Kernel gépek vizsgálata

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kernel gépek vizsgálata"

Átírás

1 Kernel gépek vizsgálata Kooperáció és gépi tanulás laboratórium (VIMIMB02) március 5. Elméleti alapok A mérés során újabb kernel gépeket fogunk megismerni: a szupportvektor-gépek (SVM) regressziós és többkerneles kiterjesztését, valat az ún. Gauss-folyamatokat. Az elméleti anyag egy része előadáson elhangzott, a többi megtalálható a hivatkozott irodalomban [1]; itt egy rövid áttekintést adunk. Regresszióról általában A regresszió felügyelt tanulási feladat. Legyenek adottak a { i, z i } P i=1 párok (tanítóhalmaz), ahol i R D a ták leírásai, z i R pedig a tákhoz tartozó valós értékek. Célunk, hogy a tanítóhalmaz alapján egy olyan modellt tanuljunk, amely képes további tapontokra (teszthalmaz) értékeket jósolni. Három megközelítés közül választhatunk: 1. Generatív modellek. Modellezzük a p(x, Z) együttes eloszlást, majd a Bayes-tétel segítségével számítsuk ki a p(z, X, Z) prediktív eloszlást, ahol {X, Z} a teljes tanítóhalmaz, pedig az új ta. 2. Diszkriatív modellek. Modellezzük közvetlenül a p(z X) feltételes eloszlást, majd ebből számítsuk ki a prediktív eloszlást. Látható, hogy diszkriatív és generatív modelleknél egy új tánál nem csak pontbecslést kapunk, hanem egy eloszlást, amely felhasználható például bizonytalanságunk jellemzésére, hibakorlátok számítására is. 3. Diszkriatív függvények. Keressünk olyan f F függvényt, amelyre f( i ) z i. Ebben az esetben csak pontbecslést kapunk. Az f függvény megválasztása nem triviális feladat. Ha nem korlátozzuk valamiképp a választást, f például megjegyezheti a tákat és a rájuk adandó válaszokat, így a tanítóhalmazon tökéletes eredményt fog elérni, de általánosítóképessége rossz lesz (túlilleszkedés). Vegyük a következő egyszerű példát. Legyen X = { 1,..., 6 }, i R, az értékek pedig származzanak egy normál eloszlású zajjal terhelt lináris kapcsolatból: z i = i + ε, ε N (0, σ 2 ). Válasszuk F-et a legfeljebb ötödfokú polinomiális függvények osztályának: { } 5 F := f f() = α n n. n=0 1

2 Használjuk a négyzetes hibát. Így a következő feladatot kell megoldanunk: (f( i ) z i ) 2. f F i Reprezentáljuk az f függvényt az együtthatóival, így a fenti feladat ekvivalens a következővel: α ( 5 ) 2 α n n i z i. i n=0 Tovább alakítva: ahol α Xα z 2, X = egy Vandermonde-típusú mátri, α az együtthatók vektora, z pedig az értékeké. A feladatot a szokásos módszerrel oldjuk meg (deriválással szélsőértékhelyet keresünk): α Xα z 2 = 2X T (Xα z) = 0, tehát az alábbi lineáris rendszert kell megoldani: α = (X T X) 1 X T z. A kapott polinomot az 1. ábra szemlélteti. Látható, hogy a függvény pontosan illeszkedik a tapontokra, így a tanítóhalmazon elért teljesítménye tökéletes lesz. Nem is vártunk mást, hiszen a szabad paraméterek száma megegyezik a taszámmal, tehát dig tudjuk úgy hangolni a paramétereket, hogy tökéletes eredményt kapjunk. Általánosítóképessége viszont annál gyengébb: az utolsó tapont után elszáll, és a 7. (teszt!) tapontra már rossz eredményt ad. Módosítsuk tehát a feladatot úgy, hogy korlátozzuk az α együtthatókat: α Xα z 2 + λ α 2, ahol λ szabályozza a korlátozás szigorúságát. A megoldáshoz ismét deriválunk: α Xα z 2 + λ α 2 = 2X T (Xα z) + 2λα = 0, tehát az alábbi lineáris rendszert kell megoldani: α = (X T X + λi) 1 X T z A kapott polinomot a 2. ábra szemlélteti; látható, hogy a túlilleszkedés némiképp csökkent. Másik lehetőség lenne, ha nem az együtthatók nagyságát, hanem a szabad paraméterek számát csökkentjük, azaz alacsonyabb fokszámú polinomot, speciális esetként lineáris regressziót választunk (3. ábra). 2

3 15 10 z ábra. Ötödfokú polinom illesztése 6 tapontra, a 7. tapont alkotja a teszthalmazt z ábra. Ötödfokú polinom illesztése 6 tapontra regularizációval. 6 z ábra. Lineáris regresszió (elsőfokú polinom választása). 3

4 Szupportvektor-regresszió (SVR) Válasszuk most a függvényosztályt a következőképpen: { F := f f = } α i k( i, ), i ahol k : R D R D R szimmetrikus, pozitív definit kernel függvény, α i R pedig valós együtthatók. Definiáljunk továbbá F-en egy belső szorzatot: f = i g = j f, g F = i α i k( i, ), β j k( j, ), α i β j k( i, j ). j Könnyen belátható, hogy a fenti kifejezés valóban belső szorzatot határoz meg. Szintén könnyen látható a következő fontos ( reprodukáló ) tulajdonság: f, k(, ) F = i α i k( i, ) = f(), innen pedig k( i, ), k( j, ) F = k( i, j ). Ezzel az egyszerű definícióval több dolgot is nyertünk: 1. Lehetőség a regularizációra. A belső szorzat birtokában használhatjuk az f normát, amelynek korlátozása analóg a korábban nézett polinomok együtthatóinak korlátozásával. 2. Hozzáférés a kernel trükkhöz. Immár van egy φ : k(, ) leképezésünk, amelyre tehát φ( i ), φ( j ) = k( i, j ). Most már megfogalmazhatjuk a szupportvektor-regressziós feladatot: f 1 2 f 2 s.t. z i f( i ) ε. Szemléletesen tehát egy él egyszerűbb f függvényt keresünk, amellyel adott ε hibahatáron belül tudjuk közelíteni a tákhoz tartozó értékeket. A fenti megfogalmazás több szempontból sem szerencsés: 1. Az abszolútértékfüggvény nehezen kezelhető. 2. Nincs lehetőségünk a regularizáció szigorúságának (a kompleitás büntetésének) szabályozására. 4

5 A következőképpen módosítjuk a feladatot: 1 f,ξ +,ξ 2 f 2 + C ( ξ + i + ξ i i s.t. z i f( i ) ε + ξ + i, f( i ) z i ε + ξ i, ξ + i, ξ i 0, ) azaz a feltételt két részre bontottuk és a ξ +, ξ ( slack ) változókkal gyengítettük. Így a kompleitást a C paraméter szabályozza. Ez a megfogalmazás ekvivalens az ún. ε-inszenzitív veszteségfüggvény alkalmazásával: Hiba ξ i ε f( i ) z i Többkerneles tanulás A Multiple Kernel Learning (MKL) eljárások a hagyományos kernel gépek kiterjesztései, ahol egyszerre több kernel függvényt használunk, ezeket valamiképp kombináljuk. Statikus kombináció. A kernelek kombinációjának legegyszerűbb módszerei a statikus lineáris vagy nemlineáris kombinációk, például: Kernelek összege: ˆk( i, j ) = k k k( i, j ). Kernelek súlyozott átlaga: ˆk( i, j ) = k d kk k ( i, j ), ahol d k jelöli a k. kernel függvény súlyát, és pl. d = 1 valamilyen normában. Kernelek Hadamard-szorzata: ˆk( i, j ) = k k k( i, j ). És még sok más eljárás. Egyszerűségük ellenére általában jó prediktív teljesítményt nyújtanak. Adaptív kombináció. A kernel gép tanítása és a kernel-fúzió egy lépésben is történhet, ha az optimalizációba a lineáris kombináció súlyainak tanulását is beépítjük. Ennek előnye, hogy a kombináció ekkor adaptívan, dig az aktuális feladatot figyelembe véve történik. A SVR 5

6 primál feladatát a következőképpen módosíthatjuk: f,ξ +,ξ,d s.t. 1 f k 2 + C ( ) ξ + i + ξ i 2 k i z i dk f k ( i ) ε + ξ + i, k dk f k ( i ) z i ε + ξ i, k ξ + i, ξ i 0, d p = 1, d k 0. A fenti feladatban valójában a f 1 f. f n, d1 φ 1 ( i ) φ( i ). dn φ n ( i ) helyettesítésekkel éltünk. A korábbiakkal analóg módon a φ( i ), φ( j ) = k( i, j ) összefüggés a következőképen módosul: d1 φ 1 ( i ) d1 φ 1 ( j ).,. = d k k k ( i, j ), dn φ n ( i ) dn φ n ( j ) k azaz a kernel függvények lineáris kombinációjához jutunk, ahol az algoritmus egyben az optimális súlyozást is meg fogja adni. Külön figyelmet érdemel a d p = 1 kényszer enélkül a d k súlyokat den határon túl növelve a célfüggvény tetszőlegesen csökkenthető lenne. Az a p = ( l ap l )1/p normát L p -normának nevezzük, és p különböző értékeire más-más jellegű regularizációt kapunk: p < 2 esetén kevés súly fog magas értéket kapni (ritka kombináció, legjobb kernelek kiválasztása), nagyobb p esetén egyenletesebb lesz a súlyok eloszlása. Gauss-folyamatok Térjünk vissza a regresszió valószínűségi értelmezéséhez. Említettük, hogy generatív és diszkriatív modelleknél egy adott tához tartozó z értékre nem csak pontbecslést kapunk, hanem egy teljes eloszlást. Ha ezt az eloszlást a normál eloszlásnak választjuk, akkor a Gaussfolyamatok definíciójához jutunk. Gauss-folyamatokról beszélünk tehát akkor, ha az f függvényt tetszőleges tapontokra kiértékelve a kapott értékek együttesen (többváltozós) normál eloszlást követnek. A normál eloszlás egyértelműen meghatározható a várható érték és a kovarianciamátri ismeretében: E[f()] = 0, E[f( i )f( j )] = k( i, j ), azaz előbbit rendszerint 0-nak választjuk, utóbbit pedig egy kernel függvény diktálja. Az egyszerűség kedvéért legyenek most a táink 1 = 1, 2 = 2, = 100 (itt gondolhatunk például egy idősorra). Használjunk két kernel függvényt: k( i, j ) = e γ( i j ) 2 Gauss RBF kernel, k( i, j ) = e θ i j eponenciális kernel. 6

7 1 0 f() ábra. Minták a Gauss-folyamatból, Gauss RBF kernel, γ = f() ábra. Minták a Gauss-folyamatból, Gauss RBF kernel, γ = f() ábra. Minták a Gauss-folyamatból, eponenciális kernel, θ =

8 Az így definiált Gauss-folyamatokból származó tákat a 4, 5, 6. ábrákon láthatjuk. Implementáljuk R-ben a Gauss-folyamatokból történő tavételezést! library(ggplot2) library(mass) <-1:100 # bemeno tak k<-function(,y) ep(-0.05*abs(-y)) # kernel fuggveny C<-outer(,,FUN=k) # kovarianciamatri f<-mvrnorm(1,rep(0,length()),c) ggplot() + geom_line(aes(=,y=f)) # f() tavetelezese Végül megmutatjuk, hogyan lehet a Gauss-folyamatokat regresszióra használni. Legyen z i = f( i ) + ε, ε N (0, β 1 ), ahol f egy Gauss-folyamatot határoz meg 0 várható értékkel és k kernellel. Másképpen: p(z X) = i N (z i f( i ), β 1 ) = N (Z f(x), β 1 I), ahol f(x)-et ennek megfelelően definiáltuk. Ekkor a normál eloszlásra vonatkozó összefüggések alapján a kovarianciák összeadódnak [1], azaz az értékek együttes eloszlására a következő összefüggést kapjuk: p(z) = p(z X)p(X)dX = N (Z 0, C), ahol C ij = k( i, j ) + β 1 I ij. A keresett p(z, X, Z) feltételes valószínűség kiszámításához hozzávesszük az teszttát az adathalmazhoz, azaz kibővítjük a kovarianciamátriot: ( ) C k C = k T, c ahol k = [k(, 1 ),..., k(, P )] T és c = k(, ) + β 1. Végül a kibővített kovarianciamátri és a normál eloszlás feltételes valószínűségeire vonatkozó összefüggés segítségével meghatározzuk a keresett valószínűséget: p(z, X, Z) = N (z m, σ 2 ), m = k T C 1 Z, σ 2 = c k T C 1 k. 8

9 A mérés során megoldandó feladatok Regresszió mesterséges adathalmazokon 1) Implementálja a legfeljebb n-edfokú polinom illesztését n + 1 adatpontra a példának megfelelően! Figyelje meg és dokumentálja a λ paraméter hatását az illesztésre. 2) Töltse be a kernlab csomagot, majd generáljon egy normál zajjal terhelt egydimenziós tahalmazt! Például: <-1:100 z<-sin(/10)/(/10) + rnorm(100,0,0.1) 3) Hozzon létre új kernel függvényeket. Ügyeljen arra, hogy vektorokra is működjenek. A korábban említett Gauss-RBF definíciója pl. így nézhet ki (γ = 100): k<-function(,y) ep(-100*crossprod(-y)) class(k)<-"kernel" Ennek alapján hozza létre a következő kernel függvényeket: k( i, j ) = i, j lineáris kernel, k( i, j ) = ep { γ i j 2} Gauss RBF kernel, k( i, j ) = ( i, j + 1) d inhomogén polinomiális kernel, k( i, j ) = Tanimoto kernel. i, j i 2 + j 2 i, j Megjegyzés. Használja a crossprod(), crossprod(,y) függvényt a normanégyzetek és belső szorzatok kiszámításához. Ez nem túl gyors, viszont egyszerű. 4) Tanítsa az SVM-et és ábrázolja az eredményeket! r<-ksvm(,z,kernel=k,c=1,epsilon=0.05) p<-predict(r,) ggplot() + geom_point(aes(=,y=z)) + geom_line(aes(=,y=p)) A 7. ábrán láthat egy példát. 5) Hogyan befolyásolja a választott kernel függvény, a C és az ε paraméter az eredményeket? Dokumentálja a találtakat. Szupportvektor-regresszió valós adathalmazon, több kernellel 1) Töltse le és olvassa be a /airfoil_self_noise.dat adatbázist! A file a NASA aerodinamikai laboratóriumában, szélcsatornában vizsgált szárnyprofilok paramétereit, utolsó oszlopában pedig a keltett zaj mértékét tartalmazza. Használja a read.table(), as.matri() és as.vector() függvényeket. 9

10 z ábra. Szupportvektor-regresszió ε = 0.05, C = 1 és γ = 100 paraméterekkel. 2) Ossza ketté az adatokat 80%-20% arányban tanító- és teszthalmazra! Használja a negatív indeelést és a sample() függvényt. 3) Tanítson SVR modelleket a keltett zajra! Kísérletezzen különböző kernelekkel és paraméterekkel. Használja az előzőekben megismert függvényeket a tanításhoz és kernelek definiálásához. 4) Értékelje ki a hibát a tanító- és a teszthalmazon is. A következő hibafüggvényt használja: 1 RMSE = (z t f( t )) T 2, ahol T jelöli az adott halmazt. Mikor tapasztalt túltanulást? Addig ne menjen tovább, amíg nem sikerül a teszthalmazon RMSE < 3 eredményt elérni. Milyen paraméterekkel érte el a legjobb eredményt? 5) Implementáljon egy kernel függvényt, amelyben több kernelt kombinál (pl. az előző feladatban talált legjobbakat). A kombináció módja tetszőleges. Sikerült javítani az eredményeken? Gauss-folyamatok regresszióra 1) A korábban mutatott kódot bemásolva tavételezzen egy tetszőleges Gauss-folyamatot. Használjon különböző kernel függvényeket. 2) Futtasson le egy regressziót az előző feladat szárnyprofil- és zajadataira a legjobb talált kernellel és paraméterezéssel. Ehhez használja az előző 80%-20% felosztást, valat a gausspr() és predict() függvényeket, vagy pluszpontért az egyenletek alapján implementálja a Gauss-folyamatot. A var paraméterrel az általunk β-nak jelölt precizitást szabályozhatja; egyébként a gausspr() függvény paraméterezése analóg a ksvm()-ével. Számítsa ki a hibát. Sikerült felülmúlnia a SVR teljesítményét? 10 t T

11 z time z time 8. ábra. Az isztambuli értéktőzsde adataira épített GP modell (első száz adat), Gauss-RBF kernel, β = 0.1 és β = 1 esetén. A konfidencia-intervallumot szürke sáv jelzi (2 standard deviáció). Gauss-folyamatok idősor-elemzésre 1) Töltse le az /data_akbilgic.ls adatbázist! Ez a file az isztambuli értéktőzsde, valat vezető értéktőzsdék indeeinek változását tartalmazza a es időszakban. Nyissa meg LibreOffice-szal, az első oszlop típusát változtassa meg egész számra, eportálja megfelelő formátumban, majd töltse be R-ben. 2) Az első oszlop az időt jelzi, a második az idősor (Z). A oszlopok jelölik az egyéb tőzsdeindeek változásait, ezeket feature-ként fogjuk felhasználni (X). Az előbbi változók felhasználásával tanuljon egy GP modellt! A standard deviációk kiszámításához adja meg a variance.model=true paramétert is. 11

12 Például: d<-read.table("data.tsv",sep= \t,header=true) t<-d[[1]] z<-d[[2]] <-as.matri(d[4:10]) res<-gausspr(,z,kernel=rbfdot, kpar=list(sigma=1),variance.model=true,var=1) 3) Illessze a modellt a következőképpen: p<-predict(res,) s<-predict(res,,type="sdeviation") 4) Végül ábrázolja az idősor egy tetszőleges szeletét (lásd 8. ábra). A szürke sávok kirajzolásához használhatja a ggplot csomag geom_ribbon(aes(=t,y=p-2*s,yma=p+2*s),alpha=0.1) függvényét. Hogyan befolyásolja β értéke az illesztést? Hivatkozások [1] Christopher M. Bishop. Pattern Recognition and Machine Learning (Information Science and Statistics). Springer-Verlag New York, Inc., Secaucus, NJ, USA,

Lineáris regressziós modellek 1

Lineáris regressziós modellek 1 Lineáris regressziós modellek 1 Ispány Márton és Jeszenszky Péter 2016. szeptember 19. 1 Az ábrák C.M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning c. könyvéből származnak. Tartalom Bevezető példák

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

GPK M1 (BME) Interpoláció / 16

GPK M1 (BME) Interpoláció / 16 Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Lineáris algebra numerikus módszerei

Lineáris algebra numerikus módszerei Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y

Részletesebben

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2

Részletesebben

Bayesi tanulás. Kooperáció és gépi tanulás laboratórium (VIMIMB02) március 12. Elméleti alapok. Bayesi lineáris regresszió

Bayesi tanulás. Kooperáció és gépi tanulás laboratórium (VIMIMB02) március 12. Elméleti alapok. Bayesi lineáris regresszió Bayesi tanulás Kooperáció és gépi tanulás laboratórium (VIMIMB02) 2018. március 12. Elméleti alapok A mérés során a gépi tanulás bayesi megközelítésével fogunk megismerkedni. Az elméleti anyag egy része

Részletesebben

Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció

Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció Közelítő és szimbolikus számítások 10. gyakorlat Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Gépi tanulás a gyakorlatban. Kiértékelés és Klaszterezés

Gépi tanulás a gyakorlatban. Kiértékelés és Klaszterezés Gépi tanulás a gyakorlatban Kiértékelés és Klaszterezés Hogyan alkalmazzuk sikeresen a gépi tanuló módszereket? Hogyan válasszuk az algoritmusokat? Hogyan hangoljuk a paramétereiket? Precízebben: Tegyük

Részletesebben

Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet

Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet / Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet / Tartalom 3/ kernelek segítségével Felügyelt és félig-felügyelt tanulás felügyelt: D =

Részletesebben

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.

Részletesebben

Least Squares becslés

Least Squares becslés Least Squares becslés A négyzetes hibafüggvény: i d i ( ) φx i A négyzetes hibafüggvény mellett a minimumot biztosító megoldás W=( d LS becslés A gradiens számítása és nullává tétele eredményeképp A megoldás

Részletesebben

IDA ELŐADÁS I. Bolgár Bence október 17.

IDA ELŐADÁS I. Bolgár Bence október 17. IDA ELŐADÁS I. Bolgár Bence 2014. október 17. I. Generatív és dszkrmnatív modellek Korábban megsmerkedtünk a felügyelt tanulással (supervsed learnng). Legyen adott a D = {, y } P =1 tanító halmaz, ahol

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK

MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUmERIKUS módszerek 9 FÜGGVÉNYKÖZELÍTÉSEK IX. SPLINE INTERPOLÁCIÓ 1. SPLINE FÜGGVÉNYEK A Lagrange interpolációnál említettük, hogy az ún. globális interpoláció helyett gyakran célszerű

Részletesebben

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. ( FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Irányításelmélet és technika II.

Irányításelmélet és technika II. Irányításelmélet és technika II. Legkisebb négyzetek módszere Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 200 november

Részletesebben

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk

Részletesebben

Polinomok, Lagrange interpoláció

Polinomok, Lagrange interpoláció Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok

Részletesebben

Line aris f uggv enyilleszt es m arcius 19.

Line aris f uggv enyilleszt es m arcius 19. Lineáris függvényillesztés 2018. március 19. Illesztett paraméterek hibája Eddig azt néztük, hogy a mérési hiba hogyan propagál az illesztett paraméterekbe, ha van egy konkrét függvényünk. a hibaterjedés

Részletesebben

Konjugált gradiens módszer

Konjugált gradiens módszer Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26. Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria Bódis Emőke 2016. 04. 25. J J 9 Korrelációanalízis Regresszióanalízis: hogyan változik egy vizsgált változó értéke egy másik változó változásának függvényében. Korrelációs

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba 11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma. Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.

Részletesebben

MATLAB. 5. gyakorlat. Polinomok, deriválás, integrálás

MATLAB. 5. gyakorlat. Polinomok, deriválás, integrálás MATLAB 5. gyakorlat Polinomok, deriválás, integrálás Menetrend Kis ZH Polinomok Numerikus deriválás Numerikus integrálás (+ anonim függvények) pdf Kis ZH Polinomok Sok függvény és valós folyamat leírható

Részletesebben

I. LABOR -Mesterséges neuron

I. LABOR -Mesterséges neuron I. LABOR -Mesterséges neuron A GYAKORLAT CÉLJA: A mesterséges neuron struktúrájának az ismertetése, neuronhálókkal kapcsolatos elemek, alapfogalmak bemutatása, aktivációs függvénytípusok szemléltetése,

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások

Flat rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások "Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

Gépi tanulás a gyakorlatban. Lineáris regresszió

Gépi tanulás a gyakorlatban. Lineáris regresszió Gépi tanulás a gyakorlatban Lineáris regresszió Lineáris Regresszió Legyen adott egy tanuló adatbázis: Rendelkezésünkre áll egy olyan előfeldolgozott adathalmaz, aminek sorai az egyes ingatlanokat írják

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Statisztika elméleti összefoglaló

Statisztika elméleti összefoglaló 1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11

Részletesebben

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz

9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz 9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz. Mindkét eliminációs módszer műveletigénye sokkal kisebb, mint a Cramer-szabályé:

Részletesebben

Matematika elméleti összefoglaló

Matematika elméleti összefoglaló 1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...

Részletesebben

c adatpontok és az ismeretlen pont közötti kovariancia vektora

c adatpontok és az ismeretlen pont közötti kovariancia vektora 1. MELLÉKLET: Alkalmazott jelölések A mintaterület kiterjedése, területe c adatpontok és az ismeretlen pont közötti kovariancia vektora C(0) reziduális komponens varianciája C R (h) C R Cov{} d( u, X )

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2

Bevezetés az algebrába 2 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 3. Hibaszámítás, lineáris regresszió Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Hibaszámítás Hibák fajtái, definíciók Abszolút, relatív, öröklött

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus

Részletesebben

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O 1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák

Részletesebben

A PiFast program használata. Nagy Lajos

A PiFast program használata. Nagy Lajos A PiFast program használata Nagy Lajos Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Bináris kimenet létrehozása. 3 2.1. Beépített konstans esete.............................. 3 2.2. Felhasználói konstans esete............................

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 5.

Matematikai geodéziai számítások 5. Matematikai geodéziai számítások 5 Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5: Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Lektor: Dr Benedek Judit Ez a modul a TÁMOP

Részletesebben

KÖZELÍTŐ INFERENCIA II.

KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. STATISZTIKAI TANULÁS AZ IDEGRENDSZERBEN KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. MONTE CARLO MÓDSZEREK ISMÉTLÉS Egy valószínűségi modellben a következtetéseinket a látensek vagy a paraméterek fölötti poszterior írja le.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak 10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:

Részletesebben

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek

Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása Anyagvizsgálati módszerek Pannon Egyetem Mérnöki Kar Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 1/ 22 Mérési eredmények felhasználása Tulajdonságok hierarchikus

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011.

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. 1 Mérési hibák súlya és szerepe a mérési eredményben A mérési hibák csoportosítása A hiba rendűsége Mérési bizonytalanság Standard és kiterjesztett

Részletesebben

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23. Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus

Részletesebben

ODE SOLVER-ek használata a MATLAB-ban

ODE SOLVER-ek használata a MATLAB-ban ODE SOLVER-ek használata a MATLAB-ban Mi az az ODE? ordinary differential equation Milyen ODE megoldók vannak a MATLAB-ban? ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb, stb. A részletes leírásuk

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1 numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. DEFINÍCIÓ: (Nyitott mondat) Az olyan állítást, amelyben az alany helyén változó szerepel, nyitott mondatnak nevezzük. A nyitott mondatba írt változót

Részletesebben

Principal Component Analysis

Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták

Részletesebben

Numerikus módszerek beugró kérdések

Numerikus módszerek beugró kérdések 1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Ellenőrzés. Variáns számítás. Érzékenység vizsgálat

Ellenőrzés. Variáns számítás. Érzékenység vizsgálat Ellenőrzés Variáns számítás Érzékenység vizsgálat Készítette: Dr Árahám István Az ellenőrzés A matematikai modell megoldása, a szimple tálák kitöltése közen könnyen elkövethetünk számolási hiát A kiindlási

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben