Matematika PRÉ megoldókulcs január 21. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT. 1 = és x 2

Átírás

1 Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! ( x )( x+ ) ( x )( x+ ) 5 = ( pont) 0 5 = 5 az exp. fv. szigorú monotonitása miatt: x x+ = 0 x + 5x = 0 ( )( ) A másodfokú egyenletet megoldva: x = és x = Összesen: pont ) Döntse el az alábbi állításokról, hogy igazak vagy hamisak! a) Van olyan racionális szám, amelyik nem egész szám. b) Egy szám osztható tizenhárommal, ha a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzett számhoz hozzáadjuk az utolsó szám háromszorosát, és ez a szám osztható tizenhárommal. a) Igaz. b) Hamis, mert az utolsó szám négyszerese kell. Összesen: pont ) Egy marhatenyésztőnek 500 szarvasmarhája van. A mindenkori állatállomány évenként 5%-kal gyarapszik. Tizennégy év múlva eladja a vejének az akkori állomány felét. Mennyi marhája marad a tenyésztőnek? (Az éppen még születendő állatok nem számítanak.) ( pont) a = 500 a = 500,05 7 q =, 05 a = 57 Összesen: pont ) Oldja meg a következő egyenletet! 5ctg x = sin x Kikötés: sin x 0 x 0 + k 80, ahol k ( ) 5cos = sin 5cos = cos cos + 5cos = 0 x x x x x x ( x ) cos = = 0, ( ) x = 56,6 + l 80, ahol l x = 0,6 + n 80, ahol n cos x = 8 =,80, de ez nem megoldás, mert cos x Összesen: pont

2 Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. 5) Egy körgyűrűcikket, illetve 9 cm sugarú körívek határolnak. Területe 8π cm. Mekkora a körgyűrűcikk középponti szöge? T cm kgy = 9 π π= 7π 7π 8π= 60 = 90 Összesen: pont 6) Milyen x értékeket vehet fel az alábbi kifejezés? x 6x+ 7> 0 Behelyettesítve a megoldóképletbe: ( ) ( ) ( ) b± b ac 6± 6 7 = a x = 7ésx = Mivel az x együtthatója negatív, a megoldás a két gyök között lesz: 7< x < Összesen: pont 7) A virágosnál egy zsák virágföld 5 kg. Egy másik virágosnál csak 0 kg van egy zsákban és itt 60 Forinttal drágább kilója. Egy zsákért mindkét helyen ugyanannyit kérnek. Mennyibe kerül a drágábbik helyen kg virágföld? ( ) 5x= 0 x x= 600 x = 0 x + 60 = 80 Ft Összesen: pont 8) Adja meg a 70 és az 50 legkisebb közös többszörösét! ( pont) 70 5 = és 50 = 5 70;50 = 5 = 0800 [ ] 9) Határozza meg az alábbi kifejezés értékkészletét! ( ) x Összesen: pont x+ 8 ( pont) x + x x+ 8 Összesen: pont

3 Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. B ;7. Írja fel a kör egyenletét! 0) Egy kör egyik átmérőjének végpontjai ( 5; ) ( ) ( ) ( ) ( ) A, ( ) d = x x + y y = = 68 = 7 d A kör sugara: r = = 7 A felezőpontból megkapjuk a kör középpontját: ( ; ) F = O ( ; ) A kör egyenlete: ( x ) + ( y ) = 7 Összesen: pont ) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x= 6x Kikötés: 6x 0 x x és x 0 x 0, tehát 0 x 6 x = 6x x + 6x = 0 x + x = 0 A másodfokú egyenletet megoldva: x = = 0,8 és x = =, 78 ami nem eleme az ért. tartománynak. Összesen: pont ) Egy dobozban 0 pár különböző színű kesztyű van. Véletlenszerűen kiveszünk belőle kettőt. Mekkora a valószínűsége annak, hogy ez a két darab kesztyű egy pár lesz? ( pont) Összes eset: 9, hiszen a maradék 9 kesztyűből húzunk egyet. Kedvező eset:, hiszen egyetlen kesztyű passzol a kihúzotthoz. A keresett valószínűség: 9 II/A. rész: Az alábbi három példa megoldása kötelező volt! Összesen: pont Maximális elérhető pontszám: 0 ) Egy versenyen huszonhárom 5 fős csapat mérte össze erejét és tudását, feladatban. a) Az első feladatot eddig csapat csinálta meg. A második, ügyességi feladaton már 5 csapat van túl. Csak 7 csapat van, akik mindkettőn részt vettek. Hány csapat van, aki(k) még nem vett(ek) részt az első két feladaton? b) Eddig négy olyan csapat volt, akik mind a három feladatot teljesítették. A csapatok közül, akik a. feladatrészt megcsinálták, hatan már az elsőn is túl vannak. Kilenc olyan csapat van, akik a. és a. feladatot is maguk mögött tudhatják. Készítsen halmazábrát a jelenlegi állásról! (6 pont) c) A résztvevők hány százaléka teljesítette a feladatok legalább részét?

4 Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. a) Csak az. feladat: 7 = csapat Csak a. feladat: 5 7 = 8 csapat = 9 csapat. és. feladat: 7 csapat Egyik sem: 9 = csapat b) A feladatot ábrázoljuk Venn-diagramon: x = 7 = csapat y = 6 = csapat z = 9 =5 csapat Csak az. feladat: = csapat 5 Csak a. feladat: 8 5= csapat Csak a. feladat: 9 = csapat c) 5 = 5 fő Legalább feladat: = 5 = 70 fő 70 = 0, ,87% 5 Összesen: pont ) A Nutella gyártója a vevők visszajelzései alapján új üvegbe tölti a csokikrémet. Ez az üveg szabályos henger alakú, az alapkörének átmérője 7 cm, a teteje műanyag. a) Hány centiméteres magasságig töltik bele a Nutellát, ha a töltősúlyt nem szeretnék megváltoztatni? (Most 00 gramm Nutella van egy üvegben.) A számolás megkönnyítésére a feladatban az kg = l átváltással dolgozzon! (6 pont) b) A Nutellás üvegek előállításához.500 dm -nyi megrendelt üveg alapanyag áll rendelkezésre minden hónapban. Egy darab régi üveg legyártásához 5 dm -nyi üveget használtak fel. Mennyi nyereségük vagy veszteségük lesz az új alakú üvegek gyártása miatt ebben a hónapban, ha egy üveg Nutella eladási ára 80 Ft volt és az új üveges Nutellát is ugyanennyiért szeretnék adni? (6 pont) a) d = 0, 7dm r = 0,5dm b) 00g = 0,kg 0,l 0,dm V r m m henger = π 0, = 0,5 π 0, 0, = m =, 09dm = 0,9 cm 0,5 π 0,5 π ( pont) A = 0,5 π,09+ 0,5 π=,67dm ( pont) új üveg 500 Új üveg: 500dm = 96 db, Régi üveg: 500dm = 00 db 5 új: = Ft 80 Ft/üveg régi: = 8000 Ft Nyereség: = Ft

5 Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. Összesen: pont 5) Egy erdészetben megmérték 5 fa magasságát és a következő eredményeket jegyezték fel: 00 m, 95 m, 6 m, 6 m, 79 m, 7 m, 8 m, 00 m, 7 m, 8 m, 00 m, m, 9 m, 95 m és m. a) Határozza meg a 5 fa átlagmagasságát! ( pont) b) Az erdészetben az alábbi táblázat alapján kategorizálják a fákat: Magasság Kategória 0 9 m facsemete 0 9 m kis fa 0 59 m közepesen magas fa m kifejlett fa m mamut-fa Ennek ismeretében töltse ki a következő táblázatot! Kategória facsemete kis fa közepesen magas fa Fák száma kifejlett fa ( pont) mamut-fa c) Készítsen kördiagramot a fák megoszlásáról! Adja meg a körcikkekhez tartozó középponti szögek értékeit is (egészekre kerekítve)! (5 pont) d) Adja meg a magasságok mediánját és móduszát! a) = =6 m ( pont) 5 5 b) A táblázat helyes kitöltése: ( pont) Kategória facsemete kis fa közepesen kifejlett fa mamut-fa magas fa Fák száma db db 0 db db 7 db c) 60 00% 5 fa 6,67% fa ( pont) 0 9 m: db fa 96, 0 9 m: db fa 8, 0 59 m: 0 db fa 0, 60 79m: db fa 8, m: 7 db fa 68 ( pont) 7% 7% 0% % Fák száma % 5 d) A mediánt az adatok sorba rendezése után kapjuk meg (8. fa): 79 ( pont) A módusz a legtöbbször előforduló adat: 00 facsemete kis fa közepesen magas fa kifejlett fa Összesen: pont

6 Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. Maximális elérhető pontszám: 6 II/B. rész: Az alábbi három példa közül kettőt kellett megoldani! 6) Adottak az f ( x) = ( x+ ) + és a g( x) = x függvények. a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az ( ) intervallumhoz tartozó részét! b) Ábrázolja ugyanebben a koordinátarendszerben a ( ) f x függvény 5 x < g x függvény x 5 intervallumhoz tartozó részét! g x függvény minimum és/vagy maximum helyeit a teljes c) Adja meg az f ( x ) és a ( ) értelmezési tartományon és az itt felvett értékeket! ( pont) x+ + x egyenlőtlenséget! (7 pont) e) Adjon meg egy metszéspontot (ha van)! ( pont) d) Oldja meg az ( ) a) Az ( ) f x függvény helyes ábrázolásáért (az intervallumok helytelen jelöléséért - pont levonás jár!) b) A ( ) g x függvény helyes ábrázolásáért (az intervallumok helytelen jelöléséért - pont levonás jár!) c) f ( x ) szélsőérték helye: x=, f ( x ) minimum értéke: y = g( x ) szélsőérték helye: x=, ( ) d) ( ) ( ) x+ + x x+ + = x x ha x x- = x + ha x < g x minimum értéke: y= - 6

7 Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. I. eset: x ( ) x+ + = x x + x + 0= 0 Diszkrimináns < 0 II. eset: x < x = x + x+ 7= x+ x + 5x + = 0 x = ( pont) Ellenőrzés! Összegezve: x A pontos x értékek miatt az ábráról való leolvasásra is megadható a pont. e) Metszéspontok: M ( ;5 ) és M ( ; ) ( pont) 7 Összesen: 7 pont 7) Az Okmányirodában a nyári nagytakarításkor minden ingóságnak kódszámot adtak, hogy könnyebb legyen a visszapakolás. A kódszámokat a 0, 9, 8, 7 és 6 számjegyek pontosan egyszeri felhasználásával képezték. a) Hány bútor volt összesen, ha kódszám kivételével az összes képezhető számot kiosztották? ( pont) b) A megadott feltételek alapján képezhető összes kódszámot kezeljük számként! Ha véletlenszerűen kiválasztok egyet, mennyi a valószínűsége, hogy olyan kódszám akad a kezembe, ami 5 számjegyű és páratlan? (7 pont) c) A megadott számokat egyszer felhasználva jegyű számokat képzünk. Mennyi a valószínűsége, hogy ha véletlenszerűen választunk egyet, akkor -mal osztható számot kapunk? (6 pont) a) Kódszámokról van szó, így a 0 is lehet bárhol! 5! = 0 -at nem osztottak ki: 0 =7 b) Az összes képezhető szám: 0 Mivel számként kezelem a kódszámokat, itt már fontos, hogy nem állhat a 0 az első helyen! Ahhoz, hogy páratlan legyen a szám, a 9-nek vagy a 7-nek kell az utolsó helyen állnia: I. eset: 9-es van az utolsó helyen = 8 eset II. eset: 7-es van az utolsó helyen = 8 eset A két esetet össze kell adni, hiszen egyszerre nem következhetnek be: = 6 A keresett valószínűség: 6 = 0, 0 c) Ahhoz, hogy a szám osztható legyen -mal, a számjegyek összegének oszthatónak kell lennie -mal és mivel jegyű számot keresünk, egy számjegynek ki kell maradnia. Kimarad Számjegyek 9, 8, 7, 6 8, 7, 6, 0 9, 7, 6, 0 0, 9, 8, 6 0, 9, 8, 7 Számjegyek összege 0 Osztható-e -mal igen igen nem nem igen Ha a 0 marad ki: = szám Ha a 9 marad ki: = 8 szám = 60 szám Ha a 6 marad ki: = 8 szám Összes eset ( jegyű számok): = 96

8 Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. A keresett valószínűség: 60 = 0,65 96 Összesen: 7 pont 8) Vilma, Fred, Diána, Bozont és Scooby új megoldatlan ügyön dolgoznak, a rejtély színhelye 800 km-re van. Repülővel szerettek volna odautazni, de a vihar miatt Bozont és Scooby a szárazföldi közlekedést választották. A többiek vállalták a repülőt, de az út első harmadán visszaveszik a sebességet 5 százalékkal. a) Ha ilyen feltételekkel indulnak el, akkor az út maradék részében hány %-kal kell növelni a sebességet az eredetileg tervezetthez képest, ha késés nélkül szeretnének odaérni a megbeszélt időpontra? (0 pont) b) Bozont és Scooby busszal indultak, de külön járattal, hogy megtévesszék üldözőiket. Egyedül félnek, így azt tervezik, hogy egyszerre indulnak a buszpályaudvarról, a végállomáson pedig Fredék várják őket. Reggel 6 órakor járat indul egyszerre, utána 5, 6, 8 és 9 percenként indulnak buszok ugyanonnan. Segítsen Bozontéknak kitalálni, hogy az utolsó (este órás) járatig hány alkalommal indul egyszerre a négy járat és mikor van(nak) az indulás(ok)! (7 pont) a) s = 800 km Legyen x a sebesség növekedése a hátralevő úton. I.rész II.rész s ( km ) v ( km h ) t ( h ) I. rész 600 ( ) 8-0,5 v= 0,75v II. rész 00 xv 800 v ( pont) 600 0,75v 00 xv 800 v ( pont) ,75 v + x v = v ( v 0 ) ,75 + x = x+ 00 = 600x x =, Tehát az eredeti sebességet az út hátralevő részében 0 százalékkal kell növelniük. b) Reggel 6 óra: járat 5 percenként: 5 6 percenként: 8 percenként: 9 percenként: LKKT: 5 = 60 perc ( pont) 60 perc = 6 óra Tehát 6 óránként indul egyszerre a négy busz.

9 Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január A közös indulások:. reggel 6,. délben,. este 8 Összesen: 7 pont A próbaérettségi során szerezhető maximális pontszám: 00 Maximális elérhető pontszám: 9