Számítógépes Modellezés Egyváltozós függvénydiszkusszió Függvédiszkusszió számítógéppel (ÉT, zéróhelyek, limeszek (lokális/globális/aszimpt viselkedés), monotonitás, szimb+num+viz) f@x_d = Hx ^ 6 - x ^ 4 + x ^ - x ^ - L Hx ^ 7 - x ^ + x ^ - x ^ + x - L - - x + x - x4 + x6 - + x - x + x - x + x7 Denominator@f@xDD f@xd@@dd Numerator@f@xDD - - x + x - x4 + x6 DeleteCases@x. NSolve@Denominator@f@xDD, xd, Complex@_, _DD 8.487< Plot@Evaluate@Denominator@f@xDDD, 8x, -, <, PlotRange 8-, <D -4 - - - Factor@Denominator@f@xDDD - + x - x + x - x + x7 Factor@x ^ - xd H- + xl x H + xl 4
szm9x.nb Plot@Evaluate@8Numerator@f@xDD, x ^ 6<D, 8x, -, <, PlotRange 8-, <D - - - - DeleteCases@x. NSolve@Numerator@f@xDD, xd, Complex@_, _DD 8-.4,.976< Limit@f@xD, x InfinityD x. Solve@Denominator@f@xDD, xd@@dd N.487 cp = x. Solve@Denominator@f@xDD, xd@@dd RootA- + ð - ð + ð - ð + ð7 &, E Limit@f@xD, x cp, Direction - D - Limit@f@xD, x cp, Direction D derivált, monotonitás, szélsôérték Szinezés a derivált elôjele szerint Plot@f@xD, 8x, - 6, 6<, ColorFunctionScaling False, ColorFunction HIf@HD@f@xD, xd. x ðl >, Red, BlueD &L, Epilog 8Red, Point@8, <D<D -6-4 - 4 6 - - -.4 < x < -.69 ÈÈ -.9797 < x <.487 ÈÈ.487 < x <.4
szm9x.nb Resolve@ForAll@x, x ^ + > D, RealsD True A monoton növô szakaszok (szimb szám.) N@CylindricalDecomposition@D@f@xD, xd >, xdd -.4 < x < -.69 ÈÈ -.9797 < x <.487 ÈÈ.487 < x <.4 pext = Sort@DeleteCases@8x, f@xd<. NSolve@D@f@xD, xd D, 8Complex@_, _D, Complex@_, _D<DD 88-.4, -.44<, 8-.69,.46<, 8-.9797,.964<, 8.4,.999<< Lokális minimumhelyek N@CylindricalDecomposition@D@f@xD, xd ì D@f@xD, 8x, <D >, xdd x -.4 ÈÈ x -.9797 Lokális minimumok, maximumok Plot@f@xD, 8x, - 6, 6<, ColorFunctionScaling False, ColorFunction HIf@HD@f@xD, xd. x ðl >, Red, BlueD &L, Epilog 8Cyan, PointSize@.D, Point@pext@@DDD, Point@pext@@DDD, Purple, PointSize@.D, Point@pext@@DDD, Point@pext@@4DDD<D -6-4 - 4 6 - -. derivált inflexiós pontok D@x ^ + 6 x ^, 8x, <D + 6 x t = DeleteCases@x. NSolve@D@f@xD, 8x, <D, xd, Complex@_, _DD 8-4.69, 4.679, -.69, -.769< t = Map@Point@8ð, f@ðd<d &, td 8Point@8-4.69, -.99<D, Point@84.679,.96<D, Point@8-.69,.874<D, Point@8-.769,.68<D<
4 szm9x.nb Plot@f@xD, 8x, - 6, 6<, ColorFunctionScaling False, ColorFunction HIf@HD@f@xD, x, xd. x ðl >, Red, BlueD &L, Epilog 8Green, PointSize@.D, t<d -6-4 - 4 - - t 8-4.69, 4.679, -.69, -.769< Inflexiós pontok: {-4.69, 4.679, -.69, -.769} Memo: tiszta függvény Hð ^ L &@D 44 Function@x, x ^ D@D 44 Ábrázolás (add. ) PlotD@x ^ - y ^, 8x, -, <, 8y, -, <D... -. -.... -. -. -. -.... 6
szm9x.nb ParametricPlot@8Cos@tD, Sin@tD<, 8t,, Pi<D.. -.. -.. -. -. ContourPlot@x ^ - y ^, 8x, -, <, 8y, -, <D - - - - RegionPlot@x ^ - y ^ < ì x ^ + y ^ >, 8x, -, <, 8y, -, <D ß Þ - - - - Feladat Ábrázoljuk a lemniszkátát pl Hx ^ + y ^ L ^ = 4 Hx ^ - y ^ L v. r = r= Cos@ ΦD és a térbeli csavargörbét Cos@ ΦD plist = Map@Point@ðD &, Take@8x, y<. Solve@ 8D@Hx ^ + y ^ L ^ - 4 Hx ^ - y ^ L, xd, Hx ^ + y ^ L ^ == 4 Hx ^ - y ^ L<, 8x, y<d, 8, 4<DD,- :PointB: >F, PointB:-, >F, PointB:,- >F, PointB:, >F>
6 szm9x.nb ContourPlot[(x^ + y^)^ == 4 (x^ - y^), {x, -, }, {y, -, },Epilog->{plist}] - - - - g = PolarPlotB Cos@ ΦD, 8Φ, - Π 4, Π 4<F g = PolarPlotB- Cos@ ΦD, 8Φ, - Π 4, Π 4<F Show@g, gd g = PolarPlotB:- Cos@ ΦD, Cos@ ΦD >, 8Φ, - Π 4, Π 4<, PlotStyle 88Red<, 8Red<<F.6.4 - - -.4 -.6 ParametricPlotD@8Cos@tD, Sin@tD, t<, 8t,, 6 Π<D. -. -..... -.. -. Kétváltozós függvénydiszkusszió f@x_, y_d = Hx ^ + y ^ L Exp@- x ^ - y ^ D ã-x -y Ix + y M
szm9x.nb PlotD@f@x, yd, 8x, -, <, 8y, -, <D.. -. -. - - Lokális szélsôérték, kritikuspontok halmaza Solve@8D@f@x, yd, xd, D@f@x, yd, yd <, 8x, y<d InverseFunction::ifun : Inverse functions are being used. Values may be lost for multivalued inverses. InverseFunction::ifun : Inverse functions are being used. Values may be lost for multivalued inverses. Solve::incnst : Inconsistent or redundant transcendental equation. After reduction, the bad equation is - InverseFunctionAð ãð &,, EAã H LE ==. Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. Solve::svars : Equations may not give solutions for all "solve" variables. :8x -, y <, 8x, y <, 8x, y <, 8y -, x <, 8y, x <, :x D@f@x, yd, xd Factor -y - ã-x x I- + x + y M Elsôrendû pariciálisak szintvonalai - y >, :x - y >> 7
8 szm9x.nb gg = ContourPlot@Evaluate@8D@f@x, yd, xd <D, 8x, -, <, 8y, -, <D - - - - gg = ContourPlot@Evaluate@8D@f@x, yd, yd <D, 8x, -, <, 8y, -, <, ContourStyle -> RedD - - - -
szm9x.nb ContourPlot@Evaluate@8D@f@x, yd, xd, D@f@x, yd, yd <D, 8x, -, <, 8y, -, <D - - - - f@x, yd ã-x -y Ix + y M Szintvonalas ábrázolás ContourPlot@x ^ - y ^, 8x, -, <, 8y, -, <, ContourShading -> False, Contours 8,, <D - - - - 9
szm9x.nb ContourPlot@f@x, yd, 8x, -, <, 8y, -, <, ContourShading -> FalseD - - - - Zárodó szintvonalak, numerikus módszer minimumkeresésre FindMinimum@f@x, yd, 8x,.<, 8y,.<D 9.74 -, 9x -.67 -, y -.67 - == g@x_, y_d = - Sqrt@x ^ + y ^ D - 4 x + x ^ 4 + y ^ x + x4 + y - x + y
szm9x.nb ContourPlot@Evaluate@8D@g@x, yd, xd, D@g@x, yd, yd <D, 8x, -, <, 8y, -, <, PlotPoints D - - - -