4.0 Bevezetés IV. fejezet Analitikus táblázatk a kijelentéslgikában A következtetések helyességének indiekt ellenőzések a következőkéen játunk el: (1 feltételeztük, hgy a knklúzió hamis, a emisszák edig igazak; (2 a kijelentések lgikai szekezetét egészen az atmi kijelentésekig visszakövetve megvizsgáltuk, milyen következményekkel já feltevésünk a emisszákat és a knklúziót alktó atmi kijelentések igazságétékée nézve; (3 megvizsgáltuk, hgy az atmi kijelentések igazságétékével szembeni elváásainkban felbukkant e ellentmndás. Ha igen, akk a következtetés helyesnek minősült; ha nem, akk helytelennek. Ennek az eljáásnak a sán tehát a emisszákból és a knklúzió tagadásából álló fmulahalmaz ejtett ellentmndását igyekeztünk exlicitté tenni. Ehhez mindenekelőtt hitetikusan igazságétéket tulajdnítttunk a emisszáknak és a knklúziónak. Ee a léése aznban vltakéen nincs szükség. A ejtett ellentmndást anélkül is feltáhatjuk, hgy hivatkznunk kellene a fmulák igazságétékée; elég, ha megvizsgáljuk, mit tudunk meg a emisszákból és a knklúzió tagadásából. A ejtett ellentmndás akk válik exlicitté, ha a megtudtt kijelentések között felbukkan egy fmula és annak negációja. A helyesség ellenőzésének módszeét így a következőkéen módsíthatjuk: (1 a kijelentések lgikai szekezetét egészen az atmi kijelentésekig visszakövetve megvizsgáljuk, milyen atmi infmációkat tudunk meg a emisszákból és a knklúzió tagadásából (infmáción kijelentést, atmi infmáción edig egy atmi kijelentést vagy annak tagadását étjük; (2 ha az eljáás sán báhl felbukkan egy fmula és annak negációja, akk az adtt iányban nem flytatjuk tvább a vizsgálódást; (3 ha minden iányban felbukkant legalább egy exlicit ellentmndás, akk a következtetést helyesnek minősíthetjük; ha nem, akk helytelennek. A következő szakaszkban az itt vázlt módszet fgjuk ntsítani és kitejeszteni. 4.1 Számazékk; a táblázatszekesztés alaléései Vizsgáljuk meg, hgy az összetett kijelentésekben megfgalmaztt kmlex infmációt hgyan tudjuk felbntani egyszeűbb kijelentésekben megfgalmaztt, elemibb infmációka! Milyen elemi infmációkat tudunk meg abból, hgy Jáns nálunk ját, és megkóstlta a feleségem almás itéjét? Egyészt azt, hgy Jáns nálunk ját; másészt azt, hgy megkóstlta a feleségem almás itéjét. Mit tudunk meg tehát általában egy A & B fmájú kijelentésből? Egyészt azt, hgy A; másészt azt, hgy B. Ha egy kijelentésből egy vagy több másik kijelentést megtudunk, ezt úgy jelezzük, hgy azt, amit megtudtunk, a táblázatban a kijelentés alá íjuk. A & B A B Az ilyen esetekben azt mndjuk, hgy kijelentésünknek knjunktív számazékai vannak: A & B ből mind A t, mind B t megtudjuk. Flytassuk vizsgálódásunkat a negációval! Mit tudunk meg abból, hgy Jáns nem ment el a megnyitóa? Semmi lyat, ami az eedetinél egyszeűbb szekezetű infmáció vlna. Általában: a A fmájú kijelentéseknek csak A belső szekezete ismeetében tudjuk megadni a számazékait. Ha A elemi kijelentés, akk A nak egyáltalán nincsenek számazékai., stb. éúgy elemi infmációnak minősül, mint, stb. Ha visznt A összetett, akk a számazékk A belső szekezetétől függenek. 1
A & B hez hasnlóan knjunktív számazékai vannak éldául a (A B fmájú kijelentéseknek; a nem igaz, hgy ha idejében daéek, mindent el tudk intézni kijelentésből a kndicinálisa adtt sajáts ételmezésünk alaján egyészt megtudjuk, hgy idejében daéek, másészt azt is megtudjuk, hgy nem tudk mindent elintézni. Az ilyen fmájú kijelentések számazékai tehát: (A B A B De nem minden kijelentésfma számazékai knjunktívak. Mit tudunk meg éldául abból, hgy júliusban vagy augusztusban lesz az esküvő? Vagy azt tudjuk meg, hgy júliusban lesz az esküvő, vagy azt, hgy augusztusban lesz az esküvő. Az ilyen esetekben altenatív számazékkól beszélünk, és a számazékkat nem egymás alá íjuk, hanem egymás mellé, vnallal elválasztva. A A B B Ha altenatív számazékk bukkannak fel, az egész táblázat kettéágazik; minden lyan fmulát, amely a kettéágazás fölött, a fő ágban szeeel, az altenatív ágak mindegyikében figyelembe kell venni; és ha a fő ágban nem vettük még fel a számazékait, akk azkat az altenatív ágak mindegyikében fel kell venni. Hasnlóan altenatív számazékai vannak éldául a (A & B fmájú kijelentéseknek is. Abból, hgy nem igaz, hgy Kati szé és buta, vagy azt az infmációt tudjuk meg, hgy Kati nem szé, vagy azt, hgy Kati nem buta. (A & B A B Sajáts helyzetbe keülünk az A B fmájú kijelentésekkel; az ilyeneknek a számazékai ugyanis egyszee knjunktívak és altenatívak. Abból a kijelentésből, hgy Kati akk és csak akk kedves a féjéhez, ha az ajándékt vesz neki, a bikndicinálisa adtt sajáts ételmezésünk alaján vagy egyészt azt tudjuk meg, hgy Kati kedves a féjéhez, másészt azt, hgy a féje ajándékt vesz Katinak, vagy egyészt azt, hgy Kati nem kedves a féjéhez, másészt azt, hgy a féje nem vesz ajándékt Katinak. A B A B A B Külön figyelmet édemel az az eset, amik egy tagadtt kijelentés maga is tagadtt kijelentés. Abból, hgy nem igaz, hgy nem mentem be az előadása, temészetesen azt tudjuk meg, hgy bementem az előadása. A számazéka tehát A. A A Miután láttuk a számazékk fő tíusait, összefglaljuk az összes mndatknnektívumhz és azk tagadásaihz tatzó számazékkat. A fentebb nem tágyalt számazékk ellenőzését az lvasóa bízzuk. A & B A B A B A B A A A B A B A A A B B B (A & B (A B (A B (A B A B A A A A 2
B B B B Egy vagy több kijelentés analitikus táblázatának nevezzük azt az ábát, amit a kiinduló kijelentésből vagy kijelentésekből a számazékk módszees kifejtésével kaunk. A számazékk felíását a táblázat minden egyes ágán addig flytatjuk, amíg fel nem bukkan egy fmula és a tagadása, vagy amíg fel nem vettük az adtt ágn szeelő összes összetett kijelentés minden egyes számazékát. A táblázatszekesztés nts menetét néhány éldán mutatjuk meg. 4.2 Táblázatk szekesztése és kiétékelése 4.2.1 Az analitikus táblázat szekesztésének első éldája legyen a legalavetőbb következtetési sémánk, a mdus nens. Az egyszeűség kedvéét helyettesítsünk a sémába atmi kijelentéseket: {, }. A következtetés akk helytelen, ha a emisszákból és a knklúzió tagadásából ellentmndó infmációkat tudunk meg. Táblázatunkat szekesztését tehát a két emisszával és a knklúzió tagadásával kezdjük: (1 (2 (3 A hám s közül csak az elsőnek vannak számazékai; a másdikban atmi kijelentés, a hamadikban atmi kijelentés tagadása áll. Az első s számazékait felvéve a táblázat két ága bmlik: (1 (2 (3 (4 (1 ből Itt és a következőkben a jbb szélső szlban jelezzük, hgy melyik s számazékai szeeelnek az adtt sban. Mivel a táblázat kettéágaztt, ha lennének tvábbi számazékk, azkat má az egyes ágakban külön külön kellene felvenni. Mivel aznban esetünkben má sem az eedeti fmuláknak, sem maguknak a számazékknak nincsenek tvábbi számazékai egyik ágn sem, mindkét ággal készen vagyunk; az ágak befejezettek. Háta van még a táblázat kiétékelése. A bal ágn megtaláljuk t és t is, a jbb ldaln edig t és t; ezek jelzik a számunka, hgy a emisszákból és a knklúzió tagadásából ellentmndása jutunk. Ha egy analitikus táblázat valamely ágán egy adtt fmulát és annak tagadását is megtaláljuk, akk ezt az ágat zátnak mndjuk. Ha nem találunk ilyen át, akk az ágat nyíltnak mndjuk. Egy fmulahalmaz akk és csak akk ejt magában ellentmndást vagyis kielégíthetetlen, ha kész (csua befejezett ágat tatalmazó analitikus táblázatának minden ága zát. És megfdítva: fmulahalmaz akk és csak akk nem ejt magában ellentmndást vagyis kielégíthető, ha kész analitikus táblázatának van nyílt ága. A zát ágat csillaggal jelöljük: (1 (2 (3 (4 (1 ből Ha egy táblázat minden egyes ágának alján csillagt látunk, akk megállaíthatjuk, hgy a táblázat kiinduló fmulahalmaza kielégíthetetlen. Ha ez a fmulahalmaz egy következtetés emisszáiból és knklúziójából áll, akk megállaíthatjuk, hgy a következtetés helyes. Mint mst, mdus nens sémájú következtetésünk esetében. 3
4.2.2 Temészetesen semmi nem kötelez bennünket aa, hgy az analitikus táblázatkban knkét fmulákat és ne sémákat szeeeltessünk. Az iménti táblázat alábbi váltzata általánsságban is igazlja a mdus nens sémáját: (1 A B (2 A (3 B (4 A B (1 ből A következőkben az analitikus táblázatkat elsősban fmulákkal és nem sémákkal fgjuk használni. Ennek aznban nincsenek elvi kai: a két használat szabályai megegyeznek. 4.2.3 Ellenőizzünk mst egy a kábbi fejezetekből szintén jól ismet helytelen következtetést: {, }. A számazékk a mdus nens táblázatáhz hasnlóan két ágban helyezkednek el: (1 (2 (3 (4 (1 ből A táblázat mindkét ága nyílt. A nyílt és befejezett ágakat köel jelezzük: (1 (2 (3 (4 (1 ből Mivel a táblázatban van nyílt ág, a kiinduló fmulahalmaz kielégíthető; tehát nem lehetetlen, hgy a emisszák igazak, a knklúzió visznt hamis legyen. A táblázatból még azt is kilvashatjuk, hgy mik fdul elő ez a helyzet: akk, amik hamis, visznt igaz. 4.2.4 Az analitikus táblázat eddig tehát megnyugtató eedményeket adtt: a mdus nenst helyesnek, megfdítását helytelennek mutatta. Nézzünk mst egy ányalattal összetettebb éldát! Ellenőizzük analitikus táblázattal a láncszabály egy esetét: {, }. A táblázat elején, mint mindig, a emisszák és a knklúzió tagadása állnak: (1 (2 (3 ( A flytatása hám lehetőségünk is van: felvehetjük bámelyik emissza vagy a knklúzió tagadása számazékait. Melyiket válasszuk? Édemes a hamadikkal kezdeni, met ennek a számazékai még nem elágazók, és így némileg egyszeűbb lesz a táblázatunk: (1 (2 (3 ( 4
(3 ból A számzást itt és a következőkben má csak addig a sig flytatjuk, ahnnan utljáa veszünk fel számazékkat. Mst st keíthetünk éldául az első emissza számazékaia: (1 (2 (3 ( (3 ból (1 ből Végül a másdik emissza számazékait temészetesen mindkét ágban fel kellene vennünk; a bal ágat aznban fölösleges tvább íni, hisz az a, ellentmndó áal má lezáult: (1 (2 (3 ( * (3 ból (1 ből (2 ből Mindkét újabb ágn ellentmndás léett fel, így ezek az ágak is zátak. (1 (2 (3 ( * (3 ból (1 ből (2 ből Minden ág zát, tehát a emisszák ellentmndanak a knklúzió tagadásának. Az analitikus táblázatk módszee a láncszabályn is jól vizsgáztt. Temészetesen más sendben is felvehettük vlna a számazékkat; éldául felülől lefelé haladva: (1 (2 (3 ( 5
(1 ből (2 ből * (3 ból * Szigúan véve tehát nem lehet azt mndani, hgy egy fmulahalmaznak egy analitikus táblázata van; a nem tiviális fmulahalmazk analitikus táblázatát általában száms váltzatban megszekeszthetjük. Ee a kédése a 4.2.6 fejezetben még visszatéünk. 4.2.4 Gyakan előfdul, hgy nem kell minden ágn egészen az atmi számazékkig elmenni a táblázat megszekesztésében ahhz, hgy az ág lezáuljn. Egy kicsit szélsőséges éldaként tekintsük ezt a következtetést: {( ( s, ( s} (. Ennek analitikus táblázatát a fentiek alaján má igen egyszeűen megszekeszthetjük: (1 ( ( s (2 ( s (3 ( ( s (1 ből Itt egyik ág sem befejezett. Ez nem megleő, ha észevesszük, hgy a következtetés a mdus tllens séma egy esete. Ha nem vettük vlna figyelembe, hgy az ágak má lezáultak, és végigvezettük vlna őket az atmi számazékkig, éldául meglehetősen összetett táblázatt katunk vlna. 4.2.5 Az analitikus táblázatkat nem csak következtetések helyességének ellenőzésée használhatjuk, hanem bámely lyan feladata, amely véges fmulahalmaz kielégíthetőségének vizsgálatát igényli. Az előző fejezetben láttuk, hgy a lgika centális fgalmai kivétel nélkül definiálhatók a kielégíthetőség fgalmáa támaszkdva. Az ellentmndásk éldául kielégíthetetlen fmulák; a lgikai igazságk tagadása ellentmndás. Az ekvivalens fmulák közül edig bámelyik kielégíthetetlen fmulahalmazt alkt a másik tagadásával. A 4.3 alfejezetben ilyen éldákat is adunk majd az analitikus táblázat módszeének alkalmazásáa. 4.2.6 Az analitikus táblázatk szekesztése és kiétékelése sán hallgatólagsan elfgadtuk az alábbi metatételeket (vagyis a lgikai eszköztáunk tulajdnságaia vnatkzó tételeket: (1 Egyazn fmulahalmaz analitikus táblázatainak kiétékelése kivétel nélkül ugyanazt az eedményt adja. (2 Minden véges fmulahalmaz tetszőleges analitikus táblázatának véges sk ága van, és ezek az ágak véges sk léés után befejeződnek. (3 Egy véges fmulahalmaz akk és csak akk kielégíthető, ha analitikus táblázatainak van nyílt és befejezett ága. E tételek meghatázásaink alaján a szemlélet számáa nyilvánvalóak, és szabats biznyításuk sem különösebben nehéz; itt és mst aznban eltekintünk tőle. 4.3 Alkalmazási éldák 4.3.1 Helyes e a {( ( & s, ( & ( s} ( ( következtetés? (1 ( ( & s 6
(2 ( & ( s (3 (( ( (4 (3 ból (5 ( (6 (4 ből (7 (7 ből (5 ből Mindkét ág zát; a következtetés tehát helyes. 4.3.2 Kielégíthető e a {( ( s, & s, } fmulahalmaz? (1 ( ( s (2 & s (3 (4 (2 ből (5 s (6 (3 ból (7 (8 ( ( (9 s ( s s ( s * s * Minden ág zát; a fmulahalmaz tehát nem kielégíthető. s * (1 ből (8 ból (9 ből 4.3.3 Lgikai igazság e a ( ( (( fmula? (1 (( ( (( (2 ( ( (1 ből (3 ( (4 (2 ből (5 ( (6 (5 ből (7 (6 ból (8 (3 ból (8 ból 7
Van nyílt és befejezett ág, tehát a fmula tagadása nem ellentmndás; maga a fmula edig nem lgikai igazság. 4.3.4 Ekvivalensek e a ( és a ( fmulák? A két fmula akk és csak akk ekvivalens, ha kölcsönösen következnek egymásból. (1 ( (2 ( ( (3 (2 ből (4 ( (5 (4 ből (6 (7 ( (1 ből * (7 ből * Mindkét ág zát; a ( ( következtetés tehát helyes. (1 ( (2 (( (3 (2 ből (4 (5 (3 ból (6 (1 ből Van nyílt és befejezett ág; a ( ( következtetés tehát helytelen. A táblázatból kilvasható, hgy ha is hamis és is, akk igazságétékétől függetlenül a emissza igaz, a knklúzió visznt hamis. A két fmula nem ekvivalens. 4.4 Feladatk 4.4.1 Fennáll e a {, } következményviszny? 4.4.2 Fennáll e a {, & } következményviszny? 4.4.3 Fennáll e a { (, } következményviszny? 4.4.4 Fennáll e a {( ( s,, s} ( következményviszny? 4.4.5 Lgikai igazság e a (( ( ( fmula? 4.4.6 Ellentmndás e a ( ( ( fmula? 4.4.7 Kielégíthető e a {( &,,, } fmulahalmaz? 4.4.8 Kielégíthető e a { (, ( s, s ( &, } fmulahalmaz? 4.4.9 Ekvivalensek e a ( és a & fmulák? 4.4.10 Ekvivalensek e a ( és a ( fmulák? Megldásk 8
4.4.1m (1 (2 (3 ( * (3 ból (1 ből (2 ből Van nyílt és befejezett ág; a következtetés tehát helytelen. A táblázatból kilvasható, hgy ha igaz, hamis és is hamis, akk a emisszák igazak, de a knklúzió hamis. 4.4.2m (1 (2 & (3 (2 ből (1 ből Mindkét ág zát; a következtetés tehát helyes. Az ellentmndó ák között egyik ágn sem szeeel. Ebből is látható, hgy má a emisszák ellentmndanak egymásnak. 4.4.3m (1 ( (2 (3 ( * (3 ból (2 ből * (1 ből Minden ág zát; a következtetés tehát helyes. 4.4.4m (1 ( ( s (2 9
(3 s (4 ( (5 (4 ből (6 ( s (1 ből (7 * (6 ból (8 s s (2 ből s * s s (3 ból * * * * * * (5 ből Van nyílt ág; a következtetés tehát helytelen. A táblázatból kilvasható: ahhz, hgy a emisszák igazak, a knklúzió visznt hamis legyen, elég, ha mind, mind hamis, valamint és s igazságétéke megegyezik. 4.4.5m (1 ((( ( ( (2 ( ( (1 ből (3 ( (4 (3 ból (5 (6 ( (2 ből (6 ból * Két ág is nyílt és befejezett; a fmula tehát nem lgikai igazság. 4.4.6m (1 ( ( ( (2 ( (1 ből (3 ( (4 (2 ből (3 ból Mindkét ág zát; a fmula tehát ellentmndás. 10
4.4.7m (1 ( & (2 (3 (4 (5 (6 (7 * (2 ből (3 ból (8 * ( & (1 ből * (8 ból Minden ág zát; a fmulahalmaz tehát nem kielégíthető. 4.4.8m (1 ( (2 ( s (3 s ( & (4 (5 ( s (2 ből (6 (5 ből (7 (8 * s & (3 ból (9 * (8 ból (10 (11 * (1 ből (11 ből Van nyílt ág; a fmulahalmaz tehát kielégíthető. A táblázatból kilvasható, hgy ha igaz, hamis, igaz, s edig hamis, akk mind a négy fmula igaz. 4.4.9m (1 ( (2 ( & (1 ből (2 ből 11
Mindkét ág zát; tehát fennáll a ( & következményviszny. (1 & (2 ( (3 (2 ből (1 ből (3 ból Mindkét ág zát; tehát a & ( következményviszny is fennáll. A két fmula ekvivalens. 4.4.10m (1 ( (2 ( ( (3 ( (1 ből (4 (5 (3 ból (6 (7 (2 ből (8 ( ( ( ( Minden ág zát; a ( ( következtetés tehát helyes. (1 ( (2 (( (8 ból (3 (1 ből (4 ( (5 (4 ből (6 (7 ( ( ( (8 * * ( (2 ből (7 ből Minden ág zát; tehát a ( ( következtetés is helyes. Mivel mindkét iányban fennáll a következményviszny, a két fmula ekvivalens. 12