Rekonstrukciós eljárások Orvosi képdiagnosztika 14.-15. előadás 2015 ősz
Előadások témája Röntgen tomográfia fizikai és matematikai alapjai 2D Radon transzformáció, szűrt visszavetítés: Fan beam / Cone beam felvételi elrendezések esete Általánosított (3D) röntgen tomográfia alapjai ART rekonstrukciós eljárások Pozitron emissziós tomográfia alapjai ML-EM statisztikai rekonstrukciós eljárás Modell alapú rekonstrukciós eljárások Tomoszintézis felvételi elrendezés MITS rekonstrukció Rekonstrukciós eljárások minősítése
Röntgen tomográfia alapjai Általánosított Beer-Lambert törvény: Emax I 0, 0 0 exp, x y I E E xdxde Emin Px0, y0 I E E 0 : röntgencsövet elhagyó energiájú sugárzás fluxusa (tehát ez a térfogatba belépő sugárzás intenzitása ) P x, y: röntgencsövet a detektor xy, koordinátájú pontjával összekötő szakasza a 3d térnek E, x : a vizsgált térfogat xkoordinátájú pontjának lineáris csillapítási együtthatója E energián Egyszerűsített Beer-Lambert törvény: (monokróm spektrum esete) 0 exp : I E x dx Px0, y0
Röntgen tomográfia alapjai Monokróm spektrumú sugárzás esete: Általánosan alkalmazott feltételezés Rekonstrukció célja a lin. csillapítási együtthatók meghatározása az alábbi összefüggés invertálásával: ln, I xy 0 Px I x dx 0, y0 Valódi röntgensugarak ezzel szemben: Polikromatikusak sugárkeményedés problémája Compton szóródnak: nem igaz, hogy csak a vetítősugár mentén elhelyezkedő képletek számítanak. Projekciók egyéb zajjal is terheltek : kis intenzitásnál rossz SNR
Röntgen alapú képalkotás Konvencionális P-A röntgen: Nincs rekonstrukció Számítógépes tomográfia (CT): Párhuzamos vetítősugarakon alapuló eljárások (kevés ilyen eszköz van csak forgalomban), cserébe egyszerű elmélet Legyező (Fan-beam) helikális CT Cone-beam CT, ennek speciális változata a Tomoszintézis Orvosi képdiagnosztika alapvető eszköze: Mivel a röntgen sugárzás ionizál, ezért protokollokkal szabályozott a vizsgálatok gyakorisága, és effektív dózisa
2D Radon transzformáció: Radon transzformáció (2D szelet 1D projekciók): Input: 2D Descartes - koordinátarendszerbeli kép Output: sinogram 2D polár-koordinátarendszerbeli kép Sinogram: t
Radon transzformáció Fourier vetítősík tétel Radon transzformáció (2D szelet 1D projekciók): Vetítősugarak merőlegesek az x tengellyel szöget bezáró egyenesre: t x cos y sin Vetítősugarak mentén integráljuk a szelet elemeit: P t f x, y x cos y sin t dxdy xy, Legyen exp 2 Fourier vetítősík tétel származtatása: x, y, t S FT P t P t j t dt S f x, y x cos y sin t exp 2 j t dtdydx, exp2 cos sin S f x y j x y dydx xy,
Fourier vetítősík tétel Lényegében f spektrumának egy szakaszát kaptuk meg: F cos, sin S Vizuális interpretáció:
Rekonstrukció FBP alapötlete Rekonstrukció célja: Radon Transzf. invertálása Fourier vetítősík tétel értelmében a vizsgált szelet spektrumainak bizonyos részeit ismerjük: Az ismert részeket illesszük egy üres spektrumba Polár koordinátás frekvencia sugarának függvényében a spektrum mintavételi helyeinek eltérő a távolsága: K 2 2 Korrekció: spektrumba illesztés előtt -val súlyozzunk frekvenciatérben (ez az ún. rámpaszűrés).
Szűrt visszavetítés (FBP) származtatása FT inverze:,, exp 2 f x y F u v j ux vy dvdu uv, Fourier vetítősík miatt a spektrumot polárkoordináta-rendszerben ismerjük: u cos ; v sin 2,, exp 2 cos sin f x y F j x y Jdd 0 0 u u J..., dudv Jdd v v Továbbiakban k : x cos y sin 2 f x, y F, exp j2 k d d 0 0
Szűrt visszavetítés (FBP) származtatása Vágjuk szét a külső integrált: 2 j 2 k j 2 k f x, y F, e dd F, e dd 0 0 0 f, a sinogram egy oszlopa, melynek definíciójából (Radon transzf.) következik, hogy F, F,, hiszen:, exp 2 exp 2 F P t j t dt P t j t dt t t dt F, P lexp j2 l dl F, l t dl l Felhasználtuk, hogy k x cos y sin, illetve cos cos és sin sin
Szűrt visszavetítés (FBP) származtatása Behelyettesítve az két integrálba: j 2 k j 2 k,, e, e f x y F dd F dd 0 0 0 f x, y F, exp j2k dd Q k d : Q k S exp j2 k dekvivalens a projekciók projekciók (sinogram oszlopai) rámpa szűrővel történő szűrésével f x, y Q x cos y sin d : az ú.n. visszavetítés 0 0 0 0
Szűrt visszavetítés értékelése Rámpaszűrő: 0, f N 0, fpn f Ideális rekonstrukció feltételei: 180 -ból rögzített projekciók 2arcsin f 2 fpn Projekciók felbontása elegendően nagy: f 2 f tipikus az 1cyc/mm PN Zajt az eljárás expliciten nem kezeli, ez jelentős problémaforrás. N képtérben
Szűrt visszavetítés implementációja Rámpaszűrés frekvenciatérben történik: 5 5-ös szűrő esetén már a frekvenciatartománybeli szűrés a gyorsabb (ennek főleg régebben volt jelentősége). Visszavetítés kép / időtartományban: Frekvenciatartományban interpolálnunk kellene a spektrum ismert egyeneseiből a DFT által mintavett frekvenciák értékét (mely messze nem triviális). Szűrések, projekciók visszavetítése egyenként (sugaranként) jól párhuzamosítható
Szűrt visszavetítés zajérzékenysége Detektorok NNPS-e a frekvencia függvényében monoton nő zajos magas frekvencia (PET esetén a röntgenes esetnél jóval rosszabb). Ráadásul magas frekvencián távolabb vannak a spektrum ismert értékei (ezért kell a rámpa szűrés is). Legegyszerűbb megoldás az alul-áteresztés: Az alul-áteresztés és a visszavetítés sorrendje tetszőleges Erőforrásigény miatt érdemes a rámpa szűrőt megszűrni: P h h P h h Ramp Lowpass Ramp Lowpass
Szűrt visszavetítés zajérzékenysége Rámpa szűrő módosítottjaival szűrünk: Szűrők átviteli függvényének abszolút értéke: CT MTF-je a szűrők függvényében:
Szűrt visszavetítés működése Demo videó az FBP rekonstrukciójáról: https://www.youtube.com/watch?v=ddzelnh9aac A szinogramban oszlop-folytonosan helyezkednek az 1D projekciók. A videón jól követhető a limitált szögtartomány által okozott artifakt: Magas frekvenciás komponensek (pl. fantom széle) kis szögtartományból is jól rekonstruálódik. Alacsony frekvenciás komponensek viszont erősen szétmosódottak (jellegzetesen V alakban).
FBP Fan-beam geometria esetén Eddig párhuzamosak voltak a vetítősugarak: Gyakorlatban egy ilyen CT nem realizálható Fan-beam vetítősugaras helikális CT:
Fan-beam projekciók Virtuális projekciók FBP Fan-beam geometria esetén Alapötlet: a mért intenzitások átcsoportosítása párhuzamos vetítősugár alapú geometria szerint: Lényegében új, párhuzamos vetítősugár szerinti virtuális projekciókat állítunk elő a fan-beam projekciókból. Átcsoportosítás
FBP Cone-beam geometria esetén CBCT rendszerek - Cone-Beam geometria: Flat-panel detektort használ, a sugarak kúpszerűen (innen az elnevezés) vetülnek a detektorra:
Cone-beam geometria szerinti vetületek FBP rekonstukciója - FDK Feldkamp, Davis, Kress CBCT-s algoritmusa: Fan-beam rekonstrukciók sorozatára vezet vissza Párhuzamos sugarakként kezeli a divergáló sugarakat Ideális rekonstrukció esetén is Cone-beam artifakt
Projekciók keletkezésének általános 3D modellje Általános modellje a (röntgen) képalkotásnak: g x, y h x, y;, f, d dd x, y,, 0 Mérésekkel rendelkezünk: g x, y Teoretikusan ismerjük a rendszer PSF-jét: Beer- Lambert törvény szerint, ami nem modellezi a Compton szóródást és a foto-elektronikus kölcsönhatás során keletkező sugarakat sem. Rekonstrukció célja f,, meghatározása Feltétel, hogy több projekciót ismerjünk, egyébként erősen alul-határozott a probléma (egy voxel csak egy fotodiódára vetül tehát csak egy mérés eredményét befolyásolja).
Projekciók keletkezésének általános 3D modellje Megfigyelési modell diszkretizáltja g H f η : g tartalmazza az összes vetítősugár fotodiódákon mért intenzitások negatív logaritmáltját (tehát minden projekció minden pixeléhez tartozó intenzitását tartalmazó vektor). H a vetítő mátrix,, : i-edik vetítősugár a j-edik voxelben milyen hosszú utat tesz meg (ritka mtx.). η H i j az additív zaj nem modellezett hatások determinálják Lényegében ez is inverz probléma: Ugyanúgy jelentős a zajérzékenység, mint 2D esetben Ellentétben nagyságrendekkel több változó (akár 1E7)
Algebrai rekonstrukciós technika (Gordon ART) Kaczmarz iterációval történik megoldása: Rekonstrukciónál a f H g megoldás lenne az ideális, de: Túl nagy H mérete a ma elérhető számítási teljesítményhez Ráadásul H nagyon ritka, melyet általános algebrai módszerek nem képesek hatékonyan kihasználni Eljárás alapötlete: g Hf lényegében N db (vetítősugarak száma), M dimenziós hipersík egyenlete Ha létezik egzakt inverz, akkor a hipersíkok az M dimenziós tér ugyanazon pontjában metszik egymást. Ha túlhatározott, akkor nincs metszéspont, ha alulhatározott akkor az M dimenziós teret egy résztartományra szűkítik. g H f
Algebrai rekonstrukciós technika (Gordon ART) Az eljárás k+1. iterációban merőlegesen vetíti az aktuális -et g H f hipersíkra ( ): f i k(mod N) f a -re merőleges azon síkon helyezkedik el, mely távolsága az origótól Tehát i i,: H i,: 1 g f f H H i i,: k k T i,: k g H f H T i i,: i,: H f k g,: H i i i,: Hi,: 1 2, a merőleges vetítés után teljesül, amiből kifejezve: T k k k i,: i,: i T f f H f g H T H, behelyettesítve: H i,: i,:
Algebrai rekonstrukciós technika (Gordon ART) k 1 k k i,: interpretációja: k k H f g a rögzített projekciók és az aktuális ( f ) rekonstrukció modell szerinti vetületének a különbsége (vetületi hiba) T T H H H : a vetületi hibát vetíti vissza Eljárás tulajdonságai: Sok, könnyen számolható iteráció, melyek nem párhuzamosíthatóak Konvergál, ha megfigyeléseink konzisztensek, ellentétben limit hurokba szorul, mely belsejében helyezkedik el az f H g. Hátránya, hogy nem kezeli a projekciók zaját, ezért túlilleszkedésre hajlamos (lényegében egy ML becslés Gauss eloszlású likelihood-dal) Szükség van egy f f H f g i,: i,: i,: H H i,: i T f 0 -ra: gyakran FBP / BP eredménye T H i,: i,:
Kaczmarz iteráció példa N=2, M=2 esete: Ha a két merőleges hipersík egymásra merőleges, akkor két iteráció alatt megvan a metszéspont Ha a hipersíkok párhuzamosak, akkor az iteráció nem áll le (limit hurokba kerül) Minél nagyobb a két egyenes által bezárt szög, annál gyorsabb a konvergencia.
Limit hurok viselkedés Gordon ART inkonzisztens projekciók esetén limit hurokba lép (mely megfelelő esetén stabil): Stabil limit hurkok viselkedés: a rendszer állapotváltozója hurok trajektóriába ragad
Algebrai rekonstrukciós technika Egyidejű ART (SART): (Simultaneous ART) Hibaképzés nem vetítősugaranként, hanem projekciónként: 1 f f g H f k k k S i js j j,: : i-edik projekció pixeleit előállító vetítősugarak halmaza Limit hurok viselkedés itt is jellemző: Hurok területe viszont jelentősen kisebb Jól párhuzamosítható: i Azonos projekcióhoz tartozó vetítősugarak menti levetítés és visszavetítés egymástól független Zajra túlilleszkedés tulajdonsága változatlanul megmaradt H H T j,: H j,: j,: T
Algebrai rekonstrukciós technika (Simultaneous Iterative Reconstructive Technique) Egyidejű Iteratív Rekonstrukciós eljárás: Összes projekció, összes pixele szerint egyszerre képez hibát: 1 f f g H f k k k j j,: Limit hurok viselkedés megmaradt: Viszont az SART-nél is kisebb hurokterülettel Jól párhuzamosítható, de: j Egyszerre csak egy projekció le / visszavetítése nem módosítja többször u.a. voxelt (egyébként versenyhelyzet). Gyakorlatban lényegesen lassabban konvergál a másik két ART-nél) Létezik olyan változat, mely kezeli a polikróm energia spektrum miatt kialakuló sugárkeményedés artifaktumot. H H T j,: H j,: j,: T
Algebrai rekonstrukciós technika (Multiplikatív ART) Eddig Additív ART-ket néztünk: Kezdeti iterációk során lassan konvergálnak Pozitivitási kényszert nem lehet kikényszeríteni Multiplikatív ART-k: Hibát multiplikatív módon származtatják k1 k j pl.: f f 1 1, A hibát 1g H f j j,: H k g j,: értéke méri Kezdeti iterációk hatékonyabbak, de gyakran divergál f k 0
Pozitron emissziós tomográfia alapelve Szervezetbe pozitron kibocsátására képes radioaktív izotópot tartalmazó anyagot visznek cukoroldatban. Sejtek tápanyagfelvétele miatt nagyobb energiaigényű (pl. gyulladt / daganatos) sejtek helyén több pozitron emisszió. Pozitron elektronnal ütközik: Két db, egymással ellentétes irányú foton emittálódik. Detektor ezeknek a beütését méri.
Pozitron emissziós tomográfia rekonstrukciója Line of Response : ugyanazon bomló izotóp által kibocsátott γ fotonok beütési helyét összekötő szakasz Érdemes szem előtt tartani, hogy előre nem határozható meg, hogy egy-egy foton milyen irányba fog haladni Elegendően sok kisugárzás esetén viszont hasonlóan viselkedik, mint akármilyen sugárforrás (Poisson folyamat).
Pozitron emissziós tomográfia projekciók zajának értelmezése Sokszor téves LOR-t mérünk: Compton szóródás miatt a térfogaton belül megváltoztatja irányát a γ foton. Két, hozzávetőlegesen egy időben történő bomlás is fals látszólagos LOR-t eredményez.
Pozitron emissziós tomográfia rekonstrukciója Rekonstrukció során a LOR-ok interpretálhatóak vetítősugaraknak is (intenzitás meg az adott LOR menti gyakorisága a γ beütéseknek). Elegendően sok beütés szükséges az eloszlás becsléséhez: Egy scan kb. 20 perc Nagyságrenddel rosszabb SNR, mint CT esetén
ML-EM rekonstrukció (Emissziós tomográfiai értelmezés) EM eljárások alapelve: Vannak megfigyelt adataink (méréseink), esetünkben a PET LOR-ok mentén érzékelt gamma beütési szám ( yd) Vannak becsülni kívánt adataink ( xb), jelenleg ez a vizsgált szövet pozitron emissziójának a gyakorisága Létezik olyan v.v., mely ha ismert lenne leegyszerűsödne az egész feladat: a PET esetén pb d : annak a valószínűsége, hogy a d LOR mentén beütő gamma részecskét a b képlet emittálta. Megoldás iteratív, iterációnként két lépés: pb d Expectation lépés: frissítése Maximization lépés: xb ML becslése
ML-EM rekonstrukció (Emissziós tomográfiai értelmezés) E lépés formálisan - Bayes tétel alkalmazása: p k 1 b d b ' k k ' ' p d b x b p d b x b p b d : annak a valószínűsége, hogy a d LOR mentén érzékelt fotonok a b pozíciójú képletből származnak. p d b : annak a valószínűsége, hogy a b pozíciójú képlet által emittált fotonok a d LOR mentén ütnek be a detektorba. Ennek a tagnak a meghatározása előzetesen történik (nem a becslés feladata). Általában Monte-Carlo szimulációkkal becslik, pontos meghatározása fontos.
ML-EM rekonstrukció (Emissziós tomográfiai értelmezés) M lépés célja a sűrűségbecslés frissítése: k1 k1 arg max d x b p y x b x k 1 Elvégezve p b d behelyettesítését: k1 x b x b b ' k 1 y d p b d Eljárás előnye, hogy expliciten modellezi a zajt d p d b p d b 1 k ' ' p d b y d k d x b p d b d
ML-EM rekonstrukció (Emissziós tomográfiai értelmezés) Módosító összefüggés interpretációja: k1 x b x b b ' p d b 1 k ' ' p d b y d k d x b p d b k x b' p d b ' : aktuális rekonstrukció alapján becsült b ' LOR beütések k y d x b ' p d b ' : d LOR menti beütések b ' becslésének a hibája y d p d b 1 : hiba visszavetítése k d x b ' p d b ' p d b b ' d d
ML-EM és FBP öszehasonlítása (Emissziós tomográfia PET) Kis beütésszám miatt alacsony effektív felbontás Ráadásul jelentős nem Gauss-i zaj FBP rekonstrukció ML-EM rekonstrukció
PET/CT modalitás PET funkcionális képet állít elő: Lokalizálhatóak a nagy energiaigényű szövetek Cserébe erősen zajos, rossz minőségű rekonstrukciók Megfelelő zajmodell nélkül lehetetlen értelmezhető rekonstrukciót előállítatni vele CT rekonstrukciók - morfológiai információ: Kisméretű (korai stádiumú, ezért jó hatásfokkal kezelhető) tumorok nehezen detektálhatóak Cserébe kevésbé zajos, felbontását tekintve részletgazdagabb felvételek
PET/CT modalitás Rekonstrukció lényegében a PET, illetve a CT rekonstrukciók regisztrálását jelenti Balról jobbra: CT, PET, regisztrátum
Modell alapú rekonstrukciós eljárások (Röntgen alapú képalkotás) Cél a pácienst érő sugárterhelés minimalizálása: Viszont kisebb dózis zajosabb projekciókat eredményez Limitált szögtartomány problémája jelentősen alulhatározottá teszi a z inverz problémát ( g H f ) MAP becslés alkalmazása szükséges: Emlékeztetőül f g g f f f arg max P arg max P P Likelihood log P g f f bünteti az eltérést f log P f f apriori ismeretek alapján regularizál Prior f
Modell alapú rekonstrukciós eljárások (Röntgen alapú képalkotás) Likelihood tag megválasztása: PET-nél Poisson modellt alkalmazzuk (ritka esemény törvény) Röntgen esetén negatív logaritmálást követően Gauss modell Likelihood T -1 f 12 g H f Σ g H f 2 Σ Σ i, i i gyakran diagonális, ekkor : Lényegében az i-edik vetítősugár NSR-jének a négyzete Megfelelő megválasztásával a foton éhezés hatása mérsékelhető Kvadratikus függvény, minimalizációja analitikus
Modell alapú rekonstrukciós eljárások (Röntgen alapú képalkotás) Regularizációs tag megválasztása: Logikusnak tűnik a gradiens energiáját büntetni: T T f f S f, S D D, ahol D a deriválás mtx.-ja Prior Belátható, hogy ekvivalens egy regularizáció nélküli rekonstrukció alul-áteresztettjével. Tehát ez a regularizáció csökkenti az effektív felbontást, a rekonstruált szeletekre merőleges irányban növeli az átmosódást, ami egyáltalán nem kívánatos. Inkább él őrző regularizációk alkalmazása javallott pl. Teljes Variancia minimalizáció, Huber büntetőfüggvény
Teljes variancia minimalizáció Rekonstrukció, mint optimalizálási feladat: f arg min g H f D f f D diszkrét differencia / wavelet transzformációk mátrxia Lényegi változás, hogy a regularizáció L1 norma szerinti Könnyebben számítható 2 2 1 2 2 f, z g H f z z Df 2 1 2 változókkal: Alternálva minimalizáljuk -et és z-t iterációnként: z Df f n1 n 2 n f arg min f, z arg min g H f z Df f f 2 2 z arg min f, z arg min z z Df n 1 n 1 n 1 z z 1 2 2 2
Teljes variancia minimalizáció Az iterációk első lépése kicsit átalakítva: min. f T n T T T T g z H D f Formálisan visszajutottunk az alapproblémához, csak most már biztosan túl-határozott (additív ART probléma) Minimalizálása erőforrásigény miatt sokszor SART-vel Iterációk második lépésének optimuma egy lépésben, analitikusan meghatározható: arg min z z Df Az úgynevezett lágy küszöb operátor használatával A minimalizálás voxelenként történik z T 2 2 n1 1 2 2
Teljes variancia minimalizáció Jobb SNR az ML-EM és az FBP-hez képest: FBP-nél kevésbé zajos, de hasonló kontrasztú kép ML-EM-nél jelentősen jobb kontraszt FBP ML-EM TV-ART
Huber büntetőfüggvény Huber büntetőfüggvénnyel regularizálunk: Prior f LHuber D f x L Huber 2 x 2 x 2 2 2 x 2 x 2 2 Pet fantom MAP L2 prior MAP Huber prior
Kvadratikus és abszolútérték hiba/büntetőfüggvény Két hibafüggvény jelentősen eltérő eloszlást kényszerít ki: Abszolútérték büntetőfüggvény Kvadratikus büntetőfüggvény
Lineáris tomoszintézis Speciális CBCT változatnak tekinthető: Detektor és a sugárforrás egymással és a flat-panel detektor oszlopaival párhuzamosan mozog. Projekciók limitált szögtartományból (±10-30 ) Irányfüggő felbontás / képminőség: Detektorral párhuzamos szeletek felbontása megegyezik a detektor felbontásával Detektorra merőleges irányban nagyon rossz felbontás : limitált szögtartomány ára
Shift And Add (Lineáris tomoszintézis esetén) A térfogat 0 vastagságú szeleteinek vetületei a felvételi geometria és a szelet magasságának függvényében eltolódnak. SAA rekonstrukciója egy adott szeletnek: 1. Projekciók eltolása úgy, hogy a rekonstruálni kívánt sík vetülete minden projekción azonos legyen 2. Eltolt projekciók összegzése Mind az összegzés, mind az eltolás LTI művelet: Soros kaszkádjuk, tehát a rekonstrukció egy MIMO LTI rendszer (bemenetek a projekciók, kimenetek a szeletek) Létezik PSF/MTF-je, mellyel analitikusan minősíthető
Shift And Add (Lineáris tomoszintézis esetén) SAA szeleteken fókuszba kerülnek a rekonstruálni kívánt sík képleteinek vetületei De jelentős átmosódás marad a térfogat többi síkjáról Piros ellipszis: szelten belüli képlet vetülete Kék ellipszis: szeleten kívüli képletek bemosódása
Mátrix Inverziós Tomoszintézis Alapötletet ugyanaz a megfigyelés adja, mint ami az SAA algoritmusét: g 1 :, i n... 1 2 :,i 11, :,i 1, 2 :,i 1,n f t f t f t n... 2 1 2 :,i :,i 2, 1 :,i 2, 2 :,i 2,n g f t f t f t n... m 1 2 t f f t :,i :,i m, 1 :,i m, 2 :,i m,n g f t g j :,i j-edik projekció i-edik oszlopának intenzitásaiból képzett vektor
Mátrix Inverziós Tomoszintézis Alapötletet ugyanaz a megfigyelés adja, mint ami az SAA algoritmusét: 1 n 1 2 f... :,i :,i 11, :,i 1, 2 :,i 1,n g t f t f t g n... 2 1 2 f t f t f t :,i :,i 2, 1 :,i 2, 2 :,i 2,n 1 n... 2 m 1 2 :,i :,i m, :,i m, :,i m,n g f t f t f t f j :,i j-edik modellezett és rekonstruálni kívánt 0 vastagságú szelet projekciójának i-edik oszlopának intenzitásaiból képzett vektor
Mátrix Inverziós Tomoszintézis Alapötletet ugyanaz a megfigyelés adja, mint ami az SAA algoritmusét: 11 n 1 1 2 t... :,i :,i, :,i 1, 2 :,i 1,n g f f t f t n... 2 1 2 :,i :,i 2, 1 :,i 2, 2 :,i 2,n g f t f t f t 1 2 n... m :,i :,i m, 1 :,i m, 2 :,i m,n g f t f t f t t j,i i-edik rekonstruálandó szelet vetületének j-edik projekcióbeli impulzusválaszát leíró vektor, mivel csak eltolást modellez, ezért egy dirac-delta diszkretizáltja.
Mátrix Inverziós Tomoszintézis Jelentősen egyszerűsödik a feladat, ha a vektor egyenletrendszert frekvenciatérben vizsgáljuk: g T f j j 1 2 j j f T g m :, :, :, T 1 2 n :, :, :, g j FT g j FT g FT j g j f j FT f j FT f FT j f j T FT t j,i Összegezve a MITS alapötlete, hogy lineáris tomo esetén a frekvenciatérbeli felírás jelentősen kompaktabb az inverz probléma képtérbeli felírásánál. T
Mátrix Inverziós Tomoszintézis gyakorlati megvalósítása Diszkretizálás és a DFT okozta problémák: Mintavételezés: ti, j mintavételezése az egész rendszer viselkedését jelentősen befolyásolja: Energiája nem változhat a mintavételezés hatására, ellentétben jelentősen torzítunk Figyelembe véve a frekvenciatérbeli műveletvégzést, a mintavételezés frekvenciatartományban történik (ideális - sinc interpolációval ekvivalens képtérben). DFT által okozott spektrumszivárgás is jelentős probléma: Klasszikus megoldás, az ablakozás natívan nem adekvát.
Mátrix Inverziós Tomoszintézis spektrumszivárgás Felvételi elrendezés miatt oszloponként történik az inverz szűrés, elegendő a függőleges cirkularitás: Az projekciók extrapolációja nem úszható meg, ellenkező esetben a csavarodás artefekt történik. Extrapoláció szükséges mértéke t tartóinak a maximuma, j,i ezzel elérhető, hogy csak extrapolált terület csavarodhat be. Probléma projekciók extrapolálásával kezelhető: Extrapoláció olyan képterülettel terjeszti ki a projekciókat, mely a legsimább átmenetet és cirkuláris projekciót generál.
Mátrix Inverziós Tomoszintézis spektrumszivárgás Extrapoláció nélkül Extrapoláció alkalmazásával
Mátrix Inverziós Tomoszintézis Dekonvolúció numerikus problémái T zajérzékenysége jelentős problémaforrás cond T max min Kondíciós szám származtatása: 1 1 1 T e T b T e e 2 2 2 2 cond T max, 1 eb e b T b b 2 2 2 2 Legyen T U Σ V SVD felbontás, ekkor T V Σ U Mivel U és V oszlopvektorai ortonormált bázisok, ezért 1 max T e e és 1 min T b b max e 2 2 b 2 2 min Zajcsökkentő regularizáció célja cond T minimalizálása
Mátrix Inverziós Tomoszintézis Dekonvolúció zajérzékenysége T előállítása csonkolt SVD-vel: 1 i i T V Σ U, ahol Σ ii, 0 i Kísértetiesen hasonlít a csonkolt dekonvolúcióra: Joggal, a különbség annyi, hogy ott a DFT mátrixával diagonalizálunk, míg SVD esetén a bal, illetve jobboldali sajátérték mtx.-okkal diagonalizálunk T regularizált Moore- Penrose pszeudoinverze a Wiener dekonvolúció általánosítottja
Mátrix Inverziós Tomoszintézis Kondíció lineáris tomoszintézis esetén Korlátolt szögtartomány miatt alacsony frekvencia esetén a projekciókon kisebb a változás, aminek következménye a nagyobb zajérzékenység.
Mátrix inverziós tomoszintézis Csonkolt SVD hatása Jól látható, hogy a magasfrekvenciás tartomány zaja dominál a direkt dekonvolúciónál, míg a Csonkolt SVD jelentősen javít a helyzeten.
3D Röntgen tomográfia rekonstrukciós eljárásainak minősítése Rekonstrukció metrikái: Szeleten belüli effektív felbontása (emlékeztetőül ) Irányfüggő átviteli függvény közelíthető az élpár fantom / él fantom rekonstrukciójából. Szeletek effektív vastagsága: Mind CT, mind Tomo esetén a rekonstruált szeletekre merőleges irány menti kiterjedése a szeleteknek. Felhasználási területfüggő optimális értéke. Minél kisebb, annál több szelet kell, hogy minden képlet láthatóvá váljon (legalább egy szeleten). Mérése tipikusan ferde fémlemezzel / fémhuzallal. bw h
CT Szeletvastagság Slice Sensitivity Profile mérése a lemezek rekonstrukciójára merőlegesen: szeletvastagság FWHM elvvel becsülhető
3D Röntgen tomográfia rekonstrukció Modulációs Átviteli Függvénye Ferde huzal fantommal (elvben) mérhető: Ha az eljárás az X-Y síkokat rekonstruálja, akkor a huzal ne legyen párhuzamos a Z tengellyel. Lineáris tomo MITS rekonstrukció MTF-e