Végeselem-módszerek összehasonlítása tárigény és konvergencia szempontjából. Szabó Emerencia Éva. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Végeselem-módszerek összehasonlítása tárigény és konvergencia szempontjából Szakdolgozat Szabó Emerencia Éva Alkalmazott matematikus MSc, Alkalmazott analízis szakirány Témavezet : Horváth Tamás, egyetemi tanársegéd Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest, 2013

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. Folytonos Galjorkin-módszer Elméleti alapok A módszer ismertetése A folytonos módszer implementálása τ h felbontás Mátrixösszef zés w kiszámítása H 1 ) és L 2 ) norma Nemfolytonos Galjorkin-módszer DG) A módszer ismertetése A nemfolytonos módszer implementálása τ h felbontás Mátrixösszef zés w kiszámítása L 2 ) norma Konvergencia Folytonos módszer konvergenciája Nemfolytonos módszer konvergenciája Összehasonlítás Eredmények háromszögelemekkel Eredmények téglalapelemekkel Irodalomjegyzék 38 II

3 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni témavezet mnek, Horváth Tamásnak, hogy hasznos tanácsaival, észrevételeivel segítette szakdolgozatom elkészülését. Köszönöm a sok segítséget, melyet a konzultációk során és en keresztül kaptam. Nagyon hálás vagyok, hogy sokat segédkezett az implementáció során felmerül hibakeresésben. Hálával és köszönettel tartozom családomnak, szeretteimnek támogatásukért és az er t adó biztatásért. III

4 1. fejezet Bevezetés Az elliptikus parciális dierenciálegyenletek numerikus megoldásának egyik leghatékonyabb módszere a különböz végeselem-módszerek. Gyakorlatban is számos helyen alkalmazzák ezeket a módszereket, pl.: zikai folyamatok modellezése, mérnöki szimulációk stb. Szakdolgozatom témája a folytonos és nemfolytonos Galjorkin-módszerek implementálása és összehasonlítása tárigény és konvergencia szempontjából. A dolgozat során el ször az elméleti hátteret mutatom be, azt követ en áttérek a Matlabban történ implementálásra. A folytonos és nemfolytonos esetben is háromszögeket illetve téglalapokat választottam elemeknek. A 4. és 5. fejezet tárgyalja részletesebben a különböz konvergenciatételeket illetve kiszámításra kerülnek a tárigények. Ezek segítségével deniálok egy hatékonysági függvényt, ami alapján készül az összehasonlítás. Az utolsó részben a Matlabban megírt kódokat néhány tesztfüggvényre futtatom és a kapott konvergencia ábrák egybevetésével vonom le a konklúziót a módszereket illet en. 4

5 2. fejezet Folytonos Galjorkin-módszer 2.1. Elméleti alapok A végeselem-módszerek összehasonlítása során a következ elliptikus Dirichlet peremérték-feladattal fogunk foglalkozni. Keressük azt az u C 2 ) C) függvényt, melyre u = f -n, u = g, ahol R n korlátos tartomány, f L 2 ), g H 1/2 ). Els ként tekintsük a homogén Dirichlet peremfeltétel esetét u = f -n, u = 0. A klasszikus feladatot írjuk át el ször gyenge alakra. Ehhez válasszunk egy v C0) 1 tesztfüggvényt. Az egyenletet szorozzuk meg a tesztfüggvénnyel és integráljuk -n, uv = fv. Az egyenlet bal oldalán a Green-tételt alkalmazva kapjuk, hogy u v ν uv = fv, ahol ν jelöli a kifelé mutató normálist. Mivel v = 0 a peremen, ezért ν uv = 0. Így a következ összefüggést kapjuk: u v = fv. 2.1) 5

6 Gyenge alaknál az u megoldásnak nem kell C 2 -ben lennie, elég, ha u H 1 ). Homogén Dirichlet peremfeltétel esetén elegend, ha u H 1 0) Deníció. H 1 ) = {u L 2 ) : i u L 2 ) i = 1,..., n}, u 2 H 1 ) = u 2 L 2 ) + u 2 L 2 ) Deníció. H 1 0) = {u H 1 ) : u = 0}, u 2 H 1 0 ) = u 2 L 2 ) Deníció. Homogén Dirichlet peremérték-feladat gyenge megoldása u H 1 0), mely teljesíti 2.1)-et v H 1 0)-ra Állítás. Ha u C 1 ) kielégíti a klasszikus Dirichlet feladatot, akkor gyenge megoldás is. Ha u C 2 ) C 1 ), akkor u a klasszikus feladatnak is megoldása. Legyen au, v) := u v. Ekkor a : H0) 1 H0) 1 R bilineáris forma, amely a) korlátos, azaz M > 0, hogy au, v) M u H 1 0 ) v H 1 0 ) u, v H 1 0) b) koercív, azaz m > 0, hogy au, u) m u 2 H 1 0 ) u H 1 0). A következ állítás bizonyításától eltekintünk, [3]-ban részletesen megtalálható Állítás. A H 1 ) norma és a H0) 1 norma ekvivalens a H0)-n. 1 Most tekintsük az egyenlet jobb oldalát. Jelölje lv := fv. Ekkor l : H0) 1 R korlátos, lineáris funkcionál Tétel Lax-Milgram lemma). Legyen H valós Hilbert-tér, a : H H R korlátos, koercív, bilineáris forma, l : H R korlátos, lineáris funkcionál. Ekkor!u H, melyre au, v) = lv v H. Tehát a gyenge megoldás keresése során egy olyan u H 1 0) függvényt keresünk, melyre au, v) = lv teljesül a Lax-Milgram lemma biztosítja. v H 1 0) esetén. Ezen u létezését és egyértelm ségét Most térjünk át az inhomogén Dirichlet perem esetére, amely könnyen visszavezethet a homogén esetre. A klasszikus feladat: u = f -n, u = g. Ekkor legyen u 0 olyan, hogy u 0 = g, u = w + u 0. Így w-re egy homogén peremfeltétel feladatot kapunk: w = f u 0 ), w = 0. 6

7 A homogén eset gyenge alakja alapján v H0)-ra 1 igaz a következ összefüggés: w v = fv u 0 v, } {{ } } {{ } aw,v) au 0,v) lv := fv au 0, v) jelöléssel, v H0)-ra 1 aw, v) = lv A módszer ismertetése A folytonos Galjorkin-módszer során a közelít megoldást, melyre teljesül, hogy au h, v) = lv v H0), 1 a H0) 1 egy véges dimenziós V h alterében fogjuk keresni. V h bázisfüggvényeit jelölje φ 1, φ 2,..., φ N.?u h V h : au h, v h ) = lv h v h V h 2.2) N Az u h közelít megoldást írjuk fel a bázisfüggvények segítségével: u h = c j φ j. Cél a c j együtthatók meghatározása. Az u h bázisfüggvényekkel való felírását a 2.2-be helyettesítve kapjuk, hogy N ) a c j φ j, v h = lv h v h V h. j=1 j=1 Elég a bázisfüggvényekre megkövetelni az egyenl séget, ezért N ) a c j φ j, φ i = lφ i i = 1,..., N). j=1 Mivel a bilineáris forma, ezért érvényes a következ átalakítás, N c j aφ j, φ i ) = lφ i i = 1,..., N). j=1 s ij := aφ j, φ i ), w i := lφ i Így egy lineáris egyenletrendszert kaptunk N s ij c j = w i i = 1,..., N), j=1 ahol s ij = φ j φ i, S = {s ij } i,j=1,...,n. 7

8 i,j=1 i,j= Állítás. S pozitív denit. n Bizonyítás: Legyen c R n, c 0, v h := c j φ j. j=1 n n n ) n Ekkor Sc c = s ij c j c i = aφ j, φ i )c j c i = a c j φ j, c i φ i = av h, v h ). Mivel a koercív, ezért m > 0,hogy av h, v h ) m v h 2. A v h 0, ezért Sc c = av h, v h ) m v h 2 > 0. Ezzel bebizonyítottuk, hogy az S mátrix pozitív denit Következmény. Az Sc = w lineáris egyenletrendszernek egyértelm en létezik megoldása. j=1 i=1 A konvergenciatételekr l a kés bbiekben lesz szó. A végeselem-módszereknél a V h alteret szakaszonként polinomok alkotják. Az tartományt felosztjuk két dimenzió esetén pl. háromszögekre vagy téglalapokra, három dimenzió esetén pl. tetraéderekre vagy téglákra. A szakdolgozat két dimenziós feladatokkal foglalkozik els -,másod-, ill. harmadfokú polinomok esetén háromszög felosztással és téglalap felosztással is. Az felbontásának a következ ket kell teljesítenie: Deníció τ h felbontás). T 1,..., T M, T k Lipschitz-folytonos k = 1,..., M, int T k int T l = k l), M k=1t k = valamint T k T l csak csúcs, teljes oldal vagy üres halmaz lehet Deníció. h-val jelöljük a τ h nomságát, ahol h = max k=1,...m diamt k ). A dolgozatban bemutatott módszerek során a τ h minden eleme azonos típusú és minden T k -n azonos fokszámú polinomokat alkalmaztam. A bázisfüggvények bizonyos csomóponti értékek segítségével adhatóak meg egy adott T k elemen. Minden csomóponti értékhez tartozni fog egy bázisfüggvény, amely az adott csomópontban 1-et vesz fel, a többi csomópontban pedig 0-t. Csomóponti értékek pl: csúcsok, felezési pontok stb. A dolgozatban használt felbontások és V h alterek: T k háromszög k = 1,..., M V h = {szakaszonként lineáris függvények} A bázisfüggvényeket az adott T k háromszög csúcspontjaiban lév értékek határozzák meg, ezek lesznek a csomóponti értékek. T k háromszög k = 1,..., M V h = {szakaszonként másodfokú függvények} A csomóponti értékek a T k háromszög csúcspontjai és az oldalak felezési pontjai. 8

9 T k háromszög k = 1,..., M V h = {szakaszonként harmadfokú függvények} A csomóponti értékek a T k háromszög csúcspontjai, az oldalak harmadoló pontjai és a súlypont. T k téglalap k = 1,..., M V h = {a + bx + cy + dxy alakú, elemenként bilineáris függvények } A T k téglalap csúcspontjai a csomóponti értékek. T k téglalap k = 1,..., M V h = {u : u Ti span{1, x, y, xy, x 2, y 2, x 2 y, x 2 y 2, xy 2 }} A csomóponti értékek: a T k téglalap csúcspontjai, az oldalak felezési pontjai és a súlypont. T k téglalap k = 1,..., M V h = {u : u Ti span{1, x, y, xy, x 2, y 2, x 2 y, x 2 y 2, xy 2, x 3, y 3, x 3 y 2, x 3 y, x 2 y 3, xy 3, x 3 y 3 }} A csomóponti értékek az alábbi ábrán látható pontok, ahol a téglalap oldalain a csúcsokon kívül a harmadoló pontok találhatóak A folytonos módszer implementálása Ebben a fejezetben a folytonos Galjorkin-módszer implementálásáról lesz szó. A kódokat Matlab-ban készítettem. A megoldandó feladat a következ : u = f, u = g. Az tartomány minden esetben a [0, 1] [0, 1] egységnégyzet lesz τ h felbontás El ször az τ h felbontását készítjük el, ahol az egyik esetben a T i elemek csak háromszögek, a másik esetben pedig csak téglalapok. Az egységnégyzetet x irány- 9

10 ban m részre, y irányban n részre osztjuk fel. Ezekben a rácspontokban vagyunk kíváncsiak a közelít megoldás értékére. 0, 1) 1, 1) 0, 0) 1, 0) 2.1. ábra. Egységnégyzet felosztása háromszögekre n = 2, m = 2 esetén Els fokú bázisfüggvények esetén a csomóponti értékek csak a háromszögek/téglalapok csúcsai, ezért nem lesz szükségünk a rácspontokon kívül további pontokra. Másod- ill. harmadfokú bázisfüggvények esetén már a csomópontokat is meg kell sorszámozni. El ször mindig a rácspontok kapnak egy sorszámot, utána jönnek csak a csomópontok. Így kés bb könnyebb lesz megkeresni a rácspontokat, hiszen tudjuk, hogy az els n+1) m+1) sorszámot kapták. Egy mátrixban fogjuk eltárolni a pontok sorszámait. A következ ábrákon a rács- és csomópontok sorszámozása valamint a bel lük készített mátrixok láthatóak. Mivel a pontok sorszámozása háromszögek és téglalapok esetén is ugyanaz, csak az elemek lesznek mások, ezért az ábrákon csak a háromszögrács szerepel ábra. Felosztás és sorszámozás els fokú bázisfüggvények esetén ábra. Felosztás és sorszámozás másodfokú bázisfüggvények esetén 10

11 ábra. Felosztás és sorszámozás harmadfokú bázisfüggvények esetén A sorszámok legenerálása után el kell raktározni az adott indexhez tartozó csúcs koordinátáit is. Ezután az elemeket is megszámozzuk fentr l lefelé és balról jobbra. Tehát a bal fels sarokban lév elem lesz az els elem a jobb alsó sarokban lév pedig az utolsó. Egy mátrixban tároljuk majd az elemeket. A mátrixnak annyi sora lesz, ahány elem keletkezett a felosztás során és annyi oszlopból fog állni, ahány rácspont és csomópont található az adott elemen. Így például a 2.2 esetén a mátrix els két sora: háromszögelemeknél: téglalapok esetén: esetén háromszögelemeknél: téglalapok esetén:

12 2.4 esetén háromszögelemeknél: téglalapok esetén: Mátrixösszef zés Az felosztása után az S mátrixot készítjük el. S ij = φ j φ i φ i -vel és φ j -vel a bázisfüggvényeket jelöljük. Elemenként fogjuk összef zni a mátrixot. Ez azt jelenti, hogy minden T s elemen kiszámoljuk a következ integrált: T s φ k φ l, ahol φ k és φ l azon bázisfüggvények, amelyekre igaz, hogy T s suppφ k ) suppφ l ). Ezeket az integrálokat egy E referenciaelem segítségével számoljuk ki. Tehát a referenciaelemen integráljuk az E-n deniált bázisfüggvényeket, majd integráltranszformáció segítségével kapjuk az aktuális T s -en vett integrál értékét. A referenciaelemek az elemek típusától függ en a következ ek: Ha háromszögekre bontjuk az tartományt, akkor az E a 0, 0), 1, 0) és 0, 1) csúcsokkal rendelkez háromszög. Ha téglalapokra bontjuk az tartományt, akkor az E a 0, 0), 1, 0),0, 1) és 1, 1) pontok által meghatározott négyzet. A referenciaelemen deniált bázisfüggvények: p = 1, háromszög: φ 1 = 1 x y φ 2 = x φ 3 = y 12

13 p = 1, téglalap: φ 1 = x 1)y 1) φ 2 = x1 y) φ 3 = xy φ 4 = y1 x) p = 2, háromszög: ) 1 φ 1 = 2 1 x y) 2 x y φ 2 = 2x x 1 ) 2 φ 3 = 2y y 1 ) 2 φ 4 = 4x 1 x y) φ 5 = 4xy φ 6 = 4y 1 x y) p = 2, téglalap: φ 1 = 4 x 1 ) x 1) y 1 ) y 1) 2 2 φ 2 = 4 x 1 ) x y 1 ) y 1) 2 2 φ 3 = 4 x 1 ) x y 1 ) y 2 2 φ 4 = 4 x 1 ) x 1) y 1 ) y 2 2 φ 5 = 8x x 1) y 1 ) y 1) 2 φ 6 = 8 x 1 ) xy y 1) 2 φ 7 = 8x x 1) y 1 ) y 2 φ 8 = 8 x 1 ) x 1) y y 1) 2 φ 9 = 16x x 1) y y 1) 13

14 p = 3, háromszög: φ 1 = x y) 1 3 x y ) 2 3 x y ) φ 2 = 9 2 x x 1 ) x 2 ) 3 3 φ 3 = 9 2 y y 1 ) y 2 ) 3 3 φ 4 = 27 2 x 1 x y) 2 φ 5 = 27 2 x φ 6 = 27 2 xy φ 7 = 27 2 xy φ 8 = 27 2 φ 9 = 27 2 ) 3 x y x 1 ) 1 x y) 3 x 1 ) 3 y 1 ) 3 1 x y) y y 1 ) 3 ) 2 1 x y) y 3 x y φ 10 = 27xy 1 x y) p = 3, téglalap: φ 1 = 81 4 φ 2 = 81 4 φ 3 = 81 4 φ 4 = 81 4 φ 5 = φ 6 = x 1 ) x 2 ) x 1) y 1 ) y 2 ) y 1) x 1 ) x 2 ) x y 1 ) y 2 ) y 1) x 1 3 ) x 2 ) x y 1 ) y 2 ) y x 1 ) x 2 ) x 1) y 1 ) y 2 ) y x 1 ) x 2 ) x y 1 ) y 2 ) y 1) x 1 3 ) x x 1) y 1 ) y 2 ) y 1)

15 φ 7 = 243 x 1 ) x 2 ) x y 1 ) y 2 ) y φ 8 = φ 9 = φ 10 = x φ 11 = φ 12 = φ 13 = x φ 14 = φ 15 = φ 16 = x x 1 ) x 2 ) x y 1 ) y y 1) x 1 ) x x 1) y 1 ) y 2 ) y x 2 ) x 1) y 1 ) y 2 ) y x 1 ) x 2 ) x 1) y 1 ) y y 1) x 1 ) x 2 ) x 1) y 1 ) y y 1) x 2 ) x 1) y y 2 ) y 1) 3 3 x 1 ) x x 1) y y 2 ) y 1) 3 3 x 1 3 ) x x 1) y 1 ) y y 1) 3 x 2 ) x 1) y 1 ) y y 1) 3 3 Az integrálok kiszámolásához szükségünk lesz arra az an transzformációra, ami az E referenciaelemet az aktuális elemre képezi. Az an transzformációt írjuk fel Ax + b alakban, ahol A R 2 2, b R 2 x R 2. Az aktuális elem három csúcsát jelölje x 1, y 1 ), x 2, y 2 ), x 3, y 3 ). Tegyük fel, hogy a következ módon képezi le a referenciaelemet a transzformáció: ) 0 A + b = 0 ) 1 A + b = 0 ) 0 A + b = 1 x1 y 1 x2 y 2 x3 y 3 ) ) ) Ekkor az A és b a következ : x2 x 1 x 3 x 1 ) x1 ) A = y 2 y 1 y 3 y 1 b = y 1 15

16 Téglalapelemek esetén ezután az 1, 1) csúcsot a transzformáció automatikusan a téglalap negyedik, x 4, y 4 )-gyel jelölt csúcsába képezi. Jelöljük Cx + d-vel az el z an transzformáció inverzét, azaz a Cx + d az adott T s elemet képezi a referenciaelemre. Így a T s elemen vett φ i bázisfüggvények és a referenciaelem φ i bázisfüggvényei között igaz az alábbi összefügés: φ i x) = φ i Cx + d). 2.3) A T s elemen kiszámolt integrálok értékét egy lokális mátrixban tároljuk el: Loc ij = φ i φ j. T s Loc mátrix elemeinek kiszámolása: T s l=1 φ i φ j = T s T s l=1 T s 2 l φ i l φ j. Az integrál további átalakításához használjuk fel a 2.3 összefüggést: 2 2 l φ i l φ j = l φi Cx + d) l φj Cx + d) = T s l=1 2 2 l=1 m=1 m φi C ml) 2 n=1 l=1 m=1 n=1 ) n φj C nl. 2.4) Számoljuk ki a következ integrál értékét s = Cx + d helyettesítéssel: m φi Cx + d) n φj Cx + d) = m φi s) n φj s) det A. 2.5) T s E Az φ E m i s) n φ j s) értéket tároljuk el egy M mn mátrix i-edik sorának j-edik elemeként, hiszen erre az értékre a felosztás minden eleme esetén szükségünk lesz. Az M mn mátrixok segítségével a 2.4 kifejezésb l a következ t kapjuk: det A M mn ) ij C ml C nl. 2.6) Így a lokális mátrix a következ lesz: Loc = det A M mn ) C ml C nl. 2.7) l=1 m=1 n=1 Összefoglalva, tehát a T h felbontás elkészítése után kiszámoljuk az M mn mátrixot, majd minden elemre legyártjuk a Loc mátrixot és ezt f zzük be S-be a megfelel helyre. A bef zés azt jelenti, hogy ha a Loc mátrix adott eleme a φ i és φ j bázisfüggvényekhez tartozik, akkor azt az S j-edik sorának i-edik eleméhez adjuk hozzá. 16

17 w kiszámítása Az S mátrix összef zése után szükségünk van az egyenletrendszer jobb oldalának, a w vektornak a meghatározására. w i = lφ i = fφ i u 0 φ i, 2.8) ahol u 0 = g. A második tag átírható a következ alakba: u 0 φ i = au 0, φ i ) = gx j, y j )aφ j, φ i ), 2.9) x j,y j ) ahol x j, y j ) jelöli azt a pontot, ahol a φ j bázisfüggvény értéke 1. Mivel az aφ j, φ i ) az adottelemhez tartozó Loc mátrix egyik eleme, ezért a numerikus integrálást csak az fφ i esetében kell elvégeznünk. Ezen értékek meghatározásához Gausskvadratúrát használtam: s k fx k )φ i x k ), 2.10) k ahol x k R 2 a k. integrálási alappont, s k pedig az ehhez tartozó súly. A numerikus módszer háromszögön való integrálás esetén a 1, 1), 1, 1) és 1, 1) csúcsokkal rendelkez T 0 háromszögön van deniálva. Téglalapok esetén a T 0 a 1, 1), 1, 1), 1, 1) és 1, 1) pontok által meghatározott téglalap. Ezért ismét integráltranszformáció alkalmazására lesz szükségünk. Az integrálást elemenként végezzük el. Jelölje Bx + e azt az an leképezést, ami a T 0 -t az E referenciaelembe viszi. Így a T 0 az ABx + Ae + b leképezéssel az aktuális T j -be vihet. Ekkor fx)φ i x) = det AB fabx + Ae + b) φ i ABx + Ae + b). 2.11) T j T 0 A bázisfüggvények közötti 2.3 összefüggést felhasználva: det AB fabx + Ae + b) φ i ABx + Ae + b) = 2.12) T 0 det AB fabx + Ae + b) φ i CABx + CAe + Cb + d). 2.13) T 0 Mivel az Ax+b leképezés a Cx+d leképezés inverze, ezért CA = I és Cb+d = 0. A 2.13 ezért az alábbi módon írható át: det AB fabx + Ae + b) φ i Bx + e). 2.14) T 0 Ezzel az x k pontok kiszámítása: x k = ABx k + Ae + b, 2.15) ahol x k a T 0 elemhez tartozó integrálási alappontok. A φ i Bx + e) értékeket nem kell minden elemen újraszámolni, hiszen nem függ, attól, hogy melyik elemen integrálunk. 17

18 H 1 ) és L 2 ) norma Az S és w kiszámolása után megoldjuk az Sc = w egyenletrendszert, ahol a c i értékek lesznek a bázisfüggvények együtthatói. Az u h közelít megoldás: u h = N c i φ i. i=1 Ezután az u u h H 1 )-t és az u u h L 2 )-t számoljuk ki, ahol u a pontos megoldás. A H 1 ) norma kiszámolásához szükségünk lesz a x u u h ) és a y u u h ) függvényekre is, hiszen u u h 2 H 1 ) = u u h 2 L 2 ) + xu u h ) 2 L 2 ) + yu u h ) 2 L 2 ), ahol u u h 2 L 2 ) = u u h 2. Az integrálok meghatározása itt is Gauss-kvadratúrával történik. Az u u h, x u u h ) és a y u u h ) integrálási alappontokban vett értékeit úgy számítjuk ki, hogy a rácspontokban és a csomópontokban kiszámolt u h értékek segítségével interpolációt végzünk. Az interpoláció során háromszögek esetén egy legfeljebb p-ed fokú polinomot illesztünk az adott pontokra, téglalapok esetén pedig változójukban legfeljebb p-ed fokú polinomot keresünk. 18

19 3. fejezet Nemfolytonos Galjorkin-módszer DG) 3.1. A módszer ismertetése A szakdolgozatban vizsgált másik végeselem-módszer a nemfolytonos interior penalty Galjorkin-módszer. Továbbra is a következ elliptikus peremérték-feladatot szeretnénk megoldani. Keressük azt az u C 2 ) C) függvényt, melyre u = f -n, 3.1) u = g, 3.2) ahol R n korlátos tartomány, f L 2 ), g H 1/2 ). A gyenge alak meghatározásához osszuk fel el ször az tartományt az alábbi módon. τ h = {E 1, E 2,..., E m }, ahol m i=1e i = és E i E j 0, ha i j. Nemfolytonos Galjorkin-módszer esetében a τ h felbontásnak nem kell teljesítenie azt a feltételt, hogy E i E j csak csúcs, teljes oldal vagy üres halmaz lehet. A módszer akkor is m ködik, ha megengedünk ún. "függ csúcsokat" angolul hanging node), ahol E i E j pl. nem az egyik elem teljes oldala, hanem az elem oldalának csak egy szakasza Deníció. H s τ h ) = {v L 2 ) : E i τ h v Ei H s E i )} H s τ h ) neve tört Szoboljev tér, ami nem egyezik meg a törtrend Szoboljev tér deníciójával. Itt a tört kifejezés arra utal, hogy elemenként H s -beli a függvény. A gyenge alak el állításához, most is válasszunk egy v tesztfüggvényt. Legyen v H s ), ahol s 2. Szorozzuk be v-vel 3.1-et és integráljuk egy E i elemen: uv = fv. E i E i 19

20 Ezután alkalmazzuk a Green-tételt és jelölje ν Ei az E i elem kifelé mutató normális vektorát: u v E i νei u)v = E i fv. E i Miután minden E i elemen elvégeztük a szorzást és az integrálást, adjuk össze az egyenleteket. Így a következ t kapjuk: u v νei u)v = E i E i E i τ h E i τ h fv. 3.3) Ezt a kifejezést fogjuk tovább alakítani, de el tte deniáljuk az ugrás és az átlag fogalmát. Jelölje Γ h a bels élek halmazát, ν e pedig az élre mer leges egységvektort. Ha az e él az E 1 és E 2 elemet határolja, akkor ν e azon egységvektor, ami E 1 -r l E 2 -re mutat Deníció. v átlagát jelölje {v } és {v } := 1 2 v E v E Deníció. v ugrására a [v ] jelölést használjuk majd, ahol [v ] := v E1 v E2. Ha az e él peremél, akkor {v } = [v ] = v E1. Most vizsgáljuk a 3.3 egyenlet bal oldalának 2. tagját. Ehhez tekintsünk egy E i és egy E j elemet, melyek közös élét jelölje e. Ekkor e bels él, ν Ei és ν Ej legyenek az e-re mer leges egységvektorok, ν Ei E i -r l E j -re, ν Ej pedig E j -r l E i -re mutasson. Így fennáll, hogy ν Ej = ν Ei. Ekkor, νei u Ei )v Ei + νej u Ej )v Ej = νei u Ei )v Ei νei u Ej )v Ej = e Minden e τ h -ra szummázva: e E i τ h E i νei uv = e Γ h e e [ νe uv ] + e e [[ ]] νei u)v. νe u)v. 3.4) Mivel u folytonosan dierenciálható, ezért νe u = { νe u }. Ennek következményeként, [ νe u)v ] = νe u)v) Ei νe u)v) Ej = νe u) [v ] = { νe u } [v ]. 3.5) e 3.4 és 3.5 felhasználásával 3.3 a következ alakba írható, u v { νe u } [v ] + νe uv = E i τ E i h e Γ e h e e A 3.5-ot a pereméleken vett integrálok esetén alkalmazva kapjuk, hogy u v { νe u } [v ] = fv. E i e τ e h E i τ h 20 fv. 3.6)

21 A bal oldalon található kifejezés még nem lenne jó bilineáris formának, mert nem koercív. Ezért adjuk hozzá a következ tagot, σ [u] [v ]. e e τ h e A koercivitás csak elég nagy σ esetén fog teljesülni. A dolgozatban σ értéke a Süli Endréék által javasolt 10p 2. A σ értékér l részletesebben [1]-ben olvashatunk. Ezenkívül hozzáadunk még egy tagot, amivel elérhetjük azt is, hogy szimmetrikus legyen a bilineáris forma: ε e τ h e { νe v } [u]. Az ε értékét 0, 1, 1 közül szokták választani. ε = 1 esetén a szimmetria is fennáll, ezért a szakdolgozat csak ezzel az esettel foglalkozik. Így a bilineáris formát az alábbi módon deniáljuk: a DG u, v) := { νe u } [v ] + ε e τ h E i τ h u v E i e τ e h + σ [u] [v ]. e e τ e h e { νe v } [u] A két tag hozzáadásakor, a jobb oldalon csak akkor adtunk hozzá nemnulla értéket, ha e, ugyanis mindkét tag tartalmazza [u]-t, ami pedig 0 a bels éleken. Így a jobb oldalon a következ lineáris funkcionált kapjuk: l DG v := fv + ε νe v + σ ) e v g. e Állítás. A bilineáris forma és a lineáris funkcionál független ν e választásától. Bizonyítás: Legyen e egy olyan él, melyre E i E j = e. Ekkor jelölje n ij azt az e-re mer leges normálvektort, ami E i -r l E j -re mutat. Ha ν e -nek ν ij -t választjuk, akkor ) νij v Ei + νij v Ej u Ei { νi jv } [u] = 2 u ) Ej ) νij v Ei + νij v Ej u Ej = 2 u ) Ei ) νji v Ej + νji v Ei u Ej = 2 u ) {{ Ei = νj iv }} [u] Deníció. A Dirichlet peremérték-feladat gyenge megoldásának közelítése az az u H s ) s 2), melyre teljesül, hogy a DG u, v) = l DG v v H s ). 21

22 A folytonos Galjorkin-módszerhez hasonlóan a közelít megoldást itt is egy V DG véges dimenziós altérben keressük. A V DG H s ) altér lehet pl. az elemenként legfeljebb p-ed fokú polinomok tere vagy téglalapelemek esetén pl. az elemenként változóikban legfeljebb p-ed fokú polinomok tere. A feladat során az u DG V DG közelít megoldást keressük, melyre a DG u DG, v) = lv v V DG. 3.7) Minden elemhez N loc db bázisfüggvény tartozik. Így a V DG bázisfüggvényeinek száma összesen N loc elemek száma), amit jelöljünk N-nel, a bázisfüggvényeket pedig φ i -vel. Az u DG megoldást a bázisfüggvények segítségével szeretnénk felírni: u DG = N c j φ j. j=1 Elég ha a bázisfüggvényekre teljesül a 3.7, azaz a DG u DG, φ i ) = lφ i i = 1, 2,..., N. A bilinearitás miatt, N c j a DG φ j, φ i ) = lφ i i = 1, 2,..., N. i=1 Ez egy lineáris egyenletrendszer a c i együtthatókra, azaz Sc = w, ahol S i,j = a DG φ j, φ i ) és w i = lφ i. Az egyenletrendszer megoldása után a c i együtthatók segítségével már meghatározható az u DG közelít megoldás. A módszer konvergenciájáról szóló tételek a 4. fejezetben találhatóak A nemfolytonos módszer implementálása A nemfolytonos Galjorkin-módszer kódjai közül a téglalapelemes kódokat implementáltam V DG = P k τ h ) és V DG = Q k τ h ) esetén, ahol P k τ h ) = {az elemenként legfeljebb p-ed fokú polinomok tere }, Q k τ h ) = { az elemenként változóikban legfeljebb p-ed fokú polinomok tere }. A p értéke 1, 2, 3 volt. A témavezet mt l kapott háromszögelemes kódokat csak futtattam az összehasonlítás során τ h felbontás Els lépésként most is a felbontást kell elkészíteni. Nem használtam függ csúcsokat, ezért ugyanolyan felosztást készítettem, mint a nemfolytonos esetben. A 22

23 rácspontok sorszámozása, csúcsok, elemek eltárolása mellett, szükség van az élek nyilvántartására is. Az éleket egy élek száma) 4 méret mátrixban tároltam. Az i-edik sor els és második eleme azon két csúcs sorszáma, amiket az adott él összeköt. A harmadik elem vízszintes élek esetén az él felett lév téglalapelem sorszáma, a negyedik elem az él alatti téglalapelem sorszáma. Függ leges éleknél a bal oldali téglalapelem sorszáma a harmadik helyre kerül, a jobb oldali téglalapelem sorszámát pedig a negyedik elemként tároljuk el. Ha az adott él a peremen található, azaz csak egy elemet határol, akkor az élmátrixban a hiányzó elem sorszámához nullát írunk. Nézzünk egy példát az élmátrixra p = 1 esetén! ábra. Élmátrix 2 2-es felosztás esetén Mátrixösszef zés Az S mátrix kiszámolása itt is mátrixösszef zéssel történik. S ij = φ j φ i { νe φ j } [φ i ] + E i τ E i h e τ e h ε { νe φ i } [φ j ] + σ [φ j ] [φ i ]. e e τ h e τ h e Most is elemenként fogunk haladni. A bázisfüggvények x k y l alakúak lesznek. V DG = P k τ h ) esetén k, l = 0, 1,... p és k + l p, Q k τ h ) altérnél k, l = 0, 1,... p. Így n m-es felosztás esetén egy elemen a bázisfüggvények száma P k τ h )-nál p+1)p+2) 2, Q k τ h )-nál p + 1) 2. Ha a bázisfüggvények számát egy elemen N-nel jelöljük, akkor összesen N nm függvényünk lesz, azaz ennyi sora és oszlopa lesz az S mátrixnak. Az S ij -ben szerepl tagokat szétválasztjuk az elemen vett integrálokra és az éleken 23 e

24 vett integrálokra. Az elemen vett integrálok esetén hasonlóan járunk el, mint a folytonos módszernél. Minden elem esetén kiszámoljuk az an leképezést, ami a referenciaelemet az aktuális elemre képezi. Ezután elkészítjük a Loc mátrixot és bef zzük S megfelel helyeire. Ha a Loc mátrix az i. elemhez tartozik, akkor a bef zés a következ képpen történik: befuzes_helye = i-1)n+1):in; Sbefuzes_helye,befuzes_helye) = Loc; Az éleken vett integrálok esetén bontsuk szét S ij maradék tagjait: { νe φ j } [φ i ] + ε { νe φ i } [φ j ] + σ [φ j ] [φ i ] = e τ e h e τ e e h e τ e h m 11 + m 12 + m 22 + m 21. m kl az integrálokból csak azokat a tagokat tartalmazza, ahol a φ i bázisfüggvényt a k-adik elemen, a φ j -t pedig az l-edik elemen vesszük. Az ugrások és átlagok kiszámolásához a ν e vektort az alábbi módon választjuk. Peremélek esetén a ν e a kifelé mutató normális egységvektor, függ leges bels éleknél ν e = 1, 0), vízszintes bels éleknél ν e = 0, 1). Az m kl kiszámításakor φ E1,i := φ i E1 és φ E2,i := φ i E2. Az m kl értékeket mátrixokba rendezzük a következ módon: M 11 ) ij = 1 νe φ E1,j φ E1,i + ε νe φ E1,i φ E1,j + σ φ E1,j φ E1,i 2 e 2 e e e M 12 ) ij = 1 νe φ E2,j φ E1,i ε νe φ E1,i φ E2,j σ φ E2,j φ E1,i 2 e 2 e e e M 21 ) ij = 1 νe φ E1,j φ E2,i + ε νe φ E2,i φ E1,j σ φ E2,j φ E2,i 2 e 2 e e e M 22 ) ij = 1 νe φ E2,j φ E2,i ε νe φ E2,i φ E2,j + σ φ E2,j φ E2,i. 2 e 2 e e e Ezután az M ij mátrixokat is bef zzük az S mátrixba. Tegyük fel, hogy az akutális e élhez tartozó E 1 elem az i-edik sorszámú elem, az E 2 elem pedig a j-edik elem. Ekkor az összef zés: E1en_levok = i-1)p+1)^2+1):ip+1)^2; E2n_levok = j-1)p+1)^2+1):jp+1)^2; SE1en_levok,E1en_levok) = SE1en_levok,E1en_levok) + M11; SE2n_levok,E2n_levok) = SE2n_levok,E2n_levok) + M22; SE1en_levok,E2n_levok) = SE1en_levok,E2n_levok) + M12; SE2n_levok,E1en_levok) = SE2n_levok,E1en_levok) + M21; Peremélek esetén egy M 11 ) ij = e M 11 mátrixot készítünk el és ezt f zzük az S mátrixba. νe φ E1,j φ E1,i + ε νe φ E1,i φ E1,j + σ φ E1,j φ E1,i e e e 24

25 w kiszámítása A w kiszámításánál ismét Gauss-kvadratúrát használtam. w i = fφ i + ε νe φ i + σ ) e φ i g, e ahol g. Az els tagot, ugyanúgy számoljuk, mint a folytonos módszer esetében. fφ i det AB s k fabx k + Ae + b) φ i Bx k + e), k ahol s k a súlyok, x k pedig az integrálási alappontok a 1, 1), 1, 1), 1, 1) és 1, 1) pontok által meghatározott négyzet esetén. A w i 2. tagját csak a peremélek esetén kell kiszámolnunk, mivel ez a tag bels élek esetén nulla L 2 ) norma Az Sc = w egyenletrendszer megoldása után a hibafüggvény L 2 ) normáját számoljuk ki, u u DG L 2 ) = u u DG 2. A norma értékének meghatározásához szükségünk lesz u DG értékére az integrálási alappontokban. Ehhez kiszámoljuk u DG értékét a rácspontokban és csomópontokban majd elemenként interpolációt végzünk az u DG meghatározása végett. Az interpolációnál P k τ h ) esetén legfeljebb változóikban p-ed fokú polinomot, Q k τ h ) esetén pedig legfeljebb p-ed fokú polinomot keresünk. Az interpolációs értékek kiszámolása a következ módon történik. Tudjuk, hogy u DG = i c iφ i. Ha egy adott elemen szeretnénk kiszámítani az interpolációs értékeket, akkor el ször elkészítjük a következ mátrixot: I ij = φ j x i ) i = 1,..., p + 1) 2 j = 1,..., N. Tehát a mátrixnak annyi sora lesz ahány rácspont és csomópont van összesen egy elemen. Az oszlopok száma az egy elemen lév bázisfüggvények számával fog megegyezni. Ekkor ha az I ij mátrixot, beszorozzuk c azon részével, ami az adott elemhez tartozik, akkor megkapjuk az u DG függvény helyettesítési értékeit az elemen lév rács- és csomópontokban. Ezek lesznek az interpolációs értékek. Az integrálási alappontokat az interpolációval kapott polinomba helyettesítve végezzük el a numerikus integrálást. 25

26 4. fejezet Konvergencia A következ részben a módszerekre vonatkozó konvergencia tételekr l lesz szó Folytonos módszer konvergenciája Állítás. Az a.,.) bilineáris forma korlátos a. H 1 0 ) normában, azaz au, v) C 1 u H 1 0 ) v H 1 0 ). Bizonyítás: au, v) = u v = u, v H 1 0 ) 1 u H 1 0 ) v H 1 0 ) Állítás. Az a.,.) bilineáris forma koercív a. H 1 0 ) normában, azaz au, u) C 2 u 2 H 1 0 ). Bizonyítás: au, u) = u u = 1 u 2 H 1 0 ) Mivel a. H 1 ) és a. H 1 0 ) norma ekvivalens, ezért a korlátosság és koercivitás igaz. H 1 ) normában is Tétel. Mivel a korlátos: au, v) C 1 u H 1 ) v H 1 ), a koercív: au, u) C 2 u 2 H 1 ), a konzisztens: au, v) = lv v V h, háromszögek esetén P k τ h ), téglalapok esetén Q k τ h ) használata során igaz a közelítési tétel: u u I H 1 ) C 3 h p u p+1, ahol u I az interpoláns, p a közelítésnél használt polinomfok, h a felosztásnál használt legnagyobb átmér u u h H 1 ) C 4 h p u p+1, ahol u 2 p+1 = α =p 26 α u 2

27 L 2 ) normában magasabb konvergenciarend érhet el a Nitsche-trükk segítségével [3]: u u h L 2 ) C h p+1 u p+1 Nézzünk néhány p és C értéket konkrét példák esetén! Jelölje p H a H 1 ) normabeli, p L pedig az L 2 ) normabeli konvergencia rendjét. 1. példa: sin5πx)sin4πy) elem típusa p C 4 p H C p L háromszög 1 61,15 0,96 20,21 1,91 téglalap 1 40,57 0,99 10,76 2,01 háromszög 2 169,37 1,96 21,55 3 téglalap 2 77,48 1,99 9,74 2,92 háromszög 3 346, ,1 téglalap 3 97,55 2,98 9,5 3,96 2.példa: lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) elem típusa p C 4 p H C p L háromszög 1 3,93 1 0,6 2,06 téglalap 1 1,36 1 0,38 2 háromszög 2 3,95 1,93 0,55 3,1 téglalap 2 1,38 1,85 0,198 2,83 háromszög 3 4,28 2,83 0,38 3,85 téglalap 3 2,05 2,83 0,21 3,82 3.példa: 16xyx 1)y 1)) 16 elem típusa p C 4 p H C p L háromszög 1 8,4 0,97 2,67 1,93 téglalap 1 6,48 0,97 1,85 1,96 háromszög 2 16,9 1,88 2,63 2,97 téglalap 2 14,35 1,95 2,01 2,93 háromszög 3 40,11 2,94 4,82 4,06 téglalap 3 24,6 2,95 2,53 3,94 27

28 4.2. Nemfolytonos módszer konvergenciája A nemfolytonos módszer konvergenciájának vizsgálatához deniáljuk a következ normát: u 2 DG = u 2 [L 2 )] d + e Γ D Γ N e 1 e [u] 2 L 2 e) + E τ h E h ν E E 2 L 2 ) Állítás. a.,.) DG korlátos az. DG normában, azaz C 1 > 0 a DG u, v) C 1 u DG v DG u, v V DG Állítás. σ 0 > 0, hogy bármely σ > σ 0 esetén a DG koercív a. DG normában, azaz C 2 > Tétel. Mivel igaz, hogy a DG korlátos a. DG normában a DG u, u) C 2 u 2 DG u V DG. a DG koercív a. DG normában elég nagy σ esetén a DG konzisztens háromszögek esetén P k τ h ), téglalapok esetén Q k τ h ) használata során igaz a közelítési tétel: u u I DG C h p u p+1, ahol a közelítésnél használt függvényekr l sem tesszük fel, hogy folytonosak u u DG DG Ch p u p+1, ahol u 2 p+1 = α =p α u 2 Szimmetrikus esetben, azaz ε = 1 esetén, a folytonos esethez hasonlóan. L 2 ) normában a következ igaz a konvergenciára: u u DG L 2 ) C h p+1 u p+1 Példák nemfolytonos módszer esetén. L 2 ) norma esetén: 1. példa: sin5πx)sin4πy) elem típusa p V DG C p L háromszög 1 P k τ h ) 12,02 1,84 téglalap 1 Q k τ h ) 7,64 1,9 téglalap 1 P k τ h ) 2,33 0,86 háromszög 2 P k τ h ) 22,14 3,01 téglalap 2 Q k τ h ) 9,69 2,94 téglalap 2 P k τ h ) 12,01 1,9 háromszög 3 P k τ h ) 36,01 4,03 téglalap 3 Q k τ h ) 8,78 3,93 téglalap 3 P k τ h ) 48,22 3,57 28

29 2.példa: lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) elem típusa p V DG C p L háromszög 1 P k τ h ) 0,34 1,94 téglalap 1 Q k τ h ) 0,15 1,83 téglalap 1 P k τ h ) 0,96 0,69 háromszög 2 P k τ h ) 0,43 3,01 téglalap 2 Q k τ h ) 0,15 2,79 téglalap 2 P k τ h ) 1,88 0,98 háromszög 3 P k τ h ) 0,35 3,83 téglalap 3 Q k τ h ) 0,16 3,77 téglalap 3 P k τ h ) 2, példa: 16xyx 1)y 1)) 16 elem típusa p V DG C p L háromszög 1 P k τ h ) 1,85 1,89 téglalap 1 Q k τ h ) 1,36 1,87 téglalap 1 P k τ h ) 0,63 1,09 háromszög 2 P k τ h ) 2,93 3,01 téglalap 2 Q k τ h ) 2,14 2,97 téglalap 2 P k τ h ) 1,91 1,94 háromszög 3 P k τ h ) 4,36 3,83 téglalap 3 Q k τ h ) 2,31 3,98 téglalap 3 P k τ h ) 10,76 3,83 A téglalapelemekkel dolgozó, P k τ h ) alteret használó nemfolytonos módszer esetében nem ismert interpolációs becslés, így az el z tétel sem érvényes. Mivel a kódban nem jelentett nagy módosítást a Q k τ h )-ról P k τ h )-ra váltás, ezért megnéztem P k τ h )-ra is, hogy milyen p L értékeket kapunk. Ha megnézzük a táblázatok megfelel oszlopában ezeket az értékeket, akkor azt látjuk, hogy a p L értéke nem éri el a p + 1-et. Tehát téglalapelemek esetén nem elég a kevesebb bázisfüggvényb l álló P k τ h ) altér a konvergenciarend eléréséhez, szükség van a Q k τ h ) altérre. 29

30 5. fejezet Összehasonlítás A dolgozatom során tárigény és konvergencia szempontjából hasonlítottam össze a folytonos és nemfolytonos módszert. A tárigény esetén az S mátrixot fogjuk vizsgálni. Mivel S ritkamátrix, ezért a letárolt elemek száma a sorok számával lesz arányos. Sorok száma n n-es felosztás mellett, legfeljebb p-ed fokú bázisfüggvények mellett: folytonos módszer: háromszöelemek esetén: pn + 1) 2 téglalapelemek esetén: pn + 1) 2 nemfolytonos módszer: háromszöelemek esetén: 4n 2 p+1)p+2) 2 téglalapelemek esetén: n 2 p + 1) 2 Konvergencia szerint. L 2 ) normában történik az összehasonlítás. Vezessük be a következ jelölést: C := C u p+1. Mivel a téglalapelemeket használó nemfolytonos módszernél a V DG = P k τ h ) választással nem kapható meg a p + 1-es konvergenciarend a korábbiakban táblázatban összefoglalt eredmények szerint, ezért az összehasonlítás során ezen típusú módszerrel nem foglalkozunk. Így a háromszögelemeknél a folytonos és nemfolytonos módszernél is P k τ h ), téglalapelemeknél pedig Q k τ h ) lesz a véges dimenziós altér. Az összehasonlításhoz deniáljuk a következ hatékonysági függvényt: H := C f M f, C DG M DG ahol M f a folytonos módszer tárigénye, M DG a nemfolytonos módszer tárigénye, Cf a folytonos módszerhez, CDG pedig a nemfolytonos módszerhez tartozik. 30

31 Ekkor ha H < 1 akkor a folytonos módszer, ha H > 1 akkor pedig nemfolytonos módszer a hatékonyabb Eredmények háromszögelemekkel Ebben a részben a háromszögelemes módszerek kerülnek összehasonlításra. A konvergencia ábrák a következ módon készültek. Az felosztása es rácstól megy as vagy es rácsig. Az ábrákon az x tengelyen a felosztás logaritmusa, az y tengelyen pedig a hiba. L 2 ) normájának logaritmusa található. Els pédaként tekintsük a 16xyx 1)y 1)) 16 függvényt! 5.1. ábra. Konvergenciaábra 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében p = 1, 2, 3 választással A kapott C értékek táblázatba foglalva: p = 1 eset, maximum rácsméret: 50 50: C M H folytonos 2, nemfolytonos 1, , ábra. H kiszámítása 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében, p = 1 A táblázatból kiolvasható, hogy habár a nemfolytonos módszer C értéke a kisebb, a nagy méretkülönbség miatt H értéke kisebb, mint 1. Ez azt jelenti, hogy erre a 31

32 tesztfüggvényre a folytonos módszer a hatékonyabb. p = 2 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 2, nemfolytonos 2, , ábra. H kiszámítása 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében, p = 2 p = 3 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 4, nemfolytonos 4, , ábra. H kiszámítása 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében, p = 3 Következ példánk: lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) ábra. Konvergenciaábra lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében p = 1, 2, 3 választással 32

33 p = 1 eset, maximum rácsméret: 50 50: C M H folytonos 0, nemfolytonos 0, , ábra. H kiszámítása lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében, p = 1 p = 2 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 0, nemfolytonos 0, , ábra. H kiszámítása lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében, p = 2 p = 3 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 0, nemfolytonos 0, , ábra. H kiszámítása lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében, p = 3 3. példa: sin5πx)sin4πy) 5.9. ábra. Konvergenciaábra sin5πx)sin4πy) függvény esetében p = 1, 2, 3 választással 33

34 p = 1 eset, maximum rácsméret: 50 50: C M H folytonos 20, nemfolytonos 12, , ábra. H kiszámítása sin5πx)sin4πy) függvény esetében, p = 1 p = 2 eset, maximum rácsméret: 50 50: C M H folytonos 21, nemfolytonos 22, , ábra. H kiszámítása sin5πx)sin4πy) függvény esetében, p = 2 p = 3 eset, maximum rácsméret: 50 50: C M H folytonos nemfolytonos 36, , ábra. H kiszámítása sin5πx)sin4πy) függvény esetében, p = 3 34

35 5.2. Eredmények téglalapelemekkel A következ részben a téglalapelemekkel dolgozó módszereket hasonlítom össze. 1. tesztfüggvény: sin5πx)sin4πy) ábra. Konvergenciaábra sin5πx)sin4πy) függvény esetében p = 1, 2, 3 választással p = 1 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 10, nemfolytonos 7, , ábra. H kiszámítása sin5πx)sin4πy) függvény esetében, p = 1 p = 2 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 9, nemfolytonos 9, , ábra. H kiszámítása sin5πx)sin4πy) függvény esetében, p = 2 35

36 p = 3 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 9, nemfolytonos 8, , ábra. H kiszámítása sin5πx)sin4πy) függvény esetében, p = 3 2. példa: lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) ábra. Konvergenciaábra lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében p = 1, 2, 3 választással p = 1 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 0, nemfolytonos 0, , ábra. H kiszámítása lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében, p = 1 36

37 p = 2 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 0, nemfolytonos 0, , ábra. H kiszámítása lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében, p = 2 p = 3 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 0, nemfolytonos 0, , ábra. H kiszámítása lnx + 0.1) 2 + y + 0.1) 2 ) függvény esetében, p = 3 Utolsóként tesztelt függvény: 16xyx 1)y 1)) ábra. Konvergenciaábra 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében p = 1, 2, 3 választással 37

38 p = 1 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 1, nemfolytonos 1, , ábra. H kiszámítása 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében, p = 1 p = 2 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 2, nemfolytonos 2, , ábra. H kiszámítása 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében, p = 2 p = 3 eset, maximum rácsméret: 20 20: C M H folytonos 2, nemfolytonos 2, , ábra. H kiszámítása 16xyx 1)y 1)) 16 függvény esetében, p = 3 n 2 esetén a nemfolytonos módszer tárigénye mindig nagyobb. Így az a kérdés, hogy kisebb-e a nemfolytonos módszer C értéke és ha igen, mennyivel. A tesztelés során az eredmények azt mutatták, hogy általában a folytonos módszer C értéke a nagyobb. Azonban a különbség nem jelent s. Ez az ábrákon is jól meggyelhet, hiszen a legtöbb esetben a módszerekhez tartozó egyenesek nagyon közel vannak egymáshoz. Így a nemfolytonos módszer tárigénye nagyobb annyival, hogy a hatékonysági függvény kisebb 1-nél. Tehát az összehasonlítás során a folytonos módszer bizonyult hatékonyabbnak. 38

39 Irodalomjegyzék [1] D. A. Di Pietro és A. Ern. Mathematical aspects of discontinuous Galerkin methods, volume 69 of Mathématiques & Applications Berlin) [Mathematics & Applications]. Springer, Heidelberg, [2] B. Rivière. Discontinuous Galerkin methods for solving elliptic and parabolic equations, volume 35 of Frontiers in Applied Mathematics. Society for Industrial and Applied Mathematics SIAM), Philadelphia, PA, Theory and implementation. [3] Horváth Róbert, Izsák Ferenc és Karátson János: Parciális dierenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal [4] Horváth Tamás: Nemfolytonos Galjorkin módszer leírása [5] P. Solin, K. Segeth és I. Dolezel: Higher-Order Finite Element Methods, Chapman & Hall/CRC Press, [6] Stoyan Gisbert és Takó Galina: Numerikus módszerek 1., Typotex,