6. Előadás: Sorbanállási modellek, III.

6. Előadás: Sorbanállási modellek, III..5. Az M/M//GD/c/ sorbanállási rendszer Az ebben a szakaszban vizsgált sorbanállási rendszer piktogrammja az. ábrán látható. Ennek értelmében a születési halálozási folyamat paraméterei a következőképpen állapot 0 2... s- s... 2 s. ábra. Az M/M//GD/c/ sorbanállási rendszer piktogrammja specializálódnak: λ j = λ, j = 0,,2,...,c λ c = 0 µ 0 = 0 µ j = µ, j =,2,,...,c Mivel λ c = 0, azért ez a sorbanállási rendszer sohasem éri el c+, vagy bármely annál magasabb típusú állapotot. A megfelelő születési halálozási folyamatra a stacionárius állapot valószínűségek a ρ = λ jelöléssel nyilvánvalóan most is úgy adódnak, hogy µ π j = ρ j π 0, j =,2,...,c π j = 0, j = c+,c+2,... (.) A π 0 értékét meghatározó egyenlet: π 0 (+ρ+ρ 2 + +ρ c ) =. Ennek a megoldása pedig a véges geometriai sor összegképletének az alkalmazásával: π 0 = ρ ρ c+. Vegyük észre, hogy a stacionárius valószínűségek a ρ = λ < feltétel nélkül is léteznek, µ hiszen π 0 értékének a kiszámításához most véges geometriai sort kellett összegezni.

A sorbanállási rendszerben a stacionárius állapot beállta után tartózkodó ügyfelek átlagos L számának a meghatározása L értékének meghatározása is véges összeg kiszámítását igényli: L = c jπ j = c jρ j π 0 = ρ ρ c+ c jρ j. Az S = c jρ j = ρ + 2ρ 2 + ρ + + cρ c összeget ismét úgy számolhatjuk ki a legegyszerűbben, ha kivonjuk belőle a ρ-szorosát (ρs = ρ 2 +2ρ +ρ + +cρ c+ ): Ezért most S ρs = ρ+ρ 2 +ρ + +ρ c cρ c+ = ρ+ρ 2 +ρ + +ρ c +ρ c+ (c+)ρ c+ = ρ( ρc+ ) ρ S = ρ( ρc+ ) ( ρ) 2 Így végül a keresett L-re azt kapjuk, hogy (c+)ρ c+ (c+)ρc+. ρ L = ρ ρ (c+)ρc+ = ρ ρc+2 (c+)ρ c+ +(c+)ρ c+2 ρ c+ ( ρ)( ρ c+ ) = ρ (c+)ρc+ +cρ c+2 ( ρ)( ρ c+ ) = ρ ρ (c+)ρc +cρ c+ ρ c+. (.2) A speciális λ = µ esetben L értéke az (.2) képlettel nem számolható, ekkor azonban ha visszamegyünk a stacionárius valószínűségeket megadó (.) képletekhez, és azokban figyelembe vesszük, hogy ρ = λ =, azt kapjuk, hogy µ π j = π 0, j =,2,...,c π j = 0, j = c+,c+2,... Ezért minden állapot stacionárius valószínűsége egyenlő, azaz π j = c+, j = 0,,...,c, és így L = c j c+ = c+ c j = c(c+) = c c+ 2 2 2

A sorbanállási rendszerben a stacionárius állapot beállta után kiszolgálás alatt lévő ügyfelek átlagos L s számának a meghatározása Az M/M//GD/ / rendszerhez hasonlóan: L s = 0π 0 +(π +π 2 + +π c ) = π 0 = ρ ρ c+. A sorbanállási rendszerben a stacionárius állapot beállta után sorbanálló ügyfelek átlagos L q számának a meghatározása Ismét az M/M//GD/ / rendszerhez hasonlóan: L q = L L s = ρ ρ (c+)ρc +cρ c+ ρ c+ [ ρ ]. ρ c+ A stacionárius állapot kialakulása után egy átlagos ügyfél által a sorbanállási rendszerben eltöltött idő számítása Kicsit nehezebb a W és a W q értékek meghatározása. A Little-féle L = λw formula most nem érvényes minden változtatás nélkül. Ebben ugyanis λ az időegység alatt a sorbanállási rendszerbe ténylegesen megérkező ügyfelek átlagos számát jelöli. A most vizsgált, véges kapacitással rendelkező rendszerben továbbra is átlagosan λ ügyfél érkezik be időegységenként, azonban ezek közül λπ c ügyfél a rendszert foglalt állapotban találja és távozik. Így időegységenként átlagosan λ λπ c = λ( π c ) beérkező fog ténylegesen belépni a rendszerbe. Ezért most nyilván azt kapjuk, hogy és W = W q = L λ( π c ) L q λ( π c ). Megjegyezzük, hogy az M/M//GD/c/ sorbanállási rendszer esetén a stacionárius állapot akkor is létezik, ha λ µ. Ez azért van így, mert a sorbanállási rendszer véges kapacitása λ µ esetén is megakadályozza, hogy a rendszer kipukkadjon.. Példa Átlagosan óránként 0 autó érkezik egy Mac Donalds gyorsétkező egy kiszolgálóhelyes autós ablakához. Tegyük fel, hogy az átlagos kiszolgálási idő perc, és hogy a beérkezési időpontok közti távolságok, valamint a kiszolgálási idők exponenciális eloszlásúak. Válaszolja meg a következő kérdéseket:

. A napi forgalom stabilizálódása után milyen valószínűséggel lesz szabad a kiszolgálóhely? 2. Mennyi a kiszolgálásra váró autók átlagos száma? (Az éppen kiszolgált autót nem tekintjük sorbanállónak.). Mennyi időt tölt el egy átlagos autós a kiszolgálóhely előtt (a kiszolgálással együtt)?. Átlagosan hány ügyfelet fognak óránként kiszolgálni? Megoldás: A feltevések szerint ez egy M/M//GD/ / sorbanállási rendszer, amelyben óránként átlagosan 0 autó érkezik be, és egy autóst átlagosan percenként szolgálnak ki. Ezért λ = 6 perc és µ = perc, azazλ = 6 autó/perc, µ = autós/perc és ρ = 6 = 2.. π 0 = ρ = 2 =, vagyis a a kiszolgálóhely átlagosan az idő egyharmadában lesz szabad. 2. A kérdés az L q értékének a meghatározására irányul, a levezetett képlet szerint autó fog átlagosan sorbanállni. L q = ρ2 ρ = ( ) 2 2 2. A W mennyiséget kell meghatározni. Ehhez először = L = ρ ρ = 2 2 = 2 autó. Így a W = L λ 2 autó képletet alkalmazva W = = 2 perc. 6 autó/perc

. Ha a kiszolgálóhely mindig foglalt lenne, akkor óránként átlagosan 60 perc autós/perc = 5 autóst szolgálnának ki. Azonban az első kérdésre adott válaszból tudjuk, hogy π 0 =, vagyis a kiszolgálóhely csak az idő 2 -ában foglalt. Így a kiszolgálóhely óránként átlagosan 2 5 = 0 autóst fog kiszolgálni. Ennek így is kell történnie, mert a stacionárius állapotban 0 autó érkezik óránként, ezért 0 kiszolgált autósnak is kell elhagynia a rendszert. 2. Példa Tegyük fel, hogy az autótulajdonosok akkor tankolnak, amikor a tankjuk félig van tele. Jelenleg átlagosan 7 és fél ügyfél érkezik az egyetlen töltővel rendelkező benzinkúthoz. Átlagosan percbe telik az autók kiszolgálása. Tegyük fel, hogy a beérkezési és kiszolgálási idők exponenciálisak.. Számítsa ki L és W értékét erre az esetre! 2. Tegyük fel, hogy benzinhiány fog fellépni, és az emberek pánikszerűen vásárolják fel a benzint. Ennek a jelenségnek a modellezéséhez tételezzük fel, hogy most minden autótulajdonos akkor tankol, amikor a tankja háromnegyedig van tele. Mivel most alkalmanként kevesebb benzint töltenek a tulajdonosok autóikba, ezért feltesszük, hogy az átlagos kiszolgálási idő nagysága és egyharmad percre csökkent. A pánikszerű felvásárlás hogyan befolyásolja L és W értékének az alakulását? Megoldás:. Most is M/M//GD/ / sorbanállási rendszerrel van dolgunk, óránként 7, 5 beérkező autóval és percenként kiszolgálással. Ezért a szomszédos beérkezések közt eltelő időintervallumok átlagos hossza λ = 7,5 óra = 60 = 8 perc, a kiszol- 7,5 gálások átlagos hossza pedig µ = perc. Így a szomszédos beérkezések közt eltelő időintervallumok exponenciális eloszlásának a λ paramétere λ = 8 autó/perc, az autók kiszolgálási idői exponenciális eloszlásának a µ paraméterére pedig µ = 5

és autó/perc. Így ρ = 8 =. Ezzel azt kapjuk, hogy 2 L = ρ ρ = 2 2 = autó W = L λ = autó = 8 perc. 8 autó/perc 2. Változatlanul M/M//GD/ / sorbanállási rendszerrel van dolgunk, de mivel minden autós kétszer olyan gyakran kell, hogy tankoljon, azért óránként 2 7, 5 = 5, azaz percenként 5 60 = autó fog tankolni, ezért most λ = autó/perc, míg a kiszolgálási idők exponenciális eloszlásának a µ paramétere most µ = = 0 0 autó/perc. Így nyilván ρ = λ µ = = 0 2 = 5. Ezzel pedig azt kapjuk, hogy 6 0 L = ρ ρ = 5 6 5 6 = 5 autó és W = L λ = 5 autó = 20 perc, autó/perc vagyis a felvásárlási láz hosszú sorokat eredményezett.. Példa Egy fodrászüzletben, ahol egyetlen fodrász dolgozik, 0 ülőhely van (a fodrász széket is beleértve). Két egymásutűán beérkező vendég érkezési időpontja között a távolság exponenciális eloszlású, és átlagosan 20 potenciális vendég érkezik óránként az üzletbe. Ha egy vendég megérkezésekor az üzlet tele van, a vendég távozik. A fodrász a forgalom nagyságától függetlenül, átlagosan 2 perc alatt vágja le az ügyfelek haját. A hajvágási idők exponenciális eloszlásúak. 6

. Átlagosan hány hajvágást végez el a fodrász óránként, illetve óránként átlagosan hány potenciális vendég nem fog az üzletben maradni? 2. Átlagosan mennyi időt fognak az üzletbe belépő (és ottmaradó) vendégek eltölteni? Megoldás:. Most M/M//GD/0/ sorbanállási rendszerrel van dolgunk, melyben a szomszédos beérkezési időpontok között eltelő időintervallumok átlagos hossza λ = 20 óra = 60 20 = perc, a kiszolgálások átlagos hossza pedig = 2 perc. Így µ a szomszédos beérkezések közt eltelő időintervallumok exponenciális eloszlásának a λ paramétere λ = vendég/perc, a vendégek kiszolgálási idői exponenciális eloszlásának a µ paraméterére pedig µ = 2 a sorbanállási rendszerünkben c = 0, azért és π 0 = ρ = ρc+ vendég/perc. Így ρ = ( ) π 0 = 0 = 0 0,75. 2 = és mivel Ellenőrizhető, hogy π 0 értéke 2 tizedesjegyre pontosan 0,750000788, ehelyett a közelítő értéket fogjuk tovább használni. Így óránként átlagosan 20( ) = 5 vendég haját vágják le, összhangban azzal, hogy a fodrász 2 percenként vágja le egy vendég haját, azaz folyamatos munka mellett óránként átlag 5 vendéggel végez. A folyamatos munkája viszont azért biztosított, mert π 0 = 0, 00000075256 gyakorlatilag nullával egyenlő. Ez egyben azt is jelenti, hogy átlagosan 20 5 = 5 potenciális vendég nem fog belépni az üzletbe. 2. W meghatározásához először L értékére azt kapjuk, hogy: L = ρ ρ (c+)ρc +cρ c+ = 0 +0 ρ c+ Ezért W = 9,67 vendég. L λ( π 0 ) 9,67 ( = 2 9,67 = 6,0 perc,9 óra. ) 7

A fodrászüzlet tehát túlzsúfolt, a fodrásznak azt lehet tanácsolni, hogy vegyen fel legalább még egy alkalmazottat. Feladatok. Minden légiutast és csomagját át kell vizsgálni, és ellenőrizni kell, hogy nem visznek-e fel fegyvert a repülőgépre. Tegyük fel, hogy a Ferihegyi repülőtérre átlagosan 0 utas érkezik percenként (a beérkezési időközök exponenciális eloszlásúak). A fegyverek kiszűrésére a repülőtéren fémdetektorral és poggyász-átvilágító készülékkel felszerelt ellenőrzőpontot állítottak fel. Az ellenőrzőpont működtetéséhez két emberre van szükség. Az ellenőrzőpontnál percenként átlagosan 2 utast tudnak átvizsgálni (az átvilágításhoz szükséges idő exponenciális). Válaszoljunk a következő kérdésekre (tegyük fel, hogy a repülőtéren egy ellenőrzőpont van): a) Mi a valószínűsége annak, hogy egy utasnak várakoznia kell az átvizsgálás előtt? b) Átlagosan hány utas fog várakozni az ellenőrzőpontnál kialakult sorban? c) Átlagosan mennyi időt tölt az utas az ellenőrzőpontnál? 2. A Differenciálegyenletek Tanszék lassú vagy gyors másológép bérlését fontolgatja. A tanszék szerint a munkatársak ideje átlagosan 000 Ft-ot ér óránként. A lassú másológép bérleti díja óránként 800 Ft, és egy munkatárs átlagosan 0 perc alatt végez a másolással (exponenciális eloszlással). A gyors másológép bérleti díja 000 Ft/óra, és egy munkatárs 6 perc alatt képes elvégezni a másolást. Átlagosan munkatárs szeretné használni a gépet óránként (a beérkezések között eltelt idő exponenciális eloszlású). Melyik gépet bérelje a tanszék?. Egy gyorsétteremnek utcára nyíló ablaka van. Átlagosan 0 vendég érkezik óránként az ablakhoz. Átlagban perc alatt szolgálják ki őket. Tegyük fel, hogy a beérkezések közti és a kiszolgálási időtartamok egymástól független, exponenciális eloszlásúak. a) Átlagosan hány vendég várakozik a sorban? 8

b) Átlagosan mennyi időt töltenek el a vendégek az étterem előtt (a beérkezés kezdetétől a kiszolgálás befejezéséig)? c) Az idő hányadrészében várakozik -nál több vendég kiszolgálásra (ebbe beleértjük az éppen az ablaknál levő vendéget is, ha van ilyen)?. Egy kiszolgáló egység egyetlen kiszolgálóhelyből áll, amelyik átlagosan 2 ügyfelet tud ellátni óránként (a kiszolgálási idők exponenciális eloszlásúak). Átlagosan ügyfél érkezik óránként az egységhez (a beérkezési időközök exponenciális eloszlásúaknak tekinthetők). A rendszer kapacitása ügyfél. a) Átlagosan hány potenciális ügyfél lép be a rendszerbe óránként? b) Milyen valószínűséggel lesz a kiszolgáló egység foglalt? 5. Átlagosan 0 autót (a beérkezési időközök exponenciális eloszlásúak) csábítanak a reklámok óránként arra, hogy megálljanak a Burger King étterem utcára nyíló ablaka előtt. Ha négynél több autó várakozik a sorban (az ablaknál lévő autóval együtt), a további autók már nem állnak be a sorba. Átlagosan percbe telik (exponenciális eloszlással) az autósok kiszolgálása. a) Átlagosan hány autó várakozik az ablaknál (az éppen kiszolgálás alatt lévőket leszámítva)? b) Átlagosan hány autóst szolgálnak ki óránként? c) Épp most álltam be a sorba. Átlagosan mennyi idő alatt kapom meg a megrendelt ételt? 9