Kétrétegű LTE-Advanced Kis Cellás Rendszerek Modellezése Sztochasztikus Geometriával

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék, Mobil Kommunikáció és Kvantumtechnológiák Laboratórium Kétrétegű LTE-Advanced Kis Cellás Rendszerek Modellezése Sztochasztikus Geometriával Jakó Zoltán Ph.D. Tézisfüzet Témavezető: Dr. Jeney Gábor, Ph.D. 27, Budapest

Bevezetés Napjaink modern mobil kommunikációs rendszer definíciója alatt az LTE-t (Long-Term Evolution) értjük. Ugyanakkor a fejlődés és a kutatás ebben a percben is szüntelenül zajlik, hogy a meglévő LTE alapokból gyorsabb, jobb hálózatot hozzanak létre. A meglévő LTE rendszer fundamentumaira építő (a 4,5 G-ként emlegetett) LTE-Advanced (LTE-A) rendszer szabványosítása még napjainkban is tart. Ugyanakkor már konkrét célokat is megfogalmaztak a következő (5 G-s) hálózat specifikációra vonatkozóan (például az átviteli sebességre, vagy a késleltetésre). Az 5 G-s követelményeknek megfelelő hálózatok elterjedését a világban 22 utánra prognosztizálják []. A kutatási irányvonalak közül az egyik fontos szempont a minél nagyobb átviteli sebesség biztosítása, amit a jó lefedettség hívatott biztosítani. A lefedettség kérdése azért fontos, mert egyre nagyobb frekvenciasávokon történik a kommunikáció, ugyanakkor a jel csillapítása nagyban függ a vivő frekvenciától valamint az adó (bázisállomások) és a vevő (mobil terminálok) környezetében lévő tárgyaktól, épületektől stb. Fontos szempont továbbá, hogy egyre több ember használja a mobil hálózat nyújtotta lehetőségeket (adatátvitel mobil interneten keresztül, média stream lejátszása, stb.) ezért a hálózat tervezésekor figyelembe kell venni, hogy minél több felhasználót legyen képes kiszolgálni a rendszer megfelelő szolgáltatás minőséggel (Quality of Service QoS). Az egyre nagyobb frekvenciasávok és felhasználói populáció miatt a cellák mérete egyre jobban zsugorodik, például a sűrűn lakott városrészekben LTE esetén kb. 5 méter (vagy kevesebb) az átlagos makrocella sugár. A nagyobb átviteli sebesség és jobb lefedettség biztosítása érdekében ésszerű megoldásként kínálkozik, hogy a hagyományos, egyszintű makrocellás hálózatot többszintű, réteges hálózattá bővítik. A többrétegű hálózat elemei lehetnek például mikro-, piko- és a femtocellák. A femtocella egy olyan kis bázisállomás (Home Evolved Node-B, vagy röviden HeNB), amely alkalmas egy lakás vagy iroda (beltéri) lefedettségét biztosítani, úgy hogy az itt keletkezett forgalmat vezetékes technológiák segítségével (DSL Digital Subscriber Line, optika stb.) szállítja a mobil operátorhoz, ezzel tehermentesítve a makrocellát [2]. A mobil operátornál az ún. Femtocella Gateway (FGW) gyűjti össze a femtocellákból érkező forgalmat. A femto enb (femtocellás bázisállomás) teljesítmény jellemzően mw között mozog, így a lefedett terület körülbelül 3 m lehet. Ugyanakkor a 4,5 G és 5 G-s rendszerekben lehetőség nyílik a makrocellák tehermentesítésére, úgy hogy, kisebb cellákat telepítenek kültérre. Az elképzelés szerint a meglévő infrastruktúrát kihasználva például villanyoszlopokra történő bázisállomás telepítésével az utcán haladó felhasználók számára megfelelő minőségű szolgáltatást lehet biztosítani. A kis méretű cellákra (mikro-, piko- és femtocella) a szakirodalom a Small Cell ( kis cella ) gyűjtőnevet használja, ezért a disszertációban és a tézisfüzetben is így hivatkozok rá. Az LTE-A és az 5G-s rendszerekben az elsődleges hozzáférési megoldásként említik a kis cellákat [2]. A kis cellák a szolgáltató által használt licenszelt frekvenciasávban üzemelnek. Abban az esetben ha a kis cella ugyanazt a frekvenciasávot használja, mint a makrocella (frekvencia újrahasznosítási faktor értéke egységnyi), bizonyos körülmények között alkalmazásuk

zavarhatja a konvencionális hálózatot. Vagyis a kis cellához kapcsolódó felhasználó szempontjából a makro bázisállomás jele interferencia forrásként jelentkezik és fordítva, a makrocellás felhasználónak a kis cellák jele jelentkezik interferencia forrásként. Központi interferenciaszabályozás (például a femtocella gatewayen keresztül) megvalósítása bonyolult tekintettel arra, hogy a kis cellák a publikus Internetet használják az adatforgalom továbbítására, aminek a késleltetése jelentős. Tovább bonyolítja a helyzetet a femtocellák ad hoc jellege. Ennél a hozzáférési rendszernél nem a szolgáltató telepíti és üzemelteti a femtocellákat, hanem a felhasználó, így a femto bázisállomás elhelyezkedésére, üzemelési idejére a szolgáltatónak nincs befolyása. Megoldásként kínálkozik a kis cellák felokosítása. Más szóval, olyan interferencia érzékelő képességet kell a kis cellákba integrálni, ami figyeli a frekvencia sávokat. Amennyiben a frekvencia sávot sok eszköz használja (így nagy interferencia mérhető rajta), akkor azt nem osztja ki a saját felhasználójának. Létezik olyan megoldás is amelyben a makro bázisállomás bizonyos erőforrásokat nem használ kommunikációra, azokat csak a kis cellák használják, így a kis cellás felhasználóknál csökkenthető a makrocellák okozta interferencia [3]. Ugyanakkor egy terhelt rendszer esetén minden erőforrásra szükség lehet, ilyenkor függetlenül az interferencia nagyságától kiosztásra kerülhet minden erőforrás. Kutatási Célok A disszertációban az LTE-A rendszer hozzáférési hálózatát vizsgálom. A hozzáférési hálózat kétrétegű, ahol az első réteg a hagyományos makrocellák alkotta réteg (makrocellás réteg), míg a második réteget a kis cellák alkotják. A vizsgálatok során felhasználom a sztochasztikus geometria kínálta matematikai apparátust [4, 5, 6]. Sztochasztikus geometria a valószínűségszámítás és a geometria kombinációja. Segítségével egy többrétegű hálózat átlagos viselkedését tudjuk matematikailag kezelni [7]. Mindemellett lehetőséget biztosít arra, hogy számos paramétert véletlenként kezeljünk, többek között a bázisállomások elhelyezkedését, amelyet a disszertációmban egy véletlen kétdimenziós pontfolyamattal modellezek. Kutatásom célja, hogy a meglévő szakirodalmat felhasználva egy olyan matematikai modellt dolgozzak ki a kétrétegű kis cellás hálózatokra, amellyel a meglévő bemeneti paraméterekkel (pl. a felhasználói populáció várható értéke), és sok egyéb valószínűségi paraméter mellett is hatékonyan fel lehessen használni kétrétegű LTE kis cellás rendszerek analízisére. A szakirodalomban (a legjobb tudomásom szerint) nem áll rendelkezésre például olyan részletes kis cellákra illeszthető, több fading típusra is kiterjedő interferencia elemzés, mint a disszertációmban bemutatott. Ugyanez igaz a szolgáltatás kiesés valószínűségének (Outage probability) meghatározására is. Továbbá a disszertációmban kettő új, LTE kis cellák modellezésére eddig nem használt kétdimenziós pontfolyamatot mutatok be (ezek az ún. Poisson klaszter folyamatok közé tartozó Thomas- és Matérn klaszter folyamat). A klaszter alapú pontfolyamatoknak azért van létjogosultsága a modellezésben, mert a kis cellák elhelyezkedése egy adott területen nem mindig tekinthető homogénnek (egyenletesnek), ezért egy klaszter alapú modell pontosabb lehet a közkedvelt homogén pontfolyamatnál. 2

Kutatási módszertan A kutatásaim során kétrétegű hálózatot modellezek és a QoS szempontjából fontos teljesítménymutatókat vizsgálok (mint például a szolgáltatás kiesés valószínűsége) a sztochasztikus geometria kínálta lehetőségekkel. A disszertáció célja egy olyan elméleti modell felállítása, amely felhasználható a kétrétegű kis cellás hálózat tervezésekor. Ugyanakkor a bemutatott formulákban sok valószínűségi paraméter is figyelembe vehető (például a kis cellák aktuális helyzete és száma, a rádiós csatornát terhelő fading stb.) mégis gyorsabb, mint a sokszor hosszadalmas szimulációk. Az I. Téziscsoportomban a kétrétegű LTE rendszerben a kis cellák elhelyezkedését egy homogén Poisson Pontfolyamattal (PPP Poisson Point Process) modellezem. Először a kis cellás downlink irányú (bázisállomások okozta) interferencia hatását vizsgálom a meglévő rendszerre. Egy kétrétegű hálózatban, amennyiben egy felhasználó a makrocellához kapcsolódik, akkor a többi kis cella jele interferencia formájában jelentkezik. Márpedig a szolgáltatás minőségét garantálni kell azoknak a felhasználóknak is, akik nem a kis cellákhoz kapcsolódnak valamilyen okból kifolyólag (például nincs csatlakozási jogosultsága egy femtocellához). A disszertációmban bemutatom, hogy a kis cellákból származó kumulált interferencia eloszlás- és sűrűségfüggvénye Lévy eloszlást követ, függetlenül a csatornán lévő gyors fading típusától. A gyors fadingeket a nem egész számú momentumukkal (fractional moment) veszem figyelembe az eloszlás- illetve a sűrűségfüggvény meghatározásakor. Ezt követően megvizsgálom a (makrocellás felhasználóra vonatkozó) szolgáltatás kiesés valószínűséget vagy a komplementer eseményét az ún. lefedettség valószínűségét (Coverage probability) a gyakorlatban alkalmazott gyors fading típusokra (Rayleigh fading, Nakagami-m fading és Rice fading) [8]. Rice fading esetében (tekintettel a fading típus összetettségére) egy alsó korlátot határoztam meg a lefedettség valószínűségére. Az eloszlásfüggvénynek köszönhetően a jel-interferencia arány (SIR Signal-to-interference ratio) eloszlásból meghatározható a kétrétegű rendszer rendszerszintű kapacitása (vagy más néven összkapacitása) is. A II. Téziscsoportomban bemutatom a Poisson klaszter alapú kis cella modellezést. A téziscsoportban kétféle Poisson klaszterre végeztem vizsgálatokat, név szerint Thomas és Matérn klaszter pontfolyamat [9]. A téziseimben megvizsgálom a szolgáltatás kiesés valószínűségét, továbbá matematikai formulát határozok meg melynek segítségével kiszámolható a makrocellás felhasználóra vonatkozó szolgáltatás kiesés valószínűségnek (illetve egy közelítése) a gyakorlatban alkalmazott gyors fading típusokra. Poisson klaszteres elrendezés esetében a kumulált interferencia és a rendszerszintű kapacitás növekedését szimulációkkal vizsgáltam. 3

A téziscsoportokban bemutatott matematikai vizsgálatokból kapott eredmények érvényességét a MathWorks MATLAB programmal készített szimulációkkal ellenőriztem, illetve vetettem össze. Rendszermodell A tézisekben megfogalmazott új tudományos eredmények ismertetése előtt röviden bemutatom az alkalmazott rendszermodellt. A hozzáférési hálózatot két részre bontottam: az első réteg az ún. makrocellás réteg, míg a második réteg foglalja magába a kis cellákat. A rendszermodellt a disszertáció 2. fejezete tárgyalja. A modellalkotás során egy véges területet R vizsgálok, ami a makrocella területének felel meg. A véges közepén (ezt a pontot nevezem ki a koordináta rendszer origójának) található az a makrocellás bázisállomás (enb) ami az R terület lefedettségét biztosítja. A kis cellákat erre a R véges területre telepítik a felhasználók vagy mobil szolgáltatók. A véges terület egy R = m m nagyságú négyzet. Mindkét bázisállomás típus fix, konstans teljesítménnyel ad. P c -vel jelöltem a makrocellás bázisállomás által kibocsátott teljesítményt, míg a kis cellák által kiadott maximális teljesítményt P s -sel jelöltem. A kis cellák által kibocsátott teljesítmény értékét a jelenleg piacon lévő femtocellák közül egy katalógus adata alapján választottam []. Feltételeztem, hogy a kis cellák között nincs semmiféle együttműködés, teljesen függetlenek egymástól, továbbá nincs központi koordináció a makrocellák és a kis cellák között. Ugyanakkor a makrocellák és kis cellák ugyanazon a frekvenciasávon üzemelnek. A makrocellás felhasználó (makro UE) aktuális helyzetét egy z vektorral írom le. A makro felhasználó távolsága a makro bázisállomástól (az origótól) a vektor abszolútértéke adja meg z. A gyors fading hatását a vett jel teljesítményében veszem figyelembe egy h független azonos eloszlású valószínűségi változó segítségével. h valószínűségi változó a gyors fading típusára jellemző eloszlást követ. Részletesen lásd a disszertáció 2. fejezetében. A szakaszcsillapítás (path loss) meghatározásához a gyakorlatban elterjedt SUI Type-C (Stanford University Interim) [] nem logaritmikus verzióját alkalmaztam: g(z) = K i z α, ahol K i konstansban lehet figyelembe venni a vivőfrekvencia miatti terjedési veszteséget, a bázisállomások magasságából adódó konstansokat, vagy akár a falcsillapítás hatását. Ugyanakkor egyszerűsítés végett a konstans értékét K i = -re választom. Természetesen, az egyszerűsítés nélkül is érvényesek a disszertációban bemutatott formulák és módszerek. A kültéri terjedési együttható paraméterét α-val jelölöm. A kétrétegű rendszert interferencia limitáltnak tekintjük vagyis az egyetemes additív Gauss zaj hatását nem vesszük figyelembe a modellben. A lassú fading hatását a Ψ valószínűségi változóval veszem figyelembe. A z pontban tartózkodó makrocellás felhasználó vevő egységében a Φ halmaz kis cellái okozta interferencia, mint vett teljesítmény (kumulatív interferencia) az alábbi képlettel írható 4

fel: I(z) = P s h x g(x z). () x Φ A kis cella és a vevő közti gyors fadinget a h x paraméterrel veszem figyelembe, a szakaszcsillapítás a kis cella és a vevő között pedig g(x z) kifejezéssel. A makrocellás felhasználó esetén a szolgáltatás kiesés valószínűség definíciója alatt azt a valószínűséget értjük, amikor a jel-interferencia arány (SIR) egy adott küszöbérték (T ) alá csökken IP{out}(z) = IP { P c h c g(z) I(z)Ψ T }, (2) ahol a makro enb és a vevő közti gyors fadinget a h c paraméter veszi figyelembe és T a minimálisan szükséges jel-interferencia viszony (SIR) értéke. A komplementer eseményt nevezzük a lefedettség valószínűségének: IP{cov}(z) = IP{out}(z) = IP Kis cellák pozíciójának modellezése { P c h c g(z) I(z)Ψ } T. (3) A disszertációmban három véletlen pontfolyamattal modelleztem a kis cellák síkbeli elhelyezkedését az R területen. Ezek közül az első a (kétdimenziós) homogén Poisson pontfolyamat (PPP). A modell lényege, hogy a kis cellák a R térben egyenletesen szóródnak szét, számuk pedig λ paraméterű Poisson eloszlást követ. A kis cellák halmazát Φ jelöli. Az R térben lévő kis cellák várható értéke könnyen meghatározható = λ R. A kis cellák aktuális koordinátáit az x vektor adja meg és a távolságuk az origóban lévő makrocellától x, ugyanakkor a távolságuk a felhasználótól x z. A PPP modell nagy előnye a kezelhetőség, hiszen a folyamat izotróp és stacionárius. Egy példa a PPP alapú kis cella elhelyezkedésre az a. ábrán látható. A Poisson klaszter alapú modellezés ezzel szemben megtöri a homogén jelleget, ugyanis a kis cellákat fürtökbe (klaszterekbe) tömöríti össze, így pedig a homogén jelleg elveszik. Ennélfogva lesznek olyan területek R -en belül, ahol a kis cellák sűrűsége nagyobb, míg lesznek olyan helyek ahol kisebb lesz ez a sűrűség, vagy épp egyáltalán nincsenek is kis cellák. A klaszter modell jobban közelíti a valóságot, ugyanis a kis cellákat, kiváltképpen a femtocellákat lakásokba telepítik, márpedig a lakótömbök területe véges, így a köztereken, parkokban (ahol a makrocella is elegendő lefedettséget biztosít) a kis cellák intenzitása nulla. Ugyanakkor az itt bemutatott két klaszter modell matematikailag még kezelhető marad, köszönhetően a sztochasztikus geometria által biztosított matematikai apparátusnak. A vizsgálatok során kétfajta klaszter típust mutatok be. Ezek név szerint a Thomas klaszter és a Matérn klaszter [4]. A matematikai kezelhetőséget az biztosítja, hogy mindkét folyamat több folyamat szuperpozíciójából áll elő. Mindkét folyamat alapja egy λ p paraméterű homogén Poisson pontfolyamat. Ezeket a pontokat nevezi a szakirodalom szülő pontoknak (parent 5

25 5 4 2 3 2 x x z Macro UE 5 y(m) z Macro Base Station Small cell y(m) 5 5 Parent point Small cell 2 3 5 4 5 5 4 3 2 2 3 4 5 x (m) (a) Homogén Poisson pontfolyamat 2 Cluster 25 25 2 5 5 5 5 2 25 x (m) (b) Thomas klaszter folyamat 25 2 5 y (m) 5 Parent point Small cell 5 5 2 Cluster 25 25 2 5 5 5 5 2 25 x (m) (c) Matérn klaszter folyamat. ábra. Illusztráció a kétrétegű kis cellás rendszermodellekre points). A szülő pontok halmazát egy (Φ p = {x,x 2,...}) halmaz jelöli, míg az aktuális helyüket az x vektor jelöli. A szülő pontok körül találjuk a leány pontokat (daughter points). A leány pontok egymástól függetlenül azonos eloszlás szerint szóródnak a szülő pont körül. A klasztereket egy N xi = {N i,x i } halmaz jelöli, ahol (N i = {y,y 2,...}) független azonos eloszlású pontok halmaza. N i független a szülő pontoktól, vagyis a szülő pontok nem részei a klasztereknek. A teljes pontfolyamatot a következőképpen írhatjuk le: Φ = i (N i x i ) = x Φ p N x. 6

2. ábra. Illusztráció a gráf modellre A leány pontok száma Poisson eloszlást követ (a várható értékét c jelölöm). A leánypontok távolságát az aktuális szülő ponttól az y adja meg. A Thomas és Matérn klaszter folyamat közti különbség a leány pontok térbeli elhelyezkedése között van. Thomas klaszter folyamat esetén a leány pontok a szülő pontok körül szimmetrikus (nulla várható értékű, δ 2 szórásnégyzetű) normál eloszlás szerint szóródnak az alábbi sűrűségfüggvény szerint: f (y) = ) ( 2πδ 2 exp y 2 2δ 2. (4) Ugyanakkor Matérn klaszter pontfolyamat esetén a leány pontok a szülő pontok körül egyenletesen szóródnak egy R sugarú körben az alábbi sűrűségfüggvény szerint [3]: f (y) = {, πr 2 if y R, egyébként (5) A rendszermodellekben a leány pontok testesítik meg a kis cellákat. Az aktuális pozíciójuk az x i + y vektor adja meg. A klaszter folyamat sűrűségét a λ = λ p c adja meg, ahol c az átlagos kis cella szám egy klaszterben. Egy példa a Thomas- és Matérn folyamat alapú kis cella modellezésre az b és az c. ábrákon található. A modellekből látható, hogy a szülő pontoknak 7

és leány pontoknak az aktuális helye, száma véletlen, a rendszer mégis kezelhető marad hála a sztochasztikus geometria matematikai apparátusának. A rendszermodellről bővebb leírás a disszertáció 2. fejezetében található. Az általános PPP rendszermodellhez képest az I.5. TÉZIS megfogalmazásakor néhány módosítással éltem. A Gráf modell segítségével a város úthálózata modellezhető (egy példa a 2. ábrán látható). A fent említett módosítások a következőek: A felhasználókat a rendszerben homogén Poisson pontfolyamattal modellezzük. A felhasználók számát N c -vel jelöljük. A kis cellák lefedettségének R s sugarú kört feltételezünk, míg gráf modell esetén 2R s szakaszt. A felhasználók a teljes R területen fellelhetőek (fontos megjegyezni, hogy a pontos helyüket továbbra is valószínűségi váltózók adják meg), míg gráf modell esetén csak a i e i útszakaszokra korlátozódik a felhasználók pozíciója (lásd 2. ábra). 8

Kutatási célkitűzés Interferencia vizsgálata:. Téziscsoport 2. Téziscsoport Poisson Pontfolyamat alapú modell Sztochasztikus Geometria alapú vizsgálat Szimulációs vizsgálat Poisson klaszter alapú modell Sztochasztikus Geometria alapú vizsgálat Szimulációs vizsgálat I.. Tézis - I. 2. Tézis, II. a Tézis, Szolgáltatás kiesés/ lefedettség valószínűségének vizsgálata: I. 3. Tézis, I. 4. Tézis, I. 5. Tézis II. b. Tézis, II. 2a. Tézis, II. 2b. Tézis Rendszerszintű kapacitás vizsgálata: I. 6. Tézis -. táblázat. A tézisek csoportosítása, struktúrája Új tudományos eredmények A leírt kutatási célkitűzések három aspektus mentén csoportosíthatók. Az. táblázat mutatja a tézisek struktúráját. Poisson klaszterek esetében csak a szolgáltatás kiesés valószínűségét vizsgáltam a sztochasztikus geometria által biztosított matematikai apparátussal. Ugyanakkor a teljesség kedvéért az interferencia eloszlásról és az átlagos rendszerszintű kapacitásbővülésről szimulációs eredményeket mutatok be a disszertációmban, ám ezeket a tézisfüzetemben nem ismertetem. Kis cellák modellezése homogén Poisson Pontfolyamattal Ebben a pontban az I. Téziscsoportot mutatom be, amely 6 db tézisből áll. A téziscsoportban kimondott tézisek mindegyikében a kétrétegű (two-tier) kis cellás rendszereket vizsgálom a sztochasztikus geometria segítségével. A kis cellák elhelyezkedését homogén Poisson pontfolyamattal modelleztem. Először is a kis cellák által okozott kumulált interferenciára adok egy eloszlás- és sűrűségfüggvényt, majd ezt követően meghatározom a z helyen lévő makrocel- 9

lás felhasználó szolgáltatás kiesési valószínűségét (lassú-, majd több gyors fading típusra is). A szolgáltatás kiesés valószínűségének meghatározására két módszert is bemutatok a disszertációmban. Az első módszerrel az interferencia eloszlásából határozzuk meg a szolgáltatás kiesés valószínűségét. Míg a másik javasolt módszer a sztochasztikus geometria által biztosított PGFL-t (Probability Generating Functional) veszi alapul (a definíciót lásd a disszertáció 2.2.5 fejezetében). Végezetül egy formulát adok amivel a kétrétegű hálózat összkapacitását lehet meghatározni. A tézisek bemutatása előtt bemutatom a homogén Poisson pontfolyamatra jellemző PGFLet (lásd a disszertáció 2.2.5 fejezetében a részletes magyarázatot): { } G N (v) = exp λ [ ν(x)] dx. (6) R I.. TÉZIS [J], [J5], [C6] Igazoltam, hogy ha a kétrétegű (two-tier) OFDMA rendszerekben az egymástól független üzemelő small cellák síkbeli elhelyezkedését egy homogén Poisson pontfolyamattal modellezzük és kültéri terjedési együttható értéke (α = 4), úgy a tér bármely pontjában elhelyezett vevőben a kumulált interferencia (I(z)) Lévy-eloszlást követ. Az eloszlásés sűrűségfüggvény paramétereiben figyelembe veszem a csatornán lévő gyors fadinget is: c exp ( c ) 2x f I (x) = 2π x 3/2, (7) F I (x) = IP{I x} = erfc ( c 2x Az eloszlás hely paramétere (µ), míg a skála paramétere: ). (8) ( c = π 3 λt 2 Ki E{ 2 h}) P s /2. (9) A gyors fading típusától függetlenül a kumulált interferencia továbbra is Lévy eloszlású marad. A fenti képletben szereplő erfc(x) = erf(x) = 2 π x e t2 dt a komplementer Gauss-féle hibafüggvény [4]. λ a Poisson eloszlás intenzitás paramétere. A homogén Poisson pontfolyamatra alkalmazható Slivnyak elmélete [5], melynek a következménye, hogy a vevő koordinátájától függetlenül az interferencia eloszlása mindenhol ugyanaz. Ezért az origót választom (I()) az interferencia megfigyelési pontjának. Vegyük észre, hogy a gyors fading a h paraméter nem egész számú hatvány momentumával (E{ h}) szerepel a formulában. A különböző gyors- és lassú fading típusokra kiszámoltam a /2. momentum értékét (lásd a 2. táblázat bővebben a disszertáció 2.2.4 fejezetében). A tézisben bemutatott formulából kapott eloszlásfüggvényeket a (8) alapján számoltam ki a különböző fading típusra jellemző E{ h} behelyettesítésével. A tézisben bemutatott matematikai formula pontosságát MATLAB programmal futtatott szimulációk segítségével validáltam (3. ábra).

Fading típusok Fading momentumok Fading nélküli eset: E{ h} =, Rayleigh fading: E{ h} = Γ ( + α 2 ) ( = Γ 32 ) = π Nakagami-m fading: E{ h} = (2m )!! 2 m (m )! m π, Rice fading: E{ [ h} = +K e K 2 2, ( + K)I ( K2 ) + K I ( K2 ) ] π 2, Weibull fading: E{ h} = γ Γ ( + 2n), Lognormál fading: E{ /Ψ} = e ( /2 µ+σ 2 /8). 2. táblázat. E{ h} Momentumok a különböző fading típusokra A szimulációk során ugyanazokat az értékeket használtam fel (λ, P s stb.), mint amelyeket a Lévy eloszlás (8) és (9) egyenletekbe helyettesítettem be, így a tézisben szereplő formulákból származó eredmények és a szimulációs eredmények összevethetőek. Az empirikus eredményeket amelyeket a szimuláció eredményeként kaptam 4 futás eredményéből rajzoltam fel. Természetesen minden egyes iterációban a small cellák síkbeli helyzete egy kétdimenziós PPP szerint alakult. A fadinget reprezentáló h változó értéke pedig az aktuális gyors fadingre jellemző eloszlás szerint sorsolta a szimulátor (bővebben lásd a disszertáció 2.2.4 fejezete). A fading mentes esetet minden ábrán feltüntettem referenciaként és két átlagos kis cella számra ( = 5 és = ) is kiszámoltam az eloszlásfüggvényeket.

.9.75.7 =5 F(x) =Pr{I x}.7.5.3.2..9 =5 = Without Fast Fading (analytic c.d.f) Without Fast Fading (empirical c.d.f) Rayleigh fading (analytic c.d.f) Rayleigh Fading (empirical c.d.f) Nakagami 4 fading (analytic c.d.f) Nakagami 4 Fading (empirical c.d.f) 9 8 7 6 x [W] F(x) =Pr{I x} 5.55.5 5 (a) Nakagami-m fadinges csatorna N = s Without Fast Fading (analytic c.d.f) Without Fast Fading (empirical c.d.f) Rayleigh fading (analytic c.d.f) Rayleigh Fading (empirical c.d.f).35 Nakagami 4 fading (analytic c.d.f) Nakagami 4 Fading (empirical c.d.f).3 9 8 x [W] 7.75.7 =5 F(x) =Pr{I x}.7.5.3.2. =5 = Without Fast Fading (analytic c.d.f) Without Fast Fading (empirical c.d.f) Rice fading K=/2 (analytic c.d.f) Rice fading K=/2 (empirical c.d.f) Rice fading K=2 (analytic c.d.f) Rice fading K=2 (empirical c.d.f) 9 8 7 6 x [W] F(x) =Pr{I x} 5.55.5 5.35 (b) Rice fadinges csatorna = Without Fast Fading (analytic c.d.f) Without Fast Fading (empirical c.d.f) Rice fading K=/2 (analytic c.d.f) Rice fading K=/2 (empirical c.d.f) Rice fading K=2 (analytic c.d.f) Rice fading K=2 (empirical c.d.f) 9 8 x [W] 7.9 5 =5 F(x) =Pr{I x}.7.5 =5 = F(x) =Pr{I x}.75.7 5.55 =.3.2. Without Fast Fading (analytic c.d.f) Without Fast Fading (empirical c.d.f) Weibull Fading n=2 (analytic c.d.f) Weibull Fading n=2 (empirical c.d.f) Weibull Fading n= (analytic c.d.f) Weibull Fading n= (empirical c.d.f) 9 8 x [W] 7 6.5 Without Fast Fading (analytic c.d.f) 5 Without Fast Fading (empirical c.d.f) Weibull Fading n=2 (analytic c.d.f) Weibull Fading n=2 (empirical c.d.f) Weibull Fading n= (analytic c.d.f).35 Weibull Fading n= (empirical c.d.f).3 9 8 x [W] 7 (c) Weibull fadinges csatorna 3. ábra. Eloszlásfüggvények eredményeinek szimulációkkal történő validálása 2

I.2. TÉZIS [C6] Az I.. TÉZIS-t felhasználva, OFDMA rendszerre egy kifejezést adtam a makrocellás felhasználók szolgáltatás kiesés valószínűségének meghatározására amennyiben a csatorna kizárólag független lognormál fadinggel terhelt: { /Ψ } π 3/2 P s Ki E t IP{out}(z) = erfc 2 R T f Ψ (t)dt, () P c g(z) ahol f Ψ (t) a nulla várható értékű db szórású lognormál fading sűrűségfüggvénye: ( ) f Ψ (t) = 2π ln()σ t exp (ln(t))2 2( ln()σ. () ) 2 A szolgáltatás kiesés valószínűség definíciójából kiindulva (3): { P c } /Ψg(z) IP{out}(z) = IP T = IP I(z) { I(z) Pc g(z) T Ψ }. (2) Felhasználva a teljes valószínűség tételét az alábbi alakban írható fel az egyenlet: } ( IP{out}(z) = IP {I(z) Pc g(z) ) fψlog (t)dt. (3) Tt }{{} Lévy eloszlás c.d.f Végezetül helyettesítsük { be az interferenciára levezetett Lévy eloszlás függvényt és kész is a /Ψ } tétel igazolása. E értéke a 2. táblázat alapján kiszámítható...2.3 Pr out ( z) = Pr{SIR < T}.5 z = m, w/o lognormal fading z = 2 m, w/o lognormal fading.7 z = m, lognormal fading (,db) z = 2 m, lognormal fading (,db) z = m, Simulation w/o lognormal fading z = 2 m, Simulation w/o lognormal fading.9 z = m, Simulation lognormal fading (,db) z = 2 m, Simulation lognormal fading (,db) 6 4. ábra. () egyenlet alapján a szolgáltatás kiesés valószínűsége 3

I.3. TÉZIS [C6] Lévy eloszlás alapú szolgáltatás kiesés valószínűség meghatározása: A kis cellák alkalmazása során keletkező kumulált interferencia Lévy eloszlását felhasználva, matematikai kifejezést adtam a makrocellás felhasználók szolgáltatás kiesés valószínűségének meghatározására, amennyiben a csatorna Rayleigh vagy Nakagami-m fadinggel terhelt: IP{out} = erfc π 3/2 P s Ki E { } h c h hm e hm 2 R T P c z α ) m m Γ(m) dh. (4) A tételben bemutatott képlet levezetését a disszertációm 3.2.2. alfejezete ismerteti. A főbb lépések hasonlóak a Lognormál fadingre vonatkozó tézisben ismertetett lépésekkel. E { h c } értéke a 2. táblázat alapján a megfelelő gyors fadingre kiszámítható. I.4. TÉZIS [J2], [J3] PGFL alapú szolgáltatás kiesés valószínűség meghatározása: Kidolgoztam egy (általános) módszert aminek a segítségével egy Nakagami-m fadinggel terhelt csatorna esetén a felhasználók lefedettség valószínűsége ( IP{cov}(z)) kiszámolható, amennyiben a kis cellákat (mint interferencia forrásokat) homogén Poisson pontfolyamattal modellezünk: IP{cov}(z) = m k= ( ) k k! ] [s k dk ds k L I(z)(s). (5) }{{} s= T m G (ν) P c g(z) A tézisben bemutatott formula részletes levezetése a disszertációm 3.2.2.2. alfejezetében található. Az itt bemutatott formula, azért tekinthető általánosnak, mert még a korábbi formulák az interferencia Lévy eloszlását vették alapul, addig itt a PGFL (6) segítségével kaphatjuk meg a szolgáltatás kiesés valószínűségét. A Lévy eloszlás feltétele ugyanis, hogy a kültéri exponens értéke α = 4 legyen. Az itt bemutatott eljárásnál, ennek a feltételnek nem kell teljesülnie, bármilyen nem negatív α érték esetére is meghatározható a szolgáltatás kiesés valószínűsége. Ha a Nakagami fading m paraméterének értékét m = -t választjuk (vagyis Rayleigh fadinges a csatorna) a formula az alábbi egyszerű alakra változik: IP{cov}(z) = L I(z) (s), s= T P c g(z) ami megegyezik a szakirodalomban lévő eredménnyel [2, 3]. A homogén Poisson pontfolyamathoz tartozó PGFL-t (6) behelyettesíthetjük az interferencia Laplace transzformált alakja helyet: IP{cov}(z) = m ( ) k k= k! 4 [ s k dk ds k G (ν) ]. (6) s= T m P c g(z)

Outage Probability [Pr out ] 2 Analyitic z = m (PGFL) Analytic z = 2 m (PGFL) Simulation z = m Simulation z = 2 m Analyitic z = m (Lévy) Analyitic z = 2 m (Lévy) 3 5 (a) PPP m = (Rayleigh fading) (b) PPP m = 4 (Nakagami fading) Outage Probability [Pr out ] 2 Analytic z = m Analytic z =2 m Simulation z = m Simulation z = 2 m Outage Probability [Pr out ] 2 Analytic z = m Analytic z =2 m Simulation z = m Simulation z = 2 m 3 2 3 4 5 3 2 3 4 5 (c) PPP K =,5 (Rice fading) (d) PPP K = (Rice fading) 5. ábra. Szolgáltatás kiesés valószínűségének meghatározása PPP rendszermodellben, Rayleigh, Nakagami-m és Rice fading esetében Rayleigh fading esetén (m = ) a szummázás eltűnik és az alábbi formulát kaphatjuk: IP{ out }(z) = exp λ p ( )dx. (7) R 2 + Ps T P c z α x z α A Lévy eloszláson alapuló eredményeket a 4. egyenlet alapján, míg a PGFL alapú eredményeket (6) és (7) segítségével számoltam ki. Mindkét módszert eredményét szimulációkkal validáltam. A kapott ábrák az 5a és 5b. ábrákon láthatóak, ahol a szaggatott vonalak a PFGL alapú eredmények a markerek a Lévy alapú eredmények és "teli" markerek a szimulációk eredményei, mint Rayleigh, mint Nakagami-m (m = 4) esetén. Az eredményekből látható, hogy a Lévy- és PGFL alapú módszer teljesen ekvivalens, amennyiben α = 4, továbbá a szimulációk visszaigazolják a tézisekben szereplő módszerek pontosságát. 5

I.5. TÉZIS [J4] Egy formulát vezettem le, amivel egy Rice fadinggel terhelt csatorna esetén megadható a makrocellás felhasználó lefedettségének valószínűségére, amennyiben a femtocellákat (mint interferencia forrásokat) Poisson pontfolyamattal modellezzük. IP{cov}(z)=e K m= K m m! m k= A kapott képletből egy alsó korlátot is definiáltam: IP{cov}(z) e K N m= K m m! ( ) k s k d k k! ds k L I(z)(s) m ( ) k s k k= k! d k ds k G N(ν) (K+)T s= P c g(z) (K+) T s= P c g(z). (8). (9) A tézis részletes bizonyítása a disszertációm 3.2.3. alfejezetében található. Ha a Rice fading K paraméterének K = -t választunk (vagyis Rayleigh fadinges a csatorna) a formula az alábbi egyszerű alakra változik: IP{cov}(z) = L I(z) (s) = G N (ν), s= T P c g(z) ami megegyezik a szakirodalomban lévő eredménnyel [2, 3]. Ismét behelyettesíthetjük a PGFL-t az interferencia Laplace transzformáltja helyett. Továbbá, a PPP-hez tartozó PGFL sajátosságából fakadóan a páratlan fokú deriváltjai negatív előjelűek, ezért a szumma csak pozitív elemeket tartalmaz. Így pedig lehetőség adódik a végtelen számú összeadást korlátozni egy véges számúra (N), vagyis a lefedettség valószínűségére egy alsó korlátot kapunk (szolgáltatás kiesés valószínűségére pedig felsőt). A tézisben szereplő képletből kapott eredményeket az 5c és 5d. ábrán láthatjuk K =,5 és K = esetre. Az alsó korlátra kapott eredményeket összevetettem a MATLAB-ban végzett szimulációk eredményeivel. Az ábrákon látható, hogy a képlet csak egy alsó korlátot ad meg, mégis eléggé pontosan közelíti a szimulációkból származó eredményeket. Összehasonlítottam a lefedettség valószínűségét különböző kültéri terjedési exponensekre is mindhárom gyors fading típusnál (6. ábra). = 5 kis cella esetén, z = m távolságot feltételezve megvizsgáltam a különböző küszöbértékek (T ) mellett hogyan alakul a lefedettség valószínűsége. A kapott eredményeket ebben az esetben is szimulációkkal ellenőriztem. 6

.9 Coverage probability [Pr cov ].7.5.3 α=3 Analytic α=4 Analytic α=5 Analytic α=3 Simulation α=4 Simulation α=5 Simulation.2 8 6 4 2 2 4 6 8 T [db] (a) Rayleigh fading (m = ).9 Coverage probability [Pr cov ].7.5 α=3 Analytic α=4 Analytic α=5 Analytic α=3 Simulation.3 α=4 Simulation α=5 Simulation.2 8 6 4 2 2 4 6 8 T [db] (b) Nakagami fading (m = 4).9 Coverage Probability Pr cov.7.5.3 α = 3 α = 4 α = 5 α = 3 Simulation α = 4 Simulation α = 5 Simulation 8 6 4 2 2 4 6 8 T [db] (c) Rice fading K =,5 6. ábra. A lefedettség valószínűsége különböző fading típusoknál a kültéri terjedési hányados (α) figyelembevételével 7

SIR [db] Áteresztőképesség [kbit/s] SIR [db] Áteresztőképesség [kbit/s] -2 db kbit/s 9 db 34 kbit/s -9 db 5 kbit/s 2 db 48 kbit/s -6 db 38 kbit/s 5 db 62 kbit/s -3 db 7 kbit/s 8 db 74 kbit/s db kbit/s 2 db 85 kbit/s 3 db 7 kbit/s 24 db 9 kbit/s 6 db 25 kbit/s 27 db 93 kbit/s 3. táblázat. Áteresztőképesség egy MIMO 2 2 konfiguráció esetén [5] I.6. TÉZIS [C3], [C4] A Kétrétegű LTE hálózatok esetére rendszerszintű kapacitás kiszámítására alkalmas formulát definiáltam, amennyiben kis cellák helyét homogén Poisson pontfolyamattal modellezzük: C full = IP { } U,...,U Nf U U Nf C s j + + C s N c i U i j Nf + C m k = U,...,U Nf j = j N f = k= ( ) = N PRB e λ Cfull s +Cm full, (2) ahol az első szumma a felhasználók eloszlásainak kombinációját gyűjti össze a small cellákban, IP { U,...,U Nf } reprezentálja ennek a valószínűségét (ez valójában Poisson valószínűségi változók szorzata). Végezetül az egyes a zárójelben szereplő tagok az egyes kis cellákban a felhasználóknak kiosztható szabad kapacitást jelentik. Az utolsó kifejezés a makrocellában lévő szabad (kiosztható) kapacitást jelöli. Megjegyezzük, hogy az aktív kis cellák száma (aktív a kis cella, ha legalább egy felhasználó tartózkodik benne) binomiális eloszlást követ e λ, paraméterekkel (a részletesebb leírás a disszertáció 3.4.2. alfejezetében), ahol λ = { Nc R 2 s π R N c 2R s i e i Két dimenziós PPP kör alakú kis cellás lefedettséggel, esetén Gráf modell esetén vonal alapú lefedettséget feltételezve Az átlagos aktív kis cella szám megkapható a binomiális eloszlás várható értékével: e λ. Ha k darab aktív kis cellában van felhasználó, akkor a (2) egyenlet az alábbiak szerint alakul: Cfull s +Cm full, hiszen a makrocellát is hozzá kell adni. Ennél fogva a rendszerszintű kapacitás: (e λ + )C full. A vizsgálatokban ON/OFF modellt feltételeztünk vagyis ha egy felhasználó van a kis cellában a teljes rendelkezésre álló erőforrást megkapja az enb-től, míg ha ketten vannak csak a teljes erőforrás felét és így tovább. Felhasználva az aktív kis cellákra levezetett összefüggést: ) C full = N PRB (e λ Cfull s +Cm full. 8

ahol a N PRB az LTE rendszerben lévő adatforgalomra felhasználható PRB-k száma. Jelen eredményeket N PRB = -ra számoltam ki. A numerikus eredményeket a SIR eloszlásból és a 3. táblázat segítségével határoztam meg. A rendszerszintű kapacitás a két kis cella elrendezési modell esetén a 7a. ábrákon látható. 9

Total system throughput [Mbps] in logarithmic scale 6 5 4 3 2 PPP model Random graph PPP model 2 4 6 8 2 4 6 8 2 log 2 (N f ): Logarithm of the number of Small cell base stations (a) Átlagos rendszerszintű kapacitás a kis cellák számának függvényében Total system throughput [kbps] in logarithmic scale 6 5 Simulation results (PPP) Analytic results (PPP) 2 3 4 5 log 2 (N f ): Logarithm of the number of Small cell base stations (b) Szimulációs eredmények összehasonlítása a tézisben javasolt formula eredményeivel 7. ábra. Rendszerszintű kapacitás meghatározása a kis cellák számának figyelembevételével 2

Kis cellák modellezése Poisson klaszter folyamattal A Poisson klaszter alapú kis cella modellezés eredményeiből álló II. Téziscsoportot a disszertációm 4. fejezete tárgyalja részletesen. A téziscsoportban 4 db tézist fogalmaztam meg. A tézisek bemutatása előtt bemutatom a klaszter folyamatokat jellemző PGFL-et: G N (ν) = exp { λ p R [ exp { c [ ν(x + y) f (y)dy R ]}] } dx, (2) ahol f (y) helyére a klaszter folyamatnak megfelelő (4) vagy (5)-t helyettesítjük be, míg c az egyes klaszterekben lévő kis cellák várható értékét adja meg. Thomas klaszter folyamat II.a. TÉZIS [J2] Kidolgoztam egy matematikai formulát amivel a Rayleigh fadinggel terhelt csatorna esetén a felhasználók szolgáltatás kiesés valószínűsége meghatározható, amennyiben a kis cellákat (mint interferencia forrásokat) Thomas klaszter pontfolyamattal modellezzük: ahol IP{out}(z) = exp ( λ p exp ( c(κ ray ) ) dx) R s= T P c g(z), (22) ) κ ray = exp ( y 2 2δ 2 2πδ 2 R + sp s dy. (23) g(x + y z) Továbbá egy közelítés adtam meg: IP{out}(z) exp ( λ p exp ( c( ˆκ ray ) ) ) dx. (24) R Felhasználva a Jensen-egyenlőtlenséget κ ray helyére ˆκ ray kerül behelyettesítésre a (22)-be. Bővebb leírást az átalakításról a disszertáció 4..2.. alfejezete ad. ˆκ ray = + Ps T P c z α ) α ((δ 2 + x z 2 ) 2 4 + 2δ 4 + 4δ 2 x z 2. (25) Eredmények: Az eredményeket (24) segítségével számoltam ki és vetettem össze a szimulációk eredményével ami a 9a. ábrán látható. A matematikai formulából származó eredményeket ebben az esetben is összevetettem a szimulációk eredményével és egy szoros felső korlátot adnak a szolgáltatás kiesés valószínűségére. 2

Poisson klaszter folyamatoknál a szolgáltatás kiesés valószínűsége nagyban függ a klaszterek számától és a bennük lévő kis cellák számától. Ugyanakkor, ellentétben a PPP modellel, itt már az adott területen lévő kis cellák várható értéke ( ) önmagában már nem biztosít elégséges információt. Azt természetesen tudjuk, hogy = λ p R c. Nézzük meg az alábbi példát, ahol feltételezzük, hogy = 5. Előfordulhat olyan eset, ahol a szülő pontok várható értéke 5 és minden klaszter egy darab kis cellát tartalmaz átlagosan (c = ), de olyan eset is előfordulhat, hogy egy darab klaszterünk van és benne c = 5. Mindkettő esetben = 5, de látható, hogy a két eset teljesen különbözik egymástól. Outage Probability [Pr out ].9.7.5.3 = = 2 = 3 = 4.2. 6 4 2 2 β (a) T = db Outage Probability [Pr out ].9.7.5.3.2 = = 2 = 3 = 4. 6 4 2 2 β (b) T = 5dB 8. ábra. Thomas klaszter estén a szolgáltatás kiesés valószínűsége a klaszter jellegét mutató β függvényében (Rayleigh fading) 22

Ezért bevezetünk egy új változót az egyszerűbb jelölés kedvéért: β = c λ p R. Kis β értékek esetén azt az esetet vizsgáljuk, ha sok klaszterünk van, de bennük kevés kis cella található. Nagy β értékek esetén pedig kevés klaszterünk van, de bennük átlagosan sok kis cella található. Az eredmények különböző SIR küszöb (T ) értékekre a 8. ábrán láthatóak. A függőleges tengelyen a szolgáltatás kiesés valószínűségét ábrázoltuk, míg a vízszintes tengelyen a β értékét logaritmikus skálán. II.b. TÉZIS [J3] A II.a. TÉZIS-t általánosítottam, amelynek a segítségével egy Nakagami-m fadinggel terhelt csatorna esetén a makrocellás felhasználók szolgáltatás kiesés valószínűségére egy közelítés adható, amennyiben a kis cellák elhelyezkedését Thomas klaszter folyamattal modellezzük: m IP{ out }(z) k= ( ) k k! [ s k dk ds k exp ( λ p exp(c(κ naka ))dx)], (26) R s= T m P c g(z) ahol ) κ naka = exp ( y 2 2δ 2 2πδ 2 ( R + sp s m g(x + y z)) m dy. Továbbá egy közelítést adtam meg: és m IP{out}(z) k= ˆκ naka = ( [ ( ) k k! s k dk ds k exp ( λ p exp(c( ˆκ naka ))dx) ] R s= T m P c g(z) (27) ) ( ) + Ps T P c z α (δ 2 + x z 2 ) 2 α m. (28) + 2δ 4 + 4δ 2 x z 2 4 Hasonlóan az előző esethez a (23)-ban szereplő x a szülőpontok koordinátáit tartalmazza, míg y a kis cellák koordinátáit x vektor körül. A II.b. TÉZIS egy általánosított képlet, vagyis Rayleigh fading esetén (ha m = ) a (24) egyenlet leegyszerűsödik: IP{out}(z) exp ( λ p exp( c( ˆκ ray ) ) ) dx, R 2 ami megfelel a II.a. TÉZIS eredményének. 23

Eredmények: A II.a. TÉZIS ás a II.b. TÉZIS esetén is csak a közelítő értéket számoltam ki, és vetettem össze a szimulációk eredményeivel. Azonban még így is jó közelítést kaptam. Tekintettel a Thomas klaszter sajátosságaira különböző c értékere is elvégeztem a kalkulációt. Az eredmények a a 9a. ábrán és a 9b. ábrán láthatóak. Itt a szolgáltatás kiesés valószínűségét vizsgáltam a kis cellák várható értékének függvényében. Ahogy azt láttuk a 9b. ábrán is a Outage Probability [Pr out ] 2 Analytic c =5 Analytic c = Simulation c =5 Simulation c = 3 5 (a) Rayleigh fading (m = ) és z = m Outage Probability [Pr out ] 2 Analytic c =5 Simulation c =5 Analytic c = Simulation c = 5 (b) Nakagami-m (m = 4) és z = m 9. ábra. A szolgáltatás kiesés valószínűsége Thomas klaszter esetén különböző Nakagami-m fading típusra (T = ) 24

Pr outage.2 Pr out.2 E 2 E 3 γ E 4 E 5 E 6 2 3 4 5 6 c 7 8 9 E 2 E 3 E 4 γ E 5 E 6 2 3 4 5 6 c 7 8 9 (a) λ p = 4 4 (b) λ p = 2 4. ábra. A szolgáltatás kiesés valószínűsége γ értékének függvényében.9.7 Pr out Pr out.5.2 c = c = 2 c = 4 c = 6 5 5 T [db] 5 5 T [db] (a) Szolg. kiesés valószínűsége vs. T, λ p = 4 4 (b) Szolg. kiesés valószínűsége vs. T, λ p = 2 4. ábra. Szolgáltatás kiesés valószínűsége különböző T értékekre, z = m, m = 4.3.2. c = c = 2 c = 4 c = 6 szolgáltatás kiesés valószínűségére nagy hatással van a klaszterekben lévő kis cellák száma. A következő vizsgálatban a klaszterek sűrűségét λ p = 4 4 és λ p = 2 4 -re állítottuk és a klaszterekben lévő kis cellákat a várható értékük függvényében vizsgáltam. Ebből következik, ha a R = 5 m 5 m, akkor a szülő pontok várható értéke és 5. A Nakagamim fading paramétere m = 4 és a T értéke mellett néztük a szolgáltatás kiesés valószínűségét (. ábra). Eddig a Thomas klaszter alapú vizsgálatokat rögzített makro és kis cellás adási teljesítmény mellett (2 W és 2 mw) határoztuk meg úgy, hogy a szakaszcsillapítási (path loss) modellben lévő konstansok K i egységnyire állítottuk. Bevezetek egy új változót: γ = Ps K i P c K c T. Így a szakaszcsillapítási modellben alkalmazott konstans paraméterei illetve egyéb teljesítmény 25

arányok esetén is meghatározható a szolgáltatás kiesés valószínűsége. A szolgáltatás kiesés valószínűségét a γ függvény értékének figyelembevétele mellett vizsgáltam a. ábrán. Matérn klaszter folyamat II.2a. TÉZIS [C5] Kidolgoztam egy eljárást amivel a Rayleigh fadinggel terhelt csatorna esetén a felhasználók szolgáltatás kiesés valószínűségére egy közelítés adható, amennyiben a kis cellákat (mint interferencia forrásokat) Matérn klaszter pontfolyamattal modellezzük. ahol ( IP{cov}(z) = exp λ p exp ( c(κ ray ) ) dx) ] R s= T P c g(z), (29) κ ray = πr 2 R + sp s dy. (3) g(x + y z) Hasonlóan a Thomas klaszter folyamatnál bemutatott eljáráshoz, itt is használhatjuk a Jensen-egyenlőtlenséget, hogy egy közelítést adjuk κ ray -ra. Az alábbi egyszerűbb alakot kapjuk ˆκ ray -ra: κ ray ˆκ ray = + Ps T P c z α ) α 4 ( x z 4 +2 R 2 x z 2 + 25 R4. (3) Ha ezt helyettesítjük be a (29) egyenletbe egy közelítést kaphatunk a lefedettség valószínűségére Matérn klaszter pontfolyamat esetén: ( IP{cov}(z) exp λ p exp ( c( ˆκ ray ) ) )] dx } R {{ } G (ν) s= T P c g(z). (32) II.2b. TÉZIS [C5] A II.2a. TÉZIS-t általánosítottam, amelynek a segítségével egy Nakagami-m fadinggel terhelt csatorna esetén a makrocellás felhasználók szolgáltatás kiesés valószínűségére egy közelítés adható, amennyiben a kis cellák elhelyezkedését Matérn klaszter folyamattal modellezzük: IP{cov}(z) = m k= ( ) k k! [ s k dk ds k ( exp λ p exp ( c(κ naka ) ) )] dx } R {{ } G (ν), (33) s= T m P c g(z) 26

ahol κ naka = πr 2 R Továbbá a közelítő értékhez a képlet: [ ( ) k IP{cov}(z) k! m k= s k dk ds k exp ( + sp s m g(x + y z)) m dy. (34) ( λ p exp(c( ˆκ naka ))dx) ] R s= T m P c g(z), (35) ahol ˆκ naka = + Ps T P c z α ) α 4 ( x z 4 +2 R 2 x z 2 + 25 R4 m. (36) Eredmények: A 2a. ábra és a 2b. ábra mutatja be a közelítésekből ((32) és (35)) kapott eredményeket. Természetesen itt is összevetettem a bemutatott formulákból származó eredményeket a szimulációk eredményeivel és azt kaptam, hogy a pontos felső korlátot adnak a közelítő képletek mind Rayleigh, mind Nakagami-m fading esetén. Ezt követően a PPP eset során kapott lefedettség valószínűségeket hasonlítottam össze a Matérn klaszteres eredményekkel T függvényében. Az eredményeket a 3a.ábra és a 3b. ábra illusztrálja. Ebben az esetben is futtattam szimulációkat, a szimulációs eredmények (markerek az ábrákon) 4 szimulációs kísérlet átlagai. A vizsgálatok során R = 2 m sugarú területet határoztam meg a klaszterek kiterjedésére. A szimulációk és a formulák kiszámítása ugyanazokkal a bemeneti paraméterekkel történt (P c,p s,t,r, stb.). Ugyanakkor két átlag kis cella értékre ( = 25 illetve = 5) is elvégeztem a vizsgálatokat, mind Rayleigh, mind Nakagami-m esetében. ( ) Végezetül, pedig a távolság z és makro- illetve kis cellás adóteljesítmény arányában P c P s vizsgáltam (makrocellás felhasználó esetében) a lefedettség valószínűségét. A 3c. ábra és a 3c. ábra mutatja be az eredményeket, amiket szintén a képletek ((32) és (35)) segítségével határoztam meg. Ezúttal már kifejezetten csak a Matérn klaszter esetet vizsgáltam. 27

Outage Probability [Pr out ] 2 Analytic c =5 Analytic c = Simulation c =5 Simulation c = 3 5 (a) Rayleigh fading (m = ) és z = m Outage Probability [Pr out ] 2 Analytic c =5 Analytic c = Simulation c =5 Simulation c = 3 5 (b) Nakagami-m (m = 4) és z = m 2. ábra. A szolgáltatás kiesés valószínűsége Matérn klaszter esetén különböző Nakagami-m fading típusra (T = ) 28

Probability of Coverage Pr cov.9.7.5.3.2 PPP Rayleigh Analytic PPP Nakagami 4 Analytic PPP Rayleigh Simulation PPP Nakagami 4 Simulation Matérn Rayleigh Analytic Matérn Nakagami 4 Analytic Matérn Rayleigh Simulation Matérn Nakagami 4 Simulation Probability of Coverage Pr cov.7.5.3.2 PPP Rayleigh Analytic PPP Nakagami 4 Analytic PPP Rayleigh Simulation PPP Nakagami 4 Simulation Matérn Rayleigh Analytic Matérn Nakagami 4 Analytic Matérn Rayleigh Simulation Matérn Nakagami 4 Simulation.. 8 6 4 2 2 4 6 8 T [db] 8 6 4 2 2 4 6 8 T [db] (a) = 25,c = 5 (b) = 5,c = 5.9.9.7.7 Pr cov.5 Rayleigh Pc P s = 2 Pr cov.5.3.2. Rayleigh Pc P s = 3 Rayleigh Pc P s = 4 Nakagami-4 Pc P s = 2 Nakagami-4 Pc P s = 3 Nakagami-4 Pc P s = 4.3.2. Rayleigh Pc P s = 2 Rayleigh Pc P s = 3 Rayleigh Pc P s = 4 Nakagami-4 Pc P s = 2 Nakagami-4 Pc P s = 3 Nakagami-4 Pc P s = 4 5 5 2 z [m] 5 5 2 z [m] (c) = 25,c = 5 (d) = 5,c = 5 ( ) 3. ábra. A lefedettség valószínűsége különbőző T, ( z ) és adóteljesítmény hányadosok P c P s függvényében 29

Az eredmények alkalmazása A disszertációmban bemutatott formulák segítséget nyújthatnak a mobil szolgáltatóknak, amennyiben kétrétegű kis cellás LTE-A hálózatot szeretnének tervezni/méretezni. A bemutatott modellek számos általános paramétert tartalmaznak, ennélfogva a bemutatott formulák finomhangolhatóak az adott terület (városrész, kerület, terület stb.) sajátosságait figyelembe véve. A bemutatott képletek sztochasztikus geometrián alapulnak. A sztochasztikus geometria segítségével egy többrétegű hálózat átlagos viselkedését tudjuk matematikailag kezelni. A disszertációmban igyekeztem felhasználni ezt a valószínűségszámításon és geometrián alapuló matematikai apparátust egy, a mérnöki világban jelentkező problémára. A téziseimet két téziscsoportba szerveztem. Az első téziscsoportomban a Poisson pontfolyamat alapú modellt vizsgálom, míg a második téziscsoportomban a Poisson klaszter alapú modell (egész pontosan a Thomas- és Matérn klaszter pontfolyamatokat). Az I. Téziscsoportban bemutatott kis cellás interferencia leírással többféle fading modell vehető figyelembe (például Rayleigh, Rice, Nakagami, Weibull) egy vizsgálandó, vagy tervezendő kétrétegű hálózat esetén. A tézisemben igazoltam, hogy a kumulált kis cellák okozta interferencia leírható egy szimmetrikus α stabilis (SαS) eloszlással, egész pontosan Lévy eloszlással. Ezen felül igazoltam, hogy a Lévy eloszlással történő leírás érvényes marad az összes vizsgált gyors fading típusnál. Ezzel pedig a mobil szolgáltatók meg tudják becsülni az interferencia nagyságát egy adott területen, úgyhogy ehhez (néhány katalógus adatot leszámítva pl. kis cellás adóteljesítmény) mindössze a kis cellák várható értékére van szükség. A disszertációban ismertettem két eljárást is a szolgáltatás kiesés meghatározására, a lassú fading mellett az összes gyakorlatban alkalmazott gyors fading típusra. A disszertációban bemutatott formulák nagy előnye, hogy nem szükséges bonyolult és hosszadalmas szimulációs vizsgálatokat végezni, hiszen a kis cellák várható számából a szolgáltatás kiesés valószínűség (vagy a komplementer esemény a lefedettség valószínűsége) pontosan meghatározható. A hálózat tervezés fázisban pedig előre megmondható a maximálisan telepíthető kis cellák száma, ami mellett még a rendszer használható marad a többi (nem kis cellához kapcsolódó) felhasználó számára is. A téziscsoportban még javasoltam egy formulát amivel a mobil szolgáltatók megbecsülhetik az átlagos rendszerkapacitást, a telepített kis cellák függvényében. A kapacitás bővülés mértéke, a disszertációban bemutatott módszerek alapján jelentős lehet például néhány tucat kis cella alkalmazása kb. 3,2x növeli az átlagos rendszerkapacitást. A II. Téziscsoportomban bemutattam két klaszter alapú pontfolyamatot (név szerint: Thomas- és Matérn klaszter pontfolyamatokat) amelyeket fel lehet használni kis cellás rendszerek tervezésekor. A klaszteres modellek nagy előnye, hogy jobban tudják modellezni a valós életben telepített kis cellás rendszereket, mint a homogén Poisson pontfolyamat alapú modellek. Ebben a téziscsoportban képleteket adtam meg, amivel Rayleigh és Nakagami-m fadinggel terhelt rádiós környezetben is meghatározható a maximálisan megengedhető kis cella szám. A bemutatott formulák összetettsége, miatt közelítő képleteket is adtam, amelyek jelentősen meg- 3

gyorsítják az eredmények kiszámolását, ugyanakkor összevetve a szimulációs eredményekkel mégis pontosak. Publikációk A tézispontokhoz kapcsolódó tudományos közlemények Megjelent/Elfogadott Nemzetközi Folyóiratcikkek: [J] Zoltán Jakó and Gábor Jeney, Analyzing LTE Small Cell Interference Distribution via Fading Factorial Moments, GSTF Journal of Mathematics, Statistics and Operations Research (JMSOR), Vol. 2, No. 2, pp. 36 4, 24, DOI:.576/225-3388-2.2.49, Print ISSN: 225-3388, E-periodical: 225-3396. [J2] Zoltán Jakó and Gábor Jeney Outage Probability in Poisson Cluster based LTE Two-tier Femtocell Networks, Wiley Wireless Communications and Mobile Computing, DOI:.2/wcm.2485, 25, Vol. 5, No. 8, pp. 279 29, 25, (indexed in SCOPUS, WoS). [J3] Zoltán Jakó and Gábor Jeney Outage Analysis of LTE-A Femtocell Networks with Nakagami-m Channels, Springer Wireless Personal Communications, Vol. 79, No. 2, pp. 369 384, 24, DOI:.7/s277-4-934-5 (indexed in SCOPUS, WoS). [J4] Zoltán Jakó and Gábor Jeney, Coverage Analysis for Macro Users in Two-Tier Rician faded LTE/Small-Cell Networks", Springer Wireless Networks, Vol. 2,No. 7, pp. 2293 232, 25, (indexed in SCOPUS, WoS). Megjelent/Elfogadott Magyar nyelvű Folyóiratcikk: [J5] Zoltán Jakó and Gábor Jeney, 3G-s femtocellák interferencia vizsgálata, HÍRADÁSTECHNIKA (ISSN: 8-228) LXVI:(2) pp. 2 9. (2) Nemzetközi Konferenciacikkek: [C] Zoltán Jakó and Gábor Jeney, Downlink femtocell interference in WCDMA networks", 7th International Workshop in Energy-Aware Communications (Eunice 2), Heidelberg: Springer, pp. 23 28. (Lecture Notes in Computer Science; 6955.), 2.9.5-2.9.7. ISBN: 978-3-642-2354-5, DOI:.7/978-3-642-2354-2-22 [C2] Zoltán Jakó and Gábor Jeney, Downlink interference characterization in two-tier femtocell networks", 8th IEEE, IET Int. Symposium on Communication Systems, Networks 3