Óbuda Egyetem Bánk Donát Gépész és Bztonságtechnka Kar Mechatronka és Autechnka ntézet Elektrotechnka 3. előadás Összeállította: anger ngrd adjunktus
A komplex szám megadása: x a x b j a jb x Komplex írásmód. Algebra alak:. Trgonometrkus alak: 3. Exponencáls alak (Euler formula) x X (cos j sn ) x X cos x X sn x X X e j x x x arctg x j φ u(t) (t) sn( t ) sn( t ) Komplex írásmód u(t) (t) (cos (cos j( t) t j sn t ) e j( t) t j sn t ) e
Fázor ábra A komplex feszültség és áram t= dőpllanatban: u() () e e j j( ) Komplex ampltudó A komplex ampltudót ll. annak -ed részét, a komplex effektv értéket ( ) álló síkvektor ábrázolja, melynek neve fázor φ α Mvel az áram fázshelyzetét a feszültséghez szoktuk vszonyítan, ezért célszerű a koordnáta rendszer úgy felvenn, hogy a feszültségfázor a poztív valós tengely rányába essék. Ekkor α=, a komplex effektív érték: e j φ
Komplex mpedancák e jt e jt = [] X C Kapactív mpedanca C = C d d ejωt = C = j ω C e jωt dt dt = j X C = j ωc d dt d( e dt jt ) j e jt j X C C [ ] j C nduktív mpedanca j[] Általános Ohm-törvény
A komplex mennységek bevezetésének magyarázata Írjuk fel a Krchhoff egyenleteket az alább áramkörre! Valós dőfüggvények: C 3 ~ ~ u 3 u uc 3 () C d dt t 3 3 dt 3 u Dfferencál egyenletek 3 u Komplex mennységek: 3 j C 3 3 j 3 3 Algebra egyenletek komplex t = e jωt e jωt = e jωt, = jω Euler relácó valós t = cosωt u =, u = d dt, C = C du C dt u t u t Kndulás - komplex Kndulás - valós Végeredmény - komplex = e jωt = e j ωt+φ algebra egyenletek u t = u(t) = cos ωt + φ dfferencál és trgonometrkus egyenletek Végeredmény - valós Általános Ohm-törvény Dfferencál egyenletek
Váltakozó áramú teljesítmény P(t)=u(t)(t) a sznuszosan változó áram teljesítménye dőben perodkusan változk. t) sn( t ) u( t) snt snt, P( t) snt sn( t ), ( sn( t ) sn( t ) snt cos cost sn P( t) (sn t cos snt cost sn) sn t cos t, snt cost sn t Így az egyfázsú váltakozó áram pllanatny teljesítménye: P( t) cos ( cos t) sn sn t
A hatásos és a meddő teljesítmény P=cosφ Q=snφ t P(t) cos ( cost) sn sn t ω körfrekvencával lengő cosnusgörbe, amelyknek a szmmetratengelye az dőtengely felett cosφ magasságban van és e körül leng cosφ ampltudóval. dőbel átlaga: P=cosφ [W, watt] hatásos teljesítmény ω körfrekvencával lengő snusgörbe, amelyknek a szmmetratengelye az dőtengely,így átlagértéke. Ampltudója: Q=snφ [var]* meddő teljesítmény *voltamper reaktív(=nem hatásos) S= [VA,voltamper] látszólagos teljesítmény P/S=cosφ teljesítménytényező
Egyszerű váltakozó áramú körök Soros kapcsolás u ~ ( ) j ( u u j ) ( j ) j ( ) arctg ahol jω ( ) ( ) arctg 9
Párhuzamos kapcsolás / Y j u ~ Y ( ) ( ) ( j ) j j ahol Y ( ) ( ) ( ) ; ; 9 ( ) arctg
Soros C kapcsolás j C u ~ u u C C C ( ) ( ) ( j ) jc jc ahol C ( ) ( ) arctg ; ; 9
Párhuzamos C kapcsolás Y jωc u C ~ C / C Y ( ) ( ) jc ( jc) ( j ) ahol C Y ( ) ( ) 9 ( ) arctg
Soros C kapcsolás u ~ ( ) j u u jc u C C j( ) C jω j C C C jω j C ( ) ( ) C ( ) arctg( ) C ( zonáns körfrekvenca: C ), Thomson-képlet ( ) 9 9 j C C jω
Párhuzamos C kapcsolás u C ~ C jωc j / jωc Y / j C C Y ( ) ( ) j jc j( C ) Y ( ) ( ) ( ) ( ) Y ( ) arctg( C ) zonáns körfrekvenca: C Thomson-képlet ( ), ( ) 9 9 jωc j C /