Irányítástechnika II. Nem hivatalos vizsga beugró kérdéssor kidolgozás

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Kar Irányítástechnika II. Nem hivatalos vizsga beugró kérdéssor kidolgozás

Jelen gyűjtő munkát készítette Fölföldi Konrád, a BME KJK hallgatója a lejjebb idézett forrásmunkák alapján. Hálás köszönet illeti Dr. Tettamanti Tamás, egyetemi adjunktus urat, a BME KJK Közlekedés- és Járműirányítási tanszék munkatársát, aki lektorálta a kidolgozást. Budapest, 2016. január 18. Forrásmunkák Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidies Alexandros (2012). Irányítástechnika II. Forrás: Digitális Tankönyvtár, Typotex Kiadó, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem [http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop412a/0018_iranyitastechnika_2/adatok.html] Bokor József (2015). Irányítástechnika II. előadásanyag. Forrás: Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Közlekedés és Járműmérnöki Kar, Közlekedés- és Járműirányítási tanszék [http://kjit.bme.hu/index.php/hu/hallgatoknak/bsc-targyak/iranyitastechnika-ii] Ismeretlen szerző (Ismeretlen évszám). Korábbi beugró kérdéssor kidolgozás. BME KSK, Budapest. - 2 -

Irányítástechnika II. beugró kérdések Alapfogalmak, rendszerek, idő- és frekvencia-tartományi leírása 1) Mi a rendszer szabályozástechnikai szempontból? (EA1) Rendszereknek általánosan az olyan absztrakt objektumokat nevezhetjük, amelyek az őt érő külső, környezetükből jövő hatásokra valamilyen válaszreakciót generálnak. 2) Mikor lineáris egy rendszer? (EA1) Linearitás: A rendszer működésére érvényes a szuperpozíció elve. A rendszert lineárisnak nevezzük, ha a rendszer u1 bemenetre y1 választ, u2 bemenetre y2 választ és u = α*u1 + β*u2 bemenetre y = α*y1 + β*y2 választ generál. Vagyis: lineáris a rendszer, ha összeg és aránytartó. 3) Mit jelent az időinvariancia? (EA1) Időinvariancia: Egy bemenőjelre adott válasz nem függ a bemenőjel alkalmazásának az időpontjától. Ha a rendszer időinvariáns, akkor egy τ időponttal késleltetett impulzusra ugyanazt a válaszfüggvényt adja τ időbeli eltolással. 4) Mit jelent a kauzalitás? (EA1) Kauzalitás definíciója: A generált kimenőjel egy adott időpontban nem függ a bemenőjel jövőjétől. Ha a kimenőjel csak a bemenőjel múltjától függ, akkor a rendszert szigorúan kauzálisnak nevezzük. Magyarán a kauzalitás az ok-okozati összefüggés, amely ez esetben a bemenet és kimenet között áll fenn. - 3 -

5) Soroljon fel lehetséges szabályozási célokat! (EA1) értéktartó szabályozás: Adott jellemző, jel adott értéken tartása (pl. hőmérséklet, vízszint, autó sebessége), miközben a környezeti hatások változnak. követő szabályozás: Adott jellemző, jel előírt módon való időbeli változtatása (pl. gépkocsi útkövetése, robotkar adott pályán való mozgatása). zavarkompenzáció vagy zavarelhárítás: A rendszer viselkedését kedvezőtlenül befolyásoló zavarás hatásának csökkentése. Ilyen pl. az útgerjesztés által okozott rezgések csökkentése az utastérben. 6) Rajzoljon fel egy általános irányítási hatásvázlatot, nevezze meg a benne szereplő jeleket! (EA1) 7) Mit jelent a Dirac δ bemenőjel (definiálja)? (EA1) 1 δ(t) 0 t 8) Mit jelent az egységugrás bemenőjel (definiálja)? (EA1) 1(t) = 0, ha t < 0, 1, ha t 0. 1 1(t) 0 t - 4 -

9) Mi a súlyfüggvény? (EA1) A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvényt a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. Jele: g(t). 10) Mi az átmeneti függvény? (EA1) Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvényt a rendszer átmeneti függvényének nevezzük. Jele: v(t). 11) Írja fel egy lineáris, állandó együtthatós, közönséges differenciálegyenlet általános kifejezését (n edrendű kimeneti [bal] és m-edrendű bemeneti [jobb] oldallal)! (EA1) 12) Hogyan képezzük a lineáris, állandó együtthatós, folytonos idejű, közönséges n- edrendű differenciálegyenletből, a rendszer átviteli függvényét? (EA1) Az átviteli függvényt a differenciálegyenletből kiindulva a Laplace-transzformáció alkalmazásával vezethetjük be. Jelölje egy f(t) függvény Laplace-transzformáltját F(s), azaz Vegyük a differenciálegyenlet Laplace-transzformáltját zérus kezdeti feltételekkel. Ekkor a következő egyenlethez jutunk: amiből átrendezéssel kapjuk, hogy 13) Adja meg az átviteli függvény és a súlyfüggvény kapcsolatát! (EA1) vagyis g(t) = -1 {G(s)}. 14) Hogyan számítható egy lineáris, időinvariáns, kauzális rendszer kimenete, ha ismert a súlyfüggvénye és adott a bemenő jel (zérus kezdeti feltételekkel)? (EA2) - 5 -

15) Definiálja lineáris, időinvariáns, dinamikus, SISO rendszerek zérusait és pólusait! (EA1) Az átviteli függvény alapján definiáljuk a lineáris időinvariáns dinamikus rendszerek zérusait és pólusait. Ha G(s) = b(s) a(s) akkor a b(s) = 0 egyenlet zj (j = 1,...,m) gyökeit a rendszer zérusainak, az a(s) = 0 egyenlet pi (i = 1,...,n) gyökeit pedig a rendszer pólusainak nevezzük. 16) Írja fel egy általánosított 1TP tag időállandós és zérus pólus alakját! Időállandós alak: Zérus-pólus alak: G(s) = A T s + 1 G(s) = b 0 s + a 0 = A T s + 1 T 17) Írja fel egy általánosított 1TP + 1TD tag időállandós és zérus pólus alakját! Időállandós alak: Zérus-pólus alak: G(s) = A d s + A T s + 1 G(s) = b 1 s + b b 1 (s + b 0 A ) d 0 b = 1 T (s + A T T A ) = d s + a 0 s + a 0 s + 1 T 18) Mi a rendszer frekvenciafüggvénye? Hogyan képezhető formálisan az átviteli függvényből? (EA1) Egy rendszer frekvenciafüggvényének a rendszernek szinuszos bemenőjelre, állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük. s = i ω behelyettesítéssel: - 6 -

19) Milyen ábrázolási módot jelent a Nyquist-diagram? (EA1) A frekvenciafüggvény ábrázolásának egyik módja az, amikor az amplitúdó függvényt, mint vektort egy polár koordináta rendszerben ábrázoljuk a hozzátartozó ϕ(ω) függvény segítségével, ahol az A(ω) hosszúságú vektornak a pozitív valós tengellyel bezárt szöge éppen a ϕ(ω) szög. A frekvenciafüggvénynek ezt az ábrázolásmódját Nyquist-diagramnak nevezzük. 20) Milyen ábrázolási módot jelent a Bode-diagram? (EA1) A frekvenciafüggvények egy másik ábrázolásmódja az, amikor az A(ω) amplitúdó függvényt az ω (lg) függvényében ábrázoljuk, decibelben. Ennek alapján a függőleges tengelyen G(iω) db = 20logA(ω) szerepel. Ebben az esetben a φ(ω) fázisfüggvényt külön diagramban, a ω(lg) függvényében ábrázoljuk fokban. Ezt az ábrázolást a rendszer Bode-diagramjának nevezzük. 21) Írja fel egy általánosított 1TP tag átviteli függvényét! Rajzolja fel Nyquistdiagramját a jellemző mennyiségek feltüntetésével! 22) Írja fel egy általánosított 1TD tag átviteli függvényét! Rajzolja fel Nyquistdiagramját a jellemző mennyiségek feltüntetésével! G(s) = A ds Ts + 1-7 -

23) Írja fel egy általánosított 1TI tag átviteli függvényét! Rajzolja fel Nyquistdiagramját a jellemző mennyiségek feltüntetésével! 24) Írja fel egy általánosított 1TP tag átviteli függvényét! Rajzolja fel Bodediagramját a jellemző mennyiségek feltüntetésével! - 8 -

25) Írja fel általánosított 0TD és 0TI tagok átviteli függvényét! Rajzolja fel Bode diagramjukat a jellemző mennyiségek feltüntetésével! - 9 -

26) Írja fel egy általánosított 1TD tag átviteli függvényét! Rajzolja fel Bodediagramját a jellemző mennyiségek feltüntetésével! 27) Írja fel egy általánosított 1TI tag átviteli függvényét! Rajzolja fel Bodediagramját a jellemző mennyiségek feltüntetésével! - 10 -

28) Fogalmazza meg egy lineáris, időinvariáns, dinamikus rendszer stabilitásának három ekvivalens feltételét! (EA2) 1. A rendszer súlyfüggvénye abszolút integrálható, és abszolút integrálja korlátos. 2. A rendszer átviteli függvényének pólusai a baloldali komplex félsíkon helyezkednek el, azaz Re pi < 0, i, ahol pi a G(s) pólusa. 3. A súlyfüggvény határértéke zérus, azaz 29) Mit jelent a BIBO stabilitás? (EA1) Stabilis rendszerek korlátos (Bounded) bemenőjelekre korlátos kimenőjellel válaszolnak. Az ilyen tulajdonsággal bíró rendszereket bemenet - kimenet stabilisnak nevezzük (angolul Bounded Input - Bounded Output: BIBO stabilisnak). - 11 -

Soros kompenzálás, robusztus stabilitás, zárt szabályozási körök minőségi jellemzői 30) Írja fel az alábbi tagok eredő átviteli függvényét! 31) Vigye be a referencia jel erősítését (prefilter) a zárt hurokba! P G(s) 1/P - 12 -

32) Mi a hurokátviteli függvény? (EA2) G H (s) = C(s) G(s) S d (s) 33) Mikor stabil a zárt rendszer (átviteli függvénye alapján)? (EA2) A zárt rendszer feljebb írt átviteli függvényét véve a zárt rendszer akkor és csak akkor stabilis, ha pólusai a baloldali komplex félsíkon helyezkednek el, tehát az 1+GH(s) = 0 egyenlet p1,..., pn gyökereire teljesül a Re pi <0, i=1,...,n feltétel, ahol n a GH(s) pólusainak száma. 34) Pontosan fogalmazza meg, és szemléltesse Nyquist stabilitási kritériumát! (EA2) A Nyquist szabályozási kritérium a felnyitott hurok átviteli függvénye alapján képes a zárt rendszer stabilitásáról képet adni. Tegyük fel először, hogy az átviteli függvénynek nincsenek jobboldali pólusai. Ha a GH(iω) frekvenciafüggvény épp átmegy a komplex számsík 1 pontján, azaz GH(iω0) = 1, akkor ω0 körfrekvencián a zárt rendszerben csillapítatlan lengések keletkeznek. Ekkor azt mondjuk, hogy a zárt rendszer a stabilitás határán van. Rajzoljuk meg a frekvenciafüggvényt a < ω < tartományra. (A negatív frekvenciákra a függvény a pozitív frekvenciákra ismert módon levezetett függvényeknek a valós tengelyre vett tükörképe lesz.) Ha a felnyitott hurok GH(iω), < ω < frekvenciafüggvénye a növekvő frekvenciák irányába haladva: nem veszi körül a ( 1; 0) pontot: a zárt rendszer stabilis, átmegy a ( 1; 0) ponton: a zárt rendszer a stabilitás határán van, körülveszi a ( 1; 0) pontot: a zárt rendszer labilis. 35) Pontosan fogalmazza meg, és szemléltesse Bode stabilitási kritériumát! (EA2) A stabilitás analízist a Bode diagram alapján is elvégezhetjük, ezek az ún. Bode-stabilitási kritériumok. A Bode szabályozási kritérium a felnyitott hurok átviteli függvénye alapján képes a zárt rendszer stabilitásáról képet adni. Ha a felnyitott hurok átviteli függvénye GH(iω), 0 < ω < amplitúdó Bode diagramja: - 13 -

36) Mi a fázis és erősítési tartalék (definiálja és szemléltesse)? (EA2) A zárt szabályozási körök stabilitásával kapcsolatban bevezetjük a ϕ t fázistartalék és a κt erősítési tartalék fogalmát. Fázistartalék: ϕ t =180 +ϕ(ω C ), látható, hogy ϕt > 0 ha ϕ(ωc) > 180. Erősítési tartalék: a κt erősítési tartalék azt mutatja, hogy mennyivel tudjuk még növelni a statikus körerősítést, úgy, hogy épp a stabilitás határára kerüljön a rendszer. - 14 -

37) Írja fel az alábbi rendszerre az érzékenységi és kiegészítő érzékenységi függvényt! (EA3a) 38) Mutasson rá az érzékenységi és kiegészítő érzékenységi függvény kapcsolatára! Ábrázolja őket jellemző formájuk alapján! (EA3a) 39) A zárt rendszer milyen jellemzőit olvashatjuk le a súly- és átmeneti függvényének ábráiról? (EA3a) beállási érték, jele: y( ) szabályozási idő, jele: Tsz szabályozási eltérés, jele: e( ) túllendülési idő, jele: tm túllendülés mértéke, jele: p - 15 -

40) Hogyan becsülhetjük a szabályozási időt frekvenciatartományból? (EA3a) ω c ω b π T ω SZ 3π c ω c 41) Milyen átviteli függvény alapján tervezzük a soros kompenzátort? (EA3b) Soros kompenzátor tervezése a felnyitott hurok GH(iω) =C(iω)G(iω) frekvencia függvényének Bode diagramja alapján adott fázistartalék biztosítására történik. 42) Mi a soros kompenzátor tervezésének célja? (EA3b) Stabilitás biztosítása Minőségi kritériumok biztosítása 43) Mi a soros kompenzátor tervezésének módja (tervezés lépései)? (EA3b) 1.) Eldöntjük, hogy milyen kompenzátort és milyen fázistartalékkal kívánunk tervezni. 2.) A tervezendő konstans (A, Ad, AI) egység értékére felrajzoljuk a felnyitott hurok Bode diagramját. 3.) Leolvassuk a kitűzött ϕt fázistartalékhoz tartozó x amplitúdó értéket és x használatával meghatározzuk az A vagy Ad vagy AI konstans értékét. 4.) Megvizsgáljuk a zárt (szabályozott) rendszer minőségi tulajdonságait. 44) Mi a szerepe a soros kompenzátorban az arányos, integráló és differenciáló tagnak? (EA3b) 0TP arányos (A) tag: gyorsítja a rendszert, de nem biztosít zérus követési hibát (kivéve, ha a rendszer eleve integráló tulajdonságú). 0TD (Ad s) differenciáló tag: jelentősen gyorsítja a rendszert, de a zajokat erősíti, ezért önmagában nem használják. 0TI (AI /s) integráló tag: zérus követési hibát biztosít, de lassítja a rendszert. 45) Mit jelent a beállási érték (szemléltesse a zárt rendszer átmeneti függvénye alapján)! (EA3b) - 16 -

46) Mit jelent a szabályozási idő (szemléltesse a zárt rendszer átmeneti függvénye alapján)! (EA3b) 47) Mit jelent a szabályozási eltérés (szemléltesse a zárt rendszer átmeneti függvénye alapján)! (EA3b) 48) Mit jelent a túllendülési idő és a túllendülés mértéke (szemléltesse a zárt rendszer átmeneti függvénye alapján)! (EA3b) 45.-48. ábra: - 17 -

49) Mit jelent a rezonancia csúcs és a rezonancia frekvencia (szemléltesse a zárt rendszer Bode diagramja alapján)! (EA3b) 50) Mit jelent a sávszélesség (szemléltesse a zárt rendszer Bode diagramja alapján)! (EA3b) 49.-50. ábra: - 18 -

51) Mit jelent a vágási körfrekvencia (szemléltesse a zárt rendszer Bode diagramja alapján)? (EA3b) Az a frekvenciaérték, melynél az amplitúdó függvény a 0 db-es tengelyt metszi a Bode-diagramban. 52) Mit jelent, ha egy szabályozó robusztusan stabil? (EA4) Szabályozási rendszer tervezésének gyakorlati problémája az, hogy a G(s) aktuális rendszer átviteli függvényének pontos alakja nem ismert, s emiatt helyette annak közelítő, ún. névleges (nominális) GN(s) modelljét kell felhasználni. Ekkor a C(s) szabályozót a névleges modell alapján kell megtervezni úgy, hogy az ne csak a névleges modell, hanem az aktuális rendszer stabilitását is garantálja. Ezt robusztus stabilitásnak nevezzük. Vagyis C(s) szabályozó robusztusan stabil ha egyaránt garantálja a névleges, és az aktuális rendszer stabilitását. 53) Értelmezze az additív és multiplikatív hibákat! Mi a kapcsolat a két hibafüggvény között? (EA4) Additív hibastruktúra: a G(s) aktuális rendszer és a GN(s) névleges rendszer közötti eltérést additív hibastruktúrájúnak nevezzük, ha a következő összefüggés teljesül: G(s) = GN(s)+ A(s), ahol A(s) az additív hiba átviteli függvénye. Multiplikatív hibastruktúra: a G(s) aktuális rendszer és a GN(s) névleges rendszer közötti eltérést multiplikatív hibastruktúrájúnak nevezzük, ha a következő összefüggés teljesül: G(s) = GN(s)(1+ M(s)), ahol M(s) a multiplikatív hiba átviteli függvénye. (1TP tag) Összefüggés: G N (s) = 54) Rajzolja fel a valós rendszer blokkdiagramját, és írja fel átviteli függvényét multiplikatív hibastruktúra esetén! (EA4) - 19 -

55) Rajzolja fel a valós rendszer blokkdiagramját, és írja fel átviteli függvényét, additív hibastruktúra esetén! (EA4) 56) Írja fel pontosan a multiplikatív robusztussági tesztet! (EA4) Legyen GN(s) az ismert névleges modell, amelyet a tervezett C(s) soros kompenzátor stabilizál. Tegyük fel, hogy a névleges modell és az aktuális rendszer közötti multiplikatív hiba felső korlátját a teljes ω frekvenciatartományban ismerjük. Ekkor a névleges modellre tervezett szabályozó az aktuális rendszer stabilitását is biztosítja, ha a következő feltétel teljesül: Ez a robusztus stabilitás feltétele multiplikatív hibastruktúra esetén. 57) Írja fel pontosan az additív robusztussági tesztet! (EA4) Legyen GN(s) az ismert névleges modell, amelyet a tervezett C(s) soros kompenzátor stabilizál. Tegyük fel, hogy a névleges modell és az aktuális rendszer közötti additív hiba felső korlátját a teljes ω frekvenciatartományban ismerjük. Ekkor a névleges modellre tervezett szabályozó az aktuális rendszer stabilitását is biztosítja, ha a következő feltétel teljesül: Ez a robusztus stabilitás feltétele additív hibastruktúra esetén. - 20 -

Állapottér elmélet 58) Mit nevezünk állapotnak (definíció szerint)? (EA5) A rendszer állapota egy t0 időpontban az az információ (olyan jelek ismerete), amelyből az u(t), t t0 bemenőjel ismeretében a rendszer válasza minden t t0 időpontra meghatározható. 59) Írja fel egy rendszert leíró állapotdinamikai és megfigyelési egyenletek általános alakját! (EA5) 60) Írja fel egy n állapotú, irányíthatósági állapottér reprezentáció általános alakját! (EA5) Ha egy rendszer átviteli függvénye G(s) = b(s)/a(s) alakú, ahol a(s) = s n +an 1s n 1 +...+a1s+a0 és b(s) = bn 1s n 1 +...+b1s+b0, akkor az (Ac,bc,c T c) állapottér reprezentációban az Ac mátrix legelső sorát az a(s) polinom együtthatóiból, a c T c vektort pedig a b(s) polinom együtthatóiból képezzük. 61) Írja fel egy n állapotú, diagonális állapottér reprezentáció általános alakját! (EA5) - 21 -

62) Írja fel egy n állapotú, megfigyelhetőségi állapottér reprezentáció általános alakját! (EA5) 63) Hogyan határozható meg egy állapottér dimenziója, a rendszer átviteli függvénye alapján? (EA5) Ugyanez hogyan határozható meg az állapotvektor alapján? (EA6a) a.) Az átviteli függvény nevezőjének fokszáma n megegyezik az x(t) állapotvektor dimenziójával, azaz n = deg{a(s)} = dim{x(t)}. b.) Egy (A,b,c T ) állapottér reprezentáció dimenziójának az állapottér dimenzióját nevezzük: n=dim{x(t)}. 64) Írja fel állapottér hasonlósági transzformációjának összefüggéseit, ha: x új = T x. Mi a transzformáció létezésének feltétele? (EA5) Aúj =TAT 1, búj =Tb, cúj = c T T 1 A transzformáció létezésének feltétele, hogy T-nek legyen inverze. 65) Hogyan módosul az állapottér dimenziója hasonlósági transzformáció során? (EA5) Nem módosul. - 22 -

66) Írja fel az állapottér-transzformáció mátrixát, ha általános alakról irányíthatósági alakba kívánunk áttérni! (EA6b) 67) Írja fel az állapottér transzformáció mátrixát, ha általános alakról diagonális alakba kívánunk áttérni! (EA6b) 68) Hányféle állapottér felírása létezik egy G(s) átviteli függvénnyel jellemzett dinamikus rendszernek? (EA8) Végtelen sok, mivel a dinamikus rendszer adott állapottér-reprezentációja nem egyértelmű. - 23 -

69) Rajzolja fel egy állapottér reprezentációjával megadott rendszer általános blokkdiagramját! (EA6a) 70) Vezesse le az (A, b, c T ) állapottér reprezentáció felhasználásával, a rendszer átviteli függvényét! (EA6a) 71) Hogyan állapítható meg egy állapottér-reprezentációjával megadott rendszer stabilitása/instabilitása? (EA6a) Ha adott egy A R n n mátrix, akkor a det(si A) = 0 egyenlet gyökei az A mátrix sajátértékei. A stabilitáselméletből tanultak alapján a rendszer stabilis, ha pólusai a baloldali komplex félsíkon helyezkednek el, tehát: Az (A,b,c T ) reprezentáció stabilis, ha az A mátrix sajátértékei a baloldali komplex félsíkon helyezkednek el. 72) Mi egy (A, b, c T ) rendszer karakterisztikus polinomja? (EA6a) - 24 -

73) Mi a karakterisztikus egyenlet (írja fel általános alakját n dimenziós állapottérre)? Mik a megoldásai? (EA6a) Gyökei az A mátrix sajátértékei (λ1, λ2, λn), azaz az átviteli függvény pólusai. 74) Adja meg az állapot irányíthatóság definícióját! (EA6a) Egy (A,b,c T ) állapottér-reprezentációval adott rendszert teljesen irányíthatónak nevezünk, ha a rendszer véges T idő alatt az x(0) állapotból egy tetszőleges x(t), x(t) x(0) állapotba vihető az u(t), t t0 irányítással. 75) Adja meg az állapot megfigyelhetőség definícióját! (EA6a) Egy (A,b,c T ) állapottér-reprezentációval adott rendszert teljesen megfigyelhetőnek nevezünk, ha x(t) állapota minden t t0 időpontra meghatározható a rendszer jövőbeni u(t) bemenő- és y(t) kimenőfüggvényeinek ismeretében. 76) Írja fel egy n állapotú rendszer irányíthatósági mátrixának általános alakját! Hogyan szól a Kálmán-féle rangfeltétel, az irányíthatóságra vonatkozóan? (EA6a) Irányíthatósági mátrix: Cn(A,b) = [ b Ab... A n 1 b ] Kálmán-féle rangfeltétel: Egy (A,b,c T ) állapottér reprezentáció irányítható akkor és csak akkor, ha rang{cn (A,b)} = n. 77) Írja fel egy n állapotú rendszer megfigyelhetőségi mátrixának általános alakját! Hogyan szól a Kálmán-féle rangfeltétel a megfigyelhetőségre vonatkozóan? (EA6a) Megfigyelhetőségi mátrix: O(c T, A) Kálmán-féle rangfeltétel: Egy (c T,A) pár megfigyelhető akkor és csak akkor, ha a megfigyelhetőségi mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz rang {O(c T, A) }= n. - 25 -

78) Mikor minimális egy állapottér reprezentáció? (EA6a) Egy rendszer (A,b,c T ) állapottér reprezentációja minimál reprezentáció, ha együttesen irányítható és megfigyelhető, azaz rang{cn (A,b)} = n és rang {On(c T, A) }= n. 79) Hogyan határozható meg a rendszer súlyfüggvénye, az állapottér reprezentáció ismeretében? A rendszer súlyfüggvényét az állapottér reprezentáció ismeretében a következőképp kapjuk: Állapot visszacsatolás g(t) = c T e At b. 80) Rajzolja fel az állapot visszacsatolással ellátott általános állapottér reprezentáció blokksémáját! (EA7) 81) Mi az állapot visszacsatolás tervezhetőségének feltétele? (EA7) A tervezhetőség feltétele, hogy az (A, b, c T ) rendszer irányítható legyen. 82) Hogyan választjuk meg a rendszer u bemenő jelét, állapot visszacsatolás esetén? (EA7) - 26 -

83) Hogyan módosul az állapottér reprezentáció A mátrixa állapot visszacsatolás alkalmazásakor? (EA7) A zárt = A b k T 84) Írja fel a módosított A mátrixú állapottér reprezentáció karakterisztikus egyenletét! (EA7) a (s) = (si A + bk T ) = s n + a n 1 s n 1 + + a 1s + a 0 a i = a i + k i ahol i = 0, 1,... n 1 85) Milyen összefüggéssel határozhatók meg a k T c erősítésvektor elemei az irányíthatósági alakban tervezett állapot visszacsatolás esetén? Magyarázza meg az alkalmazott jelöléseket! (EA7) A kompenzátor elemeinek számítása: k i = a i a i, i = 0,, n 1 ahol ai-k az eredeti, míg a i-k a módosított karakterisztikus polinom együtthatói. 86) Hogyan módosul a k T vektor, ha nem az irányíthatósági állapottér reprezentációra tervezzük a szabályozót? (EA7) A tervezés eredményeként egy olyan kc állapot-visszacsatolást tervezünk, amely az irányíthatósági állapottér reprezentációra működik. A tervezett állapot-visszacsatolt erősítőt vissza kell transzformálni az eredeti rendszer állapotterére. A transzformálás összefüggése az alábbi: 87) Mik az állapot visszacsatolás tervezésének lépései? (EA7) 1. A rendszer irányíthatóságának ellenőrzése 2. Az eredeti rendszer karakterisztikus polinomjának számítása 3. A Tc irányíthatósági alakba transzformáló mátrix meghatározása 4. Az új pólusok előírása, a szabályozott rendszer karakterisztikus polinomjának kiszámítása 5. Az irányíthatósági alakra vonatkozó erősítések számítása 6. A kapott erősítés vektor visszatranszformálása az eredeti állapottérbe - 27 -

7. A zárt, szabályozott rendszer időtartományi viselkedésének elemzése Állapot megfigyelő, diszkrét idejű rendszerek 88) Mikor és miért szükséges állapot megfigyelő alkalmazása? (EA8) Olyan esetben szükséges állapotmegfigyelőt használni, amikor nem lehetséges az állapotvektor minden elemének mérése állapotvisszacsatolt szabályozó alkalmazásához. Ekkor egy olyan x (t) mennyiséget képzünk, mely asszimptotikusan közelíti az eredeti állapotot, tehát x (t) x(t) miközben t. Azaz a rendszer bemeneteinek és kimeneteinek mérése alapján a megfigyelő képes a rendszer állapotainak reprodukálására. 89) Milyen információkat használunk fel a rendszer állapotainak becsléséhez? (EA8) A rendszert leíró állapottér mátrixokat (A, b, c T ), a rendszer u(t) bemenetét, illetve a rendszer y(t) kimenetét. 90) Mi az állapot megfigyelő tervezésének feltétele? (EA8) Akkor és csak akkor feltétel áll fenn, (c T, A) párnak megfigyelhetőnek kell lennie. Egy (c T,A) pár megfigyelhető akkor és csak akkor, ha a megfigyelhetőségi mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz rang {O(c T, A) }= n. - 28 -