1. A szerkezetszintézis matematikai módszerei 1.1 Történelmi áttekintés

Átírás

1 Történelmi áttekintés Tudatosan, vagy tudat alatt az emberek a mindennapi életük során optimálnak, hogy a lehető legjobb eredményt érjék el a rendelkezésre álló feltételek mellett. A tudatosság ezt a folyamatot hatékonyabbá teszi. Célokat tűznek ki maguk elé és feltételek vannak, melyek irányítják őket. Az optimálás matematikai módszerei visszavezethetők Newton, Lagrange és Cauchy idejébe. Továbbfejlődésük úgy vált lehetővé, hogy Newton és Leibnitz kifejlesztette a differenciálszámítást, illetve a Bernoulli, Euler, Lagrange és Weierstrass által kidolgozott variációszámítás révén, a Lagrange-féle multiplikátorok bevezetésével. A többcélfüggvényes optimálás koncepcióját több mint egy évszázada (1896 Pareto dolgozta ki. Az első analitikus szerkezetoptimálási művet Maxwell írta 1890-ben. Ezt követte a jól ismert rácsos tartó optimálásról szóló Michell cikk 1904-ben. Ezen munkák a rácsos tartók elméleti súlyminimumát határozták meg kézi számítással, erősen idealizált modellek alkalmazásával, de a szerkezetoptimálás analitikus módszere ma is használatos. A II. Világháború alatt, a 40-es években és az 50-es évek elején az optimálás fő fejlődési területe a minimális súlyra való törekvés volt a repülőgépek szerkezeti elemeinél, oszlopoknál, bordázott lemezeknél, nyomóerő mellett, a kihajlás, horpadás figyelembevételével. A digitális számítógépek megjelenése az 50-es évek elején erős impulzust adott a lineáris programozási technikák elterjedésének. Az alkalmazások elsődlegesen a keretszerkezetek körében voltak. Az 50-es évek második felében és a 60-as években a szerkezetoptimálás fő alkalmazási területei a repülő- és űripar könnyűszerkezetes berendezései voltak. Ebben az időben néhány új optimálási eljárást Rosenbrock, Box, Powell kifejlesztett ki. Ennek az időszaknak a legnagyobb numerikus számítási fejlődése a végeselemes módszer kifejlesztése volt Zienkiewicz által, mely képes volt komplex szerkezetek hatékony analízisét elvégezni. A modern szerkezetoptimálás elmélete Schmit 1960-as cikkében került ismertetésre. Bemutatta, hogyan épül fel a szerkezetanalízis és a szerkezetszintézis hierarchiája, hogyan lehet matematikai programozási eljárások felhasználásával nemlineáris egyenlőtlenségi feltételekkel leírható problémákat megoldani. Ez a munka mérföldkő volt, új szemléletet vezetett be a mérnöki tervezésben, a szerkezetszintézist, amely tisztábbá tette az optimálás módszertanát.

2 4 1.2 Tervezési változók, célfüggvények, méretezési feltételek, paraméterek A célfüggvény (többcélfüggvényes optimálásnál több célfüggvény, a tervezési változók, a paraméterek és a méretezési feltételek határozzák meg az optimálási problémát Tervezési változók, előre megadott paraméterek A szerkezetet leíró mennyiségek két nagy csoportba sorolhatók: előre megadott paraméterek és tervezési változók. A különbség az közöttük, hogy az első csoport elemei rögzítettek az optimálás során, a második csoport elemei, a tervezési változók az optimálás során változnak. Ezek a paraméterek határozzák meg a szerkezet geometriáját, anyagi viselkedését. A tervező joga eldönteni, melyik mennyiség lesz rögzített, melyik változik. Ezek lehetnek a keresztmetszetterületek, az elem méretek, vastagságok, a szerkezeti elemek hosszai, az anyag mechanikai és fizikai jellemzői, az elemek száma (topológia, a szerkezet alakja, stb. Például egy egyszerű tartónál ezen mennyiségek a következők lehetnek: 1. a tartó fesztávja, 2. a keresztmetszet méretei, területe, 3. az alkalmazott anyag jellemzői (rugalmassági modulusz, folyáshatár, sűrűség, 4. terhelések, erők, nyomatékok, 5. a tartó alakja, 6. a támaszok jellege, 7. a támaszok száma. Ezek egy része lehet tervezési változó, az összes többi előre megadott paraméter. Keresztmetszeti tervezési változók Tervezési változóként a méretek a legtermészetesebbek és a leggyakoribbak. Lehetnek még tervezési változók a következők: húzott-nyomott elemeknél a keresztmetszet-terület, hajlított elemeknél az inercianyomaték, vagy a lemezvastagságok. Egyszerűbb esetekben egy tervezési változó (pl. keresztmetszet-terület elegendő a szelvény leírásához, de részletesebb tervezéshez számos változó bevezetése szükséges. Például, ha egy kihajlás szempontjából veszélyes szelvényt vizsgálunk, akkor az inercianyomaték, vagy az inerciasugár ismerete is szükséges. Megjegyezzük, hogy ha egy problémát kevesebb tervezési változóval sikerül leírni, akkor az az optimálás szempontjából kedvező. Az analízis oldaláról a hatás ezzel ellentétes lehet. Anyagra vonatkozó tervezési változók A rugalmassági modulusz, a folyáshatár, a sűrűség, a hővezetési tényező, a fajhő, stb. lehetnek az anyagra vonatkozó tervezési változók. Ezen jellemzők diszkrét karakterűek, vagyis csak egy

3 5 bizonyos mennyiségű variáns létezik. Az esetek nagy részében az optimálási eljárás nem diszkrét, így ezen mennyiségek nehezítik a probléma megoldását. Ha az optimáló eljárás diszkrét, mint pl. a backtrack módszer, akkor ez nem vetődik fel problémaként. Ekkor a nem diszkrét változók értékeinek megkeresése okozhat problémát. Ha a feladatnál kevés a diszkrét anyagjellemzők száma, akkor hatékonyabb az optimálást szeparáltan elvégezni, minden anyagjellemző értékre. Geometriai tervezési változók A geometriai tervezési változók lehetnek a tartó hossza, a rácsos tartó, vagy a keretszerkezet csomóponti koordinátái. Bár a legtöbb gyakorlati szerkezetnél a geometria már az optimálás előtt ki van választva, de a geometriai változókat a legtöbb optimáló eljárás kezelni tudja. Általában a szerkezet geometriája folytonosan változó értékekkel van megadva. Topológiai tervezési változók A topológia a szerkezet elrendezését, az alátámasztások számát, az elemek számát, stb. jelenti. Ezek lehetnek mind diszkrét, mind folytonos változók. Rácsos tartóknál a topológia automatikusan optimálható, ha megengedjük, hogy a keresztmetszet-terület nulla legyen. Ezek a vakrudak és elhagyásuk az optimálás során az eredeti struktúrát is átformálja. Integer topológiai változók lehetnek például a hídszerkezet fesztávjainak száma, a támasztóoszlopok száma tetőszerkezetnél, tartórácsnál az elemek száma Méretezési feltételek A szerkezetanalízis írja le a szerkezet viselkedését. Ez összefoglalóan jelentheti a szerkezetben az erőket, a feszültségeket, az alakváltozásokat, a sajátfrekvenciákat, a csillapítási tényezőket, stb. A "viselkedés" ezen jellemzői adják meg a méretezési feltételeket. A tervezési változók értékei jellemzik a tervezés alatt álló szerkezetet. Ha a tervezési változók adott értékei teljesítik a feltételeket (a feszültségek, az alakváltozások, stb. kisebbek, mint a megengedett akkor a tervezés megfelelő. Ezek a feltételek jelentik az optimális méretezés során a méretezési feltételeket. A méretezési feltételek két fő csoportra oszthatók: explicit és implicit.

4 6 Explicit méretezési feltételek Explicit méretezési feltételek azok, melyek a tervezési változók értékeire vonatkoznak. Ezek vagy méretkorlátozási feltételek, vagy technológiai feltételek. Az explicit méretezési feltételek különböző megfontolásokból adódhatnak: gyártási, esztétikai, funkcionális, stb. Ezen feltételek határokat adnak meg a tervezési változók alsó és felső értékeire vonatkozólag. Ilyen lehet egy csarnokkeretnél a tető hajlási szögének határai, bármilyen hegesztett szerkezetnél a lemezvastagság alsó és felső értékei, szekrényszelvényű tartónál a gerincmagasság és az övszélesség aránya esztétikai szempontból, stb. Implicit méretezési feltételek Azokat a feltételeket, melyek a szerkezet viselkedéséből adódnak nevezzük implicit méretezési feltételeknek. Ezek a feltételek határokat, általában maximumot adnak meg a feszültségre, az alakváltozásra, a globális és lokális horpadásra, a sajátfrekvenciára, a csillapításra, stb. vonatkozólag. Az implicit méretezési feltételek tervezési változóktól való függése áttételesebb. Az implicit feltételek gyakran tervezési előírások, szabványok képleteiből adódnak. Másik része a feltételeknek numerikus számítás eredménye lehet, pl. a végeselemes számítás értékei. Az esetek túlnyomó részében ezen feltételek egyenlőtlenségek. Ritka az egyenlőségi feltétel. A feltételek lehetnek lineárisak, vagy nemlineárisak a tervezési változók szempontjából. Ezek a függvények, melyek explicitek, vagy implicitek, a megengedett tartományon X elemezhetők analitikus, vagy numerikus módszerekkel. Az optimálási feladat speciális eseteitől eltekintve fontos hogy a feltételi függvények folytonosak legyenek, még első deriváltjaikban is X -en. Tervezési tér, megengedett tartomány Minden változót úgy tekinthetünk, mint a tervezési tér egy dimenzióját és a tervezési változók értékét mint a tér egy pontját. Két változó esetén a tervezési tér kétdimenziós. Általános esetben N változó mellett N-dimenziós hipertérben dolgozunk. Ha csak az egyenlőtlenségi feltételeket tekintjük, akkor a tervezési változók lehetséges értékei megadják a megengedett tartományt. Ha az egyenlőtlenségi feltételek határértékét vesszük, amikor a g j (x= 0 teljesül, akkor megkapjuk a tartomány határvonalát. Ez a határvonal a teret két részre bontja: az egyik, ahol g j (x < 0 (ezek a belső pontok, a másik, ahol g j (x > 0 (ezek a külső pontok. A belső pontok jelentik a megengedett tartományt. A feltételes optimálási probléma számítása során

5 7 a megoldás a legtöbb esetben a határvonalon, vagy felületen van. A megoldás lehet lokális, vagy globális optimum (lásd 1.1, 1.2 ábrák. A tervezési változó bármely x vektorát, mely kielégíti mind az egyenlőségi, mind az egyenlőtlenségi feltételeket, megfelelő pontnak, vagy vektornak nevezzük. Ezen megfelelő pontok halmaza határozza meg az f(x függvényre a megengedett tartományt X; minden más X -en kívüli pont nem megfelelő. f(x lokális optimum globális optimum 1.1 ábra Optimum egy változó esetén x Konvexitás, konkavitás Nagyon fontos annak a meghatározása, hogy milyen feltételek esetén lesz a lokális optimum egyben globális is. Ez függ a megengedett tartomány alakjától, függ a méretezési feltételektől. Konvex tartomány esetén a lokális optimum globális is, egyébként számos lokális optimum lehet (1.3a,b ábra. Konvex a tartomány, ha bármely két belső pontját egyenessel összekötve az egyenes minden pontja a tartományba esik, egyébként nem konvex, hanem konkáv a tartomány. Az F tartomány (a megengedett tartomány konvex, ha bármely két belső pontját, x 1, x 2 összekötő egyenes csak belső pontokat érint. Matematikailag a Φ függvény konvex, ha Φ (Θ x 1 +(1+Θ x 2 Θ Φ(x1+(1 Θ Φ(x 2 a megengedett tartományon. Θ skalár mennyiség a következő értékekkel 0 Θ 1. A 1.4a ábra példákat mutat konvex, a 1.4b ábra nem konvex tartományokra. Ezeket más néven konkávnak is nevezik. Nincs analitikus módszer annak eldöntésére, hogy a probléma konvex-e, vagy nem konvex.

6 8 x 2 globális optimum lokális optimum megengedett tartomány x ábra Optimum két változó esetén X 2 X M 1 M (a X 1 (b X 1 1.3a. ábra Konvex tartomány b. Nem konvex tartomány φ(x φ(x φ(x 1 θφ(x 1 +(1-θφ(x 2 φ(x 1 φ(x 2 φ(0x 1 +(1-0x 2 θφ(x 2 +(1-θφ(x 2 φ(0x 1 +(1-0x 2 φ(x 2 x 1 x 2 x' x x 1 x 2 x' x (a (b 1.4 ábra Konvex és nem konvex függvények egy változó esetén

7 Célfüggvény A legtöbb gyakorlati esetben végtelen számú megfelelő megoldás létezik. Ahhoz, hogy megtaláljuk a legjobb megoldást, szükséges egy olyan függvényt létrehozni, mellyel összehasonlítást tehetünk a tervezési alternatívák között. Ezt hívják célfüggvénynek (vagy költségfüggvénynek, melynek a legnagyobb, vagy legkisebb értékének megkeresése a feladat egy optimálás során. Általában az x változók nemlineáris függvénye és lehet a szerkezet tömege, költsége, vagy bármely más függvény, melynek az extrémuma a probléma egy lehetséges és hasznos megoldását jelenti. Az f(x függvény minimálása megfelel a - f(x függvény maximálásának és fordítva. A megfelelő célfüggvény kiválasztása az egyik legfontosabb döntés lehet az egész optimálási folyamat során. Ha több célfüggvényt is kiválasztunk optimálás szempontjából, akkor eljutunk a többcélfüggvényes optimálás területéhez. (leírása az 1.11 fejezetben található és a legfontosabb döntés ilyenkor az, hogy különböző célfüggvények relatív fontosságát megválasszuk. A tömeg a leggyakrabban választott célfüggvény, mert annak meghatározása relatíve könnyű. Az optimálás nem kötött a tömegminimáláshoz. A minimális tömeg általában nem a legolcsóbb. A költség gyakorlati szempontból fontosabb, mint a tömeg, de általában költségadatokhoz nehéz hozzájutni. Egy általános költségfüggvény tartalmazza a következőket: anyag-, gyártási-, hegesztési-, festési-, szerelési-, vágási költség, stb. (lásd 2. fejezet. 1.3 Az optimáló eljárások csoportosítása A különféle egycélfüggvényes optimáló eljárások lehetővé teszik a tervezőnek, hogy meghatározza a szerkezet optimális méreteit, a legjobb megoldást számos alternatíva közül. Ezen optimáló matematikai programozási technikák hatékonysága nagyon különböző. Nagyszámú algoritmust írt le nemlineáris problémák megoldására Himmelblau (1972, Vanderplaats (1984, Rao (1984, Schittkowski és szerzőtársai (1994. Mindegyik eljárásnak van kedvező és kedvezőtlen tulajdonsága, egyik sem felel meg minden esetre. Egy bizonyos algoritmus kiválasztása függ a probléma jellegétől és a felhasználótól. Az egycélfüggvényes nemlineáris programozási feladat általánosan a következőképpen írható fel: minimálja az f ( x x = {x 1, x 2,..., x N } célfüggvényt, (1.1 miközben gj ( x 0, j = 1, 2,..., P, (1.2 hi( x = 0 i = P+ 1,..., P+ M, (1.3

8 10 f(x egy többváltozós nemlineáris függvény, g j (x és h i (x nemlineáris egyenlőtlenségi és egyenlőségi méretezési feltételek. Ha a szerkezetanalízist, az egy- és többcélfüggvényes optimálást, valamint a szakértői rendszereket (10. fejezet tekintjük, hierarchiájuk a 1.5 ábra szerinti. szakértő rendszerek többcéfüggvényes optimálás egycéfüggvényes optimálás analízis 1.5 ábra A különböző tervezési szintek hierarchiája Az optimális méretezés logikai struktúrája az 1.6. ábrán látható. Ez követi a logikus emberi gondolkodást. Az egyes szintek között szoros kapcsolat van. Ha az optimum megtalálása nem sikerül, akkor vissza kell térnünk az analízis fázishoz. Az optimálás egy jó megoldása úgy érhető el, ha több kört végigszámolunk a struktúrában. probléma meghatározás cél meghatározás modell kialakítás elemzés optimálás értékelés általánosítás összehasonlítás 1.6 ábra Az optimálás logikai struktúrája

9 11 Az optimáló modellek nagyon különbözők lehetnek egymástól. Az 1.7 ábra mutatja az alternatívákat. - Analitikus és numerikus Az analitikus módszerek a differenciálszámítás és a variációszámítás matematikai módszereit alkalmazzák. Ezen módszerek az f(x függvény extrémumát keresik az x értéke mellett, amikor f(x deriváltja x szerint zéró. Amikor f(x extrémumát méretezési feltételek mellett keresi, akkor a Lagrange-féle multiplikátorok és a feltételek variációs módszere használatos. Az analitikus módszerek alkalmazása esetén az optimálandó problémának matematikai kifejezésekkel leírtnak kell lennie úgy, hogy a célfüggvény és a változók ismert matematikai szabályok szerint kezelhetők legyenek. Nagyméretű, erősen nemlineáris problémák esetén az analitikus módszerek nem megfelelőek. deriváltat használó folyamatos deriváltat nem használó többszintû diszkrét egyszintû többcélfüggvényes egycélfüggvényes optimáló modell korlátozott nem korlátozott lineáris nemlineáris egyenlõtlenségi feltételek egyenlõségi feltételek analitikus numerikus 1.7 ábra Különböző optimáló modellek A numerikus módszerek általában matematikai programozást alkalmaznak. A numerikus módszerek a korábbi információkat használják, azért hogy iteratív eljárással az optimálási probléma jobb megoldását adják. Olyan problémákat meg lehet velük oldani, melyek analitikusan nem megoldhatók. Ezen hatékonyság miatt foglalkozunk a nemlineáris programozás numerikus

10 x 2 x 1 12 módszereivel. A numerikus optimálás iteratív eljárása a 1.8 ábrán látható. Látható, hogy a célfüggvény értéke folyamatosan csökken az egyes iterációs lépésekben. Az egyes lépésirányok meghatározása a különböző eljárásoknál eltérően történik. - Feltétel nélküli, feltételes Az optimáló eljárások első generációjánál csak a célfüggvény minimálása, vagy maximálása volt a cél feltételek nélkül. Néhány eljárás, mint például a SUMT (lásd fejezet, a feltételes optimálást feltétel nélkülivé transzformálja büntetőfüggvények alkalmazásával. A gyakorlati problémáknál, ahol számos feltétel adott, a feltételes optimáló eljárások alkalmazhatók. x 2 C 1 <C 2 <...<C 7 λ 1 λ 2 x 4 x 3 x 5 optimum x 6 f=c 1 f=c 2 f=c 3 f=c 4 f=c 6 f=c 7 f=c 5 x ábra. A numerikus optimálás iteratív eljárása - Egy- és többváltozós Newton és Leibnitz által kidolgozott differenciálszámítás, a Bernoulli, Euler, Lagrange és Weierstrass által kidolgozott variációszámítás teremtették meg az egycélfüggvényes optimálás alapjait. A legtöbb feltételes egycélfüggvényes optimáló eljárás hatékony, ha a változók száma nem

11 13 túl nagy ( Több változó esetén (néhány száz speciális eljárások kerültek kifejlesztésre (Rozvany Egy- és többcélfüggvényes A célfüggvény lehet a tömeg, a költség, a szilárdság, a megbízhatóság, stb. Ha nem minden célfüggvény egyformán fontos (nincs domináló célfüggvény, akkor a többcélfüggvényes eljárások használhatók, hogy az un. Pareto megoldáshalmazt előállítsák (a nem domináló függvényekhez tartozó megoldásokat és hogy kiválasszák a sokszor egymás ellen ható célfüggvények legjobb kompromisszumos megoldását (lásd fejezet. A többcélfüggvényes optimáló eljárások alapja, hogy a vektoroptimálási problémát transzformálják egycélfüggvényes feladatok sorára. Másik lehetőség, hogy a legfontosabb célfüggvényt kiválasztják, mint egyedüli célfüggvényt és a többi célfüggvényre határokat adnak meg. - Diszkrét és folytonos A legtöbb optimáló eljárás folytonos, nem diszkrét, ami azt jelenti, hogy a változók folytonosan változnak. Ezek nagyon robusztusak és gyorsak lehetnek. A diszkrét optimálás a szerkezetoptimálás egy másik vonulata és megvannak a maga előnyei. Legfőbb előnye, hogy az eredmények akár közvetlenül használhatók. Számos hibrid eljárás jelent meg, hogy kiaknázza a két oldal előnyeit. - Szerkezetfüggetlen és szerkezetfüggő eljárások Van több olyan optimáló eljárás, melynek kialakítása függ a megoldandó problémától. Ha változik valami a feladatnál, pl. a változók száma, akkor az az algoritmus módosítását igényli. Ilyen módszer az optimalitási kritérium módszere (1.7 fejezet. Más eljárások univerzálisnak tekinthetők abban az értelemben, hogy az algoritmus magja változatlan, csak a feladat leírását, a célfüggvényt, az egyenlőtlenségi-, a méretkorlátozási feltételeket kell módosítani. - Egy- és többszintes optimálás Nagy szerkezetek optimálásánál használatos a többszintes optimálás, amikor dekompozicióval részekre bontva a problémát, az egyes részproblémák külön kerülnek megoldásra. A koordinációs

12 14 szinten a részek optimumai összegződnek és adják a megoldást, mely konvergál az eredeti rendszer megoldásához (Jendo és Stachowicz 1986; Kirsch 1975; Sobieszczanski-Sobieski és szerzőtársai Számos mérnöki szerkezet részekre bontható. Például egy csarnokszerkezet felbontható a következőkre: tetőzet panelek, rácsos tartók, oszlopok, falszerkezet és alapozás. Az optimálási eljárás során szükséges a helyi tervezési változókat kiválasztani, melyek az adott szerkezetrész vizsgálatához szükségesek és a globális változókat, melyek legalább két, vagy több alrendszerre vonatkoznak. Az egyes alrendszerek egymástól függetlenül kerülnek optimálásra a lokális tervezési változók mellett. A koordinálás már a globális célfüggvény figyelembevételével történik a koordinációs változók (globális változók vonatkozásában.