Császár Attila: Példatár (kezdeény) a Fizikai kéiai száolások gyakorlathoz 015. ősz
Tartalojegyzék I. Isétlés (száok, űveletek, halazok, fizikai ennyiségek és értékegységek) II. III. IV. Valós függvénytan (határérték, folytonosság, rend) Differenciálszáítás (differenciál, teljes differenciál) Integrálszáítás (integrálási technikák (parciális, helyettesítéses, törtekre bontás, sorfejtés), ívhossz, ívhossz integrál, vonalintegrál, többszörös integrál) V. Differenciálegyenletek (elsőrendű, ásodrendű, közönséges, parciális) VI. Vektoranalízis (skalárszorzat, vektoriális szorzat, nabla, háras szorzatok) VII. Lineáris terek, lineáris algebra (vektorterek, függvényterek, deterinánsok, átrixok, ortogonalizáció, sajátérték egyenletek) VIII. Szélsőérték száítás
I.1 Száok I. Isétlés Fogalak, definíciók (a) valós száok, egész száok, (pozitív, negatív, 0 (terészetes száok, ); páros, páratlan; prí) racionális száok, Q (r/s, s 0, r a száláló és s a nevező); véges, végtelen; inden x racionális szá egoldása egy lineáris egyenletnek, x = n, de ne inden valós szá racionális; a racionális száok indig felírhatók tizedestörtként, bár ezek alakja ne indig véges (pl. 1/3 = 0,333 333 ) irracionális száok, Q* (pl. (az x nelineáris egyenlet egyik egoldása), e =,718 81 8... (ellenőrizhető az az érdekes összefüggés, hogy 1 e ) és π = n0 n! 3,141 59... = 41, elyet a kör kerületének és átérőjének hányadosa is definiál); az irracionális száok olyan tizedestörtek, elyek végtelen sok szájegyet és seilyen isétlődő struktúrát ne tartalaznak (b) koplex száok, z a ib, ahol i 1 a képzetes (iaginárius) egység, Re(z) = a, I(z) = b polárkoordinátás alak: z r(cos i sin ), Argand diagra (koplex szásík) Euler-féle (exponenciális) alak: z z exp( i) (c) száok (skalár ennyiségek) közötti viszonyok: nagyság, előjel sorrendbe állítás:,,,,,,,,,, p p (d) tudoányos jelölés: a 10, illetve a 10 (e) prefixuok deci (d) 10 1 deca (deka, da) 10 1 centi (c) 10 hecto (hekto, h) 10 illi () 10 3 kilo (k) 10 3 icro (ikro, μ) 10 6 ega (M) 10 6 nano (n) 10 9 giga (G) 10 9 pico (piko, p) 10 1 tera (T) 10 1 feto (f) 10 15 peta (P) 10 15 atto (a) 10 18 exa (E) 10 18 zepto (z) 10 1 zetta (Z) 10 1 yocto (y) 10 4 yotta (Y) 10 4 3
I. Műveletek Fogalak, definíciók (a) száok közötti aritetikai űveletek: összeadás (+), kivonás (), szorzás () és osztás ( ) (b) a száok összegére és a szorzatára vonatkozó űveletek algebrája az alábbi szabályokon alapul: R0. ha,, úgy és (zártság összeadásra és szorzásra) R1. p + q = q + p (az összeadás koutatív) R. pq = qp (a szorzás koutatív) R3. 0 + p = p (van zérus ele összeadásra) R4. 00 (van zérus ele szorzásra) R5. 1 (van egységele szorzásra) R6. p + (q + r) = (p + q)+ r (az összeadás asszociatív) R7. p(qr) = (pq)r (a szorzás asszociatív) R8. p(q + r) = pq + pr (disztributivitás) (c) a racionális száokkal történő űveletekre az alábbi szabályok vonatkoznak: p q np p p p q q, és n q nq n q nq n q n p np n n ( x ) x ; (d) exponenciálisokra vonatkozó szabályok: 0 n n x 1; x x x ; n n n n n n x / x x (1/ x ) x ; ( xy) x y ; x 1/ x -edik gyöke; n / 1/ n n x ( x ) x ; ezek a szabályok irracionális száokra is igazak. (e) a száítástechnikában az absztrakt adattípus egy olyan halaz, ely tartalazza az absztrakt adatokat (a vizsgálat tárgyát képező inforáció, forai egjelenés nélkül), valaint a rajtuk végezhető űveleteket Mintafeladatok Legyen z 1 i. Határozzuk a zz* szorzat értékét. z 1 i z* 1 i Megoldás: zz* (1 i)(1 i) 1 i Gyakorló feladatok 3 3 Adott a z i koplex szá. Mennyi (a) z 4 és (b) z? Mutassa eg, hogy i-nek is van négyzetgyöke, hiszen pl. 1 / négyzetre eelve i-t ad. Mi a ásik kifejezés, elynek négyzete i-t ad? z Legyen z i és w 1 i. Mennyi u -nek az abszolut értéke? Írja át u-t z w exponenciális alakba! 1 Legyen z 1 i. Mennyi z, z *, zz *, és ln z értéke? Ábrázolja az eredényeket z a koplex szásíkon! 4
Gázfázisú atook, illetve olekulák átlagos sebességére levezethető, hogy 3/ M 1 RT c 4. Mutassa eg, hogy RT M 8RT c M 1/. I.3 Halazok Fogalak, definíciók (a) a halaz objektuok bárilyen jól definiált gyűjteénye, gyakran eleeinek (tagjainak) felsorolásával adjuk eg: pl. száokat tartalazó listák esetében {,4,6,8,10} a és 10 közötti páros száokat tartalazó lista, íg {,4,6, } a pozitív páros egészeket tartalazó végtelen eleű lista (b) a halazok rendezetlenek és az esetleg többször fellépő tagok is csak egyszer száítanak, azaz pl. {3,6,} = {,3,6} és {4,6,4} = {6,4} (c) ha egy a objektu része egy A listának, akkor azt írjuk, hogy ; azaz pl.,4,6,8,10; ha a ne elee A-nak, akkor -t írunk (d) az A és B lista etszete,, a indkét listában jelen lévő objektuokat tartalazza, azaz pl. 1,,3,3,4,3 (e) az A és B listák uniója,, a ind az A-ban, ind a B-ben (vagy indkettőben) jelen lévő eleeket tartalazza, pl. 1,,3,3,4 1,,3,4 (f) az A lista a B lista allistája, aennyiben A inden elee B-nek is elee (g) két lista egyenlő, A = B, aennyiben ugyanazon eleeket tartalazzák I.4 Fizikai ennyiségek és értékegységek Fogalak (a) A fizikai ennyiségek kifejezhetők, int egy nuerikus érték és egy értékegység 7 szorzatai: fizikai ennyiség = nuerikus érték értékegység. Pl.: 5,896 10 = 589, 6 n. (b) A fizikai ennyiségek között hét alapennyiséget különböztetünk eg: Fizikai ennyiség Jelölés SI értékegység hossz l éter, töeg kilogra, kg idő t ásodperc, s elektroos ára I aper, A terodinaikai hőérséklet T kelvin, K anyagennyiség n ól, ol fényerősség Iv kandela, cd Minden további fizikai ennyiség ún. száraztatott ennyiség. 5
(c) Minden (alap, illetve száraztatott) fizikai ennyiségnek létezik standard elnevezése, jelölése (szibólu), definíciója, valaint SI értékegysége: Elnevezés Jelölés Definíció SI értékegység Descartes koordináta x, y, z erő F töeggyorsulás N = kg s hő q, Q erőtávolság J = N unka w, W erőtávolság J = N nyoás p erő egységnyi terület Pa = N szögsebesség d / dt rad s 1, s 1 redukált töeg 1 /( 1 ) kg elektroos töltés q áraidő C = A s elektroos potenciál V unka egységnyi töltés V = J C 1 ágneses fluxus unka egységnyi ára Wb = J A 1 kinetikus energia operátor Tˆ Tˆ ( / ) J = N = kg s ionizációs energia Ei J = N kéiai eltolódás (NMR) 6 10 ( 0) / 0 1 hullászá (vákuban) ~ ~ / c 1 belső energia U U q w J = N A táblázatban szereplő ennyiségek kapcsán egjegyzendő, hogy (a) az elektroos ára az egységnyi idő alatt átfolyt elektroos töltés ennyisége; (b) a redukált töeg jelen forájában két töegpontra vonatkozik; (c) a fluxus általában egy adott A felületen átáraló anyag vagy energia ennyiségét jelenti, vagy egy erőtérnek a felületen történő áthatolását jellezi; (d) a ágneses indukcióvektor (B) és a felület szorzatával is értelezhetjük a ágneses fluxust int fizikai ennyiséget, értékegysége a weber (Wb). (d) Állandó (konstans): olyan fizikai ennyiség, elynek száértéke rögzített az adott feladat száításakor. A fizikai kéiában előforduló állandók döntő része adott értékkel és adott bizonytalansággal rendelkezik, az idők során, ahogy a érések egyre pontosabbá válnak, az állandók értéke és bizonytalansága is változik. Nulla bizonytalansággal a fizikai állandók közül jelenleg csupán a fény vákubeli sebességét ruházták fel, ennek pontos értéke c = 99 79 458 s 1. (e) Változó: olyan ennyiség, ely adott értékek bárelyikét felveheti. A p, T, n ennyiségek a f p, T, n nrt / p függvény változói. Kétféle változót különböztetünk eg, a független változó az, elynek értéke a többi változó értékétől független ( p, T, n az előző egyenletben), íg a függő változó értéke a független f p, T, n az előző egyenletben). változókétól függ (int V = 6
(f) Dienzióanalízis ( quantity calculus ): olyan algebrai rendszer, elyben a szibóluok hordozzák necsak nuerikus értéküket, hane értékegységüket is, azok szorzataival (is) dolgozunk. (g) Egyes szavak jelentése világosan rögzített a fizikai kéiában: extenzív: olyan ennyiség, elynek nagysága az alrendszerekre nézve additív, például töeg (), térfogat (V), Gibbs-energia (G) intenzív: olyan ennyiség, elynek nagysága a rendszer éretétől független, például hőérséklet (T), nyoás (p), kéiai potenciál (parciális oláris Gibbs-energia, μ) specifikus: egy extenzív ennyiség neve előtt jelzőként használva azt jelenti, hogy azt a töeggel elosztottuk (például térfogat, V, specifikus térfogat v V / 1/, ahol ρ a töegsűrűség, illetve izobár hőkapacitás, Cp, és specifikus izobár hőkapacitás, c C ) p p / oláris: egy extenzív ennyiség neve előtt állva általában azt jelenti, hogy a ennyiséget osztottuk az anyagennyiséggel (például térfogat, V, oláris térfogat V V / n, illetve entalpia, H, oláris entalpia H H / n ) (h) A kvantuechanikában a ozgásegyenletek egyszerűbb felírása érdekében bevezették az ún. atoi egységeket, ezek segítségével az egyenletek sokkal egyszerűbben felírhatók (az alábbi táblázat a bizonytalanságokat ne indig tünteti fel): Fizikai ennyiség atoi egység SI értékegység és érték töeg e 9,109 38 15(45)10 31 kg töltés e 1,60 176 487(40)10 19 C ipulzusnyoaték (perdület) h / 1,0545710 34 Js hossz a 4 e 5,91 77 085 9(36)10 11 0 0 / 4 energia Eh ee / 16 0 4,359 743 94()10 18 J idő / E,418 884 36 505(16)10 17 s elektroos ára elektroos potenciál elektroos dipólusnyoaték ea 0 h e ee / 6,63 617 63(17) 10 3 A h E /,7114 10 1 V h 8,478 35 81(1) 10 30 C 7
Mintafeladatok 7 A nátriu sárga vonalának λ hulláhossza 5,89610, vagyis 7 / 5,89610. Hány Å-nél jelenik eg a színképben ez a vonal? Megoldás: Az atoi dienziókban használatos ångströ értékegység definíciója: 1 Å = Å = 10 10, vagyis /Å = 10 10. A két egyenlet egyásba helyettesítésével 7 λ / Å = (λ / )( / Å) = ( 5,896 10 )(10 10 ) = 5896, vagyis λ = 5896 Å. Egy régi tankönyvben azt találjuk, hogy a vízgőz nyoása 0 C-on p(ho, 0 C) = 17,5 torr. Adjuk eg ás értékegységekben a nyoásértéket! Megoldás: A nyoás értékegységeinek szokásos átszáítási faktorai: 1 torr 133,3 Pa (760 torr = 760 Hg = 101 35 Pa) 1 bar = 10 5 Pa 1 at = 101 35 Pa. Így p(ho, 0 C) = 17,5 torr 133,3 (Pa/torr) =,33 kpa =,33 (10 3 /10 5 ) bar = 3,3 bar = (,33 10 3 ) Pa (1/10135) (at/pa) =,30 10 at Egy elektrolit Λ oláris vezetőképességére fennáll, hogy Λ / c, ahol κ az elektrolit oldat vezetőképességének és a tiszta oldat vezetőképességének a különbsége és c az elektrolit koncentrációja. Az elektrolit oldatok vezetőképességét többnyire S c 1 -ben (S = sieens), íg a koncentrációt ol d 3 -ban szokás kifejezni. Például c(kcl) = 0,000 500 ol d 3 esetén κ(kcl) = 7,39 10 5 S c 1. Azaz a oláris vezetőképességet a következőképpen kapjuk eg: Λ = (7,39 10 5 S c 1 )/(0,000 500 ol d 3 ) = = 0,1478 S ol 1 c 1 d 3 = 147,8 S ol 1 c Mindenképpen kerülni kell az olyan kifejezések használatát, elyek csak valailyen értékegységrendszer esetében teljesülnek, pl. a sajnos gyakran előforduló Λ 1000 / c kifejezést, aely csak akkor igaz, ha a oláris vezetőképességet S ol 1 c -ben, a vezetőképességet S c 1 -ben, íg a koncentrációt ol d 3 -ben írjuk fel. (Jelen példában a oláris jelző ne a egszokott érteleben szerepel, hane az anyagennyiség koncentrációval történő osztásra utal, ez a helyzet a oláris abszorpciós koefficiens esetében is.) 8
Gyakorló feladatok Hogyan tudja geoetriai úton eghatározni -t? Mi a helyzet 3 esetén? Hogyan tudja geoetriai úton eghatározni -t, aennyiben iseri az a és b szakaszok hosszát? 4 ee Száítsa ki E-t, aennyiben E és e = 9,109 10 31 kg, e = 1,60 10 19 C, 8h 0 h = 6,66 10 34 Js és ε0 = 8,854 10 1 CV 1 1. Milyen jellegű fizikai ennyiség E? 4 0 Az ún. Bohr-sugár definíciója a0, ahol e az elektron töege. Száítsa ki ee ezt az értéket a H-ato elektron alapállapotára. Adja eg az energia atoi egységben felírt 1Eh összefüggése alapján (Eh ea0 neve hartree) az Eh és a kj ol 1 értékegységek közötti átváltószáot, aennyiben h = 6,66 10 34 Js, e = 9,109 10 31 kg és a0 = 5,9110 9 c. Bárely töegű, v sebességgel ozgó részecskéhez hozzárendelhető annak ún. de h Broglie hulláhossza,, ahol h a Planck-állandó (h = 6,66 10 34 Js). v Száolja ki egy e = 9,109 10 31 kg nyugali töegű, a fénysebesség ( 3,00 10 s 1 ) 0,1 részével ozgó elektron hulláhosszát. Mely részébe esik az elektroágneses színképnek a száolt érték? Végezze el a szükséges konverziókat, hogy ki tudja tölteni az alábbi táblázat üres helyeit: hulláhossz hullászá energia frekvencia hulláhossz (Å) 40 hullászá (c ) 100 energia (kj ol 1 ) 490 frekvencia (Hz) 8,1 10 13 Határozza eg a van der Waals egyenletben található a, b és R állandók dienzióját: (egoldás: [a] =, [b] =, [R] = ) Határozza eg az alábbi egyenletben előforduló együttható dienzióját SI rendszerben: ahol [K] =, [A] = és [ = s. (egoldás: [] = ) 9
Határozza eg az alábbi egyenletben egjelenő δ együttható értékegységét SI értékegységrendszerben: ahol p nyoás, sűrűség és V térfogat dienziójú valaint, Eu dienzióentes. (egoldás: []= ) A Bohr-féle atoodellben a pályasugár együtthatója Mi az együttható dienziója, ha [ ] = A s/v, [h] = Js, [e] = kg és [e] = C? (egoldás: ) Mi az ún. Rydberg-állandó dienziója, ha, és [ ] = A s/v, [h] = Js, [e] = kg, [c] = s 1 és [e] = C? (egoldás: dienzióentes) Az infravörös spektroszkópia segítségével a C=O nyújtási rezgésre érhető hullászá sok olekula esetében 1780 c 1. Mennyi a hullászá értéke 1 egységben? Milyen frekvenciájú (GHz-ben) egy 0,04 c 1 hullászáal jelleezhető elektroágneses sugárzás? h De Broglie javasolta, hogy a képlet szerinti hulláhosszt rendelhetjük v töegű, v sebességű részecskékhez, ahol h a Planck-állandó. Száítsa ki a hulláhosszakat 1 ev energiájú proton, illetve elektron, valaint egy 0,1 kg töegű, 10 k/h sebességgel ozgó teniszlabda esetében. Mekkora felületet foglal el egy c 3 benzol, ha egy olekulányi vastagságban ( onolayer ) terül el a felületen? Becsülje eg, ajd száítsa ki az eredényt. A száításhoz szükséges adatok: sűrűség, ρ = 879 kg/ 3, egy olekula felülete,5 10 19, valaint a benzol olekulatöege 78,1 g ol 1. A feketetestek sugárzására vonatkozó Planck-féle sugárzási eloszlási függvény alakja. Adja eg értékegységét, aennyiben a következő értékegységeket iserjük: [h] = Js, [ν] = s, [c] = s, [k] = JK és [T] = K. Milyen kapcsolat van és között, aennyiben utóbbit a feketetest sugárzó üreg belsejében a sugárzási sűrűség? 10
kt 8kT A kinetikus gázelélet tárgyalása kapcsán isert, hogy v *, v 3kT és v, ahol v a sebesség, v* a sebességeloszlási görbe axiua, a részecske töege, íg átlagértéket jelöl. Vesse össze a N-gáz esetében ezeket az értékeket T = 98 K-en. Az FM rádiók az elektroágneses spektru 100 MHz körüli tartoányában sugároznak ( rádióhulláok ). Száítsa ki a 89,8 MHz-en sugárzó adó esetén a hulláhosszt ( ), a hullászáot ( ~ ), illetve a sugárzás E energiáját. Az ideális gáz állapotegyenlete pv nrt, ahol p a gáz nyoása, V a térfogata, T a hőérséklet, n az anyagennyiség, íg R = 8,314 51 J K 1 ol 1 az ún. egyetees gázállandó. Határozza eg 0,1 ól gáz térfogatát 98 K hőérsékleten és p = 10 5 Pa nyoáson. Hány százaléka a nehézségi gyorsulásnak a Föld forgása iatt fellépő centrifugális erőből adódó gyorsulás, R, aennyiben a Föld sugara R = 6371 k és a szögsebesség nap 1? Két, egyástól r1 távolságban lévő 1, illetve töegű test között ható gravitációs erő felírható, int. Két q1 és q töltés között ható (taszító vagy vonzó) elektroágneses erő felírható, int. Hasonlítsa össze két, egyástól 10 c távolságra levő proton gravitációs vonzerejét a köztük fellépő elektrosztatikus taszítóerővel (ehhez keresse eg a γ gravitációs állandó és a k elektrosztatikus állandó legújabb irodali értékeit). Van-e a kölcsönhatások relatív erősségének távolságfüggése? Milyen következtetés vonható le az arányból? A kinetikus gázelélet egyik állítása, hogy egy töegű olekula x irányban vett átlagos sebességére, re fennáll, hogy 1/ / / 1/ /, ahol kb az ún. Boltzann-állandó, T pedig a terodinaikai hőérséklet. Mutassa eg, hogy ez a kifejezés a következő alakra egyszerűsíthető: /. A Heisenberg-féle határozatlansági elv alapján Δ π. Aennyiben egy rendszerre Δ ideig onokroatikus sugárzást bocsátunk, a rendszer legalább 1/ sugárzási szélességet észlel a frekvenciatérben. Egy 10 ns ideig tartó pulzus esetén legalább ekkora frekvenciatartoányt fogunk át? Mi a helyzet egy 1 fs-os pulzus esetében? Javasolt irodalo Sárközy András: Koplex száok, Műszaki Könyvkiadó, 1973. IUPAC s Green Book: Quantities, units and sybols in physical cheistry, 3rd edition 11