmazások szemponjából jelenősége csak a defomációs sebességekben lineáis függés muaó izoóp folyadékoknak van. Ekko (az izoópia mia) a enzo (.3.4) kifejezésében az defomációk helyée az enzo íva a '.. (.3.6) anyagegyenlee juunk, ahol és a viszkoziási ényezők. Ez a Newon-féle folyadékok (Newon-es) anyagegyenlee. Bevezeve az.. E 3 defomációs sebesség gömbenzo és az. E.. 3 defomációs sebesség deviáo enzo a (.3.6) egyenle ké enzoegyenlee bonhaó T.. E,T 3 v E, (.3.7) ahol v az ún. éfogai viszkoziás. 3. 34
Koninuummechanai áekinés A valóságban a súlódó folyadékok leíásáa a Pascal-es és a Newon-es anyagegyenleé egyesíeni kell, azaz a eljes feszülségenzo p. alakú. A enzo divegenciájá képezve (.3.6) felhasználásával a. x k p x i vi x x k k x i v x egyenlee kapjuk, amellyel a (..5) mozgásegyenle a vi p v gad vi fi vi divv (.3.8) x x alako öli, vagy veko fomában v v gad v f gad p v gad divv. Ez a súlódó folyadékok mozgásegyenlee, vagy a Navie-Sokes egyenle. i i A Navie-Sokes folyadék A apaszala az muaja, hogy (a hangsebességhez képes) kis sebességű áamlásoknál és alacsony fekvenciás hanghullámoknál a (.3.7)-ben szeeplő éfogai viszkoziás jó közelíéssel zéusnak ekinheő. (A v megméése éppen a kis effekus mia nehéz felada, ami elsősoban nagyfekvenciás ulahang kíséleekben megoldhaó.) A szeizmus és kőzemechanai alkalmazásokban ezé a Newon-modell szűkíheő. Ezzel egy új folyadékmodell hozhaunk lée, amelyben v mia, (.3.9) 3 ezé a feszülségenzo (.3.6) helye.. ' (.3.) 3 alakú, (.3.7) pedig (.3.) mia T. E, T. (.3.) 35
Dobóka Mihály A (.3.) vagy (.3.) egyenle az ún. Navie-Sokes es anyagegyenlee. A (.3.8) mozgásegyenle (.3.9) mia a vi p v gad vi fi x i vi divv 3 x i alakban íhaó fel, vagy vekoi fomában v 3 v gad v f gad p v gad div v...3.4. Reológiai anyagmodellek és mozgásegyenlee A Hooke-es (.3.4) és a Newon-es (.3.6) anyagegyenlee ugalmasságani szemponból az izoóp anyagi koninuumok ké fonos haáeseé íja le: a csupán a defomációkól (.3.4), ill. csupán a defomációs sebességekől (.3.6) (lineáisan) függő feszülségek haáeseé. A valóságban a közeg feszülségenzoa (kisebb vagy nagyobb méékben) a defomációkól és a defomációs sebességekől is függ. f,, vagy máskén az anyagegyenle. F,, (.3.) álalános alakban íhaó fel. Sok eseben ez az anyagegyenle a (.3.4) és (.3.6) vagy (.3.4) és (.3.) egyenleek alapján előállíhaó, máskén szólva a közeg ugalmas ulajdonságai leíó anyagmodell a Hooke-esből és a Newon- vagy Navie-Sokes esből felépíheő. Ilyenko összee anyagmodellől beszélünk. Gyakan előfodul, hogy az anyagegyenleben a feszülségválozási sebesség enzo is szeepe jász, azaz az anyagegyenle.. F,,, (.3.3) alakú. A (.3.), (.3.3) ún. eológiai egyenleekben szeeplő F függvény endszein enzook lineáis kifejezése. A köveke- lineáis. Ekko a feszülségenzo az zőkben ee láunk néhány példá. 36,. és.
Koninuummechanai áekinés A Kelvin-Voig es anyagegyenlee és mozgásegyenlee A Hooke-es és a Newon-es legegyszeűbb egyesíésée a Kelvin-Voig modell mua példá. A modell szemléleésée a.. ába szolgál... ába: A Kelvin-Voig es modellje A ugó a Hooke-ese, a viszkózus folyadékkal ölö hengeben mozgó pefoál dugayú a Newon-ese modellezi. Egydimenziós mozgások eseén nyilvánvaló, hogy a ké észesen az elmozdulások egyenlők, míg a modell ké ágában ébedő eők összege egyez a modelle haó eővel. Ez az egyszeű feléel álalánosíjuk úgy, hogy H N (.3.4) H N. (.3.5) A (.3.4), (.3.5) egyenleek a (.3.4) és (.3.7) anyagegyenleek felhasználásával a.. (.3.6) eedmény adják, amely a Kelvin-Voig es anyagegyenlee. A feszülségi deviáo enzoa (.3.6) alapján vagy a T. E E (.3.7) ún. eadálási idő bevezeésével a 37
Dobóka Mihály T (.3.8) E egyenlee kapjuk. Láhajuk, hogy ez az anyagegyenle lassú folyamaok eseén a Hookees anyagegyenleébe megy á. Ha a folyama kaakeiszus ideje, akko a deivál nagyságendjé E adja meg. Lassú folyamaoknál és ekko valóban T E. Gyos folyamaok eseén viszon, ekko (.3.8) a T E. egyenleel közelíheő, amely mia a Newon-es deviáo egyenlee. ahol A gömbenzook egyenlee T. ( ) 3K E 3 v E, (.3.9) K, v. 3 3 Ha a Newon-es helye Navie-Sokes es íja le a viszkózus eőke, a deviáo egyenle válozalan maad, a gömbenzo egyenleée azonban (.3.9) helye T 3K E (.3.3) adód. Ez a közelíés kőzemechanai és szeizmus jelenségek leíásáa sok eseben kielégíő. A Kelvin-Voig es ulajdonságainak elemzése vége oldjuk meg a (.3.8) diffeenciálegyenlee. Bevezeve a G T E jelölés (.3.8)-a a. G G. T (.3.3) egyenlee kapjuk. A konsans vaiálásának módszeével a megoldás 38
G Koninuummechanai áekinés c e (.3.3) alakban keeshejük. A c függvénye (.3.3)-ből a. c e. T egyenlee kapjuk, ahonnan ahol c '. e T ' d' K, K konsans. Így (.3.3) megoldása (.3.3) alapján T '. E e K e T (' )d'. (.3.33) A kezdei feléel -ban T T ( ),E alakban köhejük ki, ezé K T ( ), így (.3.33)-ból az E T T ( )e '. e T d (.3.34) egyenlee kapjuk. Láhaó, hogy az E defomációk a Hooke-esnek megfelelő T éékől elének, és explici időfüggés muanak. Ha pl. az a speciális esee ekinjük,. amo a Kelvin-Voig ese állandó feszülséggel eheljük T, akko T T( ) mia E T( ) e, azaz a defomációk aszimpousan közelí az E T ( ) Hooke-modell alapján kaphaó ééke. Hogy ez milyen gyosan közelí meg aa a paamée jellemző. Ez az az idő, amely ala E az E aszimpous éék -szeesé veszi fel. e 39
Dobóka Mihály Mivel a Kelvin-Voig es defomációja a Hooke-eshez aozó ééke csak késve (eadálva) éi el, ezé a eológiai paamée neve eadálási idő. A fen leí és a.. ábán szemlélee kőzemechanai folyamao kúszásnak nevezzük... ába: A kúszás jelensége, a paamée geomeiai jelenése Visszaéve a (.3.34) álalános egyenlehez, paciális inegálással ebből a kezdei feléelől függelen E e ' T ' d' összefüggés kapjuk. Ezzel a Kelvin-Voig ese a Hooke-esel szembeállíva egy példá láhaunk aa, hogy a defomációk a esben ado időben nem a feszülségek ugyanazon időbeli éékéől függenek, hanem a koábbi, inevallumban felve feszülségekől is. A Kelvin-Voig es mozgásegyenleé a (.3.6) anyagegyenle (..6)-ba helyeesíésével kapjuk vagy veko alakban ui fi ui divs vi divv, (.3.35) x x s f s i gad divs v gad divv i. (.3.36) 4
Koninuummechanai áekinés A Maxwell-es anyagegyenlee Min láuk a Hooke- és Newon-esből összeállío Kelvin-Voig es szaus haáeseben lineáisan ugalmas eskén, gyos folyamaok eseén pedig viszkózus folyadékkén viselked. A Hooke- és Newon-esből felépíheünk egy más anyagmodell is, amely lassú folyamaokban folyadékkén, gyos folyamaokban pedig ugalmas szilád koninuumkén viselked. Ez a Maxwell-es modellje, melye semausan a.3. ába mua..3. ába: A Maxwell-es modellje Az ába alapján egydimenziós mozgásoka gondolva beláhaó, hogy a modell ké elemében ugyanazok az eők ébednek, a ké elem elmozdulásának összege pedig a eljes elmozdulás adja. Ez álalánosíva a modell anyagegyenleének levezeésében alapegyenleekkén használjuk a H N H N (.3.37) összefüggéseke. A Hooke- és Newon-esek anyagegyenleei alapján és H H (.3.38). N. N. (.3.39) H (.3.38)-ból azonban 3 qq H qq H, vagy. Ezzel az defomá- 3 cióka ugyancsak (.3.38)-ból az 4
Dobóka Mihály 4 H 3 egyenlee kapjuk. (.3.37) szein viszon qq N qq, 3 N qq 3 és így a Maxwell-es anyagegyenleé (.3.39) alapján a 3.... qq (.3.4) alakban íhajuk fel. A enzoegyenle spujáa a 3 3 3.. qq qq egyenlee, és így a gömbenzooka a T. T 3 egyenlee kapjuk, ahol. o v E (.3.4) 3 v 3 K a éfogai elaxációs idő. ahol A (.3.4) és (.3.4) különbségé képezve a deviáo egyenlee kapjuk T.. T E, (.3.4) a elaxációs idő. Megjegyezzük, hogy ha a Maxwell-modellben a Newon-es helye Navie-Sokes ese szeepeleünk, akko v mia (.3.4)-ből 3 így a Maxwell-es anyagegyenlee, azaz T, T
Koninuummechanai áekinés.... (.3.43) 3 Ez kőzeek eseén gyakan alkalmazhaó közelíés. Lassú folyamaoka (, a folyama kaakeiszus ideje) a (.3.4) egyenleben a.. T deivál elhanyagolhaó. Ekko a T E közelíő egyenlee kapjuk. Lassú. folyamaok eseén a Maxwell-es a newoni folyadék modelljébe megy á. Gyos folyamaok eseén ( ) (.3.4)-ben T T, így az egyenle a T E vagy T E anyagegyenlee veze. Ez az jeleni, hogy ebben a haáeseben a Maxwelles Hooke-eskén viselked. A (.3.4) egyenle megoldásá T c alakban keesve a c e e c függvénye (.3.4)-ből a '. E eedmény kapjuk, amellyel T e ' '. E d' ' d'. Az egyenle alapján - a Maxwell-ese a Newon-esel szembeállíva - beláhajuk, hogy a Maxwell-esnél a feszülségeke ado időben nem csupán a -ben ualkodó defomációs sebességek haáozzák meg, hanem T ééké a, inevallumbeli összes koábbi időponban felve. E befolyásolja. A Maxwell-es egy ipus ulajdonságá muahajuk meg, ha a (.3.4) egyenle időben állandó defomációka vonakozó megoldásá vezejük le. Ekko a egyenle a T. T.. T T e 43
Dobóka Mihály eedmény adja (i a felső index nem a gömbenzo, hanem a -ban felve ééke jelöli!). A feszülségek exponenciális csökkenésé a.4. ábán szemlélejük..4. ába: A feszülség elaxáció jelensége, a paamée geomeiai jelenése Ez a kőzeeknél gyakoi jelenség a feszülségek kioldódása vagy elaxációja. Az az idő, amely ala a feszülségek a kezdei T éék e-ed észée csökken a elaxációs idő. A Maxwell-modell alapveően folyadékmodell, szaus defomációkkal szemben nem ébednek benne feszülségek. Így a kőzeek leíásáa csak dinamus sajáságok magyaázaánál használhaó. A Poyning-Thomson es anyagegyenlee A kőzeek ugalmas-eológiai ulajdonságainak az eddigiekben bemuao Hooke-, Kelvin- Voig és Maxwell-modellek egy-egy fonos oldalá agadják meg: a Hooke-es a szaus defomációkkal szembeni ellenállás, a Kelvin-Voig es a kúszás, a Maxwell-es pedig a feszülség elaxáció. E háom jelenség egyidejű leíásáa alkalmas kőzemechanai modell a Hooke-ese és a Maxwell-ese a.5. ábán bemuao módon egyesíő Poyning- Thomson-féle modell, vagy más néven sandad es. A modell felépíésében az H M, H M (.3.44) M M a Maxwell-esben ébedő defomáció és fe- egyenleeke ámaszkodunk, ahol szülség., 44
Koninuummechanai áekinés.5. ába: A Poyning-Thomson es modellje A sandad es anyagegyenleé (.3.4) és (.3.4) egyenleeke összeadva és (.3.4)-ben a Maxwell-es anyagi jellemzői '-vel megkülönbözeve kapjuk ' ' ' ' ' ' ' '.... ' qq 3 ' ' Az egyenlee gömbenzo és deviáoenzo összegekén felfogva deviáoenzoa a T ' ' '.. E ' E T (.3.45) egyenlee kapjuk, míg a gömbenzook egyenlee alakú, ahol T K' 3 K E 3. ' ' K ' E 3 K' ' ' 3. ' 3 T (.3.46) ' '. 3 Ha a Poyning-Thomson modellben Newon-es helye Navie-Sokes ese szeepel- eünk v ' ' (.3.46) az egyszeűbb 3 T 3K E egyenlebe megy á. Ez a közelíés számos kőzemechanai folyama leíásako alkalmazzák.. 45
Dobóka Mihály Bevezeve a ' ' ', ' ' ' ' 3, ' ' 3 ' ' K' 3 K ' ' 3 jelölés a (.3.45), (.3.46) egyenleeke így is felíhajuk T E (.3.47) 3K E T. (.3.48) A és mennyiségeke deviáoos elaxációs, ill. eadálási időnek, a és mennyiségeke pedig éfogai elaxációs, ill. eadálási időnek nevezhejük. Láhaó, hogy a modellen belül a A, ill. elációk évényesek.,, és eológiai paaméeek nagyságáól függően a (.3.47)-(.3.48) egyenleendsze különböző egyenleekkel helyeesíheő. A kőzemozgás jellemző időaamá -val jelölve ezek évényességi köé könnyen megadhajuk. Időben nagyon lassan válozó jelenségeknél, azaz, ill. eseben (.3.47), (.3.48) ámegy a lineáisan ugalmas es T E, T 3 K E anyagegyenleébe. 46 Időben gyosabban válozó jelenségeknél a, ill. elációka feléelezve elkülöníheő egy jelenségkö, amelyben és. Ilyenko a gyakolai kőzemechanai folyamaoka jó közelíéssel évényesnek alál T E
Koninuummechanai áekinés T 3K E egyenleeke íhajuk fel (ASSZONYI & RICHTER 975). Még gyosabb jelenségeke vizsgálva a eseén a (.3.47) egyenlee ismé a lineáisan ugalmas es anyagegyenleébe megy á: T vagy másképpen T E E '. A gömbenzook közöi kapcsola a eológiai paaméeek viszonyáól függően ekko a kövekező lehe: a.), eseén, ha a T 3K E egyenlee kapjuk. b.) Ha, és, ill. akko a deviáo enzook közöi lineáis kapcsola melle a gömbenzook közö a T 3K E eológiai egyenle szeepel. c.) Ha, ill. a ill. nagyságendjébe es, vagy ha a folyama olyan gyos, hogy a eláció eljesül, akko T 3K E, vagy máskén T 3 K K' E, azaz mind a deviáo, mind a gömbenzookban lineáis, de a lassú (kváziszaus) folyamaokban anúsío, K modulusokhoz képes megnövekede ', ill. K K' ugalmassági ényezőkkel. 47
48 Dobóka Mihály Hogy a (.3.47)-(.3.48) anyagegyenlee köveő es mozgásegyenleé felíhassuk, oldjuk meg az egyenleeke T -a, ill. T -a! A (.3.47) egyenle így is felíhaó Ez a T megoldás. T E E T E. E T E alakban keesve a c -ban inhomogén egyenle a konsans vaiálás módszeével megoldhaó. A egyenle adód, ahol a T c e c együhaóa '. e E d' K K konsansoka jelöl. Ezzel a (.3.47) egyenle megoldása '. E e E d' K e (.3.49) alakban íhaó fel. Az egyenle alapján ámuahaunk aa, hogy a Poyning-Thomson esben ado időben fellépő feszülségek a, inevallumbeli összes E éékől függenek. Min láuk, gyos folyamaok eseén a Poyning-Thomson es ' Lamé állandóval jellemze Hooke-es. Tegyük fel, hogy a ese nagyon gyosan eheljük meg T ' E feszülséggel (a felső index nem gömbenzo, hanem -ban felve ééke jelöl!). Ebből a kezdei állapoból kiinduló folyamao vizsgálva -ban ' E E K, ahonnan K ' E. Ha a ovábbiakban a defomációk válozalanok, azaz E, (.3.49)-ből T ' e E. Min a.6. ábán is láhajuk a feszülségek a kezdei ' E éékől a E ééke csökkennek. Ez a elaxáció jelensége a Poyning-Thomson es eseében.
Koninuummechanai áekinés.6. ába: Feszülség elaxáció a Poyning-Thomson es eseében Ha feléelezzük, hogy a vizsgál kőzemechanai jelenségek a aós egyensúly állapoából indulnak ki, akko kezdei feléelkén ki kell könünk, hogy a kőze -ban a lineáisan ugalmas es T E egyenleé kövei, azaz K. Az ilyen jelenségek eseén a (.3.47) egyenle álalános megoldása T. E e E d'. ' Mivel a (.3.48) egyenle szekezeileg a (.3.47) egyenleel megegyez, megoldásá közvelenül felíhajuk: '. T 3 K E 3 K e E d'. Hasonló eljáással a (.3.47), (.3.48) egyenleek a defomációka is megoldhaók E T e A '. e T d (.3.5) E 3 ' T e B e K. T d, (.3.5) ahol A és B a kezdei feléelek álal meghaáozo konsansok. 49
E Ha a ese nagyon gyosan eheljük Dobóka Mihály T feszülséggel, a kelekező defomációka az T képle adja meg, mivel ebben a folyamaban a sandad es a Hooke-ese ' közelíi. Az ebből az állapoból kiinduló folyamaoka a kezdei feléel alapján A. ' T. Ha a ovábbiakban a feszülségek nem váloznak T ' egyenleből az T ' E e. ' a (.3.5).7. ába: Kúszás jelensége a Poyning-Thomson es eseén Min a.7. ába is muaja, a fomula a defomációk T ' éékől T -e öénő növekedésé íja le. Ez a jelenség a kúszás. A Poyning-Thomson es ehá mind a elaxáció, mind a kúszás jelenségé képes leíni. 5
3. HULLÁMTERJEDÉS RUGALMAS ÉS REOLÓGIAI KÖZEGBEN DOBRÓKA MIHÁLY Miskolci Egyeem, Geofizai és Téinfomaai Inéze, 355 Miskolc-Egyeemváos E-mail: doboka@uni-miskolc.hu A geofizai vizsgálaok jelenős észében a Föld, min anyagi félé felszínközeli szekezeének meghaáozása a cél felszíni méésekkel. A méési módszeek egy észénél (gaviációs, mágneses, geoelekomos) a felszínen mé haás inegál abban az éelemben, hogy az ado ponban mé mennyiség elvileg az egész félé de legalábbis bizonyos mélységig ejedő kiejed éész haásá üközi. A méés éelmezésé nagyon megkönnyíi, ha a mé haás nem a eljes féléből, hanem egy meghaáozo göbe szűk könyezeéből hoz infomáció. Ez adja a közeg ugalmas hullámokkal való vizsgálaának egyszeűségé és ezzel jelenőségé, hiszen bizonyos közelíésben a hullám ejedésée a "sugáopa" övényei használhajuk. A kövekezőkben a ugalmas hullámok legfonosabb ulajdonságai ekinjük á az előzőekben ágyal fonosabb anyagmodellek vonakozásában. Vizsgálaainkban csupán kisampliúdójú hullámokkal foglalkozunk. Ez az jeleni, hogy alapegyenleeinke lineáis közelíésben oldjuk meg. A (..5) álalános mozgásegyenle bal oldalán álló szubszanciális deiválban szeeplő ahol dv d v gad vi v i i v gad vi, konvekív deivál ugyanis nemlineáis ago jelen. Ennek elhanyagolása hullámok eseén egyszeű feléel eljesülésé köveeli meg. Ha T a hullám peiódusideje, a hullámhossza, A az ampliúdója, akko nagyságendileg ui vi A T vi, A T v gad v i A T A A T T. A v i v i lokális deivál melle a konvekív deivál akko hanyagolhaó el, ha v gad v i A A, vagyis, azaz A. Ha ez a feléel eljesül, akko T T 5
Dobóka Mihály (a hullámhosszhoz képes) kisampliúdójú hullámokól beszélünk. Ilyenko egyenleeinkben dv i helye a lineáis d v i deivála íhajuk. A homogén közeg - különösen ha végelen kiejedésű - feléelezése geofizai szemponból indokolalan. Mégis élünk ezzel a közelíéssel, me a hullámé legfonosabb fizai jellemzői, a hullámo jellemző paaméeek összefüggései legegyszeűbben végelen kiejedésű homogén közegbeli hullámejedés eseén muahajuk be. A végelen kiejedésű homogén ében a diffeenciálegyenleek megoldása soán peemfeléelekkel nem kell foglalkoznunk. Ez jelenős egyszeűsíés jelen. Az így kialakuló hullámoka eshullámoknak nevezzük. (A végelen kiejedés feléelezése emészeesen csupán abszakció, amely valójában az a megszoíás jeleni, hogy a közegben eseleg mégis jelenlevő haáfelüleek hullámhossz egységben méve nagyon ávol legyenek.) A kövekezőkben különböző anyagmodelleke köveő végelen kiejedésű közegben ejedő eshullámok ulajdonságai foglaljuk össze. 3.. Kisampliúdójú hullámok ideális folyadékban Az ideális folyadék mozgásegyenleé a (.3.5) egyenle adja meg. Ha az egyenle kisampliúdójú hullámmegoldásá keessük, ez v f gad p (3.) alakban íhajuk fel. Az f ömegeők jelenősége hullámani szemponból az egyensúlyi, p eloszlások meghaáozásáa koláozód. Egyensúlyban évényes a f gad p szaai alapegyenle. Pl. levegő eseén ez az egyenle a földi amoszféa sűűség- és nyomáseloszlásá haáozza meg. Ez az eloszlás inhomogén, az inhomogeniás azonban a hullámhosszhoz képes nagyon nagy skálán jelenkez (pl. Hz fekvenciájú hang hullámhossza m nagyságendű, ami az amoszféa kaakeiszus válozásának km nagyságendjéhez képes valóban igen kicsi). Így a közeg a hullámejedés szemponjából lokálisan homogén, vagyis a (3.) egyenlee homogén ée oldhajuk meg. Ha azonban a hullám az inhomogeniás jellemző ávolságoka já á, számolnunk kell a lokális jellemzők (lokális ejedési sebesség) hely szeini válozásával. 5
Hullámejedés ugalmas és eológiai közegben Mivel a hullámhossz nagyságendjében az f ömegeőé a hullámmegoldása haás nem gyakool, így (3.)-ben az f helyeesíéssel élheünk, azaz v gad p. Az egyenleendsze megoldásához ké ovábbi egyenlee, a div v koninuiási egyenlee és anyagi egyenlee, pl. a p p baoóp állapoegyenlee van szükség. Feléelezve, hogy a hullám a p, egyensúlyi jellemzők kis p', ' válozásá eedményezi, azaz p' p, ' az egyenleendsze lineaizálhaó. A elhanyagolva a v gad p' p', ', v mennyiségek vagy deiválja szozaá (3.) ' divv p' ch ' p egyenleeke kapjuk, ahol ch. A ké uóbbi egyenleből c p' v div, (3.3) h (3.) divegenciája pedig v div div gad p' p'. Ez az egyenlee (3.3)-mal összeveve a ' c p' p h 53
Dobóka Mihály hullámegyenlee juunk. Hasonlóan levezehejük a c v h v egyenlee is. Az egyenleek monokomaus síkhullám megoldásá szein i k ˆ e p' p v v * e i * e i ke ke, (3.4) alakban íhajuk fel. Ezek a függvények kielégí a hullámegyenlee, de kédés, hogy a mozgásegyenlenek megoldásai-e. Mivel a (3.) egyenle oációjá képezve a o v egyenlee kapjuk, láhajuk, hogy a mozgásegyenle csak v e eseén eljesül, azaz a hullám elmozdulása, ill. elmozdulási sebessége páhuzamos a hullám ejedési iányával. A (3.4) függvény ehá c h p sebességgel haladó longiudinális hullámo í le. Az ideális folyadék (Pascal-es) mozgásegyenleének ezen megoldása a hanghullám. 3.. Kisampliúdójú hullámok izoóp lineáisan ugalmas közegben A lineáisan ugalmas izoóp homogén közeg mozgásegyenleé (.3.3) adja. Mivel a ömegeők az egyenle hullámmegoldásának vizsgálaa soán elhanyagolhaóak, a mozgásegyenlee s s gad divs f (3.5) alakban íhajuk fel. Az elmozdulásmező megadó s vekoé mindig felbonhaó egy foásmenes és egy övénymenes vekoé összegée s s s l, (3.6) ahol 54 div s (3.7)
Hullámejedés ugalmas és eológiai közegben o s l (3.8) Felhasználva a o o s gad div s s azonosságo az s l vekoée a l gad div s l s l összefüggés kapjuk. Ezzel (3.5)-ből a l l s sl s sl (3.9) egyenlee kapjuk. Mivel a paciális deiválás soendje folyonos függvények eseén felcseélheő, (3.5)-ből s div s kövekez, azaz (3.9) bal oldalán szeeplő első ag szinén foásmenes. Hasonlóan beláhajuk, hogy a másod záójeles kifejezés övénymenes. Mivel egy foásmenes és egy övénymenes vekoé összege csak úgy lehe zéus, ha a ké vekoé külön is zéus, (3.9)-ből a és a s s (3.) sl sl (3.) egyenleeke kapjuk, ahol,. (3.) A mozgásegyenle ehá a foásmenes s és az övénymenes s l vekoée egy-egy szepaálhaó hullámegyenlee ad. A (3.7) egyenle alapján bevezehejük az elmozdulásveko poenciál az s o (3.3) 55
56 Dobóka Mihály egyenleel, míg (3.8) iviálisan kielégíheő, ha az s l vekoee a skaláis elmozduláspoenciál gadiensekén íjuk fel s l gad. (3.4) Az elmozdulásmező (3.6) alapján ezzel s gad o alakban íhaó fel, (3.9)-ből pedig a o gad egyenlee juunk. Ez ismé egy övénymenes és egy foásmenes vekoé összege, ezé eljesülni kell a és a (3.5) (3.6) egyenleeknek, ahol és a (3.) álal ado. A veko és skalá elmozdulás poenciálok ehá a (3.5), (3.6) hullámegyenleeke elégí ki. Ezek az egyenleek, valamin az elmozdulása felí (3.) és (3.) az muaják, hogy a lineáisan ugalmas homogén izoóp közegben kéféle eshullám kelekezhe. A (3.) egyenle monokomaus síkhullámmegoldásá e i k alapján i ke s s e alakban íhajuk fel, ahol (3.7) k. (3.8) Az s vekoé a (3.7) mellékfeléel elégíi ki, ezé eljesülni kell a div s s e egyenlenek is, ahonnan s e. (3.7) ehá sebességgel ejedő anszvezális hullámo í le. Mivel div s, ezek a hullámok éfogaválozással nem jának.
Hullámejedés ugalmas és eológiai közegben A (3.) egyenle monokomaus síkhullám megoldása i kle s s e l l (3.9) alakú, ahol k l. (3.) Az s vekoé azonban a (3.8) mellékfeléel elégíi ki, ezé o s e s. l l l Ez a feléel akko eljesül, ha az elmozdulás és a ejedési iány páhuzamos. A (3.9) ehá sebességgel haladó longiudinális hullámo í le. (3.) alapján láhaó, hogy a Hookeféle közegben ejedő kéféle hullám közül ez uóbbi ejed gyosabban. A közös foásból kiinduló longiudinális és anszvezális hullámok közül elsőkén a longiudinális hullámok ékeznek be a megfigyelés helyée. 3.3. Kisampliúdójú hullámok viszkózus folyadékban A (.3.8) Navie-Sokes egyenlee lineaizálás és a ömegeők elhanyagolása uán így íhajuk fel v gad p' v gad div v. (3.) Kössük ki a o v mellékfeléel és képezzük az egyenle divegenciájá! Ekko a paciális deiválak felcseélésével div v p' div v A lineaizál koninuiási egyenle alapján a ' divv, a lineaizál baoóp állapoegyenleből pedig a p' ch '. (3.) egyenlee kapjuk, amellyel 57
Dobóka Mihály div v c p' h. Ez az egyenlee (3.)-be helyeesíve p p' p' ', c h ahol c. Az egyenle monokomaus síkhullám-megoldásá h p' p alakban keesve a * e i k e i c k h komplex diszpeziós elációa juunk, ahonnan k i. (3.3) c h A komplex hullámszámo k b i a alakban felíva (3.4) alapján b (3.4) c h h a. (3.5) c 3 3 Víz eseén a viszkoziás.ns m, c 44m s, kg m. adaokkal 3. s, Ezekkel az 8 azaz f 5. Hz. h fekvenciáa Ez az egyenlőlenség szeizmus, akuszus és ulahang fekvenciaaományban egyaán eljesül, ezé (3.4), (3.5)-ben sofejés alkalmazhaunk: 58
Hullámejedés ugalmas és eológiai közegben b c h a. c c h 3 h Ezekkel * i k e * ae i be p' p e p e e. A longiudinális hullám viszkózus folyadékban h h b c hangsebességgel ejed, és a abszopciós ényezővel csillapod, a csillapodási ényező a fekvencia négyzeé- c 4 4 vel aányos. Víz eseén f Hz fekvenciánál az a 4 / m behaolási mélysége d / a.5km hullámhossz a behaolási mélységnél sokkal kisebb. Tanszvezális hullám megoldás a divv (3.3) egyenleek alapján v v, melynek megoldásá v v * e i alakban keesve a k k e i diszpeziós egyenlee juunk. A komplex hullámszáma innen a azaz a hullám. A csillapodás ehá gyenge: a<<b, vagy máskén a mellékfeléellel kapunk a (3.) és k i eedmény kapjuk, ehá a valós hullámszám b, az abszopciós ényező a. A hullám fázissebessége v f fekvenciafüggő, a hullám b 59
Dobóka Mihály diszpezív. A viszkózus folyadékban ehá kelheők anszvezális hullámok. Ezek azonban eősen csillapodnak (a=b). A behaolási mélység f d. a 4-5 Hz fekvenciájú hullám eseén pl. d.7 [m], ami az azonos fekvenciájú longiudinális hullám behaolási mélységéől 8 -szo kisebb. Ezé a szeizmus gyakola szemponjából úgy ekinhejük, hogy a vízben anszvezális hullámok nem jászanak szeepe. Kisampliúdójú hullámok Kelvin-Voig közegben A Kelvin-Voig es mozgásegyenleé a ömegeők elhanyagolásával (.3.35) alapján s s alakban kapjuk. Ha a hullámmegoldás a div s =, div v = keessük (anszvezális hullám), akko a s s v gad div s v gad divv egyenlee juunk, amelynek monokomaus síkhullám megoldása s s * i e k e alakú. A (3.6) egyenlebe való behelyeesíés uán a (3.3)-hoz hasonló mellékfeléel köésével (3.6) k i diszpeziós eláció kapjuk, ahol,. Az egyenlee k b i a komplex hullámszáma megoldva a (3.4), (3.5)-höz hasonló egyenleeke kapunk 6 b (3.7)
Hullámejedés ugalmas és eológiai közegben A hullám a. (3.8) v f fázissebessége fekvenciafüggő, ehá a Kelvin-Voig közegben ejedő b anszvezális hullámok diszpezió muanak és abszopciós ényezőjük is fekvenciafüggő. Alacsony fekvenciás haáeseben. Ekko a (3.7), (3.8) egyenleeke sofejéssel a b 4 a alaka hozhajuk. Első közelíésben ehá a v f b fázissebesség fekvenciáól függelen, azaz diszpezió nincs, az abszopciós ényező pedig a fekvenciáól négyzeesen függ. A Kelvin-Voig közeg alacsony fekvencián a hullámejedés sebessége szemponjából Hooke-esbe megy á, az abszopció vonakozásában azonban megőzi a Newon-es sajáságai. Nagy fekvencián. Ekko (3.7), (3.8) a Newon-esnél má megisme b, a b eedménye veze. A Kelvin-Voig es ehá nagyfekvenciás haáeseben a Newon-ese adja vissza. Ez a modell a.. ábán vázol felépíés alapján váhaó is. A Kelvin-Voig es ehá nagy fekvencián nem alkalmas gyengén csillapodó hullámok leíásáa. Longiudinális hullámoka a o s =, o v = mellékfeléel köésével ágyalhaunk. Mivel ekko eljesül a o o s = gad divs - s egyenle, a mozgásegyenleből 6
Dobóka Mihály 6 v s s. Az időfüggés i e alakban felvéve innen a s i s (3.9) egyenlee kapjuk, ahol. Az egyenle alapján bevezehejük a * * i, i komplex Lamé állandóka is. Ezekkel (3.9) a s s * * alaka hozhaó. A hullámmegoldás monokomaus síkhullám fomájában keesve e k i * l e s s (3.9) alapján a l i k komplex diszpeziós egyenlee kapjuk. A a i b k l hullámszáma a (3.7), (3.8)-hoz hasonló b, a eedmény kapjuk, ahonnan a f b v fekvenciafüggő fázissebesség és a d
Hullámejedés ugalmas és eológiai közegben fekvenciafüggő behaolási mélység adód. Ezek a képleek az alacsony fekvenciás haáeseben a, a b v f, d eedmény adják, azaz a fázissebesség a Hooke-ese, az abszopciós ényező a Newonese jellemző ééke veszi fel. A csillapodás gyenge, mivel az a<<b feléelből ebben a közelíésben iviálisan eljesül. Az elmozdulás függvény s s ae i e e be. (3.3) Könnyen beláhaó, hogy a Kelvin-Voig modell nagyfekvenciás haáeseben gyengén csillapodó longiudinális hullámok leíásáa sem alkalmas, mivel ekko b, a b. Megjegyezzük, hogy a Kelvin-Voig es kőzemechanai és szeizmus jelenségek leíásáa ugyanazon kőzee vonakozóan is különböző paaméeel alkalmazhaó. A kőze kúszási folyamaának kaakeiszus ideje óa-nap nagyságendű, ehhez a eadálási idő hasonló nagyságendű ééke aoz. Szeizmus hullámok gyenge csillapodásának leíásáa viszon nagyságendileg a ( )(sec) éék alkalmas. Ez a ény aa ual, 3 5 hogy a Kelvin-Voig modell közelíő évényű, a benne szeeplő paamée fekvencia függő és csak egy szűk fekvenciaaományban vehejük konsansnak. Megállapíhajuk azonban, hogy ez a modell alkalmas a longiudinális és anszvezális hullámok gyenge csillapíásának leíásáa. Ez az oka annak, hogy a szeizmában főkén nagy víz és szénhidogén aalmú kőzeekbeli hullámejedés leíásáa elejeden használják. A konsans Q modell A szeizmus apaszala az muaja, hogy a kőzeek öbbségénél a hullámok fázissebessége fekvenciáól függelenül állandó, az abszopciós ényező viszon a fekvenciával egyenes aányban nő 63
64 Dobóka Mihály v f c (3.3) a, (3.3) c Q ahol Q a kőze fekvenciáól függelen (konsans) ún. jósági ényezője. Ez a kőzemodell konsans Q modellnek nevezzük. A Hooke-es eseén (3.3) eljesül, de abszopció nincs. A Kelvin-Voig esnél alacsonyfekvenciás haáeseben (3.3) eljesül, az abszopciós ényezőe azonban a, azaz (3.3)-vel összeveve Q, vagyis a jósági ényező nem konsans. Hasonló eed- mény kapunk (alacsony fekvencián) a Poyning-Thomson es eseén is. A Maxwellmodell nagyfekvenciás haáeseben íha le szeizmus hullámoka, ekko azonban a, azaz (3.3) alapján Q, a jósági ényező a fekvenciával aányos. Hasonló eedmény ad nagyfekvenciás haáeseben a Poyning-Thomson es is. Könnyen beláhaó, hogy a konsans Q modell köveő ese a * i, i' * (3.33) komplex Lamé állandókkal jellemezhejük, ha anyagegyenleé fomailag a Hooke-eshez hasonló * * alakban éelezzük fel ( és ' fekvencia függelen). Az i szeeplő disszipaív kőzefizai paaméeek az g( ), ' g( ' ) kifejezésekkel éelmezheők, ahol az ún. veszeségi szög (a feszülség és defomáció közöi szög isza nyíás (pl. anszvezális hullám eseén)). hullámani alkalmazásokban a longiudinális hulláma vonakozóan. ' hasonló éelmezés kap
Hullámejedés ugalmas és eológiai közegben A mozgásegyenlee a feni feszülség enzo alapján így íhajuk s * * s * gad div s. Tanszvezális hullámok eseén div s és így a mozgásegyenleből a s * s egyenlee kapjuk. Az i s s e * k e (3.34) alakban felí monokomaus síkhullámoka innen (3.33)-a felhasználva a i k diszpeziós egyenle adód, ahol. A k b i a komplex hullámszáma a b ( ) (3.35) a ( ) (3.36) eedmény kapjuk. Könnyen beláhaó, hogy gyenge csillapodásól (a<<b) csak eseén beszélheünk. Ekko egyszeű sofejéssel (3.35), (3.36)-ból a b a összefüggéseke kapjuk, ahonnan (3.3)-vel való összehasonlíás uán láhajuk, hogy anszvezális hullámok eseén Q valóban fekvenciáól függelen, hasonlóan a v f fázissebességhez. b 65
Dobóka Mihály Longiudinális hullámok eseén a o s mellékfeléel köve (3.34) alapján a * s s * egyenlee juunk, amelynek monokomaus síkhullám megoldásá i s s e alakban keesve a * l k e i k ' diszpeziós egyenlee kapjuk, ahol. Ez az egyenle, helyeesíéssel (3.35)-be megy á, megoldásá ezé (3.35), (3.36)-nak megfelelően közvelenül felíhajuk b ( ) (3.37) a ( ). (3.38) Gyenge csillapodás csak (azaz, ' ) eseén kaphaunk, ezé (3.37), (3.38) alapján b, a. (3.3)-vel való összeveés alapján mondhajuk, hogy longiudinális hullámoka a jósági ényező megadhajuk Q ' alakban. A konsans Q modell a szeizma és akusza eüleén szélesköű alkalmazás nye. A későbbiekben a jósági ényező nyomásfüggésé leíó kőzefizai modell felállíásában mi is alkalmazzuk. 66
4. A KŐZETFESZÜLTSÉGEK MEGHATÁROZÁSÁNAK DIREKT MÓDSZEREI DOBRÓKA MIHÁLY Miskolci Egyeem, Geofizai és Téinfomaai Inéze, 355 Miskolc-Egyeemváos E-mail: doboka@uni-miskolc.hu Földalai üegléesíések evezésénél, bányászai folyamaok iányíásánál bányabizonsági és gazdaságossági szemponok alapján egyaán fonos a kőzekoninuumban fellépő mechanai feszülségek ismeee, méése. A pobléma alapveő fonossága mia az in-siu feszülségek méésée számos módsze dolgozak ki. Ezek a módszeek ké fő csopoa oszhaók: a.) diek módszeek, amelyek valamilyen, a feszülség állapoo módosíó beavakozás köveően (pl. üegléesíés, fúás sb.) mé adaokból kövekezenek az in-siu feszülségeke, b.) indiek módszeek, amelyek a feszülségállapoo nem befolyásoló (pl. szeizmus, akuszus) méés adaaiból kövekezenek az in-siu feszülségeke. A diek feszülségméő módszeek is sokfélék lehenek aszein, hogy a kőze feszülség állapoába való beavakozás milyen emészeű. Ké nagyobb csopoo emelünk ki: a hidaulus módszeeke, ill. a köüléseléses eljáásoka. A hidaulus méőmódszeek eseében a fúólyuk egy elzá szakaszá hidaulusan ehel. A ehelés iányulha új epedések léehozásáa, ill. meglevő, de bezául epedések megnyiásáa. Mindké eseben a fúólyuk falának vizsgálaával (fomáció moszkenne, lyuk kamea), a epedési kép analízisével lehe kövekezeni a fúólyuk engelyée meőleges síkban ébedő főfeszülségeke. A köüléselés alkalmazó eljáások a fúólyuk faláa agaszo, vagy a fúólyukba beépíe szondába helyeze nyúlásméő eszközök adaainak válozásá mé egy olyan állapoban, amo a vizsgál kőzeese elválaszják könyezeéől. Ez endszein koona fúóval való köüléselés jelen. E módszeek közül jelen monogáfiában csak a fúólyuk vagy fúólyukba épíe szonda defomációinak méésén alapuló módszeeke foglaljuk össze (egy-egy publáció eedményeinek ismeeésével) a eljesség igénye nélkül. A hagyományos (ugalmas közege kidolgozo) eljáások ismeeésé köveően a eológiai anyagegyenleek felhasználásával új eljáásoka muaunk be. Ezek a később levezeése keülő eedményeink min haáesee a lineáisan ugalmas (Hooke-) közege kapo eedményeke adják vissza. 67
Dobóka Mihály 4.. Rugalmas közeg feléelezésével kidolgozo diek kőzefeszülség méő módszeek A Hooke-modell alapján kidolgozo in-siu feszülségméő eljáások a fúólyuk falán, vagy a fúólyukba agaszo szondában mé defomációk alapján kövekezenek a közegben ébedő pime feszülségeke. Ezek az eljáások (öbbnyie) az alább ismeeendő módszeek vaiánsai. 4... Leeman módszee Fúólyuk faláa agaszo nyúlásméő bélyegeke alkalmazó módszeek pooípusa LEEMAN (968) módszee. Ennek lényege, hogy a fúólyuk faláa agaszo nyúlásméő bélyegek defomációiból, a kőzekoninuum elmozdulás-, ill. defomációmezőjée kapo analius megoldás alapján számíhaók az in-siu feszülségek. A módsze alkalmazásának egyes lépései a 4.. ába muaja: 4.. ába: A Leeman-módsze lépései 68
A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei a) köüléselő (nagy áméőjű) fúólyuk készíése a vizsgála helyéig, b) azonos engelyű (kis áméőjű) méő-fúólyuk készíése olyan hosszon, hogy sík alakválozási állapo (a szakasz közepén) feléelezheő legyen, c) nyúlásméő bélyegek felagaszása (a szakasz közepén) a lyuk faláa, a agaszó megköése uán a bélyegek alapellenállásának méése, d) a méő-fúólyuk köülfúása koona fúóval, e) a köülfú hengees mag kivéele és a defomációk meghaáozása a nyúlásméő bélyegek adaai alapján. A ugalmasságani megoldás ágyalásáa az in-siu feszülségeke jelölje a Descaeskoodináaendszeben p, p, p, x y z xy, xz, yz. A fúólyuk köüli feszülségmező leíásáa viszon henge-koodináaendsze felvéele célszeű (a ké koodináaendsze z engelye legyen páhuzamos). Ekko az R sugaú fúólyuk köül a 4.. ábán szemlélee feszülségek kelekeznek, amelyek a kövekező fomulákkal íhaók le 4 4 px py R px py R R R 3 cos xy 3 4 sin 4 4 4 px py R px py R R 3 cos xy 3 sin 4 p p 4 R R cos 4 sin zz pz x y xy (4.) p 4 4 px py R R R R 3 sin xy 3 cos 4 4 p p R xz sin yz cos z p R xz cos yz sin z 69
Dobóka Mihály 4.. ába: A fúólyuk köüli feszülségek A nyúlásméő bélyegeke Leeman módszeénél a 4.3. ába szeini elendezésben 7,, ill. -nél agaszják fel. Ezeknél a szögeknél az (4.) feszülségeke a 4 4.. ábláza szeini éékek adódnak. 4.3. ába: A nyúlásméő bélyegek elhelyezése Leeman módszeénél 7
A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei Feszülségek =R-nél φ különböző éékei melle 7 4 P ( ) P 7 P 4 P ) ( ) x 3 y ) ( ) P 3 x ( ) y ( ) ( ) ) 4 7 P 4 x y ( xy zz ( ) ) ) ) P x y ) ) ) P zz x y ( ) P zz 4 xy 7 4 ) P ( ) P 7 P 4 P ( ) ( z yz ) P ( ) z yz 7 P 4 ( ) z xz ( ) yz P z ( ) P z 7 P z 4 4.. ábláza: Feszülségek a fúólyuk keüleén,, -nél 7 4 ( ( ( ( ( z ( ( ( z ( z 7
Dobóka Mihály A nyúlásméő bélyegekkel mé (, zz, 45 ) defomációk ismeeében a p, p z, pzz feszülségek a ugalmasságani megoldás alapján kifejezheők: p zz zz E zz zz p zz (4.) p E 45 zz, z ahol, zz, 45 a 4.3. ába szeini nyúlásméő bélyegekkel mé defomációk, E és a kőze Young modulusa, ill. Poisson ényezője. A háom mennyisége háom szögnél 7,, méhejük, így az in-siu feszülségeke LEEMAN (968) szein úlhaáozo 4 egyenleendsze megoldása alapján kövekezeheünk, az eedmény: p x p y 3p 8 3 p 8 p p p p p p (4.3.) zz xy p 8 yz p z xz p z. p p 7 4 Bá Leeman idéze eedményei jelenős meodai előelépés jeleneek a feszülségállapo meghaáozásában, hama kiűn, hogy kövekezeései úlságosan opimisák. A méheő mennyiségek számszeű úlsúlya az ismeelenek melle nem jeleni a pobléma maemaai éelemben ve úlhaáozoságá. MOODY (968) muaa ki, hogy a Leeman 7
A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei javasola méési elendezésben kapo adaok nem nyújanak elegendő függelen ismeee az összes feszülségelem meghaáozásáa, azaz a felada alulhaáozo. Ez az jeleni, hogy legalább ké különböző iányú fúólyukban Leeman elendezése szein végehajo méés szükséges az in-siu feszülségállapo egyéelmű meghaáozásához. Ezen elvi okon úl inkább gyakolai késégek meülhenek fel Leeman módszeének alkalmazhaósága kapcsán. A gyakolai megvalósíás soán poblemaus lehe nedves kőzefelülee nyúlásméő bélyegek felagaszása és kivezeő csalakozásokkal való elláása úgy, hogy a méőendsze a köülfúás is elviselje. Emelle a módsze epodukálhaó, üzembizos megvalósíásá nehezíi az a köülmény, hogy a nyúlásméő bélyegek sees felagaszása eseén is, ezek egy nagyon szűk mokönyezeből vesznek miná, a fúólyuk falának egyenelenségei a méés dönően befolyásolják. Ez a pobléma ugyan csökkenheő nagyobb számú bélyeg felagaszásával és a sok mé ada valamilyen súlyozo (álagol) feldolgozásával, de az ilyen iányú megoldás a méés még köülményesebbé eszi. 4... Rocha és Silveio módszee A kőzenedvesség és a mo-iegulaiások haásá egyaán küszöböli az elsőkén ROCHA & SILVERIO (969) álal javasol módsze, amellyel az in-siu feszülségeke egy ömö hengees epoxi szondába ágyazo nyúlásméő bélyegek adaai alapján haáozhajuk meg. A szondá egy méő-fúólyukba kell agaszani. A agaszó köése uán éppúgy, min Leeman módszeénél a feszülségek felszabadíása, azaz a szonda köülfúása kövekez. Ekko a szondá a köülfúó szeszámig könyező kőzees (a szondával együ) expandál. A bekövekező defomációkból az in-siu feszülségek meghaáozhaók. A bélyegek így a nedvességől elzáan működnek, és a eljes hengees szonda defomációi a fúólyuk falának mo egyenelenségei nem, vagy alig befolyásolják. Rocha és Silveio méési eljáása soán a szükséges lépések: a.) D 7, 5 cm áméőjű fúólyuk fúása a vizsgála helyének közelébe egy, az előbbivel koaxiális méő fúólyuk készíése d 37, cm áméővel kb. 9 cm hosszon (a vizsgálai ponon keeszül), b.) a nyúlásméő bélyegekkel felszeel és kivezeésekkel elláo epoxi szonda cemenezése a méőlyukba, c.) a agaszó köése uán a szonda alapállapoához aozó bélyeg-ellenállások méése, 73
Dobóka Mihály d.) a d áméőjű (szondá aalmazó) fúólyuk köüléselése D áméőjű koonafúóval, azaz a d és D közöi kőzeesben a feszülségek oldása, e.) a szonda defomációs állapoának meghaáozása a nyúlásméő bélyegek segíségével, f.) a mé adaok alapján az in-siu feszülségek számíása. A hengees epoxi szondában nyúlásméő bélyege helyezek el a 4.4. ába szeini elendezésben. 4.4. ába: Rocha és Silveio méési elendezése A méési adaok száma a szükségesnél öbb, a öbble méési adaoka ellenőzés, ill. hibaopimalizálás céljáa használák. A bélyegekkel mé szonda defomációkból a ugalmasságani megoldás ismeeében a pime feszülségeke lehe meghaáozni. Rocha és Silveio megoldás adak a szonda defomációk és a feszülség komponensek kapcsolaáa: mm nn mm nn x px py E E E E mm p E mm nn mm nn mm y px py pz E E E E E z 74 z E p x p y p z 4n E E yz yz, zx zx 4n 4nN, xy xy, E E
ahol valamin A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei n, n, m, m M E n E n, N, E n 3 4 E n n n E, a kőze, E, a szonda Young modulusa, ill. Poisson ényezője. Mivel a defomáció mennyiségek a nyúlásméő bélyegek segíségével meghaáozhaók, a feni egyenleendsze a p, p, p,,, pime feszülségeke megoldhaó. x y z xy yz xz Rocha és Silveio a szonda beagaszásáa olyan anyago kíséleeze ki, amelynek ugalmas ulajdonságai az epoxi szondaes anyagával közel azonosak volak, a köési idő pedig elég hosszú vol a szonda behelyezéséhez és elég övid a méés ésszeű időn belüli megvalósíásához. A méési mód gyakolai alkalmazásáól a szezők észleesen beszámolak. Az alkalmazás soán kideül, hogy a szonda beagaszásával kapcsolaban különösen kompak kőzeeknél poblémák léphenek fel. A köülfúásnál ui. a kőzees expandál, mözben expanzióa készei a ömö hengees szondaese is. Ehhez nagy eőkifejés szükséges, ami a szonda és a kőze közöi agaszóéeg közveí. Ha a köőanyag nem megfelelő, a köés gyenge, és a kőze észben vagy egészben elvál a szondáól. Ekko a szonda defomációiból emészeesen nem haáozhaók meg a pime feszülségek. 4..3. Blackwood módszee A pobléma küszöbölésée BLACKWOOD (977) különösen kis Young-moduluszú anyago alkalmazo a szonda készíéséhez. Ez a puha szondá viszonylag kis eővel (a agaszó éeg kisebb igénybevéelével) defomálhaja a köülfú kőzees. A szonda-kőze csaolás megszakadás veszélyének küszöbölésén úl a Blackwood álal kifejlesze feszülségméő szonda azzal az előnnyel is já, hogy elaíve kis ugalmassági modulusszal bíó kőzeek eseén is jelenős defomációk jelenkeznek a szondában. BLACKWOOD (977) szénben végze sees feszülségméésől is beszámol. Egy más leheőség a pobléma megoldásáa ömö szonda helye vasag falú cső alakú szonda alkalmazása. Mivel ilyenko a szonda belső hengees felülee szabad felüle, az expanzió soán a szondá a kőzeeshez köő agaszó kisebb igénybevéel eheli. 75
Dobóka Mihály 4.. In-siu feszülségek és eológiai anyagjellemzők köülfúás nélküli meghaáozásának leheősége A Leeman, Rocha és Silveio, valamin a Blackwood álal publál fúólyukas feszülségméő módszeek széles köű gyakolai alkalmazás nyeek. Az eedmények az muaják, hogy ezek epodukálhaó, ponos és egyéelműen megbízhaó méési eljáások (DUNCAN- FAMA & PENDER 98). Közös jellemzőjük, hogy a vizsgál kőzeaomány lineáisan ugalmasnak éelez fel. Ahhoz, hogy méheő defomációka kapjanak, a fúólyukba agaszo szondá köül kell fúni, a defomációkból a Hooke-es anyagegyenleé felhasználva levezee ugalmasságani megoldás alapján haáozzák meg a pime (in-siu) feszülségállapo jellemzői. A lineáisan ugalmas Hooke-modell évényességének feléelezése a legöbb bányászai mechanai folyama éelmezéséhez kielégíő. Vannak azonban kőzemechanai folyamaok, amelyek a Hooke-modell keeein belül nem éelmezheők, pl. a feszülségek elaxációja, a defomációk eadálása. Ezek leíásához álalánosabb, eológiai ípusú anyagmodellek és ezeknek megfelelő anyagegyenleek szükségesek. Egy leheséges, a kőzemechanai gyakolaban alkalmazo modell a Poyning-Thomson es vagy sandad es modellje, melynek (gömbenzookban) egyszeűsíe anyagegyenlee (a.3. fejeze szein) alakú, ahol T GE (4.4) T 3KE ( ) ( ) T, E a feszülségi, ill. defomációs deviáo enzook, T, E a feszülségi-, ill. defomációs gömbenzook, G a kőze nyíási modulusza, K a kompesszió modulusza, a elaxációs, pedig a eadálási idő. Min a. fejezeben bemuauk, a feszülségi és defomációs enzooka fennállnak a T T ( ) ( ) ( ) E E ( ) ui xk u x k i egyenleek, ahol u i, uk az elmozdulás komponensek, i, xk x Descaes-koodináák. A (4.4) anyagegyenleben szeeplő idődeiválak leheővé esz, hogy a kőzeben lezajló folyamaoka időbeli válozásukban is megagadjuk. 76
a A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei Példakén ekinsük Leeman módszeének eseé Poyning-Thomson közegben. Mivel, eológiai anyagjellemzők ééke kőzeek eseében óa, ill. óa nagyságendű, a mééshez szükséges fúólyuk elkészíésé nagyon gyos folyamanak ekinhejük (a fúás ideje és ). Gyos folyamaoka a (4.4) anyagegyenle * T G E alaka hozhaó, ahol egy G * G * G nyíási moduluszú Hooke-es. Mivel ala a közegben nem a Hooke-esnek megfelelő E( ) G * T, azaz ekko a Poyning-Thomson es úgy viselked, min, ezé G * G, így a fúás övid ideje ( H ) E T, hanem az aól kisebb G defomációk állnak be. Ezek gyakolailag nem méheők, mivel fúás közben jönnek lée. A fúás befejezével azonban a (4.4) anyagegyenlenek megfelelően a kőzeben ovábbi T mozgás megy végbe. Mivel a fúólyuk fala szabad felüle, a fal közelében. Ekko (4.4) alapján az E T e G defomációka kapjuk, vagy levonva ebből az egyébkén sem méheő E ( ) defomációka (elhanyagolva a bélyeg felagaszásának és a agaszó köésének idejé) az E E( ) T e ( ) G méheő, időben válozó defomációka kapjuk. Ez hosszú idő elelével ( (4.5) ) a Leeman- T T módsze alapjául szolgáló, a Hooke-esnek megfelelő E( ) éékhez a. * G G Ha azonban a (4.5) defomációka időben kellő gyakoisággal méjük és meghaáozzuk az E ( ) aszimpous ééke is, akko a eadálási idő (4.5) alapján gafus vagy numeus módszeel megkaphajuk. Leeman módszeének ilyen módosíásával ehá nemcsak a pime feszülségállapo, hanem az egy eológiai anyagjellemző is meghaáozhaó. 77
Dobóka Mihály Ez a példa az muaja, hogy a közeg eológiai ulajdonságainak figyelembevéele az időbeli válozások méésén keeszül ovábbi ismeeeke eedményezhe a kőze anyagi jellemzőie és az in-siu feszülségeke vonakozóan. A kövekezőkben észleesen ágyaljuk ez a leheősége a fúólyuk faláa agaszo nyúlásméő bélyegek, ill. ömö hengees szonda alkalmazása eseén. A mééshez összefüggés kell levezenünk a mé defomációk és a pime feszülségelemek közö. A levezeés a (4.4) anyagegyenleen és az egyensúlyi egyenleen alapul. Az (,, z ) hengekoodináa endszeben a eljes feszülségenzo elemei jelöljük,, z,, z, z -vel, ezeke eljesül az egyensúlyi egyenle: (4.6) z z z. A eljes feszülségenzo az in-siu vagy pime feszülségállapo z z z elemeiből p, p, p,,, p p p p p p cos sin x y x y p p p p cos sin x y x y xy xy (4.7) p p sin cos x y xy z z xy yz pz p z sin cos cos xz xz sin (i p, p, p,,, a Descaes koodináaendszebeli éékeke jelöli) és a méési x y z xy xz yz beavakozással megjelenő össze: 78 ún. üegnyiási feszülségekből evőd * * * * * *,, z,, z, z
A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei 79 * p, * p, * z z z p, * * z z z, * z z z. Ez uóbbi feszülségeke a (4.4) anyagegyenle alapján a G * * G * * G z z * z * z (4.8) * * G z z * z * z G z z * z * z G egyenleendsze kapcsolja össze az u, v u, z w z, v v u, w z, w z (4.9) defomációkkal, ahol w,v, u az elmozdulás veko komponensei az ( z,, ) hengekoodináaendszeben, a pon az idő szeini deiválás jelöli, és 3. Mivel a (4.4) anyagegyenleek nagyon gyos, ill. nagyon lassú folyamaok haáeseében egyaán Hooke-es anyagegyenleébe mennek á, okkal váhajuk, hogy a fúólyuk köüli elmozdulás mező -ban, ill. -ben egyaán a lineáisan ugalmas ese SENUK (973) álal közöl kifejezéseke kapjuk vissza. Másész a Poyning-Thomson es anyagegyenlee csak az időfüggő
Dobóka Mihály 8 ) ( opeáoban é el a lineáisan ugalmas es anyagegyenleéől, így a hengees üeg köüli elmozdulás mező kifejezése is csak időfüggése ekineében éhe el a SENUK (973) álal ado képleekől, helyfüggése azonos alakú maad. A fúólyuk (gyos) kifúása uán ehá az üeg köül az sin cos p p R R R p p G R u xy y x 3 * y x * * cos sin p p R R G R v xy y x 3 * * * (4.) sin cos R G R w yz xz * * elmozdulások jönnek lée, ahol R a fúólyuk sugaa, * * 4 3. 4... Pime feszülségek és eológiai anyagjellemzők meghaáozásának leheősége fúólyuk faláa agaszo nyúlásméő bélyegekkel A Poyning-Thomson es anyagegyenleé feléelezve a fúólyuk köüli elmozdulás mező a feniek alapján sin cos p p R C R B p p R A G R u xy y x 3 y x cos sin p p R C R B G R v xy y x 3 (4.) sin cos R D G R w yz xz
alakban vehejük fel, ahol A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei A, B,C, D az időnek meghaáozandó függvényei és 3 4. (4.) alapján felíhaók a (4.9) defomációk, ezekkel pedig a (4.8) üegnyiási feszülségek, ill. a eljes feszülségenzo elemei. Mivel a fúólyuk fala szabad felüle, a adiális feszülség összeevők i zéussá válnak: azaz ( R ), ( R ), ( R ), (4.) * * * * * * p,,. A (4.7)-(4.8) egyenleeke felhasználva a (4.) peemfeléeli egyenlee az p x p y A A z z p x py 4B 3C 4 B 3C cos sin xy B 3C B 3C p p sin cos x y xy D D cos sin xz yz alaka hozhajuk. Mivel a peemfeléelnek eszőleges helyen (φ-ől függelenül) és eszőleges feszülségállapoban ( p x, p diffeenciálegyenle-endszee juunk y, xy, xz, yz z z -ől függelenül) eljesülni kell, a kövekező A A (4.3) 4B 3C 4 B 3C (4.4) B 3C B 3C (4.5) D D. (4.6) Az egyenleendsze megoldása soán kezdei feléelkén -ban az * * * u u,v v, w w egyenleeke kell könünk. Ezzel (4.3)-(4.6) alapján az 8
Dobóka Mihály A e (4.7) B * e,, 3 (4.8) C * * e e (4.9) 3 D e (4.) eedménye juunk. Ezeke a függvényeke (4.)-be helyeesíve előállíhajuk az elmozdulásoka, valamin a (4.9) defomációka. A méheő defomációk és a belőlük kaphaó paaméeek A 4.3. ába alapján láhaó, hogy a nyúlásméő bélyegekkel az és az z defomációk közvelenül méheők. Ezeke (4.7)-(4.) valamin (4.9), (4.) felhasználásával nél az p p 3B 3C p p A x y x y cos xy sin G z G D yz cos kifejezéseke kapjuk. Bevezeve a xz sin K A, 3B 3C, K 3 D K 5 jelölés, a,, -nél elhelyeze nyúlásméők defomáció adaaia a 4 K K p x K K p y G G K K p x K K p y R - 5 G Kpx K py Kxy (4.) 4 8 z K3 yz G
A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei G z K 3 xz egyenleendsze kapjuk. Ha kőze anyagi jellemzői ismejük, akko K, K, K 3 isme és így (4.) a p, p,,, pime feszülségeke adnak inhomogén lineáis algebai x y xy yz xz egyenleendsze. Ez megoldva, a mé defomációk alapján az in-siu feszülségelemeke meghaáozhajuk: K K ( ) K K p G x K K K K ( ) K K p G y K K xy yz xz G K G K 3 G K 3 K K z ( ) 5 z. 4 5 ( ) 4 A képleekből láhaó, hogy a fúólyuk köülfúás nélküli a kőze eológiai ulajdonságaiból adódó defomációi a lyuk faláa agaszo bélyegekkel méve a pime feszülségek éppúgy meghaáozhaók, min köülfúással (Leeman módszeénél). Az, hogy (4.) lineáisan függelen egyenleendsze az muaja, hogy deeminánsa zéusól különböző de 8K3 K K, azaz az ö feszülségelem az ö méési ada alapján mindig meghaáozhaó. A hiányzó feszülségelem csak köülfúással haáozhaó meg. Min (4.) alapján láhaó, időben kellően gyakoi méésével a D függvény ( alakja meghaáozhaó. Meghaáozva az igen nagy -hez aozó aszimpous és képezve az z ( z ) e ) z p z ééké 83
Dobóka Mihály ( ) ( ) ( ) z z z hányados, ennek -hoz aozó ééke a ( ) aány adja. Az ( ) z z z mennyiség (emészees alapú) logaimusá az idő függvényében ábázolva egy egyenes kapunk, amelynek iányangense. Így a ké eológiai időállandó gafusan meghaáozhaó defomáció méések alapján. Temészeesen numeus eljáás is alkalmazhaó a és paaméeek meghaáozásáa. 4... Pime feszülségek és eológiai anyagjellemzők meghaáozásának leheősége fúólyukba agaszo ömö hengees szondával Min láuk, a fúólyuk faláa agaszo nyúlásméő bélyegek nedvességől való védelme vol a fő oka annak, hogy Rocha és Silveio a bélyegek hengees ömö szondába épíésé javasola. A köülfúás soán a vizsgál kőzees expandál, így a szonda is águlni kényelen. Ez okozza az egy fő poblémá a módsze alkalmazása soán: a szonda és a kőze elválha egymásól, ha a közük levő agaszó éeg megszakad. A közeg eológiai ulajdonságai figyelembe véve az váhajuk, hogy a fúólyuk készíéseko a kőze a (4.)-ben ado * ( u,v *, w ) defomáció végzi. Ha ekko beagaszjuk a szondá, a kőze ovábbi a * eológiai ulajdonságokból adódó mozgása soán a szondá is defomálja, mégpedig főkén összenyomja. A agaszó éeggel szemben ez eseben sokkal kisebb igény meül fel. Figyelembe kell azonban venni, hogy a kőze és a szonda, min együ dolgozó endsze szeepel: a szonda jó közelíéssel Hooke-eskén, a kőze pedig a Poyning-Thomson modellnek megfelelően. A kőze és a szonda elmozdulás- és defomáció komponensei ennek alapján kell meghaáozni. Láni fogjuk, hogy a szonda és a kőze együ dolgozásának előnyös kövekezménye, hogy a szonda visszaha a kőzee, befolyásolja mozgása időbeni lefuásá. Ennek alapján a fúólyuk faláa agaszo bélyeg defomációinál láo ké ( és ) időpaaméeel szemben négy időállandó méheünk meg. Mivel ezek a kőze és a szonda ugalmas jellemzőiől függenek, a szonda paaméeek ismeeében a négy kőzejellemző ( G,,, ) méések alapján meghaáozhaó. A kövekezőkben levezejük a szonda és a kőze elmozdulásai, meghaáozzuk a szonda defomációi. Ennek alapján megmuajuk, hogy a megfelelően elhelyeze bélyegekkel mé defomáció adaokból hogyan haáozhaók meg az in-siu feszülségek és a ( G,,, ) kőzejellemzők. 84
A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei Az ismé gyos folyamanak ekine fúás uán a kőze * * * u, v, w elmozdulásai a (4.) kifejezések adják meg. A kőze eszőleges későbbi időben mé elmozdulásai (4.) alakban éelezzük fel. Kezdei feléelkén -ban a kőzee ( II ) ehá II * II * u ( ) u, v ( ) v, II * w ( ) w, a szondáa ( I ) pedig az u I ( ), v I ( ), w I ( ) egyenleeke íhajuk fel. A szonda és a kőze közöi vékony agaszó éeg defomációi elhanyagolva peemfeléelkén R -nél az elmozdulásoka az u I II * I II * u u, v v v, w I w II w * egyenleeke köjük ki, mivel a kőze a fúás ala önállóan, a fúás (és az i elhanyagolhaóan övid idejűnek feléeleze beagaszás) uán a szondával együ mozog. A feszülségi peemfeléeleke a iviális, I II, I II I z II z egyenleek adják, vagy ebből adódóan Mivel (ahol I I I I z I I z II II II z II II. I * p II z * az üegnyiási feszülségek és p ) a kőze (4.4) anyagegyenleének felhasználásával és feléve, hogy a szonda anyaga lineáisan ugalmas, a kövekező egyenleendszee juunk II II II II p G 85
Dobóka Mihály 86 I I I I G (4.) I I II II G G (4.3) I z I z II z II z z G G, (4.4) ahol, G a szonda nyíási modulusza és Poisson ényezője. A koábbiak szein a kőze anyagegyenlee a Hooke-esől csak idődeiválakban é el, ezé az elmozdulások a szondában és a kőzeben helyfüggésüke ekinve azonosak a lineáisan ugalmas közege kapo megoldással, aól csak időfüggő mennyiségekben éhenek el. Az elmozdulásoka így az sin cos p p R f 3 R c p p R a 4G R u xy y x 3 y x I cos sin p p R c R f 3 4G R v xy y x 3 I sin cos R g G R w yz xz I sin cos p p R C R B p p R A G R u xy y x 3 y x II cos sin p p R C R B G R v xy y x 3 II sin cos R D G R w yz xz II alakban vehejük fel, ahol D B,C, A, g,, f,c, a csak az időől függő meghaáozandó függvények. A feni elmozdulásokkal a szonda és a kőze defomációi a (4.9) egyenleek alapján meghaáozhaók. Ezeke a (4.)-(4.4) egyenleekbe helyeesíve mivel ezeknek -ől
A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei és a pime feszülségelemekől függelenül eljesülni kell közvelenül eljuunk az alábbi diffeenciálegyenle endszehez AA a a (4.5) c c 4B 3C 4B 3C (4.6) C c B 3C 3 f 3 f B 3C (4.7) D D g g. (4.8) Hasonló megfonolással az elmozdulási peemfeléelek szein G (4.9) * G a A c G (4.3) G * 3f B C * G (4.3) * G * 3f c B C G g D * (4.3) G G egyenleeke kapjuk, ahol. A peemfeléelekből kapo (4.5)-(4.3) egyenleend- G sze a nyolc ismeelen függvény meghaáozásá az emlíe kezdei feléelek melle leheővé eszi. A (4.5) és a (4.9) egyenleek alapján az A A diffeenciálegyenlee íhajuk fel, ahol. 87
Dobóka Mihály 88 Mivel -ban * G G ( ) A, ezé íhajuk, hogy e A o e a a, (4.33) ahol a. Hasonlóan (4.8) és (4.3) alapján D D, ahol -ban ( ) D, így e D, e g g, (4.34) ahol g.
A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei 89 A (4.3), (4.3) egyenleek szein C B f * B B 3 f c, ahol * * * G G B. Így a (4.7)-(4.8) egyenleek a * B B B (4.35) B 3 C C B (4.36) alako öl. A homogén ész álalános megoldásá e alakban keesve q q 3 q kaakeiszus egyenlee kapjuk. Az egyenle gyökei valósak: q, q. A homogén egyenle álalános megoldása q h e B B q q h e C e q 3 q B C alakú, ahol C, B konsansok. Az inhomogén egyenle pauláis megoldása B B * p, p p B C
Dobóka Mihály alakú, így (4.35)-(4.36) eljes megoldásá így íhajuk fel ahol B B C X p B e q q q Bp B Xe Ce, q 3. A kezdei feléelek alapján * G * q B( ) C( ) G ahonnan * G * B( ) C( ), * G B( ) * B C( ) * B, így B B p C B p * B B e p * e B B e B X e X e e p f B (4.37) * B B e c 3 f. (4.38) A kövekezőkben, helye a p, 3 jelölés alkalmazzuk. 9
A ömö hengees szonda defomációi A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei A szonda defomációi a levezee elmozdulás-függvényekből a p p x y I (4.39) 4G c 3 f p x p y cos xy sin R a p p x y I (4.4) 4G c 3 f px py cos xy sin R I z I c 6 f px py sin xy cos (4.4) ε I z I z 4G R g xzcos yzsin (4.4) G g yz cos xz sin (4.43) G alakban kapjuk. Ezek a fomulák a defomációka a pime feszülségekől való függésükben (az idő- és helypaaméeeke is aalmazva) adják meg. Rögzíe helyen méve a defomáció az időfüggésből a,, 3, paaméeek meghaáozásáa van mód, a kőze anyagi jellemzőinek ismeeében pedig a pime feszülségállapo adaai számíhajuk ki. A kőzejellemzők meghaáozása a szonda defomációi alapján A négy kőzemechanai paamée meghaáozásához a szonda defomációi legalább négy függelen ponon kell ménünk. Egy leheséges elendezés mua az 4.5. ába. 9
Dobóka Mihály 4.5. ába: A nyúlásméő bélyegek elhelyezése A szonda felezősíkjában háom bélyege helyezünk el. -nál a adiálisan elhelye- ze bélyeg ( ) a z engellyel szöge bezáó bélyeg pedig 4 ( ) ( ) ééké méi, -nál adiálisan elhelyeze bélyeg 45 z ( ), az azimuálisan elhelyeze pedig ééké méi. Az ( ), ( ), ( ) és ( ) nyúlásoka időben kellő gyakoisággal méve (4.39)- z (4.43) alapján képezhejük az 3 ( ) ( ) 3 f p x G p (4.44) y ( ) ( ) 3 ( ) ( ) G p a x p y (4.45) R ( ) ( ) 3 ( ) ( ) G c 3 f p x p y (4.46) 9
A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei g z( ) (4.47) xz G mennyiségeke. A (4.45) szein képze adaoka egy időfüggésé ekinve (4.33)-hoz hasonló göbe illeszheő. A numeus vagy gafus eljáás végeedményekén a paamée meghaáozhaó. Hasonlóan a (4.47) szein képze adaoka (4.34) alapján illesze göbe paaméeé is megkaphajuk. A (4.46) és (4.38) egyenleek alapján 3 ééké haáozhajuk meg numeusan. A (4.44) szein képze mennyiségeknek (4.37) egyenle szein -ben maximumuk van, amo is 3 3e. A idő a méés soán meghaáozhaó. Mivel 3 isme, ez a anszcendens egyenle - e megoldhaó. Így végeedményben a,,, 3 időpaaméeek meghaáozhaók. Az eddigiek alapján azonban a,, (4.48), 3 isme mennyiségek a kőze ugalmas és eológiai, ill. a szonda ugalmas paaméeeivel kifejezheők. A szonda paaméeei laboaóiumban kellő ponossággal meghaáozhaók, így (4.48) négy egyenlee jelen négy ismeelene. Az egyenleendsze megoldva a kőze ugalmas és eológiai jellemzőie a G G m m 93
Dobóka Mihály (4.49) 3 3 3 3 4 3 3 3 eedmény kapjuk ( m ). Ennek alapján a szonda ugalmas paaméeei, valamin a feni- ekben leí módon méési adaokból számíhaó,,, 3 paaméeek biokában a ugalmas és eológiai kőzejellemzőke meghaáozhajuk. A képleekben a (i,,,3 ) időényezők különbségei szeepelnek, ezé a kőzepaaméeek meghaáozhaósága szemponjából fonos, hogy i -k haáozoan eléjenek egymásól: különbségük legyen nagyobb, min méésük hibája. A (4.48) képleek alapján láhaó, hogy i,,, 3 eseén i. A méés ehá olyan kőzeekben lesz elég ponos, amelyekben és lényegesen különböz, vagy máskén ééke egyől minél inkább elé. Ez azonban csak az egy feléel. (4.49) alapján kiűn az is, hogy ha, azaz G G eléése melle is i, és lényeges i, azaz a különbségek zéushoz aanak. Ez váhaó, hiszen az feléel az jeleni, hogy a kőze a szondához képes úlságosan kemény, a szonda a kőze mozgásá alig befolyásolja. Haáeseben ez a méés elvének bevezeése soán ehelelen fúólyuka muao megoldása veze, amo a defomációs deviáo mennyiségek időfüggésé a eadálási időhaáoza meg. Eedményeink alapján ehhez még hozzáehejük, hogy haáeseben a melle 3 -ból a Poisson ényező is meghaáozhaó, de nem méheő G és. 94
A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei Ha az G aány egyhez közeli ééke vesz fel, akko a kőzepaaméeek jól G meghaáozhaók. Ez egyben az is jeleni, hogy a szonda nyíási moduluszá aszein kell megválaszani, hogy milyen kőzeben méünk. A G növelésének az szab haá, hogy közben a méheő defomációk azonos in-siu feszülségeke feléelezve csökkennek, így méésük ponossága is csökken. Az in-siu feszülségek meghaáozása ömö hengees szonda eseén A szonda anyagi jellemzői, valamin a kőze ugalmas és eológiai paaméeeinek az előző ponban ismeee módon meghaáozo éékei biokában az defomációk (4.4),, z ill. (4.43) kifejezésében szeeplő a,c, f, g időfüggvények előállíhaók. Ezálal a 4.5. ábán 5,, -nél elhelyeze bélyegek defomációia felíhaó 4 p p K p 4G ( ) K x y x py p p K p 4G K x y x py px py K xy 5 4G K (4.5) 4 G G z( ) K3 yz 5 4 z K3xz a, K f 3 c K képleekben csak a x y, K 3 g R xy yz xz p, p,,, pime feszülségek ismeelenek. Az inhomogén lineáis algebai egyenleendsze deeminánsá felíva adód. de K K K3 95
Dobóka Mihály és eseén a deemináns zéusól különböz, azaz az egyenleendsze megoldhaó. Az ese a G G elációhoz köheő. Ekko a ömö hengees szonda visszahaása a kőze mozgásáa gyakolailag elhanyagolhaó, és így LEEMAN (968) módszee kapcsán MOODY (968) álal e észevéel isméelhejük meg. Ha a szonda G nyíási modulusza a kőze G moduluszával összeméheő ( ) akko a feni egyenleendsze megoldásá G K K K K ( ) K K px G K K K K ( ) K K p y (4.5) xy G K K K 5 ( ) 4 yz xz G K 3 G K z ( ) z 3 5 4 alakban adhajuk meg. A képleekben G isme szondaállandó, az ( ),, 5 5, z( ), z defomációk a nyúlásméő bélyegek álal nyújo méési adaok, 4 4 K pedig az időben kellő gyakoiságú defomáció méések alapján meghaáozhaó, K, K3 mennyiségek. A... ponban leí algoimus alapján mind a kőzejellemzők, mind az insiu feszülségállapo komponensei megadhaók. 4.3. In-siu feszülségek időbeli válozásának köveése A bányászai gyakolaban sok eseben nem a kőzekoninuum feszülségei abszolú éékének ismeee, min inkább a é egy ado helyén e feszülségek időbeli megválozásának deekálása, ill. a válozás nagyságának megadása a fonos. Ekko az in-siu feszülségálla- 96
po jellemzői az alapéék ( ) és az ee szupeponálódo válozás összegekén állíhajuk elő ( ) A kőzefeszülségek meghaáozásának diek módszeei. A ugalmasságani egyenleek lineaiása mia az elmozdulás mező meghaáozásako az s s s alakból indulhaunk ki, ahol s az alap feszülségállapohoz s a válozáshoz aozó elmozdulás. A fúólyuk, ill. a beleépíe ömö hengees szonda defomációi alapján a feszülségek meghaáozhaók. Az időbeli válozások endszein a bányabeli műveleek kövekezében állnak elő. A kőze eológiai ulajdonságai alapján elvi leheőség van az időben meghaáozo módon végbemenő bányaéségbeli művele és a é ado ponján elhelyeze szonda időben válozó defomációi közöi kapcsola megadásáa. Ez a kapcsola azonban kivéve néhány egyszeű esee, min pl. az időben (a eológiai időpaaméeekhez képes) igen övid idő ala, ugásszeűen végbemenő folyamaok eseé endszein igen bonyolul és nem is bí alapveő gyakolai jelenőséggel. A valóságban sokkal gyakoibb, hogy a bányabeli műveleek pl. maga a fejés időben (a eológiai időpaaméeekhez képes) hosszú skálán mennek végbe. Ilyenko a kőze eológiai ulajdonságai a szonda defomációinak időbeli válozásá ekinve elhanyagolhaók. Az elmozdulás mező a lineáisan ugalmas ese vonakozó ( ) haáese alapján kaphajuk a Poyning-Thomson ese ado eedményekből. 4.3.. Fúólyuk faláa agaszo nyúlásméő bélyegek alkalmazása feszülségállapo időbeli válozásának köveésée Ha a köülmények leheővé esz (száaz fúólyuk), az egyszeű fúólyuk faláa agaszo bélyegeke alkalmazó módsze is használhajuk a feszülségállapo válozásainak köveésée. A eológiai viszonyoka ágyaló megoldásban a haáesee kell vennünk. Ekko a defomációka felí (4.) egyenleendszeben bevezee K, K, K3 -a a K, K, K3 eedmény adód. Ennek behelyeesíésével a p, p,,, feszülségválozásoka (4.) megoldhaó és így az időben lassan végbemenő in-siu feszülségválozások köveheők. x y xy xz yz 97
Dobóka Mihály 4.3.. Fúólyukba agaszo ömö hengees szonda alkalmazása a feszülségállapo időbeli válozásának köveésée Tömö hengees szonda feszülségválozások haásáa adódó elmozdulás mezőjének számíásánál kezdei feléelkén u,v, w - kell figyelembe vennünk. Ezen úl az elmozdulásoka a.-ben levezee eedményekből haáeseben kapjuk meg. Láhaó (4.39)-(4.43) alapján, hogy ekko f, azaz a szonda defomációi adiálisan homogénné (sugáól függelenné) válnak. A nyúlásméő bélyegek defomációia felí egyenleendszeben ekko K, K, K 3, és ezzel a feszülségválozásoka a (4.5) egyenleendsze kapjuk (a benne szeeplő p x, py,xy,xz, yz feszülségelemeke px, py, xy, xz, yz mennyiségekkel kell helyeesíenünk). A feszülségállapo válozásainak köveésée alkalmazo ömö hengees szonda fúólyukba agaszásával kapcsolaban kisebb igényeke kell ámaszanunk, min az abszolú feszülségek meghaáozása eseén, mivel mos elegendő idő áll endelkezése a agaszó anyag köésée, nem kell a köési idő a eológiai időpaaméeekhez képes öviddé ennünk. 98
5. A KŐZETFESZÜLTSÉGEK MEGHATÁROZÁSÁNAK INDIREKT MÓDSZEREI DOBRÓKA MIHÁLY, SOMOGYINÉ MOLNÁR JUDIT Miskolci Egyeem, Geofizai és Téinfomaai Inéze, 355 Miskolc-Egyeemváos E-mail: doboka@uni-miskolc.hu MTA-ME Műszaki Földudományi Kuaócsopo, 355 Miskolc-Egyeemváos E-mail: gfmj@uni-miskolc.hu A szeizmus/akuszus hullám ejedési jellemzői a kőzeek fonos mechanai (peofizai) ulajdonságaiól hodoznak infomáció. A mechanai és anszpo ulajdonságoka például a ejedési sebessége, jósági ényező, pemeabiliás, fajlagos ellenállás, hővezeő képessége sb. jelenősen befolyásolja a kőzeesben ualkodó nyomás. A nyomásfüggés jelenségének megéése fonos infomáció szolgála ahhoz, hogy szeizmus mééseke kőzefizai paaméeek vonakozásában is lehessen éelmezni, melyhez a nyomás ejedési sebessége gyakool haásának megéése, valamin a jelensége magyaázó kőzefizai modellek ismeee elengedheelen. A hullám ejedési jellemzői nyomásfüggésének ismeeében amennyiben e függés megfodíhaó fonos leheőség nyíl a kőzeek feszülség állapoának szeizmus/akuszus mééseken keeszül öénő indiek meghaáozásáa. Ez egy jelenős kuaási iány, amely a nemzeközi kuaási gyakolaban évizedek óa jelen van. A célkiűzés egyszeűnek űnhe, megvalósíása azonban komoly elmélei és gyakolai nehézségekbe üköz. A hullám ejedési sebessége egyelen skaláis ada, amelyből a feszülségállapoo jellemző feszülség enzo ha függelen elemé meghaáozni nyilván nem lehe. Segísége jelen, ha a méésekből az abszopciós ényező (ill. a mögöe kőzejellemzőkén álló jósági ényező) is leszámazahaó. Az anizoóp feszülségállapo észleesebb megismeéséhez különböző iányokban haladó hullámok sebességének (jósági ényezőjének) meghaáozása szükséges. A pobléma emészeéből kövekez, hogy az izoóp közeg (Hooke-es) feléelezésével levezee hullámejedési övényeken úl kell lépni, és az in-siu feszülségállapo álal geneál szeizmus/akuszus anizoópia leíásá segíő állapoegyenle, ill. a megfelelő mozgásegyenle, majd annak hullámmegoldása szükséges ahhoz, hogy az elmélei feléelek adoak legyenek a nyomásállapo elemzéséhez. 99
Dobóka Mihály, Somogyiné Molná Judi A pobléma más oldalá az in-siu szeizmus méések jelen, hiszen a különböző, egyszee léező hullámfomák elkülöníése, beékezési idejük (különösen pedig abszopciójuk) méése még izoóp közegben is jelenős kihívás. Éppen ezé igen gyakan a felada egyszeűsíése melle végze méésekől számolnak be a kuaók. Gyakoi felada valamely földalai üeg közelében a kőzenyomás hely szeini válozásának feldeíése. Ilyen pl. a köszelvényű bányavága köül, annak közelében a nyomás válozásának vizsgálaa. A felada megoldásához a vágaból adiális iányban mélyíe fúólyuk szükséges, majd az abba helyeze szeizmus ézékelővel különböző helyeken deekálhajuk a fúólyuk alpánál a vágafalon kele akuszus hullámok beékezésé. Így a beékezési idők szelvényé állíhajuk elő a fúólyuk menén, amelyből a ejedési sebesség, min a vágafalól mé mélység függvénye meghaáozhaó. Amennyiben a néhány mée ávolságon a kőze anyagi jellemzőiben muakozó inhomogeniás elhanyagolhaó, a válozás a kőzenyomás vága köüli válozásának ulajdoníhajuk. A bányászai echnológia iányíásához sok eseben elég a szeizmus (akuszus) sebességben bekövekező válozás ismeee, ha a méés gyakoi elvégzése soán az ado helyszínen, apaszalai úon kialakul egy empius udás aól, hogy ado méékű sebesség válozás milyen méékű (veszélyes vagy még elfogadhaó) feszülség válozás indál. Ezé a hullámejedési sebesség, ill. az abszopciós ényező méése önmagában is lehe a echnológia hasznos segíője (különösen, ha figyelembe vesszük, hogy az abszopciós ényező aká ké nagyságenddel is ézékenyebben eagál a kőzenyomás válozásáa, min a sebesség). Ahhoz azonban, hogy a sebesség, ill. jósági ényező válozásából a nyomás válozásá meghaáozzuk, szükséges a sebesség-kőzenyomás, ill. sebesség-jósági ényezőkapcsola ismeee és annak megfodíása. E kapcsola feldeíésée igen jelenős nemzeközi kuaási akiviás apaszalhaó. A kuaások egy észe különböző kőzeípusokon végze méések apaszalaaia épíve empius fomulák felállíásáa öeksz. Más kuaók a jelenség mögö húzódó fizai haásoka modellezve öekszenek álalánosabb (de modellől lévén szó, nyilvánvalóan csupán a kőzeek bizonyos köée vonakozó) összefüggések számazaásáa, ezzel is hozzájáulva a kőzenyomás haásának indiek meghaáozásához. A feniek mia a kövekezőkben a eljesség igénye nélkül bemuajuk a szakiodalomban közöl, a ejedési sebesség, illeve abszopciós és jósági ényező nyomásfüggésének jellemzésée szolgáló kvaliaív, ill. empius modelleke, valamin öviden összefoglaljuk a nyomásfüggés egessziós leíásáa vonakozó iodalmi előzményeke, ezzel is előkészíve a kőzefizai modellek felállíásá ágyaló későbbi megfonolásainka.
A kőzefeszülségek meghaáozásának indiek módszeei 5.. A ejedési sebesség válozása és a kőzefeszülség közi kapcsola a nemzeközi szakiodalomban A kuaók a különböző kőzeekben ejedő akuszus hullám sebességé különböző ehelés (WYLLIE e al. 958; STACEY 976; SENGUN e al. ), ill. póusnyomás alkalmazása melle (NUR & SIMMONS 969; YU e al. 993; DAROT & REUSCHLÉ ; HE & SCHMITT 6) anulmányozzák. Ezálal közisme, hogy a hullámsebesség növekvő nyomás melle nő. A jelenség kvaliaív magyaázaáa számos elgondolás léez. Ezek közé aoz BRACE & WALSH (964), valamin a későbbiekben YU e al. (993), BEST (997), HASSAN & VEGA (9), SENGUN e al. () elképzelése, amely szein a sebesség válozása a kőzeekben lévő moepedések nyomás alai bezáódásával magyaázhaó. A ejedési sebesség nyomásfüggésének leíásáa szolgál BIRCH (96) elgondolása is, amely szein a nyomás növekedésével a póusok éfogaa csökken, így növekvő ejedési sebesség méheő a kőzeminán. A kőzeekben ejedő akuszus hullámsebesség a ehelés kezdei szakaszában nemlineáis kapcsolaban van a kőzee haó nyomással (YU e al. 993; BEST 997), amely kapcsola exponenciális függvénnyel jellemezheő (SINGH e al. 6; HAN e al. ). A longiudinális sebesség nyomásfüggésének jellemzésée számos empius modell léez, azonban ezek fizai magyaázaal nem szolgálnak a jelensége (WEPFER & CHRISTENSEN 99; WANG e al. 5; JI e al. 7), csupán a mé adaokhoz illesze göbe egessziós egyenleé adják meg. WEPFER & CHRISTENSEN (99) a a V( P ) AP B( exp( bp )) (5.) egyenle göbéjé illeszee laboaóiumban mé sebességadaokhoz, ahol V a szeizmus sebesség, P a nyomás, valamin a, b, A és B egessziós konsansok. Ezzel szemben WANG e al. (5) a V( P ) a(lnp ) blnp c egyenleel ía le a sebesség nyomásfüggésé. Az egyenleben V a szeizmus sebesség, P a nyomás, a, b konsansok és c egységnyi nyomás melle mé sebesség. Míg JI e al. (7) szein a V ( P ) V DP B exp( kp )
Dobóka Mihály, Somogyiné Molná Judi egessziós egyenleel előállío göbe illeszkede legjobban a mé nyomás-ejedési sebesség adaokhoz. Az egyenleben V a nyomásmenes állapoban mé ejedési sebesség, k és D egy alkalmasan válaszo konsans, P a nyomás, valamin B a ehelés haásáa bekövekeze sebességesés (JI e al. 7). A szezők álal definiál sebességesés az a sebességválozás, amely előáll a epedésmenes minán (maximális nyomás alkalmazása eseén, amo minden moepedés bezául) méheő és egy kisebb nyomáson má (nyio) epedésekkel (is) endelkező minán mé longiudinális ejedési sebesség különbségekén. Tehá a kőzeben ado nyomáson léező epedések mia, a minán méheő akuszus sebesség esése kövekez be a epedés nem aalmazó állapohoz képes (amelyben a epedések bezáulak). SCHÖN (996) könyvében egy D paaméeel íja le a kőze összes inhomogeniásá okozó jelensége (pl. epedések, kőzeszemcsék kapcsolaa). A epedeze kőzeek fenomenológiai leíásáa alkoo modell helyességé WANG e al. (97) számos kőze eseében bebizonyíoa. A feniekben ismeee vizsgálaok keeében, empius megfonolások alapján feléeleze fomulák paaméeeinek egessziós illeszése öén, így állnak elő a ejedési sebesség nyomásfüggésé leíó egyenleek. Ezek nem ekinheők fizai modelleknek, a egessziós paaméeek pedig csupán egy-egy kőzemináa éelmeze adaok. Laboaóiumi méési adaok megfelelő éelmezéséhez olyan kvaniaív modelle van szükség, amely a bemuao egessziós fomulákon úllépve, a hullámejedéssel kapcsolaos nyomásfüggés fizai jellemzői feláva, fizai magyaázao is ad a jelensége. 5.. Az abszopciós ényező, ill. jósági ényező nyomásfüggése a nemzeközi szakiodalomban A kőzeekben ejedő ugalmas hullámok csillapodásának (abszopciós ényezőjének) nyomásfüggése széles köben anulmányozo kőzefizai pobléma. A ugalmas hullám ejedési jellemzői síkhullámú közelíésben az elmozdulás-függvény (FREMPONG e al. 5) u u e i kx kifejezésében a (veszeséges közegben) komplex k k ia hullámszám jellemzi, melynek valós észe a kőzeben ejedő akuszus hullám fázissebességével (v f )
A kőzefeszülségek meghaáozásának indiek módszeei v f k van kapcsolaban, képzees észe pedig az a abszopciós ényező ( a köfekvencia). A csillapodás jellemzésée az abszopciós ényező melle szokásos a jósági ényező definiálása is, mely bevezeheő KNOPOFF (965) fomulája alapján f a, (5.) v Q v Q f f ahol Q a jósági ényező és f a fekvencia. Láhaó, hogy a jósági ényező fodíoan aányos az abszopciós ényezővel. A csillapodás laboaóiumban öénő meghaáozása szeizmus (SPENCER 98; DUNN 987; PAFFENHOLZ & BURKHARDT 989), szónus (MURPHY 98; LUCET e al. 99) és ulaszónus fekvencián (TOKSÖZ e al. 979; WINKLER 985; KHAZANEHDARI & MCCANN 5; HAN e al. ) egyaán fonos. Számos kőze eseén a jósági ényező és a fázissebesség fekvenciáól függelen, azaz az abszopciós ényező a fekvenciával aányos. Ilyenko a konsans Q modellől beszélünk (TOKSÖZ e al. 979). Fenomenologusan ez a közege komplex nyíási modulusszal jellemezhejük. A közeg peiodus gejeszése eseén a feszülség és defomáció közö fáziseléés lesz, amelye g, Q ahol Q a jósági ényező. Kis fáziseléés eseén Q, mely megadja a jósági ényező méésének egy leheséges módjá. Egy más leheőség a szabad ezgésbe hozo kőzemina (oziós, vagy longiudinális ezgés végző hosszú vékony úd) elmozdulásainak időbeli lecsengése alapján meghaáozo logaimus dekemenum ismeeében a jósági, ill. az abszopciós ényező kiszámíása (FREMPONG e al. 5). A ezonancia módszeel (GORDON & DAVIS 968) a különböző módon kényszeezgésbe hozhaó kőzeminák ezonancia fekvenciájá haáozzuk meg. Az egyes ezgési módusokhoz (pl. longiudinális, oziós) aozó ezonancia fekvenciák összefüggése a kőzemina geomeiai és ugalmas jellemzőivel jól isme. A ezonanciagöbe alapján meghaáozhaó a kőze jósági ényezője, melynek kapcsolaá a ezonancia fekvenciával ( az alábbi fomula adja meg f n ) 3
Dobóka Mihály, Somogyiné Molná Judi fn Q f abban az eseben, ha f a göbe 3 db-es ponjaihoz aozó sávszélesség. A jósági ényező méésée a szakiodalomban a legelejedebb a konsans Q modell. Gyakan alkalmazo abszopciós ényező meghaáozási módsze még az ún. impulzus módsze is (GORDON & DAVIS 968), amelynél a kőzeben egy akuszus impulzus indíunk el és ennek ampliúdójá méve számíják ki az abszopciós ényező. Az impulzusvisszhang módszenél (mely TAKÁCS (989) álal a Geofiza Tanszéken égebben is kuao vol) a kőzemina végéől visszave impulzus ampliúdójá (eseleg a öbbszöös eflexiók ampliúdói) haáozzuk meg. TOKSÖZ e al. (979) különböző ehelés melle Beea homokkő minán méek P és S hullám sebességeke száaz, deszillál vízzel, engevízzel, valamin meánnal elíe minákon, illeve vizsgálák a hullámok csillapodásá. Megállapíoák, hogy a csillapodás nagyobb a vízzel, ill. engevízzel elíe mináknál, min a meánnal elíe vagy száaz mina eseében, valamin, hogy az abszopciós ényező csökken a nyomás növelésével. Megállapíoák ovábbá, hogy az abszopciós ényező-nyomás függvény nemlináis. Az abszopciós ényezőben alacsony nyomásaományban figyelek meg jelenős válozás, magasabb nyomáséékeknél a szemcsék összenyomódásának leheősége csökken, így a csillapodásban bekövekeze válozás is kisebb lesz. A kőzeekben ejedő ugalmas hullám csillapodásának magyaázaáa a nemzeközi iodalomban számos kőzemodell isme, öbbek közö a nemlineáis súlódás modell, a Bio-modell (BIOT 956a, 956b), a viszkoelaszus modell (BLAND 96) és a ugalmas szóódás modell. A nemlineáis súlódás modell szein a csillapodás a kőzemáix ugalmalansága és a hullám disszipációja okozza, ugyanis a kőzeszemcsék haáán (WHITE 966) és a epedések felüleén (WALSH 966) a súlódás kövekezében a hullám mozgási enegiájának egy észe hőenegiává alakul á. A Bio-modell pl. egy poózus ugalmas kőzevázból és viszkózus, összenyomhaalan póusfolyadékból álló kéfázisú endsze í le. Az ebben ejedő hullám csillapodásának sajáosságai a modell a kőzeváz és a póuskiölő folyadék közöi elaív mozgással magyaázza. A viszkoelaszus modell fizai mechanizmusoka vezei vissza a csillapodás jelenségé, például a kőzeszekeze inhomogeniása mia a kőzeben lévő epedések ugalmalan ulajdonságaia, vagy a viszkózus elaxációa. A ugalmas szóódás modell szein a csillapodás a hullám kis póusokon öénő szóódása 4
A kőzefeszülségek meghaáozásának indiek módszeei (KUSTER & TOKSÖZ 974), vagy vékony éegeken öénő visszaveődése okozza (O DOHERTY & ANSTEY 97). A jelenség, miszein az akuszus hullám csillapodása növekvő nyomással csökken, kvaliaíve a kőzeekben lévő moepedések nyomás alai bezáódásával magyaázhaó (JOHNSTON e al. 979; LUCET & ZINSZNER 99; YU e al. 993; BEST 997). WALSH (966) alapján a nyomás-abszopciós ényező kapcsolaa növekvő nyomás melle, az abszopciós ényező exponenciális csökkenésével jellemezheő a legjobban. Walsh ezen exponenciális függés szinén a moepedések záódásával magyaázza. Ezzel szemben PRASAD & MEISSNER (99) a nyomásfüggés oká a kőzeszemcsék nagyságának, illeve alakjának a P és S hullámok csillapodásáa gyakool haásának ulajdoníja. Méése alapján megállapíoák, hogy duvább szemcsés kőzeekben nagyobb a hullámok csillapodása és egyben kisebb a méheő ejedési sebesség is, valamin ha egy kőzeben nagyobb a szöglees szemcsék aánya, nagyobb csillapodás méheő. Az abszopciós ényező nyomásfüggésé HUNTER e al. (96) egy egyszeű haványfüggvénnyel íja le n p a a p, ahol p a nyomás, p a efeencianyomás (pl. kpa), a a efeencianyomás mellei abszopciós ényező és n egy alkalmasan válaszo konsans. A kievő opimális ééké HUNTER e al. (96) /6-a becsüle, míg HAMILTON (976) az /6-/ közöi inevallumo alála megfelelőnek vízzel elíe üledékes kőzeeke. Nyilvánvaló, hogy a ejedési sebesség-nyomás kapcsola leíásako ismeee modellelgondolások (BIRCH 96; BRACE & WALSH 964) a jósági ényező nyomásfüggésének magyaázaakén számos kőzee vonakozóan elfogadhaók. Nevezeesen, ha a nyomás növekedésével a fajlagos póuséfoga csökken (vagy a moepedések bezáódnak), a kőzeszemcsék egye jobb konakusa kövekezében csökken a méheő abszopciós ényező és növeksz a jósági ényező. Ez az észevéel alkalmazzuk a kövekezőkben a kőzefizai modellek megalkoásako. 5
6. KŐZETFIZIKAI MODELLEK A LONGITUDINÁLIS HULLÁMOK TERJEDÉSI JELLEMZŐI NYOMÁSFÜGGÉSÉNEK MAGYARÁZATÁRA SOMOGYINÉ MOLNÁR JUDIT MTA-ME Műszaki Földudományi Kuaócsopo, 355 Miskolc-Egyeemváos E-mail: gfmj@uni-miskolc.hu A kőzeek ugalmas ulajdonságainak leíásáa leggyakabban alkalmazo modell a lineáisan ugalmas homogén, izoóp es, vagy Hooke-es modellje (lásd.3.. fejeze), melynek keeei közö a közegben fellépő feszülségek lineáisan függenek a defomációkól és ez a kapcsolao ké ugalmas anyagjellemzővel (Lamé állandók) íhajuk le. Egy álalánosabb koninuummechanai modell az ún. ökéleesen ugalmas es modellje. Ebben a modellben min a. fejezeben láuk a lineáisan ugalmas es modellje egy speciális haáese. Tökéleesen ugalmas esől akko beszélünk, ha a feszülségek a koninuum ado helyén és ado időben csak az o és akko ualkodó defomációkól függenek. A ugalmas állandók ekko az ado defomációs, ill. feszülség állapoban lokálisan éelmezheő éppen ezé feszülségől függő mennyiségeknek ekinheők. Ha a ugalmassági moduluszok nyomásfüggő mennyiségekkén viselkednek, minden olyan mennyiség, amelyeke a moduluszok haáoznak meg (pl. hullám ejedési sebesség) nyomásfüggőek lesznek. Az akuszus hullámok ejedési sebességének nyomásfüggése ehá a koninuummechana ökéleesen ugalmas es modelljének keeén belül éelmezheő. Ez a ágyalásmód azonban endkívül összee és kiveze a szeizmában álalánosan elfogado lineáisan ugalmas (Hooke-) es modelljéből. A Hooke-es alkalmazásával kapcsolaban egy más pobléma is felmeül, mivel ez a modell nem ad számo a ugalmas hullám csillapodásáól. A szeizmus apaszala szein az abszopciós ényező a kőzeek igen széles köében a fekvenciának lineáis függvénye, ugyanakko a fázissebesség fekvencia függelen (konsans Q modell). E modell alkalmazásával a hullámejedésnek a kőzeek széles köée jó közelíéssel helyes leíásá kapjuk. Nem felejhejük el azonban, hogy a fekvencia öbb nagyságendnyi válozása a válaszo modell felülíja. Így például a szeizmus fekvencia aományban méheő ejedési sebesség és az akuszus hullám sebessége közö (a öbb min háom nagyságendi fekvenciaválozás mia) észeveheő (5-%) eléés van. Tudva ez a diszkepanciá, a későbbiekben a szeizmus és akuszus hullámjelensége a konsans Q modell alkalmazásával ágyaljuk a nyomásfüggés vonakozásában (elhanyagolva a sebesség gyenge fekven- 7
8 Somogyiné Molná Judi ciafüggésé). Ebből adódóan gyakan élünk a szeizmus/akuszus hullámsebesség megfogalmazással. A ovábbiakban az egzak (nem lineáis) koninuummechanai ágyalás helye elfogadjuk, hogy a ugalmas hullám leíásában megszoko konsans Q modell évényes, azzal a kivéellel, hogy a ejedési sebesség és a jósági ényező, min fenomenologus jellemzők a kőzenyomásól függenek. A jelenség leíásáa DOBRÓKA (8) egyszeű fenomenologus eljáás javasol (egyengelyű ehelés és a eheléssel páhuzamos hullámejedés eseén). BRACE & WALSH (964) kvaliaív modell-elgondolásá elfogadva a epedésszám, ill. a ejedési sebesség nyomásfüggésée kőzefizai modell állío fel, amelye csaol diffeenciálegyenle endsze vonakozo, majd az megoldva előállíoa a szakiodalomban koábban egessziós vizsgálaokban gyakan feléeleze exponenciális nyomásfüggvény ( a melle), amelye pl. az (5.) egyenleben WEPFER & CHRISTENSEN (99) V( P ) A B( - exp( -bp )) alakban feléeleze. A DOBRÓKA & ORMOS (8) álal felvee gondolai sémá álalánosíva az iodalmi előzményeknél emlíe ké kvaliaív modellelgondolása (moepedés: BRACE & WALSH (964), ill. a póuséfoga: BIRCH (96)) egyaán évényes modell állíhaó fel. BRACE & WALSH (964) szein a nyomás növekedésével a kőzeben lévő moepedések az ún. evezibilis aományban felehelésko záódnak, leehelésko, a kőzenyomás megszűnével úja kinyílnak. A epedeze kőzeminák moepedés koncenációjának nyomásfüggésé háom szakasza lehe oszani. A kis feszülségekől indulva az első szakasz a moepedések eljes záódásáig a. A másod szakaszon a kőzenyomással a kőzeváz (és póuskiölő anyag) ugalmas eői aanak egyensúly, a hamad az ievezibilis válozások szakasza. A másod, egyensúlyi aomány álépéseko, az ún. kius nyomás (ANSELMETTI & EBERLI 997) meghaladva, a mina oncsolódása mia a ehelés haásáa új epedések nyílnak. További, kőzefizai modellalkoása vonakozó vizsgálaainkban az első (evezibilis) szakasza szoíkozunk. A jelenség leíásáa bevezehejük az N moepedés koncenáció paamée, amely a minában lévő nyio moepedések egységnyi éfogaa vonakozao száma (a későbbiekben az egyszeűség kedvéé a nyio moepedések száma). BIRCH (96) kvaliaív elgondolása szein a poózus kőzeben lévő szemcsék ehelés haásáa egye szoosabb konakusba keülnek, melynek kövekezében növekvő ejedési sebesség méheő, azaz a nyomásfüggés jelensége a V fajlagos póuséfoga válozásával magyaázhaó.
Kőzefizai modellek a longiudinális hullámok ejedési jellemzői nyomásfüggésének magyaázaáa Láhaó, hogy mindké modell elgondolás egy-egy exenzív mennyisége (epedésszám N, ill. póuséfoga V ) vezei vissza a nyomásfüggés. E mennyiségek exenzív jellege nyilvánvaló, hiszen ha a kőze ké gondolaban elkülöníe észé egyesíjük, akko a eljes éfogaban foglal moepedések száma a ké ész-éfogaban levő moepedések számának összegekén áll elő. Ugyanez mondhaó el a póuséfogaól is. A ugalmas hullám ejedési jellemzőinek nyomásfüggése kapcsán ovábbi exenzív mennyiségek is emlíheők (pl. a moepedések ehelő eőe-, vagy éppen a hullámejedés iányáa meőleges veüleének A méee). Jelölje ehá X a nyomásfüggés leíásában eleváns exenzív mennyisége. Első modellövénykén kijelenjük, hogy ha a kőzeben d (infiniezimális) feszülség növekedés hozunk lée, akko az X -ben bekövekező válozás (pl. a bezáuló moepedések dn száma) egyenesen aányos a d feszülség növekménnyel és X akuális éékével (pl. a még nyio moepedések N számával). Ez az alapfelevés a dx -X d (6.) diffeenciálegyenleel íhajuk le, ahol egy, az anyaga jellemző új kőzefizai paamée és a negaív előjel az fejezi ki, hogy növekvő feszülségnél a jellemző exenzív mennyiség ééke (pl. a epedések záulával, a nyio moepedések N száma) csökken. A (6.) diffeenciálegyenlee megoldva - X X e, (6.) ahol X az exenzív éék (pl. epedésszám) feszülségmenes ( ) állapoban. A ovábbiakban a (6.) és (6.) egyenleeke specifusan alkalmazzuk, azaz X helyée N vagy V (vagy A ) keül. Ez az eedmény alkalmazva a ovábbiakban új kőzefizai modelleke vezeünk be a ejedési sebesség és a jósági ényező nyomásfüggésének leíásáa. 6.. Kőzefizai modell felállíása a moepedések alapján A kövekezőkben kőzefizai modell állíunk fel (a felehelési szakaszon) a longiudinális hullám sebességének nyomásfüggésée úgy, hogy az előzőekben levezee (6.) és (6.) egyenleeke az N moepedés koncenáció nyomás alai megválozásának leíásáa alkalmazzuk. (Továbba is min a ovábbiakban mindig élünk az egyengelyű ehelés és a eheléssel páhuzamos hullámejedés feléelezésével.) Min ismeees, a peofizai 9
Somogyiné Molná Judi eminológia szein másodlagos pooziásnak nevez a má kialakul kőzeben kinyíló epedések (és egyéb folyamaok) nyomán kelekező póusee, melynek észaányá az úgyneveze másodlagos pooziás index (SPI) segíségével adják meg. A kőzeben a moepedések léejöével kialakul pooziás geomeiai ulajdonságai jelenősen elének az elsődleges pooziásól. A epedésendsze évén léejö póushálóza álalában egyszeűbb szekezeű, min az elsődleges pooziás hálózaa, mely haással van a póusendszeben öénő folyadék vagy ionanszpoa. A póusendsze lehe összee is, azaz a másodlagos póushálóza álal köülve kőzeblokkoknak lehe elsődleges pooziása. Mivel a póusendsze jellege meghaáozza a kőze mechanai ulajdonságai, ezé a modell feléelezésünk csupán a másodlagos pooziással endelkező kőzeek eseében évényes. 6... A moepedés koncenáció nyomásfüggése BRACE & WALSH (964) elgondolása szein a nyomás növekedésével a kőzeben lévő moepedések az ún. evezibilis aományban felehelésko záódnak. A jelenség jellemző exenzív mennyisége ekko a moepedések (egységnyi éfogaa juó) N száma. Ee az első modellövénykén elfogado (6.) fomula alapján a dn - N N d (6.3) diffeenciálegyenlee íhajuk fel, ahol N egy, az anyaga jellemző kőzefizai paamée és a negaív előjel az fejezi ki, hogy növekvő feszülségnél a epedések záulával, a nyio moepedések N száma csökken. A (6.3) diffeenciálegyenlee megoldva - N N Ne, (6.4) ahol N a nyio epedések száma feszülségmenes állapoban ( ). Ezálal előáll a moepedés koncenáció-nyomás kapcsolaa. A ovábbiakban nézzük meg a nyio moepedések számának a ejedési sebessége gyakool haásá. 6... A sebesség és a moepedés koncenáció válozás kapcsolaa A ejedési sebesség a nyomás növekedésével nemlineáisan és meedeken növeksz, ami a kőzeminában lévő nyio moepedések záódásával magyaázhaó, hiszen ebben a kezdei szakaszban a legöbb a nyio moepedések száma. A magasabb nyomáséékeknél a ejedési sebesség-nyomás göbe meedeksége méséklőd, mivel egye kevesebb a (még) nyio moepedések száma.
Kőzefizai modellek a longiudinális hullámok ejedési jellemzői nyomásfüggésének magyaázaáa Másod modellövénykén elfogadjuk, hogy a moepedések számának dn infiniezimális megválozása és az ennek kövekezében beálló dv elemi ejedési sebesség válozás közö egyenes aányosság áll fenn: N dv N dn, (6.5) ahol aányossági ényező (anyagi minőségől függő konsans), a negaív előjel pedig az fejezi ki, hogy a sebesség csökkenő epedésszám eseén növeksz. Az ismeee ké modellövény egyesíésével kőzefizai modell állíhaó fel az alábbiak szein. 6..3. A nyomásfüggő sebességmodell és a modellpaaméeek fizai jelenése A 6... és 6... fejezeekben ismeee moepedéseken alapuló elgondolás köveve (kvaniaív) kőzefizai modell állíhaunk fel. A (6.3) és (6.4) egyenleek alapján -N dn N e d, amivel (6.5) egyenle a N -N dv N e d (6.6) N alako öli. Az egyenle megoldása uán N -N v K - N Ne (6.7) adód, ahol K inegációs állandó. Tehelelen állapoban ( ) a kőzeben ejedő ugalmas hullám sebessége méheő, melynek ééké jelölje v. A (6.7) egyenle alapján ekko v K - N N, amiből a K inegációs konsansa K v N N adód. Bevezeve a v N N jelölés a (6.7) egyenle a -N v v v (- e ) (6.8) fomában íhaó fel (DOBRÓKA & SOMOGYI MOLNÁR c), ahol v egy új kőzefizai jellemző. A (6.8) egyenle a kőzeek széles köée ad elvi összefüggés a longiudinális hullámsebesség és a kőzenyomás kapcsolaáa a felehelési szakaszon. A modell keeében a ejedési sebesség a ehelésmenes állapoól ( v ) a nagy kőzenyomással jellemze állapoig ( vmax v v ) válozha, ahol az összes moepedés záva van. Felíva a v max v v összefüggés, könnyen beláhaó, hogy az 5.. fejezeben JI e al. (7)
Somogyiné Molná Judi álal definiál sebességesés (a sebesség csökkenés mééke a epedésmenes állapohoz képes) azonos a v állandóval. Azaz a v paamée ekinhejük a kőzeben, ehelelen állapoban lévő moepedések álal okozo (epedésmenes állapohoz viszonyío) sebességesésnek. A v N N jelölésből kövekez, hogy ugyanabból a kőzeípusból/geológiai egységből számazó kőzeminák esében (ha az N aányossági ényező közel konsansnak ekinjük), v aányos lesz a nyio moepedések számával, N -lal. Tehá ha egy kőzeminában a v ejedési sebesség aomány kicsi, akko a minában a nyio moepedések száma is kevés lesz. Mindez emészeesen csak a (evezibilis) modell keeében évényes, me a nagy feszülségek aományában a kőzeben új moepedések is kelekeznek. Ez a jelenség (min koábban is jelezük) kívül es vizsgálaainkon, leíásáa más modell megalkoása szükséges. A modellben bevezee v és v mennyiségek jelenése szemlélees és egyszeű. A N anyagjellemző paamée fizai jelenése kéféleképpen is megadhaó. Vezessük be az ado nyomásállapoban a moepedések álal okozo sebességesése a v vmax v jelöléssel a nyomáshoz aozó sebességesés. Ezzel a (6.8) egyenle felíhaó a kövekezőképpen is -N e v v. (6.9) * * Láhajuk, hogy a kaakeiszus nyomásnál (ahol ) a v mennyiség a kezdei v éékéől az / e -ad észée csökken. A N kaakeiszus nyomás ecipoka. N peofizai jellemző ehá a A N paaméenek más jelenés is adhaunk. A apaszala az muaja, hogy a különböző kőzeek eléő méékben eagálnak a kőzenyomás válozásáa, azaz különböző a ejedési sebesség nyomás-ézékenysége. Az ún. ézékenységi függvényeke gyakan alkalmazzák a szeizmus (DOBRÓKA 987, 988), geoelekomos (GYULAI 989), elekomágneses (SZALAI & SZARKA 8) gyakolaban, valamin a mélyfúási geofiza (DOBRÓKA & SZABÓ ) eüleén. Ennek minájáa definiáljuk a má bevezee v v v sebességesés (logaimus) nyomásézékenységé * max dv d ln( v ) S( ) - -. v d d
Kőzefizai modellek a longiudinális hullámok ejedési jellemzői nyomásfüggésének magyaázaáa Láhaó, hogy a (6.9.) egyenle alapján azaz a d ln( v ) - N, d N kőzefizai anyagjellemző a v sebességesés logaimus nyomásézékenysége, amely nem függ a nyomásól. Az 5.. fejezeben észleeze, empius megfonolások alapján feléeleze fomulák nem ekinheőek a ejedési sebesség nyomásfüggésé leíó kőzefizai modelleknek (hiszen csupán az egyenleek paaméeeinek egessziós illeszése öén) és nem szolgálnak fizai magyaázaal sem a jelensége. Ezzel szemben a fejezeben ismeee kőzefizai modell a kőzeek széles köée évényes, és fizai magyaázao is ad a longiudinális hullámsebesség nyomásfüggésének jelenségée. A modell keeein belül a benne szeeplő paaméeek kőzefizai jelenése is éelmezheővé vál. A kifejlesze kőzefizai modell megfelel az 5.. fejezeben ismeee iodalmi előzményekben felveődö nyomássebesség kapcsola exponenciális függvénnyel való jellemzésének, hiszen (6.8) egyenle alapján láhaó, hogy a ejedési sebesség v -ól v éékig növeksz az -exp(- ) exponenciális függvénynek megfelelően. A modell ehá összhangban van az iodalmi (elsősoban egessziós vizsgálaokból számazó) eedményekkel. A kövekező fejezeben a nyomásfüggés jelenségé a fajlagos póuséfoga megválozásával magyaázó modellelgondolás kifejésée éünk á. max N 6.. Kőzefizai modell a póuséfoga válozása alapján A diagenezis soán kialakuló szemcseközi pooziás a peofizai eminológia szein az úgyneveze elsődleges pooziás. Az üledékes áolók eseében a pooziás csökkenésében kisebb mélységeknél a szemcsék áendeződése, nagyobb mélységekben a szemcsék defomációja, majd a cemenáció jássza főszeepe. A folyama jelenős haással van a kőzefizai paaméeeke (akuszus sebesség, fajlagos ellenállás). A poózus kőzeben lévő szemcsék ehelés haásáa konakusba keülnek, melynek haásáa növekvő ejedési sebesség méheő, azaz a nyomásfüggés jelensége a fajlagos póuséfoga válozásával is magyaázhaó (BIRCH 96). A kövekezőkben ee az elgondolása alapozva állíunk fel a felehelési szakasza évényes kőzefizai modell. 3
Somogyiné Molná Judi 6... A póuséfoga nyomásfüggése BIRCH (96) kvaliaív elgondolása szein a ehelelen állapoból indulva a nyomás növekedésének haásáa a kőzeminában előszö a nagy póusok záódnak be, majd a nyomás ovábbi növelésével a kisebb póusok lassúbb összenyomódási folyamaa jászód le a kőzeben, míg az összes póus be nem zául. A jelenség jellemző exenzív mennyisége ekko a póusok (egységnyi éfogaa juó) V éfogaa. Ee az első modellövénykén elfogado (6.) fomula alapján a dv - V V d (6.) diffeenciálegyenlee íhajuk fel, ahol V egy, az anyaga jellemző új kőzefizai paamée és a negaív előjel az fejezi ki, hogy növekvő feszülségnél (a póusok záulával) a (még) nyio V póuséfoga csökken. A (6.) diffeenciálegyenlee megoldva - V V Ve, (6.) ahol V a nyio póusok fajlagos éfogaa feszülségmenes állapoban ( ). Ezálal előáll a póuséfoga-nyomás kapcsolaa. A fenieke modellövénykén fogadjuk el, ugyanakko a sebesség nyomásfüggésé leíó kőzefizai modell felállíásához meg kell adni a fajlagos póuséfoga-ejedési sebesség kapcsolao is. 6... A sebesség és a póuséfoga válozás kapcsolaa BIRCH (96) kvaliaív elgondolása alapján a nyomás növekedésével a póusok éfogaa csökken, így növekvő ejedési sebesség méheő a kőzeminán. A 6... fejezeben leíakhoz hasonlóan ez a folyamao is háom szakasza oszhajuk. A ehelelen állapoból indulva nyomás haásáa a nagy póusok bezáódnak, így a ejedési sebesség nemlineáisan és meedeken nőni kezd. A másod szakaszban a kisebb póusok lassúbb összenyomódási folyamaa mia a göbe meedeksége méséklőd, majd a mina önkemeneele mia a méheő sebesség csökkenni kezd. A mechanizmus alapján az akuszus hullám ejedési sebességének nyomásfüggésé a poózus kőze póusainak összenyomódása, végső soon záódása hozza lée. (A önkemeneeli szakasszal a kőzefizai modellben nem foglalkozunk.) Hasonlóan a moepedés koncenáció nyomásfüggésénél alkalmazo megfonolások alapján feléelezzük, hogy a ejedési sebességben bekövekező dv elemi megválozás és a fajlagos póuséfogaban bekövekező válozás ( dv ) közö egyenes aányosság áll fenn: 4
Kőzefizai modellek a longiudinális hullámok ejedési jellemzői nyomásfüggésének magyaázaáa dv - V dv, (6.) ahol V aányossági ényező. A negaív előjel az fejezi ki, hogy a sebesség a póusok záódásával, azaz csökkenő póuséfoga eseén növeksz. A (6.) és a (6.) diffeenciálegyenleeke modellövényekkén elfogadva állíjuk fel a kőzefizai modell. 6..3. A nyomásfüggő sebességmodell és a modellpaaméeek fizai jelenése A modellegyenle levezeéséhez egyesísük a (6.) és (6.) egyenleeke -V dv - V e d, amivel a (6.) egyenlee a V -V dv V e d (6.3) V V kifejezés adód. Az egyenlee megoldva -V v K -VVe, (6.4) ahol K ismeelen inegációs állandó. Feszülségmenes állapoban a kőzeben ejedő ugalmas hullám sebességé i is jelölje v. A (6.4) egyenle alapján ekko meghaáozhaó a K inegációs konsans. A v VV jelölés bevezeve a (6.4) egyenle a -V v v v (-e ) (6.5) alako öli, ahol v új kőzefizai állandó. Láhaó ehá, hogy mindké kvaliaív elgondolásból kiindulva fomailag megegyező modellegyenlee juunk. A feniekben ismeee fajlagos póuséfoga válozáson alapuló kőzefizai modell (longiudinális akuszus hullámok és egyengelyű ehelés eseén) a kőzeek széles köée évényes a evezibilis aományban. Évényességének kolájá a ké alapveő modell feléelezés ((6.3) és (6.) egyenleek) évényességi köe szabja meg. Éppúgy, min a 6..3. fejezeben bevezee modellegyenle eseében a sebesség, min a nyomás függvénye az -exp(- ) függvény szein v -ól vmax éékig növeksz. A növekedés üeme kis nyomáséékeknél nagy, azonban nagy nyomáséékek eseén a növekedés üeme csökken, mivel egye kisebb a fajlagos póuséfoga. Hasonlóan az előzőekhez, a v állandó ekinhejük a kőzeben, ehelelen állapoban lévő póuséfoga álal okozo sebességesésnek (JI e al. 7). A modellben bevezee v, v és V mennyiségek fizai jelenése a 6..3. fejezeben leíakkal azonos V 5
Somogyiné Molná Judi (modellbeli éékük és belső kőzefizai jellemzőkkel való kapcsolauk emészeesen különböz). 6.3. Kőzefizai modellek felállíása az abszopciós ényező, ill. a jósági ényező nyomásfüggésének kvaniaív magyaázaáa A ugalmas hullámok csillapodásának fizai folyamaá TOKSÖZ & JOHNSTON (98) szein kéféleképpen lehe jellemezni. A modellek egy ípusa a csillapodás jelenségé álalánosío lineáis ugalmasságani egyenleeken (Hooke-övény), vagy némely nemlineaiás megengedő módosío egyenleeken keeszül magyaázza. A modellek más észe új fizai és maemaai leíás alkalmaz a leheséges csillapodási mechanizmusok magyaázaáa. Ezek a mechanizmusok a kőzeek moszkopus jellemzőihez és a hullám ejedése közbeni viselkedéséhez kapcsolódnak. Uóbbi ágyalásmódhoz igazodva, jelen fejezeben (a koábban kiemel kvaliaív modellelgondolások köveésével) kőzefizai modelleke dolgozunk ki a longiudinális akuszus hullám abszopciójá leíó nyomásfüggő jósági ényezőe. 6.3.. A moepedés koncenáció nyomásfüggése Az 5.3. fejezeben bemuauk, hogy a szilád kőzeekben lévő moepedések, öések és más inhomogeniások növekvő csillapodáshoz, azaz csökkenő jósági ényezőhöz vezenek, valamin, hogy a csillapodás eősen nyomásfüggő jelenség. A kőze jósági ényezőjének nyomásfüggésé vizsgálva modell állíhaunk fel a moepedés koncenáció nyomás alai válozásának az előzőekben bevezee egyenlee alapján. A modellalkoás egyszeűsíendő MEGLIS e al. (996) azon megfigyelésée hivakozunk, mely szein a jósági ényező és ejedési sebesség laboaóiumi méése alapján előállío N epedéssűűség megegyez. (Ez egy egyszeűsíő feléelezés, amelynek igazságá csupán a kőzeek egy csopojáa fogadhajuk el. Későbbi fejezeeinkben álalánosabb, a kőzeek szélesebb köée évényes modell is bemuaunk.) A 6... fejezeben a moepedés koncenáció nyomás alai válozása kapcsán leíaka a jósági ényező ekineében válozalanul évényesnek ekinjük. Így alkalmazhajuk a 6... fejezeben bevezee dn - N d, (6.6) N 6
Kőzefizai modellek a longiudinális hullámok ejedési jellemzői nyomásfüggésének magyaázaáa illeve N N e - N (6.7) összefüggéseke. A kövekezőkben a moepedés koncenáció nyomás alai válozásának jósági ényezőe gyakool haásá kell vizsgálnunk. 6.3.. A jósági ényező és a moepedés koncenáció kapcsolaa Az 5.3. fejezeben ismeeük, hogy az akuszus hullám csillapodása a nyomás növekedésével a kőzeminában lévő nyio moepedések záódása mia csökken, amelynek kövekezében a jósági ényező ééke a ehelés kezdei szakaszában meedeken növeksz. A ejedési sebesség-nyomás göbéhez hasonlóan a magasabb nyomáséékeknél a jósági ényező-nyomás göbe meedeksége méséklőd, mivel egye kevesebb a minában lévő nyio moepedések száma. A modell felállíásánál a konsans Q modell alkalmazzuk. Nyilvánvaló, hogy a moepedések fajlagos számának dn növekedése haással van a jósági ényező dq megválozásáa. Feléelezzük, hogy az elemi válozások kapcsolaa lineáis, azaz modellövénykén vezejük be a egyenlee, ahol dq - dn (6.8) N N aányossági ényező és a negaív előjel az fejezi ki, hogy csökkenő nyio moepedés szám eseén a jósági ényező ééke nő. Az előzőekben kidolgozo diffeenciálegyenleeke modellövénykén elfogadva peofizai modell állíhaunk fel a kövekezőképpen. 6.3.3. A nyomásfüggő jósági ényező modell és a modellpaaméeek fizai jelenése A jósági ényező modell felállíásához egyesísük a (6.6) feléel a (6.7) és (6.8) egyenleekkel: -N dq N e d. N N Nyomásmenes állapoban, a kőzeminában a jósági ényező méheő, melye jelöljünk Q - al, így az inegációs konsans (a koábbiakhoz hasonlóan) meghaáozhaó. Bevezeve a Q jelölés a feni egyenle megoldása az alábbi alako öli N N -N Q - e Q Q, (6.9) 7
Somogyiné Molná Judi ahol N a má bevezee anyagjellemző kőzefizai paamée. Ismeees, hogy az akuszus hullám csillapodásának számos oka lehe (geomeiai csillapodás, szóás sb.). A (6.9) egyenleel csupán a kőzenyomás válozásának haásáa a jósági ényezőben (a moepedések záódása/nyílása mia) bekövekező válozás és az ebből adódó fizai abszopció kívánuk leíni (DOBRÓKA & SOMOGYI MOLNÁR b). A modellegyenle alapján láhaó, hogy hasonlóan a ejedési sebességhez, a jósági ényező is exponenciális függvény szein váloz a nyomással. Az egyenleben bevezee Q az a jósági ényező aomány, amelyben a jósági ényező válozha a ehelésmenes állapoól kezdve a nagy kőzenyomással jellemze állapoig ( Q ). A Q N N jelölésből kövekez, hogy max ugyanabból a kőzeípusból/geológiai egységből számazó kőzeminák eseében, ha a aányossági ényező közel konsansnak ekinjük, Q aányos lesz a nyio moepedések számával, N -lal. Tehá, ha egy kőzeminában a Q jósági ényező aomány kicsi, akko a minában a nyio moepedések száma is kevés lesz. A jósági ényező a N Qmax haáééke magas feszülség éékek melle veszi fel. Mindez emészeesen csak a (evezibilis) modell keeében évényes, me a nagy feszülségek aományában a ehelés haásáa a kőzeben új moepedések is kelekezhenek. A aomány álépéseko az ún. kius nyomás (ANSELMETTI & EBERLI 997) meghaladva a mina oncsolódása mia a ehelés haásáa új epedések nyílnak és a méheő jósági ényező - a nyomás növekedésével - csökken. Ezé a modell csak a evezibilis aományban évényes, az ievezibilis aomány leíása kívül es a vizsgálaainkon. A jósági ényező kapcsolaa a kőzenyomással emészeesen poózus kőzeek eseében a fajlagos póuséfogaban bekövekeze válozással is leíhaó a koábbiakhoz hasonló analógia alapján. 6.4. Akuszus hiszeézis vizsgálaa a ejedési sebesség vonakozásában A hiszeézis jelenségének megismeése lényeges pl. a ezevoámechana (a szénhidogénkiemelés soán a áolók mechanai ulajdonságainak megéése), vagy az épíőménöki méések gyakolaában (RUDENKO & ROBSMAN 4). Az akuszus hiszeézis jelensége hasonló a feomágneses anyagok mágnesezésénél isme, illeve a mechanai hiszeézishez. Az uóbbi jelenség soán a felehelésko és az az köveő leehelésko a feszülség-defomáció függvény elé egymásól. A 6.. ábán jól láhaó, hogy a feszülség-defomáció függvény kééékű. 8
Kőzefizai modellek a longiudinális hullámok ejedési jellemzői nyomásfüggésének magyaázaáa A feszülség-defomáció függvény első deiváljai, azaz a göbék ado ponbeli éinőjének iányangensei a ugalmas moduluszoka adják meg, melyek min ismeees a longiudinális és anszvezális akuszus hullám ejedési sebességé megadó kifejezésekben négyzegyök ala szeepelnek. Ennek kövekezében váhaó, hogy a ugalmas hullám ejedési sebessége is hiszeézis fog muani, azaz a kőzee a mechanai felehelés, illeve leehelés soán eléő hullámejedési sebesség jellemzi majd. Ez megeősíeék kőzefizai laboaóiumban végze méési eedményeink is. A feniek alapján a 6.. fejezeben bemuao, a moepedés koncenáció válozásáa alapozo kőzefizai modell kiejeszheő a leehelési szakasza is. 6.. ába: A mechanai hiszeézis jelensége (feszülség-defomáció göbe) (Foás: MCKALL & GUYER 966) 6.4.. Az akuszus hiszeézis iodalmi előzményei Az akuszus hiszeézis laboaóiumban öénő vizsgálaa gyakoi felada (JONES & WANG 98; JI e al. ). A hiszeézis jelensége a moepedések ievezibilis záódásával (BIRCH 96), a póuséfoga ievezibilis csökkenésével (JONES & WANG 98), valamin a kőzeben lévő köőanyagok nemlineáis viselkedésével (HILL 963; HASHIN & SHTRIKMAN 963) magyaázhaó. A moepedések ievezibilis záódásának elképzelése szein a felehelés soán a kőzeben ado nyomáson bezáódo moepedések nem nyílnak ki úja maadékalanul a leehelési szakaszban ugyanazon kőzenyomásnál. Egy más elgondolás (JONES & WANG 98) alapján a magas nyomáséékek melle a felehelés soán záódo póusok a leehelési clusban kis nyomáséékeknél má nem vesz fel eedei alakjuka és méeüke. Ez uóbbi folyama inkább agyagos kőzeekben jászód le, melyekben a jól köülhaáolhaó moepedések nem jellemzőek (SCHOLZ & KRANZ 9
Somogyiné Molná Judi 974). Moepedések és szemcsék könyezeében képlékeny ásványok (például kloi, szeici vagy szepenini) ágyazódhanak be, ami megválozaja a kőze ugalmas ulajdonságai. A kőzeben lévő szemcsék ugyanis ökéleesen ugalmas eskén viselkednek, míg a szemcsék közi köőanyagok gyakan nemlineáisan ugalmas ulajdonságo muanak. Ennek eedményeképpen a kőze nemlineáis ugalmas viselkedés és hiszeézis mua. A jelenség magyaázaáa az előzőekben alkalmazo kőzefizai modellek ovábbfejleszésével eszünk kísélee. 6.4.. Az akuszus hiszeézis modell és paaméeeinek éelmezése A hullámsebesség növekvő nyomás mellei növekedésének jelenségée a 6.. fejezeben kidolgozo, a felehelési szakasza évényes kőzefizai modellnél e megfonolásoka köveve, a leehelési szakasz is leíhaóvá vál (SOMOGYINÉ MOLNÁR 3). A leehelési szakasz jellemző kőzefizai modell a moepedések viselkedésée alapozzuk. A kőzenyomás csökkenésével a ejedési sebesség csökken, ami modell feléelkén azzal magyaázhaó, hogy a felehelési szakaszon zául moepedések úja kinyílnak. Mivel az ado nyomáson a leehelési szakaszon mé akuszus ejedési sebesség nagyobb, min a felehelési szakaszon ugyanezen nyomásnál kapo sebesség, a modellfeléel kiegészíheő azzal, hogy a felehelésko zául moepedések (ugyanazon nyomáson) leehelésko nem nyílnak ki maadékalanul. Ezálal a 6..3. fejezeben bemuao kőzefizai modell kiejeszve a leehelési szakasza, a hiszeézis jelensége egzakul leíhaóvá vál. A leehelési szakasz jellemzéséhez vezessük be a zá moepedések számá ( n ), amely előáll a kőzeben nyomásmenes állapoában lévő nyio moepedések N számának és ado nyomáséék mellei nyio moepedések N számának a különbségekén: n N N. A kőzefizai modell alapfeléelezése, hogy a zá moepedések számában bekövekező válozás ( dn ) egyenesen aányos a zá moepedések számával ( n ) és az alkalmazo d nyomáscsökkenéssel dn n d, (6.) ahol egy új, a má bevezee paaméeől különböző (de fizai jelenésében a leehelési szakaszon megegyező) anyagjellemző kőzefizai paamée. A feni diffeenciál egyenlee megoldva m n nm e, (6.)
Kőzefizai modellek a longiudinális hullámok ejedési jellemzői nyomásfüggésének magyaázaáa ahol n m a zá moepedések száma az alkalmazo (a felehelési szakaszon elé) maximális nyomáson. Az elemi sebesség válozás a nyio moepedések koncenációjának elemi válozásával összekapcsoló (6.5) egyenlee a leehelési szakasza válozalan fomában évényesnek ekinjük, hiszen a sebességválozás szemponjából csak a moepedés koncenáció válozása lényeges, függelenül aól, hogy milyen okból öén a válozás. A (6.) és (6.) egyenleek együes megoldásával a dn dn fomula felhasználása melle m m v vm nm e (6.) adód, ahol v m az alkalmazo m maximális nyomás melle méheő sebesség. A modell lényeges kiéiuma, hogy a leehelési szakasz a felehelés soán alkalmazo maximális m m nyomásól indul. A v n jelölés alkalmazva megkapjuk a leehelési szakasza évényes, a longiudinális hullámsebesség nyomásfüggésé leíó modellegyenlee m v vm vm e. (6.3) A (6.3) egyenle elvi összefüggés szolgála a ejedési sebesség és a kőzenyomás kapcsolaáa a leehelési szakaszon. Ezen a szakaszon a sebesség, min a nyomás függvénye vm - m ' ől a v éékig csökken az exp( ( )) függvénynek megfelelően. Ezen csökkenés üeme nagy nyomáséékek eseén kicsi, azonban kis nyomáséékeknél a csökkenés üeme nő, mivel a minában egye öbb a nyio moepedés. Láhaó, hogy a (6.) egyenle maximális nyomásééknél ( eseén a v( ) v jelölés alkalmazva v v m n adód. Bevezeve a m e m m ) a méheő ejedési sebessége ( v m ) adja, míg v n m e m fomulá, a (6.3) egyenle fomálisan a felehelési szakasz leíó (6.) modellegyenlehez hasonló összefüggése veze v v v ( e ). (6.4)
Somogyiné Molná Judi Megállapíhaó ehá, hogy mind fel-, mind leehelési szakasz eseében azonos kvaliaív elgondolásból kiindulva hasonló modellegyenlee juunk (DOBRÓKA & SOMOGYINÉ MOL- NÁR a).
7. AZ AKUSZTIKUS JELLEMZŐK NYOMÁSFÜGGÉSÉNEK LABORATÓRIUMI VIZSGÁLATA KŐZETMAGOKON SOMOGYINÉ MOLNÁR JUDIT MTA-ME Műszaki Földudományi Kuaócsopo, 355 Miskolc-Egyeemváos E-mail: gfmj@uni-miskolc.hu A kőzefizai modellek gyakolaban való alkalmazhaóságának igazolása céljából a modelleke laboaóiumban, nyomás ala mé akuszus sebesség és jósági ényező adaokon eszelük, melyek közül elsőkén a longiudinális hullámsebesség méésé muajuk be. 7.. A méőendsze felépíése, jellemző paaméeei Az akuszus hullámok ejedési sebességének méése a Miskolci Egyeem Geofizai Tanszékének kőzefizai laboaóiumában alálhaó számíógép-vezéel méőbeendezéssel öén. A anulmányozo kőzeminák a Geofizai Tanszék kőzeáából számaznak különböző fúásokból és eléő mélységekből. Az akuszus hullám ejedési sebességé az impulzus ávieli módszeel (TOKSÖZ e al. 979) méük. Az akuszus méőendsze a 7.. ába muaja be. Az akuszus méőfejek (adó és vevő) piezoelekomos kisály aalmaznak. Az akuszus méőegység impulzus geneáoa 5 ns időaamú negaív 7 V-os feszülség impulzus ad a piezoelekomos adó kisálya, amely akuszus hullámo indí a minában. Az impulzus geneáo a méőendsze szinkonizálásáa (iggeelésée) alkalmas jele is kibocsá, amely a méőműsze vezélésée (indíásáa) szolgál. A vevő kisály a beékező akuszus jele elekomos impulzussá alakíja, ami a endsze beépíe előeősíője db-el feleősí. A hullámok ejedési idejé a GMuG/GL Tes Sysems PCUSpo szofveel deekáljuk. A méések soán a szofveel -8 db közö ovábbi eősíés alkalmazhaunk. A méések soán a jel/zaj viszony növelése édekében 56-szoos összegzés alkalmazunk, amely 56 egymás köveő méés fuó álagolásá jeleni. Ezzel a módszeel lényegesen csökkenheőek a megjeleníe hullámképben a külső zajok ampliúdói, és ennek kövekezében az első beékezések ponosabban meghaáozhaóak. A kőzeminák mechanai ehelésé a Geofizai Tanszékén lévő iaxiális nyomásfokozó beendezéssel (7.. ába) végezük, a hozzá kapcsolódó DION7 vezélő szofve segíségével. A beendezés ké észből áll: MEGA -3S ípusú ehelőkee, valamin EMD- 3
Somogyiné Molná Judi 8-5 ípusú palásnyomás-fokozó egység. Az egyengelyű nyomásfokozóval maximum 3 kn ehelés udunk léehozni, míg a hidaulus palásnyomás-fokozóval legfeljebb 8 MPa nyomás állíhaó elő. A ehelés a nyomólapon á, majd a méőcellán, végső soon az adó és vevő fejeken keeszül adód á a kőzemináa. (A nyomólap szofvees vezélésének minimális sebessége, µm/s, ezálal a kíván nyomás nagyon ponosan beállíhaó.) A méőcellá a palásnyomás-fokozóval olajjal lehe eláaszani, ekko a miná minden eseben egy gumihenge zája el az olajól. Akuszus méőegység Méőcella Vevő Kőzemina Adó 7.. ába: Akuszus méőműsze 4
Az akuszus jellemzők nyomásfüggésének laboaóiumi vizsgálaa kőzemagokon A DION7 szofveel (7.3. ába) a ehelés különböző peiodus függvények szein válaszhajuk meg, például ámpa, szinusz, églalap, háomszög vagy fűészfog. A méés soán leheőség van az alkalmazo ehelés gafus nyomon köveésée is. A bemuao nyomásfokozó beendezéssel a kőzeminákon egyengelyű ehelés ala longiudinális ejedési sebességeke méünk fel- és leehelés soán. A mééseknél lineáis függvény szeini kis sebességű (, kn/s) ehelés válaszounk. A kőzeminák öési sziládságai ismeek volak, melyeke a méés soán nem közelíeünk meg, hogy újabb epedéseke ne hozzunk lée a kőzeminákban. 4 5 3 7.. ába: Tiaxiális nyomásfokozó beendezés észei: (): egyengelyű nyomásfokozó, (): nyomólap, (3): méőcella, (4): palásnyomás-fokozó, (5): akuszus méőműsze A monogáfiában a későbbiek folyamán négy kiválaszo kőzemina méési adaainak feldolgozásá muajuk be. A minák áméője 35 mm, hosszuk minegy 8- mm vol. A kiválaszo homokkő minák jellemzői az 7.. ábláza aalmazza. A méési beendezés és a vizsgálaok megbízhaóságá jellemző fonos kédés a méések epodukálhaósága. Ezé az A jelű mina eseében (ké hé elelével) megisméelük a méés. Az eedmény a 7.4. ába muaja, melyen láhaó, hogy a másod méés igen jó közelíéssel egyező eedmény ado, ehá a jelenség jól epodukálhaó. 5
Somogyiné Molná Judi 7.3. ába: DION 7 kezelőfelülee Mina jele A B C Kőzeanyag finom, középszemcsés homokkő finomszemcsés homokkő apószemcsés homokkő D finomszemcsés homokkő 7.. ábláza: A vizsgál kőzeminák leíása Az ába alapján megállapíhajuk, hogy a fel- és leehelési adaok közö szignifáns eléés muakoz, mely jelenség az akuszus hiszeézis. Ennek magyaázaakén BIRCH (96) nyomán az az egyszeű képe fogadjuk el, hogy a felehelési szakaszban bezául moepedések (vagy póuséfoga) a ehelés csökkenésével (a leehelési szakaszban) nem nyílnak meg maadékalanul, egy bizonyos ievezibiliás mindig jelen van. Ennek kövekezében a leehelési szakasz végén nyomásnál kevesebb a nyio moepedés, min azonos nyomásnál a felehelési szakaszban, azaz a ejedési sebesség nagyobb. A kőzefizai modellekben ez az ievezibiliás a ké különböző és ' paamée fejezi ki. 6