Multidiszciplináris tudmányk,. kötet. (0) sz. pp. 67-8. TETŐPONTJÁBAN SUGÁRIRÁNYÚ KONCENTRÁLT ERŐVEL TERHELT HETEROGÉN ANYAGÚ SÍKGÖRBE RÚD REZGÉSEI Kiss László Péter, Szeidl György Dktrandusz, Prfessr Emeritus, Misklci Egyetem, Mechanikai Tanszék 55 Misklc, Misklc-Egyetemvárs, e-mail: mechkiss@uni-misklc.hu, gyrgy.szeidl@uni-misklc.hu Összefglalás A cikk hetergén anyagú síkgöre rudak rezgéseit vizsgála, feltéve, hgy a teher merev és merőleges a középvnalra. Feltételezzük, hgy (a) a görületi sugár állandó, () a rugalmassági mdulus és a Pissn szám csak a keresztmetszeti krdináták függvénye. Célkitűzéseink: () a vnatkzó Green-féle függvénymátrixk előállítása csuklós megtámasztású rúdra, amennyien a rúd terhelése sugárirányú kncentrált erő, () annak tisztázása, hgyan hat a terhelés a saátfrekvenciákra, () lyan numerikus mdell kidlgzása, amely lehetővé teszi a saátfrekvenciák számítását a terhelés függvényéen. A számítási eredményeket grafikus frmáan kívánuk megeleníteni. Kulcsszavak: síkgöre rúd, hetergén anyag, saátfrekvencia a terhelés függvényéen, Green-féle függvénymátrix Astract This paper is cncerned with the viratins f hetergeneus curved eams under the assumptin that the lad n the eam is a dead ne which is perpendicular t the centerline. It is assumed that (a) the radius f curvature is cnstant and () the Yung mdulus and Pissn numer depend n the crss sectinal crdinates nly. e have the fllwing ectives: () t determine the Green functin matrices fr pinned-pinned eams prvided that the eam is suected t a radial lad; () t clarify hw the lad affects the natural frequencies if the eam is suected t a radial frce (a vertical frce) at the crwn pint; () t develp such a numerical mdel which makes it pssile t determine hw the natural frequencies are related t the lad. e shall present the cmputatinal results in a graphical frmat. Keywrds: curved eam, hetergenus material, natural frequency as a functin f the lad, Green functin matrix. Bevezetés Napainkan igen gyakri a görült középvnalú rudak mérnöki alkalmazása. Gndlunk például az ívelt kialakítású hídszerkezetekre, egyes tetőszerkezetekre vagy a repülőgépek iznys merevséget növelő alkatrészeire. Az ilyen rudak mechanikai viselkedésével kapcslats vizsgálatk már a 9. századan megkezdődtek lásd pl. Lve [] könyvét. Száms dlgzat témáa a síkgöre rudak szaadrezgéseinek vizsgálata. Ide srlható,
Kiss L. P., Szeidl Gy. eredményeket összegező ellege miatt Márkus és Nánási [] cikke, valamint Chidampram és Lessia [] műve is. Érdemes tváá megemlíteni Szeidl [] PhD értekezését is, amelyen a szerző a lineáris elmélet keretein elül azt vizsgála, hgyan eflyásla a középvnal hsszváltzása az állandó nagyságú, iránytartó megszló erővel terhelt körívalakú síkgöre rudak szaadrezgéseit és stailitását. A saátkörfrekvenciák meghatárzására különöző numerikus módszerek segítségével került sr. Ezek egyike a vnatkzó peremérték feladatk Green-féle függvénymátrixainak megknstruálásán alapul. Sanálatsan ezen eredmények angl nyelvű pulikálására annak ideén nem került sr. Lawther [5] cikke a terhelés frekvenciákra gyakrlt hatására frdíta a figyelmét. Véges szaadságfkú, töparaméteres saátérték feladatk vizsgálatai alapán arra a következtetésre ut a szerző, hgy az ilyen ellegű prlémáknál a megldás saátértékre vnatkzó részét egymással kölcsönhatásan álló görék írák le a saátértékek teréen és minden ilyen saátérték feladatnak van vnatkzó saátvektra is. Ha egy göre mentén minden egyes pnthz ugyanaz a saátvektr tartzik, akkr az szükségszerűen egy egyenes vnal, de ha ez nem áll fenn, akkr a kérdés skkal nylultaá válik. Lawther eredményeinek fényéen felvetődik a kérdés, hgyan váltznak a saátfrekvenciák, ha a göre rudat a krnapntan működő sugárirányú kncentrált erő terheli. Vizsgálataink srán feltételezzük, hgy a rúd anyaga hetergén, iztróp és lineárisan rugalmas. A rugalmassági mdulus tetszőlegesen váltzhat a rúd síkára szimmetrikus és állandónak tekintett keresztmetszet felett, de az elszlás nem függhet az (E-vel súlyztt) középvnal mentén mért krdinátától azns minden keresztmetszeten. Megegyezzük, hgy ez eseten keresztmetszeti hetergenitásról van szó. E fgalm evezetése pl. a [6] tanulmányhz kötödik. A fenti rövid áttekintés alapán az alái célkitűzéseket fgalmazzuk meg: () a sugárirányú merev terhelés rezgésekre gyakrlt hatásának figyelemevételére alkalmas mdell előállítása ez egy saátérték feladat, melynek megldása természetesen függ a peremfeltételektől. () A saátérték feladatt meghatárzó differenciál-egyenletrendszer (tváiakan DER) Green-féle függvénymátrixának megknstruálása két végén csuklóval megtámaszttt göre rúd esetén, mert ennek segítségével az eredeti saátérték feladat Fredhlm-féle integrálegyenletekkel (röviden IE) meghatárztt saátérték feladattá alakítható át. () Az utói saátérték feladat véges szaadságfkú algerai saátérték feladattal történő helyettesítése és ennek a feladatnak megldása alkalmas numerikus elárással. () Az eredmények részint grafikus, részint közelítő plinmk segítségével történő megelenítése, illetve előállítása. A cikk szövege tíz szakaszra van taglva. A. szakasz az alapvető összefüggések ismertetése. A Green-féle függvénymátrix definícióa után áttekintük azt is a. szakaszan, hgyan helyettesíthető egy hmgén DER-rel kapcslats saátérték feladat egy hmgén Fredhlm-féle integrálegyenletekkel kapcslats saátérték feladattal. A megldási algritmusról a. szakasz nyút egy rövid összefglalást. A Green-féle függvénymátrixkra vnatkzó számításk az 5. szakaszan lvashatók. A középvnal menti falags nyúlás és a krnapnteli erő között fennálló összefüggés 6. feezeten található, amely a kritikus nyúlás frmuláát is tartalmazza. A számítási eredményeket a 7. szakasz ismerteti. A tanulmányt az eredmények rövid összegzése, köszönetnyilvánítás és végül az irdalmegyzék zára le. 68
Tetőpntáan kncentrált erővel terhelt síkgöre rúd rezgései. Alapvető összefüggések.. Megszló erőrendszerrel terhelt rúd alapegyenletei Jelen szakaszan a [7] cikk alapán fglaluk össze a legfntsa összefüggéseket. Az.a. árán a vizsgált rúd egy szakasza, valamint az alkalmaztt görevnalú ( = s,, ) krdináta-rendszer látható. Az.. ára egy csuklóval megtámaszttt és a krnapntan nymtt rúdat szemléltet. A Yung mdulus, amint arra fent rámutattunk, csak a keresztmetszeti krdináták függvénye: E(, ) = E(, ).. ára. (a) A krdináta rendszer () Csuklós megtámasztású rúd A = s tengely egyeesik az úgynevezett (E-vel súlyztt) középvnallal, amely a C pntan döfi a kiragadtt keresztmetszetet. A középvnal helyzete az () feltételi egyenletől származtatható: Itt zérus kell legyen a keresztmetszet S E-vel súlyztt stati- () Se = E(, ) d A = 0, A = E (, )d, = (, ) d A e A I E A A e A kai nymatéka az tengelyre. A későiek kedvéért kerültek evezetésre az (), mennyiségek, melyek rendre az E-vel súlyztt területet, valamint az E-vel súlyztt másdrendű nymatékt értelmezik. A tváiakan megkülönöztetük a terhelés kzta és egyéként időtől független mechanikai mennyiségeket, azktól, amelyek a rúd rezgéseihez tartznak. Utóiak valóáan az időtől függő növekmények és ezeket alsó index-szel különöztetük meg. Legyen tváá u, w és R rendre a rúd középvnalának érintő-, sugárirányú elmzdulása és a középvnal állandó nagyságú görületi sugara. Az s ívkrdináta és a szögkrdináta között az s= R összefüggés érvényes. A középvnal tengelyirányú falags nyúlása, valamint ugyanitt a szögelfrdulás megadható az u, w elmzduláskrdinátákkal: du w =, u dw =. () ds R R ds A virtuális munka elv segítségével (itt teredelmi kk miatt nem részletezett átalakításk eredményeképpen) a dn dm M d dm M N N ft = 0, ds R ds R N fn =0 ds ds R () R egyensúlyi egyenleteket vezethetük le az N rúderő és az M halítónymaték vnatkzásáan. A megszló terhelés tangenciális és nrmál irányú sűrűségét f t, illetve f n e 69
Kiss L. P., Szeidl Gy. elöli. A első erők és az alakváltzásk közötti kapcslat a Hke törvénnyel adható meg [7]: Ie M M d w w Ae R N = m, =, ahl =. Ae M Ie m () R R R ds R Ie Késői megfntláskól vezessük e a nagy etűvel szedett dimenziómentes elmzduláskat és egy, a deriváltak tömöre kifeezésére alkalmas írásmódt: n u w ( n) d ( ) U =, = ; ( ) =, n = 0,,,. (5) n R R d A () Hke-törvény és a () kinematikai mennyiségek () egyensúlyi egyenleteke való helyettesítésével a () () () 0 0 U 0 0 0 0 m U m U U R ft = 0 0 m m 0 0 m I f e n DER-re utunk. Amennyien elhanyagluk a nyúlás egyensúlyi helyzetre gyakrlt hatását (azaz élünk az =0 egyszerűsítéssel) akkr kapuk, hgy () () () m m R t 0 0 U 0 U 0 U 0 0 U f =. 0 0 m 0 0 m Ie f n. A növekményekre vnatkzó alapegyenlet A nyúlás és a szögelfrdulás növekménye a () egyenletekhez hasnló u dw du w m =, =, = R ds ds R (7) képletekkel számítható. Igazlható az is, hgy a rúderő és a halítónymaték megváltzására a d M M N N ft = 0, ds R R R d M N d M M N =0 N fn ds R ds R R (8) egyensúlyi egyenletek érvényesek. Mivel a növekményekkel kapcslats flyamat dinamikai ellegű (feltételezve, hgy az eredeti terhelés elen eseten a P erő maga váltzatlan), az f t és f n terhelésnövekmények tehetetlenség erők, azaz u w ft = a A, f =, n a A (9) t t ahl A a keresztmetszet területe, a pedig a keresztmetszet átlags sűrűsége. Ezen felül a növekményekkel kapcslats Hke-törvény Ie M d w w M I e N = m, =, = M Ie N m (0) R R ds R R R alakú. A (7), (8) és (0) egyenletek egymása történő helyettesítésével a (6) 70
Tetőpntáan kncentrált erővel terhelt síkgöre rúd rezgései () () () 0 0 U 0 m U 0 m U 0 0 m m 0 0 0 U R ft = 0 m I f () e n mzgásegyenletek adódnak. Vegyük észre, hgy a frmális deriválásk srán linearizáltuk a feladatt: (a) elhanyagltuk a kvadratikus tagt a (8) kifeezésen; () éltünk az () ( ) és egyenlőtlenségek adta egyszerűsítési lehetőségekkel (8) - en. Amennyien feltételezzük, hgy harmnikus rezgéseket végez a rúd, a dimenziómentes U ˆ és ˆ elmzdulás amplitúdókra nézve írhatuk, hgy () () () 0 0 Uˆ 0 ˆ 0 ˆ m U m U 0 ˆ 0 m ˆ m 0 ˆ 0 0 Uˆ ˆ U = 0 m ˆ ˆ ahl = ( AR ) / a keresett saátérték és az ismeretlen saátfrekvencia. a Ie Terheletlen rúdra tehát ha =0 visszakapuk a vnatkzó rúd szaadrezgéseit leíró mzgásegyenleteket vesd össze a [8] cikken közölt () képlettel: () () () 0 0 Uˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 0 ˆ ˆ m U m U U U =. 0 ˆ 0 ˆ m 0 ˆ 0 m () ˆ ˆ A () (avagy ()) DER-ek a vnatkzó hmgén peremfeltételekkel együtt egy, a - ra vnatkzó saátérték feladatt határznak meg. A () egyenlet átírható a 0 () () () (0) T K, = = = ˆ ˆ U y Py Py Py Py y y () tömör alaka. Megegyezzük, hgy az i-edik ( i=,,, ) i saátfrekvencia az nyúlásn keresztül függ a kncentrált P, vagy ami lényegéen ugyanaz, a dimenziómentes hetergenitás az m, Ie és = PR / ( I e ) () erőtől: = ( ). Azt is megemlítük, hgy a a mennyiségeken keresztül elenik meg a () egyenleten.. A Green-féle függvénymátrix értelmezése Vegyük észre, hgy elfauló a () DER, mivel nem invertálható a P mátrix. Tekintsük a ( ) K( y) = P( ) y ( ) = r( ), P ( ) = 0 (5) =0 inhmgén DER-t (a ldalt alktó r ( ) a középvnaln megszló terhelésnek felel meg), valamint a csuklós megtámasztás esetén érvényes ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ () ˆ () U ( ) U ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (6) 7
Kiss L. P., Szeidl Gy. hmgén peremfeltételek által meghatárztt peremértékfeladatt. A Ky ( ) = 0 hmgén DER megldása függ az nyúlás előelétől, vagyis a terhelő erő irányától. Legyen A hmgén egyenletnek = m ha < 0 m ha > 0 és m >. (7) y = Yi Ci e (8) ( ) i= alakú a megldása, ahl Y cs 0 sin 0 cs sin =, =, =, = sin 0 Y cs 0 Y sin Y cs 0, (9) ha <0. Könnyen ellenőrizhető, hgy Y és Y megváltzik, ha >0 és m >: Y csh sinh =, =. sinh Y csh 0 (0) A (8) alatti megldásan tetszőleges állandó a C mátrix és ugyancsak tetszőleges állandó az e szlpmátrix. Emellett =(m+)/[m(+ )]. A (5), (6) peremérték feladat megldását az G (, ) G (, ) y( ) = G(, ) r( )d, G (, ) = a G(, ) G (, ) () alakan keressük, ahl a G (, ) Green-féle függvénymátrixt az alái tuladnságk határzzák meg []:. A Green-féle függvénymátrix flytns függvénye -nek és -nek a és hármszög tartmánykn. A G (, ), G (, ) G (, ), G (, ) i () függvények (-szer) [-szer] differenciálhatók szerint. Maguk a G(, ) ( ) Gi (, ) ( ) = G (, ) =,, = Gi (, ) x x =,,; i=, () deriváltak pedig flytns függvényei -nek és -nek.. Legyen a [, ] tartmányan. Annak ellenére, hgy a G (, ), G (, ), G (, ) ( =,,), G (, ) ( =,) () () ( ) ( ) függvények és deriváltak flytnsak = esetén, a deriváltaknak ugyanitt véges szakadása van: 0 () () ( 0, ) ( 0, ) = / ( ), lim G G P G () (, ) és G () (, ) () () lim ( 0, ) ( 0, ) = / G G P ( ). (5) 0. Legyen egy tetszőleges állandó vektr. Rögzített [, ] mellett a G(, ) vektr, mint ( ) függvénye ki kell elégítse a hmgén differenciálegyenletet: 7
Tetőpntáan kncentrált erővel terhelt síkgöre rúd rezgései KG(, ) = 0.. A G(, ) vektr, mint függvénye köteles telesíteni a (6) peremfeltételeket. Igazlható a Green-féle függvénymátrix egzisztenciáa, ami ha fennáll, akkr a () vektr kielégíti a (5) DER-t és a vnatkzó peremfeltételeket. Tekintsük a K[ y] = y (6) DER-t, ahl Ky [ ]-t a () képlet értelmezi, a pedig egy skalárparaméter. A (6) DER, valamint a hmgén lineáris (6) peremfeltételek egy, a paraméterre, mint saátértékre vnatkzó saátérték feladatt határznak meg. T T = u u v = v v vektrk kmparatív vektrk, ha különöznek Az u és zérustól, kielégítik a (6) peremfeltételeket és kellő renden flytnsan deriválhatók. T Önadungált a (6), (6) saátérték feladat, ha kmmutatív az ( u, v) = u Kv d szrzat, vagyis ha a kmparatív vektrkra nézve telesül az ( u, v) = ( v, u ) reláció. Pzitív definit a saátérték feladat, ha emellett az ( uu, ) K > 0 egyenlőtlenség is fennáll tetszőleges u mellett. Ha önadungált a (6), (6) saátérték feladat, akkr keresztszimmetrikus a T Green-féle függvénymátrix: G(, ) = G (,,).. A saátérték feladat numerikus megldása Helyettesítsünk y -t a megldást adó () képleten r helyére. Az K K y( ) = G(, ) y ( )d (7) eredmény egy hmgén Fredhlm típusú integrálegyenlet rendszer (tváiakan IER). A fenti IER numerikus megldására a numerikus integrálási elárásk segítségével nyílik lehetőség [9]. Tekintsük a n J( ) = ( )d w( ), (8) =0 integrál frmulát, ahl a ( ) vektr és a w súlyk ismertek. Az integrál frmula alkalmazásával a n w G(, ) y( ) = y ( ) = / (9) =0 egyenletet kapuk a (7) IE-ől. Az utói egyenlet megldásával adódnak a = / közelítő saátértékek és a hzzáuk tartzó y ( ) közelítő saátfüggvények. Az elárás a következő: ha a fenti egyenleten helyére rendre i ( i= 0,,,, n) -et írunk, akkr a n w G(, i ) y( ) = y ( i ) = / i,, i =,, n, (0) =0 vagy ami ugyanaz a = alakú hmgén, lineáris egyenletrendszerre utunk, ahl K 7
Kiss L. P., Szeidl Gy. = diag( w,, w w,, w ), a G (, ) szimmetrikus, ha a prléma 0 0 l n l n T T T T önadungált és = [ y ( 0) y ( ) y ( n )]. A (0) algerai saátérték feladat megldása után megkapuk a r közelítő saátértékeket és r saátvektrkat, míg a vnatkzó saátfüggvények a saátértékek és saátvektrk (9)-e történő helyettesítésével adódnak: n r r r =0 i y ( ) = w G(, ) y ( ) r = 0,,,, n. () Osszuk fel a, intervallumt egyfrma hsszúságú részintervallumkra és alkalmazzuk az integrál frmulát minden egyes részintervallumra. Megismételve a ()-re vezető gndlatmenetet könnyen elátható, hgy az így kaptt algerai saátérték feladat azns szerkezetű, mint (). Az is lehetséges, hgy a (7) IE-et úgy kezelük, mint egy peremintegrál egyenletet és izparametrikus közelítést alkalmazzunk a részintervallumk felett. Ez eseten az e-edik elem felett e e e e y = N ( ) y N ( ) y N ( ) y () a saátfüggvények közelítése (az e-edik részintervallumt az, tartmányra képezzük le és az utóit Le -vel elölük a tváiakan.) Kvadratikus apprximáció esetén N i = diag( Ni), N = 0.5 ( ), N =, N = 0.5 ( ), az y i, ( i =,,) pedig az y saátfüggvény a részintervallum kezdő, középső és végpntáan vett értékeit elöli - ezek az ismeretlenek. A () közelítést helyettesítve a (7) IE-e az e y n e e y( ) = G ( x, ) [N( ) N( ) N( )] d y () L e= e e y összefüggést kapuk, ahl n e az elemek (részintervallumk) száma. A () egyenlettől megismételve a ()-re vezető gndlatmenetet, ismét egy algerai saátérték feladatt kapunk. 5. A Green-féle függvénymátrix számítása 5.. Bevezető megegyzések A. szakaszan részletezett definíció alapán tekintük át een a szakaszan a Green-féle függvénymátrix meghatárzását. Tételezzük fel, hgy a Green-féle függvénymátrix G(, ) = Y ( ) A ( ) B ( ) () () = alakú ezzel a választással telesül a. alatti tuladnság ahl (a) az előel e 7
Tetőpntáan kncentrált erővel terhelt síkgöre rúd rezgései [pzitív](negatív), ha [ ]( ) ; () az A és szerkezetűek: B mátrixk pedig az alái A A B B A = =, = = =,,; A A B B B (5) A A B B (c) a B együtthatók függetlenek a peremfeltételektől. Mivel (ahgyan az már a. szakaszan is szerepelt) az Y és Y mátrixk eltérőek ha >0 (negatív a P ) és ha > 0, m > (pzitív a P ), ezért ezt a két esetet külön-külön kell áttekinteni. 5.. A Green-féle függvénymátrix, ha <0 Az egyszerű írásmód kedvéért vezessük e az a = B, = B, c = B, d = B, e = B, f = B i i i i i i elöléseket. Nem nehéz elátni tváá, hgy B = B = B = B = 0. Az a,,f ismeretlenekre vnatkzó egyenletrendszer a Green-féle függvénymátrix. és. alatti tuladnságainak (flytnssági és szakadási feltételek) felhasználásával adódik. Valóan, ha = a ()-(5) képletek alapán i = esetén írhatuk, hgy 0 cs sin cs sin a sin cs sin cs 0 0 sin cs sin cs 0c = cs sin cs 0 sin 0 d m, (6) 0 sin cs sin 0 cs 0e 0 cs sin cs 0 sin 0 f 0 ahnnan sin cs a B B m = =, = =, m sin c B d B = =, = =, m cs e B f B = =, = =. Ha i =, akkr pedig m m m (7) 75
Kiss L. P., Szeidl Gy. 0 cs sin cs sin a sin cs sin cs 0 0 0 sin cs sin cs 0c = cs sin cs 0 sin 0 d 0 sin cs sin 0 cs 0e 0 cs sin cs 0 sin 0 f a megldandó egyenletrendszer, a megldásk pedig cs sin cs a = B =, = B =, c = B =, Az sin d = B = 0, e = B =, f = B =. A állandók közül A i A i A i Ai A i Ai i ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) =,;, az ismeretlenek (mivel A = A = A = A = 0!). A. tuladnság szerint telesülne kell (6) peremfeltételeknek. Innen a Ai cs sin cs sin Ai cs sin cs sin sin cs sin cs 0 Ai sin cs sin cs 0 = Ai sin cs sin 0 cs 0 sin cs sin 0 cs 0 A i A i a cs sin c cs d esin f a cs sin c cs d esin f asin cs c sin d e cs =. asin cs c sin d e cs asin cs c sin e cs asin cs c sin e cs egyenletrendszer következik. Legyen = cs sin sin cs cs cs két alkalmas állandó. Ezekkel a megldásk: = sin, = sin, (8) (9) (0) () 76
Tetőpntáan kncentrált erővel terhelt síkgöre rúd rezgései Ai = cs d, Ai a a a c f i Ai d e A a c f cs, = cs cs cs cs, cs cs sin cs sin sin cs, Ai a c c f Ai sin dm sin sin d cs sin sin cs sin sin sin cs cs cs, 5.. A Green-féle függvénymátrix, ha >0 d e e sin cs sin sin. és > m A Bi,, B i állandókat ugyanúgy kell számlni, mint az előző eseten, de mst a (0) képlet ada B és B értékét. Ha i = kapuk hgy 0 cs sin csh sinh a sin cs sinh csh 0 0 sin cs sinh csh 0 c = cs sin csh 0 sinh 0 d m 0 sin cs sinh 0 csh 0 e 0 cs sin csh 0 sinh 0 f 0 ahnnan sin cs a B B m = =, = =, m sinh c B d B = =, = =, m csh e = B =, f = B = a keresett megldás. Ha i = m m m () () 77
Kiss L. P., Szeidl Gy. 0 cs sin csh sinh a sin cs sinh csh 0 0 0 sin cs sinh csh 0 c = cs sin csh 0 sinh 0 d 0 sin cs sinh 0 csh 0 0 e cs sin csh 0 sinh 0 f a megldandó egyenletrendszer. A megldásk pedig Az cs sin csh a = B =, = B =, c = B = sinh d = B = 0, e = B =, f = B =. A mátrixk elemei a (6) peremfeltételek felhasználásával adódó A cs sin csh sinh A cs sin csh sinh sin cs sinh csh 0A sin cs sinh csh 0 A sin cs sinh 0 csh 0 sin cs sinh 0 csh 0 A A i a cs sin c csh d esinh f a cs sin c csh d esinh f asin cs c sinh d e csh =. asin cs c sinh d e csh asin cs c sinh e csh asin cs c sinh e csh egyenletrendszer megldásai. A állandók evezetésével M = sin, = sinh = cs sinh sin csh cs csh i i i i i = () (5) (6) (7) 78
Tetőpntáan kncentrált erővel terhelt síkgöre rúd rezgései Ai = cs d, Ai = a cs csh a sin csh Ai = d e csh, = csh cs cs csh, Ai a c f a c f sin sinh csh, Ai = a c cs sinh Ai d c sin sinh cs csh f cs, = sinh sin sinh sin a megldásk alaka. d d e cs sinh sin csh sin (8) 6. Az = függvény. A falags nyúlás kritikus értéke 6.. Falags nyúlás az erő függvényéen A későiek miatt ismernünk kell a középvnaln mért falags nyúlás és a terhelő erő közötti kapcslatt. Megegyezzük, hgy a elen tanulmányan megmaradunk a lineáris elmélet keretei között. A keresett összefüggés ez eseten a (6) DER megldását igényli, ha f t = f n = 0. A [,0) és (0, ] intervallumkra vnatkzó megldáskat aznan illeszteni kell az falags nyúlás aznan állandó és ugyanaz mindkét intervallum felett. Az U = = M = 0 peremfeltételek, valamint a =0 helyre vnatkzó U = U, =, =, = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 dm dm N = N, M = M, P = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 ds ds = 0 = 0 kntinuitási és diszkntinuitási feltételek felhasználásával a részleteket illetően a [0] MSc diplmatervre utalunk kapuk, hgy cs tan cs P =, =, (50) m cs m msin cs I ahl a dimenziómentes erő ha [negatív] (pzitív), akkr is [negatív] (pzitív). e (9) 79
Kiss L. P., Szeidl Gy. 6.. A falags nyúlás kritikus értéke Ha növelük, értékét ( <0), akkr elő, vagy utó elveszti a rúd a stailitását. Tegyük fel, hgy a stailtásvesztéshez tartzó (sugárirányú) [érintőirányú] elmzdulásnövekmény (páratlan)[párs] függvénye a -nek. Ez eseten a kritikus falags nyúlás számítása a -re, mint saátértékre vnatkzó és a DER, valamint az K y, = 0, = m (5) U () = = = 0 hmgén peremfeltételek által meghatárztt saátérték feladat megldását igényli. Figyeleme véve, hgy a megldásk = A A cs A sin A5 cs A6 sin, (5) U = A A A sin A cs A sin A cs 5 6 alakúak az A i (i =,,,6) integrációs állandók számítására a peremfeltételek alapán felírt hmgén lineáris ER-nek csak akkr van triviálistól különöző megldása, ha zérus a determinánsa. Eől a feltételől kapuk (a részleteket ismét elhagyva), hgy =. Következésképp crit = = (5) m m a kritikus falags nyúlás értéke. 7. Számítási eredmények Frtran90 nyelven prgram készült a Fredhlm IER-rel meghatárztt saátérték feladat megldására. Az így kaptt numerikus eredményeket ugyanazn rúd szaadrezgéseinek sátfrekvenciáival hasnlítuk össze utóiakkal kapcslats eredményeket illetően ismét a [0] munkára utalunk. (5). ára. Számítási eredmények csuklós rúdra 80
Tetőpntáan kncentrált erővel terhelt síkgöre rúd rezgései A. ára az / szaad hányadst árázla az / crit hányads, mint független váltzó függvényéen két végén csuklóval megtámaszttt rúdra és mindkét terhelési esetre. Tegyük fel, hgy [0, ;,5] és m 0000]. A számítási eredmények szerint ilyenkr független az / szaad hányads értéke az m paramétertől és lineáris a vnatkzó függvénykapcslat. Az =.0006.0008, P < 0 szaad crit crit (55) =.00066 0.99995, P > 0 szaad crit crit egyenesek gyakrlatilag pntsan illeszkednek az eredményül kaptt pntsrra. 8. Összefglalás A evezetésen megfgalmaztt célkitűzéseinkkel összhangan keresztmetszeti inhmgenitású síkgöre rudak rezgéseit vizsgáltuk feltéve, hgy a rudat a krnapntan működő kncentrált erő terheli. Levezettük azt a peremérték feladatt, melynek segítségével tisztázható, hgyan függenek a rezgések saátfrekvenciái a terhelő erőtől. Megknstruáltuk a csuklóval megtámaszttt rúd Green-féle függvénymátrixait pzitív és negatív terhelés esetére egyaránt. A Green-féle függvénymátrix-szal a saátfrekvenciák meghatárzására irányuló saátérték feladatt Fredhlm IER-rel leírható saátérték feladatra vezettük vissza. Ezt a saátérték feladatt numerikusan megldttuk. A számítási eredmények szerint az első saátfrekvenciák négyzete lineárisan függ a középvnal falags nyúlásától. Az = függvény ismeretéen kiszámítható, hgy adtt terheléshez mekkra falags nyúlás tartzik és utána számítható a vnatkzó saátfrekvencia is. 9. Köszönetnyilvánítás A kutató munka a TÁMOP-...B-0/-00-0008 elű prekt részeként az Ú Magyarrszág Felesztési Terv keretéen az Európai Unió támgatásával, az Európai Szciális Alap társfinanszírzásával valósul meg. A kutatás a TÁMOP...A/---0-000 aznsító számú Nemzeti Kiválóság Prgram - Hazai hallgatói, illetve kutatói személyi támgatást iztsító rendszer kidlgzása és működtetése knvergencia prgram című kiemelt prekt keretéen zaltt. A prekt az Európai Unió támgatásával, az Európai Szciális Alap társfinanszírzásával valósul meg. 0. Irdalm [] A.E.H. Lve. Treatese n the mathematical thery f elasticity. New Yrk, Dwer, 9. [] S. Márkus, T. Nánási. Viratin f curved eams. Shck. Vi. Dig. ():-, 98. [] P. Chidamparam, A.. Leissa. Viratins f planar curved eams, rings and 8
Kiss L. P., Szeidl Gy. arches. Applied Mechanics Review, ASME, 6(9):67-8, 99. [] Szeidl Gy. A súlypnti szál hsszváltzásának hatása a körívalakú rúd stailitására és szaadrezgéseinek saát frekvenciáira. PhD disszertáció, Misklci Egyetem, Mechanikai Tanszék, 975. [5] Ray Lawther. On the straightness f eigenvalue iteratins. Cmputatinal Mechanics, 7:6-68, 005. [6] A. Baksa, I. Ecsedi. A nte n the pure ending f nnhmgenus prismatic ars. Internatinal Jurnal f Mechanical Engineering Educatin, 7():8-9, 009. [7] Gy. Szeidl, L. Kiss. A nnlinear mechanical mdel fr hetergeneus curved eams. Prceedings f the th Internatinal Cnference n Advanced Cmpsite Materials Engineering, COMAT 0, vlume, pp. 589-596, 8-0 Octer 0, Brasv. [8] Kiss L. P. Hetergén anyagú síkgöre rúd szaadrezgéseinek saátfrekvenciái. GÉP, LXIV(5):6-, 0. [9] C. T. H. Baker. The Numerical Treatment f Integral Equatins Mngraphs n Numerical Analysis. Clarendn Press, Oxfrd, 977. [0] Kiss L. Hetergén anyagú síkgöre rudak egyes feladatainak megldása. MSc Diplmamunka, Misklci Egyetem, Mechanikai Tanszék, 0. 8