IV.FEJEZET KOMPLEX SZÁMOK ÉS ALKALMAZÁSAIK

4 Komplex számo és alalmazásai IVFEJEZET KOMPLEX SZÁMOK ÉS ALKALMAZÁSAIK IV Gyaorlato (9 oldal) Végezd el a övetező műveleteet!,, +, a) ( ) ( ) ( ) ; b) (, ) (, ) ; c) (, ) (, ) ; d) (, ) + (, ) + (, ) ; e) (, ) (, ) + (, ) (, ) ; f) ( a, b) ( a, b) ; g) ( a, b ) ( a, b ) ( c, d ) ( c, d + ) ( a + c, b + d ) ( a + c, b + d ) + + ( a c, b d ) ( a c, b d ) Megoldás a) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, + ) (, 7) ; b) (, ) (, ) (, + ) (, 5) ; c) (, ) (, ) ( ( ), ( ) + ) ( 5, ) ; d) (, ) + (, ) + (, ) (, + ) + (, ) (, ) ; Megjegyzés (, ) + (, ) + (, ) ( +, + ) (, ) e) (, ) (, ) + (, ) (, ) (, ) (, ) (, + ) (, ) (, ) (, ) ; f) ( a, b) ( a, b) ( a a b ( b), a ( b) + b a) ( a ) + b, ; g) ( a, b ) ( a, b ) ( c, d ) ( c, d + ) ( a + c, b + d ) ( a + c, b + d ) + + ( a c, b d) ( a c, b d) ( a, b) ( a, b) ( c, d) ( c, d + ) ( (, ) (, ))((, ) (, )) ((, ) (, ))((, ) (, a b + c d a b + c d + a b c d a b c d) ) ( a, b)( a, b) ( c, d)( c, d + ) [( a, b)( a, b) + ( a, b)( c, d) + ( c, d)( a, b) + + ( c, d)( c, d) + ( a, b)( a, b) ( a, b)( c, d) ( c, d)( a, b) + ( c, d)( c, d) ] + + +

Komplex számo és alalmazásai 4 ( a, b)( a, b) ( c, d)( c, d ) ( a, b)( a, b) ( c, d)( c, d + + ) (, ) Bizoyítsd be, hogy ha ( a, b) (, ), aor létezi olya ( c, d), hogy ( a, b) ( c, d) ( c, d) ( a, b) (, ) Megoldás Tudju, hogy ( c, d) eseté ( a, b)( c, d) ( c, d)( a, b) ( ac bd, ad + bc) Így a bizoyítadó tulajdoság evivales azzal, hogy ab,, a és b egyszerre em ulla, azaz a + b, cd, úgy, hogy ac bd és ad + bc Tehát igazoli ell, hogy az ac bd egyeletredszere (c és d ismeretlee) bc + ad a va megoldása, ha a + b A redszer megoldása c és a + b b d, amelye léteze, mert a + b a + b Megjegyzés Ugyaezt az eredméyt felírhattu vola az g alapjá is Határozd meg az ( a, b) omplex számot, amelyre a) ( a, b ) + (, 5) (, ); b) ( a, b) (, ) (, ) Megoldás a) ( a, b ) + (, 5) (, ) ( a +, b 5) (, ) a + és b 5, tehát a és b 7, vagyis ( a, b ) (, 7) (Tehát ( a, b) (, ) (, 5) ) b) ( a, b ) (, ) (, ) ( a, b a + b ) (, ) Tehát ( a, b ) (, ) a b a a + b b + + Beszorozzu a feladatbeli egyeletet, 5 5 -el és apju, hogy ( a, b) (, ) (, ), 5 5, ahoa ( a, b) (, ) Megjegyzés A feladat alapjá (, ), (, )

44 Komplex számo és alalmazásai 4 Bizoyítsd be, hogy (, ) + (, ) (, ) Va-e más megoldása -be az x + egyelete? Megoldás (, ) + (, ) (, ) (, ) + (, ) (, ) + (, ) (, ) x ( a, b) ab, (, ) Legye, és tudju, hogy A feladatbeli egyelet a övetezőéppe alaul: ( a, b ) + (,) (, ) ( a, b) ( a, b) + (, ) (, ) ( a b,ab) + (,) (,) ( a b +, ab) (, ) a b + () és ab () Mivel ab, ab a vagy b Ha a, aor az () b b { (, ), (, ) } összefüggésből ±, tehát x Azoal elleőrizhető, hogy eze valóba megoldáso Ha b, aor az () összefüggésből a +, ee pedig ics valós megoldása Tehát az x + egyelete -be a (, ) -e ívül egyetle más megoldása va, az x (, ) omplex szám 5 Ha ( a, b) (, ),,,, Számítsd i ( ab, ) ( ab, ) ( ab, ) ( ab, ) -t! Megoldás Ha ( a, b ) (, ), aor (, ) (, ), (, ) (, ), 4 (, ) ( 4, ) ( 4) (, ) Tudju, hogy (, ) (, ), * (( a, b ) (,), ab, ), tehát tetszőleges eseté 4 4 (, ) (, ) ( 4) (, ) (( 4), ) ; 4 4, +,, 4,, 4, 4, 4 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) 4 4 (, ) (, ) (, ) ( 4) (, ) (, ) ( 4) (, ), ( 4) 4 4 (, ) + (, ) (, ) ( 4) (, )(, ) ( 4 ), ( 4) ( ) ( ) + ; Az előbbi eredméyeet a övetező alaba is írhatju:

Komplex számo és alalmazásai 45 (( 4 ), ), ha 4, N (( 4 ), ( 4 ) ), ha 4 +, (, ) (, ( 4 ) ), ha 4 +, ( ( 4 ), ( 4 ) ), ha 4 +, Ha ( a, b),, aor,,,, ( ), Aárcsa az előbb tetszőleges eseté,, (, ) (, ) ; +,,, (, ),, ; +,,, (, ),, Tehát,, ha +, ;, (, ), ha, ;,, ha +, Ha ( a, b),, aor, (, ),,, 4,,,, tehát ) és ( ) ( ) ( 4 4 eseté,, ( ) (, ) (( ) ), ; 4+ 4,,, ( ), ; 4+ 4 +,,, ( ) (, ) (, ( ) ) ;

46 Komplex számo és alalmazásai 4+ 4,, +, ( ), ( ) ( ),, ha 4, ; ( ),, ha 4, + ; Tehát, + (, ( ) ), ha 4 +, ; + ( ),, ha 4 +, IV Gyaorlato (4 oldal) Végezd el az alábbi műveleteet! a) ( + i) ; b) ( + i) ( i ); c) ( + i) + ( + i)( i) ; 4 + i + i d) i + i + i + i ; e) ; f) i i Megoldás a) ( + i) + i + i + i i; b) ( + i) ( -i) i + i + 6 7 i; c) ( + i) + ( + i)( i) ( + i)( + i) ( + i)( i) 9i 4+ 9 4 d) i + i + i + i i i + ; + i + i ( + i) e) ( + i) ( + i) i; i i f) + i i 4i i 6 4 7 ( i) + + + + i + i 5 5 5, 4 v, v ; i, 4v +, v ; Bizoyítsd be, hogy i, 4v +, v ; i, 4v +, v Megoldás i i,i,i 4 i és i, tehát eseté ( ) 4 4 i 4 i, i + 4 4 i i i, i + 4 4 i i, i + 4 i i i + i i Bizoyítsd be, hogy + i + i, bármely eseté! Megoldás + i i és i i, tehát i + i i

Komplex számo és alalmazásai 47 + i i, ha páratla i ( i) i ( ( ) ) i + + + i + i, ha páros A feladat alapjá, ha páros, aor i ±, tehát i + ( i ), eseté 4 4 9 + i + 5i 4 Bizoyítsd be, hogy + 4 9 i 7+ 6i 9 Megoldás + 7i 9 i 64 8i ( 9 + 7i) + + + i, 9 i 8 8 + 5i 7 6i 7 85 ( 5i) i + i 7 + 6i 85 85 4 9 7i 4 A fetie alapjá + ( i) ( 4i) 7 9 i + + + 4i, 4 + 5i 4 ( i) ( 4i) 7 7+ 6i 4i 4 4 9 + 7i + 5i Tehát + 7 + 4i 7 4i 4 9 i 7+ 6i 5 Bizoyítsd be, hogy a z + i omplex szám megoldása a z z + 8z + egyelete! Megoldás ( i) ( + i) + 8 ( + i) + ( + i) ( + i ) + 8+ 4i + ( + 6i 9) i + 8 + 4i 4i 8 + 8 + 4i IV Gyaorlato és feladato (69 oldal) Határozd meg az x és y valós számoat az alábbi egyelőségeből! a) ( x + i) ( i) 4x iy ; b) ( x + y) + ( y + x) i 5x + 5i x y c) + i ; d) ( 5+ i) x ( + 5i) y i i + i Megoldás a) ( x + i) ( i) 4x iy x + + ( 6 x) i 4x iy x + 4x x 6 x y y x b) ( ) i x + y 5 x + y + ( y + x) i 5x + 5 x y + x 5 y x ( y ) ( x c) + i )( + i) ( y )( i) + i i + i x + xi i y yi + i x + y 5 x y + + i + i i *

48 Komplex számo és alalmazásai x + y 5 x + y 7 x x y + x y 7 y 7 d) ( 5+ i) x ( + 5i) y i 5x + xi y 5yi i i 5x y 5x y + ( x 5y) i x x 5y y Végezd el a övetező műveleteet! + i i a) ( i) ( + i) + ( i)( + i) ; b) + i + i c) ( + i) + ( + i) + ( + ) 4 + i + i i ; d) + i i Megoldás a) ( i)( + i) + ( i)( + i) + i 6i + 4+ + 6i i + 4 4 Megjegyzés A feladatot a övetezőéppe is megoldhatju: ( i)( + i) ( i)( + i ) ( i)( + i) + ( i)( + i) Re[ ( + i)( i) ] ( + 4) 4 + i i ( + i)( + i) ( i)( i) b) + + i + i + i + i + i i 4 5 Megjegyzés Ismét godolodhatu úgy is, hogy + i i + i + i 4 Re + i Re + i + + i i i i + i 5 ( ) ( ) 4 ( ) ( ( ) ( ) ) c) ( + i) + + i + + i + i + + i + + i i ( + i + i) i( i + ) 6+ 4i + i + i ( + i)( + i) ( + i)( + i) ( + i)( + 4i + + i) d) + + i i 4 4 ( + i)( 5+ 5i) 5 ( + i) 5 i 5i 4 4 4 4 7 5i Számítsd i z -t, ha z + 6i! Megoldás z 4 4 4 ( 7 + 5 ) ( ) 7 5i 7 5i 7 5i + 6i + 6i + 6i + 6 4 4 57 57 4 4

Komplex számo és alalmazásai 49 4 Határozd meg a z omplex számot az alábbi egyelőségeből! a) z 7 + 6i; b) z 8+ 6i; c) z + 4i z + 5 ; d) z i z + i ; e) ( z) + z + ; f) z + z 5+ i; g) z + z + 8i ; h) z + z + +i ; i) z z + 8z + ; j) z + i Megoldás a) z x +yi, xy,, tehát ( x + yi) 7 + 6i x y 7 x y 7 7+ 6i x 6 x y + xyi vagy xy 6 xy 8 y x 6 Tehát a megoldáso z 6+ i és z 6 i y z Megjegyzés z 7 + 6i z 9 ( + 4i) + 4i elegedő megoldai a z + 4i egyeletet és ie z z b) z x + yi, x, y Ebből övetezi, hogy z ( x + iy) 8 + 6 i x y + xyi 8+ 6i x, x z i, z i y + y c) I módszer ( 4i) 6 6 6i 4i ± 6i z, z 5i és z i II módszer z + 4i z + 5 ( z + i) + 9 z + i ± i z 5i és z i d) I módszer 9+ 4i 4i u és u i, u x 4 x y x x 4 4 + iy xy y x x 4 x x, ± ( i) y y y x i ± ( i) Ebből övetezi, hogy z, z i + és z i i II módszer z iz + i z i ( z i) 4i 4 z i ± ( i) z + i és z + i

5 Komplex számo és alalmazásai e) z x + yi ( x yi) + ( x + yi) + x y xyi + x + yi + x y + x + y( x ) y vagy x Ha y, aor x + x + ( x + ) x z Ha x, aor y 4 y ± z + i vagy z i Megjegyzés z + z Rez, tehát a z + z + egyelet evivales a ( z ) 4Rez egyelettel Ebből övetezi, hogy z ± i Rez, ha Re z és z ± Rez, ha Re z < Az első esetbe Re z és a másodiba ± Re z Re z, tehát Re z {, } Visszahelyettesítve ugyaazohoz a megoldásohoz jutu f) z x + iy, x, y, tehát x y + xy + x iy 5+ i x y + x 5 x 5 + x y + / 4 4 xy y ( x ) y ( x ) + 4( x ) 4y 7 (y, mert y ( x ) ) x y 9 4 + 4y 7 4y + 7y y 9, y () y y Észrevehető, hogy y megoldása a feti egyelete Ebbe az esetbe x Tehát az eredeti egyelet egy megoldása z + i Ha az () egyeletet végigosztju ( y ) -el, aor apju, hogy 4y + 4y + y + 9 Ezt az egyeletet Cardao módszerével oldju meg Az y t helyettesítéssel a övetező egyelethez jutu t t 4 t t 4 t t + + + + + 7 9 9 4t 4 8t 4 4t 4 t + + 4t + + t 7+ 9 7 9 59 6 4t + t + / 54 () 7 6t + 6t + 4 ( 6t) + 77 ( 6t) + 4 Ismert az ( u + v) u + v + uv( u + v) ( u + v) uv( u + v) u v azoosság Ha az egyelet megoldását u + v 6t alaba eressü, aor

Komplex számo és alalmazásai 5 u v 59 és u + v 4 ell legye Tehát u és v az r + 4r 59 egyelet megoldásai, r, 6 ± 7 87, tehát u 6 + 7 87 és v 6 7 87 u + v Ebből övetezi, hogy t a () egyelet valós megoldása Ez alapjá 6 y Tehát 6 + 7 87 + 6 7 87 megoldása az () egyelete és így 6 y + 6 + 7 87 + 6 7 87 + 6 x y 6 + 7 87 + 6 7 87 4 z ( ) 6 + 7 87 + 6 7 87 + 6 + 6 + 7 87 + 6 7 87 4 ( ) 6 + 7 87 + 6 7 87 + i 6 Imz 8 g) z + z + 8i Im z 4 Ha Re z x, z + Rez aor z x + 4i és z x + 4i x x + 7 Tehát x x + 7 + x x x + 7 x x x és x R x x + 7 >, tehát x x + 7 4x 5x + 69 5 ± 8 x 5x + 5 x, x > és x 4 Ebből övetezi, hogy z 4+ 4i h) z + z + +i Im z és z + Rez + Ha Re z x, aor z x i, és z + x + x +5, tehát x + x + 5 x + x + x, x + x + 5>, x, eze szerit x + x + 5 x + 4x + 4 x z i i) Az egyelete z megoldása Elosztva az egyelet midét oldalát (z + )- gyel, a z z + egyelethez jutu Ee megoldásai z ± i y / j) z x x x x x + iy + yi xy y i + i xy y / ( ),

5 Komplex számo és alalmazásai Ez utóbbi egy homogé egyeletredszer, x xy 6xy+ y x 6x y xy + y Mivel y em megoldás, eloszthatju az egyeletet y -el Az x t y x x x 6 + y y y () helyettesítéssel a t 6t t + egyeletet apju, amelye x t megoldása y x y x x x x x 8 4 x y, tehát z + i Ismerve t értéét meghatározhatju az () egyelet t és t gyöeit is, amelyeből megapju z -t illetve z -t Viszot tudju, hogy ha z a z a ( * a ) egyelet gyöe, aor z εz illetve z ε z a mási ét gyö ( ε + i - harmadredű egységgyö), tehát z ( i) i + i + + +, z ( i) i i + + + + + Így a megoldáshalmaz M + i, + i, + i 5 Határozd meg az m paraméter értéeit úgy, hogy a z + ( + i) z z ( m + i ) egyelete legye legalább egy valós gyöe Megoldás Ha x az egyelet valós gyöe, aor x + x x m + ( x ) i x + x x m x x + x x m x ± m ( ) ( ) + ( ) 5 és m + Tehát az m {, 5} eseté va legalább egy valós gyö 6 Oldd meg az z z + egyelőtleséget a omplex számo halmazába! Ábrázold a megoldáshalmazt és általáosítsd a feladatot és az eredméyt tetszőleges másodfoú, valós együtthatós egyelőtleségre!

Komplex számo és alalmazásai 5 Megoldás Ahhoz, hogy értelme legye a z z + egyelőtlesége, elsősorba a z z + ifejezés értée valós ell legye Ebből övetezi, hogy z z + z z + z z z z z z z z ( z z)( z + z) ( z z) z z vagy z + z Ha z z, aor z Ebbe az esetbe z z + ( z )( z ) z, Ha z + z Rez Re z és y Im z tetszőleges, tehát z +yi Ebbe az esetbe a ( z ) ( z ) egyelőtleség evivales az + yi + yi egyelőtleséggel, ahoa a y 4 egyelőtleséget apju Ez y eseté igaz Tehát M + yi y, Megjegyzés Általába az az + bz + c egyelőtleség megoldáshalmaza az x, x itervallum és az itervallum felező merőlegese, ha abc,, és b 4ac 7 Oldd meg az i z egyelőtleséget a omplex számo halmazába! Megoldás i z aor értelmezett, ha i z Re z z yi, y i z i yi y y Ez alapjá { y y, y } M i 8 Hozd egyszerűbb alara az a + bi a bi E ( a + i) ( a i) a bi a + bi és E ( a + i) ( a ifejezéseet! i) a + bi a bi a bi a bi Megoldás E + + a bi a + bi a bi a + bi a + bi Tudju, hogy z z iimz és z + z Rez z eseté Ha z, a bi a bi aor z és ie E ( z z)( z + z) 4iImz Rez a + bi a + bi ( a + bi) a b ab ab z + i, tehát Im z a bi a + b a + b a + b a + b, ( ) Re z a b, és 8ab ( a b ) + a b E i ( a + b )

54 Komplex számo és alalmazásai Az E iszámolása Ha z a +i, aor E ( )( ) z z z z z + z ( z + z) zz ( Rez) z z z ( z z)( z + z) z + z Rez Mivel Re z a és z a + 4a a a, övetezi, hogy E a a Megjegyzés A feti számításo az a, b esetébe érvéyese, de ha a, b, aor számolással ugyaezehez az eredméyehez jutu 9 Határozd meg a sí azo ( xy, ) potjait, amelyere a) x + 4 + i y 4 és y 4 ; b) x + y + i x + y, x + y és x + y Mi törtéi ha lemodu az egyelőtleségeről, amelye a gyö alatti ifejezése em egatív voltát biztosítjá? Megoldás a) x + 4 + i y 4, y 4 x + 4+ y 4 y x Tehát az ( xy), poto az x + 4 + i y 4 y x egyeletű parabola azo potjai, amelyere y 4 x 4 x 6 6, 6 x, tehát (, x ) b) x + y + i x + y x + y, tehát az { 6, 6 } M x R x ( xy, ) x + y + x + y x + y poto az x + y egyeese vaa Ugyaaor x + y és y + x is ell teljesüljö y x x + x {( ) } x és ( x) + x x Tehát M x, x x, Ha az a) potba lemodu az egyelőtleségeről, amely a gyö alatti ifejezés em egatív voltát biztosítjá, aor y < 4 -re y 4 i 4 y, tehát az x + 4 4 y egyelőséghez jutu Ez potosa aor teljesül, ha ( x y ) 4( 4 y) + Tehát az y < 4 félsíba egy görbéhez jutu Ee a görbée a hozzávetőleges épe a IV ábrá látható A b) pot esetébe, ha midét gyö alatti ifejezés egatív, em jutu megoldáshoz, míg ha csa az egyi egatív, aor a ( x + y ) + 4( x + y) illetve ( x + y ) + 4( x + y) egyeletehez jutu E ét egyelete megfelelő görbéet a IV ábrá láthatju

Komplex számo és alalmazásai 55 IV ábra y y IV ábra x O x Bizoyítsd be a övetező azoosságoat: a) ( zz z z z )( + z ) b) + + + ; z + z + z + z + z + z z + z + z + z + z + z ; c) z ( z z z z z z z z z z z ) + + + + + + + Értelmezd geometriailag is a bizoyított azoosságoat! Megoldás a) + z z ( )( ) + ( z z)( z z) ( )( ) + ( z z)( z z) zz zz zz b) ( )( ) + z z + z + z + z + z z + z + z + z + z + z ( z + z)( z + z) + ( z + z)( z + z) + ( z + z)( z + z) zz + z + z + z + z z + z z + z z + z z + z z + z z z + z + z + + z ( z + z + z ) + z ( z + z + z ) + z ( z + z + z ) z + z + z + ( z + z + z )( z + z + z ) z + z + z + z + z + z Geometriai értelmezés Ha OBDA, OBFC és OCEA paralelogrammá, valamit G egy olya pot, amelyre a BDGF, GFCE és GDAE égyszöge is paralelogrammá, aor OD + OE + OF OA + OB + OC + OG Ha az előbbi tulajdoság ábráját térbeli ábraét ézzü, a paralelepipedo övetező tulajdoságát apju Az egy csúcsból iiduló lapátló égyzetösszege egyelő az +

56 Komplex számo és alalmazásai illető csúcsból iiduló éle égyzetösszegée és a csúcshoz tartozó testátló égyzetée F G összegével B D IV ábra C E O A c) z z + z z + z z + z + z + z ( z z)( z z) + ( z z)( z z) + ( z z)( z z) + + ( z + z + z)( z + z + z) zz zz zz + zz zz zz zz + ( ) z + z + z Geometriai értelmezés Ha G-vel jelöljü az A( z ), Bz ( ) és C( z ) poto által meghatározott háromszög súlypotját, és M egy tetszőleges pot a síba, aor AB + BC + CA MA + MB + MC MG + Bizoyítsd be a övetező feltételes azoosságoat! a) ha z zz, aor z + z ( z + z) z + ( z + z) +z ; b) ha a, aor z a az ; c) ha z z z és z + z + z, aor z, z és z egy egyelő oldalú háromszög csúcsaia affixumai; d) ha z z z, z + z + z és z + z + z, aor z + z + z ; e) ha z z z, aor z + z + z zz z + z z + z z + z + z + z Megoldás Igazolju, hogy ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z z z z z + + + + + z

Komplex számo és alalmazásai 57 ( z + z) z + ( z + z) + z ( z + z) z + ( z + z) + z + ( z z) z + ( z z) z ( z z) z ( z z) z + + + + + ( z + z) + z + + z + z + zz z ( zz ) 4 4 4 ( z + z) z z ( z + z) + ( zz ) + 4 + ( z + z) z + z ( z + z) + z + z zz ( z + z ) + z + ( z z)( z z) z + z zz zz + z z + z + z Tehát ( z + z ) ( z + z) z + ( z + z) + z Ebből övetezi, hogy z + z ( z + z) z + ( z + z) +z, mert midettő pozitív b) az a az a ( az ) a a az a a z a z z a c) módszer Ábrázolju a omplex számoa megfelelő potoat a síba A IV 4 ábra jelölései alapjá a C pot a D pota O-ra voatozó szimmetriusa Így az OADB rombuszba az OD átló hossza megegyezi az oldala hosszával Ebből övetezi, hogy az OAD és OBD háromszöge egyelő oldalúa, tehát az AOB D szög mértée Hasoló meggodolás alapjá az AOC és BOC szöge mértée is, tehát az ABC háromszög egyelő O oldalú C B módszer z z z α, α, α,π) úgy, hogy z cos α + isi α, z cos α + isi α, z cos α + i si α Feltételezzü, hogy α α (em változtat a feladat általáosságá) z + z + z z ( z + ) z + z z z A IV 4 ábra

58 Komplex számo és alalmazásai z + z ( cosα + cosα ) + ( siα + siα ) cos α + cos α + cos αcos α + si α + si α + si α si α cos α + si α + cos α + si α + ( cos αcos α + si αsi α) + cos( α α) Tehát cos( α α), α, α,π) és α α Ebből övetezi, hogy π 4π α α {, } Ha α α π, aor z z, ahol ε π π ε cos + i si harmadredű egységgyö és z ( z + z ) ( + ε) z ε (mert + ε+ ε ) Eor z z z zε z ε ε ; z z z z z + ε ; ε ε ε ε ε ε z z z z z ε ε ε ε ε Tehát z z z z z z z, z, z egy egyelő oldalú háromszög 4π csúcsai Hasolóa tárgyalható az α α eset is d) ( z + z + z ) z + z + z + ( z z + z z + z z ), tehát z z + z + z z z + z z + z z () Másrészt zz ( zz )( zz ) z + z + z ( zz ), tehát z + z + z zz () zzz Az előbbi ét összefüggés alapjá z + z + z e) z + z + z ( z + z + z)( z + z + z) zz z z z zz zz zz zz zz zz + + + + + + + + + + + + + + Továbbá zz zz zz ( zz zz zz)( zz zz zz) zz zz z z z z zz z z z z + zz zz zz z z + z zz + z zz + z zz + + z z + z zz + z zz + z zz + z z Tehát z z z zz zz zz + + + + z + z + z zz

Komplex számo és alalmazásai 59 Bizoyítsd be a övetező egyelőtleségeet: a) z z z + z z + z ; b) ( )( ) c) ( + z )( + z ); z z z z ; d) z + z + z + z + z + z z + z + z + z + z + z (Hlawa egyelőtleség) Megoldás a) A feladatbeli egyelőtlesége igazolásához elegedő bizoyítai, hogy ( z z ) z z ( z z ) + + () ( ) z z z + z z z z + z ( z + z )( z + z ) z z + z z + z z + z z z + z + z z + z z ( ) z + z z + z + z z Így () z z zz z z zz z z zz 4 z z ( zz )( zz ) 4 z z ) ( zz) + ( zz) zz 4zzzz ( zz zz (mert zz zz ) ( iimzz) 4( Imzz) Az utóbbi egyelőtleség igaz, tehát () is igaz és így z z z + z z + z Cz ( + z) Az ( ) Geometriai értelmezés A IV 5 ábra jelölései alapjá, az OAC háromszögbe felírju a háromszög egyelőtleséget OA AC OC OA + AC, tehát z z z + z z + z O Bz ( ) b) I módszer A feladatbeli egyelőtleség evivalese átalaítható: ( zz)( zz) ( zz)( zz) IV 5 ábra zz zz zz zz zz zz zz zz zz z ( z z ) z ( z z ) ( z z )( z z ) z Ez utóbbi egyelőtleség igaz, tehát ( )( ) II módszer ( )( ) z z z z z z z z z + z z z z + z z

6 Komplex számo és alalmazásai ( ) ( ) zz zz zz c) I módszer A IV5 feladat alapjá ( )( ) + z + z + z z + z z + z z + z z + z z II módszer ( )( ) + z + z + z + z + z z + z z + z z ( ) ( ) Itt felhaszáltu, hogy a + b ab, ab,, z + z z + z és z z d) Ha az igazoladó egyelőtleség midét oldalá szereplő ifejezést égyzetre emeljü, a övetező, az eredetivel evivales egyelőtleséghez jutu: z + z + z + z + z + z + ( ) + z + z z + z + z + z z + z + z + z z + z z + z + z + z + z + z + + ( z z + z z + z z ) + ( ) + z z + z + z + z z + z + z + z z + z + z () Tehát () z + z z + z + z + z z + z + z + z z + z z z + z z + z z + z z + z + z + z z + z + z + z z + z + z z z + z z + z z + z + z z + z z + z z + z + z z + z z + z z + z zz + z + z + z Ez utóbbi egyelőtleség pedig igaz, mert zz + z zz + z, O Cz ( ) Bz ( ) F Az ( ) zz + z zz + z, zz + z zz + z Tehát z + z + z + z + z + z z + z + z + z + z + z Geometriai bizoyítás A IV 6 ábra jelölései alapjá OG + EB OE + BG és E G OB + OA OD, tehát OA + OB + EB + OG OD + OE + BG () IV 6 ábra D Mive OA z, OB z, EB z, l OG z + z + z, OD z + z, OE z + z BG OF z + z, () éppe a bizoyítadó egyelőtleség és

Komplex számo és alalmazásai 6 Megjegyzés Igazolható a övetező általáosabb egyelőtlesége is: ( ) z + z zi + i< i C z z + zi + + z i i < < i Az első egyelőtleséget 964-be DD Adamovič, míg a másodiat 96-ba D Ž Djoović özölte Vizsgáld meg az alábbi függvéye ijetivitását és szürjetivitását: a) :, f () z Re z + ω Im z, ha ω \ ; f ω ω b) f :, f ( z) z + z z Ha valamelyi bijetív függvéy, számítsd i az iverzét Lehet-e valamelyi függvéy egyelő a saját iverzével? Me goldás a) Legye ω a + bi, ab,, b Vizsgálju az ijetivitást: z x + yi, z x + y i C ( x, yx,, y ) f () z f ( z ) x + y( a + bi) x + y ( a + bi) ω ω by by x + ay x + ay x + ay + byi x + ay + by i y y és b y y x x Tehát z z f ω ijetív ω \ Vizsgálju a szürjetivitást Legye u + iv A érdés az, hogy létezi-e x + yi úgy, hogy fω ( x + iy) u + iv x + ay + byi u + iv av x + ay u x u b av v Tehát by v v f u ω + i a + vi, vagyis f y b b ω b szürjetív Mivel f ω ijetív és szürjetív is, övetezi, hogy f ω bijetív, és ay y fω ( x + yi) x + b b i Megvizsgálju, lehet-e fω fω ay y fω fω x + ay + byi x + i xy, b b ay ay x + ay x ay b b ( b + ) a y xy, y y R by by b b b b ± Ha b, aor ( b + ) a a ω a i Ha b, aor a { } {} Tehát ω a i a i eseté f f fz () z+ z b) Vizsgálju az ijetivitást ω ω z j

6 Komplex számo és alalmazásai Hasolóa fz ( ) fz ( ) z + z z + z ( z z) z z R z z R Im z Im z fz ( ) f( z) r( cosα+ i siα), r, α R, r z + z r( cosα+ isiα) z r cosα z + r siαi α z r cos z + r siαi α+ α + 4 z r cos z r z cos r si α z + r cosα z r z + r cosα z r Tehát z és z x + r cosαx r egyelet pozitív, valós megoldása Ez utóbbi egyelet megoldásai ( cos α cos α) r + + r cos α + cos α x és x z z Belátható, hogy x és x f ( z) f( z) z + z z + z z z f ijetív Vizsgálju a szürjetivitást z eseté?z úgy, hogy x ( ) z z + z z x + iy, xy,, z x + iy, x, y + iy x + yi + x + y i y x x x x y x ( x x) x + 4 y x 4xx + x Ez 4 6x x + y 4x + y, hogy a megoldáso teljesíti-e az x I x x y x y + i x x y 4xx + 4x x + 4 -be egy másodfoú egyelet, és x, x feltételt 4x + 4x + y x 4x 4x y 6 ez em igaz mide x-re, mert + + 4 ± +y 4 x 4 x 6 x x + y x > x x 4x 4x + y x II x 4x 4x y 6 az egyelőtleség igaz, x, mert + 4 x a Elleőrizzü, 4x + y x és x 4x + y Ez x + y x x x, x

Komplex számo és alalmazásai 6 4x 4x y y + Tehát z x + iy eseté f i + x + i 6 y Ebből övetezi, hogy f szürjetív f ijetív is és szürjetív is, tehát f bijetív és 4x 4x + y y f ( x + iy) + i 6 Megvizsgálju, hogy teljesülhet-e az f f egyelőség f f f () z f () z, z ( z x + iy) 4x + 4x + y y x + yi + x + y + i, xy, 6 4x 4x + y y x x + y és y, xy,, 6 ez pedig em lehetséges 4 Bizoyítsd be, hogy mide -től ülöböző egységyi modulusú omplex szám + λi felírható z alaba, ahol λ λi Megoldás z z cos α+ isi α, α, π ) A z összefüggésből α tg övetezi, hogy α, π) \ { π} Tudju, hogy co s α α és + tg si α α tg α α π (a felírás létezi, mert [, π) \ + { } tg α α α α ( ) ( ) α α α ( + itg )( itg ) ) Ie övetezi, hogy tg + tg i + itg + i tg α z α λ tg + tg i tg 5 Bizoyítsd be, hogy ha z z z, aor z + z a), ha zz ; z + z + z b), ha zz z z Megoldás a) megoldás A z omplex szám potosa aor valós, ha egyelő z z z z a ojugáltjával, tehát elégséges igazoli, hogy + + Másrészt + zz

64 Komplex számo és alalmazásai + z z + z + z z z z + z z zz, tehát + z + + + zz z z megoldás z z α, α [,π) úgy, hogy z cos α + isi α és z cos α + i si α zz α + α ( + ) π, Z z ( ) + z cos α + cos α + i si α + si α + cos( α + α) + isi( α + α) α + α α α α + α α α cos cos + i si cos α + α α + α α + α cos + i si cos α α α + α α + α α α cos ( cos + i si ) cos α α α α α α α + α + + + cos ( cos + i si ) cos α + α α + α cos, mert ( ) π + megoldás A feladatot a övetezőéppe is megoldhatju: z ( )( ) + z + z + z + zz Ha z z cos α+ i si α + z + cosα+ isiα α α α α α α cos + i si cos cos cos + i si α α α + α α + α α α 4cos cos ( cos + i si ) cos cos z + z α + α α + α α + α α + α cos ( cos + i si ) cos b) módszer z z z zz zz zz + + + + + z + z + z zzz + + zz z + + + + + z z z zz zz zz z + z + z + z z z z módszer Az a) pot harmadi megoldásához hasolóa, ha z cos α + isi α,,, α, α, α ( + ) π, aor

Komplex számo és alalmazásai 65 z ( )( )( ) + z + z + z z z z z + + + z + zzz + + + + ( + i ) ( + i ) α α α α α α α α α 8 cos cos cos cos si α + α + α α + α + α α + α + α cos cos si α α α 4 cos cos cos α + α + α cos Megjegyzés A feladat általáosítható Ha z z z, zz z, aor i< i< < i zz z i i i A z Bizoyítás z cos α + i si α, α ( + ) π α α α cos cos i si + ( + z)( + z) ( + z ) A z α α α cos cos + i si α cos α cos + z + z 6 Bizoyítsd be, hogy ha z \ és Im, aor z z + z + z + z + z + z megoldás Az egyelőség evivales a z + z z + z ( z z)( zz ) egyelőséggel De z \, tehát z z, és így zz Ez azt jeleti, hogy z + z + z + z + z megoldás Ha Im, aor λ z + z z + z

66 Komplex számo és alalmazásai + z + z λ λz + λz ( λ) z + ( + λ) z + λ ( ) λ + λ ( λ ) λ + λ + λ 4 λ + λ + λ 4+ 8λ 4λ Viszot z R, tehát R \ λ ± i ( λ ) λ λ, és z, ( λ) Ie övetezi, hogy ( + λ) + ( λ ) λ z + λ + λ + λ λ + 4 ( λ) 4 8λ + 4λ Mivel z írhatju, hogy z 7 Bizoyítsd be, hogy ha z, z, z és zz a valamit zzz b, aor létezi olya {,, }, hogy z Megoldás Ha létezi {,, } b a úgy, hogy z, aor b és így b z Ha z,,,, aor a zz + zz + +, tehát z z z z z z { } a b + + z z z b a + + z z z b Viszot + + + +, tehát mi z z z z z z z a {,, + + } z z z (mert három szám harmoius özéparáyosa a legisebb és a legagyobb szám özött va) {,, } úgy, hogy b z a 8 Bizoyítsd be, hogy ha z, z, z \ pároét ülöböző omplex számo azoos modulusúa, és a z, z, valamit z + z z ifejezése értée valós szám, aor zzz Megoldás A feltétele alapjá létezi olya α, α és α valós szám a (, π) \ { π } itervallumba, amelyre z r (cos α + isi α ), ha,, r

Komplex számo és alalmazásai 67 Im( z + z z ) r( si α + r si( α + ), tehát z potosa aor valós α ) szám, ha si α + r si( α + α ) Hasoló godolatmeet alapjá si α + + r si( α + α) si α r si( α és + + α ) Ha az α + α + összeget S-sel jelöljü, az si α + r si( S α ),, tehát si α ( r cos S) + cos α ( r si S), ha, Ha r c oss, α egyeletredszerhez jutu, r si S aor az előbbi egyelőségeből övetezi, hogy tg α,, r coss eseté Ez em lehetséges, mert a z, z és z omplex számo pároét ülöböze, tehát r c oss és r si S Ebből övetezi, hogy r, és így zz z cos S+ isi S 9 Oldd meg az alábbi egyeleteet! a) z z ; b) + xi + i tgα xi, x i tgα c) ( x + i) + ( x i), x d) ( + z) + ( z) z Megoldás a) z z z z vagy z Ha z, aor z Ha z, aor z z z z π π z U cos + isi, Az U mide elemére igaz az egyelőség, tehát az egyelet megoldáshalmaza U { } b) A IV5 feladatba láttu, hogy + i tg α cos α+ i si α Továbbá x, i tgα π π tg :, π π bijetív, tehát létezi β, úgy, hogy x tg β + xi + tgβ i (tulajdoéppe β arctg x ) Ez alapjá cos β +i si β, xi tgβ i tehát a feladatbeli egyelet a övetezőéppe alaítható: ( cos β + isi β) cos α+ isi α cos β + isi β cos α + isi α β α+ π, úgy, hogy β π π, α+ π π α+ π π π π β < < α < π < α α α < π < π π Ebből övetezi, hogy az egyelet megoldáshalmaza M tg α + π α, α π π

68 Komplex számo és alalmazásai π c) Legye y arcctg x, y (, π) x ctg y x, ha y tgy π I Ha y x i + ( i) Ez igaz páratla természetes szám eseté Tehát ha páratla, aor x megoldás π II Ha y, aor x tg y ( ) x + i + ( x i) i i + + tgy tg y / ( tgy) ( + tgy) + ( tgy) + itgy itgy + cos π i si π itgy + itgy ( cos y + i si y) cos π + i si π cos y + i si y cos π + i si π y π + π, Z úgy, hogy y, π, ( ) + tehát y π +, < < < + <, Ebből x + ctg, π Ha páratla, aor a feti halmaz ( esetbe) tartalmazza -t is Számítsd i a övetező összegeet! a) S C cos( ) α ; b) S cos α ; π π ( ) c) cos cos cos π S + + + ; d) S C 4 8 4 + C + C + Megoldás a)!! (! ) C C,! ( )! ( )!( )! ( )! ( ( ) ( ) )! {,, } Ez alapjá S C cos( ) α C cos α Ha S C si α, aor S + i S C ( cos α+ isi α) C ( cos α+ isi α) ( + cos α+ isi α) α α α cos + isi cos

Komplex számo és alalmazásai 69 ( ) ( ) cos cos si α α α + i α ( ) α α ( ) α cos cos + i cos si α ( ) α S cos cos b) Ha S si α, aor S + is ( cos α+ isi α) ( cos α+ isi α) + z z potja alapjá S + i S z ( z) z z, ahol z cos α+ isi α Az I 5 9 feladat a) cosα isiα cos( + ) α+ isi ( + ) α ( cos α+ isi α) ( cosα isiα ) ( cosα isiα) ( ) α α α si si i cos cos( ) si( ) ( cos si ) + α+ i + α α+ i α α α α α α α si ( si i cos ) si ( si i cos ) α α π α π si ( cos + i si ) ( cos α+ i si α) ( ) α α π α π si cos + i si α si cos( ) isi ( ) cos si si si ( + α + + α α π α π i α α π α π α cos i si ) + + + + ( + ) α + π ( + ) α+ π α cos + i si si α si ( ) Tehát α+ π + α + π S cos cos α si α si A feti számításo csa a z esetbe, azaz α π esetbe érvéyese Ha ( + ) α π, aor S

7 Komplex számo és alalmazásai c) S egy sajátos esete az S( α) cos α+ cos α+ + cos( ) α összege Legye S ( α) siα Ha z cos α+ isi α, z ( α π, ), z aor S( α) + i S ( α) ( cosα + isiα) z z z cos( ) α isi( ) α ( cos α+ i si α) cosα i siα ( + ) α ( ) α π ( ) α si π cos + i si ( cos α+ i si α) α α π α π si ( cos + i si ) ( + ) α ( ) α α si si cos α α α cos + i si si S ( α) α si π π,, ( ) π π ( ) π π si cos si cos π S S π π si si Megjegyzés A feladat megoldható omplex számo haszálata élül is Írju fel az összeg tagjait fordított sorredbe, majd adju össze a oszlopoét a tagoat a melléelt diagram szerit π π ( ) S cos cos cos π + + + ( ) π ( ) π π S cos + cos + + cos π ( ) π π S cos cos π cos cos π + + π π cos cos S d) Írju fel Newto biomiális épletével az ( ) +, ( ), ( + i), ( i) ifejtéseet 4 5 6 ( + ) C + C + C + C + C + C + C + 4 5 6 ( ) C C C C C C C 4 5 6 ( i) C Ci C Ci C Ci C 4 5 6 ( i) C Ci C Ci C Ci C + + + + + + + + + +

Komplex számo és alalmazásai 7 4 8 Ebből övetezi, hogy + + i + i 4 C + C + C + ( ) ( ) ( ) π π Ugyaaor ( + i) π π cos + isi cos + isi 4 4 4 4 és π π ( i) cos isi π π cos si 4 4 i 4 4, tehát 4 8 π 4 ( C + C + C + ) + cos 4 4 8 π C + C + C + + cos 4 Bizoyítsd be, hogy ( ) ( ) 4 5 a) C + C + C C + C ; 5 7 + + π b) C C C C si Megoldás a) 4 ( ) 4 + i C + C i C C i + C + ( C + C + ) Re( + i) és 5 ( C C C ) Im( i) + + + Ebből a ét összefüggésből övetezi, hogy 4 5 ( ) ( ) ( ) C + C + C C + C + i + i b) Newto biomiális épletét haszálju ( + i) C ( ) i C + C i + C + i + C i + 4 5 6 7 5 7 Im ( + i) ( C C + C C + ) C + C i C C i + C + C i C C i + Im + i 5 7 C C + C C + Másrészt ( + π π i) cos isi π π + cos + isi Im ( + π 5 7 π i) si C C + C C + si a) Bizoyítsd be, hogy ha z, z,, z az egység -ed redű gyöei, aor z z ( z + ) ( ) b) Mi az előbbi egyelőség geometriai jeletése? c) Bizoyítsd be, hogy ha AA A egy szabályos -szög és M egy mozgó pot az AA A -be írt örö, aor MA ostas

A A A 7 Komplex számo és alalmazásai Megoldás a) z z ( z z )( z z ) ( zz zz z z + z z ) ( z z zz zz) ( z ) z z z z ( z ), + + + z,, és z, mivel > mert b) Ha AA A egy szabályos szög az egységsugarú örö és M egy tetszőleges pot a síba, aor sugara r, aor MA MO + r MA ( MO ( ) +) Általába, ha a soszög öré írt ör Bizoyítás Legye O a oordiátaredszer özéppotja és ( OA ( Ox A csúcso affixumai redre A π π cos + isi,, π π A cos + isi,, A ( cos π + isi π) Ha M affixuma a z omplex szám, aor MA z z és MO alapjá MA ( MO +) (lásd a IV 7 ábrát) z Az a) pot c) Legye O a soszög és egybe a oordiátaredszer özéppotja, ( az Ox tegely, M affixuma z és A affixuma z,, Mivel A A szabályos, övetezi, hogy z R ε,,, ahol egységgyöö IV 7 ábra M A ε π π cos + i si az -ed redű IV 8 ábra A A O A O A A - A fetie alapjá MA ( z z z z zz zz) A - + z r z z z z z r ( ) ( ), + +

Komplex számo és alalmazásai 7 mert z (-ed redű egységgyöö, és egy szabályos soszög affixumai) z O, tehát MA álladó álladó, mert M rajta va a beírt örö, amelye özéppotja szité Megjegyzés Tulajdoéppe em szüséges, hogy M a beírt örö legye, haem csa az, hogy egy olya örö mozogjo, melye özéppotja O Bizoyítsd be, hogy azabcd és ABC D paralelogrammá megfelelő csúcsait összeötő szaaszo felezőpotjai is egy paralelogramma csúcspotjai Megoldás Jelöljü az ábécé megfelelő isbetűivel a poto affixumait egy tetszőleges oordiátaredszerbe ABCD paralelogramma b a c d ABC D paralelogramma b a c d a + a b + b M, N, P, Q az AA, BB, CC, DD felezőpotjai m,, c + c d + d p, q, tehát a b + a b d c + d c m és q p Mivel b a c d és b c c d, az előbbie alapjá m q p, tehát MNPQ paralelogramma IV 9 ábra A M A B N D B Q D C P C 4 Bizoyítsd be, hogy ha az ABC oldalaira (ifele) egymással hasoló ABM, BCN és CA P egyelőszárú háromszögeet szeresztü, aor az MNP és ABC súlypotjai egybeese! Megoldás Jelöljü a megfelelő isbetűel a poto affixumait Így a ét súlypot affixuma a + b + c m + + p gabc és g MNP

74 Komplex számo és alalmazásai a m b c p Továbbá MAB ~ NBC ~ PCA z b m c a p IV ábra Az P a m z( b m), b z( c ) és M A c p z( a p) egyelősége összeadásából övetezi, hogy ( a + b + c ( m + + p) )( z), tehát a + b + c m + + p, mert z Eszerit gabc g MNP, vagyis GABC G MNP B C Megjegyzés A bizoyítás öyebbe átteithető (és általáosítható), ha a hasoló háromszögeet egy XYZ, velü hasoló N háromszöghöz viszoyítju A taöyv 4 8 tétele alapjá az ABM, BCN és CAP háromszöge potosa aor hasoló az XYZ háromszöghöz, ha teljesüle az alábbi egyelősége: ay ( z) + bz ( x) + mx ( y) by ( z) + cz ( x) + x ( y) cy ( z) + az ( x) + px ( y) Ha ezt a három egyelőséget összeadju, övetezi, hogy m + + p a + b + c Ebből a bizoyításból látható, hogy tetszőleges oldalú soszögre is érvéyes hasoló tulajdoság Potosabba, ha az oldalaira ifele egymással hasoló háromszögeet szeresztü (úgy, hogy a szeresztett háromszögebe az eredeti soszög oldalaival szembe fevő szöge ogruese legyee), aor háromszögee, az eredeti soszög csúcsaitól ülöböző csúcsai által alotott soszög súlypotja egybeesi az eredeti soszög súlypotjával 5 Bizoyítsd be, hogy ha az ABC oldalai felvesszü az M, N és P potoat BM CN AP úgy, hogy M BC, N CA és P AB valamit, aor MC NA PB az ABC és MNP háromszöge súlypotjai egybeese! (Papposz tétele) IV ábra Megoldás Az eddigi jelöléseel a + b + c m + +p A gabc és g MNP BM CN AP b + c m, MC NA PB + P c + a a + b, p Ebből övetezi, + + N hogy ( a + b + c)( + ) m + + p a + b + c + B M C G G ABC MNP

Komplex számo és alalmazásai 75 6 a) Igaz-e az előbbi tétel fordítottja? b) Általáosítsd Papposz tételét égyszögre! Megoldás a) A tétel fordítottja is igaz Ha az ABC oldalá felvesszü az M BC, N CA és P AB potoat úgy, hogy az ABC és MNP BM C háromszöge súlypotjai egybeese, aor MC N AP NA PB Bizoyítás Tudju, hogy a + b + c m + + p Ha MC, NA és AP PB, aor b + c c + a a + b m, és p Ha ezeet az + + + összefüggéseet behelyettesítjü az a + b +c m + + p egyelőségbe és redezzü a tagoat, a övetező egyelőséghez jutu: a b c + + + + + + + + Mivel az A, B és C poto icsee egy egyeese, ez az egyelőség csa aor teljesülhet, ha az zárójelebe levő ifejezése ullával egyelő Ebből övetezi, hogy b) A tétel általáosítható tetszőleges soszögre: Ha az AA A soszög oldalai felvesszü az M, M,, M potoat úgy, hogy AM AM A M Mi AA i i +, i,, M AA és MA MA M A AM MA, aor az AA A és MM M soszöge súlypotjai egybeese ai + ai+ Bizoyítás Ha összeadju az m i, i,, a + a egyeleteet, + ( + )( a + + a ) az m + + m a + + a, egyelőséghez jutu, ( + ) ahoa GM G A 7 Az ABC oldalaira ifele megszeresztjü a BCM, CAN és ABP háromszögeet úgy, hogy BCM ~ CAN ~ ABP Bizoyítsd be, hogy az MNP és ABC súlypotjai egybeese Megoldás Ugyaaz, mit a 4 feladat, mert aál em haszáltu fel, hogy a háromszöge egyelőszárúa 8 Bizoyítsd be, hogy egy háromszög oldalfelezőivel lehet háromszöget szeresztei Általáosítsd ezt a tulajdoságot! Megoldás Jelöljü M-mel, N-el és P-vel a BC, CA illetve AB oldala felezőpotjait, és mide pot affixumát a megfelelő isbetűvel Az előbbie alapjá b + c a + c a + b m, és p, tehát BM CN

76 Komplex számo és alalmazásai ( m a) + ( b) + ( p c) ( m + + p) ( a + b + c) ( a + b + c) ( a + b + c) Ebből övetezi, hogy az AM, BN és CP szaaszoal, iráyu megőrzésével szereszthető háromszög Általáosítás Ha az ABC -be M BC, N AC, P AB úgy, hogy BM CN AP, aor az AM, BN, CP szaaszoal szereszthető MC NA PB háromszög b + c c + a a ++ b Bizoyítás m,, p + + + ( m a) + ( b) + ( p c) ( m + + p) ( a + b + c) a + b + c + ( a + b + c) ( a + b + c) ( a + b + c) ( a + b + c) + Tehát az AM, BN, CP szaaszoal, iráyu megőrzésével, szereszthető háromszög Geometriai bizoyítás A IV ábra jelöléseit haszálju Az M poto át húzzu párhuzamost a BN szaaszhoz és szeresszü meg a BMQN paralelogrammát Az NQ BM NC BC BC AC és mqnc ( ) macb ( ) összefüggése alapjá az ABC és CQN háromszöge hasoló, tehát m( A CQ ) mcab ( ) Eszerit QC AB és QC NC AP, tehát az APCQ égyszög is paralelogramma Így az AMQ AB AC AB háromszög oldalhosszai éppe az AM, BN és CP szaaszo hosszai A P N Q IV ábra B M C 9 Az OA B, DOC és EFO háromszöge hasolóa és azoos örbejárásúa (csúcso sorredjée megfelelőe) Bizoyítsd be, hogy BC, DE és AF szaaszo felezőpotjai által meghatározott háromszög is hasoló OAB -vel! megoldás OA B ~ DOC ~ EFO a o o d f e ( a o) + ( o d) + ( f e) b o c d o e ( b o) + ( c d) + ( o e )

Komplex számo és alalmazásai 77 a + f d + e ( a + f) ( d + e) p ( b + c) ( d + e) b + c d + e m Ebből övetezi, hogy OA B ~ MNP IV ábra megoldás Válasszu egy XYZ háromszöget, amely hasoló az adott B A háromszögehez A hasolóságo alapjá érvéyese a övetező egyelősége: M oy ( z) + az ( x) + bx ( y), C dy ( z) + oz ( x) + cx ( y), ey ( z) + f( z x) + ox ( y), oy ( z) + oz ( x) + ox ( y) O P Ha az első három egyelőség összegéből D ivoju az utolsót, és az eredméyt elosztju ettővel, az N E F e + d a + f b + c ( y z) + ( z x) + ( x y) egyelőséghez jutu, ami éppe azt fejezi i, hogy az ED, AF és BC szaaszo felezőpotjai által meghatározott háromszög hasoló az XYZ háromszöghöz Az MNP, MAB, DNC és EFP háromszöge hasolóa és azoos örbejárási iráyal redeleze Bizoyítsd be, hogy a BC, DE és AF szaaszo felezőpotjai által meghatározott háromszög is hasoló MNP -el! b + c d + e megoldás A IV 4 ábra jelöléseit haszálju q, r és a + f s MN P ~ MAB ~ DNC ~ EFP m m a d e f p b a c p f ( m ) + ( m a) + ( d ) + ( e f) ( m ) + ( d + e) ( a + f) ( p ) + ( b a) + ( c ) + ( p f) ( p ) + ( b + c) ( a + f) d + c a + f ( m ) + m + r s b + c a + f ( p ) + p + q s m m + r s (( m ) + ( r s) ) ( m ) r s Tehát Eszerit p p + q s (( p ) + ( q s) ) ( p ) q s m r s p q s MNP ~ RSQ

78 Komplex számo és alalmazásai megoldás A számoláso itt is soal átteithetőbbe, ha egy háromszöghöz viszoyítu A hasolóságo alapjá my ( z) + z ( x) + px ( y), my ( z) + az ( x) + bx ( y), dy ( z) + z ( x) + cx ( y), ey ( z) + f( z x) + px ( y) Ha az utolsó három egyelőség összegéből ivoju az elsőt, és az eredméyt e + d a + f b + c elosztju ettővel, az ( y z) + ( z x) + ( x y) egyelőséghez jutu, ami éppe azt fejezi i, hogy az ED, AF és BC szaaszo felezőpotjai által meghatározott háromszög hasoló az XYZ háromszöghöz B A S Q M IV 4 ábra C P E N R D A alózo egy laatla szigete miutá az A aasztófára a zedülőet felhúztá, elástá a icseiet a övetező módo: Az aasztófától a Forrásig (F pot) imérté a távolságot és itt jobbra fordulta és ugyaayit lépte mit A -tól F -ig, majd itt megjelölté a K potot Hasolóa az aasztófától a ősziláig lépedve balra fordulta és ugyaayit lépte mit A-tól K -ig Az így apott potot K -vel jelölté meg, majd a KK felezőpotjáál elástá a icset Húsz év múlva a apitáy visszatért, hogy icseit magával vigye Nagy meglepetésére az aasztófát sehol sem találta Megtalálhatja-e a icset? K A aasztófa K(ics) K F(forrás) K(őszila) IV 5 ábra

Komplex számo és alalmazásai 79 megoldás m( A FK ) 9, AF FK f ( a f) i m( AKK ) 9, AK KK a ( ) i / i ai i + ( i) f + ai A fetie alapjá + ( i) f + ( + i), tehát ( + i) ai a ics helye em függ az aasztófa helyétől Próbálju meghatározi omplex számo élül a helyet + f + i( f) x +, x f + i( f) x f i( f) Tehát a icset úgy találju meg, hogy a őszilától a forrásig imérjü a távolságot, itt jobbra fordulu, majd ugyaayit lépü, mit a őszilától a forrásig, az így apott x potot összeötjü a őszilával, és a felezőpotba va a ics elásva megoldás A taöyv 4 feladatát haszálju Legye A és A az A pota az F-re és a K-ra voatozó szimmetriusa Az AA K és AA K háromszöge egyelőszárúa, derészögűe és azoos a örüljárási iráyu, tehát teljesíti az említett feladat feltételeit Így az AA, AA és KK szaaszo felezőpotjai által meghatározott háromszög is egyelőszárú és derészögű Tehát az FKK háromszög K -ba derészögű és FK KK Az AA A soszög oldalaia felezőpotjait megjelöltü, majd a soszöget itöröltü Meg lehet-e szeresztei a soszöget a megjelölt poto ismeretébe? Hát aor, ha oldalú soszögből idulu i? Megoldás A feladatot + illetve oldalú soszögere ülö oldju meg Ha a + a a + a a, a,, a + a soszög csúcsaia affixumai, aor m, m, a + a, + a m és + + a m + (*) az oldala felezőpotjaia affixumai A érdés az, hogy az m, m,,m omplex számo ismeretébe + megadhatju-e egyértelműe az a, a,, a+ omplex számoat A (*) egyelőségsorozat alapjá a m a ; a m a m m + a ; a4 m a m m + m a Matematiai iducióval igazolható, hogy a m m + + ( ) m + ( ) a, {,,, } + Tehát a m m + m + a Másrészt a m a + + +

H 8 Komplex számo és alalmazásai a m m m + + + m a a m m + m m4 + + m + és a,,, a + egyértelmű függvéye a -e, tehát a felezőpoto ismeretébe megszereszthetjü a soszöget A oldalú soszög esetébe a m a + a ( ) ( ) m m + + m + a Ebből övetezi, hogy a m m + + m a Másrészt a m a, tehát a ét utóbbi egyeletet ivova egymásból a m m + m összefüggéshez jutu A szeresztés csa aor lehetséges, ha ez az egyelőség feáll (Ha a poto egy soszög oldalaia felezőpotjai, aor az összefüggés feáll) A végeredméy az, hogy em szereszthető meg a soszög egyértelműe, de ha a -et tetszőlegese válasszu meg, aor egyetle oldalú soszög létezi úgy, hogy m, m,, m az oldala felezőpotjaia affixumai legyee Megjegyzés oldalú soszög eseté a szeresztés a övetezőéppe végezhető el Felveszü egy tetszőleges B potot a síba, majd megszeresztjü a ( B ) potsorozatot úgy, hogy a B szaasz felezőpotja M legye, mide B + +, eseté A BB szaasz felezőpotja éppe a eresett soszög A csúcsa Ebből a csúcsból iidulva megszereszthető a többi csúcs is Az AA AA 4 örbeírható égyszögbe H, H, H, H 4 -el az AA A4, AAA 4, AAA 4 illetve AA A háromszöge ortocetrumait jelöltü Bizoyítsd be, hogy: a) HHHH 4 AAAA 4 b) Az AAA, AAA 4, AAA 4 és AA A4 háromszöge Euler egyeesei összefutóa Megoldás a) Jól ismert tulajdoság, hogy A egy tetszőleges ABC -be az O, G és H H4 A IV 6 ábra H A G H A4 poto ollieárisa, OG GH és G ( OH) (H jelöli a háromszög ortocetrumát, G a súlypotját és O a háromszög öré írt ör özéppotját) Az OH egyeest szotá Euler egyeese evezi A feti feladatba az AA A, AA A4, AAA 4 és AA A 4 háromszöge öré írt ör ugyaaz, mert AAAA 4 örbeírható égyszög Tehát az AA AA 4 öré írt ör O özéppotja megegyezi a égy háromszög öré írt ör özéppotjával

Komplex számo és alalmazásai 8 Legye O az origó Eszerit az előbb említett tulajdoság alapjá h g a + a + a 4, h g a + a + a4 h g a + a + a 4, h 4 g 4 a + a + a A feti összefüggéseből övetezi, hogy h h a a, h h a a, h h 4 a4 a és h4 h a a4 Az utolsó égy összefüggés pedig azt jeleti, hogy AA AA 4 HHHH4 b) Az O pot rajta va mid a égy háromszög Euler egyeesé, tehát eze az egyeese yilvá összefutóa 4 Az ABC oldalai felvettü az M BC, N CA és P AB potoat Bizoyítsd be, hogy az ANP, BMP és CMN háromszöge öré írható öröe va egy özös potja! Sőt ha M, N és P ollieárisa, aor ez a pot rajta va az ABC öré írt örö (Miquel tétele) Megoldás Legye S az APN és CM N A IV 7 ábra háromszöge öré írt örö másodi metszéspotja Igazoli fogju, hogy S rajta va a BPM öré írt örö Az APSN és MS NC N égyszöge örbeírhatóa, tehát p a s m s c és a p s s m c P S C Továbbá N AC a M c, M BC m c, B m b p b P AB p a Összeszorozva az előbbi összefüggéseet, apju, hogy p b m s m b p s MBPS örbeírható égyszög Ie övetezi, hogy az AN P, BM P és CM N háromszöge öré írható öröe va özös potju Rátérü a feladat másodi részée a bizoyítására m p MN, és P ollieárisa m m c s MSNC örbeírható c m s MSPB örbeírható m s b p b s m p N AC c c a

8 Komplex számo és alalmazásai b a P AB b p Összeszorozva a feti összefüggéseet, apju, hogy c s b a S rajta b s c a va az ABC öré írt örö 5 Az ABCD égyszög átlóia felezőpotjait jelöljü M-mel és N-el (M ( AC), N ( BD) ), a metszéspotjuat O-val Bizoyítsd be, hogy: a) MN AC AB AD + CB CD ; b) 4T[ MON] TABCD [ ] Megoldás a + c b + d a) A feltétel szerit m és a + c b d MN AC m a c a c a + c b d a c a c ab ad + bc + cd AB AD + BC CD b a d a + c b d c bd ab ad + a + cd c bd + bc ( bd ab ad a ) ( cd c bd bc) + + + Tehát teljesül a ívát egyelőtleség a c ad ad + bc + cd MN AC D A O N M IV 8 ábra C B b) megoldás Feltételezzü, hogy az ABCD égyszög ovex Eszerit O It( ABCD) Legye O az origó AC BD si ( COD ) a c b d si ( COD ) TABCD MO ON si ( MON ) m si ( COD ) 4T MON 4 4

Komplex számo és alalmazásai 8 ( ) ( a c) ( b d ) si( COD ) a + c b + d si COD + + a c b d si ( COD ) TABCD Ezzel az egyelőtleséget igazoltu Megjegyzés A bizoyítás sorá felhaszáltu, hogy a + c a c és b + d b d Eze az egyelősége valóba teljesüle, mert O [ A C] és O [ BD] megoldás A taöyv 4 4 feladata (vagy a Kiril Docev-tétel) alapjá 4 TMON [ ] Im( m) és T [ ABCD] Im( dc + ad + ba + cb) A ívát egyelőtleséget a övetező alaba írhatju: Im( ab + ad + cb + cd) Im( dc + ad + ba + cb) Ez potosa aor teljesül, ha Im( ab + cd) Im( ba + dc) és ez igaz, mert az OAB és OCD háromszöge területe pozitív 6 Bizoyítsd be, hogy egy egyelő oldalú háromszög síjába elhelyezedő P pota a háromszög csúcsaitól mért távolságai lehete egy háromszög oldalaia hosszai Szeresszél egy olya háromszöget, amelye oldalhosszai aráyosa ezeel a távolságoal! (Pompeiu tétel) P IV 9 ábra A P B C Megoldás Az ábrát B örül pozitív trigoometriai iráyba forgatva 6 -al, a P pot a P potba, a C pot pedig az A potba erül Eor a BP P egyelő oldalú háromszög, tehát PP BP Ebből övetezi, hogy a PP A oldalaia a hosszai π π PP BP, P A CP és PA AP Ha B az origó és ε cos + i si, aor a cε, p pε és a p c p ε c p, p p p ε p p b, p a p a A feti összefüggéseből övetezi, hogy az a, p és p affixumú poto által alotott háromszög oldalaia hossza CP,BP és AP

84 Komplex számo és alalmazásai Megjegyzése A tulajdoság azoali övetezméye Ptolemájosz I tételée (lásd a taöyv 4 6 feladatát) Ha a P pota a háromszög oldalaira eső vetületeit P -gyel, P -vel és P -mal jelöljü, aor a PP P háromszög oldalai aráyosa az AP, BP és CP szaaszoal Ha P az ABC háromszög öré írható örö helyezedi el, aor a PP P háromszög elfajult 7 Bizoyítsd be, hogy ha M egy pot az O özéppotú ABC egyelő oldalú háromszög síjába, aor az M pota BC-re, AC-re és AB -re eső vetületei által meghatározott háromszöge a súlypotja az OM szaasz felezőpotja π π Megoldás Ha O az origó, OC Ox, ε cos + i si az egyi harmadredű egységgyö, és az [ OC ] szaasz hosszát teitjü IV ábra y az egysége, aor a C,A és B poto A affixumai c a ε illetve b ε m m m + i Im m + Az ábrát elforgatju -al Így az m pot az M C m m ε potba, az m pot pedig az M M O mε m ε m B C + potba erül Tovább M forgatva az ábrát 4 -al, m az m potba x erül és mε m ε ε m m m ε ε + + Ha ismét 4 -al forgatu, aor m az mε potba és m az mε m ε m + potba erül Egy további -os szöggel való elforgatás mε m ε ε m utá m ε + mε + A feti elforgatáso ε m mε ε m mε eredméyeéppe m +, m + és m m m + Ezeből az összefüggéseből övetezi, hogy m + m + m m m m GMMM ( ε + ε+) + ( ε + ε+ ), tehát 6 6 az OM szaasz felezőpotja G M