A RUGALMASSÁGTAN ENERGIA ELVEI A rugamasságta egyeetredseréek egakt és köeítő megodásai eergia evekre aapova is eőáíthatók Aapfogamak Kiematikaiag ehetséges emoduásmeő Jeöése: u u r u, y, A továbbiakba jee (csiagga) jeöük mide kiematikaiag ehetséges meyiséget Értemeés: egy emoduásmeő kiematikaiag ehetséges, ha: - foytoos és a hey serit eegedőe soksor differeciáható a test V térfogatá (ekkor a kompatibiitási egyeet idetikusa tejesü): A u u - kieégíti a kiematikai peremfetétet a test u aho u eőírt (ismert) emoduás A feüeté: u u, A kiematikaiag ehetséges emoduásmeőbő kiematikaiag ehetséges aakvátoási meő és kiematikaiag ehetséges fesütségmeő is eőáítható A kiematikaiag ehetséges aakvátoási meő: A u u A kiematikaiag ehetséges fesütségmeő: F GA AI E A kiematikaiag ehetséges fesütségmeő a egyesúyi egyeeteket és a diamikai peremfetéteeket átaába em eégíti ki, aa a V térfogato F q és a A p feüete F p Ha a egyesúyi egyeetek és a diamikai peremfetéteek is kieégüek, akkor u (, y, ) u(, y, ) a vaóságos (téyeges) megodás Egy peremérték feadatá végtee sok kiematikaiag ehetséges emoduásmeő áítható eő Eek köü csak egy va, amey a peremérték feadatak vaóságos (téyeges) megodása Statikaiag ehetséges fesütségmeő Jeöése: F F r F, y, A továbbiakba jee (feüvoássa) jeöük mide statikaiag ehetséges meyiséget Értemeés: egy fesütségmeő statikaiag ehetséges, ha - kieégíti a egyesúyi egyeeteket a test V térfogatá: F q, - kieégíti a diamikai peremfetéteeket a test A p feüeté: F p, aho p eőírt (ismert) feüeti terheés A statikaiag ehetséges fesütségmeőbő statikaiag ehetséges aakvátoási meő is eőáítható Statikaiag ehetséges aakvátoási meő a átaáos Hooke-törvéy segítségéve sámítható: A F F I E G A statikaiag ehetséges aakvátoási meő és a beőe sámítható statikaiag ehetséges emoduásmeő a kompatibiitási egyeeteket és a kiematikai peremfetéteeket átaába em eégíti ki: A, u u Ha a kompatibiitási egyeet és a kiematikai peremfetéteek is kieégüek, akkor F, y, F, y, feadat vaóságos (téyeges) megodása a 9
Egy peremérték feadatá végtee sok statikaiag ehetséges fesütségmeő áítható eő Eek köü csak egy va, amey a peremérték feadatak vaóságos (téyeges) megodása A virtuáis muka eve Legye ur egy kiematikaiag ehetséges emoduásmeő, Fr pedig egy statikaiag ehetséges fesütségmeő Nem sükséges, hogy eek ugyaahho a peremérték feadatho tartoaak Két kiematikaiag ehetséges emoduásmeő küöbségét virtuáis emoduásmeőek is sokták evei: u u u A p p V da q dv A virtuáis muka evét a egyesúyi egyeetekbő kiiduva áítjuk eő: A u F q A egyesúyi egyeetet sorouk meg baró skaárisa u -va u F u q A áróje at fejei ki, hogy csak a árójee beüi meyiségre hat Vegyük midkét oda térfogati itegráját a test tejes V térfogatára: A itegradust másképp feírva: V u F dv u q dv V u F u F F u Ebbe a egyeetbe megjeet a kiematikaiag ehetséges emoduásmeő derivát teora: D u A kiematikaiag ehetséges emoduásmeő derivát teora febotható simmetrikus és ferde simmetrikus résre: D A simmetrikus ferdesimmetrikus Itt A a kiematikaiag ehetséges aakvátoási teor, míg a kiematikaiag ehetséges forgató teor Et figyeembe véve: u F u F F A ioyítható, hogy egy simmetrikus és egy ferdé simmetrikus teor kétseres skaáris sorata midig ua: F Et fehasáva: V u F F A u q dv Fehasáva a Gauss-fée itegráátaakítási tétet: u F dv u F da V A
A virtuáis muka evéek egátaáosabb aakja: F AdV u q dv uf da V V A A virtuáis muka evéek e a aakja ugyaarra a testre voatkoik, de em ugyaarra a peremérték feadatra A virtuáis muka evét feírhatjuk ugyaarra a peremérték feadatra is Mive A Au Ap, eért a feüeti itegrá így két résre botható: - - - V F AdV u q dv u F da u p da u p F AdV a virtuáis aakvátoási eergia, V V A A u q dv a térfogati erőredser mukája egy virtuáis emoduás meő, V u F da a beső erőredser mukája ismert emoduás meő, A u - u p da pedig a megadott feüeti erőredser mukája egy virtuáis emoduás meő A p A virtuáis muka eve vaóságos emoduás, aakvátoás és fesütség meőkre is iga A virtuáis muka eve ayagtörvéytő függeteü érvéyes Ha a virtuáis muka evét két küöböő kiematikaiag ehetséges emoduás meőre írjuk fe és et a két egyeetet egymásbó kivojuk, akkor a ú virtuáis emoduás evét kapjuk: F AdV u q dv u p da V V A p A ev feírásáá fehasátuk, hogy u u u és A A A, vaamit F p A tejes poteciáis eergia miimuma ev A tejes poteciáis eergia miimuma ev koervatív erőredserek eseté érvéyes Koervatív erőredser: oya erőredser, amey hatása sorá em ép fe dissipáció (eergiavesteség, aa vissa em yerhető eergia) A tejes poteciáis eergia értemeése: U W k A tejes poteciáis eergia a aakvátoási eergiáak, aa a beső erőredser poteciájáak és a küső erőredser poteciájáak össege A küső erőredser poteciáját formaiag a küső erőredser mukájáak míus egysereséve írjuk fe: F A dv u q dv u p da V V A p aakvátoási eergia térfogati erőredser mukája feüeti erőredser mukája A tejes poteciáis eergia miimuma evé a u emoduásmeő a esődeges (primer) ismerete: u A A aakvátoási- és a F fesütségmeő a u -bó sármatatott (másodagos) meyiség Egy u kiematikaiag ehetséges emoduásmeőhö is sámítható eergia: A kiematikaiag ehetséges aakvátoási eergia a u U u q dv u p da V A p kiematikaiag ehetséges poteciáis
össefüggés segítségéve sámítható, ameybe F G A AI E és U F AdV V A u u A miimum bioyítása: u u egye két, ugyaarra a peremérték feadatra voatkoó kiematikaiag ehetséges emoduásmeő U U u u q dv u u p da V A p Átaakítás a U értemeéséek és a virtuáis muka evéek fehasáásáva: U F AdV V V V A F A A dv u u q dv u u F da Mive u u F da u u F da u u p da A Au Ap A aáhúott tagokat heyettesítsük vissa a A téyeges megodás egye: poteciáis eergia küöbségbe: F A F A dv F A A dv V V u A u, A, F F F Egy kiematikaiag ehetséges emoduásmeőhö tartoó meyiségek pedig egyeek: u u A A F F A küöbség: F A F A F A A dv V Átaakítás: F F A A F A F A F A F A Ha feáa a F A F A össefüggés, akkor éppe a itegradust kapák További átaakítások: y y y y F E e e e e e e e e e e e e F y y y I Simmetrikus teorok kétseres skaáris sorásáá a téyeők sorredje fecseréhető: F E E F F y I
Et fehasáva a második tag átaakítására: F A F F FIE F F FI F E G G Akamava a kétseres skaáris sorásra kapott FI E F, ietve F E F I össefüggést, a visgát kétseres skaáris sorat: F A F FI E F AF F A G A utosó, kapcsos aáhúássa jeöt egyeőségé fehasátuk, hogy simmetrikus teorok kétseres skaáris sorásáá a téyeők sorredje fecseréhető A kérdéses egyeőség tehát téyeg feá! Et figyeembe véve: F F A AdV u A A dv V A tejes poteciáis eergia miimuma ev: V eergia jeegű A össes kiematikaiag ehetséges emoduásmeő köü a tejes poteciáis eergia a téyeges emoduásmeőre miimumot sogátat csak akkor á fe, ha A A és u u Egakt megodás: ha a össes kiematikaiag ehetséges köü váastjuk ki a egkisebbet: mi Köeítő megodás: ha em a össes kiematikaiag ehetséges mi A tejes poteciáis eergia miimuma ev síkbei tartókra köü váastjuk ki a egkisebbet: Pédakét visgájuk meg egy síkbei hajított-yírt tartót, ameyre q qyey voa meté megosó erőredser hat u v e y Ebbe a esetbe a virtuáis emoduás csak y iráyú: Mide kiematikaiag ehetséges emoduásmeőhö sámítható egy tejes poteciáis eergia A tejes poteciáis eergia miimuma ev: y q v ( ) Váassuk két kiematikaiag ehetséges emoduásmeőt: π v csi v csi csi Ha a trigoometrikus sorba végtee sok tagot váastaák, akkor a egakt megodást kapák
A megodás potosságáró eergia érteembe is ehet beséi A megodás potosságát a jeemi Határouk meg a kiematikaiag ehetséges tejes poteciáis eergiát: U W, dv d, u, d E, y y dy meyiség Itt jeeti a rúd kerestmetsetéek kiematikaiag ehetséges sögeforduását, pedig a rúd köépvoakáak kiematikaiag ehetséges görbüetét A eőbbieket fehasáva a tejes poteciáis eergia eső tagja: d V A d u dv E y dad I E d A küső erők mukája: Wk y i v q d v Fyi j M j m i j a kocetrát erők és yomatékok mukája Egy kiematikaiag ehetséges u emoduásmeőhö tartoó tejes poteciáis eergia: 4 A Lagrage-fée variációs ev m I E d vq F M y i yi j j d i j A tejes poteciáis eergia miimuma ev variációs megfogamaása A tejes poteciáis eergia is tekithető fukcioáak: u U u u q dv u pda V A p Peremfetéte: u, aa u értéke adott a A u feüete A u A sésőérték sükséges fetétee:, U u q dv u p da V A p A tejes poteciáis eergiáak a téyeges emoduásmeőre sésőértéke va Rugamasságtai feadatok eseté a ev megegyeik (aoos) a virtuáis emoduások evéve A miimum eégséges fetétee A sésőérték akkor miimum, ha ioyítható, hogy midkét fetéte tejesü A második variációt második derivátta aaóg módo képeük A tejes poteciáis eergia miimuma ev fiikai tartama aoos és a Lagrage -fée variációs ev Joseph-Louis Lagrage (Giuseppe Lodovico Lagragia) (76-8) fracia matematikus 4
Kérdés: a tejes poteciáis eergia miimuma ev (vagy a Lagrage-fée variációs ev) aapjá sámított egakt (vagy potos) megodás kieégíti-e a rugamasságta egyeetredserét? A egyeet fiikai tartama: U u q u p da V A p A aakvátoási eergiá végeük e a követkeő átaakításokat: U u dv F AdV F AdV V V V F u dv F u dv V A D V V u F d A u F dv V u F u F dv u F da u F da A p A u A eőő össefüggés egyedik egyeőségjee utá a A aakvátoási teor heyére u -t (aa a aakvátoási vektor D derivát teorát) írtuk, mert F u F A F D A F egyeetet aért írhattuk, mert ferdé simmetrikus, és egy simmetrikus és egy ferdé simmetrikus teor kétseres skaáris sorata ua A U össefüggése végrehajtott átaakítások eredméyét beheyettesítve a Lagrage-fée variációs evbe és at átredeve: u F q dv u F p da V A p Mive u tetsőeges, eért a egyeet csak akkor tejesü, ha a [ ]-be evő kifejeések küö-küö egyeők érussa Ebbő követkeik, hogy a tejes poteciáis eergia miimuma eve tartamaa - a F q egyesúyi egyeeteket és - a F p diamikai peremfetéteeket A variációsámítás serit, ha a sóba jöhető össes függvéyt figyeembe vessük (kokureciába bocsájtjuk), akkor egakt megodást kapuk, mert - A kiematikaiag ehetséges emoduásmeő kieégíti a kiematikai egyeetet és a kiematikai peremfetéteeket - A Lagrage-fée variációs ev pedig tartamaa a egyesúyi egyeetet, a diamikai peremfetétet, vaamit a ayagtörvéyt A a u, ameyé a -ek miimuma va, kieégíti a rugamasságta egyeetredserét, tehát egakt megodás Egakt megodás: Ha a össes kiematikaiag ehetséges emoduásmeőt figyeembe vessük, akkor kieégüek a egyesúyi egyeetek és a diamikai peremfetéteek is Köeítő megodás: Ha a figyeembe vett függvéyek hamaa em tartamaa a össes kiematikaiag ehetséges emoduásmeőt, akkor a miimum ev, vagy variációs ev igyeksik kieégítei a egyesúyi egyeeteket és a diamikai peremfetéteeket Ekkor a egyesúyi egyeetek és a diamikai peremfetéteek csak köeítőeg eégüek ki 5
5 A Rit-módser A Rit -módserre köeítő megodás áítható eő a tejes poteciáis eergia miimum ev fehasáásáva A össes kiematikaiag ehetséges emoduásmeőbő egy réshamat ragaduk ki A kiematikaiag megegedett emoduásmeőt véges sámú ( darab) paraméter segítségéve áítjuk eő: u u c, c, c Így tejes poteciáis eergiába is csak a eőbb beveetett darab (ismerete) paraméter jeeik meg: c, c, c E at jeeti, hogy em vessük figyeembe a össes kiematikaiag ehetséges emoduásmeőt, ami kiematikaiag megegedett, haem csak -et Eek köü a meők köü a adja a jobb köeítést, meyre feá a c c c c c c fetéte, hise a variációképés formáisa paraméterek seriti differeciát jeet Mive c, c,, c egymástó függete, tetsőegese váastható paraméterek, eért c, c,, A tehát csak akkor ehet ua, ha a ci -k együtthatói küö-küö uáva egyeők:, c, c darab ieáris agebrai egyeet c Ee tehát a c, c,, c paraméterekre egy ihomogé, ieáris agebrai egyeetredsert kaptuk, ameyek megodása sogátatja a feadat köeítő megodását Péda a Rit-módser akamaására Tekitsük egy befogott tartót, meyek ismerjük a geometriai adatait, I, ayagáak rugamassági moduusát ( E ), vaamit a terheését ( q ) y c A q Határouk meg a tartó súypoti sááak deformát aakját a) etti-tétee (csak a végpot v emoduását és a sögeforduását), b) a rugamas sá differeciáegyeetéek megodásáva, c) Rit-módserre Water Rit (878-99) svájci fiikus 6
a) Megodás etti-tétee: A v meghatároásáho a kerestmetsetbe fe ke vei egy egységyi, y iráyú erőt A eredeti terheéshe és a egységyi erőhö tartoó igéybevétei ábrák a követkeő ábrá áthatók M A FAy q Eredeti terheés: q T y M h y A v kisámításáho fevett ER: kn q A A kn q q t v m v y etti-téte: W U q q M h () q mv ( ) v q q M m d 4 6IE 8 h v IE 4 q q q 6I E 4 8I E A sögeforduás sámításáho a tartóra a potba egy egységyi yomatékot ke fevei, majd a eőő godoatmeethe hasoóa járuk e A kisámításáho fevett ER: knm y A knm m q q q etti-tétebő: M hm d 4 I E 6I E 8 6I E b) Megodás a rugamas sá differeciáegyeetéek fehasáásáva: A hajított-yírt tartó rugamas sááak differeciá-egyeete: M q q q dv h d I E I E A sögeforduás differeciá-egyeet egyseri itegráásáva határoható meg: 7
A dv Mh q q q d c c d I E I E 6 c értéke a peremfetétebő adódik A peremfetéte a heye (a befogási heye) Tehát a sögeforduás függvéy: A kerestmetset sögeforduása: A A c c IE q q q IE 6 q q q q I E 6 6I E A ehajás értékét a rugamas sá differeciá-egyeetébő kétseri itegráássa határohatjuk meg: M q q q v d d c c c 4 h I E I E 6 4 A peremfetéte -á v, ebbő pedig a eőbbihe hasoó módo követkeik, hogy c A q q q A emoduásfüggvéy tehát: v IE 4 6 4 A kerestmetset y iráyú emoduása: c) Megodás Rit-módserre: 4 4 4 4 4 4 q q q q q v v I E 4 6 4 4 I E 8I E Legye kiematikaiag ehetséges köeítő emoduásmeő poiom: A peremfetéteek: -á -á Köeítés másodfokú poiomma: i v c c c c c c c i i 4 4 v c, dv c d A eső köeítő emoduásmeőt áítsuk eő a feti másodfokú köeítő poiom segítségéve A peremfetéteek miatt a köeítő poiomba most csak a másodfokú tag serepe A köeítő meő és derivátjai: v c, d A tejes poteciáis eergia: c, c d 8 4 I E d q v d I E c qc d A tejes poteciáis eergia sésőértékéek fetétee: q Ie c kifejehető: c IE q A köeítő megodás: v IE I Ec q c dv, d 6I E 4 q
Eekbe a össefüggésekbe értéket beheyettesítve: 4 q q v, I E 6I E Köeítés harmadfokú poiomma: A köeítő emoduásmeő egye harmadfokú poiom: v c c, A tejes poteciáis eergia: c c d, c 6 c I E d q v d I E c c d q c c d 4 I E c 6cc 9c d q c c 4 4 I Ec cc c q c c 4 A sésőérték fetétee: I E 4c 6 c q, c I E 6 c c q c A megodadó ieáris agebrai egyeetredser: q c c 6IE 4 c 8 c 6 q IE A eső egyeetet -e megsorova, majd a második egyeetbő kivova kapjuk q c -at: c IE 4 4 q q 5q Et vissaheyettesítve: c 6I E I E 4I E 5q q A köeítő emoduásmeő: v 4I E I E d A kerestmetset köeítő emoduása: 4 4 4 5q q q v v( ) 4I E I E 8I E A köeítő sögeforduásmeő: 5q q I E 4I E q A kerestmetset köeítő sögeforduása: 6 IE Köeítés egyedfokú poiomma: A köeítő emoduásmeő egye egyedfokú poiom: 4 v4 c c c4, 4 c c 4c4 d, 4 c c c4 6 d 9
A tejes poteciáis eergia: 4 4 4 d 4 c c c4 I E d q v d A 6 háromtagú kifejeést égyetre emeve, majd a itegráást evégeve, a eső tag d itegrája: A második tagja itegrája: 4 44 5 48 44 4 d c c c4 cc cc4 cc4 4 d 5 4 q v d q c c c 4 5 4 4 4 5 A sésőérték meghatároásáho eő ke áítauk 4 megfeeő paraméterek seriti derivátjait: I E8c c 6 c q, c 4 4 4 I E4 c c 6 c q, c 4 4 4 4 5 88 I E c 6 c 6 c q c 5 5 A megodadó ieáris agebrai egyeetredser: A egyeetredser megodása: A köeítő megodás a emoduásmeőre: 4 5 4 4 4 q 8c c 6 c4 IE 4 4 q c 4 c 6 c4 4IE 5 4 88 5 q 6 c 6 c c4 5 5IE q q q c, c, c4 4IE 6IE 4IE q 4 v4 IE 4 6 4 A egyedfokú poiomma kapott köeítő megodás megegyeik a egakt megodássa! E aért va így, mert a M yomatéki függvéy másodfokú A rugamas sá differeciá egyeetébő h eért a egakt megodásra egy egyedfokú poiomot kapuk Itt a Rit-módseré fevett egyedfokú poiomsereg tartamaa at a egyedfokú függvéyt is, ami a téyeges (egakt) megodás, eért adódik beőe a egakt megodás 6 A tejes kiegésítő eergia miimuma ev A tejes kiegésítő eergia miimuma ev koervatív erőredserek eseté érvéyes A fajagos kiegésítő aakvátoási eergia értemeése: e ef F A u Lieárisa rugamas ayag eseté: e F A F A u
Átaáos esetbe a fajagos kiegésítő eergiát a fesütségi koordiáták, míg a fajagos aakvátoási eergiát a aakvátoási koordiáták függvéyéek tekitjük: P tista húás-yomás eseté: e e és u u A ábrá jó átható a e értemeése, y,, y, e e F e, u u A u A test kiegésítő aakvátoási eergiája a fajagos kiegésítő aakvátoási eergia össegéséve határoható meg: E e dv F A u dv A test tejes kiegésítő eergiájáak értemeése: V V K K F E u F da A u Mide F statikaiag ehetséges fesütségmeőhö eőáítható K statikaiag ehetséges tejes kiegésítő eergia: K K F E u F da A u A tejes kiegésítő eergia miimuma ev eveetése a poteciáis eergia miimuma ev eveetéséve aaóg módo törtéik A tejes kiegésítő eergia miimuma ev: K K A össes statikaiag ehetséges fesütségmeő köü a tejes kiegésítő eergia a téyeges fesütségmeőre miimumot sogátat Ebbe a esetbe a esődeges ismerete a fesütségmeő, míg a aakvátoási és a emoduásmeő sármatatott ismerete Egakt megodás: ha a össes statikaiag ehetséges K köü váasthatjuk ki a egkisebbet: Kmi Köeítő megodás: ha em a össes statikaiag ehetséges K köü váastjuk ki a egkisebbet: Kmi K K A tejes kiegésítő eergia miimuma ev tartamaa a kiematikai egyeeteket és a kiematikai peremfetéteeket A eergiaevek em ieárisa rugamas testek kis aakvátoására is érvéyesek, em érvéyesek visot testek agy aakvátoásai eseté 7 A Castigiao-fée variációs ev A Castigiao -fée variációs ev a tejes kiegésítő eergia miimuma ev variációs megfogamaása Houk étre egy statikaiag ehetséges fesütségmeőt a téyeges fesütségmeő kis megvátotatásáva: Caro Aberto Castigiao (847-884) oas mérök
A F akkor statikaiag ehetséges, ha F F F V F q F Ap F p F A tejes kiegésítő eergiát is tekithetjük fukcioáak: K F E F u F da A variációs evet ieárisa rugamas ayagokra veetjük e, ebbe a esetbe E A u U ioyítjuk, hogy a téyeges F -re a K tejes kiegésítő eergiáak sésőértéke va: K és e a sésőér- ték miimum: K A A és F teorok em függeteek egymástó, eért ieárisa rugamas esetbe a K tejes kiegésítő és a U aakvátoási eergia F -re éve kvadratikus (másodfokú) kifejeés, így statikaiag ehetséges fesütségmeőbe csak egfejebb másodredű tagok serepeek: K K K K, U U U U A tejes kiegésítő eergia eső variációja (ieárisa rugamas ayag eseté): K U u F da Visgájuk meg, hogya sámítható U u dv V A itegradus: u F A F A F A ioyítható, hogy F A F A Et fehasáva: u F A Et vissaheyettesítve a tejes kiegésítő eergia eső variációjába: A u V A u K F A dv u F da A virtuáis muka evéek fehasáásáva további átaakításokat végehetük: F A dv u q dv u F da V V A Legye A A és u u, ekkor F A dv u q dv u F da V V A Legye F F, ekkor F A dv u q dv u F da V V A Vojuk ki egymásbó a eőő két egyeetet: Egy odara redeve: F A dv u F da u F da V Ap Au = V A u K F A dv u F da A tejes kiegésítő eergiáak tehát a F téyeges fesütségmeőre sésőértéke va A tejes kiegésítő eergia miimuma ev serit: K K,
A sésőérték tehát miimum K K, K 8 Köeítő megodás eőáítása a tejes kiegésítő eergia miimuma ev fehasáásáva E a Rit-módserre aaóg ejárás A statikaiag ehetséges fesütségmeőt véges sorra köeítjük: F F Eek tejesíteie ke a egyesúyi egyeetet és a diamikai peremfetétet: V F q, A F p A tejes kiegésítő eergia: A sésőérték fetétee: Mive k,,, k p K U u F da, U U,,, Au U K k k u F da k kk k Au k egymástó függeteü, tetsőegese vátotatható paraméterek, eért a együtthatókak ke uáak eiük U u F da k,, k k Au E egy ismeretees ihomogé agebrai egyeetredser a k ismereteekre k k