Kisszögű röntgenszórás (főként) elméleti bevezető, alapfogalmak
|
|
- Árpád Budai
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Kisszögű röntgenszórás (főként) elméleti bevezető, alapfogalmak Wacha András MTA Természettudományi Kutatóközpont
2 Tartalom Bevezetés Egy kis történelem A szórás alapelve Kis- és nagyszögű szórás Alapfogalmak Szórási kép és szórási görbe Szórási hatáskeresztmetszet Szórási változó Szórási kontraszt A szerkezet-szórás kapcsolat alapvető összefüggései Kapcsolat a szerkezet és a szórás között A fázisprobléma Gömbszimmetrikus rendszerek A Guinier közelítés Többrészecske-rendszerek, méreteloszlás Hatványfüggvény-szórás: a Porod tartomány A pártávolság-eloszlásfüggvény Összefoglalás
3 Tartalom Bevezetés Egy kis történelem A szórás alapelve Kis- és nagyszögű szórás Alapfogalmak Szórási kép és szórási görbe Szórási hatáskeresztmetszet Szórási változó Szórási kontraszt A szerkezet-szórás kapcsolat alapvető összefüggései Kapcsolat a szerkezet és a szórás között A fázisprobléma Gömbszimmetrikus rendszerek A Guinier közelítés Többrészecske-rendszerek, méreteloszlás Hatványfüggvény-szórás: a Porod tartomány A pártávolság-eloszlásfüggvény Összefoglalás
4 A (kisszögű) szórás története Már az ókori görögök is... Szórás: XVII-XIX. század (Huygens, Newton, Young, Fresnel... ) Röntgensugárzás: 1895 Röntgendiffrakció kristályokon: W.H. és W.L. Bragg (1912), M. von Laue, P. Debye, P. Scherrer... (-1930) Kisszögű szórás első megfigyelése: P. Krishnamurti, B.E. Warren (kb. 1930) Kisszögű röntgenszórás formalizmusa, elmélete: André Guinier, Peter Debye, Otto Kratky, Günther Porod, Rolf Hosemann, Vittorio Luzzati ( )
5 A szórás alapelve Minta Primer nyaláb
6 A szórás alapelve
7 A szórás alapelve
8 SAXS vs. WAXS A szórás alapelve: vizsgáló részecske kölcsönhatás a szerkezettel eltérülés detektálás szerkezetmeghatározás Wide-angle scattering (diffraction) X-ray Sample Small-angle scattering Szórás mérése: különböző irányokba eltérült sugárzás nagysága Erős előre szórt sugárzás (logaritmikus skála!) Nagyszögű szórás: Bragg-egyenlet (ld. előző óra) Kisszögű szórás:...
9 Kis- és nagyszögű szórás Gömb alakú nanokristály (sc) szórása: Nagyszögű szórás: a kristályszerkezet
10 Kis- és nagyszögű szórás Gömb alakú nanokristály (sc) szórása: Nagyszögű szórás: a kristályszerkezet Kisszögű szórás: a krisztallit teljes mérete
11 Kis- és nagyszögű szórás Gömb alakú nanokristály (sc) szórása: Nagyszögű szórás: a kristályszerkezet Kisszögű szórás: a krisztallit teljes mérete Kisszögű szórás nem lát az atomi méretskálán: homogén és diszkrét szerkezet ekvivalens
12 Kisszögű szórás Small-Angle X-ray Scattering SAXS Röntgensugarak rugalmas szórása elektronokon Mérés: intenzitás a szórási szög függvényében. Eredmény: elektronsűrűség-inhomogenitások az nm-es méretskálán De: a mérési eredmények indirektek, bonyolultan értelmezhetőek ( ) Tipikus mérési körülmények: Transzmissziós mérési elrendezés Nagy intenzitású, közel pontfókuszú nyaláb Kétdimenziós, helyérzékeny detektor
13 Tartalom Bevezetés Egy kis történelem A szórás alapelve Kis- és nagyszögű szórás Alapfogalmak Szórási kép és szórási görbe Szórási hatáskeresztmetszet Szórási változó Szórási kontraszt A szerkezet-szórás kapcsolat alapvető összefüggései Kapcsolat a szerkezet és a szórás között A fázisprobléma Gömbszimmetrikus rendszerek A Guinier közelítés Többrészecske-rendszerek, méreteloszlás Hatványfüggvény-szórás: a Porod tartomány A pártávolság-eloszlásfüggvény Összefoglalás
14 Szórási kép szórási görbe Szórási kép: beütésszám-mátrix A pixelek számértéke: a mérés ideje alatt beérkezett fotonok száma Minden pixelnek megfelel egy szórási szög Szórási görbe Ugyanaz az információ, könnyebben kezelhető formában A szórási képből azimutális átlagolással: 1. Az egy szórási szöghöz tartozó pixelek csoportosítása 2. Az intenzitások átlagolása Ordináta: intenzitás ( beütésszám ) Abszcissza: szórási változó ( a középponttól való távolság )
15 Szórási hatáskeresztmetszet A vizsgálandó minta (szóróközeg)
16 Szórási hatáskeresztmetszet A vizsgálandó minta (szóróközeg) Bejövő részecskeáramsűrűség: j be = N be /(A t) [cm 2 s 1 ]
17 Szórási hatáskeresztmetszet A vizsgálandó minta (szóróközeg) Bejövő részecskeáramsűrűség: j be = N be /(A t) [cm 2 s 1 ] Teljes szórt részecskeáram: I ki = N ki /t [s 1 ]
18 Szórási hatáskeresztmetszet A vizsgálandó minta (szóróközeg) Bejövő részecskeáramsűrűség: j be = N be /(A t) [cm 2 s 1 ] Teljes szórt részecskeáram: I ki = N ki /t [s 1 ] Szórási hatáskeresztmetszet: Σ I ki /j be = A N ki /N be [cm 2 ]
19 Szórási hatáskeresztmetszet A vizsgálandó minta (szóróközeg) Bejövő részecskeáramsűrűség: j be = N be /(A t) [cm 2 s 1 ] Teljes szórt részecskeáram: I ki = N ki /t [s 1 ] Szórási hatáskeresztmetszet: Σ I ki /j be = A N ki /N be [cm 2 ] differenciális szórási hatáskeresztmetszet: dσ/dω [cm 2 sr 1 ]
20 Szórási hatáskeresztmetszet A vizsgálandó minta (szóróközeg) Bejövő részecskeáramsűrűség: j be = N be /(A t) [cm 2 s 1 ] Teljes szórt részecskeáram: I ki = N ki /t [s 1 ] Szórási hatáskeresztmetszet: Σ I ki /j be = A N ki /N be [cm 2 ] differenciális szórási hatáskeresztmetszet: dσ/dω [cm 2 sr 1 ] dσ Normálva a mintatérfogatra: dω 1 dσ V dω [cm 1 sr 1 ]
21 A szórási változó A szórási intenzitás természetes változója a szórási vektor: q k 2θ k 0 [ s S 2θ ] S 0 = q/(2π) azaz a szórt és a beeső sugárzás hullámszám-vektorainak különbsége. [Hullámszámvektor: a terjedés irányába mutat, nagysága 2π/λ] Fizikai jelentése: az az impulzusmennyiség, amelyet a röntgensugár a mintán való szóródáskor nyer ( momentum transfer ) k 2θ =2π/λ 2θ szögben szórt sugár q =4π sinθ / λ Beeső sugár k 0 =2π/λ Minta 2θ Szóratlan sugár k 0 =2π/λ Nagysága: q = q = 4π sin θ λ kis szögek [s = 2 sin θ/λ]) Bragg-egyenlet: q = 2πn/d n Z [s = n/d]
22 A szórási kontraszt A röntgensugarak elektronokon szóródnak Szórási kontraszt = relatív elektronsűrűség az átlaghoz képest A szórás szempontjából csak a relatív elektronsűrűség számít! Kis kontraszt: gyenge szórási jel. Víz: e /nm 3 SiO2 nanorészecskék: e /nm 3 Fehérjék: e /nm 3 Meghatározza: Az anyag (tömeg)sűrűsége (pl. szilárd kopolimerek) Nagyobb rendszámú elemek jelenléte Oldószer választása (átlag elektronsűrűség)
23 A szórási kontraszt A röntgensugarak elektronokon szóródnak Szórási kontraszt = relatív elektronsűrűség az átlaghoz képest A szórás szempontjából csak a relatív elektronsűrűség számít! Kis kontraszt: gyenge szórási jel. Víz: e /nm 3 SiO2 nanorészecskék: e /nm 3 Fehérjék: e /nm 3 Meghatározza: Az anyag (tömeg)sűrűsége (pl. szilárd kopolimerek) Nagyobb rendszámú elemek jelenléte Oldószer választása (átlag elektronsűrűség)
24 A szórási kontraszt A röntgensugarak elektronokon szóródnak Szórási kontraszt = relatív elektronsűrűség az átlaghoz képest A szórás szempontjából csak a relatív elektronsűrűség számít! Kis kontraszt: gyenge szórási jel. Víz: e /nm 3 SiO2 nanorészecskék: e /nm 3 Fehérjék: e /nm 3 Meghatározza: Az anyag (tömeg)sűrűsége (pl. szilárd kopolimerek) Nagyobb rendszámú elemek jelenléte Oldószer választása (átlag elektronsűrűség)
25 Alapfogalmak összegzése Intenzitás: vagy differenciális szórási hatáskeresztmetszet az egységnyi térfogatú mintára egységnyi idő alatt egységnyi keresztmetszeten beeső részecskék hányad része szóródik a tér egy adott irányába egységnyi térszögben? Szórási változó (q): vagy impulzusátadás: a szögfüggés jellemzése. Nagysága sin θ θ q: a foton mekkora lendületet nyer a mintával való kölcsönhatásban Szórási kontraszt: a minta egy adott térfogatának szórási képessége a környezetéhez képest. Röntgenszórás esetén ez a relatív elektronsűrűség
26 Tartalom Bevezetés Egy kis történelem A szórás alapelve Kis- és nagyszögű szórás Alapfogalmak Szórási kép és szórási görbe Szórási hatáskeresztmetszet Szórási változó Szórási kontraszt A szerkezet-szórás kapcsolat alapvető összefüggései Kapcsolat a szerkezet és a szórás között A fázisprobléma Gömbszimmetrikus rendszerek A Guinier közelítés Többrészecske-rendszerek, méreteloszlás Hatványfüggvény-szórás: a Porod tartomány A pártávolság-eloszlásfüggvény Összefoglalás
27 Kapcsolat a szerkezet és a szórás között Sugárzás szóródása az elektronok sűrűség-inhomogenitásain szerkezet jellemzése a relatív elektronsűrűség-függvénnyel: ρ( r) = ρ( r) ρ (a továbbiakban ρ( r) alatt ezt értjük!) A szóróközeg által szórt sugárzás amplitúdója: A( q) = ρ( r)e i q r d 3 r azaz az elektronsűrűség-függvény Fourier transzformáltja. A mérhető mennyiség csak az intenzitás: I = A 2 V
28 Kitérő: Fourier transzformáció Alapkérdés: adott egy periodikus jel: milyen frekvenciájú? 1.0 sin(2 t) Fourier transform y(t) [y] t Fourier transzformálás: a frekvenciakomponensek meghatározása
29 Kitérő: Fourier transzformáció Alapkérdés: adott egy periodikus jel: milyen frekvenciájú? 2 sin(2 t) + sin(2 1.1 t) Fourier transform y(t) 0 [y] t Fourier transzformálás: a frekvenciakomponensek meghatározása Több komponens is látható
30 Kitérő: Fourier transzformáció Alapkérdés: adott egy periodikus jel: milyen frekvenciájú? 2 sin(2 t) + sin(2 1.1 t) Fourier transform y(t) 0 [y] t Fourier transzformálás: a frekvenciakomponensek meghatározása Több komponens is látható Hosszabb idő: jobb frekvenciafeloldás (Nyquist-Shannon tétel)
31 Kitérő: Fourier transzformáció Alapkérdés: adott egy periodikus jel: milyen frekvenciájú? sin(2 0.9 t) + sin(2 t) + sin(2 1.1 t) 3 Fourier transform y(t) 0 [y] t Fourier transzformálás: a frekvenciakomponensek meghatározása Több komponens is látható Hosszabb idő: jobb frekvenciafeloldás (Nyquist-Shannon tétel) Még több frekvencia
32 Kitérő: Fourier transzformáció Alapkérdés: adott egy periodikus jel: milyen frekvenciájú? 3 sin(2 t) + 2sin(2 2 t) Fourier transform y(t) 0 [y] t Fourier transzformálás: a frekvenciakomponensek meghatározása Több komponens is látható Hosszabb idő: jobb frekvenciafeloldás (Nyquist-Shannon tétel) Még több frekvencia A szinusztagok súlya is meghatározható
33 Kitérő: Fourier transzformáció Alapkérdés: adott egy periodikus jel: milyen frekvenciájú? 3 sin(2 t) + 2sin(2 2 t) Fourier transform y(t) 0 [y] t Fourier transzformálás: a frekvenciakomponensek meghatározása Több komponens is látható Hosszabb idő: jobb frekvenciafeloldás (Nyquist-Shannon tétel) Még több frekvencia A szinusztagok súlya is meghatározható A fekete doboz belseje : F(ν) = f (t)e iνt dt
34 Kitérő: Fourier transzformáció Alapkérdés: adott egy periodikus jel: milyen frekvenciájú? 3 sin(2 t) + 2sin(2 2 t) Fourier transform y(t) 0 [y] t Fourier transzformálás: a frekvenciakomponensek meghatározása Több komponens is látható Hosszabb idő: jobb frekvenciafeloldás (Nyquist-Shannon tétel) Még több frekvencia A szinusztagok súlya is meghatározható A fekete doboz belseje : F(ν) = f (t)e iνt dt Invertálható (de... ): f (t) = 1 2π F(ν)e itν dν
35 A fázisprobléma A Fourier-transzformáció invertálható (?!): a szóróközeget a szórási amplitúdó egyértelműen jellemzi Komplex mennyiség: Abszolútérték-négyzet: Hová tűnt a φ fázis?! z = a + bi = Ae iφ z 2 = z z = Ae iφ Ae iφ = A 2 Mivel az amplitúdó nem mérhető, a szóróközeg szerkezete teljes mértékig nem rekonstruálható a szórásból. Más baj is van: az intenzitás nem mérhető a teljes q-térben: az inverz Fourier-transzformáció nem lehet teljes
36 Mekkora a baj? Idea from Saldin et. al. J. Phys.: Condens. Matter 13 (2001)
37 Mekkora a baj? FT FT Idea from Saldin et. al. J. Phys.: Condens. Matter 13 (2001)
38 Mekkora a baj? Amplitude (Kratky) FT Phase (Kratky) Phase (Porod) FT Amplitude (Porod) Idea from Saldin et. al. J. Phys.: Condens. Matter 13 (2001)
39 Mekkora a baj? Amplitude (Kratky) FT IFT Phase (Kratky) Phase (Porod) FT IFT Amplitude (Porod) Idea from Saldin et. al. J. Phys.: Condens. Matter 13 (2001)
40 Mekkora a baj? Amplitude (Kratky) FT IFT Phase (Kratky) Phase (Porod) FT IFT Amplitude (Porod) Idea from Saldin et. al. J. Phys.: Condens. Matter 13 (2001) A fázis hordozza az információ túlnyomó részét!
41 Mekkora a baj? Im i z z 2 =1 Re 1 A fázis hordozza az információ túlnyomó részét! A komplex számok körében a négyetgyökvonás nem egyértelmű (végtelen sok komplex szám van, aminek 1 az abszolútérték-négyzete)!
42 Mit lehet tenni? / Baj ez egyáltalán? Különböző szerkezetű minták szórása is lehet megkülönböztethetetlen 1. Megoldás: robusztus paraméterek számítása (ld. később) Guinier sugár Hatványfüggvény-exponens Porod-térfogat Megoldás: modellillesztés Adott paraméterekkel jellemzett modell-sokaságból kiválasztani azt, melynek szórása a legjobban stimmel Megfelelően szűk sokaság felett ρ( r) I( q) hozzárendelés egyértelmű A priori ismeretek, más mérési módszerek eredményei rendkívül hasznosak! 3. A fázis kitalálása (krisztallográfia) vagy mérése (holográfia) Azok a szerkezetek, amelyek a mért görbét adhatják A modell által paraméterezett szerkezetek
43 Kitérő/Emlékeztető: gömbi koordinátarendszer Descartes: x, y, z Gömbi: x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ Térfogatelem: dφ dr r dθ dx dy dz = dv = r 2 sin θ dr dθ dϕ Integrál: f (x, y, z)dx dy dz = z θ 2π π = f (r, θ, ϕ)r 2 sin θdr dθ dϕ x y φ
44 Gömb kisszögű szórása 1. A szórt intenzitás általános képlete: I( q) = ρ ( r) e i q r d 3 r 2
45 Gömb kisszögű szórása 1. A szórt intenzitás általános képlete: I( q) = ρ ( r) e i q r d 3 r Számítsuk ki egy R sugarú, belsejében ρ 0 homogén elektronsűrűségű gömb (kisszögű) szórási intenzitását! 2
46 Gömb kisszögű szórása 1. A szórt intenzitás általános képlete: I( q) = ρ ( r) e i q r d 3 r Számítsuk ki egy R sugarú, belsejében ρ 0 homogén elektronsűrűségű gömb (kisszögű) szórási intenzitását! Izotrop objektum elektronsűrűség-függvénye: ρ( r) = ρ( r ) = ρ(r). Ekkor az integrál gömbi koordinátarendszerben könnyebben elvégezhető: 2π π 2 I( q) = dφ dr r 2 ρ(r) sin θ dθ e i q r cos θ
47 Gömb kisszögű szórása 1. A szórt intenzitás általános képlete: I( q) = ρ ( r) e i q r d 3 r Számítsuk ki egy R sugarú, belsejében ρ 0 homogén elektronsűrűségű gömb (kisszögű) szórási intenzitását! Izotrop objektum elektronsűrűség-függvénye: ρ( r) = ρ( r ) = ρ(r). Ekkor az integrál gömbi koordinátarendszerben könnyebben elvégezhető: 2π π 2 I( q) = dφ dr r 2 ρ(r) sin θ dθ e i q r cos θ 0 0 ahol a gömbi koordinátarendszer z iránya úgy lett megválasztva, hogy q-val párhuzamos legyen (megtehető, mert ρ( r) gömbszimmetrikus). 0 2
48 Gömb kisszögű szórása 1. A szórt intenzitás általános képlete: I( q) = ρ ( r) e i q r d 3 r Számítsuk ki egy R sugarú, belsejében ρ 0 homogén elektronsűrűségű gömb (kisszögű) szórási intenzitását! Izotrop objektum elektronsűrűség-függvénye: ρ( r) = ρ( r ) = ρ(r). Ekkor az integrál gömbi koordinátarendszerben könnyebben elvégezhető: 2π π 2 I( q) = dφ dr r 2 ρ(r) sin θ dθ e i q r cos θ 0 0 ahol a gömbi koordinátarendszer z iránya úgy lett megválasztva, hogy q-val párhuzamos legyen (megtehető, mert ρ( r) gömbszimmetrikus). Az integrálban u = cos θ változócserével: 2 2π 1 I( q) = dφ r 2 ρ(r)dr du e iqru }{{} 2π 0 2
49 Gömb kisszögű szórása 2. A legbelső integrál könnyen elvégezhető: 1 1 du e iqru = [ 1 iqr e iqru ] 1 1
50 Gömb kisszögű szórása 2. A legbelső integrál könnyen elvégezhető: 1 1 du e iqru = Kihasználva, hogy e iφ = cos φ + i sin φ: [ ] 1 1 iqr e iqru 1 1 [ e iqr e iqr] = 1 2 sin (qr) [2i sin (qr)] = iqr iqr qr
51 Gömb kisszögű szórása 2. A legbelső integrál könnyen elvégezhető: 1 1 du e iqru = Kihasználva, hogy e iφ = cos φ + i sin φ: [ ] 1 1 iqr e iqru 1 azaz 1 [ e iqr e iqr] = 1 2 sin (qr) [2i sin (qr)] = iqr iqr qr 2 R I( q) = I(q) = (4π) 2 2 sin (qr) ρ(r)r dr. qr 0
52 Gömb kisszögű szórása 2. A legbelső integrál könnyen elvégezhető: 1 1 du e iqru = Kihasználva, hogy e iφ = cos φ + i sin φ: [ ] 1 1 iqr e iqru 1 azaz 1 [ e iqr e iqr] = 1 2 sin (qr) [2i sin (qr)] = iqr iqr qr R I( q) = I(q) = (4π) 2 2 sin (qr) ρ(r)r dr qr 0 2. Izotrop rendszer esetén a szórási intenzitás nem függ a szórási vektor irányától, csak nagyságától.
53 Gömb kisszögű szórása 2. A legbelső integrál könnyen elvégezhető: 1 1 du e iqru = Kihasználva, hogy e iφ = cos φ + i sin φ: [ ] 1 1 iqr e iqru 1 azaz 1 [ e iqr e iqr] = 1 2 sin (qr) [2i sin (qr)] = iqr iqr qr R I( q) = I(q) = (4π) 2 2 sin (qr) ρ(r)r dr qr 0 2. Izotrop rendszer esetén a szórási intenzitás nem függ a szórási vektor irányától, csak nagyságától. Izotrop (pontosabban ρ( r) = ρ( r) szimmetriájú) szóróközeg szórási amplitúdója valós
54 Gömb kisszögű szórása 3. Homogén gömb elektronsűrűség-függvénye: { ρ0 ha r R ρ( r) = 0 egyébként. Az előbbi, intenzitásra kapott általános integrált elvégezve: I g (q) = ( 4πρ0 q 3 ) 2 (sin(qr) qr cos(qr)) = ρ 2 4πR }{{ 3 } q 3 (sin(qr) qr cos(qr)) R3 }{{} V P g(qr) 2 A szórási intenzitás a lineáris méret hatodik hatványával skálázódik (I V 2 R 6 )
55 Gömb kisszögű szórása P(q R) q R
56 Gömb kisszögű szórása P(q R) q R Log-log ábrázolás kisszögű szórásnál célszerű
57 Gömb kisszögű szórása P(q R) q R Log-log ábrázolás kisszögű szórásnál célszerű qr < 1 közelítése: I e q2 R 2 5 (Guinier)
58 Gömb kisszögű szórása P(q R) q R Log-log ábrázolás kisszögű szórásnál célszerű qr < 1 közelítése: I e q2 R 2 5 (Guinier)
59 A Guinier közelítés André Guinier: híg nanorészecske/nanoszemcse szuszpenziók szórási görbéjének kezdeti szakasza Gauss-görbe lefutású Általában: I(q 0) = I 0 e q 2 R 2 g 3 Girációs (inercia-, Guinier-) sugár: a szóró objektum lineáris méretét jellemzi. Definíciója: V R g r 2 ρ( r)d 3 r V ρ( r)d3 r Kapcsolat az alakparaméterek és R g közt: Gömb: Rg = 3/5R Gömbhéj: Rg = R Henger: R L2 12 Lineáris polimerlánc: Nb 2 /6...
60 Guinier plot 10 9 Intenzitás (rel. egys.) Szimulált adatsor R g =16.3 nm 10-1 q (nm 1 ) I I 0 e q2 R g 2 3
61 Guinier plot 10 9 Intenzitás (rel. egys.) Szimulált adatsor R g =16.3 nm 10-1 q (nm 1 ) I I 0 e q2 R g 2 3 ln I ln I 0 R2 g 3 q2
62 Guinier plot Intenzitás (rel. egys.) Szimulált adatsor R g =16.3 nm q (nm 1 ) I I 0 e q2 R g 2 3 ln I ln I 0 R2 g 3 q2 ln I - q 2 : elsőfokú függvény Guinier közelítés érvényességének vizuális ellenőrzése
63 A Guinier közelítés érvényessége A Guinier közelítés alkalmazható nagyjából monodiszperz részecskerendszerekre is (ld. következő diák) Nagyjából gömb alakú részecskéknél általában qr g 3 Anizotrop részecskéknél qr g 0.7 Fölfelé görbül ( smiling Guinier ): a részecskék közötti effektív vonzó kölcsönhatás (aggregáció) Lefelé görbül ( frowning Guinier ): a részecskék közötti effektív taszító kölcsönhatás Fehérjéknél majd részletesebben... André Guinier ( )
64 A polidiszperzitás hatása Több részecskéből álló rendszer: ρ( r) = ρ j ( r R j ) j Elektronsűrűség-függvény eltolása R vektorral: A eltolt ( q) = A 0 ( q)e i q R Szórási amplitúdó: A( q) = j = j A j ( q) A j,0 ( q)e i q R j R 1 R 3 R 2 r R j r' Intenzitás: I( q) = A( q)a ( q) = A j ( q)a k( q)e i q( R k R j) j k R N
65 Többrészecske-rendszer I( q) = j A j ( q)a k( q)e i q( R k R j) = I j ( q) + A j ( q)a k( q)e i q( R k R j) k j j k j }{{}}{{} inkoherens interferencia tag Inkoherens összeg: az egyedi részecskék intenzitása adódik össze Kereszttagok: részecskék korrelált relatív helyzetéből fakadó interferencia Speciális eset: azonos, gömb alakú részecskék I(q) = ρ 2 0V 2 P g (qr) 2 N N j k>j ( cos q( R k R ) j ) } {{ } N S(q) Szerkezeti tényező (struktúrafaktor): az egyedi részecskék relatív elrendeződésétől függ csak, az alaktól nem. Korrelálatlan rendszer: S(q) = 1. Ellenkező eseben a Guinier-tartomány torzul!
66 Méreteloszlás A valóságban nincs teljesen monodiszperz rendszer R = 40 nm Average Intensity (arb. units) q (nm 1 )
67 Méreteloszlás A valóságban nincs teljesen monodiszperz rendszer R = 37 nm R = 43 nm Average Intensity (arb. units) q (nm 1 )
68 Méreteloszlás A valóságban nincs teljesen monodiszperz rendszer R = 37 nm R = 40 nm R = 43 nm Average 10 9 Intensity (arb. units) q (nm 1 )
69 Méreteloszlás A valóságban nincs teljesen monodiszperz rendszer Intensity (arb. units) R = 36 nm R = 37 nm R = 38 nm R = 39 nm R = 40 nm R = 41 nm R = 42 nm R = 43 nm Average q (nm 1 )
70 Enyhén polidiszperz nanorészecske szuszpenzió szórása Híg nanorészecske szuszpenzió szórása: I(q) = P 2 (qr) }{{} formafaktor A részecskék alakjának ismeretében a szórási görbe illesztésével a méreteloszlás-függvény meghatározható. dσ/dω (cm 1 sr 1 ) SiO nm q (1/nm) Relative frequency (arb. units) SAXS TEM Diameter (nm) Statisztikailag szignifikáns ( 10 9 részecske 1 mm 3 térfogatban) Egzakt méretek jól jellemezhető bizonytalansággal (SI traceability )
71 Enyhén polidiszperz nanorészecske szuszpenzió szórása Híg nanorészecske szuszpenzió szórása: I(q) = V 2 }{{} R P 2 (qr) }{{} térfogat formafaktor A részecskék alakjának ismeretében a szórási görbe illesztésével a méreteloszlás-függvény meghatározható. dσ/dω (cm 1 sr 1 ) SiO nm q (1/nm) Relative frequency (arb. units) SAXS TEM Diameter (nm) Statisztikailag szignifikáns ( 10 9 részecske 1 mm 3 térfogatban) Egzakt méretek jól jellemezhető bizonytalansággal (SI traceability )
72 Enyhén polidiszperz nanorészecske szuszpenzió szórása Híg nanorészecske szuszpenzió szórása: I(q) = ρ 2 0 V 2 R P }{{}}{{} 2 (qr) }{{} kontraszt térfogat formafaktor A részecskék alakjának ismeretében a szórási görbe illesztésével a méreteloszlás-függvény meghatározható. dσ/dω (cm 1 sr 1 ) SiO nm q (1/nm) Relative frequency (arb. units) SAXS TEM Diameter (nm) Statisztikailag szignifikáns ( 10 9 részecske 1 mm 3 térfogatban) Egzakt méretek jól jellemezhető bizonytalansággal (SI traceability )
73 Enyhén polidiszperz nanorészecske szuszpenzió szórása Híg nanorészecske szuszpenzió szórása: I(q) = P(R) ρ 2 0 V 2 R P }{{}}{{}}{{} 2 (qr) }{{} méreteloszlás kontraszt térfogat formafaktor A részecskék alakjának ismeretében a szórási görbe illesztésével a méreteloszlás-függvény meghatározható. dσ/dω (cm 1 sr 1 ) SiO nm q (1/nm) Relative frequency (arb. units) SAXS TEM Diameter (nm) Statisztikailag szignifikáns ( 10 9 részecske 1 mm 3 térfogatban) Egzakt méretek jól jellemezhető bizonytalansággal (SI traceability )
74 Enyhén polidiszperz nanorészecske szuszpenzió szórása Híg nanorészecske szuszpenzió szórása: I(q) = 0 P(R) ρ 2 0 V 2 R P }{{}}{{}}{{} 2 (qr) dr }{{} méreteloszlás kontraszt térfogat formafaktor A részecskék alakjának ismeretében a szórási görbe illesztésével a méreteloszlás-függvény meghatározható. dσ/dω (cm 1 sr 1 ) SiO nm q (1/nm) Relative frequency (arb. units) SAXS TEM Diameter (nm) Statisztikailag szignifikáns ( 10 9 részecske 1 mm 3 térfogatban) Egzakt méretek jól jellemezhető bizonytalansággal (SI traceability )
75 Kétmódusú nanorészecske-eloszlás
76 Modell-független leírás A modellillesztésnél használt P(R) eloszlásfüggvény hisztogram-alakban Sokparaméteres modell túlillesztés veszélye
77 Hatványfüggvény-viselkedés Intensity (arb. units) R = 36 nm R = 37 nm R = 38 nm R = 39 nm R = 40 nm R = 41 nm R = 42 nm R = 43 nm Average q (nm 1 )
78 Hatványfüggvény-viselkedés Intensity (arb. units) R = 36 nm R = 37 nm R = 38 nm R = 39 nm R = 40 nm R = 41 nm R = 42 nm R = 43 nm Average q q (nm 1 )
79 A Porod tartomány Szórási görbéken sokszor találkozunk hatványfüggvény-szerű lecsengéssel: I q α. Sima felületű részecskék: I(q ) S V q 4 : fajlagos felület! Nemelágazó polimerek oldatai: Ideális oldószer (Θ-oldat): Gauss-statisztikát követő véletlen bolyongás: I(q) q 2 Rossz oldószer: önvonzó véletlen bolyongás: I(q) q 3 Jó oldószer: önelkerülő véletlen bolyongás: I(q) q 3/5 Felületi és térfogati fraktálok... Günther Porod ( )
80 Kitérő: fraktálok Önhasonló rendszerek: többféle nagyításban is ugyanolyan szerkezeti tulajdonságokat mutatnak. Fraktál tulajdonságú nanorendszerek: Aktív szén Pórusos ásványok Durva (nem sima) felületek Jellemzés: Hausdorff-dimenzió (fraktáldimenzió)
81 Fraktáldimenzió A Sierpińsky-szőnyeg területének mérése különböző méterrudakkal A méterrudak harmadolásával: Méterrúd hossza 1 1/3 1/ n Területegységek száma n A Hausdorff-dimenzió: hogyan skálázódik a lefedéshez szükséges területegységek száma (A) a méterrúd hosszával (a)? a = 1/3 n n = log 3 a A = 8 n = 8 log 3 a = 8 log 8 a log 8 3 = a log 8 3 = a ln 3 ln 8 = a d A Sierpińsky-szőnyeg fraktáldimenziója: ln 8/ ln < 2 Egyszerű négyzet esetén: A = a 2, azaz a fraktáldimenzió ugyanaz, mint az euklideszi
82 Fraktáldimenzió szórásgörbén Intenzitás (rel. egység) Guinier tartomány I e q 2 R 2 g 3 Rg = ρ( r) r 2 d 3 r ρ( r)d 3 r Porod tartomány I q α Sík felületű részecskék (Porod): α = 4 Gauss-láncok (Kratky): α = 2 Tömbfraktálok: α = d m Felületi fraktálok: α = 6 d s q (nm 1 )
83 A pártávolság-eloszlásfüggvény vissza a valós térbe Scattering length density Fourier transform Scattered amplitude Autocorrelation Absolute square Distance distribution function Fourier transform Differential scattering cross-section Az intenzitás és az elektronsűrűség-függvény között másik út is van A p(r) pártávolság-eloszlásfüggvény (pair distance distribution function, PDDF) az elektronsűrűség önkorrelációja. p(r) = F 1 [I (q)] valós térbeli információ
84 Néhány geometriai alak PDDFje
85 Tartalom Bevezetés Egy kis történelem A szórás alapelve Kis- és nagyszögű szórás Alapfogalmak Szórási kép és szórási görbe Szórási hatáskeresztmetszet Szórási változó Szórási kontraszt A szerkezet-szórás kapcsolat alapvető összefüggései Kapcsolat a szerkezet és a szórás között A fázisprobléma Gömbszimmetrikus rendszerek A Guinier közelítés Többrészecske-rendszerek, méreteloszlás Hatványfüggvény-szórás: a Porod tartomány A pártávolság-eloszlásfüggvény Összefoglalás
86 Összefoglalás A szóráskísérletek előnyei és hátrányai Előnyök Statisztikailag szignifikáns átlagértékek Egyszerű mérési elv Méretskálák szétválása Kvantitatív eredmények, SI definíciókra visszavezethetően Hátrányok Nem képszerű, indirekt mérési eredmények bonyolult kiértékelés Nem egyértelmű szerkezeti információ (fázisprobléma) Túl bonyolult rendszereken nem alkalmazható Átlagértékek: nincs mód a kis mennyiségben jelenlévő szerkezeti formák detektálására
87 Összefoglalás, kitekintés Összefoglalás Szórásos szerkezetvizsgálat Intenzitás, szórási változó, szórási kép, szórási görbe Fourier-transzformáció, abszolútérték-négyzet, fázisprobléma Homogén gömb szórása, Guinier közelítés, Porod közelítés Nanorészecskék méreteloszlása Következő előadások témái: A kisszögű szórás mérése: berendezés, praktikus dolgok Különböző anyagi rendszerek: periodikus minták, önrendeződő lipid rendszerek (micellák, kettősrétegek), fehérjék, polimer-oldatok, fázisszeparált polimerek: konkrét mérési eredményekre támaszkodva Méréses óra!
88 Köszönöm a figyelmet és a kitartást!
Kerámia-szén nanokompozitok vizsgálata kisszög neutronszórással
Kerámia-szén nanokompozitok vizsgálata kisszög neutronszórással 1 Tapasztó Orsolya 2 Tapasztó Levente 2 Balázsi Csaba 2 1 MTA SZFKI 2 MTA MFA Tartalom 1 Nanokompozit kerámiák 2 Kisszög neutronszórás alapjai
RészletesebbenCompton-effektus. Zsigmond Anna. jegyzıkönyv. Fizika BSc III.
Compton-effektus jegyzıkönyv Zsigmond Anna Fizika BSc III. Mérés vezetıje: Csanád Máté Mérés dátuma: 010. április. Leadás dátuma: 010. május 5. Mérés célja A kvantumelmélet egyik bizonyítékának a Compton-effektusnak
RészletesebbenRöntgendiffrakció. Orbán József PTE, ÁOK, Biofizikai Intézet november
Röntgendiffrakció Orbán József PTE, ÁOK, Biofizikai Intézet 2013. november Előadás vázlata Röntgen sugárzás Interferencia, diffrakció (elektromágneses hullámok) Kristályok szerkezete Röntgendiffrakció
RészletesebbenMilyen simaságú legyen a minta felülete jó minőségű EBSD mérésekhez
1 Milyen simaságú legyen a minta felülete jó minőségű EBSD mérésekhez Havancsák Károly Dankházi Zoltán Ratter Kitti Varga Gábor Visegrád 2012. január Elektron diffrakció 2 Diffrakció - kinematikus elmélet
RészletesebbenOptika gyakorlat 6. Interferencia. I = u 2 = u 1 + u I 2 cos( Φ)
Optika gyakorlat 6. Interferencia Interferencia Az interferencia az a jelenség, amikor kett vagy több hullám fázishelyes szuperpozíciója révén a térben állóhullám kép alakul ki. Ez elektromágneses hullámok
RészletesebbenDiffrakciós szerkezetvizsgálati módszerek
Diffrakciós szerkezetvizsgálati módszerek Röntgendiffrakció Angler Gábor ELTE TTK Fizika BSc hallgató 2009. december 3. Kondenzált anyagok fizikája szeminárium Az előadás vázlata Bevezetés, motiváció,
RészletesebbenAlkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz
Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,
Részletesebbena térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
RészletesebbenOrvosi Biofizika I. 12. vizsgatétel. IsmétlésI. -Fény
Orvosi iofizika I. Fénysugárzásanyaggalvalókölcsönhatásai. Fényszóródás, fényabszorpció. Az abszorpciós spektrometria alapelvei. (Segítséga 12. tételmegértéséhezésmegtanulásához, továbbá a Fényabszorpció
RészletesebbenKisszögű röntgenszórás a mérések kiértékelése: Mit nyerhetünk a szórási görbéből?
Kisszögű röntgenszórás a mérések kiértékelése: Mit nyerhetünk a szórási görbéből? Wacha András MTA Természettudományi Kutatóközpont Tartalom Ismétlés Önszerveződő rendszerek Rendezett fázisok Multilamellás
RészletesebbenAz Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
RészletesebbenVázlatos tartalom. Szerkezet jellemzése és vizsgálata Szilárdtestek elektronszerkezete Rácsdinamika Transzportjelenségek Mágneses tulajdonságok
Szilárdtestfizika Kondenzált Anyagok Fizikája Vázlatos tartalom Szerkezet jellemzése és vizsgálata Szilárdtestek elektronszerkezete Rácsdinamika Transzportjelenségek Mágneses tulajdonságok 2 Szerkezet
RészletesebbenMEDINPROT Gépidő Pályázat támogatásával elért eredmények
A kisszögű röntgenszórási módszer fejlesztése fehérjék oldatfázisú mérésére Bóta Attila, Wacha András, Varga Zoltán MTA TTK Biológiai Nanokémia Kutatócsoport 1117 Bp. Magyar Tudósok krt. 2. MEDINPROT Gépidő
RészletesebbenAdatelemzési eljárások az idegrendszer kutatásban Somogyvári Zoltán
Adatelemzési eljárások az idegrendszer kutatásban Somogyvári Zoltán MTA KFKI Részecske és Magfizikai Intézet, Biofizikai osztály Az egy adatsorra (idősorra) is alkalmazható módszerek Példa: Az epileptikus
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenPontműveletek. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar február 20.
Pontműveletek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2012. február 20. Sergyán (OE NIK) Pontműveletek 2012. február 20. 1 / 40 Felhasznált irodalom
RészletesebbenRöntgen sugárzás. Wilhelm Röntgen. Röntgen feleségének keze
Röntgendiffrakció Kardos Roland 2010.03.08. Előadás vázlata Röntgen sugárzás Interferencia Huygens teória Diffrakció Diffrakciós eljárások Alkalmazás Röntgen sugárzás 1895 röntgen sugárzás felfedezés (1901
RészletesebbenBeugró kérdések. Elektrodinamika 2. vizsgához. Számítsa ki a gradienst, divergenciát és a skalár Laplace operátort henger koordinátákban!
Beugró kérdések Elektrodinamika 2. vizsgához. Görbült koordináták Henger koordináták: r=(ρ cos φ, ρ sin φ, z) Számítsa ki a gradienst, divergenciát és a skalár Laplace operátort henger koordinátákban!
RészletesebbenA sugárzás és az anyag kölcsönhatása. A béta-sugárzás és anyag kölcsönhatása
A sugárzás és az anyag kölcsönhatása A béta-sugárzás és anyag kölcsönhatása Cserenkov-sugárzás v>c/n, n törésmutató cos c nv Cserenkov-sugárzás Pl. vízre (n=1,337): 0,26 MeV c 8 m / s 2. 2* 10 A sugárzás
RészletesebbenPelletek térfogatának meghatározása Bayes-i analízissel
Pelletek térfogatának meghatározása Bayes-i analízissel Szepesi Tamás KFKI-RMKI, Budapest, Hungary P. Cierpka, Kálvin S., Kocsis G., P.T. Lang, C. Wittmann 2007. február 27. Tartalom 1. Motiváció ELM-keltés
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenPásztázó elektronmikroszkóp. Alapelv. Szinkron pásztázás
Pásztázó elektronmikroszkóp Scanning Electron Microscope (SEM) Rasterelektronenmikroskope (REM) Alapelv Egy elektronágyúval vékony elektronnyalábot állítunk elő. Ezzel pásztázzuk (eltérítő tekercsek segítségével)
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenT obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.
Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenSugárzások és anyag kölcsönhatása
Sugárzások és anyag kölcsönhatása Az anyaggal kölcsönhatásba lépő részecskék Töltött részecskék Semleges részecskék Nehéz Könnyű Nehéz Könnyű T D p - + n Radioaktív sugárzás + anyag energia- szóródás abszorpció
RészletesebbenGeorg Cantor (1883) vezette be Henry John Stephen Smith fedezte fel 1875-ben. van struktúrája elemi kis skálákon is önhasonló
láttuk, hogy a Lorenz egyenletek megoldásai egy nagyon bonyolult halmazt alkottak a fázistérben végtelenül komplex felület fraktál: komplex geometriai alakzatok, melyeknek elemi kis skálán is van finomszerkezete
RészletesebbenNE HABOZZ! KÍSÉRLETEZZ!
NE HABOZZ! KÍSÉRLETEZZ! FOLYADÉKOK FELSZÍNI TULAJDONSÁGAINAK VIZSGÁLATA KICSIKNEK ÉS NAGYOKNAK Országos Fizikatanári Ankét és Eszközbemutató Gödöllő 2017. Ötletbörze Kicsiknek 1. feladat: Rakj három 10
RészletesebbenFolyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv
Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Zsigmond Anna Julia Fizika MSc I. Mérés vezet je: Horváth Ákos Mérés dátuma: 2010. október 21. Leadás dátuma: 2010. november 8. 1 1. Bevezetés A mérés
RészletesebbenAkusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel
Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Fürjes Andor Tamás BME Híradástechnikai Tanszék Kép- és Hangtechnikai Laborcsoport, Rezgésakusztika Laboratórium 1 Tartalom A geometriai akusztika
RészletesebbenSzemcsehatárok geometriai jellemzése a TEM-ben. Lábár János
Szemcsehatárok geometriai jellemzése a TEM-ben Lábár János Szemcsehatárok geometriai jellemzése Rácsok relatív orientációja Coincidence Site Lattice (CSL) O-lattice Határ közelítése síkkal Határsík orientációja
RészletesebbenDigitális képek szegmentálása. 5. Textúra. Kató Zoltán.
Digitális képek szegmentálása 5. Textúra Kató Zoltán http://www.cab.u-szeged.hu/~kato/segmentation/ Textúra fogalma Sklansky: Egy képen egy területnek állandó textúrája van ha a lokális statisztikák vagy
RészletesebbenAtomenergetikai alapismeretek
Atomenergetikai alapismeretek 2. előadás Dr. Szieberth Máté Dr. Sükösd Csaba előadásanyagának felhasználásával Négyfaktor formula (végtelen kiterjedésű n-sokszorozó közeg) n Maghasadás (gyors neutronok)
RészletesebbenMikroszkóp vizsgálata Folyadék törésmutatójának mérése
KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 8. MÉRÉS Mikroszkóp vizsgálata Folyadék törésmutatójának mérése Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. október 12. Szerda délelőtti csoport
RészletesebbenGyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)
2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,
RészletesebbenA térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
RészletesebbenA térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
RészletesebbenGeometriai és hullámoptika. Utolsó módosítás: május 10..
Geometriai és hullámoptika Utolsó módosítás: 2016. május 10.. 1 Mi a fény? Részecske vagy hullám? Isaac Newton (1642-1727) Pierre de Fermat (1601-1665) Christiaan Huygens (1629-1695) Thomas Young (1773-1829)
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenAbszorpciós spektroszkópia
Tartalomjegyzék Abszorpciós spektroszkópia (Nyitrai Miklós; 2011 február 1.) Dolgozat: május 3. 18:00-20:00. Egész éves anyag. Korábbi dolgozatok nem számítanak bele. Felmentés 80% felett. A fény; Elektromágneses
RészletesebbenTovábblépés. Általános, lineáris modell. Példák. Jellemzık. Matematikai statisztika 12. elıadás,
Matematikai statisztika. elıadás, 9.5.. Továbblépés Ha nem fogadható el a reziduálisok korrelálatlansága: Lehetnek fel nem tárt periódusok De más kapcsolat is fennmaradhat az egymáshoz közeli megfigyelések
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenOptika és Relativitáselmélet
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 9. Szivárvány, korona és a glória Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007. Fı- és mellékszivárvány Fı- és mellékszivárvány Horváth Ákos felvételei Fı-
RészletesebbenAnyagi tulajdonságok meghatározása spektrálisan
Ágazati Á felkészítés a hazai EL projekttel összefüggő ő képzési é és K+F feladatokra" " 9. előadás Anyagi tulajdonságok meghatározása spektrálisan bontott interferometriával (SR) 1 Bevezetés A diszperzív
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
Részletesebben5.1. ábra. Ábra a 36A-2 feladathoz
5. Gyakorlat 36A-2 Ahogyan a 5. ábrán látható, egy fénysugár 5 o beesési szöggel esik síktükörre és a 3 m távolságban levő skálára verődik vissza. Milyen messzire mozdul el a fényfolt, ha a tükröt 2 o
RészletesebbenKéprekonstrukció 3. előadás
Képrekonstrukció 3. előadás Balázs Péter Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Szegedi Tudományegyetem Computed Tomography (CT) Elv: Röntgen-sugarak áthatolása 3D objektum 3D térfogati kép Mérések
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenA gradiens törésmutatójú közeg I.
10. Előadás A gradiens törésmutatójú közeg I. Az ugrásszerű törésmutató változással szemben a TracePro-ban lehetőség van folytonosan változó törésmutatójú közeg definiálására. Ilyen érdekes típusú közegek
RészletesebbenGeometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
RészletesebbenTartalomjegyzék. Emlékeztetõ. Emlékeztetõ. Spektroszkópia. Fényelnyelés híg oldatokban 4/11/2016. A fény; Abszorpciós spektroszkópia
Tartalomjegyzék PÉCS TUDOMÁNYEGYETEM ÁLTALÁNOS ORVOSTUDOMÁNY KAR A fény; Abszorpciós spektroszkópia Elektromágneses hullám kölcsönhatása anyaggal; (Nyitrai Miklós; 2016 március 1.) Az abszorpció mérése;
RészletesebbenHangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 3. MÉRÉS Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. november 23. Szerda délelőtti csoport 1. A
RészletesebbenKvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje
Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....
RészletesebbenTehetetlenségi nyomatékok
Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk
RészletesebbenEgyesített funkcionális renormálási csoport egyenlet
Egyesített funkcionális renormálási csoport egyenlet Nándori István MTA-DE Részecskefizikai Kutatócsoport, MTA-Atomki, Debrecen Magyar Fizikus Vándorgyűles, Debrecen, 2013 Kvantumtérelmélet Részecskefizika
RészletesebbenOPTIKA. Fotometria. Dr. Seres István
OPTIKA Dr. Seres István Segédmennyiségek: Síkszög: ívhossz/sugár Kör középponti szöge: 2 (radián) Térszög: terület/sugár a négyzeten sr A 2 r (szteradián = sr) i r Gömb középponti térszöge: 4 (szteradián)
RészletesebbenTartalomjegyzék. Emlékeztetõ. Emlékeztetõ. Spektroszkópia. Fényelnyelés híg oldatokban A fény; Abszorpciós spektroszkópia
Tartalomjegyzék PÉCS TUDOMÁNYEGYETEM ÁLTALÁNOS ORVOSTUDOMÁNY KAR A fény; Abszorpciós spektroszkópia Elektromágneses hullám kölcsönhatása anyaggal; (Nyitrai Miklós; 2015 január 27.) Az abszorpció mérése;
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
RészletesebbenDekonvolúció a mikroszkópiában. Barna László MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Nikon-KOKI képalkotó Központ
Dekonvolúció a mikroszkópiában Barna László MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Nikon-KOKI képalkotó Központ 2015 Fourier-Sorok Minden 2π szerint periodikus függvény előállítható f x ~ a 0 2 + (a
RészletesebbenHangintenzitás, hangnyomás
Hangintenzitás, hangnyomás Rezgés mozgás energia A hanghullámoknak van energiája (E) [J] A detektor (fül, mikrofon, stb.) kisiny felületű. A felületegységen áthaladó teljesítmény=intenzitás (I) [W/m ]
RészletesebbenFoton-visszhang alapú optikai kvantum-memóriák: koherens kontroll optikailag sűrű közegben
Foton-visszhang alapú optikai kvantum-memóriák: koherens kontroll optikailag sűrű közegben Demeter Gábor MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont, RMI Demeter Gábor (MTA Wigner RCP... / 4 Bevezetés / Motiváció
RészletesebbenFizikai kémia Diffrakciós módszerek. Bevezetés. Történeti áttekintés
06.08.. Fizikai kémia. 6. Diffrakciós módszerek Dr. Berkesi Ottó SZTE Fizikai Kémiai és Anyagtudományi Tanszéke 05 Bevezetés A kémiai szerkezet vizsgálatához használatos módszerek közül eddig a különöző
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenMatematika A1. 8. feladatsor. Dierenciálás 2. Trigonometrikus függvények deriváltja. A láncszabály. 1. Határozzuk meg a dy/dx függvényt.
Matematika A 8. feladatsor Dierenciálás Trigonometrikus függvények deriváltja. Határozzuk meg a dy/d függvényt. a) y = 0 + 3 cos 0 3 sin b) y = sin 4 + 7 cos sin c) y = ctg +ctg sin )+ctg ) d) y = tg cos
RészletesebbenA Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy
8 Görbevonalú koordináták A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle
RészletesebbenHangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk
Részletesebbenbiometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás
Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenKorreláció és lineáris regresszió
Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.
RészletesebbenSzerkezetvizsgálat ANYAGMÉRNÖK ALAPKÉPZÉS (BSc)
Szerkezetvizsgálat ANYAGMÉRNÖK ALAPKÉPZÉS (BSc) TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ MISKOLCI EGYETEM MŰSZAKI ANYAGTUDOMÁNYI KAR ANYAGTUDOMÁNYI INTÉZET Miskolc, 2008. 1. Tantárgyleírás Szerkezetvizsgálat kommunikációs
RészletesebbenAz előadás tartalma. Debrecen 110 év hosszúságú csapadékadatainak vizsgálata Ilyés Csaba Turai Endre Szűcs Péter Ciklusok felkutatása
Miskolci Egyetem Környezetgazdálkodási Intézet Geofizikai és Térinformatikai Intézet MTA-ME Műszaki Földtudományi Kutatócsoport Debrecen 110 év hosszúságú csapadékadatainak vizsgálata Ilyés Csaba Turai
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenOptika gyakorlat 7. Fresnel együtthatók, Interferencia: vékonyréteg, Fabry-Perot rezonátor
Optika gyakorlat 7. Fresnel együtthatók, Interferencia: vékonyréteg, Fabry-Perot rezonátor Fresnel együtthatók A síkhullámfüggvény komplex alakja: ahol a komplex amplitudó: E E 0 exp i(ωt k r+φ) E 0 exp
RészletesebbenA talajok összenyomódásának vizsgálata
A talajok összenyomódásának vizsgálata Amit már tudni kellene Összenyomódás Konszolidáció Normálisan konszolidált talaj Túlkonszolidált talaj Túlkonszolidáltsági arányszám,ocr Konszolidáció az az időben
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenMolekuláris dinamika I. 10. előadás
Molekuláris dinamika I. 10. előadás Miről is szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten minden részecske mozgását szimuláljuk? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok,
RészletesebbenElektromos alapjelenségek
Elektrosztatika Elektromos alapjelenségek Dörzselektromos jelenség: egymással szorosan érintkező, vagy egymáshoz dörzsölt testek a szétválasztásuk után vonzó, vagy taszító kölcsönhatást mutatnak. Ilyenkor
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenOptika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 2. Fényhullámok tulajdonságai Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007. Az elektromágneses spektrum Látható spektrum (erre állt be a szemünk) UV: ultraibolya
Részletesebben17. Diffúzió vizsgálata
Modern Fizika Labor Fizika BSC A mérés dátuma: 2011.11.24. A beadás dátuma: 2011.12.04. A mérés száma és címe: 17. Diffúzió vizsgálata A mérést végezte: Németh Gergely Értékelés: Elméleti háttér Mi is
RészletesebbenKépfeldolgozás. 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei. Mechatronikai mérnök szak BME, 2008
Képfeldolgozás 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei Mechatronikai mérnök szak BME, 2008 1 / 61 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi
RészletesebbenBevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
RészletesebbenUniverzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza
Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza odor@mfa.kfki.hu 1. Bevezetõ, dinamikus skálázás, kritikus exponensek, térelmélet formalizmus, renormalizáció, topológius fázis diagrammok,
RészletesebbenModern Fizika Labor. 17. Folyadékkristályok
Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 2011. okt. 11. A mérés száma és címe: 17. Folyadékkristályok Értékelés: A beadás dátuma: 2011. okt. 23. A mérést végezte: Domokos Zoltán Szőke Kálmán Benjamin
RészletesebbenWavelet transzformáció
1 Wavelet transzformáció Más felbontás: Walsh, Haar, wavelet alapok! Eddig: amplitúdó vagy frekvencia leírás: Pl. egy rövid, Dirac-delta jellegű impulzus Fourier-transzformált: nagyon sok, kb. ugyanolyan
RészletesebbenAz LHC TOTEM kísérlete
Az LHC TOTEM kísérlete Csanád Máté ELTE Atomfizikai Tanszék XV. Magfizikus Találkozó, Jávorkút, 2012. szeptember 3-5. 2012. szeptember 5. Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék XV. Magfizikus Találkozó
RészletesebbenPolimerek alkalmazástechnikája BMEGEPTAGA4
Polimerek alkalmazástechnikája BMEGEPTAGA4 2015. október 21. Dr. Mészáros László A gyártástechnológia hatása PA 6 esetén 2 Gyártástechnológia Szakítószilárdság [MPa] Extrudálás 50 65 Tömbpolimerizáció
RészletesebbenElektromágneses hullámok - Interferencia
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (d) Elektromágneses hullámok - Interferencia Utolsó módosítás: 2012 október 18. 1 Interferencia (1) Mi történik két elektromágneses hullám találkozásakor? Az elektromágneses
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben1.feladat. Megoldás: r r az O és P pontok közötti helyvektor, r pedig a helyvektor hosszának harmadik hatványa. 0,03 0,04.
.feladat A derékszögű koordinátarendszer origójába elhelyezünk egy q töltést. Mekkora ennek a töltésnek a 4,32 0 nagysága, ha a töltés a koordinátarendszer P(0,03;0,04)[m] pontjában E(r ) = 5,76 0 nagyságú
Részletesebben3.1. ábra ábra
3. Gyakorlat 28C-41 A 28-15 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető 3.1. ábra. 28-15 ábra réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség
RészletesebbenReológia Mérési technikák
Reológia Mérési technikák Reológia Testek (és folyadékok) külső erőhatásra bekövetkező deformációját, mozgását írja le. A deformációt irreverzibilisnek nevezzük, ha a az erőhatás megszűnése után a test
RészletesebbenReális kristályok, rácshibák. Anyagtudomány gyakorlat 2006/2007 I.félév Gépész BSC
Reális kristályok, rácshibák Anyagtudomány gyakorlat 2006/2007 I.félév Gépész BSC Valódi, reális kristályok Reális rács rendezetlenségeket, rácshibákat tartalmaz Az anyagok tulajdonságainak bizonyos csoportja
Részletesebben