Tigonoetius egenlôtlensége II ész 7 90 a) a in = ezt ao veszi fel ha = Hozzun özös nevezôe alaítsu át a övetezô alaúa: a () = sin cos sin cos + = sin + sin bin = ezt ao veszi fel ha = Mivel b ()> 0 a egadott intevalluon ezét J N pontosan ott van a iniua ahol a négzeténe b () K = f = cos sin O J N = + 8 sin cos sin cos K sin sin O c) cin = + ezt ao veszi fel ha = Alalazzu a szátani és étani özép özötti egenlôtlenséget a pozitív és -e! Kapju hog + sin cos sin cos Itt egenlôség ao és csa ao van ha = Mutassu eg sin cos sin cos hog ez = -nél teljesül! Tehát c () + = f sin cos sin cos sin + + d) din = + ezt = -nél veszi fel Hasonlóan jáhatun el sin int az elôzô feladat egoldásánál e) A ifejezés iniua + és ezt = -nél veszi fel A ifejezést hozzu a övetezô alaúa: + + Alalazzu az cos sin sin cos elsô ét taga a szátani és étani özép özötti egenlôtlenséget apju hog + cos + + + + sin sin cos cos sin sin cos sin sin n 9 K a = és ezt = = f = n= a + b -nél veszi fel Alalazzu az a b # sin + cos iset és önnen igazolható egenlôtlenséget! sin cos # sin cos # sin + cos sin n- + cos n sin n+ cos # sin n- cos n# sin n cos # Adju össze ezen egenlôtlenségeet apju hog: K # a`sin + cos j+ `sin + cos j+ f + `sin n+ cos nj = n = ( + + f + ) =
7 Tigonoetius egenletendszee 9 a) aa = 8 és ezt = J -nál veszi fel a () cos cos N = - cos K O Alalazzu e háo ténezôe a szátani és étani özép özötti egenlôtlenséget! J N cos + cos + - cos cos cos - cos # K O Ebbôl övetezi hog a ()# 8 8 Egenlôség ao és csa ao van ha cos cos ba = ezt ao veszi fel 7 a függvén aio = ac cos 0 8 b () = cos cos ( - cos ) ezután hasonlóan 8 jájun el int az elôzô feladatnál c) ca = és ezt ao veszi fel ha 7 ac sin = 0 797 Hasonlóan oldhatju eg int az elôzô ét feladatot A övetezôben is l n p q u v tetszôleges egész száoat jelentene Tigonoetius egenletendszee 9 = ( - l) = ( + l) 9 a) Adju össze az egenletendszet! l n =- + p =- + u = l = n = q = v Adju össze az egenletendszet! = = 0 57+ p 8889+ u 95 a) l n q v l n 9 a) Fejezzü i a ásodi egenletbôl -t és helettesítsü be az elsô egenletbe ajd alalazzu a egfelelô összegzési tételt! Használju fel a onstans eltün-
Tigonoetius egenletendszee 7 tetésée az = sin + cos azonosságot ajd osszu el az egenletet cos -szel aio ez ne nulla! Kapun tg -e eg ásodfoú egenletet (Mutassu eg hog cos ne lehet nulla!) = l l Hasonlóan jáhatun el int az elôzô feladatban a végén is eltééssel Uganis a végén endezzü nulláa az egenletet és alaítsu szozattá! 97 a) Hasonlóan ezdhetjü el int az elôzô ét feladatot A továbbiaban az összegzési tétel alalazása után cos -nal osszu el az egenletet (ha -et fejeztü =- + i oábban)! 5 0 c) d) = 0 + l 98 a) l 0 =- + Fejezzü i -et az elsô egenletbôl és helettesítsü be a ásodi egenletbe! Alalazzu a egfelelô összegzési tételt szoozzun a nevezôvel endezzü nulláa az egenletet ajd alaítsu szozattá! 7 5 l 5 =- + l =- + 0 Hasonlóan ezdhetjü el int az elôzôeet itt tg -a ásodfoú egenletet apun c) Az egenletendszene nincs egoldása a valós szápáo halazán Hasonló ódszeel oldhatju eg int az elôzôt d) Az egenletendszene nincs egoldása a valós szápáo halazán = 99 * = l ^ sin h + cos = sin + cos = Másészt a n sin cos + = azonosság négzete eelése után aphatju hog sin + cos = sin cos Íg - sin cos = Foltassu!
7 Tigonoetius egenletendszee 00 5 l n =- + p sin + cos = sin + cos = ^sin h + ^ cos h = f= _ sin + cos i = Íg sin = sin cos Használju fel hog sin cos és cos ezeet beíva az elôbbi egenletendsze elsô egenletébe ajd endezve az egenletet azt apju hog cos = 0 07 + 0 Vegü figelebe hog az elsô egenlet a n l = J N övetezô alaa hozható: sin( + ) = sin -( -) K O l 0 a) 5 l 0 Fejezzü i az elsô egenletbôl -et ajd ezt helettesítsü be a ásodi egenletbe! Alalazzu a egfelelô összegzési tételt ajd szoozzun a nevezôvel és tg -a apun eg ásodfoú egenletet =- + =- + l 7 9 l l 9 0 l 9 5 + 5-5 - 5 - = = 0 5-5 - 5 + 5 - = = Az elsô egenletbôl aphatju hog = A ásodi egenletet endezzü át úg hog az agánosan álljon a jobb oldalon! Majd alalazzu a bal oldala a egfelelô összegzési tételt! Vegü ajd figelebe a egoldásnál hog > 0 és > 0 ezét az összegü is pozitív
Tigonoetius egenletendszee 75 =- + 05 p 5 l n q =- + u 5 A ásodi egenletbôl hatáozzu eg -et és ezt helettesítsü be az =- + v elsô egenletbe! =- 0 =- Fejezzü i az elsô egenletbôl -t és helettesítsü be a ásodi z egenletbe! Szoozzun a nevezôvel és apun -e eg ásodfoú egenletet Enne ao és csa ao van valós egoldása ha a disziinánsa nenegatív 07 Használju fel hog cos sin és =- + l =- + cos= cos - Ezeet behelettesítve apju hog sin - cos = ezt alaítsu szozattá ajd használju fel a ási egenletet és apju hog: sin + cos = Oldju sin - cos = eg a egenletendszet! sin + cos = l = 08 ) = Az elsô egenletbôl apju hog = ezt he- l lettesítsü be a ásodi egenletbe és oldju eg az egenletet! 09 a) A ásodi egenletet alaítsu át a övetezô ódon: + - + sin cos = l Fejezzü i az elsô egenletbôl -t és helettesít- =- - l
7 Tigonoetius egenletendszee sü be a ásodi egenletbe alalazzun eg egfelelô összegzési tételt ajd endezés után osszu el az egenletet + -al! 5 l 0 a) =- + 7 Hasonló ódon is egoldhatju =- + l int az elôzô feladatot c) d) ( + l) a) Adju össze a ét egenletet ajd alalazzu a egfelelô ( -l) ( + l) összegzési tételt! =- + ( + l) Használju fel a tangens ( l-) ( l) =- + - definícióját! Majd az elsô egenletet használju fel a ásodi egenlet átalaításában és apju hog: cos cos = Ezt adju össze elôszö az elsô egenlettel ajd ásodszo pedig vonju i belôle az elsô egenletet apju a övetezô egenletendszet: cos cos + sin sin = Alalazzu a egfelelô összegzési tételeet ajd oldju cos cos - sin sin =- 5 ( + l) 7 eg az egenletendszet! c) ( + l) 5 5 Elôszö ad- ( -l) ( l) =- + - 0 0 ju össze a ét egenletet ajd ásodszo vonju i egásból a ét egenletet! Eo eg újabb egenletendszet apun Alalazzu a egfelelô összegzési tételeet és eo isét 5 ( + l) újabb egenletendszet apun aelet á önnen egoldhatun d) ( l-) =- + ( + l) ( + l) 5 ( + l) 5 5 Hasonlóan =- + ( - l) ( l) - ( l) =- + - oldhatju eg int az elôzô feladatot
Tigonoetius egenletendszee 77 =- + n l =- + l =- + n Az elsô egenletet alaítsu át a övetezô alaúa a egfelelô azonos- =- + ság segítségével: ( cos + cos ) = Fejezzü i innen például cos étéét és helettesítsü be a ásodi egenletbe! a) =- + 5=- + p =- + p 7 p 5 5 5 =- + n n 5 =- + n 7 8 p 5 Alalazzu a övetezô azonosságoat: cos sin 8=- + n cos= cos - Ezeet felhasználva az elsô egenletbôl a övetezôt apju: sin + cos = Oldju eg a ásodi egenletbôl és az új egenletbôl apott egenletendszet! 5 =- + ( -) ( ) ( + ) =- + ( + ) 7 ( p+ ) - ( p ) =- + - ( p+ ) 7 A ásodi egenletet a övetezô alaa hozhatju a szinuszo ( p-) + - összegéne szozattá alaításáa való azonosság segítségével: sin cos = ebbôl az elsô egenlet felhasználásával apju hog: cos( - ) = 5 ( + n) =- + ( n+ ) a) 5 ( n-) ( n ) =- + -
78 Tigonoetius egenletendszee 7 ( + n) ( + n) 7 Mindét egenletet alaítsu =- + ( n- ) ( n ) =- + - + - át a egfelelô azonosságo segítségével a övetezô alaúa: cos sin = - + - + = cos cos = Osszu el egással a ét új egenletet - ( n+ ) és apju hog: tg = - ( + n) ( -n) ( n) - ( + p) ( + p) ( -p) ( p) - ( + n) 5 ( + n) 5 5 a) 0 ( + n) 5 7 ( -n) ( n) - ( n) 0-7 ( + n) 5 Használju fel a tangens és a otangens definícióját! egen a = és ( -n) J N b K O Eo az elsô egenletet a övetezô alaa hozhatju: sin ( + ) = a cos cos Míg a ásodi egenletet a övetezô alaa hozhatju: sin ( + ) = b sin sin Ezeet alaítsu át ég a övetezô ódon: () sin ( + ) = a cos ( - ) + a cos ( + ) és () sin ( + ) = b cos ( - ) - b cos ( + ) Az () egenletet szoozzu b-vel a () egenletet szoozzu a-val ajd a apott elsô egenletbôl vonju i a apott ásodi egenletet apju hog: (b - a) sin ( + ) = a b cos ( + ) ebbôl (*)tg ( + ) = b - Ha a a b ost összeadju a b-vel illetve a-val való szozás után apott egenleteet ao azt apju hog (**) (a + sin ( + ) = a b cos ( - ) A (*) és (**) egenletebôl álló egenletendszet á önnebben egoldhatju fôleg ha visszahelettesítjü a illetve b étéeit ( n+ ) 5 ( + n) =- + ( + n) ( n) =- + -
( ) ( ) n n 5 + - ( ) ( ) n n + - a) A ásodi egenletet alaítsu át a övetezô alaúa: ( ) ( ) cos cos + + - _ b i l 5 0 5 =- - Alaítsu át a ásodi egenletet a övetezô alaúvá: ( ) ( ) cos cos 8 - - + = - _ i 7 a) =- - 8 a) = l l =- 9 = 0 a) a) 5 =- - =- + ( ) ( ) + - ( ) ( ) =- + + =- + - Alalazzu a tangens definícióját eo apju a ásodi egenletbôl hog cos cos = ha felhasználju özben az elsô egenletet is Adju össze az új egenletet az elsô egenlettel apju hog cos cos sin sin + = Ezután a oábban apott egenletbôl ost vonju le az elsô egenletet apju hog: cos cos sin sin - =- Tigonoetius egenletendszee 79
80 Néhán nehezebb tigonoetiai feladat Majd alalazzu a egfelelô összegzési tételeet és a apott új egenletendszet á önnen egoldhatju = ( - n+ ) = ( n+ -) Adju össze az elsô ét egenletet ajd ebbôl vonju le a z= ( + n--) haadi egenletet! Kapju hog sin + sin - sin z+ sin( + + z) = 0 ( sin + sin ) + _ sin( + + z) - sin zi = 0 Alaítsu szozattá a záójeles ifejezéseet: + - + + z+ z + + z- z sin cos + cos sin = 0 + J - + + z N sin cos + cos = 0 K O Alaítsu szozattá a záójeles ifejezést! Kis + + z + z átalaítás után apju hog sin cos cos = 0 Ebbôl elôbb-utóbb: + = = + z + z n Oldju eg a apott egszeû egenletendszet! Néhán nehezebb tigonoetiai feladat = 0 ( = l Gondolju eg hog + - # Alalazzu a negatív itevôjû hatván definícióját szoozzun a nevezôvel endezzü nulláa és oldju eg a -e ásodfoú egenlôtlenséget! Vegü észe hog teljes négzetet alaíthatun i: ( - ) # 0 ebbôl övetezi hog = azaz = 0 5 A háoszög oldalai 5 egségnie a szögei 558 88 egen az n - hosszúságú oldallal szeözti szög az n + hosszúságú oldallal szeözti szög eo az n hosszúságú oldallal szeözti szög 80 - A szinusztételt alalazva n + sin n + = ebbôl elôbb-utóbb cos = Alalazzu a oszinusztételt! n - sin n - _ n - i n + = n + _ n+ i - n_ n+ i cos Ebbôl cos = Ha összevetjü a ( n + ) cos -e apott ét egenletet ao azt aphatju a apott egenlet egoldása után hog n = 5 egen K az AlBl szaasz felezôpontja OK = OK J N = sin - a OA K O = Ezebôl a = 5-0 ( = 5 ) = tg5 - tg0 = tga és íg t = = tga= = + tg5 tg0 = f = b- l