Dénes Tamás matematiks-kriptográfs email: tdenest@freemail.h omplementer prímszita és alkalmazása a prímszámok számának becslésére ABSTRACT A címbeli komplementer kifejezés azt jelzi hogy a szokásossal ellentétes megközelítést követünk azaz direkt képletet szükséges és elegendı feltételt adnk meg az összes k és k- alakú összetett számokra az így elıállított táblázat pontosan a prímszámokat nem tartalmazza azaz a komplementer táblázatban találhatók meg az összes prímszámok ezt nevezzük komplementer prímszitának. A komplementer prímszita módszer lehetıséget nyújt a prímszámok elıállítására faktorizáció nélkül gyanakkor a konstrktív bizonyításból adódik az összetett számok kéttényezıs felbontása. Eljárásnk alkalmas a természetes számok bármely mn intervallmába esı összes prímszámok elıállítására valamint az x-nél kisebb prímszámok számának πx- nek becslésére. -----. -----. Tétel inden -nál nagyobb p prímszám k vagy k- alakú ahol k... természetes szám. Bizonyítás: Tegyük fel hogy p prím de nem k vagy k- alakú. Ekkor csak a következı esetek állhatnak elı:. p k vagy p k- ez páros így nem lehet prím.. p k vagy p k- ez osztható -al így nem lehet prím.. p k vagy p k- ez páros így nem lehet prím.. p k5 vagy p k-5 p k5 k- vagy p k-5 k- ezek viszont a feltételezett alakúak. Q.E.D. Az. tétel alapján tehát ha a természetes számokat az alábbi módon rendezzük hat oszlopba lásd. táblázat akkor az összes prímszám az. és az 5. oszlopban helyezkedik el. éghozzá az. oszlopban a k míg az 5. oszlopban a k- alakúak.
Dénes Tamás: omplementer prímszita. Táblázat k k- 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 50 5 5 5 5 55 5 57 58 59 0 5 7 8 9 70 7 7 7 7 75 7 77 78 79 80 8 8 8 8 85 8 87 88 89 90 9 9 9 9 95 9 97 98 99 00 0 0 Az. tételbıl rögtön adódik egy gyors felsıkorlát az -nél kisebb prímszámok számára:.5 π π Az. tétel alapján a -nál nagyobb prímszámok szempontjából elegendı cspán a k± alakú természetes számokat vizsgálni. A következı. tétel szükséges és elegendı feltételt ad a k± alakú összetett számokra azaz a komplementer prímszitára.. Tétel omplementer prímszita Legyenek k v természetes számok valamint v. k akkor és csak akkor összetett szám ha k vv vagy k v--v k - akkor és csak akkor összetett szám ha k v-v vagy k v-v Bizonyítás szükségesség dr Ha k összetett szám akkor k dr k dr mod Ez két esetben lehetséges:. d és r v v v v k v v. d - és r v- v v v k v v
Dénes Tamás: omplementer prímszita dr Ha k- összetett szám akkor k- dr k dr mod Ez két esetben lehetséges:. d és r v- v v v k v v ivel ez az összefüggés v-re szimmetriks így a másik megoldás. k v - v Ezzel a tétel szükséges ágát bebizonyítottk. Bizonyítás elégségesség Legyen k vv és k valamint vr ahol v r 0 ekkor.5 rr rr r r r r v ez nyilvánvalóan nem prím. Legyen k v--v és k valamint vr ahol v r 0 ekkor. r--r r--r r r r r -v- ez nyilvánvalóan nem prím. Legyen kv-v és k- valamint vr ahol v r 0 ekkor.7 r-r- rr- r r -r -r v- ez nyilvánvalóan nem prím. Legyen kv-v és k- valamint vr ahol v r 0 ekkor.8 r-r- r-r- r r -r- -r -v ez nyilvánvalóan nem prím. Q.E.D.
Dénes Tamás: omplementer prímszita övetkezmények.. A.5 -.8 levezetések megadják bármely k± alakú természetes szám egy szorzattá bontását is. Ha - v- v prímszámok ami az. tétel szerint lehetséges akkor pontosan az szám prímfelbontását kapjk. Ha bevezetjük az a és b- jelöléseket akkor tehát minden k± alakú természetes szám felírható az alábbi négy alak valamelyikeként:.9 aar bbr abr bar Példa: r9 a9 b7 9.507 9.9 7.07 7.88.. ivel a..-ben bevezetett jelölések szerint a>b mindig teljesül így a.9-beli i i kifejezések soha nem egyenlık kivéve azt az egy esetet mikor r0 Ha megvizsgáljk az i számok nagyságviszonyait a. táblázat relációs mátrixát kapjk. - a ar-b -br > 0 tehát >. Táblázat - a ar-ab-ar > 0 tehát > - a ar-ab-br > 0 tehát > - b br-ab-ar < 0 tehát < - b br-ab-br < 0 tehát < - abar-ab-br 0 tehát - > > > < - < < < > - < > - Tehát mindig fennáll az > > reláció. Az. és. tételbıl könnyen bizonyítható hogy végtelen sok prímszám van.. Tétel Végtelen sok prímszám van. Bizonyítás indirekt Az. tétel alapján elegendı csak a k± alakú természetes számokat vizsgálni. Tegyük fel hogy véges sok prímszám van és ezek közül P az tolsó k alakú prímszám. Ekkor minden p>p természetes szám összetett.
Dénes Tamás: omplementer prímszita 5 Így a. tétel szerint p prímtényezıs felbontása: p n i i ± v i ± ahol minden in esetén i ± és v i ± prím. A feltételezés szerint a prímtényezıs felbontásban mindegyik i v i < amibıl következik hogy p [ ± ± ] n Ez azt jelenti hogy a k alakú számok száma véges ami nem igaz tehát nincs ilyen. A levezetés hasonlóan végezhetı a k- alakú prímszámokra is. Q.E.D... A.5 -.8 levezetések alapján vizsgáljk egy tetszıleges természetes számig az összes k és k- alakú összetett számok számát. Azaz vizsgáljk az i < i egyenlıtlenségeket. v.0 r r r def. v v v. --r r r def. v v v. -r r r def.5 v v v. -r r r def.7 v v ivel az v paraméter párok az i i kifejezésekben szimmetriksak így nyilvánvaló hogy csak az v azaz az r>0 esetekre kell az i értékeket elıállítani ahhoz hogy -ig az összes k és k- alakú összetett számok legalább egyszer elıálljanak. Ebbıl következnek az alábbi összefüggések:
Dénes Tamás: omplementer prímszita.8 r0 tehát.9 r0 - tehát.0 r0 - tehát Vezessük be a i jelölést amely az összes i típsú összetett számok elıállításához elegendı v párok számát jelöli......5 A fenti levezetés cspán az elegendıséget biztosítja azaz az összes különbözı v párok elıállítását. Ez viszont megengedi hogy az elıállítás során bizonyos összetett számok többször fordljanak elı így annyival nagyobb az -ig elıfordló összes k és k- alakú összetett számok számánál jele: π amennyi ezeknek a többszörös mltiplicitással szereplı elemeknek a száma jele: m azaz. π -m Ha P-nel jelöljük a jelen komplementer prímszita eljárással elıállított prímszámok számát akkor adódik hogy
Dénes Tamás: omplementer prímszita 7.7 P π A fenti levezetések alapján értékét pontosan meghatároztk m-re viszont jelenleg csak becslést tdnk adni illetve számítógépes algoritmssal a pontos érték elıállítható. Amennyiben tehát m-re pontos értékkel rendelkezünk akkor fennáll hogy.8 P π π.. ost a.-.5 összefüggésekbıl közelítı formlát képezünk amely -et direkt képlettel állítja elı -bıl. önnyen látható hogy.9 ± valamint Így szinte semmit nem ront a pontosságon ha a.-. összefüggésekben az összegzéseket egységesen -ig végezzük:.0 Tehát ha a és b - akkor. 8 8 ab b a b a b b a a b b a a Vegyük észre hogy így -re az alábbi eredmény adódik:. 9 8 8
Dénes Tamás: omplementer prímszita 8 becslésére felhasználjk az alábbi egyenlıtlenségpárt Erdıs-Srányi.old..:. n n n log log Alkalmazzk a. egyenlıtlenségpárt.-re így kapjk hogy. log 9 8 log 9 8 A. alsó és felsı korlátjának számtani közepét használjk közelítı értékének jele:..5 log 8.5. A.0-.7 levezetésekhez hasonlóan vizsgáljk most az i i egyenlıtlenségeket ahol < természetes szám.. v.7 v.8 v.9 v Vezessük be a i i jelölést amely az összes v párok számát jelöli amelyek az intervallmba esı összes összetett számokat generálják. Ekkor a.-.5 összefüggések analógiájára a következıket kapjk:.0.
Dénes Tamás: omplementer prímszita 9.... Világos hogy az eddig levezetett összefüggések mindegyike értelmezhetı tetszıleges intervallmra. Az alábbiakban megadjk a..7..5 összefüggések megfelelıit tetszıleges intervallmra..5 π -m. P π.7 ivel így -re adódik:.8 9 közelítésére felhasználjk a. egyenlıtlenségpár két oldalának középértékét:.9 log 8 Tehát ha k vagy k- alakú összetett szám akkor kéttényezıs felbontásához.9 szerint maximm az alábbi lépésszám szükséges:
Dénes Tamás: omplementer prímszita 0.50.9 A komplementer prímszita tehát direkt eljárást ad tetszıleges intervallmban az összes összetett és így az intervallmba esı összes prímszám elıállítására. Ezzel igen hatékony módszert kaptnk a prímekkel kapcsolatos három alapfeladat megoldására:. eressük az intervallmba esı összes prímszámokat.. Állítsk elı az összes prímszámokat -ig. Ekkor. Állapítsk meg egy adott p természetes számról hogy prímszám-e. yitott probléma: az m függvény analitiks meghatározása vagy jó aproximációja. A. Táblázat néhány összehasonlító értéket mtat be a fenti eredmények illsztrálására.
Dénes Tamás: omplementer prímszita. Táblázat m P π log P hiba % log hiba%.000 05 95 8.5%.%.000 8 9 0.0%.%.000 79 755 0 0 75.%.8%.000.8.07 5 50 55 8.%.7% 5.000.5.9 5 9 587.0%.%.000.807.7 577 770 78 90.7%.8% 7.000.0.077 7 88 900 79.5%.% 8.000.5. 857 99.007 890.5%.% 9.000.905.79.00.0.7 988.%.5% 0.000.8.59.0..9.08.%.%.000..5...5.8.%.5%.000.055.909.7.9.8.78.%.%.000.5.9.8.57.57.7.%.%.000.850.77.85..5..%.% 0.000...89.50.5.90 0.% 0.% 50.000 0.79 0.75 9. 5. 5.. 0.0% 0.0% 70.000 0.09 9.57.0.97.95.75 0.0% 9.5% 90.000 0.5 9.0 9.05 8.78 8.7 7.890 0.0% 9.% 90.000 9.97 90.9.8 7.75 7.70 5. 0.0% 8.9% 50.000 8.080 78.79 9.57 9.9 9.977 7.7 0.% 8.5% 900.000 57.78 50.7 89. 7.80 7.7 5.5 0.% 7.9%.000.000 58.58 58.777.9 78.8 78.98 7.8 0.% 7.8%.500.000 905.7 88.8 50..99.55 05.78 0.% 7.%.000.000.9...75 7.8 9.8 8.9 7.89 0.% 7.%.000.000.9..889.0...97.88 0.5 0.% 7.%.000.000..0.58.508.58.8 8. 8.8.7 0.0% 7.0% 5.000.000.5.97.90.0.0.90 8.79 8.55.50 0.% 7.0%.000.000.08.0.008.7.95.75.7.85 8. 0.%.9% 7.000.000.8..7.7.9.79 7.7 7.50. 0.%.8% 8.000.000 5.57.79 5.7.90.5.7 50.5 59.779 50.0 0.%.7% 0.000.000 7.088.58.9.708..59..579 0. 0.%.%
Dénes Tamás: omplementer prímszita Irodalomjegyzék [] Erdıs Pál Srányi János: Válogatott fejezetek a számelméletbıl Polygon Szeged 99. [] H.Halberstam.F.Roth: SEQUECES IV. Sieve methods Oxford at the Clarendon Press 9 [].Ramachandra: any famos conjectres on primes eagre bt precios progress of a deep natre The athematics Stdent Vol. 7-998 87-99 [] A.V. Spivak: The Sieve of Eratosthenes and Wallis's Prodct: How Two Wrong Argments Give One Correct Answer The athematical Intelligencer 00-5