sza és kever sraégák sza sraéga: Az -edk áékos az sraégá és ez alkalmazza. S sraégahalmazból egyérelműen válasz k egy eknsük a kövekező áéko. Ké vállala I és II azonos erméke állí elő. Azon gondolkodnak, hogy érdemes-e az érékesíés növelése érdekében közös reklámhadárao kezden. A ké vállala leheséges sraégá ezek szern: a kamányban rész venn (R), lleve nem rész venn (NR). A kfzeés márx legyen az alább: R II-es vállala I-es vállala R ( 5 ;5) ( ;6 ) NR NR ( 4 ;) ( 0 ;0) Könnyen beláhaó, hogy a áéknak nncs megoldása. Ilyen eseekben segí a kever sraégák alkalmazása. Kever sraéga: m együk fel, hogy az -edk áékos m db sza sraéga közül válaszha: S { s, s,..., s },,...,n. Kever sraégának nevezzük a, vekor, ahol 0,,,..., m, M m ; az a valószínűsége elen, amellyel az -edk áékos a -edk sraégá válasza.
Ennek szellemében a sza sraéga olyan kever sraéga, amelye valószínűséggel válaszanak. Ké áékos és ké sraéga eseében ez az elen, hogy az I-es áékos az egyk sraégáá valószínűséggel, a máska edg valószínűséggel válasza; a II-es áékos ennek megfelelően sraégá q és q valószínűségekkel válasza. A fen áék kfzeés márxa: II-es vállala R valószínűséggel NR - valószínűséggel R q valószínűséggel ( 5 ;5) ( ;6 ) I-es vállala NR -q valószínűséggel ( 4 ;) ( 0 ;0) Ha az I-es vállala az R sraégá válasza, akkor a leheséges kfzeése 5, lleve -, aól függően, hogy a II-es vállala melyk sraéga melle dön. Mvel ezeke a leheőségeke, lleve - valószínűségekkel válasza, ezér az I-es vállala várhaó kfzeése ( ) 6 5. Amennyben az I-es vállala úgy dön, hogy nem vesz rész a reklámkamányban, azaz az NR sraéga melle esz le a vokso, akkor az előzőek érelmében a várhaó kfzeése 4 0 ( ) 4 kfzeése a II-es vállala dönéséől függ.. Lászk, hogy az I-es vállala várhaó Ez uóbbnak mos az az érdeke, hogy az I-es vállalao eles bzonyalanságban arsa a felöl, hogy vaon melyk sraégá foga mad válaszan. Ellenkező eseben ugyans az I-es vállala számára a dönés egyérelmű. Ha a II-es vállala bármlyen ks mérékben s elz, hogy a kamányban fog rész venn, akkor az I-es vállala s e melle dön, hszen 5 > 4, ha edg a
II-es vállala elzése arról szól, hogy a kamányban nem vesz, akkor az I-es vállala s ez foga enn, mer 0 >. A II-es vállala az I-es vállala eles dönés bzonyalanságá azzal ér el, hogy olyan valószínűséggel válasz sraégá, amely egyenlővé esz egymással az I-es vállala várhaó kfzeése. ehá a fen éldában: 6 4, azaz, ennek megfelelően. Ugyanez érvényes a II-es vállala vonakozásában s: a II-vállala várhaó kfzeése 5 q + ( q) 4 q + és 6 q + 0 ( q) 6 q 4 q + 6q, vagys ha q, ehá q, ezek egyenlők, ha. Ha az I-es vállala a reklámkamányban való részvéel melle dönene, akkor a várhaó kfzeése 5 0,5 0,5, amely megegyezk a várhaó kfzeésével, ha ávol ara magá a reklámkamányól, hszen 4 0,5 + 0 0,5. Hasonlóan láhaó be, hogy a II-es vállala várhaó kfzeése a ké sraéga megválaszásakor mndké eseben 3. Ha a sza sraégák alkalmazásával kalakuló kfzeése egy koordnáa-rendszerben ábrázoluk, akkor ezek egy négyszöge haározzák meg. Könnyen beláhaó, hogy az összes kever sraéga ezen négyszög belseében lévő onoka vagy a négyszöge behaároló egyeneseken lévő onoka deermnál. Ez nylván a kever sraégáú Nash-egyensúlyra s gaz. (ld. az alább grafkon 3
π II ( ;6 ) ( 5 ;5) ( ;3) ( 0 ;0) ( 4 ;) π I A fen gondolamene egyenes kövekezménye, hogy mnd az I-es, mnd a II-es vállala Nash-sraégá (legobb-válasz-sraégá alkalmaz, ha az R és NR sraégáka q és -q, lleve és - valószínűségekkel válaszák. Ha vszon mndké áékos Nash-sraégá válasz, akkor az ennek kövekezében léreövő helyze Nash-egyensúly. Más szóval: a áék kever sraégáú Nash-egyensúlya, ;,. Láhaó, hogy kever sraégák eseén a Nash-egyensúly már nem a sraégák segíségével defnáluk, hanem azok valószínűség eloszlásaval, ehá a (, ) és q ( q, q) árokkal. Kssé álalánosabban megfogalmazva: Ha az áékos különböző sza sraéga alálhaó, azaz sraéga olyan 4 S sraégahalmazában m s k,k,,..., m és mnden s k S, akkor egy kever m vekor elen, amelyekre gaz, hogy r. Nylván végelen M r m sok kever sraéga léezk. Ennek fgyelembevéelével elölük P -vel az áékos összes kever sraégáá aralmazó halmaz. ermészeesen elesen analóg módon defnálhaó a
áékos összes kever sraégáá aralmazó halmaz, P-, amely az összes olyan q q q M q s s vekor elen, amelyre gaz, hogy q ; feléelezük, hogy a áékos s db sraéga közül válaszha. Ebben az eseben az monduk, hogy a ( ), q r r kever sraégáú Nashegyensúly léezk, ha mnden a áékban rész vevő áékos olyan kever sraégá válasz, amely Nash-sraéga, azaz ha π (,q ) π ( ˆ, q ) eseén. mnden P,ˆ, q S és mnden és A fen koncecó ermészeesen nem csak ké áékosra érvényes, hanem n áékosra s kereszheő. Ebben az eseben mnden áékos rendelkezk az kever sraégá aralmazó P halmazzal. Ennek eleme mndazon (,, K, ) vekorok, amelyekre gaz, hogy száma. Jelölük mos m P -vel a k k P P P + L Pn 5 m P ; m az áékos (sza) sraégának L halmaz, amely ehá az összes áékoson kívül áékosok összes kever sraégának összes kombnácóá aralmazza. A elölük. Ebben az eseben Nash-egyensúly olyan (,,, n ) π (, ) π (, ), P, P,,, mnden, K, n P halmaz eleme -vel K sraégaegyües, amelyre gaz, hogy.
Evolúcós áékok Fogalmak:. sza sraéga. Vegyes sraéga. Ha m sza sraéga léezk és a annak valószínűsége, hogy az - edk áékos a -edk sraégá válasza,,..., m, akkor a [,,..., ] m vekor az -edk áékosnak egyk leheséges vegyes sraégáa, ahol nylván m. 3. Nash-sraéga: valamely áékos legobb válasza az ellenfél bármelyk sraégáa, azaz ha S és S ké áékos sraéga-halmaza, ( s ; s ) π edg az a kfzeés, amelye az -dek áékos ka, ha s - válasz, a -edk áékos edg s -, s S és S s, akkor s S s S eseén Nash-sraéga, ha mnden π ( s ; s ) π ( s ; s ), s S. 4. Nash-egyensúly: mnden áékos Nash-sraégá válasz. Ado a héa-galamb-áék, amelynek kereében valamely oulácó ké aga valamely erőforrásér folyao harcban vagy héakén (agresszíven) vagy galambkén (békésen) vselkedhe. Az erőforrás éréke legyen V, a harc kölsége legyenek C. Vélelenszerűen kválaszunk ké ndvduumo. Ebből a kövekező kfzeések adódnak: (H héa; G galamb) 6
II. áékos H G I. áékos H V ( V ;0) C V C ; G ( 0 ;V ) V V ; Legyen V C V C > V, ekkor a kfzeések sorrende: < 0 < < V. Gyakorló felada: Haározza meg a sza sraégák melle kalakuló Nash-egyensúly(oka)! együk fel, hogy az I. áékos valószínűséggel H- válasz és ennek megfelelően valószínűséggel G-; a II. I. áékos edg q valószínűséggel H- válasz és ennek megfelelően q valószínűséggel G-. Gyakorló felada: Vzsgála meg, hogy léezk-e Nash-egyensúly vegyes sraégák eseén. Ha gen, akkor haározza meg ezeke, azaz haározza meg a q, valamn a q vekoroka! q 7
V C V q Aq V szorzao, am nem 0 q A számolás mene során kéezzük a [ ] q más, mn az I. áékos várhaó kfzeése, ha a II. áékos a q vegyes sraégá q válasza. Amennyben ˆ Aq ˆ Aq, ˆ S, I Az monduk, hogy ˆ az I. áékos legobb válasza a II. áékos q sraégáára. Ebből kövekezk, hogy ha mnden áékos eseében ˆ a legobb válasza a saá ˆ sraégáára, azaz, ha ˆ Aˆ ˆ Aˆ, ˆ S, I, II, akkor ˆ nylván Nash-egyensúly. Evolúcós áékok eseében a vegyes sraégáú áékokban szerelő valószínűségeke adonak eknük, mégedg azon részarányokkal azonosíuk ezeke, amelyekben a ké különböző vselkedés muaó egyedből álló részoulácók az összoulácóban elen vannak. ehá együk fel valamely oulácó (élőlények, vállalaok, fogyaszók, sb.), amely ké csoorba oszhaó: az egyk csoor héa-vselkedés mua (mndg!), azaz agresszív, a másk csoorba arozó egyedek mndg galamb-vselkedés muanak, azaz békések, azaz egyedek vselkedése úgyszólván genekalag meghaározo. Legyen N ( valamely oulácó (vállala, fogyaszók, élőlények, sb.) száma a -edk dőonban, N (,,..., n, edg egy meghaározo vselkedésű részoulácó száma, sznén a -edk dőonban. Jelölük A [ a ],,,..., n, a kfzeés márxo, amelynek a eleme az muaa, hogy mekkora az -edk csoorhoz arozó egyed élekéessége, ha 8
valamely -edk csoorbel egyeddel alálkozk; álalában az szokák mondan, hogy a az - edk csoorhoz arozó egyed uódanak száma, ha valamely -edk csoorbel egyeddel alálkozk. Az éelezzük fel, hogy az A márx szmmerkus, azaz a a, lleve A A. Ha mn a héa-galamb-áék eseében n, akkor N ( ) az agresszív vselkedésű egyedek száma, N ( ) edg a békésebb egyedek száma, mndkeő ermészeesen a -edk dőonban. Igaz, hogy N N ( N ( ). Ha µ -vel elölük a mndké csoorra ( egyarán érvényes (ermészees) halálozás ráá, akkor [ e A ( )] N ( + ) N ( µ,, + ahol 0 ( N ( e, e 0 és ( ; ovábbá (,, ( N(. Gyakorló felada: Haározza meg N ( ) - és N ( ) -! Az A márxo használa a kövekező alakban a a A! a a Ha meghaározuk N ( +) -,,, akkor ebből adódk ( + ) N ( + ) N( + ) µ + e ( µ + A( A(,,, lleve 9
( + ) ( e A( ( A ( (. µ + ( A( Gyakorló felada: Haározza meg az A ( ) e éréke és érelmezze ez! Ha a eródus hossza nem egységny, hanem δ, akkor ( + δ ) ( δ e A( ( A ( (, δµ + δ ( A ( azaz ( ) ( ) e A( ( A ( + δ lm lm ( 0 δ 0 δ δ δµ + δ ( A(, ) ehá [ e A( ( A ( ] d ( & ( (. d Nylván, ha e A( ( A ( > 0, akkor ( nő, ha e A( ( A ( < 0, akkor csökken (. Más szóval: Ha az -edk csoorhoz arozó egyedek kfzeése meghalada a oulácó egészére álagosan érvényes kfzeés, akkor az -edk csoor részaránya a oulácón belül nő, s fordíva, ha az -edk csoorhoz arozó egyedek kfzeése elmarad a oulácó egészére álagosan érvényes kfzeés mögö, akkor az -edk csoor részaránya a oulácón belül csökken. Ennek érelmében a oulácó összeéele válozalan, azaz a oulácó egyensúlyban van, ha mnden részoulácó az álagos kfzeés realzál, hszen ekkor 0 & ( 0,.
Gyakorló felada: Vegyük a fen készerelős esee és vzsgáluk meg, mkor aszmokusan sabl a oulácós egyensúly! A fen egyensúly állao sablás különbözk az evolúcósan sabl sraéga, lleve egyensúlyól. Defnícó: Evolúcósan sablnak nevezzük az a sraégá, amely az összes eseén kelégí a kövekező feléeleke: () A A, () ha A A, akkor A > A.
Kövekezmény: Mnden evolúcósan sabl sraéga egyben Nash-egyensúly. De nem mnden Nash-egyensúly evolúcósan sabl. Érelmezés:. Nncs olyan sraéga, amely egy evolúcósan sabl sraégával szemben magasabb kfzeés realzál.. Ha a ké kfzeés egyenlő egymással, akkor az evolúcósan sabl sraéga a máskkal szemben nagyobb kfzeés bzosí, mn az uóbb saá magával szemben. ehá az evolúcósan sabl sraéga rezszens mnden másk sraégával szemben, de ugyanakkor arra kées, hogy bármlyen másk sraégá gyengí(hes)se. Gyakorló felada: Vzsgáluk meg, hogy a kövekező kfzeés márx-szal megado áék evolúcósan sabl-e, ha feléelezzük, hogy a oulácónak van olyan csoora, amely mndg az A sraégá válasza, szemben a másk csooral, amely mndg B- válasz: II. áékos A B A ( ;) ( ;5) I. áékos B ( 5 ;) ( 5; 5)