. Árakör száítás ódszerek, eyenáraú körök A vllaos ára a vllaos töltések rendezett áralása (ozása) a fellépő erők hatására. A töltések valalyen vllaos vezetőben áralanak (fé, folyadék, áz), a vezető határa rendszernt az áralás tér határa. Az áralás (poztív) ránya a poztív töltéshordozók áralásának ránya, aelyek a nayobb potencálú helyről az alacsonyabb potencálú felé haladnak a vezetőkben. A vllaos ára naysáa az eysény dő alatt átáraló töltésennysé, jelölése:. Q Ha T dő alatt Q töltés áralk át ey adott keresztetszeten, az ára átlaértéke =, T dq( t) vay általánosan az dőbel változás t () =. dt Az ára S értékeysée Apère tszteletére: [] = A = aper, a töltésáralás értéke, ha ey adott vezető keresztetszeten s dő alatt C töltésennysé (pl. 6,5 0 8 darab elektron) halad át. Defnícó Ha két párhuzaos, eyástól távolsára levő vezetőben - A ára folyk, akkor a vezetők - -es szakaszára ható erő F= 0-7 N. Azonos áraránynál vonzó, ellentétes árarány esetén taszító erő lép fel. Az áralás lehet eyrányú, állandó- vay változó sebesséel (pl. eyenára) és lehet változó rányú, változó sebesséel (pl. perodkus váltakozó ára). Az állandósult (staconárus) állapot(ok) elérése átenet (tranzens) folyaato(ko)n keresztül történk. A vllaos unka és teljesítény A vllaos tér által ey Q naysáú töltés l távolsára ozatásakor vézett W unka a korábbak szernt: W = Fdl = QEdl = Q = T, általános esetben W = u()() t t dt. l l A unka S vllaos értékeysée: [W]= Ws=VAs=J=N. Az dőeysé alatt vézett unka a P teljesítény: P = W =, a teljesítény pllanatértéke: pt ( ) = ut ( ) t ( ). T A teljesítény S vllaos értékeysée Watt tszteletére: [P]= W=watt=VA= J N =. s s Oh 3 törvénye Vezető anya valaely ára által átjárt szakaszán a fellépő vllaos feszültsé arányos az átfolyó áraal. Az arányossá tényező az ellenállás, anek jelölése: R. t Apère, Andrè-Mare (775-836) franca fzkus, ateatkus, veyész Watt, Jaes (736-89) skót épészérnök 3 Oh, Geor Son (789-854) néet fzkus
VVEA009 Elektrotechnka 08 =R, ebből R =. Az ellenállás S értékeysée Oh tszteletére: [R]= Ω=oh = V A. Az ellenállás általában ne állandó, fühet az áratól, a feszültsétől, a hőérséklettől, a áneses ndukcótól stb. R=f(, τ,,,...). Fé vezetőknél az ellenállás állandó hőérsékleten rendszernt állandó, vay állandónak teknthető. Oh törvénye ás efoalazásban: valaely vezető szakaszon az átfolyó ára arányos a vezető szakaszra kapcsolt feszültséel. Az arányossá tényező a vezetés, jelölése: G. =G, G = =. R A vezetés S értékeysée Seens 4 tszteletére: [G]=S = seens = A V (=ho). Az ellenállás hőfokfüése A féek többséének ellenállása a hőérséklet füvényében lneársan változk (az alkalazás tartoányban). R R ϑ ϑ =, aből R R kr = ϑkr ϑ ϑkr ϑ ϑkr ϑ. R R R ϑ kr ϑ ϑ Fé vezető ellenállásának tpkus hőérséklet-füése τ(k) ϑ(c ) ϑ kr a krtkus hőérséklet, anyajellező, az a hőérséklet, aelynél az R(ϑ) eyenes etsz a vízszntes tenelyt. A beutatott képletek úy helyesek, ha ϑ kr t poztív száként, nt abszolút értéket helyettesítjük be. A hőérséklet hvatalos S értékeysée Kelvn 5 tszteletére: [τ]= K= kelvn, az ellenállás hőfokfüését yakran Celsus 6 fokban skálázzák ([ϑ]= C ). A hőérséklet eyüttható Az ellenállás hőérséklet füésének összefüéséből ks átalakítással: ϑkr ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ R = R = R ϑ ϑ ϑ ϑ. kr kr 4 von Seens, Ernst Werner (86-89) néet érnök, kutató 5 Lord Kelvn - Thoson, Wlla (84-907) brt fzkus, ateatkus 6 Celsus, Anders (70-744) svéd csllaász, eteorolóus
. Árakör száítás ódszerek, eyenáraú körök Az α = értéket a ϑ hőérséklethez tartozó hőérséklet eyütthatónak (vay hőfoktényezőnek) nevezk, rendszernt 0 C vay 75 C hőérsékletre adják e. A hőér- ϑkr ϑ séklet eyüttható anyajellező, tulajdonképpen az eysény hőérséklet-változás hatására bekövetkező vszonylaos ellenállás-változást adja e. Ezzel az ellenállás hőfokfüése: R =R (α ϑ) vay R =R (α τ). Az ellenállás (és a fajlaos ellenállás) hőérséklet füését eleendő a sorának első, lneárs tajával közelíten a 00 K és az olvadás pont /3-a között tartoányban, vays ebben a tartoányban a hőérséklet eyütthatót állandónak tekntk. A poztív hőérséklet eyütthatójú anyaok (általában a féek) ellenállása a hőérséklet növekedésével nő, a neatív hőérséklet eyütthatójú anyaoké (eyes félvezetők, elektroltok, vllaos ív) ped csökken. Vannak specáls ötvözetek (pl. anann, konstantán), aelyek jelentős hőérséklet tartoányban terkusan stablsak, ellenállásuk ne változk. Ezeket főle éréstechnka célra alkalazzák, pl. űszerekben. Állandó és változó ellenállás Állandó ellenállás esetén az () kapcsolat lneárs, változó ellenállás esetén nelneárs. A nelneárs füvénykapcsolat jeltorzító hatású. x(t) y=f(x) y(t) (t) R u(t) Az () összefüés nt füvénykapcsolat llusztrálása Általában, ey lneárs y=f(x) átvtel füvénnyel jellezett ele, eszköz alakhű jelátvtelt bztosít, a nelneárs ped torzítja a jelalakot. A konkrét esetben x(t)=(t) és y(t)=u(t). Az alább táblázat néhány anya 0 C hőérsékleten értelezett jellező fajlaos ellenállás és hőérséklet eyüttható értékét utatja. Anya Ω ρ Ω α K Anya ρ α K ezüst 0,06 3,8 0-3 sáraréz 63% Cu 0,07,5 0-3 vörösréz 0,0786 4,9 0-3 vas 0,097 6,4 0-3 arany 0,03 4 0-3 platna 0,05 3,93 0-3 aluínu 0,0867 3,77 0-3 ón 0, 4, 0-3 volfra 0,0565 4,5 0-3 láyvas 0,5 6,6 0-3 sáraréz 58% Cu 0,059,5 0-3 konstantán 0,49 3,0 0-5 cnk 0,059 3,7 0-3 anann,85,0 0-5 nkkel 0,0685 6,4 0-3 hany 0,984 8,9 0-3 3
VVEA009 Elektrotechnka 08 y y x t t t 3 t 4 t 5 t t t t 3 t 4 t 5 t Lneárs x(t) y(t) jelátvtel lneárs y=f(x) füvény esetén y y x t t t 3 t 4 t 5 t t t t 3 t 4 t 5 t Nelneárs x(t) y(t) jelátvtel nelneárs y=f(x) füvény esetén 4
. Árakör száítás ódszerek, eyenáraú körök A fajlaos ellenállás Ey vezető konkrét ellenállása fü a eoetra kalakításától: eyenesen arányos annak hosszával és fordítottan arányos a keresztetszetével. Az arányossá tényező az eysény hosszúsáú és eysény keresztetszetű vezető ellenállása a fajlaos ellenállás, a anyaállandó, jelölése: ρ. Szabályos eoetrájú anyanál R = ρ l, aből ρ = R A A l. A fajlaos ellenállás értékeysée: [ρ]= Ω, a yakorlat értékeysée: [ρ]= Ω, Ω 6 Ω = 0 Ω, vay Ω = 0 6. A fajlaos ellenállást rendszernt 0 C vay 75 C hőérsékletre adják e, hőfokfüése az ellenállás hőfokfüésének efelelő és hasonlóan ábrázolható. Joule 7 törvénye Adott = állandó ára hatására ey R ellenálláson t dő alatt W= Rt naysáú hő(vesztesé) keletkezk. Tovább alakja Oh törvényének felhasználásával: W = t = R t. dőben változó ennyséek esetén: t t t () ()() W= t Rdt= uttdt= 0 0 0 ( ) ut R dt Gyakran alkalaznak vllaos árakört (hálózatot) a különböző vllaos és nevllaos (pl. echanka) folyaatok odellezésére. Ezekben a odellekben a súrlódás és ás veszteséet, valant a echanka unkát ellenálláson keletkező hőenerával képezk le. Vesztesé, hatásfok Árakör vesztesének nevezk a ne hasznosított, általában eleé alakuló teljesítényt vay enerát. Ha W a bevezetett (felvett) enera, P a bevezetett (felvett) teljesítény, W a leadott (hasznosított) enera, P a leadott (hasznosított) teljesítény, akkor a vesztesé enera: W veszt =W -W, a vesztesé teljesítény: P veszt =P -P. Az η hatásfokot rendszernt a teljesítényekből száítják: P P P Pveszt Pveszt η = = = =. P P Pveszt P P dőben változó ennyséek esetén az átlaos hatásfok eltérhet annak pllanatny értékétől. Eyenáraú (lneárs) hálózatok Jellezőjük: a töltéshordozók eyenletes, azonos rányú áralása hosszú, ks keresztetszetű vezetőkből álló, lneárs eleeket (forrásokat, foyasztókat) tartalazó elrendezésekben.. 7 Joule, Jaes Prescott (88-889) anol fzkus 5
VVEA009 Elektrotechnka 08 csoópont á az áak zárt lánca a hurok Az árakör része Az árakör száítás feladata: az eyes áak áraának, a csoópontok között feszültséeknek és az árakör eleek teljesítényének (veszteséének) ehatározása. Eyszerű eneraforrások Az deáls feszültséforrás (feszültsé-enerátor) jellezője a terheléstől (áratól) füetlen feszültsé. Rövdrezárt állapota ne értelezhető. Az deáls áraforrás (ára-enerátor) jellezője a terheléstől (lezáró ellenállástól) füetlen ára. Terheletlen, nytott állapota ne értelezhető. E R R R R - - - =állandó deáls feszültsé- és ára-enerátor jelölések =állandó A rajzon az deáls feszültsé-enerátor (belső) feszültsée, az deáls ára-enerátor (belső) áraa, E elektrootoros erő, tulajdonképpen a belső töltés-szétválasztó térerőssé, R a terhelő ellenállás (foyasztó) feszültsée, a terhelő ellenállás (foyasztó) áraa. Poztív rányok Az elektrotechnkában általában a foyasztó poztív rányokat használják, a foyasztott enera poztív előjelű, a terelté (a forrásé) neatív. Zárt rendszerben a terelt és a foyasztott enera és teljesítény eyensúlyban van. Az eyenleteket nd a poztív rányok fyelebevételével kell felírn. Mvel az ára ránya a defnícó szernt a poztív töltések áralás rányával eyezk e, tulajdonképpen az ára a aasabb potencálú ponttól az alacsonyabb potencálú felé folyk. Az eneraforrás teljesíténye a felvett foyasztó poztív rányokkal neatív előjelű, a foyasztott teljesítény poztív. P forrás =-, P foyasztó = R. 6
. Árakör száítás ódszerek, eyenáraú körök ( Terelő poztív rányokkal a terelt enera poztív előjelű.) A valósáos enerátorok veszteséét belső ellenállással képezk, ezért a valósáos feszültséenerátor k kapocsfeszültsée eltér az deáls feszültsé-enerátorétól (az áraentes üresjárás állapot kvételével), a valósáos ára-enerátor áraa eltér az deálsétól (a rövdrezárt állapot kvételével): R b A A k R R b R R - R b k = -R b = - b Valósáos feszültsé- és ára-enerátor, R b a belső ellenállás Néhány (eyenáraú) vllaos enerát előállító feszültséforrás: - echanka enerából: eyenáraú enerátor, dnaó, - kéa enerából: akkuulátor, alvánele, - fényenerából: fotocella, napele, - vllaos enerából (a vllaos enera különböző forá és paraétere között átalakítás): eyenrányító árakör, kapcsoló üzeű elektronkus átalakító. Eyes árakör száítás ódszereknél (szuperpozícó, helyettesítő enerátorok) szüksé van a enerátorok hatástalanítására az árakörből történő kktatásukra. A hatástalanított feszültsé-enerátort rövdzárral, a hatástalanított ára-enerátort szakadással helyettesítjük az árakörben. Ez a helyettesítés nd csak az deáls forrásokra vonatkozk, a belső ellenállásokra ne! A feszültsé-enerátor által leadott (vay felvett) teljesítényt a forrásfeszültsé és a enerátoron átfolyó ára szorzataként kapjuk az alkalazott poztív rányoknak efelelően előjelhelyesen. Az ára-enerátor által leadott (vay felvett) teljesítényt a forrására és a enerátoron ejelenő feszültsé szorzataként kapjuk az alkalazott poztív rányoknak efelelően előjelhelyesen. Az ára-enerátor feszültsée nd eeyezk a vele párhuzaos ellenállás vay ás árakör ele feszültséével. (Ey enerátor ne csak forrásként, foyasztóként s szerepelhet, pl. töltés alatt lévő akkuulátor.) Az árakör száítás lefontosabb szabálya Csoópont törvény (Krchhoff 8. törvénye) A töltésearadás elve szernt a csoópontba beáraló és az onnan káraló töltések ennysée azonos, a csoópontban töltés ne keletkezk, ne vész el, ne halozódk fel. Ez érvényes az dőeysé alatt töltésváltozásra, az árara s. Ebből következk, hoy ey csoópontba befutó áak áraának (előjeles) összee nden pllanatban zérus, Σ=0. 8 Krchhoff, Gustav Robert (84-887) néet fzkus, ateatkus 7
VVEA009 Elektrotechnka 08 Poztív rányok Rendszernt a csoópontba befolyó vay az onnan elfolyó áraot tekntk poztívnak (de terészetesen nden ára külön-külön s előírható a poztív árarány a bonyolítja a száítást). poztív rány valósáos rány 3 3 4 4 3 4 =0 3 4 =0 A csoópont törvény llusztrálása Az eyenlet és annak eoldása csak a felvett poztív rányok seretében értelezhető. Ha ey hálózatban n cs -száú csoópont van, akkor (n cs -) száú füetlen csoópont eyenlet írható fel. Huroktörvény (Krchhoff. törvénye) Zárt hurokban az ellenállásokon eső R feszültséek és az b forrásfeszültséek eyüttes összee zérus. Ez akkor s az, ha az eyes áak áraa eltérő. R b = R b = 0. b3 3 R 4 4 R R R b - R - b3 4 R 4 =0 b A huroktörvény llusztrálása Az összefüés ebben az alakban csak eyenáraú körök állandósult állapotára érvényes, váltakozó ára esetén k kell eészíten az nduktív és a kapactív feszültséekkel, váltakozó áneses tér jelenlétében az ndukált feszültséekkel s, vays a huroktörvény szernt az ey hurokban lévő összes h feszültsé eredője zérus: h = 0. A poztív rányt tt az ún. körüljárás rány jelöl. A huroktörvény nytott árakörben s alkalazható, ha a nytott pontok közé feszültséérő űszert, lletve az általa utatott feszültséet képzeljük: 8
. Árakör száítás ódszerek, eyenáraú körök b3 3 4 V R R R b - R - b3 4 =0 b Feszültséérő űszerrel lezárt hurok Ha ey hálózatban n h -száú hurok van, akkor (n h -) száú füetlen hurokeyenlet írható fel. Ellenállások soros kapcsolása R R R e Sorba kapcsolt ellenállások eredője A csoópont törvény értelében soros árakörben nden ele áraa azonos, íy =(R R )=R e, R e =R R, általánosan R = R, R e az eredő ellenállás. A sorba kapcsolt ellenállások (ellenállás-lánc) eyk tajának feszültséét a teljes feszültséből a feszültséosztás képletével határozhatjuk e. Az áraok azonossáából = és =. R R = = R R R R R R R = R =. R RR R R R e Általános esetben a feszültsé az ellenállás-lánc x-dk taján: x = R x, =, R x x = R R. Alkalazás példa: feszültséérő űszer előtét ellenállása. Az ún. alapűszereket (érőűveket) rendszernt ks éréshatárra készítk. Leelterjedtebb a lenőtekercses, eyenáraot érő (Deprez 9 rendszerű) alapűszer, pl. 5 A/60 V éréshatárral. Az alapűszereket nayobb ára vay feszültsé érésére külső ellenállásokkal teszk alkalassá. Az unverzáls és a több éréshatárú (analó és dtáls) űszerek több külső ellenállást s tartalaznak. Az =5 A és az =60 V összetartozó, a űszer véktéréséhez tartozó értékek, ezekből száítható a űszer R belső ellenállása: 9 Deprez, Marcel (843-98) franca érnök 9
VVEA009 Elektrotechnka 08 R 60 V = = = Ω. 5 A R e Előtét ellenállás alkalazása a feszültsé éréshatár kbővítésére > feszültsé éréséhez az alapűszerrel sorban kapcsolt R e ún. előtét ellenállást alkalaznak. A feszültséosztó láncot úy kell éretezn, hoy a érendő lenayobb feszültsé esetén a űszerre lefeljebb csak a eenedhető feszültsé jusson. R =, ebből R R e = = R. R R Ellenállások párhuzaos kapcsolása e R R R Párhuzaos kapcsolású ellenállások eredője A huroktörvény értelében párhuzaos árakörökben nden á feszültsée azonos. R = R = R e = A csoópont törvény szernt =, = =. R R R e Re R R Általánosan: =. Re R vay a vezetésekkel felírva: G = G. e Két párhuzaos kapcsolású ellenállás esetén az eyk áraát a teljes áraból az áraosztás képletével határozhatjuk e: R R =(- )R =R - R =. R R A vezetésekkel felírva: =, G G G = = =. G G G G G G G G R e 0
. Árakör száítás ódszerek, eyenáraú körök Általánosan, tetszőlees száú párhuzaos ánál, az x-dk á áraa: Gx x =. G Alkalazás példa: áraérő űszer sönt ellenállása. R s R Sönt ellenállás alkalazása a ára éréshatár kbővítésére > ára éréséhez az alapűszerrel párhuzaosan kapcsolt R s ún. sönt ellenállást alkalaznak. Az áraosztó láncot úy kell éretezn, hoy a érendő lenayobb ára esetén a űszeren lefeljebb csak a eenedhető ára folyjon át. Rs =, ebből Rs = R. R R s Néhány árakör száítás ódszer Krchhoff. és. törvénye alapján A csoópont törvény szernt (n cs -), a huroktörvény szernt (n h -) füetlen eyenlet írható fel. Példa A R b 3 3 C b k b4 R 4 5 R 5 D Csoópontok és hurkok választása 4 5 A csoópont eyenletek a befolyó áraokat tekntve poztívnak: a csoópontra - - 3 b4 =0, a C csoópontra 3-5 - b4 =0, a D csoópontra 5 - =0. A háro eyenlet közül csak kettő füetlen. A hurokeyenletek a nylak szernt poztív körüljárás rányban: b - R - R b =0, 4 R - 5 R 5 =0, 3-4 - 3 =0,
VVEA009 Elektrotechnka 08 4 R - 5 R 5-3 =0, 5 b - 5 R 5-3 - R b =0. Az b4 forrásáraú enerátoron lévő 4 feszültsé eeyezk a vele párhuzaos ellenállás feszültséével. A hurkok választása att a fent eyenletek közül (, 3, 4), lletve (, 4, 5) eyástól ne füetlenek, az ey zárójelben jelzettek közül csak - füetlen. Hurokáraok ódszere A hurokára ey hurok entén folyó feltételezett (fktív) ára. A hurokáraok által elődézett feszültséekkel uyanúy felírható a hurokeyenlet, nt az ááraok feszültséevel. Ey hálózatban (n h -) száú füetlen hurokára defnálható. Ezeket úy kell felírn, hoy nden áon lealább ey hurokára leyen, valaenny á feszültsée lealább ey eyenletben szerepeljen. Mvel ez a ódszer a szuperpozícó elvét alkalazza (közös ában a hurokáraok összeeződnek), ezért csak lneárs árakörök száítására használható. deáls ára-enerátort tartalazó ában a hurokáraok eredője ne térhet el a enerátor áraától. Példa A hurokáraokat jelöljük J-vel, ekülönböztetve az -vel jelölt forrásáraoktól és az ááraoktól. Hurokára választás () R b 3 J 3 C b J k b4 5 R 4 R 5 J A hurokáraok lehetsées választása () A fent hurokáraok választásánál az b4 ára-enerátor att J és J 3 eredője csak b4 lehet: J -J 3 = b4. 5 = -J és 3 = -J 3 továbbá a C pontban a csoópont törvény szernt: 3 = b4 5 -J 3 = b4 -J J -J 3 = b4 : teljesül a csoópont törvény. A körüljárás rányt a hurokáraokkal eeyezően választva a hurokeyenletek ebben az esetben: b R (J -J ) R b J =0, R (J -J ) R 5 J J 3 =0 (az ára-enerátor feszültsée eeyezk a vele párhuzaosan kapcsolt ellenállás feszültséével, 4 = J 3 ). A valósáos ááraok a hurokáraokból száíthatók: = -J, = -J J, 3 = -J 3, 5 = -J. A feszültsé- és az ára-enerátor teljesíténye P = b b és P = b = b. b 4 4 4 R3
. Árakör száítás ódszerek, eyenáraú körök Hurokára választás () R b 3 C b4 k R 4 b R 5 J J 5 A hurokáraok lehetsées választása () Ennél a hurokára választásánál J = b4, 3 = -J 3 és 5 = -J -J 3. A C pontban 3 = b4 5 -J 3 = b4 -J -J 3 J = b4 : teljesül a csoópont törvény. A körüljárás rányt a hurokáraokkal eeyezően választva a hurokeyenletek a () esetben: b R (J -J -J 3 ) R b J =0, R (J J 3 -J ) R 5 (J J 3 ) J 3 =0 (az ára-enerátor feszültsée eeyezk a vele párhuzaosan kapcsolt ellenállás feszültséével!), Az ára-enerátor att J = b4, íy csak két seretlen hurokára van. A valósáos ááraok a hurokáraokból száíthatók: = -J, = -J J J 3, 3 = -J 3, 5 = -J -J 3. A feszültsé-enerátor teljesíténye P = b b, az ára-enerátoré P = b. b 4 R3 Csoópont potencálok ódszere A ódszer lényee: ey referenca ponthoz (0 potencálú csoópont) vszonyított feszültséeket határozunk e (n cs -) száú csoópontra, lneársan füetlen csoópont eyenletekkel. Nelneárs áraköröknél s használható, ert a szuperpozícó elvét ne alkalazza. Ha ey csoópont és a referencapont között ában csak deáls feszültsé-enerátor van, akkor a csoópont potencálja ne térhet el a enerátor forrásfeszültséétől. Példa A csoópont potencálokat jelöljük V-vel, ekülönböztetve az -val jelölt forrásfeszültséektól és az ellenállások feszültséétől. J 3 A R b 3 C b k R R 5 b4 5 D A csoópontok lehetsées eválasztása A D csoópontot tekntve referencának (potencálját nullára választva V D =0) az A pont potencálja a feszültsé enerátor att csak V A = b lehet. 3
VVEA009 Elektrotechnka 08 A csoópontra, a kfolyó áraokat tekntve poztívnak: V b V V VC 4 = 0, R R3 A C csoópontra VC V VC 4 = 0. R3 R5 A csoópontok potencáljából az ááraok száíthatók: V b V V VC VC =, =, 3 =, 5 =. R R R R b 3 A szuperpozícó elve Csak lneárs eyenletekkel leírható rendszerekben alkalazható. Lneárs rendszerekben a különböző naysáú hatások eredőjének következénye eeyezk az eyes hatások következényenek eredőjével: f(a)f(b)=f(ab). f(x) 5 f (x) f (ab) f (ab) f(b) f(a) f (x) x a b ab A szuperpozícó ódszer csak f esetén alkalazható A lneartás feltételének efelelő vllaos árakörök száítása során külön-külön vzsálhatjuk az eyes eneraforrások hatását, ajd ezeket a hatásokat (feszültséeket, áraokat) előjel-helyesen összeezzük. Például ey R ellenálláson folyó ' és " ára által keltett feszültsére: = R('") = R' R" = ' ". ' " R '" A szuperpozícó llusztrálása Teljesítény ne száítható szuperpozícóval, ert pl. az füvény nelneárs, ezért P=R('") P'P"=R(' " ). A rész-száítás során fyelen kívül hayott feszültsé-enerátort rövdzárral, az áraenerátort szakadással kell kktatn, a enerátorok belső ellenállása aradnak a hálózatban. 4
. Árakör száítás ódszerek, eyenáraú körök Példa R b 3 b k R R 5 b4 5 A száítandó árakör vázlata Vzsáljuk e külön az b feszültsé-enerátor és külön az b4 ára-enerátor által létrehozott ááraokat. R b 3 b k R b4 5 R 5 Az ára-enerátor kktatása R b 3 b k R b4 5 R 5 A feszültsé-enerátor kktatása Az eredő ááraokat az eyszerűsített árakörökre száított áraok előjel-helyes összeezésével kapjuk: =' -", =' ", 3 =' 3 " 3, 5 =' 5 -" 5. A ódszer terészetesen kettőnél több forrás esetén s alkalazható. Kétpólus Defnícó Kétpólusnak nevezzük ey tetszőlees hálózat tetszőlees száú eleből álló, két kapocspont között részét. Az eleek elrendezésére nncs előírás. A helyettesítő feszültsé-enerátor tétele árlyen bonyolult hálózat ey tetszőlees áa száára helyettesíthető eyetlen b feszültséű deáls enerátorból és ey vele sorosan kapcsolt R b belső ellenállásból álló kétpólussal. 5
VVEA009 Elektrotechnka 08 R A A R A A R b b - Összetett árakör feszültsé-enerátoros helyettesítése b a szóban foró á A- csatlakozó pontja között R A ellenállás keelése után érhető (üresjárás) feszültsé ( 0 ), R b az uyanezen pontok között a források és R A ellenállás kktatása után érhető ellenállás. A helyettesítendő árakör feszültsé-forrásanak kktatása azok rövdre zárásával, az áraenerátorok kktatása szakadással való helyettesítéssel történk. Példa R b 3 A b k R R 5 b4 5 A helyettesítendő árakör vázlata Az A- csatlakozó pontokra R keelése után az k0 üresjárás feszültsé a szuperpozícó ódszerével, a feszültséosztás és az áraosztás képletét használva R3 R5 k0 = b b4r3, R3 R5 R3 R5 az A- pontok között ellenállás b, b4 és R kktatása után ( R3 R5) = ( R3 R5) =. R R R b 3 5 A R b R k b Feszültsé-enerátoros helyettesítő árakör 6
. Árakör száítás ódszerek, eyenáraú körök A helyettesítő ára-enerátor tétele árlyen bonyolult hálózat ey tetszőlees áa száára helyettesíthető eyetlen b áraú deáls enerátorból és ey vele párhuzaosan kapcsolt R b belső ellenállásból álló kétpólussal. A A R A R A R b b Összetett árakör ára-enerátoros helyettesítése b a szóban foró á A- között csatlakozó pontja között érhető rövdzárás ára ( z ), R b az uyanezen pontok között a források és R A ellenállás kktatása után érhető ellenállás. Példa R b 3 A b k R R 5 b4 5 A helyettesítendő árakör vázlata Az A- pontokra az z rövdzárás ára b R3 z = b4, R3 R5 az A- pontok között ellenállás b, b4 és R kktatása után ( R3 R5) = ( R3 R5) =. R R R b 3 5 A R k R b b Ára-enerátoros helyettesítő árakör 7
VVEA009 Elektrotechnka 08 A két helyettesítő kapcsolás átalakítható eyásba: feszültsé-enerátor ára-enerátor átalakítás b z = b = R b =R b, ára-enerátor feszültsé-enerátor átalakítás 0 = b = b R b R b =R b. Teljesítény llesztés A vázlat szernt árakörben a feszültsé-enerátor P teljesíténye részben az R b belső ellenálláson (P ), részben az R t terhelő (foyasztó) ellenálláson (P t ) dsszpálódk, az ellenállások arányában. Ha R t =0 (a enerátor rövdrezárt állapota), akkor a teljes P teljesítény a belső ellenállásra kerül (P t =0), ha R t = (a enerátor üresjárás állapota), akkor ára ne folyk, íy nden teljesítény, íy P t s, zérus. R b - k R t A vzsált árakör Adott R b érték ellett tehát a P t (R t ) füvénynek szélső értéke (axua) van. Keressük e azt a terhelő ellenállás értéket, aelynél a enerátorból a foyasztó által felvett P t teljesítény a lenayobb. A hatásfok száításánál kenő (hasznos) teljesíténynek a foyasztóra jutó teljesítényt, vesztesének a belső ellenállás teljesítényét tekntjük. Az ára, a P t foyasztott teljesítény, a enerátor P teljesíténye és az η hatásfok rendre Az ára a feszültsé és az eredő ellenállás hányadosa = =, axáls értéke R R R R R t =0-nál van ax =. b t b t Mvel a enerátor feszültsée =áll., a terelt P teljesítény az áraal arányos P = = =. R R R R b t b t A leadott (a terhelés által foyasztott) P t teljesítény Rt Pt = Rt = ( Rt). A hatásfok foyasztott és a terelt teljesítény hányadosa Rt Pt Rt Rt Rt Rt η = = = = =. P ( R R ) ( R R ) R R R b t b t b t t R b 8
. Árakör száítás ódszerek, eyenáraú körök P t axua a P t (R t ) füvény derváltjának zérus helyén van: dp t = 0= [( Rt) Rt( Rt) dr ], ez akkor teljesül, ha R 4 t =R b. t ( Rt) Vays, akkor kapjuk a lenayobb foyasztott teljesítényt, ha a terhelő ellenállás eeyezk a enerátor belső ellenállásával. Ezt nevezk teljesítény llesztésnek. η / ax 0,5 P /P ax 0,5 P t /P ax P /P ax 0 R t /R b Az ára, a teljesítények és a hatásfok füése az R t /R b vszonytól Az ábra a jobb skálázhatósá érdekében az áraot a axáls értékéhez vszonyítva (/ ax ) a teljesítényeket ped a P teljesítény lenayobb értékéhez (P ax ) vszonyítva utatja. R t =R b esetben az ára, a teljesítények és a hatásfok: =, P =, Pt = PR =, η=0,5. b R R 4R b b b 9
VVEA009 Elektrotechnka 08 Ellenőrző kérdések. Hoyan száítják a vllaos unkát (enerát), a értékeysée?. Hoyan száítják a vllaos teljesítényt, a értékeysée? 3. Mlyen kapcsolat van a vllaos ellenállás és a vllaos vezetés között, ezek értékeysée? 4. Írja fel és ábrázolja fées anyaok ellenállásának jellező hőérséklet-füését. 5. M a fajlaos ellenállás, a értékeysée? 6. Mlyen hatása van a lneárs és a nelneárs ellenállásnak? 7. Hoyan határozza e Joule törvénye az ellenállás veszteséét? 8. Jelleezze az deáls és a valósáos enerátort. 9. Mt fejez k Krchhoff csoópont törvénye? 0. Mt fejez k Krchhoff hurok törvénye?. Hoyan száítja k sorosan kapcsolt ellenállások eredőjét?. Hoyan száítja k párhuzaosan kapcsolt ellenállások eredőjét? 3. Hoyan alkalazza a feszültsé osztás összefüését? 4. Hoyan alkalazza az áraosztás összefüését? 5. Mlyen éréstechnka célt szolál az előtét ellenállás? 6. Mlyen éréstechnka célt szolál a sönt ellenállás? 7. M a hurokáraok ódszere, hoyan alkalazzák? 8. M a csoópont potencálok ódszere, hoyan alkalazzák? 9. Hoyan alkalazható vllaos árakörben a szuperpozícó elve? 0. M a helyettesítő feszültsé-enerátoros kétpólus, hoyan határozza e paraéteret?. M a helyettesítő ára-enerátoros kétpólus, hoyan határozza e paraéteret?. M a teljesítény llesztés? Összeállította: Kádár stván 08. szepteber 0
. Árakör száítás ódszerek, eyenáraú körök Példák, feladatok. Száítsa k az ábrán látható árakör A és pontja között feszültsékülönbséet. R =Ω A 3 =4V =V { A- = 3,7 V} =4V R =3Ω =3Ω R 4 =5Ω. Az ábrán látható árakörben =4 V, =36 V, R =R = =0 Ω. Száítsa k az ellenállás teljesítényét. {P 3 = 40 W} R R 3. Az ábrán látható árakörben =5 V, R = Ω, R = 8 Ω, = 5 Ω, az eredő ára = 4 A. Száítsa k az R 4 ellenállás valant az és ááraok értékét. Mekkora az ellenállásokon keletkező összes vesztesé teljesítény? {R 4 = Ω, =,5 A, =,5 A, ΣP= 60 W} R R R 4
VVEA009 Elektrotechnka 08 4. Az ábrán látható árakörben R =5 V, R b =0,6 Ω, R =, Ω, R b R =4 Ω, =6 Ω, R 4 =, Ω. Száítsa k az eyes ellenállások áraát és teljesítényét, valant az k feszültsé értékét. k R R 4 { b = 0 A, P b = 60 W, = 7,5 A, P = 67,5 W, =,5 A, P = 9 W, 3 = A, P 3 = 6 W, 4 =,5 A, P 4 = 7,5 W, k = 9 V} 5. Az ábrán látható árakörben =3 A, = V, R = Ω, R =4 Ω, R =5 Ω, =7,5 Ω, R 4 =9 Ω. Száítsa k az eyes ellenállások áraát a enerátorok és az ellenállások teljesítényét. { R =4 A, R = A, R =0,6 A, R3 =0,4 A, R4 = A, P =-4 W, P =-4 W, P R =3 W, P R =4 W, P R =,8 W, P R3 =, W, P R4 =9 W} R R R R 4 6. Az ábrán látható árakörben = V, R =6 Ω, R =3 Ω, = Ω. Mekkora leyen 3, hoy az R ellenálláson 6 W vesztesé teljesítény keletkezzen? Száítsa k az ellenállás eredő vesztesé teljesítényét. {A vesztesé teljesítény ne fü az ára rányától, ezért két eoldás van: a) 3 = -4 V, P 3 = 9 W b) 3 = -6 V, P 3 = 00 W} R R 3 7. Az ábra árakörében =0 A, =5 V, R b =0,6 Ω, R =, Ω, =6 Ω, R 4 =, Ω. Száítsa k az k feszültsé és az R ellenállás értékét, valant és az eyes ellenállásokon érhető feszültséet. { k = 9V, R = 4 Ω, b = 6 V, = 9 V, = 3 =6 V, 4 =3 V} R b k R R R 4
. Árakör száítás ódszerek, eyenáraú körök 8. Az ábrán látható árakörben =46 V, =3 V, R =5 Ω, R =40 Ω, =0 Ω. Száítsa k az R3 ellenállás áraát és vesztesé teljesítényét. { 3 =,3 A, P 3 = 6,9 W} R R 9. Az ábrán látható árakörben = A, =7 V, R =R = =6 Ω. Száítsa k az eyes ellenállások áraát és vesztesé teljesítényét, valant az ára- és a feszültsé-enerátor teljesítényét. { = 0, P = 0, = 0, P = 0, 3 = A, P 3 = 864 W, P = 0, P = -864 W} R R 3