MATEMATIKA A 0 évfolam 6 modul Másodfokúra visszavezethető problémák Készítette: Darabos Noémi Ágnes
Matematika A 0 évfolam 6 modul: Másodfokúra visszavezethető problémák Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztál Modulkapcsolódási pontok Különböző típusú másodfokúra visszavezethető egenletek megoldása Gakorlati, mindennapi életbeli problémák megoldása egenletekkel 8 óra 0 évfolam Tágabb körnezetben: Fizika, kémia Valóságos problémák matematikai megoldása Szűkebb körnezetben: Függvének Egenletek grafikus megoldása Paraméteres egenletek (emelt szint) Ajánlott megelőző tevékenségek: Törtes kifejezések közös nevezőjének meghatározása, nevezetes azonosságok használata Másodfokú egenletek megoldása, megoldóképlet, gökténezős alak ismerete Másodfokú függvének jellemzése Ajánlott követő tevékenségek: Négzetgökös egenletek Számtani és mértani közép, szélsőérték feladatok
Matematika A 0 évfolam 6 modul: Másodfokúra visszavezethető problémák Tanári útmutató A képességfejlesztés fókuszai Számolás, számlálás, számítás: Alapműveletek biztonságos elvégezése (zsebszámológéppel is) Műveletek sorrendjének ismerete Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Szöveges feladatok megoldása előtt a várható eredmének becslése és a kapott eredmén visszakonvertálása az eredeti szövegbe Szöveges feladatok, metakogníció: A szövegértés tudatos fejlesztése, a hétköznapi szöveg lefordítása a matematika nelvére, a valóságbeli problémák matematikai értelmezése A kapott megoldások ellenőrzése és adaptációja az eredeti szövegkörnezetbe Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: A szükséges adatok kikeresése, a fölösleges adatok mellőzése, a lénegkiemelő képesség fejlesztése Szöveges, másodfokúra visszavezethető egenletek megoldásakor a felvetett problémának nem megfelelő hamis gök kiszűrése, a diszkusszió igénének fejlesztése A korábbi matematikai ismeretek beépítése, a lehetséges alkalmazások megkeresése, a tanult új ismeret beillesztése, a rendszerező szemlélet alakítása Induktív, deduktív következtetés: Konkrét számoktól az általános eset megfogalmazásáig (induktív gondolkodásmód fejlesztése) Azonosságok alkalmazása konkrét esetekben (deduktív gondolkodás fejlesztése) A tananag javasolt órabeosztása Óraszám Óracím I Másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egenletek Gakorlás II Törtet tartalmazó egenletek Gakorlás III 6 Szöveges feladatok 7 Gakorlás 8 Összefoglalás
Matematika A 0 évfolam 6 modul: Másodfokúra visszavezethető problémák Tanári útmutató Érettségi követelmének: Középszint: Ismerje az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalmát Alkalmazza a különböző egenletmegoldási módszereket: mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítások, következménegenletre vezető átalakítások, új ismeretlen bevezetése stb Ismerje az egismeretlenes másodfokú egenlet általános alakját Tudja meghatározni a diszkrimináns fogalmát Ismerje és alkalmazza a megoldóképletet Használja a teljes négzetté alakítás módszerét Alkalmazza feladatokban a gökténezős alakot Tudjon törtes egenleteket, másodfokú egenletre vezető szöveges feladatokat megoldani Másodfokú egenletrendszerek megoldása Egszerű, másodfokúra visszavezethető egenletek megoldása Emelt szint: Igazolja a másodfokú egenlet megoldóképletét Igazolja és alkalmazza a gökök és egütthatók közötti összefüggéseket Másodfokú paraméteres feladatok megoldása Tudjon másodfokúra visszavezethető egenletrendszereket megoldani Értelmezési tartomán, illetve értékkészletvizsgálattal, valamint szorzattá alakítással megoldható feladatok, összetett feladatok megoldása
Matematika A 0 évfolam 6 modul: Másodfokúra visszavezethető problémák Tanári útmutató MODULVÁZLAT Lépések, tevékenségek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gűjtemén I Másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egenletek Mindenkinek adunk eg kártát, melen másodfokú egenletek, diszkriminánsuk, gökténezős alakjuk, valamint a gökeik szerepelnek Az összetartozó kárták tulajdonosai alkotnak eg csoportot Ezen az órán ők dolgoznak egütt Magasabb fokszámú egenletek megoldása Közösen megbeszéljük a feladatokat Minden csoport egedül dolgozik a feladatokon A csoporton belül kiosztjuk az A, B, C, D jelű kártákat, mindenki húz eget A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek a csoport számát és betűjelét kihúzza a tanár Rendszerezés, kombinatív gondolkodás Kombinatív gondolkodás 6 kártakészlet és feladat,,, 6 és 7 feladat
Matematika A 0 évfolam 6 modul: Másodfokúra visszavezethető problémák Tanári útmutató 6 Gakorlás Minden csoportnak adunk eg csomag kártát, melen magasabbfokú egenletek szerepelnek Feladatuk összepárosítani azokat az egenleteket, meleknek azonosak a gökeik Minden csoport egedül dolgozik a feladatokon A feladat megoldását ismertetik a táblánál Rendszerezés, kombinatív gondolkodás Kombinatív gondolkodás 6 kártakészlet 8, 9 és 0 feladat II Törtet tartalmazó egenletek Minden csoport egedül dolgozik a feladatokon A feladat megoldását ismertetik a táblánál 6, 7, 8 és 9 feladat Gakorlás A kijelölt feladatok egéni vag csoportos megoldása A megoldások ellenôrzése, megbeszélése Mindenkinek adunk eg kártát, amelen eg egenlet szerepel Felírjuk a táblára a következő nég egenletet:, 6, ( ), valamint nitunk eg egik sem rovatot is Minden tanuló feladata az, hog elhelezze a saját kártáját az alá az egenlet alá, amelikkel a kapott egenlete megegezik, vag ha nem talál ilet, akkor az egik sem rovat alá Közösen beszéljük meg, hog minden kárta jó helre került-e Disszkussziós készség fejleztése,,, és feladat 6 kártakészlet
Matematika A 0 évfolam 6 modul: Másodfokúra visszavezethető problémák Tanári útmutató 7 Gakorlás Bonolultabb feladatok feldolgozása, különös tekintettel az értelmezési tartomán megállapítására A feldolgozás módja lehet egéni, csoportos vag frontális, 6, 7 és 8 feladat III Szöveges feladatok Szövegértés; a szöveg matematikai formába öntése A probléma tartalma és matematikai formai mondanivalójának megbeszélése Legalább feladat megoldása táblánál Minden csoportba osszunk ki A, B, C, D jelű kártákat, differenciálva a tanulók képességei szerint Szétválnak a csoportok az A, B, C, D jelek szerint, az azonos betűsök dolgoznak most egütt Ha elkészültek a csoportok, mindenki visszameg a saját csoportjába, és a többieknek elmondja a feladatának a megoldását A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek a csoport számát és betűjelét kihúzza a tanár A szükséges adatok kikeresése, a fölösleges adatok mellőzése, a lénegkiemelő képesség fejlesztése 0,, és feladat 8 Összefoglalás Matematikai TOTÓ Minden tanuló egedül dolgozik a feladatokon Ha elkészültek, mindenki átadja a padtársának a feladatlapját, aki kijavítja azt a frontális megbeszélésnek megfelelően Rendszerezés, kombinatív gondolkodás, 6 és 7 feladat
8 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ I Másodfokúra visszavezethető magasabb fokszámú egenletek A matematikusok különösen nag erőfeszítést tettek, hog a másodfokú egenlet megoldóképletéhez hasonlóan megtalálják a magasabb fokszámú egenletek megoldóképletét is Girolamo Cardano (0 76) olasz matematikus, -ben megjelent könvében közölte a harmadfokú egenletek megoldóképletét Utólag kiderült, hog a megoldóképletet a bolognai egetem professzora, Ferro találta meg elsőként, aki azonban ezt titokban tartotta, és csak halála előtt adta tovább egik tanítvánának, Fiore-nak Ebben az időben azonban eg másik tehetséges olasz matematikus Nicolo Tartaglia is önállóan megtalálta a megoldóképletet, és elmondta Cardanonak Cardano ekkor már dolgozott a könvén, és íg került bele Tartaglia bizonítása Cardano könvébe Cardano becsületére legen mondva, a felfedezést soha nem tartotta magáénak Az ő érdeme azonban, hog Tartaglia képletét általánosította, illetve megmutatta, hog minden általános harmadfokú egenlet megoldása visszavezethető az b c alakúéra Mindenesetre a harmadfokú egenletek megoldóképletét Cardanoról nevezték el Evariste Galois (8 8) francia matematikus, őt tartják a modern algebra megalapozójának Rövid munkássága során megmutatta, hog melek azok az egenlettípusok, melek csupán a nég alapművelettel és gökvonással megoldhatók Niels Henrik Abel (80 89) norvég matematikus bebizonította, hog az ötöd-, vag annál magasabb fokszámú egenletekre általában nem létezik megoldóképlet Mi most az olan speciális magasabbfokú egenletekkel foglalkozunk, melek bizonos átalakítások és helettesítések során, az egenletek fokszámát csökkentve másodfokú egenletekre vezethetők vissza Módszertani megjegzés: Keresd a csoportod! Mindenkinek adunk eg kártát a 6 kártakészletből, melen másodfokú egenletek, diszkriminánsuk, gökténezős alakjuk, valamint a gökeik szerepelnek Ez a kiosztás lehet véletlenszerű: például a tanulók maguk húznak eg-eg kártát a tanári asztalról, lehet tudatos: figelünk arra, hog kinek melik kártát adjuk Az összetartozó kárták tulajdonosai alkotnak eg csoportot Ezen az órán ők dolgoznak egütt
6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK 9 6 kártakészlet 9 D ( )( ) 0 D ( )( ) 0 0 0 D ( )( ) 0 9 0 0 7 6 D ( 7 )( ) 0 0 0 6 D ( )( ) 0 0 8 D ( )( ) 0 6 0 6 96 8 D ( 6 )( 8) 0 8 0 Mintapélda Oldjuk meg a 6 egenletet a negatív egész számok halmazán! Alaphalmaz: Z Vegük mindkét oldal negedik gökét: Ebből két megoldás adódik:, A feladat alaphalmazába csak az tartozik A megoldás helességéről ellenőrzéssel gőződhetünk meg a megoldáshalmaz { ; } M Mintapélda Oldjuk meg a következő egenleteket! a) 6 0 ; b) 0
0 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ a) Amenniben nem teszünk megszorítást az alaphalmazra vonatkozóan, a megoldásokat mindig a valós számok körében, R-ben keressük Mivel ( ) ezért célszerű eg új ismeretlent bevezetni: Ekkor az egenlet a következő alakba írható: 6 0, ahol 0 Ezt megoldjuk, felhasználva a megoldó képlet, két megoldást kapunk:, 9 Ebből felhasználva, hog, ha,, ha 9, 9 Tehát az egenletnek nég megoldása van: { ; ; ; } M A feladat alaphalmazába mind a nég megoldás beletartozik A megoldások helességéről ellenőrzéssel gőződhetünk meg b) Vezessük be az új ismeretlent, ahol 0 Ekkor az egenlet a következő alakba írható: 6 0 Ezt megoldjuk, felhasználva a megoldóképletet, két megoldást kapunk:, Tekintve, hog, ha,, ha, akkor az egenletnek nincs valós megoldása, hiszen 0 Tehát az egenletnek két megoldása van: { ; } M A feladat alaphalmazába mind a két megoldás beletartozik A megoldások helességéről ellenőrzéssel gőződhetünk meg Megjegzés: Eg n-edfokú algebrai egenletnek legfeljebb n darab valós megoldása lehet Mintapélda Oldjuk meg az 8( ) 7( ) 0 6 egenletet a valós számok halmazán! Célszerű új ismeretlent bevezetni: ( ) Ekkor az új egenletünk: 8 7 0 7 ± 9,, 6 8
6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK Ebből felhasználva, hog ( ), ha ( ) ; 8 8 ha ( ) Tehát az egenletnek két megoldása van: M ; A feladat alaphalmazába mindkét megoldás beletartozik A megoldások helességéről ellenőrzéssel gőződhetünk meg Mintapélda Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) b) 0 9 c) Egszerűsítsük az törtet! 0 9 a) ( ) ( )( ), mert a 0 másodfokú egenlet gökei, b) Legen, íg gökténezős alakja: ( )( ), ekkor az 0 9 0 9 ( )( 9), mert az 0 9 0 másodfokú egenlet gökei, 9, íg gökténezős alakja: ( )( 9), ( )( 9) ( )( )( )( ) 0 9 c) Minthog a nevező nem lehet nulla, 0 9 0, ±,, ± ezért az értelmezési tartomán: R \{ ; ; ; } 0 9 ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda Oldjuk meg az ( 7 9)( 7 7) egenletet a negatív számok halmazán! Megjegzés: A műveletek elvégzése után a 6 60 0 negedfokú egenlet adódik, amit eddigi módszereink segítségével nem tudunk megoldani, íg más megoldási utat kell keresnünk Alaphalmaz: R Célszerű új ismeretlent bevezetni: 7 9 Ekkor az új egenletünk: ( ) 0, Figelembe véve, hog 7 9, ha 7 9 7 0 0,, ha 7 9 7 6 0, 6 Tehát az egenletnek nég megoldása van: { ; ; ; 6} M A feladat alaphalmazába mind a nég megoldás beletartozik A megoldások helességéről ellenőrzéssel gőződhetünk meg Megjegzés: Új ismeretlen bevezetésekor célszerű az egenletben szereplő változók egmáshoz való viszonát megvizsgálni Ennél a feladatnál három lehetőség is adódik az új ismeretlen bevezetésére: ha 7 9 akkor 0 ; ha 7 7 akkor 0 ; ha 7 akkor 6 60 0 egenletek adódnak Mintapélda 6 Oldjuk meg a 8 0 egenletet a pozitív számok halmazán! Alaphalmaz: R Célszerű az egenlet mindkét oldalát elosztani -tel, hiszen 0 : 8 0
6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK Csoportosítsuk az egenlő egütthatójú tagokat: 8 0 Emeljük ki az egenlő egütthatókat: 8 0 Vezessük be az új ismeretlent, ekkor Íg az új egenletünk: ( ) 8 0 0, ±,, Ebből felhasználva, hog, ± 0, ±, 7, 0 7 ;, ± 7 0, A diszkrimináns negatív, íg innen nem kapunk megoldást Tehát az egenletnek két valós megoldása van: { ; } M A feladat alaphalmazába mindkét megoldás beletartozik A megoldások helességéről ellenőrzéssel gőződhetünk meg Megjegzés: Az a b c b a 0 alakú negedfokú egenleteket szimmetrikus vag reciprok egenleteknek nevezzük; ezekben ha eg szám megoldás, akkor annak a reciproka is az Feladatok Oldd meg a következő egenleteket: a) 6 8; b) 6 ; c) 6 ; d) 79 0 a) M { ; } ; b) { } M ; c) M ; d) { ; } M
MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Oldd meg a 6 7 6 0 egenletet! Legen Ekkor M ; ; ; 6 7 6 0 6, 6 Oldd meg az 6 6 6 0 egenletet! Legen M { ; } Ekkor 6 6 0 6, Oldd meg a 9 egenletet! Legen M { ; } Ekkor 6 Oldd meg a 7 8 0 egenletet! Legen 9 0, 9 7 Ekkor 7 8 0, M ; 6 Oldd meg az 8 6 egenletet! Legen M { ; } Ekkor 6 0 6, 6 7 Oldd meg a 8 9 egenletet! Legen M ; Ekkor 8 9 0, 8
6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK Módszertani megjegzés: Keresd a párját! Minden csoportnak adunk eg csomag kártát, melen magasabbfokú egenletek szerepelnek Feladatuk összepárosítani azokat az egenleteket, meleknek azonosak a gökeik A csoporton belül kiosztjuk az A, B, C, D jelű kártákat, mindenki húz eget A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek a csoport számát és betűjelét kihúzza a tanár 6Kártakészlet 6 0 0 0 0 8 0 6 6 0 0 0 7 8 6 0 79 0 0 6 9 0 6 6 0 096 0 0 6 0 6 8 Oldd meg a 8( ) ( ) 7 0 egenletet! Legen ( ) 8 7 0 ( ) 7, ( ) 8 Tehát az egenletnek két megoldása van: M ; 9 Oldd meg az ( ) 0 6( ) egenletet! Legen Ekkor 6 0 0, 0, 7 0, M { ; ; ; 7}
6 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 0 Oldd meg a ( ) ( ) egenletet! Legen Ekkor 0, 0, 0 6, { } ; ; ; M Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 6 ; b) ; c) ; d) 6 ; e) ; f) a) ( ) ( )( ) 6 6 ; b) ( )( ) ( )( )( )( ) ; c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), vag nevezetes azonossággal: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ; d) ( ) ( ) ( ) 6 6 ( )( ) ; e) ( ) ( )( ) ; f) ( ) ( )( ) Legen 6 és pozitív szám Az értékének kiszámítása nélkül adjuk meg az, ill kifejezések az értékét!
6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK 7 6, hiszen Oldd meg a 0 egenletet! 0 -val való osztás és kiemelés után: 0 Legen ekkor ( ) 0 0, 0 nincs valós gök 0 ±,, M Oldd meg az 0 9 egenletet! 0 -val való osztás és kiemelés után: 0 9 Legen ekkor ( ) 0 0 9
8 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 7, 0 ±, 7 7 0 7 ± ±, 7 7 ; ; ; M Oldd meg az ( ) ( ) ( ) egenletet a valós számok halmazán! Legen b a, ekkor b a Ekkor az előző egenlet felírható a következő alakban: ( ) b a b a Ebből következik ( ) 0 b a ab ab b a Eg szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelik ténezője nulla: 0 0 0 0 0 0, b a, b a Íg az egenlet megoldáshalmaza: ; ; M Megjegzés: az egenletnek -szeres göke Az eredeti egenlet ( ) 0 alakban is írható
6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK 9 II Törtet tartalmazó egenletek Mintapélda 7 0 Oldjuk meg az egenletet! Minthog a nevező nem lehet nulla, íg az értelmezési tartomán a ( ) -től különböző valós számok halmaza Röviden: R \{ } 0 ( )( ) 0 0 Azonosság, tehát az értelmezési tartomán minden eleme megoldás Mintapélda 8 0 Oldjuk meg az egenletet! Minthog a nevező nem lehet nulla, íg az értelmezési tartomán a ( ) -től különböző valós számok halmaza Röviden: R \{ } 0 ( )( ), 0 6, A ( ) nem eleme az egenlet értelmezési tartománának, íg az egenletnek nincs megoldása Megoldáshalmaz: M { } Mintapélda 9 Oldjuk meg az 6 egenletet! 6 Minthog a nevező nem lehet nulla, íg az értelmezési tartomán a ( ) -től és -től különböző valós számok halmaza Röviden: R \{ ; } Szorozzuk mindkét oldalt a közös nevezővel, ( )( ) 6 tal!
0 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ ( )( ) ( )( ) 6 7 6 6 8 6 A ( ) eleme az egenlet alaphalmazának Ellenőrzés: Bal oldal értéke: Jobb oldal értéke: Az ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 0 ( ) 6 valóban megoldás Megoldáshalmaz: { } M Mintapélda 0 Oldjuk meg az egenletet! Minthog a nevező nem lehet nulla, íg az értelmezési tartomán a ( ) -tól és -től különböző valós számok halmaza Röviden: R \{ ;} Szorozzuk mindkét oldalt a közös nevezővel, ( )( ) ( )( ) ( ) 0 8, Megoldáshalmaz: { 8; } M A megoldások helességéről ellenőrzéssel gőződünk meg -mal! Mintapélda 8 Oldd meg a egenletet! 7 6 Minthog a nevező nem lehet nulla, 6 0, 6 ezért az értelmezési tartomán: R \{ ; 6} ( 7 6) 7 7 8 0 9 0,
6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK 7 Megoldáshalmaz: M ; A megoldások helességéről ellenőrzéssel gőződünk meg Feladatok 6 Oldd meg az egenletet! 7 0 0, Megoldáshalmaz: M { ; } 7 Oldd meg a egenletet! Az értelmezési tartomán: R \{ 0 } A közös nevező: 6 0, 6 Megoldáshalmaz: M ; 6 7 6 8 Oldd meg az 6 egenletet! Az értelmezési tartomán: R \{ 0 } 6 0, Megoldáshalmaz: M ; 6 6( ) 9 Oldd meg az egenletet! Az értelmezési tartomán: R \{ 0 } 0, Megoldáshalmaz: M ;
MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 0 Oldd meg az egenletet! 7 Az értelmezési tartomán: R \ ; 7 6 0, Megoldáshalmaz: M ; Megjegzés: Másik megoldási lehetőség: -re mindkét számláló 0, ha, akkor 7, innen 8 9 Oldd meg a egenletet! Az értelmezési tartomán: R \{ ;} 0, 6 Megoldáshalmaz: M ; 6 Oldd meg az 0 egenletet! Az értelmezési tartomán: R \{ ;} 6 0, Megoldáshalmaz: M { } Oldd meg az 0 egenletet! 9 Az értelmezési tartomán: R \{ ; } A közös nevező: ( )( ) 9 6, Megoldáshalmaz: M { ; }
6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK 6 Oldd meg az egenletet! 6 Az értelmezési tartomán: R \ 0; 6 ( ) ( ) A közös nevező: ( ) 0, Megoldáshalmaz: M ; Oldd meg az 8 6 6 Az értelmezési tartomán: R \{ ; } egenletet! A közös nevező: ( )( ) 6 0 0 6, Megoldáshalmaz: M { 6; } 6 Oldd meg az 0 Az értelmezési tartomán: R \{ ; } egenletet! Szorozzunk a közös nevezővel, ( )( ) 0 ( )( ) ( ) 8 0 6, Megoldáshalmaz: M { 6; } 9 tel! 7 Oldd meg a egenletet! Az értelmezési tartomán: R, mert a nevező mindig pozitív ( ) Megoldáshalmaz: M { }
MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 8 Oldd meg a 8 8 egenletet! Az értelmezési tartomán: R, mert a nevező mindig pozitív ( ) Megoldáshalmaz: M { } Módszertani megjegzés: Keresd meg a helét! Mindenkinek adunk eg kártát, amelen eg egenlet szerepel Felírjuk a táblára a következő nég egenletet:,, 6, ( ) valamint nitunk eg egik sem rovatot is Minden tanuló feladata az, hog elhelezze a saját kártáját az alá az egenlet alá, amelikkel a kapott egenlete megegezik, vag ha nem talál ilet, akkor az egik sem rovat alá Közösen beszéljük meg, hog minden kárta jó helre került-e 6 kártakészlet 6 8 0, 0 9 ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( ) 6 0 0 Törtet tartalmazó egenletek megoldásakor gakran végzünk olan átalakításokat, amikor hamis gököt kapunk, vag gököt vesztünk (például egszerűsítés, vag ismeretlennel való szorzás, osztás) Ezekre fokozottan figeljünk!
6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK III Szöveges feladatok Az aranmetszés (olvasmán) Aranmetszésnek nevezik eg szakasz két olan részre való felosztását, melek közül a kisebb (rövidebb) szakasz hossza úg aránlik a nagobbikhoz, mint az egészhez Jelölje az aranmetszési arán szerint felosztandó AB szakasz hosszát a, és legen C az aranmetszésnek megfelelő olan osztópont, melre az AC a hosszabb, CB pedig a rövidebb szakasz Ekkor a következő aránpárt írhatjuk fel: a, ahonnan a( a ) a a a Az egenlet változó szerint rendezett redukált alakja a a 0 a ± a a( ± ) Innen, Mivel a > > 0, íg a nagobbik szakasz hossza a( ) Az aranmetszésnek megfelelő arán a középkorban legfőképpen a templomok méretaránaiban jelentkezett Ez a nevezetes arán azonban sok esetben nem csupán az alapméretekre, hanem ez épület más részeinek viszonára is vonatkozott Az aranmetszésnek megfelelő arán alkalmazását a reneszánsz építészei is átvették A római Szent Péter Bazilika, mel több évszázadon keresztül épült, alaprajzától a kupola tervezéséig számos méretviszonában hordoz aranmetszésnek megfelelő aránokat A reneszánsz mesterek legtöbb alkotásán az aranmetszési arán kiemelkedő szerepet játszik E képszerkesztésnek egik példája Leonardo: Angali üdvözlet című alkotása A képen a könvtámasz alatti asztalka középvonalán áthaladó függőleges vonal a vízszintes helzetű kép terét pontosan aranmetszés szerint osztja Mária, illetve az angal alakjának a középvonala az osztással kapott részeken belül szintén az aranmetszésnek megfelelően
6 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ helezkedik el úg, hog mindkettő az adott térrész uganazon oldalára esik Ezzel olan aszimmetria jön létre, mel a kép egensúlát biztosítja A kép függőleges terét két vízszintes egenes vonal az aranmetszésnek megfelelő aránban osztja, melek közül a felső a kertben húzódó alacson építmén fedőlapjának felső élén halad át, az alsó pedig a kerti utat a pázsittól választja el Ha a két nőalak mozdulatait követő vonalakat gondolatban meghosszabbítjuk, azok metszéspontja szintén az aranmetszés szerint osztó, az asztal középvonalán áthaladó egenesre esik Ez az egbeesés is arra utal, hog ez a kép valódi főtengele Auguste Renoir: Nő a Békástanán című képe is jól átgondolt kompozíciós törvéneknek engedelmeskedik Az ábrázolt nő arcának középvonalán áthaladó egenes pontosan a kép szélességi méretének az aranmetszetébe kerül Az erkél korlátjának felső széle, melen a hölg karja, illetve keze is nugszik, a kép széléhez annak aranmetszetében illeszkedik Az e ponton áthaladó, a kép hosszával párhuzamos egenes egúttal a másik karnak az asztalra támaszkodó pontján is áthalad Forrás: Hámori Miklós: Aránok és talánok További internetes oldalak: http://wwwjgtfu-szegedhu/tanszek/matematika/speckoll/00/aran/ http://wwwsulinethu/ematek/html/aranmetszeshtml http://wwwkfkihu/chemonet/termvil/tv00/tv00/bagihtml http://wwwhmghu/tanarok/vz/aranpdf
6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK 7 Módszertani megjegzés: A tanulóktól elvárjuk, hog a szöveges feladatok elolvasása és megértése után jegzeteljék ki a szükséges adatokat (esetleges mértékegség átváltással egütt) Írják le, hog a bevezetett ismeretlenek miket jelölnek (és mi a mértékegségük) A megoldás végén adjanak szöveges választ, a szóba jöhető gökö(ke)t az eredeti szöveg szerint ellenőrizzék A szöveges feladatok jelentős része felírható másodfokú egenletrendszerrel is ha a diákok ezt a megoldást követik, nem kell eltéríteni őket Frontális megbeszéléskor törekedjünk az egismeretlenes megoldás ismertetésére Mintapélda Eg áruszállító csónak a víz folásával eg iránban halad 0 km-t, ott kiteszi a rakománt, majd megfordul és visszaindul a kiindulási ponthoz Az indulástól a megérkezésig órát töltött vízen a csónak, ha a kirakodási időt elhanagoljuk Mekkora a csónak sebessége állóvízben, ha a folóvíz sebessége km/h? Legen a csónak sebessége km/h, akkor a vízben lefelé km/h, felfelé km/h sebességgel halad 0 Íg lefelé a 0 km-es utat, felfelé 0 óra alatt tette meg 0 0 0, 9 ( ) 0( ) ( )( ) 8 9 0 A negatív göknek itt nincs értelme, a csónak sebessége állóvízben 9 km/h Ha a csónak a víz folásával eg iránban halad, akkor a sebessége km/h íg a 0 km-t óra 00 perc alatt teszi meg, visszafelé a sebessége 6 km/h íg a 0 km-t 00 perc alatt teszi meg Ez összesen 00 perc, azaz óra, Feladatok 9 Két város, A és B távolsága 78 km A-ból B-be elindul eg kerékpáros óra múlva B- ből A-ba elindul eg másik, aki óránként km-rel többet tesz meg, mint az első, íg B-től 6 km-re találkoznak Menni ideig mentek a találkozásig és milen sebességgel?
8 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Ha az első kerékpáros a találkozásig órán át ment, akkor a második óráig haladt, íg a sebességük km, illetve h első kerékpáros sebessége 6 km h A feladat szerint km km, a másodiké 8 h h Az indulástól a találkozásig az első órát, a második órát kerekezett 6, innen, vagis az Módszertani megjegzés: Szakértői mozaik: A tanulók a következő feladatot fős csoportokban dolgozzák fel, szakértői mozaik módszerrel Minden csoportnak adjunk kártát (A, B, C, D jelűeket), differenciálva a tanulók képességei szerint A továbbiakban a tanulók elhagják a csoportjukat, és az azonos jelűek dolgoznak egütt: megoldják a saját feladatukat Ha elkészültek, mindenki visszameg a saját csoportjába, és a többi csoporttagnak elmondja a feladatának a megoldását Ha végeztek, a csoporton belül összekeverik az A, B, C, D jelű kártákat és mindenki húz eget A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek csoportját és betűjelét kisorsolja a tanár Az A jelűek feladata: 0 Eg pozitív számnak és a reciprokának a különbsége,7 Melik ez a pozitív szám? a, 7 a Ez a szám a a, 7a 0 a, a 0, A B jelűek feladata: A Nagi karácsonra 0 Ft-ért vett narancsot Ha uganenni pénzért kilónként 8 Ft-tal drágább mandarint vásárolt volna, akkor eg kilóval kevesebbet kapott volna Hán kg narancsot vásárolt a Nagi az ünnepekre? A Nagi kg narancsot vett Eg narancs ára 0 0 0 8 90 0 0, 0 kg narancsot vett a Nagi az ünnepekre 9
6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK 9 A C jelűek feladata: Ádám és Dávid testvérek Ádám a lakást órával tovább takarítja, mint Dávid Egütt óra alatt végeznek Menni időre van szükségük a lakás kitakarításához különkülön? Ádám Dávid Egütt Egedül (óra) óra alatt a kitakarított része a lakásnak 6 0, Dávid, Ádám 6 óra alatt végez a takarítással, egedül A D jelűek feladata: Eg teremben téglalap alakba rendeztek 80 széket Másnap minden sorba székkel többet tettek, de a sorok számát csökkentették 7-tel, ekkor összesen 00 szék van a teremben Eredetileg hán szék volt eg sorban? Jelöljük -szel a sorokban eredetileg lévő székek számát Ekkor Ha ( ) ( ) 80 sor keletkezik 80 szék van soronként, akkor 7 sor lesz A felírható egenlet: 80 7 00 7 900 0, 80 A teremben eredetileg szék volt eg sorban és sor volt 60 7 Házi feladat javaslat: feladat Anti és fia egütt a füvet óra perc alatt nírja le A fiúnak két órával több időre van szüksége, mint apjának, ha egedül dolgozik Menni idő alatt nírja le a füvet Anti? óra perc, óra
0 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Anti Fia Egedül (óra) óra alatt Egütt 6 0, Anti, fia 6 óra alatt végez egedül a fűnírással Eg derékszögű háromszög területe cm, átfogója cm Mekkorák a befogói? A háromszög egik befogója a, a másik 08 a 08 Pitagorasz-tétellel: a, ezt rendezve a következő egenlethez jutunk: a Mivel ( a ) a a 66 0 a ezért célszerű eg új ismeretlent bevezetni: a Ekkor az egenlet a következő alakba írható: 66 0 Ezt megoldjuk, felhasználva a megoldóképletet:, ±, 8 66 Ebből felhasználva, hog a, ± 6, innen két megoldást kapunk: ha a a (negatív érték nem lehet), ha a 8 a 9 (negatív érték nem lehet) Tehát a háromszög befogói 9 és cm hosszúak Valóban, 9 6 Eg amatőr futó minden nap uganannit fut le a kitűzött km-ből Ha minden nap fél kilométerrel többet futna, akkor két nappal hamarabb teljesítené a távot Hán nap alatt futotta le eredetileg a maratoni hosszúságot?
6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK s vt Eredetileg Sebesség (km/nap) Szükséges idő (napokban) Több futáskor 0, (, ) 0,, 0 nem lehet megoldás Ezért A futó eredetileg napi kilométert futott napon keresztül Ez utóbbi 7 Eg tört számlálójának és nevezőjének szorzata Ha a számlálóját eggel növeljük, nevezőjét eggel csökkentjük, akkor az eredeti tört reciprokát kapjuk Melik ez a tört? Legen a számláló, ekkor a nevező ( ) 0 ( )( ) ( ) 0 ( )( ) 0 Eg szorzat akkor nulla, ha valamelik ténezője nulla: Ha, akkor ellentmondást kapunk Ha 0, Az eredeti tört, Házi feladat javaslat: 8 feladat
MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 8 Levente kitalálta, hog ha a 600 oldalas kötelező olvasmánból minden nap uganannit olvas el, akkor pont befejezi a könvet a megadott határidőre Azonban a könvtárból a könvet csak hat nappal később tudta kikölcsönözni, íg minden nap oldallal többet kell olvasnia a könvből, hog azt időben befejezze Hán oldalt kell íg elolvasnia eg nap? Eredetileg napig olvas és minden nap 600 600 oldalt olvas el ( ) 600 6 70 0, 0 6 Naponta oldalt kell elolvasnia 9 Marci téglalap alakú kertet vásárolt A szomszédos oldalak felezőpontjai által határolt területet virágokkal ültette be A virágos rész területe 0 m, kerülete m Mekkora Marci egész kertjének a kerülete? Jelöljük a téglalap oldalait a-val és b-vel A virágágás rombusz alakú, jelöljük a rombusz oldalát -szel K A rombusz átlói épp a téglalap oldalai T ab 0 0 a b a b Alkalmazva a Pitagorasz-tételt: a b 676 0 Az első egenletből a, ezt visszahelettesítve a második egenletbe: b 0 b 676 b 676b 0 b 0 Célszerű új ismeretlent bevezetni: b 676 ± 76, 00 76 Ha 00 b 00 b 0 (negatív érték nem lehet) Ha 76 b 76 b (negatív érték nem lehet)
6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK Íg Marci kertjének oldalai 0 és m hosszúak, tehát a kerülete 68 m Megjegzés: ab 0 Az egenletrendszer egszerűbben is megoldható, ha nevezetes a b 676 azonosságot használunk: ( a b) a b ab 676 0 6 a b ( a ) 68 K b Marci kertjének a kerülete 68 m, mert a és b pozitív számok
MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Összefoglalás Matematikai TOTÓ Az egenlet 6 0 Megoldáshalmaz X { ; } { ; } 6 9 8 0 6 { ; ; ; } { } { ; } { ; ; ; } { ; ; ; ; 0} { 0 ;; } { ; ; ; } 6 0 9 0 0 6 { ; } { ; ; ; } 7 { ; } { ;} { ; } { ; } { ; } 6 7 9 0 8 6 8 9 9 0 Két szám összege, négzeteik összege Melik ez a két szám? Eg 6 m területű téglalap alakú telket 80 m hosszú kerítéssel vettek körül Mekkorák a telek méretei? Derékszögű háromszög területe 80 cm, átfogója cm, mekkorák a befogói? Eg osztál mozijegei összesen 7 0 Ft-ba kerül Két gerek megbetegedett, íg ők nem fizettek, de a többieknek még Ft-ot kell fizetni Hánan járnak az osztálba? ; 6 { 6 } 6 ; { } { ; } { 0, } { } { } { 7 ; } { 7 ; 8} { 9 ; 6} { ; } { ; } { ; 6} { ; } { 0 ; } { 0 ; 8} { 0 ; 8} { } { 9 } { 7 }
6 modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ PROBLÉMÁK,,, X,, 6, 7, 8 X, 9, 0,,, X