1. Előadás: Az alapfeladat. 1. Az optimalizálás alapfeladata és alapfogalmai

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Előadás: Az alapfeladat. 1. Az optimalizálás alapfeladata és alapfogalmai"

Átírás

1 Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 1. Előadás: Az alapfeladat Előadó: Hajnal Péter tavasz L.V. Kantorovics ( ) Az optimalizálás a matematika legkülönfélébb területeinek találkozási pontja, ezért például a folytonosság fogalmára épülő analitikus meggondolások és diszkrét matematikai módszerek egyaránt részei az optimalizálási apparátusnak. Heterogén jellegét jelzi, hogy a megannyi természettudományos, közgazdasági és informatikai alkalmazás, melyek alapját optimalizálási eredmények képezik. Az optimalizálás terültén elért áttörések a széleskörű alkalmazásnak köszönhetően komoly tudományos elismeréssel járnak. Kantorovics (szovjet matematikus) az optimális erőforrás-allokációval kapcsolatos eredményeiért közgazdasági Nobel-díjat kapott 1975-ben Az optimalizálás alapfeladata és alapfogalmai Ebben a pontban megfogalmazzuk az optimalizálás alapfeladatát és bevezetjük az alapvető fogalmakat, elnevezéseket. Legyen c: dom (c) R n R egy adott n-változós valós függvény (n N), melyet célfüggvénynek nevezünk. A dom (c) értelmezési tartomány egy általános elemére az x = (x 1,...,x n ) T jelölést használjuk 2. Az optimalizálás alapfeladata a c célfüggvény minimalizálása, előre kiszabott feltételek mellett. Erre a továbbiakban az alábbi rövidített írásmódot használjuk: c(x)-et x F, ahol x dom (c) és F R n a feltételek által meghatározott tartomány. Maguk a kikötések eltérő eredetűek lehetnek: formalizálhatnak matematikai feltételeket vagy származhatnak fizikai, gazdasági kényszerekből. A feltételek előírására is többféle lehetőség létezik. Itt kettő megadási módot említünk: Implicit feltételek. Adott x R n elemről egy algoritmus/orákulum/szubrutin eldönti, hogy teljesíti-e a feltételeket: x ALGORITMUS jó/rossz ( F/ F) Explicit feltételek. Véges sok egyenlet és/vagy egyenlőtlenség írja le a feltételt: { f i (x) 0, i [k] := {1, 2,..., k}, (1.1) g j (x) = 0, j [l], 1 prizes/economics/laureates/1975/ 2 FIGYELEM! Az előadás során mindvégig oszlopvektorokkal dolgozunk. 1-1

2 ahol tehát f i (i [k]) és g j (j [l]) szintén n-változós valós függvények. Ekkor F a fenti rendszer megoldáshalmaza. Megjegyzés. A gyakorlati alkalmazásokban megjelenő célfüggvények nagyon sok változótól függhetnek: n értéke az ezres, sőt a milliós nagyságrendet is elérheti. Az optimalizálási feladat értelmezési tartománya a célfüggvény és a feltételek értelmezési tartományának metszete. Ez az (1.1) explicit feltételek esetén a ( k D := dom (c) i=1 ) ( l dom (f i ) j=1 ) dom (g j ) halmaz, amely tehát azon x-eket tartalmazza, amelyekre mind a célfüggvény, mind pedig a feltételek értelmezettek. Lehetséges/megengedett megoldásoknak azon x D vektorokat nevezzük, amelyek eleget tesznek a kritériumoknak is, azaz x F. Ezen x-ek halmazát L jelöli. Tehát amely (1.1) explicit feltételek esetén L := D F, L = {x D : f i (x) 0, g j (x) = 0, i [k], j [l]}. A feladathoz tartozó optimális érték p = inf c(x) R { } { }, x L ahol az infimum, ha a lehetséges megoldások halmaza üres és, ha a c célfüggvény a lehetséges megoldásokon tetszőlegesen kicsi értéket is felvesz. Egy x L vektor optimális hely, ha ott a célfüggvény felveszi az optimális értéket c(x ) = p. Az x l vektor lokális optimum, ha annak egy környezetének minden pontjában c legalább akkora, mint az x l helyen: ε > 0, x : x x l 2 < ε esetén c(x l ) c(x). Azt mondjuk, hogy x 0 egy ε-közelítő megoldás (ε > 0), ha c(x 0 ) p + ε. Egy x 0 vektor ε -approximációs megoldás (ε > 0), ha c(x 0 ) (1 + ε)p. Megjegyzés. Az ε-approximációs megoldás fenti definíciójába beleértjük, hogy az optimális érték pozitív, p > 0. A negatív optimális értékű feladatokban az c(x 0 ) (1 ε)p feltételt kell tennünk. 2 az R n -en értelmezett euklidészi norma, 2 : R n [0, ), y y 2 := y y2 n. 1-2

3 2. Optimalizálási problémák átfogalmazása Egy megértett optimalizálási probléma esetén több lehetőség van annak formalizálására. Másképpen fogalmazva egy formalizált optimalizálási probléma gyakran átfogalmazható úgy, hogy ugyanazt a problémát írja le. Sokféle helyzetben ezek az átírások az eredetivel ekvivalensek. Máskor azonban ugyaznazon probléma kissé eltérő alakjai közt lényeges különbség lehet. Ekvivalens átalakítás alatt olyan formális átlalakítást értünk, hogy bármelyik feladat optimális értéke/helye a másik feladat optimális értéke/helye alapján könnyen megadható. Most (a teljesség igénye nélkül) néhány lehetőségét megemlítünk. 1. Min/max csere: Maximalizáljuk c(x)-et x F c(x)-et x F A minimalizálási probléma egy optimális pontja egyben a maximalizálási problémának is optimális pontja. Ha a mimimalizálási probléma optimális értékét ismerjük, akkor annak ellentettje lesz a maximalizálási probléma optimális értéke. 2. A feltételek ekvivalens átírása: A középiskolában már láttunk formulák/egyenlőtlenségek/egyenlőségek ekvivalens átalakításait. A feltételeinknél ezeket természetesen felhasználhatjuk. x 1 x x 1 0. (x 1 + x 2 ) 2 0 (x 1 + x 2 ) 2 = 0 x 1 + x 2 = 0.. Slack változók, egyenlőtlenségek helyettesítése előjelfeltételekkel: c(x)-et f i (x) 0 g i (x) = 0 c(x)-et f i (x) + s i = 0 g i (x) = 0 s i 0 4. A lineáris egyenlőségek kiküszöbölése: Az Ax = b lineáris egyenlőségrendszer megoldása alap algebra tananyag. Az általános megoldás x = x 0 +Fy alakban írható, ahol x 0 egy tetszőleges megoldás, míg F oszlopai az Ax = 0 egyenletrendszer által leírt altér egy generáló rendszere. Ha F-nek s oszlopa van, akkor y R s. x 0 és F meghatározása hatékonyan megtehető. c(x)-et f i (x) 0 Ax = b c(x 0 + Fy)-et f i (x 0 + Fy) 0 5. A célfüggvény helyettesítése egy monoton függvénybe: Legyen m : R R egy szigorúan monoton függvény range c-n (a célfüggvény által felvett értékek halmazán). Ekkor 1-

4 c(x)-et x F m(c(x))-et x F 1. Példa. x 2 -et x F x 2 2 -et x F Fenti esetben range c = R 0, ahol az m(x) = x 2 függvény monoton. Minimális változtatást eszközöltünk, de az új célfüggvény differenciálható. Látni fogjuk, hogy egy ilyen kis előny nagyon jelentős lehet. Egy összetettebb példa. 2. Példa. Maximalizáljuk x 1 x 2 + x 2 x + x x 1 -et. x 1 + x 2 + x = 100, x 1, x 2, x > 0. x 2 1 +x2 2 +x2 -et. x 1 +x 2 +x = 100, x 1, x 2, x > 0. A két feltételrendszer nyilván ekvivalens. A két célfüggvény: c 1 (x 1, x 2, x ) = x x 1 x 2 + x 2 x + x x 1, illetve c 2 (x 1, x 2, x ) = 2 1 +x2 2 +x2. A kapcsolat nyilvánvaló (a feltételek teljesülése esetén): c c 1 = (x 1 + x 2 + x ) 2 = c 1 maximalizálásá helyett áttérhetünk c 1 = c 2 2 minimalizálására. Majd itt alkalmazhatjuk az m(x) = x szigorúan monoton függvényt (az új célfüggvény által felvett nemnegatív értékek halmazán) az aktuális célfüggvényre. Így a fenti második alakot kapjuk. Az új alak előnye nyilvánvaló. A négyzetes közepet kell minimalizálni adott számtani közép érték esetén. A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség alapján elemi matematikával megválaszolható az optimalizálási kérdés.. Példák optimalizálási feladatokra Az előadássorozatban többször látni fogunk olyan feladatot, amely formalizálása okozza a legtöbb problémát. Gyakran a formális leíráshoz szükségesek a matematikai ötletek, az optimalizálási algoritmus már készen vár (az ügyesen megfogalmazott feladatnál). Az alábbiakban néhány bevezető példát mutatunk az alapfogalmakra, illetve elemi formalizálási trükkökre.. Példa. 1 x -et x

5 A célfüggvény a c(x) = x 1 lineáris törtfüggvény, melynek értelmezési tartománya dom (c) = R \ {0}. Az explicit feltételt egyetlen egyenlőtlenség adja, nevezetesen f 1 (x) = x 0, ezért k = 1, l = 0. Mivel dom (f 1 ) = R, így a feladat értelmezési tartománya D = R \ {0}. Ebből látható, hogy a lehetséges megoldások halmaza az L = R >0 := (0, ) =]0. [ nyílt intervallum. Mivel az x L megengedett megoldásokon felvett függvényértékek infimuma zéró, ezért p = 0. Azonban nem létezik olyan x L, amelyen c felveszi ezt az értéket, tehát optimális hely nincs. Megjegyezzük, hogy bármely ε > 0 esetén az x 0 ε 1 számok ε-közelítő megoldások, viszont ε-approximáló megoldások nem léteznek. 4. Példa. x log x-et Most nincsenek feltételek kiszabva, azaz F =. Ilyenkor azt mondjuk, hogy egy globális optimalizálási problémát tekintünk. A célfüggvény differenciálható értelmezési tartományán. Az optimalizálás a calculus kurzus standard része. A c(x) = x log x egyváltozós célfüggvény értelmezési tartománya dom (c) = R >0. Mivel feltétel nincs, ezért L = D = dom (c) = R >0. Az optimális értéket például elemi függvénydiszkussziót elvégezve állapíthatjuk meg. Eredményül p = 1 e adódik. Az optimális értéket az x = 1 e. optimális helyen éri el c. 5. Példa. Az x 1 +x 2 +x = 100 egyenletű sík mely pontjának minimális az origótól mért távolsága? Vegyük észre, hogy a távolság helyett írhatjuk távolság -szeresét is. A formalizálás (egy korábbi példával megegyezően): 1-5 x 2 1 +x2 2 +x2 -et x 1 +x 2 +x = 100, x 1, x 2, x > 0. 1

6 A számtani és a négyzetes közepek közötti egyenlőtlenséget használjuk fel az optimális érték becslésére: 1 x 2 c(x) = 1 + x x 2 x 1 + x 2 + x = 100. Azaz p 100. Továbbá a korlát elérhető, ha x 1 = x 2 = x = 100 (és csak ekkor). Tehát a feladat egyetlen optimális helye ( 100 x =, 100, 100 ). Továbbá optimális értéke p = c(x ) = Példa. Mekkora a legnagyobb felszínű (téglatest alakú) doboz, amelyet egy 400 cm-es madzaggal át tudunk kötni (a mellékelt ábrának megfelelő módon)? x x2 x 1 1. ábra. A formalizálás nyilvánvaló: Maximalizáljuk 2x 1 x 2 + 2x 2 x + 2x x 1 -et 4x 1 + 4x 2 + 4x = 400, x 1, x 2, x > 0. A korábbiak alapján ez ekvivalens feladat az előzővel. Az ekvivalencia újbóli meggondolása adja, hogy az optimális hely azonos az előző feladat optimális helyével. ( 100 x =, 100, 100 ). Ebből az eredeti feladat optimális értéke p = c(x ) = Példa. Tegyük fel, hogy a lehető legnagyobb téglalap alakú tartományt szeretnék bekeríteni 100 m hosszú kerítéssel úgy, hogy a terület egyik oldalát egy fal képezi. 1-6

7 x2 x 1 2. ábra. Ez a probléma a következőképpen írható le optimalizálási feladatként: Maximalizáljuk x 1 x 2 -t x 1 + 2x 2 = 100, x 1, x 2 0. Nyilvánvaló, hogy a c(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 célfüggvény az egész R 2 síkon értelmezett és f 1 (x 1, x 2 ) = x 1, f 2 (x 1, x 2 ) = x 2, g 1 (x 1, x 2 ) = x 1 + 2x 2 100, ezért D = R 2 és L = R 0 R 0. Alkalmazva a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget és a feltételeket figyelembe véve 50 = x 1 + 2x 2 2 x 1 (2x 2 ) ( 0) adódik, melyből négyzetre emeléssel kapjuk, hogy x 1 x 2 = 2c(x 1, x 2 ), vagyis a célfüggvény felülről korlátos: c(x 1, x 2 ) Mivel x = (50, 25) L egy lehetséges megoldás, ahol c eléri ezt a korlátot, így p = Példa. Tegyük fel, hogy egy lovas egy egyenesen haladó folyó egyik oldalán található A pontból az ugyanazon oldalon lévő B pontba szeretne eljutni, de közben a lovát is meg szeretné itatni. Melyik a legrövidebb ilyen út? B, A B. ábra. A feladattal már általános iskolában találkozhattunk geometria órán. Legyen t azon folyópart egyenese, amelyik oldalon lovasunk van. Legyen M az itatás pontja. Tetszőleges lehetséges megoldás esetén a lovas pályájának AM szakaszát meghagyva, 1-7

8 majd a későbbi szakaszt t-re tükrözve egy olyan pályát kapunk, ami A-ből, B -be vezet (B a B pont tükörképe t-re). A módosított pálya hossza a tetszőlegesen választott lehetséges megoldás hossza/költsége. A módosított pályák között nyilván az AB szakasz bejárása az optimális. Azaz t és az AB szakasz M metszéspontja az optimális itató hely. Ide A-ból egyenes úton érkezve, majd B-be ugyancsak egyenes mentén haladva lesz legrövidebb a pályája a feladatbeli lovasnak. A formalizált optimalizálási feladatot többféleképpen is felírhatjuk. Egy lehetőség, ha derékszögű koordinátákat vezetünk be (például a lovas felőli folyópart az x tengely). Feladatunk azon M(x, 0) pont keresése, amelyre az AM, MB szakaszok hosszának összege minimális. Hiszen nyilvánvaló, hogy ha A és M vagy M és B pontok között nem egyenes szakaszon mozog a lovas, akkor pályája nem optimális. Tehát adott A(a 1, a 2 ) és B(b 1, b 2 ) esetén a feladat az alábbi módon fogalmazható meg: (a1 x) 2 + a (b 1 x) 2 + b 2 2-et. 9. Példa. A 100 pontú -részes egyszerű gráfok közül melyeknek maximális az élszáma? Ezzel a feladattal Kombinatorika kurzuson a Turán-tétel kapcsán találkoztunk. Ha a három rész méretét rendre x 1, x 2 és x jelöli és élünk a természetes észrevétellel, hogy teljes -részes gráfok között keressük az optimálist, akkor a feladat a következő: Maximalizáljuk x 1 x 2 + x 2 x + x x 1 -et x 1 + x 2 + x = 100, x 1, x 2, x > 0, x 1, x 2, x Z. Mivel F egy nemüres véges halmaz, így a lehetséges megoldások között biztosan létezik x optimális hely, p R optimális értékkel. A feltételből az is látható, hogy ha (x 1, x 2, x ) egy lehetséges megoldás, akkor például (x 1 1, x 2 + 1, x ) is lehetséges megoldás ( x 1 > 1). Ha x 1 x 2 + 2, akkor az utóbbi helyen nagyobb a célfüggvény, mint az előbbin. Ez azt is jelenti, hogy az optimális helyen x i x j 1 minden i, j {1, 2, } esetén. Három ilyen lehetséges megoldás van, ahol a célfüggvény közös értéket vesz fel. Így az optimális helyek a (4,, ), (, 4, ), (,, 4) pontok. Az optimális érték p =. Megjegyzés. A fenti feladat NEM ekvivalens a korábbi példáink egyikével sem. Ezt jelzi az optimális helyek és a lehetséges megoldások halmazának eltérése, melynek oka a feltételek lényeges különbözősége: most kizárólag egész koordinátájú helyek jöhetnek szóba. A folytonos feladatban (2. példa, 6. példa) az optimális érték 1, nagyobb a mostaninál. Ez természetes: a folytonos versenyben több résztvevő van, a maximum értéke legalább annyi mint ahol csak egész értékú versenyzők indultak. 1-8

9 10. Példa. Legyen d, n N és l 1 (x),..., l n (x): R d R adott lineáris függvények. Határozzuk meg a c(x) = max 1 i n l i (x) függvény minimumát. Tehát a formalizált feladat: c(x)-et A feladat globális (nincsenek feltételek). A mellékelt ábra a d = 1, n = 5 eset egy általános konfigurációját szemlélteti. Már ez a speciális választás is hű képet ad a célfüggvényről. c lineáris függvények maximuma szakaszonként lineáris függvény. Ez d > 1 esetén azt jelenti, hogy c értelmezési tartománya felbontható olyan összefüggő részekre, melyeken c lineáris. c(x) 4. ábra. Az előzővel ekvivalens optimalizálási feladatban az m számot minimalizáljuk úgy, hogy az ottani célfüggvény definícióját (maximalitását) beépítjük a feltételekbe. m-et l 1 (x) m,. l n (x) m, ahol (x, m) R d R. Egy optimalizálási feladat ezen formája ismerős lehet az operációkutatás kurzusról. 11. Példa (Lineáris programozás, LP). Legyen A R m n adott mátrix, b R m, c R n rögzített vektorok és x R n az ismeretlen vektor. A feladat: c T x-et Ax b, ahol Ax b az alábbi, m lineáris egyenlőtlenségből álló rendszert jelöli (Ax) j b j (j = 1,..., m). Az (LP) feladatokat az Operációkutatás kurzuson részletesen tárgyaltuk. Megjegyezzük, hogy aqz LP feladat nagyon jól vizsgált, sok gyakorlatban és elméletben is jónak tartott algoritmus létezik rá. Ha egy problémát LP feladatként fogalmazunk meg, akkor a nehezén túl vagyunk (akár középiskolában, ha egyenletmegoldás során másodfokú egyenletre redukáltuk munkánkat). Valamelyik általános LP algoritmussal fejezzük be munkánkat (ilyenek nyilvános forráskóddal is könnyen elérhetőek). 1-9

10 12. Példa. Az LP problémát tekintjük, amelyben a lineáris célfüggvény (c T x) c vektora valószínűségi változó. Feltesszük, hogy várható értéke, c = E[c] ismert, továbbá a feltételek már nem függnek a véletlentől. a célfüggvény értékének várható értékét. A várható érték linearitása alapján E[c T x] = (E[c]) T x egy LP feladat marad optimalizálási kérdésünk: (E[c]) T x Ax b. 1. Példa (Politópok Csebisev-középpontja). A P = {x R n : a T i x b, i = 1,..., k} alakú ponthalmazokat poliédereknek nevezzük. Ha a P poliéder korlátos (amikor is kompakt: korlátos és zárt), akkor politópnak nevezzük. Fontos probléma, hogy mérjük P egy pontja milyen mélyen van P belsejében. Illetve fontos kérdés: Melyek P legbelső pontjai? Igazából az is központi probléma, hogy P-ről döntsük el, hogy üres-e. Sokféle megoldás/válasz van. Mi egy, Csebisev nevéhez fűzött, megoldásról beszélünk. Definíció. B(c, r) = {x R n : x c 2 r 2 } a c középpontú r sugarú gömb. A p P pont Csebisev mélysége M(p) = sup{r : B(p, r) P}. c a P politóp egy Csebisev középpontja, ha M(c) = sup M(p). p P Az alapprobléma: Adott P esetén keressünk egy Csebisev középpontot. A feladat első ránézesre nem lineáris. Némi ötlettel azonban LP feladatként fogalmazhatjuk meg. Némi geometriai ismeretre lesz szükségünk. Definíció. Egy hipersík R n -ben: H = {x : a T x = b} alakú ponthalmaz. r pont pontosan akkor esik H-ra, ha a b = 0. Egy p pont előjeles távolsága H-tól a T a p b a. Az előjeles távolság abszolútértéke a távolság, előjele a hipersík azon oldalát írja le, ahová pontunk esik. Kétféle előjeles távolság létezik. A fenti az, amelyik az {x : a T x > b} féltérben pozitív, a komplementer (nyilt) féltérben negatív. A Csebisev-középpont problémája ekvivalens a következővel: Maximalizáljuk r a T i x + a i r b i, i = 1,...,k r

11 Első típusú feltételünk ekvivalens azzal, hogy at i a i x + r b a i, azaz r b a i at i a i x. A jobb oldalon egy előjeles távolság szerepel, amit úgy választottunk, hogy az a i x < b félterekben legyen pozitív. Az átfogalmazott optimalizálási feladat egy LP feladat. A következő problémával és megoldási módszereivel a numerikus analízis tárgykörében találkozhattunk. 14. Példa (A legkisebb négyzetek problémája). A probléma c Ax illetve c Ax 2 ahol x R n, A R k n valós mátrix és c R k. Ez egy feltétel nélküli optimalizálási feladat. Alap lineáris algebrai, geometriai ismeretek alapján egyszerűen kezelhető. 15. Példa. Adott egy méréssorozat (pl. egy kísérleti laboratórium különböző időpontokban vett mérései, vagy egy meteorológiai állomás különböző helyeken mért adatai), ahol t 1, t 2,...t N és p 1, p 2,...,p N jelöli rendre a mérési időket/helyeket illetve a mért paramétereket. Keresünk egy alacsony, d-fokú polinomot, ami jó hipotézis p változásaira (vagyis jól illeszthető a diszkrét idő-mért paraméter grafikonra). Legyen p(x) = x d x d + + x 1 x + x 0 azaz p = (p 1,...,p N ) T mért vektor esetén az x d (t d 1,...,td N )T + x d 1 (t d 1 1,...,t d 1 N )T +... vektor L 2 -ben mért p-től vett távolságát kell minimalizálni. A probléma a legkisebb négyzetek problémájára vezetődik vissza. A legkisebb négyzetek problémájában kvadratikus forma a célfüggvény. szemben LP-vel, ahol lineáris függvény. Az alábbiakban a két problémának közös általánosítását vizsgáljuk. 16. Példa (Kvadratikus programozás, QP). Adottak az A R n n szimmetrikus és C R m n mátrixok, valamint a b R n, d R m vektorok. A feladat: 1-11

12 x T Ax + b T x-et Cx d. A QP alapfeladat feltételrendszere lineáris. A célfüggvény azonban jóval általánosabb. Megjegyezzük, hogy a QP alapfeladata is kezelhető (hatékony algoritmus ismert rá) ha a ce lfu;ggve ny konvex (azaz A poziti v szemidefinit). Ha egy problémát ilyen (konvex QP) alakra hozunk, akkor készen vagyunk. 17. Példa (Sztochasztikus LP). Az LP problémát tekintjük, amelyben a lineáris célfüggvény (c T x) c vektora valószínűségi változó. Feltesszük, hogy várható értéke, c = E[c], kovarianciamátrixa Σ = E[(c c)(c c) T ] ismert. Továbbá a feltételek már nem függnek a véletlentől. Láttuk, ha csak a célfüggvény értékének várható értékét (E[c T x] = (E[c]) T x) minimalizáljuk, akkor egy LP feladathoz jutunk. Ekkor azonban a kockázatot nem vettük figyelembe. Megszokott a következő változat vizsgálata: E[c T x] + γ Var[c T x] Ax b Dx = e ahol γ R >0 egy az alkalmazáshoz választott paraméter. Egyszerű átlakításokkal Var[c T x] = E[(c T x E[c T x]) 2 ] = E[(c T x (E[c]) T x) 2 ] = E[((c T E[c] T )x) 2 ] = x T E[(c E[c])(c T E[c] T )]x = x T Σx. A kérdés konvex QP alakja már látható. 18. Példa. Határozzuk meg az n-dimenziós euklidészi tér két adott politópjának távolságát! Mivel a politópok lineáris egyenlőtlenségrendszerek megoldáshalmazaként állnak elő, ezért mindkét politópnak megfelel egy egyenlőtlenségrendszer: Ezek távolsága P 1 = {x R n : C 1 x 1 d 1 } és P 2 = {y R n : C 2 x 2 d 2 }. d(p 1, P 2 ) = inf{d(x 1, x 2 ) : x 1 P 1, x 2 P 2 }, ahol d(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 2. A távolságnégyzetet tekintve ekvivalens optimalizálási feladatot nyerünk: x 1 x et C 1 x 1 d 1, C 2 x 2 d

13 Blokkmátrixos írásmódot használva megmutatjuk, hogy ez egy konvex QP feladat. Ehhez tekintsük a d 1, d 2, x 1, x 2 R n vektorokból és C 1, C 2 R n n mátrixokból képzett ( ) ( ) ( ) d1 x1 d =, x = R 2n C1 0, C = R 2n 2n 0 C 2 d 2 x 2 vektorokat és mátrixot, ahol tehát 0 az n n-es nullmátrixot jelöli. Ha az n n-es egységmátrixból képezzük még, az ( ) I I A = R 2n 2n I I mátrixot, akkor feladatunk a konvex QP alapfeladatának alakját ölti (M, N = 2n és b = 0 R 2n ). A részletek kidolgozását az Olvasóra bízzuk. A fentiek alapján két politóp távolságának meghatározása hatékonyan elvégezhető. Ismét nyúljunk bele az LP alapfeladatba. Most a feltételrendszert módosítsuk. A feltételek közé tegyük be azt, hogy versenyző vektoraink koordinátái legyenek egészek. 19. Példa (Egész értékű programozás, IP). Az alapfeladat: c T x-et Ax b, x Z d. Lehet, hogy ez a módosítás ártatlanabbnak tűnik, mint a célfüggvény módosítása, mégis a kapott probléma nehéz. Ez az általános forma képes N P-teljes problémák formalizálására. Általános, hatékony megoldása nem várható. 20. Példa. Adott egy G egyszerű gráf. Határozzuk meg ω(g) = max{ K : K V (G) klikk} értékét. Egye tetszőleges U csúcshalmaz leírható {0, 1} V R V -beli χ U karakterisztikus vektorával. U elemszáma éppen 1 T χ U, ahol 1 R V azon vektor, amely minden komponense 1. {0, 1} V elemeit a 0 x v 1, x v Z tetszőleges v csúcsra tett feltételekkel írhatjuk le. Egy 0-1 vektor akkor lesz klikk karakterisztikus vektora, ha tetszőleges össze nemközött u és v csúcsra legfeljebb egy esik bele. Azaz minden uv E(G), u v csúcsok esetén x u + x v 1. A jól ismerten N P-nehéz klikk probléma megfogalmazható mint egy IP probléma: Maximalizáljuk 1 T x-et, 0 x v 1, x v Z minden v csúcsra x u + x v 1 tetszőleges uv E(G), u v csúcsok esetén. A továbbiakban egy speciális IP problémákat mutatunk be, ahol mégis lehetséges a hatékony kezelés. 1-1

14 21. Példa. Adott G gráf élei közötti maximális párosítást keressük. A feladat formalizálása: Maximalizáljuk 1 T x-et (ahol 1 T = (1,..., 1), x R E(G) ) x párosítás karakterisztikus vektora. A feltételt algebraizálva az alábbi ekvivalens optimalizálási feladatot kapjuk: Maximalizáljuk 1 T x-et (ahol x R E(G) ) 0 x e 1, x e Z x e 1 minden v csúcsra. e:vie Azaz egy IP feladatot látunk. Az x e Z feltétel elhagyását LP relaxációnak nevezzük. Ezzel a versenyt megnyitjuk a nem egész koordinátájú versenyzők felé is. Természetesen a maximalizálási feladat optimális értéke megnőhet. A relaxált feladat egy kezelhető probléma/lp feladat: Maximalizáljuk 1 T x-et 0 x e 1, x e 1 minden v csúcsra. e:v I e Tétel. Ha G páros, akkor a ν optimális értékre ν = ν(g). Azaz LP relaxációval nyert feladat ekvivalens az eredetivel. Problémánk kezdeti alakját is átírhatjuk LP alakba. Eredetileg véges sok versenyzőnk volt, a párosítások karakterisztikus vektorai. Ezt a versenyzőhalmazt helyettesítve a konvex burkukkal egy ekvivalens problémát kapunk (célfüggvényünk lineáris!): Maximalizáljuk 1 T x x conv{χ M : M párosítás} A feltétel egy politópot ír le. Ez leírható véges sok féltér metszeteként, azaz algebrailag egy véges lineáris egyenlőtlenségrendszer megoldáshalmaza. A fentiek alapján páros gráfok esetén ez az egyenlőtlenségrendszer szépen felírható. A nem páros gráfok esetét a későbbiekben vizsgáljuk meg jobban. Végül egy N P-nehéz problémát formalizálunk/algebraizálunk. Az eredmény alakja egy QP alapfeladat. Az N P-nehézség/kezelhetetlenség azonban azt sugallja, hogy a konvex QP kis módosításai már kezelhetetlen problémák lehetnek. 22. Példa. Adott egy G gráf. Határozzuk meg a klikk paraméterét (ω(g)-t), azaz a legnagyobb klikk méretét. Láttuk, hogy a kérdés egy IP problémaként is megfogalmazható. Az alábbi tétel egy távolról sem nyilvánvaló, másik formalizálását adja ω(g) meghatározásának. Tétel. Legyen A a G gráf szomszédsági mátrixa és tekintsük az alábbi feladatot: 1-14

15 Maximalizáljuk x T Ax-et x 0, 1 T x = 1. Ekkor p = 1 1 ω(g). Bizonyítás. (1) Legyen K egy optimális (maximális elemszámú) klikk. Ekkor az lehetséges helyen c értéke (2) Tekintsük az x K = (0,..., 0, 1 ω,..., 1, 0,...,0) } {{ ω} K c(x K ) = x T K Ax K = 1 ω 2ω(ω 1) = 1 1 ω. x = ( v1 n1 N,..., v k nk N ) L Q V (G) vektort, ahol tehát k = V (G) és az n 1,...,n k N számok az N N szám egy partícióját adják. Ezek után a G gráfhoz rendeljünk egy G-mal jelölt gráfot a következő módon: A G gráf v i pontjának egy n i pontból álló élmentes V i független ponthalmaz felel meg G-ban (i = 1,...,k). Ha a v i, v j V (G) pontok szomszédosak, akkor a megfelelő V i, V j csúcshalmazok közt egy K ni,n j teljes páros gráfot teszünk (minden lehetséges keresztélt behúzunk). Ha a v i, v j V (G) pontokat nem köti össze él, akkor a megfelelő V i, V j csúcshalmazok között nincs él. A definiáció alapján G pontjainak száma V ( G) = k v i = N i=1 k i=1 n i N = N A konstrukció alapján G élszáma E( G) = {v i,v j } E(G) n i n j = 1 2 N2 v i v j E(G) n i n j N N = N2 2 xt Ax = N2 2 c(x). G legnagyobb klikkje ω(g) méretű. A Turán-tételt alkalmazva élszáma legfeljebb az ω(g) osztályú/n pontú Turán-gráf élszáma: ( E( G) ω(g) E(T N,ω(G) ) 2 )( N ω(g) ) 2 ( = 1 1 ) N 2 ω(g)

16 A fentiek összegzése után kapjuk, hogy c(x) = 2 N 2 E( G) 1 1 ω(g), ha x L Q V (G). Ez egy sűrű halmaz L-ben, a célfüggvény folytonos, ami bizonyítja a hiányzó egyenlőtlenséget. Vagyis p = 1 1. ω(g) A tétel által adott formalizálásban egy kvadratikus alakot kell minimalizálni. A konvex QP alapfeladat feltételei közül csak a kvadratikus alak mátrixának pozitív szemidefinitsége hiányzik. Ezen feltétel elhagyása olyan alakot eredményez, ami képes reménytelen optimalizálási feladatok formalizálására. 1-16

4. Előadás. A legkisebb négyzetek problémája a következő optimalizálási alapfeladat: Minimalizáljuk

4. Előadás. A legkisebb négyzetek problémája a következő optimalizálási alapfeladat: Minimalizáljuk OPTIMALIZÁLÁSI ELJÁRÁSOK 4. Előadás Matematika MSc hallgatók számára Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Magyari Nikolett 2011. március 2. 1. A legkisebb négyzetek probléma A legkisebb négyzetek problémája

Részletesebben

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/ Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c

Részletesebben

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/ Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás

11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2011. április 27. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Múlt héten nem szerepeltek

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/ Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és

Részletesebben

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

A lineáris programozás alapjai

A lineáris programozás alapjai A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba 11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 3. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Pék Máté 2009. szeptember 21. 1. Folyamok 1.1. Definíció. G = (V, E, K, B) irányított gráf, ha e! v : ekv

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Alapvető fogalmak: Függvény fogalma Függvény helyettesítési értéke (függvényérték) Függvény grafikonja A

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

4. Előadás: Erős dualitás

4. Előadás: Erős dualitás Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d

Részletesebben

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23. Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Nemlineáris programozás 2.

Nemlineáris programozás 2. Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges

Részletesebben

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Áttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Áttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Áttekintés Kezdjük újra a klasszikus erőforrás allokációs problémával (katonák,

Részletesebben

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Követelmények: Aláírás feltétele: foglalkozásokon való részvétel + a félév

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Halmazelméleti alapfogalmak

Halmazelméleti alapfogalmak Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI 1/12 Operációkutatás 5. gyakorlat Hiperbolikus programozási feladat megoldása Pécsi Tudományegyetem PTI 2/12 Ha az Hiperbolikus programozási feladat feltételek teljesülése mellett a A x b x 0 z(x) = c

Részletesebben

További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás

További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás Készítette: Dr. Ábrahám István Hiperbolikus programozás Gazdasági problémák optimalizálásakor gyakori, hogy

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben