1_5. Bevezetés Végeselem-módszer Végeselem-módszer 1. A geometriai tartomány (szerkezet) felosztása (véges)elemekre.. Lokális koordináta-rendszer felvétele, kapcsolat a lokális és globális koordinátarendszerek között. 3. A bázis függvények felvétele, definiálása elemenként. 4. A merevségi mátrix számítása elemenként. 5. A teher csomópontokra redukálása elemenként. 6. A szerkezet merevségi mátrixának és tehervektorának meghatározása. 7. A = (lineáris) egyenletrendszer megoldása. 8. A csomóponti elmozdulások ismeretében a keresett függvény (elmozdulás, alakváltozás, igénybevétel) értéke tetszőleges helyen számítható. 1
kompiláció a szerkezet merevségi mátrixa A szerkezet merevségi mátrixának és a tehervektorának számítása: Példa: húzott szerkezet Erős megoldás Gyenge megoldás p x x 1=0 x =L x, u a) L y p xl /EA b) p xl y + u(x) p ( ) x x u x = + Lx EA p x N(x) x 1 p xl /EA u(x) p xl/ + N(x) c) 3p x L/4 d) p x 1 1- -3 3 3p x L /8EA p xl /EA u(x) + N(x) 3p xl/4 p x 1 3 3p xl /8EA p xl /EA p xl + p x L/ kompiláció a szerkezet merevségi mátrixa A szerkezet merevségi mátrixának és a tehervektorának számítása: Példa: rúdszerkezet merevségi mátrixa sávszélesség optimalizálás A tehervektor és a merevségi mátrix transzformációja a globális koordináta rendszerbe. ξ q = q e e u(x) N(x) K Gyenge megoldás Gyenge megoldás e = K e ξ
kompiláció a szerkezet merevségi mátrixa A szerkezet merevségi mátrixának és a tehervektorának számítása: Példa: tárcsaszerkezet merevségi mátrixa kompiláció a szerkezet merevségi mátrixa A szerkezet merevségi mátrixának és a tehervektorának számítása: Példa: tárcsaszerkezet merevségi mátrixa 3
kompiláció a szerkezet merevségi mátrixa A szerkezet merevségi mátrixának és a tehervektorának számítása: Példa: tárcsaszerkezet merevségi mátrixa sávszélesség optimalizálás csomópontok átszámozása kompiláció a szerkezet merevségi mátrixa A szerkezet merevségi mátrixának és a tehervektorának számítása: Példa: tárcsaszerkezet merevségi mátrixa Merev megtámasztás = nincs elmozdulás := sor/oszlop törlés szinguláris mátrix invertálható mátrix 4
kompiláció a szerkezet merevségi mátrixa A szerkezet merevségi mátrixának és a tehervektorának számítása: Példa: tárcsaszerkezet merevségi mátrixa Merev megtámasztás = nincs elmozdulás := merev rugó! szinguláris mátrixok támasz rugalmas ágyazat A rugómerevsége transzformációja a globális koordináta rendszerbe: c z globális koordinátarendszer = lokális koordinátarendszer 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 = = invertálható mátrix rugómerevség = 10 10 kn/m axiális rugó a globális koordináta tengelyek irányában Merev megtámasztás = nagy rugóállandó! cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 1 tele-mátrix A szerkezet merevségi mátrixa rosszul kondicionálttá válhat. Nem csak a főátló elemek lesznek nagyok! 5
támasz rugalmas ágyazat A rugómerevsége transzformációja a globális koordináta rendszerbe: c z globális koordinátarendszer = lokális koordinátarendszer 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 tele-mátrix A szerkezet megtámasztása: Merev megtámasztás = A mátrix determinánsa közel zérus. A szerkezet merevségi mátrixa rosszul kondicionálttá válhat. Nem csak a főátló elemek lesznek nagyok! támasz rugalmas ágyazat Winkler rugós megtámasztás Fél-tér modell A talaj VEM modellje Épület altalaj kölcsönhatásának modellezése 6
Végeselem-módszer 1. A geometriai tartomány (szerkezet) felosztása (véges)elemekre.. Lokális koordináta-rendszer felvétele, kapcsolat a lokális és globális koordinátarendszerek között. 3. A bázis függvények felvétele, definiálása elemenként. 4. A merevségi mátrix számítása elemenként. 5. A teher csomópontokra redukálása elemenként. 6. A szerkezet merevségi mátrixának és tehervektorának meghatározása. 7. A = (lineáris) egyenletrendszer megoldása. 8. A csomóponti elmozdulások ismeretében a keresett függvény (elmozdulás, alakváltozás, igénybevétel) értéke tetszőleges helyen számítható. az eredmények értékelése - pontosítás Az eredmények ábrázolási módja: átlagolva/simítva ritka elemosztás átlagolás nélkül 7
az eredmények értékelése - pontosítás Az eredmények ábrázolási módja: átlagolva/simítva sűrűbb elemosztás átlagolás nélkül az eredmények értékelése - pontosítás Az eredmények ábrázolási módja: megfelelő ROSSZ! átlagolva/simítva??? 8
A konvergencia javítása: eredeti hálózat az eredmények értékelése - pontosítás h-módszer: elemméret csökkentés A konvergencia mérése: elmozdulás különbség, igénybevétel különbség, alakváltozási energia különbség. p-módszer: bázisfüggvény fokszámának növelése Cauchy konvergencia r-módszer: elemméret átrendezés az eredmények értékelése - pontosítás A konvergencia vizsgálata: elemek száma feszültségkoncentráció A szerkezet és a teher: Feszültségkoncentráció := konvergencia a - hez! 9
az eredmények értékelése - pontosítás A konvergencia vizsgálata a feszültségkoncentrációs helyeken: Elem-mérete [m] Elem-mérete [m] eredő := konvergencia véges értékhez! lokális érték := konvergencia a -hez! az eredmények értékelése - pontosítás Feszültségkoncentrációs helyek: pl. Lemez negatív sarokkal Falvég környezete Gerenda bemetszéssel Pontokon alátámasztott födém 10
A szerkezet modellje: szimmetria antimetria A szerkezet geometriája, merevségi viszonyai, támaszai, a teher együtt eredményezi a szimmetriát. A szerkezet modellje: Szimmetria sík eljes M ábra szimmetria antimetria Szimmetrikus teher Szimmetrikus rész Antimetrikus teher Antimetrikus rész Modell Modell 11
A szerkezet modellje: szimmetria aszimmetria Szimmetria sík Szabad mozgás A merevségi mátrix és a tehervektor számítása elemenként: Lemez Kirchoff-elmélet Antimetria síkja Szabad mozgás 1. A középfelület normális normális marad := B.-N. hip.. Síkbeli feszültségállapot a középsíkkal párhuzamosan. 1
A merevségi mátrix és a tehervektor számítása elemenként: Lemez Kirchoff-elmélet 1. A középfelület normálisa normális marad := B.-N. hip.. Síkbeli feszültségállapot a középsíkkal párhuzamosan. A merevségi mátrix és a tehervektor számítása elemenként: Lemez A peremen a nyíróerő és a csavarónyomaték egyesíthető: = = A sarokerő: = Kirchoff-elmélet 13
A merevségi mátrix és a tehervektor számítása elemenként: lemez Az elmozdulás-függvény vektora: u = w( x, y) (5.18) Az alakváltozás függvények, görbületek vektora: ε = [ κ x( x, y) κ y( x, y) κ xy( x, y) ](5.19) A differenciáloperátor mátrix: x L= y x y Az igénybevétel függvények vektora: σ = m x( x, y) my( x, y) myx( x, y) (5.131) Az anyag merevségi mátrixa (h a lemez vastagsága): 1 ν 0 3 Eh D = ν 1 0 (5.13) 1( 1 ν ) 1 ν 0 0 ( ) ( ) ( ) [ ] (5.130) C 1 A teherfüggvény vektora: p = pz( x, y) (5.133) Kirchoff-elmélet A merevségi mátrix és a tehervektor számítása elemenként: Lemez Mindlin-Reissner elmélet 1.A középfelület normálisa nem marad normális.. Síkbeli feszültségállapot a középsíkkal párhuzamosan. 14
A merevségi mátrix és a tehervektor számítása elemenként: lemez [ ] Az elmozdulás-függvény vektora: u = w( x, y) ϕ x( x, y) ϕ y( x, y) (5.134) Az alakváltozás függvények, görbületek vektora: ε = [ κ x( x, y) κ y( x, y) κ xy( x, y) γ xz( x, y) γ yz( x, y) ] (5.135) 0 ( ) 0 x 0 0 ( ) y A differenciáloperátor mátrix: L = 0 ( ) ( ) (5.136) y x C 0 ( ) 1 0 x ( ) 0 1 y Az igénybevétel függvények vektora: σ = [ m x( x, y) my( x, y) myx( x, y) qx( x, y) qy( x, y) ](5.137) Az anyag merevségi mátrixa (h a lemez vastagsága): Mindlin-Reissner elmélet A merevségi mátrix és a tehervektor számítása elemenként: lemez 3 3 Eh ν Eh 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 ν 1 1 ν 3 3 ν Eh Eh 0 0 0 1( 1 ν ) 1( 1 ν ) 3 D = Eh 0 0 0 0 (5.138) 4( 1+ ν) Eh 0 0 0 0,4( 1+ ν) Eh 0 0 0 0,4( 1+ ν) A teherfüggvény vektora: p = p ( ) m x ( x, y) m y ( x, y) (5.139) [ ] z x, y Mindlin-Reissner elmélet 15
A peremfeltételek: csukó befogás lágy kemény lemez A peremfeltételek: kemény lágy nyíróerő sarokerő sarok Szimmetria sík csav.nyom. lemez Csuklós megtámasztású lemez 16
A peremfeltételek: Vastag lemez Vékony lemez lemez C 0 Négyszög elem: Mindlin-Reissner elmélet lemez Nyírási záródás θ X és θ y 17