Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1
Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 2
Gradiens nem konstansvektor, hanem x 1 és x 2 változóktól függő függvény? 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 3
Nem túl bonyolult példa: nemlineáris konvex célfüggvény + konvex lehetséges halmaz Konvex cél-függvény S lehetséges halmaz: három konvex figurának metszete = konvex halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 4
Elég bonyolult példa: nemlineáris célfüggvény + konkáv lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 5
Lokális és globális optimum (egyváltozós) Lokális maximum Globális maximum 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 6
Konvex / konkáv halmazok és függvények 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 7
Konvex függvény 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 8
n - változós eset, Hess-mátrix 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 9
2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 10
2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 11
2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 12
Önállóan: 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 13
Kvadratikus programozás (quadratic programming) Harry Markowitz (PhD: 1955), RAND Corp. + G.Dantzig Optimalizálás Alkalmazási terület: portfolió optimalizálása, Nobel-díj (1990) 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 14
Hiperbolikus programozás (linear-fractional programming) max (min) S 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 15
Kapcsolat lineáris programozással Ha HP feladatban akkor kapjuk a következő LP feladatot: Martos Béla (1961). Magyar Tudományos Akadémia Alkalmazási terület: hatékonyság-féle (eredmény/költség) fajlagos mutatók optimalizálása 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 16
Grafikus módszer (2 változós esetben) 1. S lehetséges halmaz előállítása 2. D(x) 0 feltétel vizsgálata S halmazon 3. Ha D(x)=0 egyenes metszi S halmazt, vége: feladat nem megoldható; Egyébként 4. F fókusz pont meghatározása: F: 5. A 4. pontban előállított F fókusz pont körüli forgatása (mindkét irányban!) a nívó vonalaknak 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 17
Véges eset (csak véges pontok) Max. feladat egyetlenegy optimális megoldása Min. feladat egyetlenegy optimális megoldása 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 18
Max. feladat végtelen sok optimális megoldása Min. feladat egyetlenegy optimális megoldása véges pontban 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 19
Vegyes eset (véges és végtelen pontok) Max. feladat végtelen sok optimális megoldása. Vannak véges pontok, de vannak végtelen pontok is Min. feladat egyetlenegy optimális megoldása véges pontban 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 20
Aszimptotikus eset (csak végtelen pontok) Max. feladat egyetlenegy aszimptotikus optimális megoldása. Min. feladat egyetlenegy optimális megoldása véges pontban 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 21
Numerikus példák 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 22
Charnes-Cooper transzformáció Írjuk át a Q(x) függvényt a következő módon: Vezessünk be új változókat: Az új változók használatával kapunk új cél-függvényt: HP feladat lineáris analógja Továbbá, főfeltételek mindkét oldalát osztjuk D(x)-szel: Lineáris célfüggvény 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 23
feltételek Majd osztjuk D(x)-szel a : kifejezést. Így keletkezik még egy feltétel Még egy feltétel 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 24
Ha lineáris analóg megoldható, akkor HP feladat is megoldható Lineáris analóg optimális megoldása Az eredeti HP feladat optimális megoldása Csak abban az esetben használható, ha nevező 0 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 25
Lineáris analóg duálisa 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 26
Szimplex módszer hiperbolikus változata Alkalmazhatóság: csak korlátos lehetséges halmaznál!!! Aszimptotikus megoldás NEM kezelhető!!! 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 27
ahol 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 28
Induló lehetséges bázismegoldás: Nagy M-módszer, 2 fázisú szimplex módszer M-feladat Induló lehetséges bázismegoldás M-feladatnál 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 29
Lineáris és hiperbolikus megoldás összehasonlítása 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 30