Turbulencia és modellezése. lohasz [at] ara.bme.hu. Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. GEA EGI Energiagazdálkodási Zrt

Hasonló dokumentumok
Turbulencia és modellezése I.

A mikroskálájú modellek turbulencia peremfeltételeiről

Turbulencia és modellezése jegyzet. Lohász Máté Márton, Régert Tamás. Áramlástan Tanszék. Saját használatra

SZAKDOLGOZAT VIRÁG DÁVID

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.

Áramlástan kidolgozott 2016

Végeselem modellezés alapjai 1. óra

Technikai áttekintés SimDay H. Tóth Zsolt FEA üzletág igazgató

HÍDTARTÓK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJE

Hő- és áramlástani feladatok numerikus modellezése

Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik.

Írja fel az általános transzportegyenlet integrál alakban! Definiálja a konvektív és konduktív fluxus fogalmát!

Numerikus szimuláció a városklíma vizsgálatokban

H08 HATÁRRÉTEG SEBESSÉGPROFIL MÉRÉSE TÉGLALAP KERESZTMETSZETŰ CSATORNÁBAN

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Simított részecskedinamika Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)

A talajok összenyomódásának vizsgálata

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

Folyami hidrodinamikai modellezés

Folyadékok áramlása Folyadékok. Folyadékok mechanikája. Pascal törvénye

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Valószínűségszámítás összefoglaló

Az úszás biomechanikája

Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza

Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső

Large Eddy Simulation FLUENT rendszerben, alkalmazás bordázott csatorna számítására

A mérési eredmény megadása

Molekuláris dinamika I. 10. előadás

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata

Hidraulika. 1.előadás A hidraulika alapjai. Szilágyi Attila, NYE, 2018.

DR. DEMÉNY ANDRÁS-I)R. EROSTYÁK JÁNOS- DR. SZABÓ GÁBOR-DR. TRÓCSÁNYI ZOLTÁN FIZIKA I. Klasszikus mechanika NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST

Reológia Mérési technikák

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához

Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai Tér is idő. Hosszúság- és időmérés.

Matematikai geodéziai számítások 5.

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Molekuláris dinamika. 10. előadás

Fémtechnológiák Fémek képlékeny alakítása 1. Mechanikai alapfogalmak, anyagszerkezeti változások

REGIONÁLIS KLÍMAMODELLEZÉS AZ OMSZ-NÁL. Magyar Tudományos Akadémia szeptember 15. 1

AZ INSTACIONER HŐVEZETÉS ÉPÜLETSZERKEZETEKBEN. várfalvi.

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

SZAKDOLGOZAT. Kondor István

Csillapított rezgés. a fékező erő miatt a mozgás energiája (mechanikai energia) disszipálódik. kváziperiódikus mozgás

A CFD elemzés minőségéről és megbízhatóságáról. Modell fejlesztési folyamata. A közelítési rendszer. Dr. Kristóf Gergely Október 11.

Szabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével

Sergyán Szabolcs szeptember 21.

Többváltozós, valós értékű függvények

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Turbulens áramlás modellezése háromszög elrendezésű csőkötegben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

SCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET

Orvosi Biofizika I. 12. vizsgatétel. IsmétlésI. -Fény

2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság

Numerikus módszerek 1.

Atomok és molekulák elektronszerkezete

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

Modern Fizika Labor. 2. Elemi töltés meghatározása

Fotovillamos és fotovillamos-termikus modulok energetikai modellezése

Transzportjelenségek

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Mérés és adatgyűjtés

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel

HÍD METSZET ÁRAMLÁSTANI VIZSGÁLATA NAGY-ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓVAL

6. TURBULENS MODELLEZÉS A CFD-BEN

Matematika (mesterképzés)

Zaj- és rezgés. Törvényszerűségek

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel

Szívókönyökök veszteségeinek és sebességprofiljainak vizsgálata CFD szimuláció segítségével

Abszorpciós spektroszkópia

BME HDS CFD Tanszéki beszámoló

RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT

Folyadékok és gázok mechanikája

Elektromágneses hullámok

Euleri és Lagrange szemlélet, avagy a meteorológia deriváltjai

Turbulencia: Füstoszloptól a H-módig

Égés és oltáselmélet I. (zárójelben a helyes válaszra adott pont)

Molekulák mozgásban a kémiai kinetika a környezetben

Az α értékének változtatásakor tanulmányozzuk az y-x görbe alakját. 2 ahol K=10

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011.

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN

Többváltozós, valós értékű függvények

Boros Zoltán február

Differenciálegyenletek

mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék

A kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1. (b) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Ejtési teszt modellezése a tervezés fázisában

Reakciókinetika és katalízis

Hatványsorok, Fourier sorok

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010

Átírás:

Dr. Márton Ph.D., külső óraadó lohasz [at] ara.bme.hu Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Áramlástan Tanszék, GEA EGI Energiagazdálkodási Zrt. 2011. ősz

definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet rész I Első előadás

Kivonat definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet 1 definíciója és tulajdonságai 2 Tulajdonságok 3 Jelölések 4 Statisztikai leírás 5 Reynolds egyenlet

Bevezetés definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Miért foglalkozunk a turbulenciával egy numerikus áramlástan (CFD) kurzusban? Numerikus áramlástanban az egyenletek nagyrészt modell egyenletek jelensége a numerikus áramlástani alkalmazások 95%-ban jelen van A turbulenciát csak nagyon ritkán lehet szimulálni és általában modellezni kell alapjainak ismerete szükséges a modellek használatához

Korlátok, egyszerűsítések definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet A következő hatásokat nem vesszük figyelembe: sűrűség változás (ρ = konst.) Lökéshullám és a turbulencia kölcsönhatását nem tárgyaljuk A felhajtóerő hatását a turbulenciára nem tárgyaljuk viszkozitás változás (ν = konst.) térerő hatása (g i = 0) Szabad-felszínű áramlások kivételével, a gravitációnak nincs hatása és beolvasztható a nyomásba

Definíció definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Precíz definíció? Eddig nem létezik a turbulencia definíciója Stabilitás- és káoszelmélet azok a tudományok amelyek szolgáltathatják majd a definíciót De a leíró PDE-eket sokkal bonyolultabb kezelni mint egy KDE-t A klasszikus fizika utolsó megoldatlan problémája ( Lehetséges-e egy elméleti modellt adni amely leírja a turbulens áramlások statisztikáit? ) A mérnökök mégis tudják kezelni a turbulenciát

Tulajdonságok definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Definíció helyett tulajdonságai összefoglalhatóak Ezek a jellemzők felhasználhatóak: Különbséget tegyünk lamináris (akár időfüggő) és turbulens áramlás között Megértsük hogyan vizsgálható a turbulencia Megértsük a turbulencia a mérnöki gyakorlatban betöltött szerepét Statisztikai leírás Reynolds egyenlet

Magas Reynolds szám definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Reynolds szám Re = UL ν = F tehetlenségi F viszkózus magas Re szám viszkózus erők kicsik De a súrlódásmentes áramlás nem turbulens A Re szám szerepe A Reynolds szám az áramlás bifurkációs (stabilitási) paramétere Re cr 2300 csőben való áramlás esetén Re > Re cr áramlás instabil, turbulens

Rendezetlen, kaotikus definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás Dinamikus rendszerek terminológiája A kezdeti (KF) és a perem feltételekre (PF) való erős érzékenység Az áramlás stabilitásáról való állítás A PDE-knek (parciális differenciál egyenleteknek) végtelenszer több szabadsági foka van mint a KDE-knek (közönséges differenciál egyenleteknek) Sokkal nehezebb kezelni őket definíciójának jelöltje lehet Eszköz amellyel megmagyarázható a turbulencia és a sima lamináris időfüggés közötti különbség Reynolds egyenlet

Folytonos térbeli spektrum Térbeli spektrum definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív A térbeli spektrum analóg az időbelihez, Fourier transzformációval definiáljuk Praktikusan periodikus vagy végtelen nagy tartományt nehezebb találni Vizuálisan: Minden méretű (határok között) áramlási jelenség jelen van Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Ellen példa Az akusztikai hullámoknak csúcsos spektruma van al- és felharmonikusokkal.

3D jelenség definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum Örvény megnyúlás (lásd: Hő és áramlástan vagy Áramlástan válogatott fejezetei) csak 3D áramlásban van jelen. 2D-ben nincs az örvényesség irányába mutató sebességkomponens, amely meg tudná nyújtani azt. Felelős a méretek csökkenésért Felelős az örvényesség növekedésért 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Az átlagáramlás lehet 2D Az időfüggő áramlás mindenképp 3D A (Reynolds, idő) átlagolt áramkép lehet 2D A keresztirányú fluktuációk zérusra átlagolódnak, de szükség van rájuk az áramlás irányú és a falra merőleges irányú ingadozások létrejöttében

Időfüggő definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás A turbulens áramlások időfüggőek, az áramlás időfüggése nem jelenti azt, hogy turbulens Az időfüggő áramlások stabilitás szempontjából különbözőek lehetnek Egy csőben való időfüggő lamináris áramlásban (pl.: 500 < Re b (t) < 1000), a kis perturbációktól való függés sima és folytonos Egy csőben való időfüggő turbulens áramlásban (pl.: 5000 < Re b (t) < 5500), a kis perturbációktól való függés erős Reynolds egyenlet

Kontinuum jelenség definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Leírható a kontinuum Navier-Stokes (NS) egyenlettel Azaz molekuláris jelenségeknek nincs szerepe, ahogy ezt 100 évvel ezelőtt még gondolták egyesek Következmények 1 Szimulálható a NS egyenlet megoldásaként (közvetlen numerikus szimuláció = KNSZ, Direct Numerical Simulation = DNS) 2 A turbulenciának van egy legkisebb léptéke, ami általában jelentősen nagyobb mint a molekuláris léptékek 3 Van olyan eset is ahol a molekuláris hatások fontosak (pl. visszatérő kapszula) 4 A turbulenciát nem a molekuláris rezgések hajtják, hanem a turbulencia a NS egyenlet (stabilitás típusú)

Disszipatív definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Disszipatív Def: A mechanikus (mozgási) energia hővé alakulása (hőmérséklet növelés) Mindig jelen van a turbulens áramlásokban legkisebb léptékén történik, viszkózus erők fontosak a tehetetlenségi erőkhöz képest Hullám mozgáshoz képest ez egy jelentős különbség, mivel ott a disszipációnak nincs elsőrendű jelentősége Statisztikai leírás Reynolds egyenlet

Örvényes definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség A turbulens áramlások mindig örvényesek Az örvény megnyúlás felelős a méretek csökkenéséért A disszipáció a legkisebb skálákon jelentkezik Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet

Diffúzív definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések Statisztikai leírás A diffúzív tulajdonság, mérnökileg fontos következmény Az átlagolt mennyiségeket tekintve a turbulencia általában növeli az átadásokat Pl. az átadási tényezők növekednek (pl.: λ) A Nusselt szám növekszik Az átlagolt mezőben a turbulencia általában növeli az átadási tényezőket A turbulens viszkozitás (az impulzus átadás) növekszik A turbulens hővezetési tényező növekszik A turbulens diffúziós tényező növekszik Reynolds egyenlet

Történelme van, A TURBULENCIA nem létezik definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Magas Re szám Rendezetlen, kaotikus Folytonos térbeli spektrum 3D jelenség Időfüggő Kontinuum jelenség Disszipatív Örvényes Diffúzív Történelme van Jelölések A klasszikus fizikai utolsó megoldatlan problémája szerint a turbulenciának nem tudtak általános elméletet kifejleszteni mostanáig. A turbulenciában semmilyen univerzalitást nem fedeztek fel A turbulens áramlások többfélék lehetnek, pl.: Peremfeltétel függő lehet A fel-vízi feltételeken múlik (térbeli történelem) Az időbeli történelemtől függ Statisztikai leírás Reynolds egyenlet

Jelölések Irányok definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Összegzési konvenció x: Áramlási irány y: Falra merőleges, legnagyobb gradiens iránya z: Bi-normális a x, y irányokra, keresztirány NS mint példa Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Megfelelő sebességek u, v, w Index-es írásmód x = x 1, y = x 2, z = x 3 u = u 1, v = u 2, w = u 3

Jelölések (folyt.) definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Összegzési konvenció NS mint példa Statisztikai leírás Parciális deriváltak def j = x j def t = t Reynolds egyenlet

Összegzési konvenció definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Összegzési konvenció NS mint példa Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Összegzést végzünk a dupla indexek esetén a három térbeli iránynak megfelelően. Alap példa Skalár szorzás: a i b i def = 3 a i b i (1) i=1

NS mint példa definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Összegzési konvenció NS mint példa Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Kontinuitás egy. ha ρ = konst., akkor ρ t + div(ρv) = 0 (2) divv = 0 (3)

NS rövidítő írásmóddal definíciója és tulajdonságai ρ = konst. kontinuitás Tulajdonságok Jelölések Összegzési konvenció NS mint példa Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Az összes mozgásegyenlet i u i = 0 (4) t u i + u j j u i = 1 ρ ip + ν j j u i (5)

Statisztikai leírás definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Az egyszerű megközelítés Turbulens áramlást az idő átlagával és ahhoz képesti ingadozással lehet jellemezni Ennek a megközelítésnek a problémái Milyen hosszú legyen az időátlagolás? Hogy különböztessük meg az időfüggést a turbulenciától?

Statisztikai leírás Példák definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Áramlási példák Turbulens csőáramlás (Re >> 2300), amelyet egy dugattyús szivattyú hajt meg (szinuszos időfüggés) Kármán örvénysor egy Re = 10 5 számú henger körüli áramlásban, ahol az örvények St = 0, 2 frekvenciával válnak le Nehéz különbséget tenni a turbulencia és az időfüggés között

Statisztikai átlag definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Miért kezelünk egy determinisztikus folyamatot statisztikailag? Az NS egyenletek determinisztikusak (legalábbis azt hisszük, de nincs általánosan bizonyítva) Azaz a megoldást egyértelműen megadják a KF-ek és PF-ek A statisztikai leírás hasznos a kaotikus viselkedés miatt A KF-ek és PF-ek re való nagyfokú érzékenység A hasonló KF és PF halmazokbeli megoldásokat statisztikailag lehet kezelni

Statisztika A megoldás mint egy statisztikai változó definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet ϕ = ϕ(x, y, z, t, i) (6) Az i index különböző de hasonló KF-ekhez és PF-ekhez tartozik Sűrűség függvény Megmutatja ϕ értékének valószínűségét. f (ϕ) (7) Normálva van: f (ϕ) dϕ = 1 (8)

Átlag érték Várható érték definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás ϕ(x, y, z, t) = ϕ(x, y, z, t) ( ) f ϕ(x, y, z, t) dϕ (9) Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Átlag Reynolds egyenlet 1 ϕ(x, y, z, t) = lim N N N ϕ(x, y, z, t, i) (10) i=1

Reynolds átlagolás definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Reynolds felbontás Mivel a statisztikai átlagot Reynolds átlagnak is hívjuk, ezért a felbontást szintén Reynolds felbontásnak hívjuk Ingadozás ϕ = ϕ + ϕ (11) ϕ def = ϕ ϕ (12)

Az átlagolás tulajdonságai definíciója és tulajdonságai Linearitás Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai A Reynolds átlag csak egyszer hat aϕ + bψ = aϕ + bψ (13) Korreláció Reynolds egyenlet ϕ = ϕ (14)

Az átlagolás tulajdonságai (folyt.) definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Az ingadozások átlaga zérus ϕ = 0 (15) Korreláció Reynolds egyenlet

Szórás definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Szórás Az ingadozás elsőrendű jellemzése σ ϕ = RMS-nek is hívják: ϕ rms def = σ ϕ ϕ 2 (16)

Kapcsolat az idő és a statisztikai átlag között definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Ergodicitás Ha az időbeli és statisztikai átlag azonos. Azaz ha függetlenek a kezdeti feltételektől. Az átlag azonos, és a szórás? ˆϕ (T ) def = 1 T ˆϕ (T ) = 1 T T 0 T 0 ϕ dt (17) ϕ dt = ϕ (18)

Korreláció definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Kovariancia R ϕψ (x, y, z, t, δx, δy, δz, τ) = ϕ (x, y, z, t)ψ (x + δx, y + δy, z + δz, t + τ) Auto kovariancia Ha ϕ = ψ akkor a kovariancia auto kovariancia Pl. Időbeli auto kovariancia: R ϕϕ (x, y, z, t, 0, 0, 0, τ) (19)

Korreláció definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Korreláció Dimenziótlan kovariancia ρ ϕψ (x, y, z, t, δx, δy, δz, τ) = R ϕψ σ ϕ(x,y,z,t) σ ψ(x+δx,y+δy,z+δz,t+τ) (20)

Integrál időlépték definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Integrál időlépték Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció T ϕψ (x, y, z, t) = + ρ ϕψ (x, y, z, t, 0, 0, 0, τ) dτ (21) Reynolds egyenlet

Taylor-féle fagyott örvény hipotézis definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Statisztikai átlag Az átlagolás tulajdonságai Korreláció Reynolds egyenlet Sokkal könnyebb az integrál időléptéket mérni (hődrót), mint a hosszléptéket (két hődrót különböző távolságokra) Feltevések Az áramkép teljesen fagyott, az átlagsebességgel (U) jellemezhető Az áramlás-irányú hosszléptéket közelíteni lehet, a fagyott örvény időbeli haladását vizsgálva A Taylor szerint közelített áramlás-irányú hosszlépték L x = TU (22)

Reynolds egyenlet definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Levezetjük a NS egyenlet Reynolds átlagát, amelyet Reynolds egyenletnek fogunk hívni Reynolds egyenlet

Reynolds Átlagolt kontinuitás Az eredeti egyenlet definíciója és tulajdonságai i u i = 0 Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Levezetés: i u i = = i u i = i u i + u i = i u i 0 = i u i (23) Ugyanaz az egyenlet csak az átlagra!

Mozgásegyenlet definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Levezetés Ugyanazokat a szabályokat alkalmazzuk a lineáris tagokhoz A nemlineáris tagok különböznek

A nem-lineáris tagok átlagolása definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet u j j u i = = j (u j u i ) = j u j u i = j (u j + u j )(u i + u i ) = j (u j u i + u i u j + u j u i + u j u i ) = j (u j u i + u j u i ( ) = j u j u i + j u j u i ) = u j j u i + j u i u j (24)

Reynolds egyenletek Kontinuitás egyenlet definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Mozgás egyenlet i u i = 0 t u i + u j j u i = 1 ρ ip + ν j j u i j u i u j (25) Reynolds feszültség tenzor Vagy ρ-val vagy 1-el szorozva u i u j (26)

Feszültségek definíciója és tulajdonságai Tulajdonságok Jelölések Statisztikai leírás Reynolds egyenlet Minden feszültség ami gyorsulást okoz: 1 ρ p δ ij + ν j u i u i u j (27)

léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek rész II Második előadás

Kivonat léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek 6 léptékei 7 k transzport egyenlete 8 Modellezés 9 Peremfeltételek

sok léptéke léptékei k transzport egyenlete különböző skálái egy keveredési rétegben sűrűség változással láthatóvá téve Modellezés Peremfeltételek Cél: Találjunk egy összefüggést a különböző méretű turbulencia tulajdonságaira

Mozgási (kinetikus) energia Mozgási energia: E def = 1 2 u iu i (28) léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek A Reynolds felbontása: A Reynolds átlaga: E = 1 2 u iu i = 1 2 (u i u i + 2u i u i + u i u i ) (29) E = 1 2 (u i u i ) + 1 }{{} 2 (u i u i ) = Ê + k (30) }{{} k Ê Az átlagos áramlás mozgási energiája: Ê mozgási energiája: k (Turbulens Kinetikus Energia, TKE)

Richardson-féle energia kaszkád Az örvények mérete Magas Re számú áramlást tekintünk léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Az áramlás tipikus sebessége U Az áramlás tipikus hosszléptéke L A vonatkozó Reynolds szám (Re = UL ν ) nagy különböző méretű örvényekből áll Az örvények minden osztályának van: hosszléptéke: l sebesség léptéke: u(l) idő léptéke: τ(l) = l/u(l)

A Richardson energia kaszkád A nagy léptékek léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Legnagyobb örvények jellemzői méret l 0 L sebesség u 0 = u 0 (l 0 ) u = 2/3k U Re = u 0l 0 ν szintén magas A nagy örvények darabolódása A nagy Re szám kis mértékű viszkózus stabilizációt jelent A nagy örvények instabilak A nagy örvények kisebbekké esnek szét

A Richardson energia kaszkád A kis léptékek felé léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Tehetetlenségi kaszkád Amíg Re(l) nagy a tehetetlenségi erők dominálnak és a darabolódás folytatódik Kis léptékeken, ahol Re(l) 1 a viszkozitás kezd fontossá válni Az örvények mozgási energiája hővé disszipál

A Richardson energia kaszkád A vers léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Richardson verse Big whorls have little whorls that feed on their velocity, and little whorls have smaller whorls and so on to viscosity. Lewis Fry Richardson F.R.S.

A Richardson energia kaszkád A kis és a nagy méretek közötti kapcsolat léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek A disszipáció megegyezik a produkcióval A disszipációt ε-al jelöljük A kaszkád miatt a nagy léptéken lévő mozgásokkal jellemezhető Disszipáció: ε mozg. energia időlépték Képlettel: ε = u2 0 l 0 /u 0 = u3 0 l0 a nagy léptékeken

k transzport egyenlete Definíciók 1. léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Az NS szimbólum A levezetések leíráshoz érdemes bevezetni a következő NS szimbólumot: NS(u i ) def = t u i + u j j u i = 1 ρ ip + ν j s ij }{{} j t ij (31) ahol: s ij def = 1 2 ( iu j + j u i ) az (szimmetrikus=s) alakváltozás része a derivált tenzornak j u i.

k transzport egyenlete Definíciók 2. léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Ismételjük meg a Reynolds egyenlet levezetését! NS(u i + u i ) [ (32) t u i + u j j u i = j 1 ] ρ p δ ij + νs ij u i u j (33) }{{} T ij

A TKE egyenlete léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Vegyük (NS(u i ) NS(u i ) )u j (NS(u j) NS(u j ) ) + u i nyomát ] ( p t k + u j j k = a ij s ij + j [u ) j }{{} ρ + k νu i s ij Produkció }{{} Transzport Disszipáció: ε def = 2νs ij s ij def Anizotrópia tenzor: a ij = u i u j 1 3 u l u l }{{} (A Reynolds feszültség tenzor deviátor része) 2k δ ij ε }{{} Disszipáció (34)

A TKE egyenlet A tagok jelentése léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Produkció Kifejezés: P def = a ij s ij A mozgási energia transzferje az átlagos áramlástól a turbulenciába Ugyanez a tag jelenik meg ellentétes előjellel az átlagsebesség mozgási energiájának egyenletében Ez a mechanizmus táplálja az energiát a Richardson kaszkádba A nagy skálákon történik

A TKE egyenlet A tagok jelentése (folyt.) léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Disszipáció Kifejezés: ε def = 2νs ij s ij A turbulens kinetikus (mozgási) energia hővé alakulása A viszkózus feszültségek munkája a kis léptékeken (s ij ) Ez az energia elvonási mechanizmusa a Richardson kaszkádból A kis léptékeken történik P = ε ha a turbulencia homogén (izotrop), mint a Richardson kaszkádban

A TKE egyenlet A tagok jelentése (folyt.) léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Transzport Kifejezés: j [u j ] ( ) p ρ + k νu i s ij A turbulens kinetikus energia térbeli transzportja A kifejezés divergenciás alakú ( j j ) A divergencia felületi integrállá alakítható (G-O tétel)

A RANS modellezés ötlete léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek A Reynolds átlagolt NS egyenletet oldjuk meg az átlagolt változókra (u, v, w, p ) A Reynolds feszültség tenzor u i u j ismeretlen, így modellezni kell A modellezésnek az egyébként is felhasznált mennyiségeket (u, v, w, p ) kellene használnia Hasznosság Ha az átlagolt mennyiségek hasznosak a mérnökök számára azaz ha az ingadozások nem érdekesek csak a hatásuk az átlag áramképre A megfelelően pontos

Örvény viszkozitás modellezés léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Az ötlet hatása mint a mozgó molekulák hatása a kinetikus gázelméletben Az impulzus csere a különbözős sebességgel mozgó rétegek között a merőlegesen mozgó molekulák által jön létre A viszkózus feszültséget így számoljuk: Φ ij = 2νS ij

Örvény viszkozitás modell (folyt.) léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Egyenletekben... Csak a deviátor részt modellezzük A nyom (k) beolvasztható a nyomásban (modifikált nyomás), és nincs szükség a modellezésére A modifikált nyomást használjuk a nyomáskorrekciós módszerben a kontinuitás kielégítése céljából (lásd: nyomásra vonatkozó Poisson egyenlet) u i u j 2 3 kδ ij = 2ν t S ij (35)

Örvény viszkozitás léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek A viszkozitás a hosszlépték (l ) és a sebesség ingadozás lépték (u ) szorzatával arányos A hosszléptéknek arányosnak kell lennie azzal a hosszal, amit a folyadék impulzusát megtartva megtesz A sebesség ingadozási léptéknek a mozgó folyadékrészek által okozott ingadozáshoz kell kötődnie ν t l u (36) Frissebb eredmények melyek a koncepciót támasztják alá koherens struktúra szemlélete megmutatta, hogy vannak folyadékrészek (örvények) amelyek mozgásuk során megtartják egy ideig tulajdonságaikat

Két egyenlet modellek léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek A hossz (l ) és a sebességingadozás lépték (u ) az áramlás és nem a folyadék tulajdonsága, így helytől és időtől függenek PDE-kre van szükség, hogy a skálák fejlődését leírhassuk A léptékekre vonatkozó kritériumok Jól definiáltnak kell lennie Az alakulásra vonatkozó egyenleteket kell fejleszteni Numerikusan szépnek kell lennie Könnyen mérhetőnek kell lennie, hogy kísérleti validációra lehetőség legyen

k-e modell léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Sebesség ingadozás lépték A TKE jellemzi a sebesség ingadozást Izotrop (nincs kitüntetett irány) u k (37) Hossz lépték Az integrál hosszlépték jól definiált (lásd: korrelációk) Nem könnyű közvetlen egyenletet fejleszteni A hosszléptéket a disszipáción keresztül számoljuk Emlékeztető: ε = u3 0 l0 l k 3/2 ε

Az örvény viszkozitásra vonatkozó egyenlet léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek k 2 ν t = C ν (38) ε C ν konstanst, melyet elmélet alapján vagy kísérletből kell meghatározni... A helyzet...? Két ismeretlenünk (k, ε) van az egy (ν t ) helyett

k modell egyenlet léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek k egyenletet levezettük, de vannak benne ismeretlenek: ] ( p t k + u j j k = a ij s ij + j [u ) j }{{} ρ + k νu i s ij Produkció }{{} Transzport Produkció ε }{{} Disszipáció A produkció közvetlenül számítható, ha felhasználjuk az örvényviszkozitás hipotézist (39) P = a ij S ij = 2ν t S ij S ij (40)

k modell egyenlet léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Disszipáció Különálló egyenletet vezetünk le Transzport j T j Közelíthető a gradiens hipotézis segítségével T j = ν t σ k j k (41) σ k egy Schmidt szám típusú mennyiség mely átskálázza ν t -t, hogy megkapjuk a szükséges diffúziós tényezőt Kísérletileg meghatározandó

A k modell egyenlet összefoglalva léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek ( νt ) t k + u j j k = 2ν t S ij S ij ε j j k σ k Minden közvetlenül számítható, kivéve ε A bal oldal k lokális és konvektív változása A konvekció egy fontos tulajdonsága a turbulenciának (így megfelelően kezeljük) (42)

ε modell egyenlete léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Feltesszük, hogy transzport egyenlet írja le Levezetés helyett, a k egyenleten alapul t ε + u j j ε = C 1ε P ε k C 2εε ε k j ( νt ) j ε σ ε A produkció és disszipációkat átskálázzuk ( ε k ) és feljavítjuk állandó együtthatókkal (C 1ε, C 2ε ) Gradiens diffúzióval modellezzük a transzportot Schmidt számot használva σ ε Az ε nem túlságosan pontos! :) (43)

A standard k-e modell állandói léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek C ν = 0, 09 (44) C 1ε = 1, 44 (45) C 2ε = 1, 92 (46) σ k = 1 (47) σ ε = 1, 3 (48)

Példák az állandókra Homogén turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek d t k = P ε (49) d t ε = C 1ε P ε k C 2εε ε k (50)

Példák az állandókra Csillapodó turbulencia léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek Mivel P = 0, az egyenlet rendszert könnyen meg lehet oldani: ( ) n k(t) = k 0 ε(t) = ε 0 ( t t 0 t t 0 ) n 1 n = 1 C 2ε 1 n könnyen mérhető

k-ω modell léptékei k transzport egyenlete Modellezés Örvény viszkozitás Két egyenlet modellek Peremfeltételek k egyenlet ugyanaz ω def = 1 ε C ν k (ω) az ω egyenlet hasonló a ε egyenlethez transzport egyenlet produkcióval, disszipációval és transzporttal a jobb oldalon Specifikus disszipáció, turbulens frekvencia az ω egyenlet jobb a falak közelében az ε egyenlet jobb a távol-térben az SST modell keveri a két fajta hosszlépték egyenletet a faltól való távolság függvényében

A szükséges peremfeltételek léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Belépő perem feltételek modell PDE-ei transzport egyenletek hasonlóan az energia egyenlethez Lokális változás Konvekció Forrás tagok Transzport tagok

Belépő perem feltételek léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Belépő perem feltételek Neumann, Dirichlet vagy kevert típusú peremfeltételeket lehet általában használni A belépés általában Dirichlet típusú (adott érték) Végső cél Hogyan adjuk meg k és ε vagy ω értékét a belépő peremeken?

A belépő peremfeltételek közelítése Turbulencia fok léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Belépő perem feltételek Olyan mennyiségeket használjunk, amit könnyű becsülni Fejlesszünk egyenletet, amellyel k-t és ε-t vagy ω-t lehet számolni olyan mennyiségekből, amelyek mérnökök által becsülhetőek Turbulencia intenzitás Tu def = u u = 2/3k u

Belépő peremfeltételek közelítése Hossz lépték léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Belépő perem feltételek Hossz lépték l k 3/2 ε ε Mérésből (Taylor hipotézist felhasználva) Faltörvény alapján Becsülhető hidraulikus átmérőből l 0.07d H

A belépő peremfeltételek fontossága Ha a turbulencia kormányozza az áramlást léptékei k transzport egyenlete Modellezés Peremfeltételek Belépő perem feltételek Példa: Atmoszferikus áramlás, ahol a geometria nagyon egyszerű (sík táj, domb), a turbulencia bonyolult az áramlás térbeli történelmén keresztül érdes felület felett felhajtó erő is szerepet játszik A belépő turbulenciára való érzékenységet ellenőrizni kell a szimuláció bizonytalanságát fel kell ismerni mérést is használni kell a szimulációs tartományt fel-vízi oldalon ki kell egészíteni

Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek rész III Harmadik előadás Nagy örvény szimuláció

Kivonat Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál 10 Nagy örvény szimuláció TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció

Fali peremfeltételek Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Mind k-nak és ε-nak vagy ω-nak szüksége van peremfeltételekre a falnál Mielőtt bevezetnénk a peremfeltételeket és a közelítő peremkezelési technikákat, pár dolgot érdemes összefoglalni a fali határrétegek elméletéről

Csatorna áramlás Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Jellemzők Áramlás két végetelen síklap között teljesen kialakult Csatorna fél szélesség : δ def Átlag sebesség: U b = 1 δ δ 0 u dy def Reynolds szám: Re b = U b2δ ν Re b > 1800 jelenti a turbulenciát

Csatorna áramlás (folyt.) Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Áramlás irányú átlagolt mozgásegyenlet 0 = νd 2 1 y u d }{{ 2 y } u v }{{} ρ xp (51) d y τ l d y τ t A nyomásgradienssel (d x p w ) a két csúsztató feszültség tart egyensúlyt: τ = τ l + τ t Az eloszlás lineáris ( τ(y) = τ w 1 y ) (52) δ

Csatorna áramlás (folyt.) A kétféle csúsztató feszültség Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció A két csúsztató feszültség A viszkózus feszültség a domináns a falnál A turbulens feszültség domináns a faltól távol Mindkét feszültség fontos a közbülső tartományban

A fali áramlás két léptéke Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Definíciók Súrlódási sebesség: u τ def = τwρ = Súrlódási Reynolds szám: Re τ def = uτ δ ν viszkózus hossz lépték: δ ν def = uτ ν δ ρ d xp w = δ δ ν Nagy örvény szimuláció Az általános faltörvény jellemezhető: d y u = u τ y Φ ( y δ ν, y δ ) (53) Φ egy később meghatározandó függvény!

Faltörvény A fal közelében Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Feltehető, hogy csak a fali léptékeknek van szerepe a fal közelében d y u = u ( τ y ) y Φ I for y δ (54) δ ν Fali dimenziótlanítás + Nagy örvény szimuláció u + y + def = u u τ (55) def = y δ ν (56)

Faltörvény Sebesség Viszkózus alapréteg Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Csak τ l számít u + = y + y + < 5 esetén Logaritmikus réteg A viszkozitás nincs benne a skálázásban Φ I = 1 κ amennyiben y δ és y + 1 Log-függvény: u + = 1 κ ln(y + ) + B Mérések alapján: κ 0.41 és B 5.2

Faltörvény Sebesség Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Külső réteg Φ csak y/δ-tól függ Az áramlások numerikus szimulációja során ki szeretnénk számolni! Nem kell vele foglalkozni.

Reynolds feszültség tenzor a falnál u τ skálázás Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Éles csúcs y + = 20-nál

Reynolds feszültség tenzor a falnál k skálázás Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Egy állandó tartomány figyelhető meg a logaritmikus törvény zónájában.

TKE mérleg a falnál Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció P/ε 1 a logaritmikus törvény zónájában P/ε 1.8 a fal közelében

TKE mérleg a falnál Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció nagyrészt az átmeneti tartományban keletkezik (5 < y + < 30) viszkózusan diffundál a falhoz erősen disszipálódik a falnál Következmény: ε = νd 2 y 2 k ha y = 0

A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Alacsony Re módszer Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Ebben a módszerben a teljes határréteget numerikusan felbontjuk Mikor használjuk? Alacsony Reynolds számú áramlásoknál, ha a felbontásra lehetőség van Ha a határréteg nem egyszerű, azaz nem írható le faltörvénnyel Hogyan csináljuk? Használjunk olyan turbulencia modellt amely figyelembe veszi a fal közeli viszkózus hatásokat is Használjunk megfelelő fali felbontást (y + < 1)

A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Magas Re módszer Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció Ebben a megközelítésben az első cella magába foglalja a faltörvényt Mikor alkalmazzuk? Magas Reynolds számú áramlások esetén, ha lehetetlen felbontani a fal közeli réteget Ha a határréteg egyszerű, azaz a faltörvény jól leírja Hogyan csináljuk? Használjunk olyan turbulencia modellt amely tartalmaz faltörvényes peremfeltételt Használjunk megfelelő fali felbontást (30 < y + < 300)

A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Okos függvények Fali peremfeltételek Csatorna áramlás A fali áramlás két léptéke A fali sebesség törvény Reynolds feszültség tenzor a falnál TKE mérleg a falnál A fali réteg numerikus kezelése, tényleges peremfeltételek Nagy örvény szimuláció A két módszer keverékét fejlesztették ki hogy a mérnöknek ne kelljen foglalkozni a fali felbontással általában a két módszer keverékére van szükség, attól függően, hogy a számítási tartomány mely pontjában vagyunk Felbontásbeli követelemények Bármelyik módszer esetén a határréteg vastagságot (δ) 20 cellával kell fölbontani (szokásos másodrendű megoldó esetén), hogy megfelelő pontosságot érjünk el Legyünk tisztában mit használunk (képességek különbözőek)!

Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Szimuláció A szimulációban a turbulencia jelenségét felbontjuk a numerikus módszerrel, oly módon, hogy megoldjuk a leíró egyenleteket Modellezés modellezésében a turbulencia hatásait elméleti és kísérleti eredményekre alapozva modellezzük A számításban a turbulenciának egy redukált leírását adjuk

Közvetlen numerikus szimuláció (DNS) Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények A NS egyenletet (amely teljesen leírja a turbulencia jelenségét) numerikusan megoldjuk Nehézségek Azok a skálák ahol a disszipáció lezajlik nagyon kicsik A legkisebb léptékek mérete Reynolds szám függő A szimuláció csak akadémiai esetekre lehetséges (pl.: HIT 64 10 9 cellát használva)

A NÖSZ koncepciója Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség A RANS és a DNS közötti kompromisszum RANS: lehetséges, de pontatlan DNS: pontos, de lehetetlen KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények A nagy léptékeket fontos szimulálni nagy léptékei peremfeltétel függőek, ezért ezeket szimulálni kell kis léptékei többé-kevésbé univerzálisak és így könnyen modellezhetőek A kis léptékek eltávolítása a szimulációból jelentősen csökkenti a számítási igényt

Szűrés Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Hogy vezessük le az egyenleteket? Hogy válasszuk szét a nagy és a kis léptékeket? Térbeli szűrés, simítás magfüggvényt használva ϕ (x j, t) def = G (r i ; x j ) ϕ(x j r i, t)dr i (57) V

Szűrő mag Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények G a szűrő mag, melynek tipikus mérete. G kompakt tartójú (az értelmezési tartomány azon része, ahol az érték nem nulla zárt) az első változójában Hogy egy konstans mező szűrtje önmaga legyen igaznak kell, hogy legyen: G (r i ; x j )dr i = 1 (58) V Ha G (r i ; x j ) homogén a második változójában és izotrop az első változójában akkor G ( r i ) egyváltozós függvény

Szűrő mag Példák Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények

Szűrés Fizikai térben Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Ingadozás ϕ def = ϕ ϕ (59) ϕ 0: egyik különbség a Reynolds átlagoláshoz képest

Szűrés Spektrális tér Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Emlékeztető: a vágási hullámszám (κ c ), az ami alatt modellezésre szükség van

Szűrt egyenletek Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség Ha a korábban definiált (homogén, izotrop) szűrőt használjuk Az átlagolás és a deriválás kommutatív (felcserélhető) KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények i u i = 0 (60) t u i + u j j u i = 1 ρ p + ν j j u i j τ ij (61) 3D (mivel a turbulencia 3D)) időfüggő (mivel a legnagyobb örvények is időfüggőek)

Hálóméret alatti feszültségek Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség τ ij -t hálóméret alatti (Sub-Grid Scale=SGS) feszültség-nek hívják még abból az időből amikor a szűrés közvetlenül a hálóhoz volt rendelve KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények τ ij def = u i u j ui u j A szűrt léptékek hatását reprezentálja Feszültség tenzor formája van Disszipatívnak kell lennie, hogy kifejezze a kis léptékeken lévő disszipációt (62)

Örvény viszkozitás modell Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Ugyanaz mint RANS-ban τ ij 1 3 τ kkδ ij = 2ν t sij (63) Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények A módszer itt (NÖSZ) pontosabb, mivel a kisebb léptékek univerzálisabbak (mint a nagyok amelyeket a RANS-ban modellez) Disszipatív ha ν t > 0.

Szmagorinszki model Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények ν t = (C s ) 2 S (64) S def = 2s ij s ij (65) C s Szmagorinszki konstans, amit meg kell határozni spektrális elmélete alapján valós áramlási esetek validálásával -t elő kell írni Meghatározza a számítási igényt (ha túl kicsi akkor magas) Meghatározza a pontosságot (alacsony ha a szűrő túl nagy) Az mozgási energia 80%-nak felbontása egy jó kompromisszum

Méret hasonlóság Méret hasonlóság modell Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Feltételezzük, hogy a levágott kis léptékek hasonlóak a megtartott nagyokhoz! Egy logikus modell: τ ij def = u i u j ui u j (66) Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Tulajdonságok Nem elég disszipatív Alkalmas csúsztatófeszültségeket ad (tapasztalatok alapján) Logikus kombinálni a Szmag. modellel!

Dinamikus módszer Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények Az ötlet azonos a mérethasonlóság modellével Az elmélet bonyolultabb Bármely modell dinamikussá tehető A dinamikus Szmagorinszki széles körben használt (ötvözi az előnyöket)

Numerikus szempontok Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények A térbeli numerikus sémákat a határaiig használjuk (hullámhossz = cella méret), amennyiben a = h (h = cellaméret) A numerikus sémák jelentősen befolyásolják az eredményt Hálófüggetlenség h/ függvényként: praktikusan lehetetlen elvégezni

Peremfeltételek Periodicitás Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Periodicitást használunk a végtelen tartomány modellezésére A periodicitás hosszát a turbulencia hosszléptéke adja meg Eredmények

Peremfeltételek Belépés Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Sokkal bonyolultabb mint RANS-nál A turbulens struktúrákat kell visszaadni Örvényeket kell szintetizálni Külön előzetes számítás, ami igazi turbulenciát ad Eredmények

Peremfeltételek Fal Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Falaknál a tapadás törvénye alkalmazható, amennyiben megfelelő felbontást használunk (igazi LES) A szűkséges fali felbontás Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények y + 1 (67) x + 50 (68) z + 10 20 (69)

Eredmények Idő átlagolt mennyiségek Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Numerikus szempontok Hasonlóan felhasználható, mint RANS esetén. Szerencsés esetben pontosabb mint a RANS, de rossz használat esetén sokkal pontatlanabb! Peremfeltételek Eredmények

Eredmények Időfüggő struktúrák Nagy örvény szimuláció A modellezés és a szimuláció közötti különbség KNSZ A NÖSZ koncepciója Szűrés Szűrt egyenletek Örvény viszkozitás modell Az örvények mozgását követhetjük. Lehetőséget teremt a turbulencia befolyásolására Numerikus szempontok Peremfeltételek Eredmények