DIPLOMAMUNKA. Csősz Gábor. Szupravezetők transzporttulajdonságainak vizsgálata mikrohullámú méréstechnikával

DIPLOMAMUNKA Szupravezetők transzporttulajdonságainak vizsgálata mikrohullámú méréstechnikával Csősz Gábor Témavezető: Simon Ferenc egyetemi tanár BME Fizikai Intézet Fizika Tanszék BME 218

Önállósági nyilatkozat Alulírott Csősz Gábor a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem fizikus MSc szakos hallgatója kijelentem, hogy ezt a diplomamunkát meg nem engedett segédeszközök nélkül, önállóan, a témavezető irányításával készítettem, és csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint, vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból vettem, a forrás megadásával jelöltem. Budapest, 218. június 7. Csősz Gábor

Diplomamunka-kiírás Témavezető Név: Email cím: Intézet/Tanszék/Cégnév: Beosztás: Simon Ferenc f.simon@eik.bme.hu Fizika tsz. Egyetemi tanár Hallgató Név: Képzés: Csősz Gábor Fizikus MSc - kutatófizikus Elvárások kísérletező kedv, angol nyelvtudás, jó tanulmányi eredmények Leírás A szupravezető anyagok kutatása a szilárdtestkutatás és kondenzált anyagok fizikájának élvonalába tartozik. A másodfajú szupravezetők ún. kevert állapotában a vortexek dinamikája meglepő mikrohullámú tulajdonságokat eredményez. Előzetes méréseink alapján a K 3 C 6 szupravezetőben a szupravezető állapotban nagyobb mikrohullámú veszteséget figyelhetünk meg a kevert állapotban (azaz véges mágneses térben) mint a normálállapotban. A sejtésünk az, hogy ezt a vortexek dinamikája okozza, amit a várakozásunk szerint a fenomenológikus Coffey-Clem modell segítségével le lehet írni. A jelentkező feladata a szupravezetők mágneses és transzporttulajdonságainak elméletében és a mikrohullámú méréstechnika alapjaiban való elmélyedés. Emellett mikrohullámú ellenállásmérések elvégzése a K 3 C 6 szupravezetőn a mágneses tér függvényében, valamint a kísérleti eredmények értelmezése a Coffey-Clem modell segítségével. 2

Tartalomjegyzék Ábrák jegyzéke 5 1. Bevezetés és motivációk 8 2. Elméleti összefoglaló 1 2.1. Fémek vezetőképessége.............................. 1 2.1.1. Drude-modell............................... 1 2.1.2. Kramers-Kronig-összefüggések..................... 11 2.1.3. Összegszabály.............................. 13 2.2. Szupravezetők fizikája.............................. 14 2.2.1. Szupravezetők fizikájának alapjai.................... 14 2.2.2. Szupravezetők elektrodinamikája.................... 17 2.2.3. Másodfajú szupravezetők......................... 19 2.3. A Coffey Clem-elmélet.............................. 21 3. Kísérleti technika 23 3.1. Mikrohullámú ellenállásmérés.......................... 23 3.1.1. Mikrohullámú üreg tulajdonságai.................... 23 3.1.2. Vezetőképesség mérése üregperturbációs technikával.......... 24 3.2. Mérési összeállítás................................ 28 3.3. Mintakészítés................................... 29 4. Eredmények és diszkussziójuk 3 4.1. Kísérleti eredmények............................... 3 4.2. A Coffey Clem-modellel leírt szupravezető anyag vezetőképessége...... 3 4.3. Kísérleti eredmények értelmezése a Coffey Clem-modell segítségével..... 35 5. Összefoglalás 39 Táblázatok jegyzéke 4 Irodalomjegyzék 41 A. Felhasznált jelölések és rövidítések 44 B. Kramers Kronig-összefüggések teljesülése szupravezető anyag frekvenciafüggő vezetőképességére 45 3

TARTALOMJEGYZÉK 4 C. További mérési eredmények finom porú minta esetén 46 D. Szimuláció során használt fizikai paraméterek hőmérséklet és mágneses tér függése 47 E. Mérési adatok szimulálásához használt Matlab program 48 F. Matlab program validálása 5

Ábrák jegyzéke 2.1. Drude-modellből kapott vezetőképesség valós és képzetes részének frekvenciafüggése normálva a DC vezetőképesség nagyságával............... 11 2.2. Az α (ω)/(ω ω ) integrálásakor használt görbék a komplex ω síkon feltéve, hogy α (ω) véges az origóban. A bal oldali ábrán a színek a (2.12) egyenletben szereplő megfelelő tagokhoz tartozik....................... 12 2.3. Állandó mágneses tér kiszorulása szupravezető anyagból............. 15 2.4. Külső mágneses térbe helyezett normál és szupravezető anyag szabadenergiája a külső mágneses tér függvényében........................ 16 2.5. Mattis Bardeen-elméletből számolt vezetőképesség valós és képzetes részének hőmérsékletfüggése különböző frekvenciákon. Az ω = 2 /ħ frekvencián megjelenő valós vezetőképességet Tinkham-élnek nevezzük............. 19 2.6. Szupravezető állapot és külső mágneses tér lecsengése szupravezető és normál állapotú anyag határán [1]............................ 2 3.1. Üregben lévő teljesítmény frekvenciafüggése. A kapcsolatot a két mennyiség között a Lorentz-görbe írja le........................... 24 3.2. Mikrohullámú veszteség és frekvenciaeltolódás különböző szemcseméret esetén a vezetőképesség valós részének függvényében. Az ábrázolás során: σ 2 =, µ r = 1 és ω = 11,1 GHz. A görbék visszadják a [2] cikkben leírt eredményeket. 27 3.3. A mikrohullámúellenállás-méréshez használt AFC üzemű mérés mérési elrendezése [3]...................................... 28 4.1. K 3 C 6 mintán végzett mikrohullámú vezetőképesség mérések eredményei különböző DC mágneses terek mellett a hőmérséklet függvényében. Az eredményeket a korábban bevezett mikrohullámú veszteség (1/2Q) és frekvenciaeltolódás f / f segítségével szemléltetem. A bal oldali két grafikon a kristálymintán végzett mérésekhez tartozik, a jobb oldali kettő a finom poron végzett mérésekhez. A grafikonon az adatok áttekinthetősége érdekében nem ábrázoltam az összes méréshez használt mágneses térhez tartozó görbét. A többi mérési eredmény a C függelékben található........................ 31 4.2. A Coffey Clem-modellből kapott frekvenciafüggő vezetőképesség valós és képzetes része különböző nagyságú κ p értékek esetén K-en véges DC mágneses térben...................................... 33 5

ÁBRÁK JEGYZÉKE 6 4.3. A Coffey Clem-elméletből kapott frekvenciafüggő vezetőképesség kvalitatív alakja a 3 esetre. Az első esetben nincs külső mágneses tér, a második esetben van külső mágneses tér, de nincs visszatérítési erőállandő és a harmadik esetben külső mágneses tér és visszatérítési erőállandó is van............... 34 4.4. A Coffey Clem-elméletből kapott σ valós és képzetes részének hőmérsékletfüggése különböző mágneses terek és visszatérítési erőállandók mellett..... 35 4.5. Mérési eredmények és a Coffey Clem-elméletből számolt vezetőképességhez tartozó mikrohullámú veszteség és frekvenciaeltolódás összehasonlítása kristály- és finompor-minta esetén......................... 37 C.1. További mérési eredmények finom porú K 3 C 6 mintán mérve. Az eredményeken jól látszódik, hogy a DC mágneses tér növelésével egyre nagyobb lesz a mikrohullámú veszteség [3]............................ 46 F.1. F.2. Coffey Clem-elméletből kapott vezetőképesség valós és képzetes részének hőmérséklet és mágneses tér függése [4]....................... 5 Coffey és Clem által publikált eredmények reprodukálása a mérési adatok szimulálásához írt Matlab program segítségével................... 51

Köszönetnyilvánítás Hálás köszönettel tartozom témavezetőmnek, Simon Ferencnek, aki mindig odaadó lelkesedéssel és nagy türelemmel segített nekem a munkám során. Segítsége nélkül sem a diplomunkám, sem az azzal azonos témájú cikk sem jöhetett volna létre. Ezenfelül szeretnék köszönetet mondani Murányi Ferencnek a mérések elkészítésében való részvételért, Kamarás Katalinnak, Klupp Gyöngyinek és Nemes Norbertnek a méréshez használt minták előkészítéséért. Jánossy Andrásnak a mikrohullámú impedanciamérés elméletének megértésében nyújtott segítségéért. Továbbá szeretnék köszönetet mondani a laborban dolgozó hallgatótársaimnak, különlegesen Márkus Bence Gábornak, akik állandóan segítettek, ha szükségem volt rá. Továbbá szeretnék köszönetet mondani szüleimnek, akik tanulmányaim során állandóan támogattak. A kutatást a Nemzeti Kutatási Fejlesztési és Innovációs Alap támogatta a Nemzeti Kiválósági Program keretében, a "Kvantumbitek előállítása, megosztása és kvantuminformációs hálózatok fejlesztése" című, 217-1.2.1-NKP-217-1. számú projekt részeként. 7

1. fejezet Bevezetés és motivációk A szupravezetés vizsgálata az elmúlt mintegy 1 évben a szilárdtestkutatás élvonalában van. Az alapjelenségek mellett, mint a Meissner effektus és az ellenállás nélküli elektromos vezetés [1], a szupravezetők rádiófrekvenciás tulajdonságai is igen érdekesek és fontosak. Emellett a szupravezetők gyakorlati alkalmazása is jelentős, például szupravezető szolenoid tekercsek használata az orvosi képalkotásban vagy a szilárdtest spektroszkópiában. Ezenfelül véges frekvenciákon történő alkalmazásuk is jelentős. Fel szokták használni hangradarok gyártásához vagy rádiófrekvencián történő detektáláshoz [5 7]. A szupravezetők frekvenciafüggő vezetőképessége, σ = σ 1 + iσ 2, jól ismert a mágneses tér hiányában. T = K-en a valós része ω = frekvencián Dirac-delta függvénnyel arányos, majd véges frekvencián σ 1 = -vá válik az úgynevezett Tinkham-élig, ω g = 2 /ħ (tipikusan,1-1 THz) [8]. Véges mágneses térben a másodfajú szupravezetők vezetőképességét először a Bardeen Stephen-modell írta le a vortexek viszkozitással analóg jellegű mozgásának figyelembevételével [9]. Később Coffey és Clem továbbfejlesztette ezt a modellt, azzal az extra feltétellel, hogy a vortexekre nemcsak egy viszkózus erő hat, hanem úgynevezett rögzítési potenciálban 1 mozognak, ami egy extra járulékot ad a vortex mozgását leírő egyenletben [4, 1 14]. A Bardeen Stephen-modell legfontosabb jóslata, hogy a szupravezető anyagok ω = frekvencián is véges σ 1 -el rendelkeznek. Emiatt az összegszabály teljesüléséhez szükséges, hogy a vezetőképesség valós részének véges frekvencián is, a Tinkham-él alatt -tól különbözőnek kell lennie, és ennek nagyobb értéket kell felvennie, mint a normálállapotban mérhető vezetőképességnek. Ennek a jelenségnek megfigyelése nem egyszerű, ugyanis a vezetőképesség mérésekor leggyakrabban az úgynevezett felületi impedanciaméréseket végeznek [15], amely méréseknél ez nem megfigyelhető, az elektromágneses tér anyagból való kiszorulása miatt, amit szupravezető állapotban megjelenő nagy σ 2 okoz. Ezzel szemben finom por minták esetén ez a kiszorulás nem olyan jelentős, aminek következtében σ 1 növekedése egyre nagyobb elektromágneses veszteséget fog okozni a mérendő anyagban. Ezzel kapcsolatban végzett méréseket kétfajta K 3 C 6 mintán Simon Ferenc és Murányi Ferenc 21 és 24 között. A méréseket úgynevezett mikrohullámú üregperturbációs technikával végezték [16], és a vezetőképességet a hőmérséklet függvényében különböző DC mágneses terekben mérték. Az eredmények során azt tapasztalták, hogy csak elég kis szemcsemérettel rendelkező (néhány mikorméteres) porminta esetén figyelhető meg a fentebb említett megnö- 1 pinning potential 8

vekedett veszteség. Diplomamunkámban ezeknek a méréseknek az eredményét értelmezem a Coffey és Clem által leírt modell segítségével. A munka során az irodalomban vélhetően ismert, de kevéssé részletezett megfigyeléseket tettem mint pl. a Bardeen-Stephen modellből kapott frekvenciafüggő vezetőképesség viselkedése és ennek kapcsolata az ún összegszabállyal. Az itt bemutatott eredményekből egy tudományos közlemény készült, ami jelenleg elbírálás van, és az Arxiv.org-on elérhető [3]. 9

2. fejezet Elméleti összefoglaló Ebben a fejezetben ismertetem a diplomamunka során elvégzett munka leírásához szükséges elméleti ismereteket. Először a normál fémek frekvenciafüggő vezetési tulajdonságait mutatom be, majd ezt követően a szupravezetők elektrodinamikáját. Végezetül a másodfajú szupravezetők véges mágneses térbeli elektronidamikájának fenomenológikus elméletét, a Coffey Clem-elméletet mutatom be. 2.1. Fémek vezetőképessége 2.1.1. Drude-modell A fémekben lévő vezetési elektronok mozgását leíró egyik legelső elmélet a Drude-modell volt, ami sikeresen használta a kinetikus gázelmélet eredményeit a fémekben található elektronokra [17]. A modell annak ellenére, hogy a kvantummechanika formalizmusának leírása előtt keletkezett, elég jó közelítését adja a fémek frekvenciafüggő vezetőképességének. A modellben az elektronokra úgy tekintünk, mint ideális gázrészecskékre, amik az atommag körül egy véges térfogatban tudnak mozogni. Külső tér nélkül az elektronok termikus mozgást végeznek, aminek a járuléka az áramsűrűséghez kellően sok elektron esetén zérusra átlagolódik ki. Amennyiben külső térbe helyezzük a fémet, az elektronoknak a termikus mellett megjelnik egy drift sebessége is, ami az elektromos térrel párhuzamos irányú. Az elektronok atommaggal való kölcsönhatát egy τ karakterisztikus relaxációs idővel vesszük figyelembe, ami egy elektronnak az atommaggal való ütközései között eltelt átlagos idő. Ezeknek az ütközéseknek a során az elektronok elveszítik a drift sebességüket. Így a drift sebességre az alábbi differenciálegyenlet írható fel: dv(t) m e = ee(t) m ev(t). (2.1) dt τ Feltéve, hogy a külső elektromos tér időfüggése harmonikus ( exp( iωt)) és a tranziens jelenségek már lecsengtek, akkor a (2.1) egyenlet az alábbi alakba írható át: iωm e v(ω) = ee(ω) m ev(ω). (2.2) τ Megoldva az egyenletet adódik, hogy: j(ω) = en e v(ω) = n e e 2 τ E(ω). (2.3) m e (1 iωτ) 1

2.1. FÉMEK VEZETŐKÉPESSÉGE 11 Innen kapjuk, hogy a frekvenciafüggő vezetőképesség: σ (ω) = σ DC 1 iωτ, (2.4) σ 1 = σ DC 1 + (ωτ) 2 σ 2 = σ DCωτ 1 + (ωτ) 2, (2.5) ahol σ DC = n ee 2 τ m e. A modellből kapott vezetőképesség valós és képzetes részének frekvencifüggése látható a 2.1. ábrán. s(w)/s DC Re s(w) Im s(w) 1/t w 2.1. ábra. Drude-modellből kapott vezetőképesség valós és képzetes részének frekvenciafüggése normálva a DC vezetőképesség nagyságával. 2.1.2. Kramers-Kronig-összefüggések Ez a fejezet a [18] könyv gondolatmenetét követi. Klasszikus illetve kvantummechanikai mennyiségek fluktuációjára igaz, hogy összekapcsolható a test megfelelő külső hatások esetén mutatott viselkedését jellemző mennyiségekkel. Ezeket a fizikai mennyiségeket a Hamiltonoperátorba egy plusz perturbáló operátorral írhatjuk bele. H = H AF (t), (2.6) ahol A a jellemző fizikai mennyiség, F (t) az úgynevezett perturbáló általánosított erő. Ebben az esetben B fizikai mennyiség átlagtól való eltérést az alábbi módon tudjuk felírni: B(t) = dτα BA (τ)f (t τ), (2.7) ahol α BA (τ) az úgynevezett válaszfüggvény. Jól látszódik, hogy B(t) értékére F-nek csak a t időpontot megelőző értékei vannak hatással, amit kauzalitásnak nevezünk. A Fouriertranszformáció után a (2.7) egyenlet felhasználva, hogy az egyenlet jobb oldalán az α BA és F mennyiségek konvolúciója található az alábbi alakba írható át: α BA (ω) = B ω = α BA (ω)f ω, (2.8) dtα BA (t)e iωt. (2.9)

2.1. FÉMEK VEZETŐKÉPESSÉGE 12 Az így kapott α BA (ω)-t általánosított szuszceptibilitásnak nevezzük. Továbbiakban elhagyom α indexét. Amennyiben α (ω) = α (ω) + iα (ω) komplex, a (2.9) egyenletből következik, hogy ha B ω és F ω mérhető fizikai mennyiségek, akkor α képzetes és valós részére igaznak kell lennie: α (ω) = α ( ω), (2.1) α (ω) = α ( ω). (2.11) Feltéve, hogy ω = ω 1 + iω 2 lehet komplex is, és kihasználva, hogy α (t) véges minden t időpillanatban, adódik a (2.9) definícióból, hogy α (ω) a felső félsíkon sehol sem lehet szinguláris. Ugyanis ebben az esetben az integrandus tartalmaz egy exp( tω 2 )-vel arányos levágást. Ugyanez nem igaz az alsó félsíkon, mert ebben az esetben az exponenciális tag argumentumának valós része ellenkező előjelű. A valós tengely mentén legfeljebb α (ω = ) = α pontban lehet szinguláris az általánosított szuszceptibilitás az exponenciális tag eltűnése miatt. Ezután vizsgáljuk meg az α (ω)/(ω ω ) függvény integrálját a 2.2(a). ábrán látható görbe mentén, ahol ω tetszőleges véges valós körfrekvencia. Mivel α (ω) tart -ba, ha ω, ezért az integrandus 1/ω-nál gyorsabban tart nullához, így a vizsgált integrál konvergens. Tegyük fel, hogy α =, ebben az esetben az integrál nullával egyenlő. Ha nem élünk ezzel a feltevéssel, akkor a görbével az origót is meg kellene kerülni ω -hoz hasonlóan. C C 1 C 2 C 3 C 4 (a) (b) 2.2. ábra. Az α (ω)/(ω ω ) integrálásakor használt görbék a komplex ω síkon feltéve, hogy α (ω) véges az origóban. A bal oldali ábrán a színek a (2.12) egyenletben szereplő megfelelő tagokhoz tartozik. Az integrálást a 2.2(b). ábrán látható görbék mentén elvégezve, az alábbi eredményt kapjuk, melynek első tagja lim α (ω) = feltétel miatt : + lim ρ ω [ ω ρ α dω + ω ω ω +ρ ] α dω + ( iπα (ω )) =, (2.12) ω ω ahol ρ a C 2 görbe sugara. Felhasználva a főérték integrálnak a definícióját egy tetszőleges c pont körül, ahol a c b: b [ c ε b ] P f (x)dx = lim f (x)dx + f (x)dx, (2.13) a ε + a c+ε ahol P a főértékintegrált jelöli, a (2.12) egyenletet az alábbi alakba tudjuk átírni: α (ω ) = i π P α (ω) ω ω dω, (2.14)

2.1. FÉMEK VEZETŐKÉPESSÉGE 13 amiből már megkaphatjuk a Kramers-Kronig-összefüggéseket a valós és képzetes rész szétbontásával: α (ω ) = 1 π P α (ω) ω ω dω = 1 π P ωα (ω) ω 2 ω 2 dω, (2.15) α (ω) α (ω ) = 1 π P α (ω) dω = ω ω ω π P ω 2 ω 2 dω. (2.16) A (2.15) és (2.16) egyenletek minden olyan fizikai mennyiségre igazak, amelyeket a (2.8) összefügéssel analóg módon tudunk definiálni, tehát minden esetben, amikor lineáris válaszhoz tartozó általánosított szuszceptibilitásról van szó. Ilyen például a mágneses rezonanciában használt dinamikus szuszceptibilitás vagy a vezetőképesség. Belátható, hogy a Drude-modellből kapott komplex σ-ra is igazak a Kramers Kronig-összefüggések. Az integrálást a 2.2(b). ábrán látható görbe mentén végezzük el. Ebben az esetben vezetőképesség valós és képzetes részének is szimpla pólusa van ω = i/τ-ban. Így a: σ 1 (ω ) = 1 π P 2.1.3. Összegszabály ωτσ DC ω 1 + (ωτ) 2 ω 2 ω 2 dω = 2iσ DC τ σ 2 (ω ) = ω π P σ DC [ (i/τ) 1 (i/τ) 2 ω 2 1 1 + (ωτ) 2 ω 2 ω 2 dω = [ ] (i/τ) 1 2iσ DC ω (i/τ) 2 ω 2 ] = σ DC 1 + (τω ) 2, (2.17) = τω σ DC 1 + (τω ) 2. (2.18) A Kramers-Kronig-relációkhoz hasonlóan általános összefüggéshez jutunk, ha az általánosított szuszceptibilitás integrálját számoljuk ki a teljes valós frekvenciatartományon. A számolás során felhasználjuk a (2.9) definíciót valamint, hogy exp(iωt)dω = 2πδ (t): 1 π α BA (ω)dω = 2 α BA (t)δ (t)dt = α BA (t = ). (2.19) Vegyük észre, hogy integrálás után α BA -nak csak a valós része ad járulékot, ugyanis a (2.1) és a (2.11) egyenletek alapján α BA képzetes része páratlan. Ez összhangban van azzal, hogy a (2.19) egyenlet jobb oldala tisztán valós. α BA (t) meghatározható a Kubo-formulából [19]: α BA (t) = i ħ [B(t),A()], (2.2) ahol a perturbálatlan Hamilton-operátornak (H ) megfelelő várhatóértéket jelöli. Amennyiben az anyag vezetőképességére akarjuk meghatározni az integrál értékét, a Hamilton-operátort az alábbi módon tudjuk felírni: H (t) = H (t) PE (t). (2.21) Felhasználva ezt, a (2.2) egyenlet az alábbi módon alakítható át feltéve, hogy a vezetőképesség tenzor diagonális: ] α JP (t) = i ħ [J (t),p()] = i ħ [ i e i ẋ i (t), e j x j () j. (2.22)

2.2. SZUPRAVEZETŐK FIZIKÁJA 14 Így a (2.19) egyenlet a következő módon írható, felhasználva az impulzus és hely kanonikuskommutációs-relációját: 2 Reσ (ω)dω = i π ħ e i e j [ ] e ẋ i,x j = 2 i n r e δ i,j = i, j i, j m i 2 r, (2.23) r m r ahol r jelöli a töltéshordozó fajtáját, n r az r-edik töltéshordozó részecskesűrűségét. A Drude-modell esetén a (2.23) egyenlet bal oldala: lim ω +i 2 σ DC π 1 + (ωτ) 2 dω = σ DC = n ee 2, (2.24) τ m e 1 ahol kihasználtam, hogy a felső félsíkon -nek egyszerű pólusa van az i/τ pontban és 1+(ωτ) 2 1. 1+(ωτ) 2 2.2. Szupravezetők fizikája 2.2.1. Szupravezetők fizikájának alapjai Ez a fejezet az [1] könyv alapján készült. A szupravezetők felfedezése Kamerling Onneshoz kötődik, aki 1911-ben elemi fémek ellenállását mérve észrevette, hogy bizonyos fémeknek kellően alacsony hőmérsékleten hirtelen -vá válik az ellenállása, tehát tökéletes vezetőként viselkednek [2]. A szupravezetők megismerésének következő fontos lépése Meissnerhez és Ochsenfeldhez kötődik, akik 1933-ban megfigyelték [21], hogy alacsony hőmérsékleten tökéletes diamágnessé válnak az említett tulajdonsággal is rendelkező anyagok, aminek hatására nemcsak nem tud változni a mágneses tér a szupravezető anyagon belül, hanem hűtés hatására a normálállapotban behatoló mágneses tér is kiszorul az anyag térfogatából. Ezt a jelenséget Meissner-effektusnak nevezzük. A tökéletes vezetőképességet és a Meissner-effektust mutató anyagokat nevezzük szupravezetőknek. Mivel ezekkel a tulajdonságokkal a szupravezető anyagok csak alacsony hőmérsékleten és kis mágneses térben rendelkeznek, ezért léteznie kell egy kritikus hőmérsékletnek (T c ) és egy kritikus mágneses térnek (H c ), ami fölött már nem szupravezetőként viselkednek az anyagok. Az előzőekben bemutatott két jelenség legelső leírása a London testvérek nevéhez kötődik [22], akik a Drude-modellből kiindulva úgy tekintettek a végtelen vezetőképességre, hogy elhagyták belőle a szóródást okozó tagot a (2.1). Tehát a relaxációs idő tart a végtelenbe, aminek köszönhetően σ DC is tart végtelenbe. Így a (2.1) egyenlet az alábbi alakba írható át, felhasználva, hogy J = nev: (ΛJ) = E, (2.25) t ahol Λ = ne2 m. Az így kapott egyenlet az egyik az úgynevezett London-egyenletek közül. A másik London-egyenletet egyszerűen megkapjuk a (2.25) egyenlet mind a két oldalának rotációját véve és felhasználva a E = B/ t Maxwell-egyenletet: B = (ΛJ). (2.26)

2.2. SZUPRAVEZETŐK FIZIKÁJA 15 A két London-egyenlet a szupravezetők elektromágneses tulajdonságainak egyszerű fenomenologikus leírását teszi lehetővé. Ennek egyik legfontosabb eredménye, hogy az időfüggetlen mágneses terek is kiszorulnak a szupravezetőből, ami lehetővé teszi a Meissner-effektus leírását. Ez látható a Maxwell-egyenleteket és a (2.26) egyenletet felhasználva: B = µ J, (2.27) 2 B = (µ J), (2.28) B = 2 B, (2.29) λ 2 L ahol λl 2 = m az úgynevezett London behatolási mélység, ami hasonlóan értelmezhető a mágneses tér behatolására, mint vezetők esetén a skin-mélység az elektomágneses tér behatolására, µ ne 2 ahogy a 2.3. ábrán látható. Szupravezet B a B(x)=B a e -x/l L x 2.3. ábra. Állandó mágneses tér kiszorulása szupravezető anyagból. A Meissner-effektus egyszerű következménye, hogy λ L -nél sokkal nagyobb karakterisztikus méretekkel rendelkező szupravezető esetében tökéletes diamágnesként tekinthetünk az anyagra, tehát B a mágneses indukciójú térbe helyezve az anyagot, igaz hogy: M = 1 µ B a. (2.3) Így véges mágneses térbe helyezve egy szupravezetőt, a szabadenergia megváltozása az alábbi módon írható le: F S (B = B a ) F S (B = ) = Ba M(B)dB = 1 2µ B 2 a. (2.31) Ugyanez a szabadenergia-változás külső mágneses tér hatására egy normál állapotú anyagra -nak tekinthető, ugyanis elhanyagolható a mágnesezettsége. Ennek alapján egy úgynevezett

2.2. SZUPRAVEZETŐK FIZIKÁJA 16 termikus kritikus teret definiálhatunk, ami az a mágneses tér, amelybe helyezve a szupravezető és normál állapotú anyagot, megegyezik a szabadenergiájuk. ahol B C jelöli a termodinamikai kritikus mágneses teret. F N = F S (B = ) + B2 c 2µ, (2.32) Szabadenergia B C2 /2m F N F S Küls mágneses tér B C 2.4. ábra. Külső mágneses térbe helyezett normál és szupravezető anyag szabadenergiája a külső mágneses tér függvényében. Amennyiben meg akarjuk határozni a fentebb bevezetett tulajdonságok hőmérsékletfüggését, használhatjuk az úgynevezett fenomenologikus kétfolyadék-modellt, ami jó közelítő eredményét adja az egzakt BCS-elméletnek. Ebben az esetben annyit teszünk fel, hogy az anyagunk a kritikus hőmérséklet alatt tartalmaz normál (n N ) elektronokat, amelyek a Dude-modellnek megfelelően viselkednek, illetve szupravezető (n S ) elektronokat, amelyeknek a viselkedését a London-egyenletek segítségével tudjuk leírni. A két részecskesűrűség hőmérsékletfüggésére a kétfolyadék-modellben az alábbi összefüggések igazak: ( ( ) ) T 4 n S = n 1, (2.33) T c ( ) T 4 n N = n, (2.34) T c ahol n az összes elektron részecskesűrűsége. Így a szupravezető anyag komplex vezetőképessége mágneses térben az alábbi módon írható fel, ahol a valós és képzetes részben lévő első

2.2. SZUPRAVEZETŐK FIZIKÁJA 17 tag a normál elektronok járuléka, a második tag a szupravezető elektronok járuléka: σ 1 = n Ne 2 τ m σ 2 = n Ne 2 τ m 1 1 + (ωτ) 2 + π 2µ λl 2 δ (ω), (2.35) ωτ 1 + (ωτ) 2 + 1 µ ωλl 2. (2.36) A szupravezető elektronok hőmérsékletfüggését λ L -en keresztül tartalmazza a kifejezés. A σ 1 -ben megjelenő Dirac-deltás mennyiség a Kramers-Kronig-összefüggések következménye, ugyanis ha σ 2 tartalmaz egy A/ω-val arányos tagot, akkor σ 1 -ben megjelenik egy π 2 Aδ (ω)-val arányos járulék. Ezenkívül vegyük észre, hogy az összegszabály teljesüléséhez is szükség van a Dirac-deltával arányos tagra. Emellett az eredmény hőmérsékletfüggése konzistens a mérési eredményekből kapott hőmérsékletfüggésével λ L -nek: 2.2.2. Szupravezetők elektrodinamikája ( ( ) ) T 4 1/2 λ L (T ) = λ L () 1. (2.37) Amennyiben szükségünk van a szupravezetők tulajdonságainak egzakt leírására, a Bardeen, Cooper és Shrieffer által 1957-ben [23] publikált BCS modellt kell használnunk. Ebben a fejezetben csak a modellből számítható komplex vezetőképességről lesz szó, ugyanis modell teljes leírása meghaladná a diplomamunka kereteit. A külső elektromos tér hatását az alábbi Hamilton-operátorral vegyük figyelembe: T c H I = e h 2m ka(q)c k+q,σ c k,σ = B k σ,kσc k σ c kσ, (2.38) k,q,σ kσ,k σ ahol c k σ és c kσ elektronkeltő és -eltüntető operátorok, a(q) a külső teret leíró A(r) vektorpotenciál Fourier-transzformáltja. Normálállapotban az összegzés minden eleme független egymástól, így az átmeneti valószínűség arányos a megfelelő B kσ mátrixelem négyzetével. Szupravezető állapotban ennél bonyolultabb a helyzet, ugyanis megjelennek úgynevezett interferencia tagok is annak köszönhetően, hogy c k σ c kσ és c k σ c k σ -hoz ugyanaz a B k σ,kσ mátrixelem tartozik az előjelétől eltekintve. Ezt nevezzük koherencia effektusnak. Így a (2.38) egyenlet az alábbi alakra írható át: H I = kσ,k σ B k σ,kσ [ c k σ c kσ c k σ c k σ ], (2.39) ahol kihasználtuk, hogy külső elektromos tér esetén a B k σ,kσ mátrixelem arányos k-val, tehát a (2.39) egyenletben lévő két taghoz tartozó mátrixelem ellenkező előjelű. Az átmeneti valószínűségek ekkor arányosak az adott mátrixelem négyzete megszorozva a megfelelő koherenciafaktorral, ami hullámszámról energiára áttérve a következő [1]: F(,ε,ε ) = 1 (1 + 2 ) 2 εε, (2.4)

2.2. SZUPRAVEZETŐK FIZIKÁJA 18 ahol a szupravezető gapet jelöli, ε a kezdőállapot energiáját, ε a végállapot energiáját. Látszódik, hogy = esetén (normálállapot) az elvárásainknak megfelelően a koherenciafaktor a kezdő és végállapot energiájától független konstans. Tehát a nettó átmeneti valószínűséget az alábbi integrál kiszámításával tudjuk meghatározni: α s = M 2 F(,ε,ε ( )N s (ε)n s ε ) f (ε) [ 1 f ( ε )] dε, (2.41) ahol M a megfelelő egyelektron mátrixelem, f (ε) a Fermi-Dirac eloszlásfüggvény és ε N s (ε) = N ()Re (ε 2 2 (ε)) 1/2 (2.42) a szupravezető állapotsűrűség [1], ahol N () a normálállapot energiasűrűségét jelöli a Fermienergián. Beírva (2.4) és (2.42) összefüggéseket a (2.41) egyenletbe: α s = M 2 N 2 () εε + 2 (ε 2 2 ) 1/2 (ε 2 2 ) 1/2 [ f ( ε f ( ε ))] dε. (2.43) Ha kihasználjuk, hogy ε = ε + hω, illetve normálállapotban az átmeneti valószínűség α n = M 2 N 2 () hω, akkor a szupravezető és a normál állapotú átmeneti valószínűség hányadosa az alábbi alakban írható fel: α s = 1 α n hω [ ε (ε + hω) + 2 ] [ f (ε) f (ε + hω)] [ε 2 2 ] 1/2 [ (ε + hω) 2 2 ] 1/2 dε. (2.44) Amennyiben a szupravezető tulajdonságai lokális elektrodinamikával leírható, a szupravezető és normál állapotú átmeneti valószínűségek hányadosa meg fog egyezni a vezetőképességek hányadosával. Így szétbontva valós és képzetes részre, σ = σ 1 + iσ 2 konvenciót használva, az alábbi összefüggéseket kapjuk a frekvenciafüggő komplex vezetőképességre: σ 1 = 2 [ f (ε) f (ε + hω)] ( ε 2 + 2 + hωε ) σ n hω [ ] (ε 2 2 ) 1/2 1/2 dε+ (ε + hω) 2 2 1 [1 2 f (ε + hω)] ( ε 2 + 2 + hωε ) hω [ ] hω (ε 2 2 ) 1/2 1/2 dε, (2.45) (ε + hω) 2 2 σ 2 = 1 [1 2 f (ε + hω)] ( ε 2 + 2 + hωε ) σ n hω [ ] hω, ( 2 ε 2 ) 1/2 1/2 dε, (2.46) (ε + hω) 2 2 A (2.46) egyenletben az integrálás alsó határa abban az esetben, ha ħω >, -val lesz egyenlő. Az így kapott σ 1 /σ n és σ 2 /σ n kifejezések frekvenciafüggése a 2.5. grafikonon figyelhető meg. Ezt az elméletet kidolgozójuk után Mattis Bardeen-elméletnek nevezzük [24]. Érdemes megjegyezni, hogy a Tinkham-él megjelenése miatt lecsökken a -ban lévő Dirac-delta súlya [8], aminek következtében a mágneses tér behatolási mélysége megnő a London-féle behatolási mélységhez képest.

2.2. SZUPRAVEZETŐK FIZIKÁJA 19 s 1 /s n (T c ) 3 2 1 s 1 (T=,w)µd() T/T c,3,6 1 s 2 /s n (T c ) 6 4 2 s 2 (T=T c,w)= 1 2 w/2d 2.5. ábra. Mattis Bardeen-elméletből számolt vezetőképesség valós és képzetes részének hőmérsékletfüggése különböző frekvenciákon. Az ω = 2 /ħ frekvencián megjelenő valós vezetőképességet Tinkham-élnek nevezzük. 2.2.3. Másodfajú szupravezetők A korábban bemutatott Meissner-effektus következménye, hogy ha szupravezető anyagot homogén mágneses térben helyezünk, a szupravezető anyag felületén mérhető mágneses tér nagyobb, mint a homogén tér nagysága. Ezért ha a külső mágneses teret fokozatosan növeljük, elérhető az az állapot, hogy az anyag felületén mérhető mágneses tér nagysága éppen a kritikus térrel legyen egyenlő. Ebben az esetben az anyag felületén normálállapotnak kell lennie. A külső mágneses tér további növelésével az anyag egyre nagyobb része válik normál állapotúvá. Végül, amikor a külső tér nagysága eléri a kritikus mágneses teret, az egész anyag normál állapotúvá válik. Abban az esetben, amikor egyszerre vannak az anyagban normál és szupravezető állapotú részek, a két állapot határán megjelenik egy úgynevezett domén fal energia. Amennyiben ez az extra járulék negatív, a szabad energia minimalizálása miatt a lehető legtöbb normál álla-

2.2. SZUPRAVEZETŐK FIZIKÁJA 2 potú fázis jön létre. Az így létrejövő normál állapotú tartományokat vortexeknek nevezzük és minden egyes vortexen belül lévő mágneses fluxus nagysága megegyzik a Φ = h/2e fluxuskvantummal. Azokat a szupravezetőket, amelyek az előbbi jelleget mutatják, másodfajú szupravezetőknek nevezzük, és azt az állapotot, amikor a vortexek jelen vannak a szupravezetőben, kevert állapotnak nevezzük. Mivel ekkor a szupravezető gapnek nagy a térbeli inhomogenitása, nagyon nehéz a mikroszkópikus BCS elmélettel leírni az anyag fizikai tulajdonságait, ezért gyakorlatban az úgynevezett Ginzburg Landau-elméletet (GL) szokták erre használni [25]. A GL elmélet szerint a szupravezető állapot egy Ψ hullámfüggvénnyel jellemezhető, aminek az abszolútértéke megegyezik a szupravezető elektronok lokális sűrűségével. A hullámfüggvény a szupravezető állapot határán ξ távolságon cseng le, ahogy a 2.6. ábrán látható. Ezt a hosszmennyiségét koherenciahossznak nevezzük. 2.6. ábra. Szupravezető állapot és külső mágneses tér lecsengése szupravezető és normál állapotú anyag határán [1]. Amennyiben a koherenciahossz nagyobb mint a behatolási mélység (2.6. ábra bal oldalán látható), egy bizonyos tartományból úgy szorul ki az anyagból teljesen a mágneses tér, hogy nem jelenik meg a teljes kondenzációs energiajárulék, aminek köszönhetően a normálállapot és a szupravezető állapot között megjelenő felületi energia pozitív lesz. Amennyiben a behatolási mélység a nagyobb (2.6. ábra jobb oldalán látható), az előzőhöz hasonló gondolatmenettel negatív felületi energia jelenik meg. Az első esetben I-fajú szupravezetőkről, a második esetben II-fajú szupravezetőkről beszélünk. Bebizonyítható, hogy a két karakterisztikushossznak a függvényében az I-fajú és II-fajú szupravezetők közötti határ λ/ξ = κ > 1/ 2-nél van. II-fajú szupravezetők esetén H c1 -nek nevezzük azt a mágneses teret, aminél megjelenik az úgynevezett kevert állapot, és H c2 -nek azt a mágneses teret, aminél teljesen normál állapotúvá válik az anyag. Szintén a GL elméletből levezethető, hogy [1]: H c1 Φ lnκ, (2.47) 4πλ 2 H c2 = Φ 2πξ 2, (2.48) Amennyiben kevertállapotban lévő szupravezetőben áram folyik, erőt fejt ki az anyagban lévő vortexekre. Ennek az erőnek a nagysága a vortex egységnyi hosszára vonatkoztatva: f = J Φ, (2.49) ahol J az áramsűrűség a vortex helyén, Φ nagysága megyezik a fluxuskvantummal, iránya párhuzamos a vortexben lévő mágneses tér irányával. Ha a vortexek szabadon tudnak mozogni

2.3. A COFFEY CLEM-ELMÉLET 21 az anyagban, és csak egy viszkózus taggal van korlátozva a mozgásuk, a stacionárius állapotra igaz lesz, hogy: J Φ = ηv L, (2.5) ahol η az úgynvezett viszkózus fékezési együttható, v L a vortexek sebessége. Felhasználva, hogy (E = B v), ami a Maxwell-egyenletek következménye, az anyag ellenállására kapjuk: ρ f = E J = BΦ η. (2.51) Ha kihasználjuk, hogy B = B c2 esetén a (2.51) egyenletnek a normál állapotú ellenállást kell adnia, meghatározható η értéke: η = Φ B c2 ρ n, (2.52) ami konzistens a Bardeen Stephen-modellből kapott eredménnyel [26]. A vortexek ilyen jellegű mozgását fluxus folyásnak 1 nevezzük. 2.3. A Coffey Clem-elmélet A szupravezetők kutatása során nagyon fontos szerepe van a nagyfrekvenciás elektromágneses térre adott válasznak. Ennek a válasznak egy lehetséges fenomenologikus leírását adta meg Mark W. Coffey és John R. Clem az 199-es évek elején megjelent több cikkükben. Az elmélet lehetőséget ad a másodfajú szupravezetők mikrohullámú tulajdonságainak leírására széles frekvencia, hőmérséklet és külső mágneses tér tartományon. Az elmélet fenomenologikus, mert a hőmérsékletfüggést a korábban bemutatott kétfolyadék-modell eredményeit használja, a mágneses tér, illetve frekvenciafüggést pedig a vortexek dinamikája és a London-egyenletek alapján veszi figyelembe. A levezetés során feltesszük, hogy a szupravezető elég nagy DC mágneses térben van ahhoz, hogy a vortexsűrűség állandó legyen az anyagon belül, tehát B DC B c1. A továbbiakban csak a vezetőképesség meghatározására fogok szorítkozni, ugyanis a későbbiekben csak ennek az eredményét használom fel. Tegyük fel, hogy az anyagunk B = B DC + B AC nagyságú külső mágneses térben van, ahol a DC és az AC mágneses terek párhuzamosak 2. Illetve feltételezzük még, hogy B DC B AC, így a vortexsűrűséget időben állandónak tekinthetjük. Használva a vezetőképesség definícióját: J(T,B,ω) = σ (T,B,ω)E(ω), (2.53) ahol σ = σ 1 + iσ 2 a komplex vezetőképességet jelöli. Felhasználva a kétfolyadék-modellt: J = J nf + J s, (2.54) ahol nf-el jelölöm a normálfolyadékra, s-el szuperfolyadékra jellemző mennyiségeket. A (2.54) egyenletben szereplő három tag meghatározható az Ampère-törvényből, az Ohm-törvényből és a London-egyenletekből: µ J = B, (2.55) J nf = σ nf E, (2.56) J s = 1 µ λ 2 (B B v), (2.57) 1 flux flow 2 Az az eset, amikor a DC és AC mágneses tér nem párhuzamos, a [12] cikkben van tárgyalva

2.3. A COFFEY CLEM-ELMÉLET 22 ahol B v = nφ a vortexeken belül lévő mágneses tér, ahol n a vortexek lokális sűrűsége, Φ nagysága megegyezik a fluxuskvantummal, iránya párhuzamos a vortexen belül lévő mágneses indukció irányával. Tudjuk, hogy ha a szupravezetőn belül áram folyik, akkor a vortexekre hat a Lorentz-erő, aminek hatására elkezdenek mozogni [1]. Mivel ez mágneses tér megváltozásával jár, így megjelenik egy indukált mágneses tér, aminek hatására meg fog változni a vortexek sűrűsége. Ezt a mozgást a vortexek mozgásegyenletével tudjuk leírni [27]: mü + η u + κ p u = J Φ, (2.58) ahol u a vortexeknek az egyensúlyi helyzetüktől való kitérése, m a vortexek egységni hosszra eső tömege, η a Bardeen Stephen-modellben megjelenő viszkozitás, κ p az úgynevezett visszatérítési erőállandó 3. Tehát úgy tekintünk a vortexek mozgására, mint a Bardeen Stephenmodell, azzal a plusz feltétellel, hogy minden vortex egy kvadratikus potenciálban mozog. Feltéve, hogy minden mennyiség időfüggése harmonikus ( e iωt), a Brown-mozgáshoz hasolóan definiálhatunk dinamikus vortex mobilitást µ v = ( iωm + η + iκ p /ω ) 1, amivel a (2.58) egyenlet átírható: u = µ v iω J Φ. (2.59) Ezután a Faraday- és Ampère-törvényből meghatározható a vortexek által indukált mágneses tér: B v = E v = (B DC u), (2.6) t ahol feltettük, hogy B v és B DC B AC. A (2.6) egyenletet idő szerint integrálva: B v = B DC (B DC u). (2.61) (2.55), (2.56), (2.57) és (2.61) egyenletek eredményeit beírva a (2.54) egyenletbe megkapjuk az úgynevezett általános diffúziós London egyenletet: 2 B = µ σ nf E + 1 ( ) 1 λ 2 iω E + (B DC u). (2.62) Ezután a térkordináta szerint integrálva a (2.62) egyenletet és felhasználva a (2.59) egyenletet a következő összefüggést kapjuk: µ J = µ σ nf E + 1 ( λ 2 1 iω E + Φ ) B DC µ v J, (2.63) iω J = µ σ nf 1 iωλ 2 µ Φ E, (2.64) B DC µ v iωλ 2 ahonnan már leolvasható a komplex vezetőképesség nagysága: σ = iµ ωλ 2 σ nf 1 iµ ωλ 2 Φ B DC µ v. (2.65) A diplomamunka keretében ezen elmélet alapján végeztem számításokat konkrét esetekben, amelyeket az Eredmények fejezeteben mutatok be. Az elmélet alkalmazása mellett újdonság az, hogy az elmélet által megjósolt frekvenciafüggő vezetőképesség viselkedését expliciten is bemutatom, mivel ezt tudomásom szerint máshol nem tárgyalták. 3 restoring force constant

3. fejezet Kísérleti technika 3.1. Mikrohullámú ellenállásmérés üregperturbációs technikával Ezzel a technikával végzett ellenállásmérés során egy ismert paraméterekkel rendelkező mikrohullámú üreg tulajdonságainak a megváltozását mérjük a minta behelyezésének hatására. A módszer pontosságát az adja, hogy minden szükséges tulajdonság mérése visszavezethető időmérésre [16, 28, 29]. 3.1.1. Mikrohullámú üreg tulajdonságai A mikrohullámú üreg jó vezetőképességű anyagból készült, a mikrohullám hullámhosszával összemérhető méretekkel rendelkező test. Megfelelő mikrohullámú gerjesztés esetén az üregben állóhullámok alakulnak ki. Az így kialakult állóhullámokat az üreg módusainak nevezzük. Ezeket a módusokat rezonanciafrekveniával (ω ) és jósági tényezővel (Q) tudjuk jellemezni. Az előbbi megegyezik az állóhullám frekvenciájával, utóbbi pedig fordítottan arányos az üregben 1 periódus alatt disszipálódott energiával: Q = ω U du dt, (3.1) ahol U az üregben tárolt energia. Ez alapján felírható az üregben lévő elektromos tér időfüggése: E(t) = E e ω 2Q e iωt, (3.2) ahol felhasználtam, hogy az üregben tárolt energia a térerősség négyzetével arányos. Ebből Fourier-transzformáció segítségével már megkapható az üregben lévő teljesítmény frekvenciafüggése: 1 P(ω) = E (ω) 2 (ω ω ) 2 + ( ω 2Q ) 2, (3.3) ami egy Lorentz-görbével arányos a 3.1. ábrának megfelelően. Innen már látszik, hogy a spektrumok megmérésével a jósági tényező az alábbi módon határozható meg: Q = ω ω = f f, (3.4) 23

3.1. MIKROHULLÁMÚ ELLENÁLLÁSMÉRÉS 24 P Q= / P /2 3.1. ábra. Üregben lévő teljesítmény frekvenciafüggése. A kapcsolatot a két mennyiség között a Lorentz-görbe írja le. ahol ω a Lorentz-görbe félértékszélessége. A (3.4) egyenletből látszódik, hogy a jósági tényező is csak idődimenziójú mennyiségektől függ. 3.1.2. Vezetőképesség mérése üregperturbációs technikával Ez a rész a [16] cikk gondolatmenetét követi. A (3.2) egyenlet alapján egyszerűen definiálhatjuk a komplex körfrekvenciát az alábbi módon: ω = ω i ω 2Q. (3.5) Az üregperturbációs technikával való mérés során ennek a komplex körfrekvenciának megváltozását mérjük a minta behelyezésének a hatására. Tehát ha megmérjük ezt a komplex körfrekvenciát a minta üregbe helyezése előtt (e) és a minta üregbe helyezése után (s), meg tudjuk határozni a megváltozást: ω = ω s ω e = ω s ω e i ( ωs ω ) e. (3.6) 2 Q s Q e Amennyiben ez a frekvenciaváltozás adiabatikusnak tekinthető, használható a Boltzmann- Ehrenfest-tétel, aminek értelmében: U = konstans, (3.7) ω ebből adódik, hogy az üregben tárolt energia relatív megváltozása megyezeik a komplex körfrekvencia relatív megváltozásával: U U = ω ω. (3.8)

3.1. MIKROHULLÁMÚ ELLENÁLLÁSMÉRÉS 25 A (3.6) és a (3.8) egyenletekből adódik, hogy: U U e ω s ω e ω e i 2 ( 1 Q s 1 Q e ), (3.9) ahol az e index az üres, az s index pedig a mintával terhelt üreghez tartozó paramétereket jelöli. Az üres üregben tárolt energia egyszerűen meghatározható az elektromágneses energiasűrűség integráljaként az üreg teljes térfogatára: 1 ( U e = ε E 2 + µ H 2) d 3 r, (3.1) V c 2 ahol E és H az üregben kialakuló mikrohullámú tér elektromos és mágneses térerőssége. Terhelt üreg esetén, amennyiben a minta mérete sokkal kisebb, mint az üreg térfogata (a minta térfogatán kívül elhanyagolható az elektromágneses tér megváltozása a minta behelyezésének hatására), akkor a tárolt energia az alábbi módon írható fel: 1 ( U s = ε E 2 + µ H 2) d 3 1 r + V c V s 2 V s 2 (E D + H B)d 3 r, (3.11) ahol D és B az elektromos eltolásvektor és a mágneses indukcióvektor a mintán belül. A mintán belüli elektromos (E) és mágneses (H) tér a Maxwell-egyenletek linearitása miatt mindig felírható a külső tér és egy úgynevezett depolarizációs tér összegeként: E = E np/ε, (3.12) H = H nm, (3.13) ahol n az úgynevezett depolarizációs tenzor, ami tartalmazza az összes geometriai effektust, P és M a polarizáció és a mágnesezettség, amelyek az anyagi tulajdonságokat tartalmazzák. Utóbbi kettő a mintán belüli térhez az elektromos (χ e ) és mágneses (χ m ) szuszceptibilitáson keresztül kapcsolódik: P = χ e E, (3.14) M = χ m H, (3.15) a külső térhez az elektromos (α e ) és mágneses (α m ) polarizálhatóságon keresztül kapcsolódik: P = α e E, (3.16) M = α m H. (3.17) A (3.12) és a (3.13) egyenletek segítségével a (3.11) egyenlet az alábbi alakba írható át: 1 ( U s = ε E 2 + µ H 2) d 3 1 V c 2 V }{{} s 2 (E P + H M)d 3 r. (3.18) }{{} U e U Felhasználva a legutóbbi 3 egyenletet, a (3.9) egyenletben szereplő komplex körfrekvencia megváltozása a következő alakra írható át: ω s ω e i ( 1 1 ) ( V αe s E 2 + α m H 2) d 3 r. (3.19) ω e 2 Q s Q e 2U e

3.1. MIKROHULLÁMÚ ELLENÁLLÁSMÉRÉS 26 Feltéve, hogy a mintát a mágneses tér maximumába helyezzük, és a mintánk elég kicsi ahhoz, hogy a külső teret homogénnek tekintsük a minta térfogatában, a számlálóban lévő integrálást egyszerűen a minta térfogatával való szorzásra cserélhetjük: ω s ω e i ( 1 1 ) V sα m H max 2 = γα m, (3.2) ω e 2 Q s Q e 2U e ahol γ anyagtól független konstans, ami csak minta ( és) az üreg térfogatának arányától és a méréshez használt módustól függ. Továbbiakban a 1 2Q = 2Q 1 s 2Q 1 e mennyiséget mikrohullámú veszteségnek, a f f = ω s ω e ω e mennyiséget frekvenciaeltolódásnak fogom nevezni. Ha nem a mágneses tér maximumába, hanem az elektromos tér maximumába helyezzük a mintát, a frekvenciaeltolódása és a jósági tényező megváltozása nem α m -mel, hanem α e -val arányos. α m meghatározásához a (3.21) és a (3.22) differenciálegyenlet rendszert kell megoldani: 2 H = mintán kívül, (3.21) 2 H + k 2 H = mintán belül, (3.22) ahol k = ω c µr ε r a mintán belül lévő komplex hullámszámot jelöli. A komplex permeabilitás és komplex permittivitás a vezetőképességgel analóg módon van definiálva: µ r = µ r1 + iµ r2, (3.23) ε r = ε r1 + iε r2. (3.24) A differenciálegyenletből kapott α m a minta geometriájának és a komplex hullámszámnak függvénye lesz, ahol a hullámszám fogja tartalmazni az összes, minta anyagi tulajdonságára jellemző paramétert. Amennyiben feltesszük, hogy a vizsgált anyag nem mágnesezhető, tehát µ r = 1, akkor a hullámszám már csak az anyag permittivitásától vagy azzal egyértelmű kapcsolatban lévő vezetőképességétől fog függni: ω k = ε r (ω) = ω c c 1 + i 1 ε σ (ω) ω. (3.25) Gömb alakú minta esetén a (3.21) és a (3.22) differenciálegyenlet rendszer megoldása: α m = 3 ( 1 3 2 a 2 k + 3 ( a k) ) 2 a k cot, (3.26) ahol a a gömb sugara. Felhasználva a (3.2) és a (3.25) összefüggéseket a 3.2. ábrán látható a mikrohullámú veszteség és frekvenciaeltolódás tisztán valós vezetőképesség függése különböző átmérőjű gömbi minták esetén. Az így kapott mikrohullámú veszteségen látszódik, hogy két tartomány különböztethető meg a vezetőképesség nagysága szerint. Az első eset, amikor ka 1, ami azt jelenti, hogy a mirohullámú tér egyenletesen hatol be a minta teljes térfogatába. Ebbem az esetben a (3.26) egyenlet a kotangens sorfejtésével egyszerűbb alakra hozható: α m = 1 1 ( a k ) 2 i 1 a2 ωµ σ, (3.27)

3.1. MIKROHULLÁMÚ ELLENÁLLÁSMÉRÉS 27,6 D(1/2Q)~ s 1 D(1/2Q)~ s 1 -,5 D(1/2Q),4,2 Df/f, 1,5 1,,5 1 mm 1 mm 1 mm, 1 1 2 1 4 1 6 1 8 1 1 s 1 (Wm) -1 3.2. ábra. Mikrohullámú veszteség és frekvenciaeltolódás különböző szemcseméret esetén a vezetőképesség valós részének függvényében. Az ábrázolás során: σ 2 =, µ r = 1 és ω = 11,1 GHz. A görbék visszadják a [2] cikkben leírt eredményeket. amiből következik, hogy a mikrohullámú veszteség σ 1 -el, a frekvenciaeltolódás pedig σ 2 -vel arányos. A második eset, amikor ka 1, aminek következtében a mikrohullámú tér csak a skinmélységig képes behatolni a minta belsejébe. Ehhez használjuk ki, hogy sin(x)cos(x) ish(y)ch(y) lim ctg(x + iy) = lim y y sin 2 (x) + sh 2 = i, (3.28) (y) ( ) ahol y annyit jelent, hogy az exp i kr tagban megjelenik egy hatalmas levágás, ami megfelel annak, hogy kiszorul a tér az anyagból. Így a (3.26) egyenlet az alábbi alakba írható: α m 3 ( 1 3i ). (3.29) 2 a k

3.2. MÉRÉSI ÖSSZEÁLLÍTÁS 28 Ha ka 1 esetén azt a lehetőséget nézzük, hogy σ 1 és σ 2 =, akkor igaz lesz: 1 k = (1 + i) δ, (3.3) 2 δ =. (3.31) ωµ σ 1 Ezt beírva a (3.29) egyenletbe majd annak az eredményét a (3.2) egyenletbe, a frekvenciaeltolódásra és a mikrohullámú veszteségre a következőt kapjuk: ( 1 3δ ), (3.32) 2a f = γ 3 f 2 ( ) 1 2Q = γ 9δ 4a 1 σ1. (3.33) Tehát a skin-mélység csökkenésével növekszik a frekvenciaeltolódás, és ezzel párhuzamosan, ahogy a tér kiszorul az anyagból a veszteség is elkezd csökkenni σ,5 1 arányosan, ahogy a 3.2. ábrán látható. 3.2. Mérési összeállítás A K 3 C 6 mintákon a méréseket Simon Ferenc és Murányi Ferenc készítette az úgynevezett AFC üzemű méréssel [3]. A mérési elrendezés a 3.3. ábrán látható. A mérés alapját az adja, hogy a jósági tényező meghatározásához nem szükséges egy széles frekvenciatartományon az üregen átmenő teljesítményt megmérni, hanem elég csak a rezonanciafrekvencián a Lorentzgörbe páros Fourier-komponensek amplitúdóját megmérni. Mikrohullámú forrás FM moduláció AFC Frekvencia számláló Mikrohullámú üreg LNA + DC FB AC mod Teljesítmény detektor Harm 1 Lock-In Harm 2,4 Lock-In 3.3. ábra. A mikrohullámúellenállás-méréshez használt AFC üzemű mérés mérési elrendezése [3].

3.3. MINTAKÉSZÍTÉS 29 A megfelelő Fourier-komponensek méréséhez a mikrohullámú forrásból kijövő jelet 2 khz-es szinusos jellel moduláljuk a Lock-In Sine Out kimenetéről vett jellel (AC mod), majd az üregen átmenő jel második (Harm 2) és negyedik (Harm 4) felharmonikusát mérjuk Lock-Innel. A két felharmonikusból az alábbi összefüggés szerint határozható meg az üreg jósági tényezője: Q = ω a4 /a 2 Ω (1 a 4 /a 2 ), (3.34) ahol Ω a moduláció amplitúdója, a 2 és a 4 pedig a megfelelő felharmonikusok amplitúdója. Mérés közben az ω rezonancia frekvencia frekvencia számlálóval van mérve. Mivel a mérés pontossága megköveteli, hogy a rezonanciafrekvenciához minél közelebb mérjük a felharmonikusokat, ezért szükséges, hogy mérés során a mikrohullámú forrásból kijövő jel frekvenciájával kövessük az üreg rezonanciafrekvenciájának eltolódását. Ezt az úgynevezett automatikus frekvenciaszabályozással (AFC) oldjuk meg. Ennek során kihasználjuk, hogy a Lorentz-görbe deriváltja a rezonanciafrekvencia alatt pozitív, felette pedig negatív. Így, ha az első deriválttal arányos jellel (ami arányos a Lock-Innel mért első felharmonikussal, Harm 1) eltoljuk a mikrohullámú forrásból kijövő jel frekvenciáját, akkor tudjuk követni az üreg rezonanciafrekvenciájának változását. Tehát a mikrohullámú forrásból kijövő jel frekvenciáját a deriváltból kapott DC (DC FB) és a felharmonikusok méréséhez szükséges AC (AC mod) jel összegével moduláljuk (FM moduláció). Az előzőeken felül a mérőkörben be volt építve egy alacsony zajú erősítő (LNA) is az üreg és a detektor közé, hogy kisebb üregbe menő teljesítmények mellett is lehessen mérni, amire az alacsony hőmérsékletű mérések miatt volt szükség. 3.3. Mintakészítés A mintákat Klupp Gyöngyi, Kamarás Katalin és Nemes Norbert készítették úgynevezett K interkalációs módszerrel [31]. A módszer során a szilárd fullerént a doppolni kívánt alkáli metál gőzébe helyezik, és megfelelő hőmérsékleten (1 2 C) a gőzrészecskék a szilárd C 6 molekulák közé diffundálnak. A tisztább eredmény eléréséhez a módszer többszöri megismétlésére van szükség. A finom por minta esetén a mérendő anyag össze lett keverve SnO 2 porral, hogy mérés során ne legyen elektromos csatolás a K 3 C 6 részecskék között. Ezután az elkészült mintát kvarcsőbe helyezték alacsony nyomású hélium alatt a minta levegőérzékenysége miatt.

4. fejezet Eredmények és diszkussziójuk 4.1. Kísérleti eredmények A K 3 C 6 minta vezetőképességének mérése kétfajta szemcseméret mellett történt. Az egyik esetben tömbi mintán történt a mérés, ami azt jelenti, hogy a minta mérete jelentősen nagyobb, mint a mikorhullámú tér behatolási mélysége. A másik esetben 1 mikronnál kisebb szemcséket tartalmazó finom poron végeztek méréseket, hogy a szemcseméret összemérhető legyen a tér behatolási mélységével. Továbbiakban a tömbi mintára mint "kristályra" hivatkozom. A méréshez hengeres rézüreget használtak, aminek minta nélkül a jósági tényezője Q 1., rezonanciafrekvenciája f 11,2 GHz. A minta az üregen belül az elektromos tér csomópontjában és a mágneses tér maximumában helyezkedett el. A mikrohullámú mágneses tér ebben a pontban párhuzamos a DC mágneses térrel, ami az eredmények kiértékelése szempontjából fontos. A mérések során a mintát a kritikus hőmérséklet alá, 3,5 4 K-re hűtötték T mágneses térben, majd a hőmérsékletfüggés méréséhez innen lett felfűtve különböző DC mágneses terekben. A mérési eredmények a 4.1. ábrán láthatóak. A K 3 C 6 kristályon végzett méréseken jól látszódik, hogy a külső DC mágneses tértől függetlenül T c alatt hirtelen megnő a frekvenciaeltolódás és a mikrohullámú veszteség csökken, felé tart. Ez teljesen összhangban van a várakozásainkkal, ugyanis a szupravezető állapotban megjelenő nagy komplex vezetőképesség hatására hirtelen kiszorul a tér a mintából, aminek következtében a minta által okozott veszteség is eltűnik. Ugyanakkor a finom poron végzett mérések esetén látszódik, hogy ha a DC mágneses tér is jelen van a mérésnél, akkor a nagy frekvenciaeltolódás ellenére (1 T-án a frekvenciaeltolódás a T-án mérhető 2/3-a) ahelyett, hogy eltűnne szupravezető állapotban a veszteség, a normálállapotban mért veszteség többszörösére változik. Tudomásunk szerint, a szupravezető állapotben fellépő nagyobb mikrohullámú veszteséget még nem figyelték, és a diplomadolgozatom legfontosabb feladata ennek értelmezése. 4.2. A Coffey Clem-modellel leírt szupravezető anyag vezetőképessége Ebben a fejezetben a Coffey Clem-modell segítségével leírt szupravezető anyag vezetőképességének hőmérséklet, frekvencia és mágneses tér függését vizsgáljuk meg. Tudomásunk 3