Pókok és hurkok Ízelít a topológikus xponttételek elméletéb l
|
|
|
- Lilla Péterné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Ízelít a topológikus xponttételek elméletéb l Bessenyei Mihály Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia Partiumi Keresztény Egyetem (Nagyvárad), 2013 január 2527.
2 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika néhány jeles képvisel je
3 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika néhány jeles képvisel je K nig Gyula ( ): halmazelmélet
4 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika néhány jeles képvisel je K nig Gyula ( ): halmazelmélet Kürschák József ( ): tehetséggondozás
5 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika néhány jeles képvisel je K nig Gyula ( ): halmazelmélet Kürschák József ( ): tehetséggondozás Riesz Frigyes ( ): funkcionálanalízis
6 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika néhány jeles képvisel je K nig Gyula ( ): halmazelmélet Kürschák József ( ): tehetséggondozás Riesz Frigyes ( ): funkcionálanalízis Fejér Lipót ( ): approximációelmélet
7 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika néhány jeles képvisel je K nig Gyula ( ): halmazelmélet Kürschák József ( ): tehetséggondozás Riesz Frigyes ( ): funkcionálanalízis Fejér Lipót ( ): approximációelmélet Haar Alfréd ( ): mértékelmélet
8 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika néhány jeles képvisel je K nig Gyula ( ): halmazelmélet Kürschák József ( ): tehetséggondozás Riesz Frigyes ( ): funkcionálanalízis Fejér Lipót ( ): approximációelmélet Haar Alfréd ( ): mértékelmélet Pólya György ( ): módszertan
9 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika néhány jeles képvisel je K nig Gyula ( ): halmazelmélet Kürschák József ( ): tehetséggondozás Riesz Frigyes ( ): funkcionálanalízis Fejér Lipót ( ): approximációelmélet Haar Alfréd ( ): mértékelmélet Pólya György ( ): módszertan Neumann János ( ): funkcionálanalízis
10 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika néhány jeles képvisel je K nig Gyula ( ): halmazelmélet Kürschák József ( ): tehetséggondozás Riesz Frigyes ( ): funkcionálanalízis Fejér Lipót ( ): approximációelmélet Haar Alfréd ( ): mértékelmélet Pólya György ( ): módszertan Neumann János ( ): funkcionálanalízis Erd s Pál ( ): kombinatorika
11 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika néhány jeles képvisel je K nig Gyula ( ): halmazelmélet Kürschák József ( ): tehetséggondozás Riesz Frigyes ( ): funkcionálanalízis Fejér Lipót ( ): approximációelmélet Haar Alfréd ( ): mértékelmélet Pólya György ( ): módszertan Neumann János ( ): funkcionálanalízis Erd s Pál ( ): kombinatorika Tandori Károly ( ): approximációelmélet
12 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika sikerének háttere
13 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika sikerének háttere Elit iskolák, kimagasló tanáregyéniségek
14 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika sikerének háttere Elit iskolák, kimagasló tanáregyéniségek Tehetséggondozás: tagozatok, szakkörök, versenyek
15 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika sikerének háttere Elit iskolák, kimagasló tanáregyéniségek Tehetséggondozás: tagozatok, szakkörök, versenyek Könyvek, folyóiratok (KöMaL)
16 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika sikerének háttere Elit iskolák, kimagasló tanáregyéniségek Tehetséggondozás: tagozatok, szakkörök, versenyek Könyvek, folyóiratok (KöMaL) Szemléletmód, szemléletformálás
17 Bevezet gondolatok A modern magyar matematika sikerének háttere Elit iskolák, kimagasló tanáregyéniségek Tehetséggondozás: tagozatok, szakkörök, versenyek Könyvek, folyóiratok (KöMaL) Szemléletmód, szemléletformálás Szemléletmód, szemléletformálás A versenyfeladatokhoz közölt megoldások igen gyakran rámutatnak az általánosítási lehet ségekre, s t számos esetben kitekintést adnak a magasabb matematika diszciplináira és módszereire. (Lásd például: Matematikai versenytételek; KöMaL.)
18 Bevezet gondolatok Feladat Határozza meg mindazon f : R R függvényeket, amelyekre minden x, y R esetén f (x) f (y) (x y) 2 teljesül!
19 Bevezet gondolatok Feladat Határozza meg mindazon f : R R függvényeket, amelyekre minden x, y R esetén f (x) f (y) (x y) 2 teljesül! Megoldás Föltehet, hogy x < y ; legyen x 0 = x és x n = y. Osszuk föl az [x, y] intervallumot n egyenl részre, s jelölje a k-adik osztópontot x k.
20 Bevezet gondolatok Feladat Határozza meg mindazon f : R R függvényeket, amelyekre minden x, y R esetén f (x) f (y) (x y) 2 teljesül! Megoldás Föltehet, hogy x < y ; legyen x 0 = x és x n = y. Osszuk föl az [x, y] intervallumot n egyenl részre, s jelölje a k-adik osztópontot x k. Ekkor f (x k ) f (x k 1 )
21 Bevezet gondolatok Feladat Határozza meg mindazon f : R R függvényeket, amelyekre minden x, y R esetén f (x) f (y) (x y) 2 teljesül! Megoldás Föltehet, hogy x < y ; legyen x 0 = x és x n = y. Osszuk föl az [x, y] intervallumot n egyenl részre, s jelölje a k-adik osztópontot x k. Ekkor f (x k ) f (x k 1 ) (x k x k 1 ) 2 =
22 Bevezet gondolatok Feladat Határozza meg mindazon f : R R függvényeket, amelyekre minden x, y R esetén f (x) f (y) (x y) 2 teljesül! Megoldás Föltehet, hogy x < y ; legyen x 0 = x és x n = y. Osszuk föl az [x, y] intervallumot n egyenl részre, s jelölje a k-adik osztópontot x k. Ekkor f (x k ) f (x k 1 ) (x k x k 1 ) 2 = (y x)2 h =: n 2 n. 2
23 Bevezet gondolatok Feladat Határozza meg mindazon f : R R függvényeket, amelyekre minden x, y R esetén f (x) f (y) (x y) 2 teljesül! Megoldás Föltehet, hogy x < y ; legyen x 0 = x és x n = y. Osszuk föl az [x, y] intervallumot n egyenl részre, s jelölje a k-adik osztópontot x k. Ekkor f (x k ) f (x k 1 ) (x k x k 1 ) 2 = (y x)2 h =: n 2 n. 2 Így, teleszkópikus összegzést és háromszög-egyenl tlenséget alkalmazva, f (y) f (x) =
24 Bevezet gondolatok Feladat Határozza meg mindazon f : R R függvényeket, amelyekre minden x, y R esetén f (x) f (y) (x y) 2 teljesül! Megoldás Föltehet, hogy x < y ; legyen x 0 = x és x n = y. Osszuk föl az [x, y] intervallumot n egyenl részre, s jelölje a k-adik osztópontot x k. Ekkor f (x k ) f (x k 1 ) (x k x k 1 ) 2 = (y x)2 h =: n 2 n. 2 Így, teleszkópikus összegzést és háromszög-egyenl tlenséget alkalmazva, f (y) f (x) = n ( f (xk ) f (x k 1 ) ) k=1
25 Bevezet gondolatok Feladat Határozza meg mindazon f : R R függvényeket, amelyekre minden x, y R esetén f (x) f (y) (x y) 2 teljesül! Megoldás Föltehet, hogy x < y ; legyen x 0 = x és x n = y. Osszuk föl az [x, y] intervallumot n egyenl részre, s jelölje a k-adik osztópontot x k. Ekkor f (x k ) f (x k 1 ) (x k x k 1 ) 2 = (y x)2 h =: n 2 n. 2 Így, teleszkópikus összegzést és háromszög-egyenl tlenséget alkalmazva, f (y) f (x) = n ( f (xk ) f (x k 1 ) ) n f (xk ) f (x k 1 ) k=1 k=1
26 Bevezet gondolatok Feladat Határozza meg mindazon f : R R függvényeket, amelyekre minden x, y R esetén f (x) f (y) (x y) 2 teljesül! Megoldás Föltehet, hogy x < y ; legyen x 0 = x és x n = y. Osszuk föl az [x, y] intervallumot n egyenl részre, s jelölje a k-adik osztópontot x k. Ekkor f (x k ) f (x k 1 ) (x k x k 1 ) 2 = (y x)2 h =: n 2 n. 2 Így, teleszkópikus összegzést és háromszög-egyenl tlenséget alkalmazva, f (y) f (x) = n ( f (xk ) f (x k 1 ) ) n f (xk ) f (x k 1 ) h n. k=1 k=1
27 Bevezet gondolatok Feladat Határozza meg mindazon f : R R függvényeket, amelyekre minden x, y R esetén f (x) f (y) (x y) 2 teljesül! Megoldás Föltehet, hogy x < y ; legyen x 0 = x és x n = y. Osszuk föl az [x, y] intervallumot n egyenl részre, s jelölje a k-adik osztópontot x k. Ekkor f (x k ) f (x k 1 ) (x k x k 1 ) 2 = (y x)2 h =: n 2 n. 2 Így, teleszkópikus összegzést és háromszög-egyenl tlenséget alkalmazva, f (y) f (x) = n ( f (xk ) f (x k 1 ) ) n f (xk ) f (x k 1 ) h n. k=1 Ha a bal oldal pozitív lenne, akkor minden n természetes szám esetén n c telejsülne, ami lehetetlen. k=1
28 Bevezet gondolatok Feladat Határozza meg mindazon f : R R függvényeket, amelyekre minden x, y R esetén f (x) f (y) (x y) 2 teljesül! Megoldás Föltehet, hogy x < y ; legyen x 0 = x és x n = y. Osszuk föl az [x, y] intervallumot n egyenl részre, s jelölje a k-adik osztópontot x k. Ekkor f (x k ) f (x k 1 ) (x k x k 1 ) 2 = (y x)2 h =: n 2 n. 2 Így, teleszkópikus összegzést és háromszög-egyenl tlenséget alkalmazva, f (y) f (x) = n ( f (xk ) f (x k 1 ) ) n f (xk ) f (x k 1 ) h n. k=1 Ha a bal oldal pozitív lenne, akkor minden n természetes szám esetén n c telejsülne, ami lehetetlen. Vagyis, f szükségképpen konstans. k=1
29 Bevezet gondolatok Tanulságok
30 Bevezet gondolatok Tanulságok Teleszkópikus összegzés: NewtonLeibniz tétel
31 Bevezet gondolatok Tanulságok Teleszkópikus összegzés: NewtonLeibniz tétel Indirekt feltétel: Archimédeszi tulajdonság
32 Bevezet gondolatok Tanulságok Teleszkópikus összegzés: NewtonLeibniz tétel Indirekt feltétel: Archimédeszi tulajdonság Kitekintés: dierenciahányados, rend r-elv, középérték-tétel
33 Bevezet gondolatok Tanulságok Teleszkópikus összegzés: NewtonLeibniz tétel Indirekt feltétel: Archimédeszi tulajdonság Kitekintés: dierenciahányados, rend r-elv, középérték-tétel Általánosítás: pozitív szubhomogén függvények
34 Bevezet gondolatok Tanulságok Teleszkópikus összegzés: NewtonLeibniz tétel Indirekt feltétel: Archimédeszi tulajdonság Kitekintés: dierenciahányados, rend r-elv, középérték-tétel Általánosítás: pozitív szubhomogén függvények Szemléletmód, szemléletformálás A versenyfeladatokhoz közölt megoldások nem csupán a matematika klasszikus területeit érintik, hanem számos esetben ízelít t adnak a atalabb, még fejl désben lév területek eredményeib l és módszereib l is. (Diofantikus problémák; kódelmélet; térkitöltés; fraktálok.)
35 Célkit zés
36 Célkit zés Tétel (Brouwer-féle xponttétel) Ha K R n nem üres, konvex, kompakt halmaz, f : K K folytonos leképezés, akkor létezik f -nek xpontja, azaz van olyan x 0 K, hogy f (x 0 ) = x 0 teljesül.
37 Célkit zés Tétel (Brouwer-féle xponttétel) Ha K R n nem üres, konvex, kompakt halmaz, f : K K folytonos leképezés, akkor létezik f -nek xpontja, azaz van olyan x 0 K, hogy f (x 0 ) = x 0 teljesül. Tétel (Negatív retrakt elv) Nem létezik az n dimenziós eukliedszi tér zárt egységgömbjének a héjra való retrakciója, azaz olyan folytonos leképezése, melynek héjra való megszorítása az identitás.
38 Célkit zés Tétel (Brouwer-féle xponttétel) Ha K R n nem üres, konvex, kompakt halmaz, f : K K folytonos leképezés, akkor létezik f -nek xpontja, azaz van olyan x 0 K, hogy f (x 0 ) = x 0 teljesül. Tétel (Negatív retrakt elv) Nem létezik az n dimenziós eukliedszi tér zárt egységgömbjének a héjra való retrakciója, azaz olyan folytonos leképezése, melynek héjra való megszorítása az identitás. Összegzés A vállakozás lehetetlen, de nem nehéz.
39 Célkit zés Lehetséges megközelítések
40 Célkit zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció
41 Célkit zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns
42 Célkit zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma
43 Célkit zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma Fölmerül problémák
44 Célkit zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma Fölmerül problémák Szokatlan, a középiskolaitól távol álló szemléletmód
45 Célkit zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma Fölmerül problémák Szokatlan, a középiskolaitól távol álló szemléletmód Magasfokú absztrakciót képvisel fogalmak, tulajdonságok
46 Célkit zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma Fölmerül problémák Szokatlan, a középiskolaitól távol álló szemléletmód Magasfokú absztrakciót képvisel fogalmak, tulajdonságok Alapos háttérismeret birtokában megérthet nehéz bizonyítások
47 Célkit zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma Fölmerül problémák Szokatlan, a középiskolaitól távol álló szemléletmód Magasfokú absztrakciót képvisel fogalmak, tulajdonságok Alapos háttérismeret birtokában megérthet nehéz bizonyítások Lehetséges orvoslás
48 Célkit zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma Fölmerül problémák Szokatlan, a középiskolaitól távol álló szemléletmód Magasfokú absztrakciót képvisel fogalmak, tulajdonságok Alapos háttérismeret birtokában megérthet nehéz bizonyítások Lehetséges orvoslás Intuíció kialakítása megfelel példákkal és szemléltetéssel
49 Célkit zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma Fölmerül problémák Szokatlan, a középiskolaitól távol álló szemléletmód Magasfokú absztrakciót képvisel fogalmak, tulajdonságok Alapos háttérismeret birtokában megérthet nehéz bizonyítások Lehetséges orvoslás Intuíció kialakítása megfelel példákkal és szemléltetéssel Speciális, de nem triviális esetekre való szorítkozás
50 Célkit zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma Fölmerül problémák Szokatlan, a középiskolaitól távol álló szemléletmód Magasfokú absztrakciót képvisel fogalmak, tulajdonságok Alapos háttérismeret birtokában megérthet nehéz bizonyítások Lehetséges orvoslás Intuíció kialakítása megfelel példákkal és szemléltetéssel Speciális, de nem triviális esetekre való szorítkozás Az igazán nagyszer gondolatok egyszer ek!
51 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Bevezet probléma
52 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Bevezet probléma Képzeljünk el a Világegyetemben két tükörsima felszín bolygót. Az egyik gömb, míg a másik tórusz, vagyis úszógumi alakú. Mindkét bolygón egy-egy matematikus vénájú pók él. Különbséget tudnak-e tenni a két bolygó között anélkül, hogy képesek lennének bármiféle mérésre vagy lakóhelyük küls szemrevételezésére?
53 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Tétel (Brouwer-féle xponttétel) A zárt egységkörlemez bármely önmagába való folytonos leképezésének létezik xpontja, azaz van olyan pont a körlemezen, mely egybeesik saját képével.
54 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Tétel (Brouwer-féle xponttétel) A zárt egységkörlemez bármely önmagába való folytonos leképezésének létezik xpontja, azaz van olyan pont a körlemezen, mely egybeesik saját képével. Szemléletesen: A nyers palacsintatésztának van olyan részecskéje, amely a sütés végeztével az eredeti helyére kerül majd vissza.
55 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Tétel (Brouwer-féle xponttétel) A zárt egységkörlemez bármely önmagába való folytonos leképezésének létezik xpontja, azaz van olyan pont a körlemezen, mely egybeesik saját képével. Szemléletesen: A nyers palacsintatésztának van olyan részecskéje, amely a sütés végeztével az eredeti helyére kerül majd vissza. Tétel (Negatív retrakt elv) Nem létezik a zárt egységkörlemeznek az ívre való retrakciója, azaz olyan folytonos leképezése, amely az ívet pontonként xen hagyja.
56 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Tétel (Brouwer-féle xponttétel) A zárt egységkörlemez bármely önmagába való folytonos leképezésének létezik xpontja, azaz van olyan pont a körlemezen, mely egybeesik saját képével. Szemléletesen: A nyers palacsintatésztának van olyan részecskéje, amely a sütés végeztével az eredeti helyére kerül majd vissza. Tétel (Negatív retrakt elv) Nem létezik a zárt egységkörlemeznek az ívre való retrakciója, azaz olyan folytonos leképezése, amely az ívet pontonként xen hagyja. Szemléletesen: Ha a dob hártyáját a peremre próbáljuk feszíteni, akkor a hártya elszakad.
57 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Példa folytonos leképezésre A továbbiakban jelölje D a zárt, origó középpontú egységkörlemezt, s legyen f : D \ {(0, 0)} S az alábbi módon adott leképezés: ( ) f (x, y) := x x 2 +, y 2 y x 2 + y 2 Ekkor f folytonos értelmezési tartományának minden p pontjában..
58 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Példa folytonos leképezésre A továbbiakban jelölje D a zárt, origó középpontú egységkörlemezt, s legyen f : D \ {(0, 0)} S az alábbi módon adott leképezés: ( ) f (x, y) := x x 2 +, y 2 y x 2 + y 2 Ekkor f folytonos értelmezési tartományának minden p pontjában.. Példa nem folytonos leképezésre A továbbiakban jelölje S a zárt, origó középpontú egységkörlemez határát, vagyis az ívet, s legyen g : D S az alábbi módon adott leképezés: g(x, y) := f (x, y) (x, y) D \ {(0, 0)}; g(0, 0) := (1, 0). Ekkor g nem folytonos a p = (0, 0) pontban.
59 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Tétel (Brouwer) A zárt egységkörlemez bármely önmagába való folytonos leképezésének létezik xpontja, azaz van olyan pont a körlemezen, mely egybeesik saját képével. Tétel (Negatív retrakt elv) Nem létezik a zárt egységkörlemeznek az ívre való retrakciója, azaz olyan folytonos leképezése, amely az ívet pontonként xen hagyja.
60 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Tétel (Brouwer) A zárt egységkörlemez bármely önmagába való folytonos leképezésének létezik xpontja, azaz van olyan pont a körlemezen, mely egybeesik saját képével. Tétel (Negatív retrakt elv) Nem létezik a zárt egységkörlemeznek az ívre való retrakciója, azaz olyan folytonos leképezése, amely az ívet pontonként xen hagyja. Tétel (Ekvivalencia) A Brouwer-féle xponttétel és a negatív retrakt elv egymással ekvivalens. Azaz, pontosan akkor létezik a körlemezen xpontmentes leképezés, ha létezik az ívre való retrakt (illetve, pontosan akkor nem létezik a körlemezen xpontmentes leképezés, ha nem létezik az ívre való retrakt).
61 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen f (p) r(p) p
62 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen A negatív retrakt elv bizonyítása, els felvonás
63 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen A negatív retrakt elv bizonyítása, els felvonás Indirekt tegyük fel, hogy létezik D-nek S-re való retrakciója.
64 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen A negatív retrakt elv bizonyítása, els felvonás Indirekt tegyük fel, hogy létezik D-nek S-re való retrakciója. Tekintsünk egy olyan S-beli hurkot, amely összehúzható valamely S-beli pontra D-beli deformációval.
65 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen A negatív retrakt elv bizonyítása, els felvonás Indirekt tegyük fel, hogy létezik D-nek S-re való retrakciója. Tekintsünk egy olyan S-beli hurkot, amely összehúzható valamely S-beli pontra D-beli deformációval. Ekkor a szóbanforgó hurok összehúzható S-beli deformációval is ugyanerre a pontra, nevezetesen a D-beli deformáció retraktjával.
66 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen A negatív retrakt elv bizonyítása, els felvonás Indirekt tegyük fel, hogy létezik D-nek S-re való retrakciója. Tekintsünk egy olyan S-beli hurkot, amely összehúzható valamely S-beli pontra D-beli deformációval. Ekkor a szóbanforgó hurok összehúzható S-beli deformációval is ugyanerre a pontra, nevezetesen a D-beli deformáció retraktjával. A negatív retrakt elv bizonyítása, második felvonás Azonban minden S-beli hurok egy pontra deformálható D-ben, és van olyan S-beli hurok, amely nem deformálható egy pontra S-ben!
67 A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen A negatív retrakt elv bizonyítása, els felvonás Indirekt tegyük fel, hogy létezik D-nek S-re való retrakciója. Tekintsünk egy olyan S-beli hurkot, amely összehúzható valamely S-beli pontra D-beli deformációval. Ekkor a szóbanforgó hurok összehúzható S-beli deformációval is ugyanerre a pontra, nevezetesen a D-beli deformáció retraktjával. A negatív retrakt elv bizonyítása, második felvonás Azonban minden S-beli hurok egy pontra deformálható D-ben, és van olyan S-beli hurok, amely nem deformálható egy pontra S-ben! A kapott ellentmondás miatt nem létezik a zárt körlemeznek az ívre való retraktja, tehát igaz a negatív retrakt elv.
68 Eredmények a topológikus xponttételek elméletéb l
69 Eredmények a topológikus xponttételek elméletéb l Tétel (Poincaré-féle sündisznótétel) A páratlan dimenziós tér egységgömbjének héján nem adható meg seholsem nulla érint vektormez.
70 Eredmények a topológikus xponttételek elméletéb l Tétel (Poincaré-féle sündisznótétel) A páratlan dimenziós tér egységgömbjének héján nem adható meg seholsem nulla érint vektormez. Az id jóslás els alaptétele Tökéletesen gömb alakú bolygókon mindig van olyan hely a felszínen, ahol nem fúj a szél.
71 Eredmények a topológikus xponttételek elméletéb l Tétel (Poincaré-féle sündisznótétel) A páratlan dimenziós tér egységgömbjének héján nem adható meg seholsem nulla érint vektormez. Az id jóslás els alaptétele Tökéletesen gömb alakú bolygókon mindig van olyan hely a felszínen, ahol nem fúj a szél. Tétel (BorsukUlam-féle antipodális tétel) Az (n + 1) dimenzós tér egységgömbjének héján akárhogy megadva n darab folytonos, valós érték függvényt, mindig van olyan ellenlakó pontpár, melyekben a megadott függvények rendre megegyeznek.
72 Eredmények a topológikus xponttételek elméletéb l Tétel (Poincaré-féle sündisznótétel) A páratlan dimenziós tér egységgömbjének héján nem adható meg seholsem nulla érint vektormez. Az id jóslás els alaptétele Tökéletesen gömb alakú bolygókon mindig van olyan hely a felszínen, ahol nem fúj a szél. Tétel (BorsukUlam-féle antipodális tétel) Az (n + 1) dimenzós tér egységgömbjének héján akárhogy megadva n darab folytonos, valós érték függvényt, mindig van olyan ellenlakó pontpár, melyekben a megadott függvények rendre megegyeznek. Az id jóslás második alaptétele Tökéletesen gömb alakú bolygókon mindig van olyan ellenlakó pontpár, ahol a légnyomás- és h mérsékleti értékek rendre azonosak.
73 Néhány topológikus búcsúajándék... Feladatok
74 Néhány topológikus búcsúajándék... Feladatok Megkülönböztethet -e a gömb a tórusztól?
75 Néhány topológikus búcsúajándék... Feladatok Megkülönböztethet -e a gömb a tórusztól? Alkalmazható-e az ismertetett módszer három dimenzióban?
76 Néhány topológikus búcsúajándék... Feladatok Megkülönböztethet -e a gömb a tórusztól? Alkalmazható-e az ismertetett módszer három dimenzióban? Fölbontható-e a sík két diszjunkt, egybevágó részre?
77 Néhány topológikus búcsúajándék... Feladatok Megkülönböztethet -e a gömb a tórusztól? Alkalmazható-e az ismertetett módszer három dimenzióban? Fölbontható-e a sík két diszjunkt, egybevágó részre? Fölbontható-e a zárt körlap két diszjunkt, egybevágó részre?
78 Néhány topológikus búcsúajándék... Feladatok Megkülönböztethet -e a gömb a tórusztól? Alkalmazható-e az ismertetett módszer három dimenzióban? Fölbontható-e a sík két diszjunkt, egybevágó részre? Fölbontható-e a zárt körlap két diszjunkt, egybevágó részre? Igazolja, hogy ha f : [0, 1] [0, 1] folytonos, akkor van xpontja.
79 Luitzen Egbertus Jan Brouwer ( )
80 Henri Poincaré ( )
Diszkrét démonok A Borsuk-probléma
A Borsuk-probléma Bessenyei Mihály DE TTK Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör (megnyitó el adás) Debrecen, 2017. október 16. Bevezetés Magyarázat a címhez... Napjainkban
Modern matematikai paradoxonok
Modern matematikai paradoxonok Juhász Péter ELTE Matematikai Intézet Számítógéptudományi Tanszék 2013. január 21. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 1 / 36 Jelentés Mit jelent a paradoxon
Fraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék
Fraktálok Klasszikus fraktálpéldák I Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 86 Bevezetés. 2 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus
Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán
Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 015. szeptember 7. AGH-egyenl tlenség Tétel Értelmezzük
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés)
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés) Kötelez tárgyak, szakdolgozat (mindegyik tárgy teljesítend ) M1101 Lineáris és analitikus geometria 1. M1102 Lineáris
FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. február 1. Vázlat 1 Mi a fraktál? 2 A konstrukció Egyszerű tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk
A derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
Wigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról
Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet és MTA-DE "Lendület" Funkcionálanalízis Kutatócsoport, Debreceni Egyetem 2014. Október 30. Elméleti Fizika Szeminárium A tétel története Wigner tétele Tétel Legyen
Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam
Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes
Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek
238 8. Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek 8.8. tétel. (Andronov Witt) 5 6 Ha a Γ periodikus pálya karakterisztikus multiplikátorainak abszolút értéke 1-nél kisebb, akkor a Γ pálya stabilis határciklus.
DiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?
![és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?](/thumbs/71/64945307.jpg "és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?")
3. 3. Probléma (T): Található-e minden L véges hálóhoz egy G véges csoport és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?
Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
Milyen a modern matematika?
Milyen a modern matematika? Simonovits Miklós Milyen a modern matematika? p.1 Miért rossz ez a cím? Nem világos, mit értek modern alatt? A francia forradalom utánit? Általában olyat tanulunk, amit már
9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában
9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának
Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 2 4. Oktatási módszer 2 5. Követelmények, pótlások 2 6. Tematika 2 6.1. Alapfogalmak, matematikai
Halmazelméleti alapfogalmak
Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,
Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését
Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)
Sz cs András. Topológia
Sz cs András Topológia Szerkeszt k: Lektor: Rimányi Richárd Terpai Tamás Stipsicz András A kötet az Eötvös Loránd Tudományegyetem tankönyv- és jegyzettámogatási pályázatán elnyert forrás felhasználásával
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve
Matematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005
2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus
dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék november 3.
Számosságok dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék 2008. november 3. ### Szamoss1www.tex, 2008.09.28. Ebben a rövid jegyzetben els½osorban a végtelen halmazok méretét, elemeinek
MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
Julia halmazok, Mandelbrot halmaz
2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik
Differenciálgeometria
Differenciálgeometria Előadás jegyzetek BME 3. félév Dr. Szabó Szilárd Kivonat. Ezek a jegyzetek a 2007. I. félévben, a Budapesti Műszaki Egyetemen tartott Differenciálgeometria kurzusomhoz készültek.
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Kétszakos matematikatanár szak (régi képzés)
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Kétszakos matematikatanár szak (régi képzés) Kötelezı tárgyak, szakdolgozat (mindegyik tárgy teljesítendı, a szakdolgozat írható a másik szakból) kód tárgynév kredit
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Matematikus szak (régi képzés)
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Matematikus szak (régi képzés) Kötelezı tárgyak, diplomamunka (mindegyik tárgy teljesítendı) M1101 Lineáris és analitikus geometria 1. M1102 Lineáris és analitikus
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről
A PETTY-TÉTELKÖR SZAKDOLGOZAT. Készítette: Földvári Viktória Andrea. Matematika BSc - matematikus szakirány
A PETTY-TÉTELKÖR SZAKDOLGOZAT Készítette: Földvári Viktória Andrea Matematika BSc - matematikus szakirány Témavezet : dr. Naszódi Márton, adjunktus ELTE TTK, Geometriai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Neogrády-Kiss Borbála. Kalandozások a Bolzano-tétel körül. Besenyei Ádám
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Neogrády-Kiss Borbála Kalandozások a Bolzano-tétel körül BSc Szakdolgozat Témavezet : Besenyei Ádám Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék
Egyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
Analízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
Határozatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
jjtejutej NtTEHITIItilt H 1 DR. CZEIZEL ENDRE MRTEMRTIHUS-GÉNIUSZOK ELEMZÉSE MHGYRR teljesítményének DR. TUSNADY GÁBOR
DR. CZEIZEL ENDRE NtTEHITIItilt H 1 jjtejutej H MHGYRR MRTEMRTIHUS-GÉNIUSZOK ELEMZÉSE DR. TUSNADY GÁBOR A vizsgált teljesítményének elméleti matematikusok rövid értelmezése GR LEN US KIR 0Ö 2011 TMLOOTZÉIÍ
FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.
FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,
11. előadás. Konvex poliéderek
11. előadás Konvex poliéderek Konvex poliéder 1. definíció: Konvex poliédernek nevezzük a térben véges sok, nem egysíkú pont konvex burkát. 2. definíció: Konvex poliédernek nevezzük azokat a térbeli korlátos
MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2012
2012 2. Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), oszthatósággal kapcsolatos problémák, számrendszerek. 4. Hatványozás, hatványfogalom kiterjesztése, azonosságok. Gyökvonás és azonosságai,
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
Analízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 2. forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 017/018-as tanév. forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy tanár kijavította egy 1 f s csoport dolgozatait.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Differenciálszámítás normált terekben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kapui Dóra Differenciálszámítás normált terekben Szakdolgozat Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Tarcsay Zsigmond Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
A TANTÁRGY ADATLAPJA
A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeş-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika Intézet 1.4 Szakterület
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika
Konvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
Metrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Dr. Vincze Szilvia;
2014. szeptember 17. és 19. Dr. Vincze Szilvia; vincze@agr.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia/oktatas/oktatott_targyak/index/index.html 2010/2011-es tanév I. féléves tematika
HALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
Szűcs Renáta. Fixponttételek
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Szűcs Renáta Fixponttételek BSc szakdolgozat Témavezető: Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest, 2014 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék
Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2.
1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. alapján 9-12. évfolyam 2 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
MATEMATIKAI PROBLÉMAMEGOLDÓ GYAKORLAT
MATEMATIKAI PROBLÉMAMEGOLDÓ GYAKORLAT Ergodelmélet Dávid Szabolcs Papp Dániel Stippinger Marcell 2009.12.11 2 Definíció: A T endomorfizmust ergodikusnak nevezzük, ha bármely f L 2 függvényre f const. (Miután
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
ÖSSZEVONT ÓRÁK A MÁSIK CSOPORTTAL. tartósság, megerősítés, visszacsatolás, differenciálás, rendszerezés. SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK (25 óra)
Tantárgy: MATEMATIKA Készítette: KRISTÓF GÁBOR, KÁDÁR JUTKA Osztály: 12. évfolyam, fakultációs csoport Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 6 Éves óraszám: 180 Tankönyv: MATEMATIKA 11 és MATEMATIKA
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5.
Analízis 11 12. évfolyam Szerkesztette: Surányi László 2015. július 5. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó András, Kalló
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
KÉPZÉSI PROGRAM NEMZETKÖZI GAZDÁLKODÁS ALAPKÉPZÉSI SZAK
KÉPZÉSI PROGRAM NEMZETKÖZI GAZDÁLKODÁS ALAPKÉPZÉSI SZAK SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK SZOLNOKI FŐISKOLA SZOLNOK TANTERV érvényes a 2013/2014. tanévtől felmenő rendszerben NEMZETKÖZI GAZDÁLKODÁS ALAPKÉPZÉSI
Matematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha
ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig
Gráfok színezése Diszkrét matematika 2009/10 sz, 9. el adás
Gráfok színezése Diszkrét matematika 2009/10 sz, 9. el adás A jegyzetet készítette: Szabó Tamás 2009. november 9. 1. Alapfogalmak Egy gráf csúcsait vagy éleit bizonyos esetekben szeretnénk különböz osztályokba
MATEK-INFO UBB verseny április 6.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 4. előadás Eulerséta: Olyan séta, mely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Tétel: egy összefüggő gráf. Ha minden
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét
1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
A Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE
A Peano-görbe Besenyei Ádám ELTE A folytonos görbe kifejezés hallatán hajlamosak vagyunk először egy, a szó szoros értelmében egybefüggően megrajzolható vonalra gondolni. A görbe fogalma azonban a vártnál
Termék modell. Definíció:
Definíció: Termék modell Összetett, többfunkciós, integrált modell (számítógépes reprezentáció) amely leír egy műszaki objektumot annak különböző életfázis szakaszaiban: tervezés, gyártás, szerelés, szervízelés,
Boros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,