A színezett frízek osztályozása

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar, Geometria Tanszék Szakdolgozat A színezett frízek osztályozása Készítette: Csiki Nóra Matematika ábrázoló geometria szak Témavezet : Dr. Szenthe János Egyetemi tanár Geometria Tanszék Budapest, 200. április. 28.

2 Tartalom Bevezet A frízek és a frízcsoportok A színezett frízek és szimmetria-csoportjaik... 3 A részcsoportok és normálosztók áttekintése a frízcsoportként el kerül absztrakt csoportok körében... 5 A frízcsoportok részcsoportjainak áttekintése A frízcsoportok normálosztóinak áttekintése A színezett frízek osztályozása A szimmetria és a frízek megjelenése a díszít m vészetekben Algebrai függelék Irodalomjegyzék... 42

3 Bevezet Mindennapi életünkben fontos szerepet tölt be a szimmetria. Környezetünkben a tárgyakat ösztönösen valamilyen szabály szerint helyezzük el. Épületeinken, öltözékünkön, használati és dísztárgyainkon gyakran figyelhet meg a díszít elemek szabályos elrendezése. Padlók kövezeteit, templomok díszes rózsaablakait mind szabályosan elhelyezked motívumok díszítik. A természetben is szebbnél szebb példáit találhatjuk szimmetrikus formáknak. Dolgozatom az euklideszi sík szimmetria-csoportjának bizonyos diszkrét részcsoportjairól, a frízcsoportokról szól. A frízcsoportokat a síkon elhelyezked frízszer minták szimmetriái alkotják. Mik is azok a frízek? Szalagminták. Többek között az épít m vészet egyik kedvelt díszít elemei más szimmetrikus mintákkal egyetemben. Megtalálhatóak díszes épületek homlokzatán, antik görög oszlopf kön; ikonokat, freskókat, festményeket körülölel szegélyeken vagy akár mintás ruhadarabokon is. A szimmetrikus minták leírásához a geometria transzformációk nyújtanak nagy segítséget. Az euklideszi sík egybevágósági transzformációi (eltolások, tengelyes tükrözések, pontkörüli elforgatások, közöttük a centrális tükrözésekkel és a csúsztatva tükrözések) csoportot alkotnak. Ezt a csoportot az euklideszi sík izometria-csoportjának nevezzük. Egy síkbeli ponthalmazt, alakzatot szimmetrikusnak mondunk, ha van olyan nem identikus egybevágósági transzformáció a síkon, mely azt önmagába viszi. Egy szimmetrikus alakzat szimmetria-csoportját az t fixen hagyó izometriák alkotják. Ezen csoportok részcsoportjai az euklideszi izometria-csoportnak. A geometriában és a tudomány egyéb területein, vagy akár a m vészetekben fontos szerepet játszó szimmetrikus alakzatok, minták szimmetria-csoportjait az euklideszi izometria-csoport diszkrét részcsoportjai adják. A vizsgált csoportok elemei között lehetnek eltolások is, melyek között mindig található legkisebb hosszúságú a csoportok diszkrét volta miatt. A csoportokban szerepl eltolások szerint három osztályba sorolhatjuk az euklideszi izometria-csoport részhalmazait. Rozettacsoportok: nem tartalmaznak eltolásokat. Két f típusukat különböztetjük meg a Cn -nel illetve a Dn -nel izomorfakat. Az els ben csak egy közös centrum körüli elforgatások vannak, a másodikba még bizonyos, a centrumon áthaladó tengelyre való tükrözések is tartoznak. Az egyszer szabályos síkidomoktól kezdve egészen a rózsaablakokig számtalan példát találhatunk rozettákra. 3

4 A színezett frízek osztályozása 4. oldal Frízcsoportok: csak azonos irányú eltolásokat tartalmaznak. Az csoportba tartozó eltolások el állnak a legkisebb eltolás egészszereseiként. 7 f bb típust különböztethetünk meg. Bármely fríznek definiálható egy az eltolások irányával párhuzamos tengelye. A szimmetria-csoportok tartalmazhatják még az adott tengelyre való tükrözést, a tengelyre mer leges egyenesekre ill. tengely pontjaira történ tükrözéseket és a tengellyel párhuzamos irányú csúsztatva tükrözéseket. Tapétacsoportok: tartalmaznak két (az adott irányokban legkisebb) nem párhuzamos eltolást és ezek egész együtthatós lineáris kombinációit. Itt már 7 lényegében különböz típust különböztethetünk meg. A tapéták az egész síkot betölt mintázatokat adnak. A leghíresebb példákkal a mór építészet remeke, a spanyolországi Alhambra szolgál. A szabályos minták klasszikus elméletének f célja, hogy felsorolja az összes, különböz tereken értelmezett szimmetria-csoportot. Ezen általános probléma egy sor további kérdést vonhat maga után, például, hogy különböz kikötések mellett milyen szabályos mintákat alkothatunk meg. A klasszikus elmélet a szimmetriák feltérképezése mellett foglalkozik a minták szerkezetével is. Az elmélet a tudomány egyik leg sibb ágai közé tartozik, melynek alapjait görög és egyiptomi m vészek rakták le. A XVII. században Kepler gazdagította lényeges eredményekkel az elméletet, de aranykora a XIX. században kezd dött. Az antik szabályos minták reneszánsza egyrészt a kristályok bels szerkezetének vizsgálatának köszönhet, másrészt a szabályos minták elméletének a matematika más ágaival különösen az algebrával, csoportelmélettel, számelmélettel, valós függvénytannal való szoros kapcsolatának felismerésének. A szabályos minták megközelíthet ek még különböz széls érték-problémákon keresztül is. Sok fizikai rendszer egyensúlyi állapotát elemeinek szimmetrikus elhelyezkedései esetén éri el. Pierre Curie ennél nagyobb jelent séget tulajdonít a szimmetriáknak. Szerinte: Szimmetria hiánya az, ami a jelenségeket okozza. ezen szavakkal is kifejezvén az alapvet fizikai rendszerekben gyakran megfigyelhet, szimmetria felé mutató tendenciát. A szimmetrikus minták elmélete központi szerepet játszik a genetikai kutatások terén is. Fejes-Tóth László könyve többek közt a szimmetrikus minták különböz megközelítése közötti szoros kapcsolaton alapszik. [2] Dolgozatom els részében a színezetlen frízek áttekintése szerepel. Ehhez George E. Martin Transformation Geometry cím könyvét használtam. A továbbiakban többek között Coxeter 987-ben megjelent cikkét 3 dolgoztam fel, melyben a színezett frízek osztályozását vezeti be. Az osztályozás célja, hogy a hét fríztípusnak megfelel színezett minták szimmetria-csoportjait meghatározzuk és az összes lényegében különböz színezett fríztípust összegy jtsük. Coxeter elmélete a frízcsoportok részcsoportjaihoz, normálosztóihoz illetve azok faktorcsoportjaihoz kapcsolódik. Nem használja ki a frízcsoportok olyan tulajdonságait, melyek megkülönböztetik ket a többi euklideszi izometria-csoporttól. Így az osztályozás

5 A színezett frízek osztályozása 5. oldal alkalmazása színezett rozetták illetve tapéták esetén szinte csak számolási feladatokat igényel. Cikkében nem használja fel az eltolásoknak sokszor tulajdonított kitüntetett szerepét, így elmélete átvihet akár nem euklideszi geometriákra is. Oly módon kezeli az euklideszi sík két dimenziós voltát, hogy eredménye magasabb dimenziókban is értelmezhet lehet.

6 . A frízek és a frízcsoportok Definíció: Egy F fríz az euklideszi sík olyan ponthalmaza, melyhez létezik egy a síkbeli egyenes, melynek S a szimmetria-csoportja tartalmazza a fríz S F szimmetria-csoportját és S F tartalmaz egy legkisebb eltolást (ismert, hogy ekkor minden eltolás a csoportban ennek hatványa lesz). A fríz szimmetria-csoportját nevezzük frízcsoportnak, az említett egyenest pedig a fríz tengelyének. (Azon esetekben, amikor a frízcsoport csak eltolásokat és a tengelyre mer leges egyenesre történ tükrözéseket tartalmaz, akkor a tengely csupán párhuzamosság erejéig egyértelm.) A frízcsoportban lév eltolások egy végtelen ciklikus csoportot alkotnak, melyet T -val jelölünk. Állítás: Egy frízcsoport az eltolásokon kívül tartalmazhat még a fríz tengelyére történ tükrözést, a tengely valamely pontjára való centrális tükrözést, a tengelyre mer leges egyenesre tükrözést és a tengellyel párhuzamos csúsztatva tükrözést. Ezeket rendre a -val, P -vel, m -mel és val jelöljük. A csoportokon belüli szorzást a transzformációk egymásutánjaként, kompozíciójaként értelmezzük. Például a P esetén el ször P -t, majd -t végezzük el. Definíció: Ha egy frízcsoport az eltolásokon kívül más transzformációt nem tartalmaz, azaz S F, akkor a fríz típusa F. Állítás: Legyen F 2 egy fríz, szimmetria-csoportja S F. Ha C S F, C az a tengely egy tetsz leges pontja, C pedig a C pont és M a CC szakasz felez pontja, akkor a C M nyílt szakaszon nincs olyan X pont, melyre X S F teljesülne. Állítás: Legyen F 2 egy fríz, S F a szimmetria-csoportja. Amennyiben S F tartalmaz a tengely egy pontjára mint centrumra történ tükrözést, C -t, továbbá Ci i C akkor biztosan tartalmazza C i -t is. Mi legyen a CiCi szakasz felez pontja, ekkor M is i beletartozik a fríz szimmetria-csoportjába és M i C. S F további pontra történ i tükrözést nem tartalmazhat. Következmény: Ha S F C, akkor S F C m. Definíció: Ha egy S F frízcsoportra teljesül, hogy S F C, akkor a fríz típusa F2. Állítás: Legyen F 2 egy fríz, melynek szimmetria-csoportja tartalmazza a fríz a tengelyére történ tükrözést és S F, a. Ekkor S F nem tartalmaz pontra történ 6

7 A színezett frízek osztályozása 7. oldal tükrözést, de bármely X a ponthoz tartalmazza azt a csúsztatva tükrözést, mely az X pontot az Xi i X pontba viszi, ahol i. Definíció: Egy F fríz F típusú, ha S F, a teljesül. Állítás: Legyen F 2 egy olyan fríz, melynek szimmetria-csoportja tartalmazza a fríz tengelyére történ tükrözést és a tengely egy C pontjára való tükrözést is. Ekkor, ha teljesül, hogy S F, C, a, akkor igazak a következ állítások: S F minden eleme egyértelm en el áll k a i C j alakban., ahol i j 0 és k. Azon csúsztatva tükrözés, mely a C pontot a Ci i C pontba viszi, eleme a frízcsoportnak, alakja pedig a. Az a tengelyre a Ci i C pontban emelt mer leges egyenest jelölje ci, az Mi pontban emelt mer legest pedig mi, ahol Mi a CiCi szakasz felez pontja. Ekkor a c i 2i a C és a m i 2i+ a C tükrözések bármely i -re elemei S F -nek. Ha pedig c az a tengelyre C-ben emelt mer leges egyenes akkor S F c a Definíció: Egy F fríz típusa F2, ha teljesül, hogy S F a C. Állítás: Legyen az F fríz olyan, hogy egy b a egyenesre teljesül: S F, b, ekkor S F minden eleme el áll k b j alakban, ahol k, j 0, és maga a fríz nem centrálszimmetrikus és nem szimmetrikus az a tengelyre sem. Definíció: Egy F frízre azt mondjuk, hogy F 2 típusú, ha teljesül, hogy S F b. Állítás: Legyen az F 2 fríz olyan, melynek S F szimmetria-csoportja tartalmaz egy tengelypontra vonatkozó centrális tükrözést, C -t, valamint egy a tengelyre mer leges egyenesre történ tükrözést, b -t, ahol Ci b és Mi b. Ekkor b csak valamely CMj szakasz felez mer legese lehet; feltehet, hogy CM-é. Bevezetve a b C jelölést, egy csúsztatva tükrözés lesz, melynek négyzete. Definíció : Egy F frízr l akkor mondjuk, hogy F2 2 típusú, ha teljesül, hogy S F b C C. Állítás : Ha az F 2 fríz olyan, hogy S F tartalmaz csúsztatva tükrözést, de nem tartalmaz sem centrális, sem tengelyes tükrözést, akkor olyan csúsztatva tükrözés, melyre S F. Definíció : Ha egy F fríz olyan, hogy S F szimmetria-csoportja megegyezik -val, akkor típusa F 3.

8 A színezett frízek osztályozása 8. oldal Tétel : Egy F 2 fríz típusa mindig a következ 7 típus egyike.. F, ahol S F T C A frízcsoport i alakú eltolásokból áll i. 2. F, ahol S F, a C D A generátorokra teljesül, hogy a a. Elemei eltolások, csúsztatva tükrözések és az a tengelyre történ tükrözés, melyek rendre i, i a és a alakúak i. 3. F 2, ahol S F, b D, b a és b b. Ekkor a csoport elemei a i eltolások vagy i b alakra hozható tengelyes tükrözések i. 4. F 3, ahol S F C A frízcsoport elemei 2i alakú eltolások és 2i alakú csúsztatva tükrözések i. 5. F2, ahol S F, C D, C a és c c. A csoport elemei i eltolások és i C centrális tükrözések. 6. F2, ahol S F, C, a D D, C a és a a, C C, a C C a. A csoport minden lehetséges transzformációt tartalmaz, melyeket egy frízcsoport tartalmazhat. i eltolások, i a csúsztatva tükrözések, i 0 esetén természetesen a fríz tengelyére történ tükrözés, i C a tengely egy pontjára történ tükrözések és i a C az a tengelyre mer leges egyenesre való tükrözések. 7. F2 2, ahol S F, C D, C a, és C C.

9 A színezett frízek osztályozása 9. oldal A csoport elemei i vagy i C alakúak, melyeket érdemes még továbbcsoportosítani. 2 eltolás, így négy különböz transzformációt jelölnek az el bbiek. k mindig eltolás, k csúsztatva tükrözés, k C centrális tükrözés, s végül k t tengelyes tükrözés, ahol t C, t a és i k. A különböz csoportok Fm n típusú jelölései Fejes-Tóth Lászlótól származnak. A különböz indexek a csoportban lév transzformációkat jelzik. Alsó indexben szerepl -es jelenti, hogy a fríz szimmetria-csoportja nem tartalmaz pontra való tükrözést, a 2-es, hogy igen. A fels indexeknél -es jelenti, hogy a fríz szimmetria-csoportja tartalmazza a fríz tengelyére történ tükrözést, s a 2-es pedig, hogy nem. A fels indexben szerepl 3-as pedig jelöli, hogy fríz szimmetria-csoportja nem tartalmazza a fríz tengelyére történ tükrözést, de tartalmaz olyan csúsztatva tükrözést, melynek tengelye a fríz tengelye. A következ ábra segítségével könnyedén eligazodhatunk a fent említett frízcsoportok között. Az ábra csúcspontjaiban a négy lehetséges geometriai transzformáció helyezkedik el. A különböz frízcsoportok aszerint vannak az ábrában elhelyezve, hogy mely geometriai transzformációkat tartalmazzák, s melyeket nem. ( C a, b a, pedig az a tengellyel párhuzamos csúsztatva tükrözés) C S F? a S F? a S F? b S F? F b S F? F 2 S F? F 2 F 2 F 2 2 F F 3 A második ábra pedig a fellelhet részcsoport kapcsolatokat mutatja meg a különböz frízek között, melynek nagy jelent sége lesz majd a színezett frízek tárgyalásánál. F 2 F 2 2 F F 2 F 3 F 2 F A továbbiakban használni fogjuk még Marjorie Senechal két karakteres szimbólumait is a 7 frízcsoport megkülönböztetésére. (Ezen jelöléseket f leg a krisztallográfusok használják.) Senechal ezekkel a jelölésekkel N. V. Belov 4 jegy jeleit tette egyszer bbé.

10 A színezett frízek osztályozása 0. oldal Szimbólumaiban 1: vízszintes irányú eltolást, 2: középpontos tükrözést, g: vízszintes irányú csúsztatva tükrözést, m: pedig függ leges tengelyre vagy vízszintes tengelyre vett tükrözést jelöl (attól függ en, hogy az els vagy második helyen szerepel). Vízszintesnek a fríz tengelyének irányát tekintjük. Jelölései természetesen ugyanazon csoportokat adják, mint Fejes-Tóth Lászlóé. A 7 frízcsoportot absztrakt csoportként tekintve csupán négy különböz csoportnak felelnek meg izometria erejéig: (Mostantól a frízcsoportokat a nekik megfelel fríz típusának jelével jelöljük.) Állítás: F 11 C F 3 1g C F 2 m1 D F2 12 D F2 2 mg D F 1m C D F2 mm D D ( D itt a fríz tengelyére történ tükrözés által generált kételem csoportot jelöli.) Bizonyítás: F 11 C és F 3 1g C F 11 C, S F T, az egyetlen olyan frízcsoport, mely csupán az eltolásokat tartalmazza, izomorf C -nel, hiszen egy rend elem generálja. F 3 1g C, S F. Izomorf C -nel, mivel egy végtelen rend elem által generált csoport. Elemei eltolások és csúsztatva tükrözések. A D diéder-csoportnak a T S S 2 ST T S P Q P 2 Q 2 ( S P T QP Q TS ) prezentációkkal való megadását tekintve egyszer en belátható, hogy az említett három frízcsoport izomorf vele. F 2 m1 D, eltolásokból és a fríz tengelyére mer leges egyenesekre történ tengelyes tükrözésekb l áll. S F b b b b 2, úgy, hogy a b tükrözés b tengelye mer leges a fríz tengelyére. Tehát betöltheti T szerepét, b pedig S-ét. a fríz tengelyével párhuzamos eltolás, hosszát jelölje t. Az így felírt szimmetria-csoport megegyezik azzal, melyet két, az a tengelyre mer leges tengelyre tükrözés generál; ez b b 2 b 2 b 22, ugyanis az eltolás felbontható két tengelyes tükrözésre úgy, hogy az azok által generált csoport megegyezik a frízcsoporttal. Két olyan tengelyes tükrözésre van szükség, melyek tengelyei mer legesek az eltolás irányára, távolságuk pedig az eltolás nagyságának a fele. Legyen az egyik tengely a b egyenes, azaz b b és b2 legyen párhuzamos b -gyel úgy, hogy d(b,b2) t és a b2 egyenes a b -t l a eltolás irányában helyezkedik el.

11 A színezett frízek osztályozása. oldal A és b ugyanazon csoportot generálja, mint b és b 2, mivel b 2 b és b b. Így P és Q szerepét például b és b 2 töltheti be. F2 12 D eltolásokból és középpontos tükrözésekb l áll, S F C C C C 2, megegyezik a C, C 2 C 2 C 22 szimmetria-csoporttal. Itt C, C és C 2 a fríz tengelyének egy-egy pontjára történ tükrözés. T szerepét továbbra is a eltolás tölti be; S, P és Q szerepét pedig az adott középpontos tükrözések. Az el z ekhez hasonlóan, C és C 2 ugyanazon csoportot generálják, mint és C, mivel a C és C2 pontok választhatóak úgy az a tengelyr l, hogy a rájuk történ tükrözések szorzata a eltolást adja és C C. Így C 2 C és C C. F2 2 mg D, tartalmaz eltolásokat, az a tengelyre mer leges egyenesekre történ tükrözéseket, csúsztatva tükrözéseket és centrális tükrözéseket. S F, C C 2 C C. Felírható C m C 2 m 2 alakban is, ahol egy az a tengellyel párhuzamos csúsztatva tükrözés, melyben az eltolás nagysága t, C pedig, a szokásos jelöléshez h en, egy tengelyen lév pontra való tükrözés. Ebben az esetben T-nek a csúsztatva tükrözést feleltethetjük meg, S-nek és P-nek a megfelel középpontos tükrözéseket, Q-nak pedig a m tengelyes tükrözést. A csúsztatva tükrözés el állítható egy a tengelyén lév pontra való tükrözés, C, és egy a tengelyére mer leges egyenesre való tükrözés, m, egymásutánjaként. Választható els ként a centrális tükrözés középpontja és ez már egyértelm en meghatározza a szükséges tengelyes tükrözést is. Legyen C az eredetileg megadott C pont, m pedig egy az a-ra M pontban mer leges egyenes, ahol d C M t és M a C-t l a csúsztatva tükrözést meghatározó eltolás irányába helyezkedik el. Ekkor és C ugyanazon csoportot generálja, mint C és m, hiszen m C és C m. F 1m C D 1m direktszorzata 11 (vagy 1g)-nek és a -nak. Az említett direktszorzatok a következ módon néznek ki: a a a a a 2 vagy a a a a a 2 a a a a, melyek megfelelnek az S F, a szimmetria-csoportú F fríztípus definíciójának. A frízcsoport ekkor eltolásokból, csúsztatva tükrözésekb l és a tengelyre történ tükrözésb l áll. S F a a 2 a a. D S S 2, C T és ezen jelöléseket használva a két csoport direktszorzata: C D T S S 2 ST TS. Legyen a D -gyel izomorf csoport a vízszintes tükrözés által generált a és a ciklikus végtele csoport pedig. Ezek direktszorzata az el bbiek alapján pontosan 1m-et adja. F2 mm D D mm direktszorzata m1 (vagy 12 vagy mg)-nek és a -nak. Az eddigiek alapján, minthogy m1 F 2, 12 F2 és mg F2 2, a direktszorzatok a következ eredményeket adják:

12 A színezett frízek osztályozása 2. oldal b a b a a a b a a b a 2 b b, C a C a a a C a a C a 2 C C C a b a b a a C a, C a C a a a C a a C a 2 C C a C a C a, melyek megfelelnek az S F C a szimmetria-csoportú F2 fríztípusnak. Ezen frízcsoport eltolásokból, centrális tükrözésekb l, az a tengelyre illetve arra mer leges egyenesekre történ tükrözésb l és csúsztatva tükrözésekb l áll. A definícióban szerepl direktszorzatok m1, 12 illetve mg tényez i egyaránt izomorfak D -nel, a pedig izomorf D -gyel.

13 2. A színezett frízek és szimmetria-csoportjaik A színezett frízek elméletének megalapozását B. L. van der Waerden és J. J. Burckhardt adták meg egy közös dolgozatukban 4. A következ kben el ször az említett dolgozat alapján néhány fogalmat és tételt ismertetünk. Definíció: Legyen F 2 egy fríz, S F a szimmetria-csoportja. Legyen F kiszínezve az s s2 sn színekkel, vagyis minden egyes x F ponthoz legyen egy s x si i N szín rendelve. Az így keletkez x s x párok halmazát az F fríz egy N-színezésének nevezzük. Legyen ez a színezés olyan, hogy az S F frízcsoport minden elemére teljesül a következ : ha x y F esetén s x s y, akkor s x s y, azaz azonos szín tartományokat azonos szín ekbe vigyen. Az Fi x F s x si, i N halmazt a fríz si szín részének, az S Fi S F Fi Fi S F részcsoportot pedig az si szín stabilitási részcsoportjának nevezzük. A következ kben megköveteljük még azt is, hogy S F tranzitív legyen a színek halmazán, azaz bármely i j N esetén van olyan S F Fi Fj. Ez annyit jelent, hogy minden szín szerepe legyen egyenrangú. (A szomszédos mintaelemek határolópontjait nem mindig tudjuk a definíciónak megfelel en kiszínezni az egészen precíz definícióhoz meg kéne engedni, hogy ilyen pontokat színezetlenül hagyhassunk. Ezen részletekkel a kés bbiekben sem akarunk foglalkozni, a példákon majd láthatóvá válik, mit értünk színezett fríz alatt.) Egy F fríz N-színezése esetén, Coxeter elmélete szerint, fontos szerepet töltenek be az S F azon részcsoportjai, melyek valamely szín stabilitási részcsoportjai, illetve az, mely minden színt fixen hagy. Definíció: Egy F színezett fríz szimmetria-csoportján az S F azon részcsoportját értjük, mely minden színt megtart. Ez S F normálosztója lesz. Általában egy stabilitási részcsoportot H-val fogjuk jelölni, a normálosztót pedig G -gyel. Megjegyzés: Ha S F, akkor si színhez sj szín, hogy Fi Fj. Ekkor persze Fj Fi. Állítás: Ha S F olyan, hogy Fi Fj, akkor S Fj S Fi. Bizonyítás: Ha S Fi, akkor Fj Fi Fi Fj, tehát S Fj S Fi. helyére az inverzét írva ugyanígy kapjuk, hogy S Fi S Fj, amib l S Fi S Fj S Fj. Azaz mindkét oldal tartalmazza a másikat, így egyenl ség áll fenn. 3

14 A színezett frízek osztályozása 4. oldal Következmény: Bármely S Fi és S Fj konjugált, hiszen található olyan S F, melyre Fi Fj. Állítás: Ha 2 N S F olyan elemek, hogy i F Fi i, N, akkor S F S F 2 S F N S F diszjunkt unió és i S F azokat az elemeket tartalmazza, melyek az s szín részt az si szín részbe képezik. Bizonyítás: Legyen S F tetsz leges és S F olyan, hogy F Fi. Ekkor i F i F Fi, továbbá i F i Fi F miatt i S F, azaz i i i S F. Ezek szerint i S F egy tetsz leges eleme az s -szín részt az si szín részbe képezi, továbbá minden ilyen tulajdonságú elem benne van i S F -ben, ahogy az állítás második fele mondja. Az els rész ebb l már nyilvánvaló. Következmény: Egy F 2 fríz s s2 sn színekkel való színezése esetén a fríz si -szín részéhez tartozó S Fi S F stabilitási részcsoportjának indexe N. Hiszen az imént pontosan az S F -et állítottuk el mint az S Fi részcsoport N darab baloldali mellékosztályának diszjunkt uniója. Ezek alapján ha egy színezett fríz esetén adott a fríz G szimmetria-csoportja és egy szín H stabilitási részcsoportja, akkor a G H N egyenlet megadja a színek számát és a H szerinti mellékosztályok pedig az ugyanolyan szín tartományokat a frízen, mivel megadható egy kölcsönösen egyértelm leképezés a mellékosztályok és a színezett részek között a következ módon. Jelöljük ki a fríz egy X egyszín részét, melynek képei diszjunktak (ez megtehet ). Feleltessük meg ezt a részt a szimmetria-csoport egységelemének, egy tetsz leges elemnek pedig a X részt. A következ példán egy F2 típusú fríz szerepel, melynél G, C a, H ekkor G H 4. Az egyszín részeket a következ k alapján kaphatjuk meg: 1 X 1 X X 2 C a X C a X C a X X 2 C a X 1 a X a X a X 2 a X C X C X C X 2 C X Végül, ha adott a G frízcsoportnak egy N index H részcsoportja, akkor a fríznek található olyan N-színezése, mely megfelel a feltételeinknek és az egyik szín stabilitási részcsoportja H lesz. Kijelölünk a frízben egy olyan X tartományt, melynek képei diszjunktak és (lényegében) kiadják a teljes frízt. (Az F G X felírást a fríz egy cellafelbontásának nevezzük.) X et egyszín re festjük majd az el z bekezdésben leírtaknak megfelel en színezünk. Állítás : Egy F 2 színezett fríz esetén a G i N S Fi részcsoport normálosztó.

15 A színezett frízek osztályozása 5. oldal Bizonyítás: Legyen S F tetsz leges és lássuk be, hogy G G. Tudjuk, hogy minden si színhez van olyan si szín, melyre S Fi S Fi. Ezzel a jelöléssel G i N S Fi i N S Fi, ami tartalmazza i N S Fi G -et. Az eddigiek alapján szükségünk van a 7 színezetlen frízcsoport véges index részcsoportjaira és normálosztóira. Ehhez nagy segítséget nyújt, hogy ismerjük a csoportok absztrakt felépítését, így elegend el ször azok részcsoportjait feltérképeznünk, majd az eredmények segítségével könnyebben meghatározhatóak minden egyes frízcsoportra a keresett részcsoportok. A részcsoportok és normálosztók áttekintése a frízcsoportként el kerül absztrakt csoportok körében (A felhasznált algebrai tételek az algebrai függelékben megtalálhatóak.) Amennyiben külön nem jelöljük, k. C C T, elemei T i alakúak, i. Részcsoportjai T i T i C alakú ciklikus csoportok i, melyek mindig normálosztók, mivel C kommutatív. Az ilyen részcsoportok indexe i, kivéve i 0 esetén, amikor. C T C T i Ci, ha i. D D T S S 2 ST T S S T TS T T S T 2 T 2 S T n T n S T n T n S vagy pedig P Q P 2 Q 2,P Q PQ QP PQP QPQ QP n PQ n P QP n Q PQ n. T hatványait szoktuk eltolásoknak vagy páros elemeknek nevezni (utóbbi a P Q P 2 Q 2 prezentációból ered, ahol a P S, T QP és Q TS helyettesítéseket használva pontosan T hatványai állnak páros sok bet b l), rend ek. A T k S alakúakat tükrözéseknek vagy páratlan elemeknek nevezhetjük. Nem triviális részcsoportjai a következ k lehetnek: Egy elem által generáltak, melyek C2 -vel izomorfak: T k S, ahol k ; indexük. Egy elem által generáltak, melyek C -nel izomorfak: T k ; indexük k. Két elem által generáltak, melyek D -nel izomorfak: T k T l S T l S T l k S, ahol k l és 0 l k. Minden nem-ciklikus részcsoportjai felírható ilyen alakban. Indexük k. Normálosztói: A C -nel izomorf, T k által generált csoport normálosztó, hiszen ha H T k, akkor S H S S T k S S T k S H ; T-vel történ konjugálás érdektelen, mert a

16 A színezett frízek osztályozása 6. oldal generátor T-hatvány. D T S C T k T S S 2 S T T S T k Dk, ahol T képe a faktorcsoportban T, S-é pedig S. D -nel izomorf részcsoportok esetén H T k T l S, ahol k l és 0 l k. Ezen részcsoportok esetén el fordulhat, hogy normálosztót kapunk, de az is, hogy nem. D -ben a páros elemeket (eltolásokat) páratlannal (tükrözéssel) konjugálva az inverzüket kapjuk, hiszen T k S T m T k S T k T m T k T m. Ha H normálosztó, akkor definíció szerint h H és g G esetén ghg H. Továbbá h H miatt H ghg h g hg h. Ha g páros és h páratlan elemek, akkor a zárójelben is g áll és így g 2 H. Például g T, h T l S ilyen, ezért T 2 H fenn kell álljon. S t, könnyen belátható, hogy T 2 H elégséges feltétele annak, hogy H normálosztó legyen. Ugyanis H-ban a legkisebb páros szó (melynek minden más H-beli páros szó hatványa) T k, így T 2 H azt jelenti, hogy n T 2 T kn, ezért k vagy k 2. Az els esetben H T T 0 S az egész csoport. A másodikban H T 2 S vagy H T 2 TS ; mindkét esetben 2 az index, ezért H valóban normálosztó és faktorcsoportként C2 -t kapjuk. A D P Q P 2 Q 2 felírásnál P QPQ és PQP Q felel meg az utóbbi két részcsoportnak. C D1 C D T S S 2 ST TS T n T n S n Részcsoportjai (mind normálosztó, mivel a csoport kommutatív): S C2 az egyetlen nem triviális index részcsoport. T k T n k n C, indexe 2k, faktorcsoportja C D T S C T k T S T k S 2 S T T S Ck D T S és ha k páratlan, akkor mindez egyszer bben C2k T S. -mal az elemek faktorcsoportbeli képeit jelöljük, azaz T T T k és S S T k. T k S T 2n k T 2n k S n C, indexe 2k, faktorcsoportja C D T S C T k S T S T k S S 2 S T T S C2k T. T k S T n k T n k S n C D, indexe k, faktorcsoportja C D T S C D T k S T S T k S Ck T. D D1 Kényelmesebb most a D csoportot mint egy eltolás és egy tükrözés által generált csoportot tekinteni, azaz D T S S 2 ST T S.

17 A színezett frízek osztályozása 7. oldal D T S D U T S U S 2 U 2 ST T S UT TU US SU T n T n S T n U T n SU n. Nem triviális részcsoportjai: Másodrend ciklikus részcsoportok: U T k S, indexe. U T k S C2 C2 D2, indexe. Végtelen ciklikus részcsoportok: T k T k U T 2n k T 2n k U n, indexük 4k. T k U T n k T n k U n C D, indexe 2k. S T l S, így T k S T n k T n k S n D, ahol feltehet, hogy 0 l k, indexe 2k. S T m SU, így T k S T n k T n k S n D, ahol 0 m k, indexe 2k. T k U S T 2n k T 2n k U T 2n k S T 2n k S U D, ahol 0 l 2k, indexe 2k. T k S U T n k T n k S T n k U T n k S U D D, indexe k. Normálosztóinak kiszámításánál fontos szerepet játszik, hogy S és S ugyanúgy viselkedik, mint S : D T S D T S D T S. Továbbá mivel U mindennel felcserélhet, a vele való konjugálást nem kell vizsgálni. Így normálosztói a következ ek: T k normálosztó, mivel S T k S S T k S T k T k. Faktorcsoportja pedig T S U T k S 2 U 2 S T T S U T T U U S S U Dk D. Páratlan k -ra ez felírható D2k T U S alakban. T k U, szintén normálosztó, hiszen itt is elegend az S -sel való konjugálást ellen rizni, ami pedig S T k U S S T k S U T k U U T k T k U. Faktorcsoportja T S U T k U S 2 U 2 S T T S U T T U U S S U, ahol látszik, hogy U T k, ezért a csoport felírása tovább egyszer síthet és a következ formára hozható: T S T 2k S 2 T S S T D2k. T k U normálosztó, mivel elegend az S -sel való konjugálást ellen rizni, ami S T k U S T k U T k U. Faktorcsoportja az el z ekhez hasonlóan számolva T S T k S 2 T S S T Dk. Azt állítjuk, hogy a T k S részcsoport csak k 2 esetén normálosztó. T -vel vett konjugáltja T T k S T T k T T l S T T k T l 2 S T k T 2 S, ami csak akkor lehet egyenl a H T k S csoporttal, ha T 2 H, azaz ha k 2. Ha k, akkor a részcsoport indexe 2, így az biztosan normálosztó és faktorcsoportja U U 2 C2. Ha k 2, akkor ellen rizhet, hogy S sel konjugálva is önmagába megy. A faktorcsoport felírható T S U T 2 S U 2 S U U S S T T S U T T U alakban, ami pedig leegyszer sítve T U T 2 U 2 U T T U D2.

18 A színezett frízek osztályozása 8. oldal T k S részcsoport szintén k 2 esetekben lesz normálosztó, mely az el z ekhez hasonlóan számolható. Ha k, akkor a részcsoport indexe szintén 2, így normálosztó, faktorcsoportja pedig U U 2 C2. k 2 esetén a T U T 2 U 2 U T T U D2 faktorcsoportot kapjuk. T k U S csupán k -re lesz normálosztó. Az eddigiekhez hasonló módon T -vel való konjugáltjából látszik, hogy T 2 H nak teljesülnie kell, ami csak k re lehetséges. Ekkor az index 2, vagyis H normálosztó, faktorcsoportja pedig izomorf a T által generált C2 -vel avagy az U által generált D -gyel. T k S U részcsoport normálosztó, ha k 2. A T -vel való konjugálás eredménye T T k S U T T k T 2 S U, ami k 2 -re fog megegyezni a részcsoporttal. Ha k, akkor a részcsoport egyenl az eredeti csoporttal, ha pedig k 2, akkor indexe 2, tehát normálosztó és faktorcsoportja C2 -vel izomorf. A frízcsoportok vizsgálatánál folyamatosan igyekszünk megkülönböztetni az egyébként izomorf D és C2 absztrakt csoportokat aszerint, hogy generátoruk ( sképe) irányításváltó vagy sem. A következ táblázatban a véges index részcsoportokról és normálosztókról kapott eredményeink összefoglalása található. Azon esetekben, ahol a vizsgált részcsoport nem normálosztó, a hozzá tartozó normálosztót a részcsoport konjugáltjainak metszeteként kaphatjuk. (Az el z ek b vebb magyarázata megtalálható az algebrai függelékben.)

19 I. táblázat a frízcsoportként elõforduló csoportok véges indexû részcsoportjai A teljes csoportot, a vizsgált részcsoportot, a hozzá tartozó normálosztót 1 jelöli. Továbbá k, n. C T 11, 1g Részcsoport Jelölések Elemek 1 T k T k n C k C k T D T S S 2 1 ST T 1 QP P P 2 1 P QP QP 1 P P Q P 2 Q 2 1 m1, 12, mg Részcsoport Jelölések Elemek 1 T k T k n C 2k D k T S T 2 T l S l 0 1 T 2n T 2n l S D 2 C 2 T T k T l S k 2 ; l ; l k T k n T k n l S D k T k C D 1 T S S 2 1 ST TS 1m Részcsoport Jelölések Elemek 1 T k T k n C 2k C k T D 1 S T k S T k 2n T k 2n k S C 2k C 2k T T k S T k n T k n S C D 1 k C k T Továbbá ha k páratlan, akkor C k T D 1 S C 2k T S. D D 1 T S U S 2 U 2 1 ST T 1 S UT TU US SU mm Részcsoport Jelölések Elemek 1 T k T k n C 4k D k T S D 1 U T k U T k 2n T k 2n k U C 4k D 2k T S T k U T k n T k n U C D 1 2k D k T S T k S k 1 2 ; S T l S ; l ; l k T k n T k n S D 2, 4 D 1 U, D 2 T U T k S k 2 ; S T l S ; l ; l k T k n T k n S D 2k T k T k S k 1 2 ; S T m SU ; m ; m k T k n T k n S D 2, 4 D 1 U, D 2 T U T k S k 2 ; S T m SU ; m ; m k T k n T k n S D 2k T k T U S S T l S ; l 0 1 T 2n T 2n S T 2n 1 U T 2n 1 S U D 2 C 2 T D 1 U T k U S k 2 ; S T l S ; l ; l 2k T 2kn T 2nk S T 2kn k U T 2kn k S U D 2k T k U T 2 S U S T l S ; l 0 1 T n T n S T n U T n S U D D 1 2 C 2 T T k S U k 2 ; S T l S ; l ; l k T kn T kn S T kn U T kn S U D D 1 k T k U Továbbá ha k páratlan, akkor D k T S D 1 U D 2k T U S. A színezett frízek osztályozása 9. oldal

20 A színezett frízek osztályozása 20. oldal A frízcsoportok részcsoportjainak áttekintése Az eddigiek alapján egy frízr l eldönthet részcsoportjainak segítségével, hogy különféle módokon hány színnel színezhet. Láthatóvá válik majd, hogy egy frízcsoport minden véges index részcsoportja is frízcsoport, mégpedig egy az eredeti frízzel azonos tengely fríznek szimmetria-csoportja. Egy színezett fríz egyszín része is egy frízt alkot, melynek szimmetria-csoportja a szín stabilitási részcsoportja. Továbbá ha adott egy színezetlen fríz és annak G szimmetria csoportja, akkor egy N index H részcsoportja lényegében meghatározza a fríz egy N-színezését. Egy színezett fríz típusán a G:H N összefüggést értjük, ahol G-t és H-t mint frízcsoport típust ismerjük. A véges részcsoportok indexe adja majd meg a lehetséges színek számát. A következ kben meghatározzuk, milyen részcsoportjaik lehetnek frízcsoportoknak. A II. táblázat foglalja össze a frízcsoportok különböz fríztípusú részcsoportjait és azok lehetséges indexeit. G jelöli a frízcsoportot, H pedig annak egy részcsoportját. Az egyes cellákban pedig a lehetséges G:H N indexek találhatóak. k mindig pozitív egészet jelöl. Például az 1g mint önmaga részcsoportjának indexe bármely 2k alakú pozitív egész szám lehet, mivel a csúsztatva tükrözés páratlan hatványai szintén csúsztatva tükrözések, míg páros hatványai már eltolások. G H 11 1g m1 12 1m mg mm 11 k 1g 2k 2k m1 2k k 12 2k k 1m 2k 2k k mg 4k 4k 2 2k 2k 2k mm 4k 4k 2k 2k 2k 2k k 11 II. táblázat frízcsoportok részcsoportjai és lehetséges indexeik G, a fríz szimmetria-csoportja egy végtelen ciklikus csoport, melyet egy eltolás generál, részcsoportjai H k alakú, szintén egyetlen eltolással generált ciklikus csoportok, melyek k esetén 11 típusú frízcsoportot alkotnak. G H k k, vagyis mellékosztályainak száma k, melyek a következ k: 0 k k 2 k k k, mivel i k i n k k, n esetén. Vagyis N -re létezik egy 11 típusú fríznek N-színezése. (Természetesen ameddig tudunk N db különböz színt mondani.)

21 A színezett frízek osztályozása 2. oldal 1g A szimmetria-csoport generátora egy, az a tengellyel párhuzamos csúsztatva tükrözés. G, részcsoportjai H k alakúak, az el z ekhez hasonlóan elegend k eseteket tekinteni. Az így kapott csoportok szintén végtelen ciklikus csoportok. Ha k páros, akkor k eltolás és az általa generált H részcsoport 11 típusú frízcsoport; ha k páratlan, akkor k csúsztatva tükrözés, s a vele generált H pedig 1g típusú. Mindkét esetben G H k k. Így itt is elmondható, hogy N mellett kiszínezhet a fríz N színnel, bár páros és páratlan N-re a színezések típusa nem ugyanolyan. m1 A fríz szimmetria-csoportját vagy egy eltolás és egy tengelyes tükrözés generálja, vagy pedig két tengelyes tükrözés. G b b b 2 izomorf D -nel. b b 2, b b és b b2 a. Utóbbi szépen mutatja a D szokásos megfogalmazását, amikor mint 2 párhuzamos tükrözés által generált csoportot tekintjük. Páros elemei az eltolások, a páratlanok pedig az eltolás irányára mer leges tengelyre történ tükrözések. El bbiek a csoport irányítástartó, végtelen rend transzformációi (kivéve persze az egységelem, melynek rendje ), utóbbiak pedig az irányításváltóak, s mint minden tükrözés, másodrend ek. Részcsoportjai a következ ek: k b b 2 k, típusa 11, indexe pedig 2k. k l b b b 2 k b b 2 l b, l k 0 l k részcsoportot a fríz tengelyére mer leges egyenesre történ tengelyes tükrözés és egy eltolás generálja, típusa: m1, indexe: k. 12 Szimmetria-csoportja G C C 1 C 2, ahol C 1 C 2 az a tengelyre illeszked pontokra történ tengelyes tükrözések választhatóak úgy, hogy C C 2 és C C, a szokásokhoz h en egy eltolás. G részcsoportjai: k C 1 C 2 k, típusa: 11, indexe: 2k. k l C, l k 0 l k. A generátorok ebben az esetben egy a fríz tengelyére es pontra történ tükrözés és egy eltolás, típusa: 12, indexe: k. mg Szimmetria-csoportja szintén D -nel izomorf. Egy csúsztatva tükrözés és egy középpontos tükrözés generálja, de el állhat egy a tengelye mer leges egyenesre történ tükrözés és egy centrális tükrözés által generált csoportként is. Ezek alapján G C C m, ahol m C. Részcsoportjai: k C m k páros és páratlan k esetén két különböz típusú frízt határoz meg. Ha k 2n n, akkor k egy csúsztatva tükrözés, míg ha k 2n n, akkor k

22 A színezett frízek osztályozása 22. oldal eredménye egy eltolás. Az els esetben a generált részcsoport típusa 1g, a második esetben pedig 11. Indexük viszont mindig 2k, vagyis 4n 2 és 4n. k l m C m k C m l m, l k 0 l k. Az el z höz hasonlóan k és l paritásától függ en a generált részcsoportok típusa különböz. Amennyiben mindkett páros, az els generátor egy eltolás, a második pedig egy az a tengelyre mer leges egyenesre történ tükrözés; a csoport típusa ebben az esetben: m1, indexe pedig k 2n. Ha k páros és l páratlan, akkor az els generátor eltolás, a második egy középpontos tükrözés, melynek centruma a fríz tengelyére esik. Így a frízcsoport típusa: 12, indexe: k 2n. Ha a k páratlan, az els generátor csúsztatva tükrözés, a másik pedig l paritásától függ en középpontos tükrözés vagy a fríz tengelyére mer leges egyenesre való tükrözés. Az általuk generált frízcsoport típusa mindkét esetben mg, indexe: k 2n. 1m Ebben az esetben G C D, generátorai lehetnek egy eltolás és egy a fríz tengelyére történ a tükrözés. Ekkor véges index részcsoportjai a következ ek: k egy eltolással generált szimmetria-csoport, típusa: 11, indexe: 2k. k a egy csúsztatva tükrözéssel generált frízcsoport, típusa: 1g, indexe: 2k. k a részcsoportot egy eltolás és a fríz tengelyére történ tükrözés generálja, típusa: 1m, indexe k. mm Szimmetria-csoportja izomorf D D -gyel. Generátorai egy eltolás, egy középpontos tükrözés, ahol a tükrözés centruma a fríz tengelyén van és a fríz tengelyére történ tükrözés. Tehát G C a részcsoportjai a következ ek: k egy eltolással generált szimmetria-csoport, típusa: 11, indexe: 4k. k a egy csúsztatva tükrözéssel generált frízcsoport, típusa: 1g, indexe: 4k. k a egy eltolással és a tengelyre történ tükrözéssel generált csoport, melynek típusa: 1m, indexe pedig: 2k. k l C egy eltolás és egy középpontos tükrözés által generált frízcsoport típusa: 12, indexe: 2k. k l C a egy eltolás és egy a fríz tengelyére mer leges egyenesre történ tükrözés által generált csoportot ad, melynek típusa: m1, indexe pedig: 2k. k a l C részcsoportot egy csúsztatva tükrözés és egy középpontos tükrözés generálja, így típusa: mg, indexe pedig: 2k.

23 A színezett frízek osztályozása 23. oldal k l C a generátorai az eredeti csoporthoz hasonlóan egy eltolás, egy középpontos tükrözés és a fríz tengelyére történ tükrözés. Típusa ekkor: mm, indexe: k. Ezek alapján például ellen rizhet Jarratt és Schwarzenberger felfedezése, miszerint minden 2k alakú N esetén 7 féle, 4k 2 esetén 7 féle, illetve ha N 4k, akkor 9 féle különböz N-színezés van 3. (Lásd a következ táblázatot.)

24 A színezett frízek osztályozása 24. oldal G H 4 Az adott fríz 4-színezése. 11: g: m1: m1:m : : m: m:1g m:1m 4 0 mg:11 4 mg:m1 4 2 mg: mm: mm:1g 4 5 mm:m1 4 6 mm: mm:1m 4 8 mm:mg 4 9 mm:mm 4 III. táblázat 4-színezések

25 A színezett frízek osztályozása 25. oldal A frízcsoportok normálosztóinak áttekintése A színezést meghatározhatjuk a fríz G szimmetria-csoportjának és annak G normálosztójának segítségével. Ehhez vizsgáljuk meg a keletkez G G faktorcsoportokat. Ekkor a G H N egyenletet a G G alakú összefüggésre cserélhetjük. A IV. táblázatban a lehetséges G G faktorcsoportok találhatóak, ahol G és G mint frízcsoport típus adott. Kétszín mintáknál a H részcsoport indexe 2, azaz normálosztó. Ekkor automatikusan egybeesik G -gyel és a G:H 2 egyenlet helyett a G G egyenletet kapjuk, ahol C2 vagy D. Azonban a G, G, adatokból a színezés típusa nem mindig állapítható meg egyértelm en. Ezért a következ részben tovább finomítjuk még a színezés ilyen módú megadását. Viszont a színezett fríz szimmetria-csoportja ebb l a felírásból olvasható ki, hiszen ez éppen G. G G g m1 12 1m mg mm 11 C k 1g C 2k C 2k m1 D k D 12 D k C 2 1m C k D C k D C k mg D 2k D 2k C 2 C 2 mm D k D D 2k D D 2 D D 2 D k D D g C IV. táblázat frízcsoportok normálosztói és a lehetséges faktorcsoportok C c, részcsoportjai és egyben normálosztói c i alakúak, i. Az els esetben 11 generátora legyen a eltolás. Normálosztói k alakúak, ahol k és k k. k esetén k egy eltolásokból álló csoport, mely 11 típusú frízcsoportnak felelhet meg. G G k Ck k esetén, mivel k 2k k 0 k 2k és k 0 k k 2 k k k. Azaz Ck. A második esetben 1g generátora egy az a tengellyel párhuzamos csúsztatva tükrözés. G, részcsoportjai k alakúak. Az el z höz hasonlóan az így kapott részcsoportok szintén végtelen ciklikus csoportok. Ha k páros, akkor k eltolás és a kapott részcsoport 11 típusú frízcsoport, ha k páratlan, akkor k egy 1g típusú frízcsoportot generál.

26 A színezett frízek osztályozása 26. oldal Mindkét esetben k Ck, azaz 1g 1g C2n és 1g 1m C2n. m 2 mg D D T S S 2 ST T S P Q P 2 Q 2 ( P S T QP Q TS ), normálosztói pedig T k PQ k, T 2 S P QPQ és T 2 TS PQP Q alakúak. m1 b b b 2 D. Normálosztói a következ ek: k, ami 11 típusú, 2 b 2 b és 2 b 2 b 2, ahol b és b2 az a tengelyre mer leges egyenesek, így az utóbbiak szintén m1 típusú frízcsoportok lesznek. Faktorcsoportjaik: b k Dk, m1 11 Dk illetve b 2 b b 2 b 2 D, m1 m1 D. 12 C C C 2. A csoport normálosztói: az 11 típusú k és az 12 típusú C illetve C 2, ahol C és C 2 szintén a fríz tengelyének egy-egy pontjára történ tükrözések. Faktorcsoportjaik: Dk illetve C2, ami persze izomorf D -gyel. mg C m C. Normálosztói a következ ek: k, típusa k paritásától függ en 11 vagy 1g, továbbá 2 m illetve 2 C, ahol C egy centrális tükrözés, m pedig tengelyes tükrözés, így a két normálosztó típusa 12 és m1. Faktorcsoportjaik: mg 11 D2n, mg 1g D2n és mg 12 C2, mg m1 C2. m C D1 C D T S S 2 ST TS T k T k S k, generátorait adhatja egy eltolás és egy a fríz tengelyére történ a tükrözés. Részcsoportjai, melyek egyben normálosztók is, a következ ek voltak: az 11 típusú k, az g típusú k a és az m típusú k a. Faktorcsoportjaik pedig a következ k lesznek: 1m 11 Ck D, 1m 1g Ck D és 1m 1m Ck. mm D D1 D D T S U S 2 U 2 ST T S UT TU US SU generátorai lehetnek egy eltolás, egy középpontos tükrözés, ahol a tükrözés centruma a fríz tengelyén van és egy a fríz tengelyére történ tükrözés. mm C a normálosztói pedig: 11 típusú k, 1g típusú k a, 1m típusú k a, 12 típusú k l C ha k 2, m1 típusú k l C a, ha k 2, mg típusú k a l C k -re és mm típusú k l C a k 2. Faktorcsoportjaik:

27 A színezett frízek osztályozása 27. oldal mm 11 Dk D ; mm 1g D2k ; mm 1m Dk ; mm 12 mm m1 D, ha k és mm 12 mm m1 D2, ha k 2; mm mg D, ha k ; s végül mm mm C2.

28 3. A színezett frízek osztályozása Az osztályozás lényege, hogy egy fríz ismeretében egyértelm en el lehessen dönteni, hogyan és hány színnel színezhet, továbbá egy színezett mintáról meg tudjuk mondani, mi annak frízcsoportja és a színezés típusa. Egy fríz ismerete alatt a következ t értjük: adott az F 2 minta és annak egy F S F X cellafelbontása. Olyan színezéseket keresünk ahol a megadott cellák egyszín ek. A második részben tárgyaltak alapján egy fríz színezéséhez elegend információt nyújthat annak szimmetria-csoportja és egy olyan részcsoportja, melyr l tudjuk, hogy a színek egyikét megtartja, azaz annak stabilizátora. A részcsoport és indexe megadják, összesen hány színnel színezzünk és mely cellák lesznek azonos szín ek. X és X cellák azonos szín ek, ha és ugyanazon H szerinti mellékosztályban vannak. Bármely színt kiválaszthatjuk alapszínnek, melyet stabilizáló részcsoportot keressünk, mivel beláttuk, hogy a különböz színeket megtartó részcsoportok egymásba konjugálással átvihet ek, így struktúrájukban megegyeznek. A színezett minta szimmetria-csoportját is egyszer en meg tudjuk határozni. Ez az a részcsoport a fríz G szimmetria-csoportjában, melynek elemei minden cellát vele megegyez szín be visznek át. Ez G-nek normálosztója lesz, mégpedig H összes konjugáltjainak a különböz színek stabilitási részcsoportjainak metszete. (Természetesen H minden konjugáltja vele azonos típusú frízcsoport.) Abban az esetben, ha a H részcsoport már maga is normálosztó, akkor G H eredményhez jutunk, vagyis H megadásával már ismerté válik a színezett fríz szimmetria-csoportja is. Amennyiben a normálosztók fel l szeretnénk megközelíteni a színezést, illetve annak egy egyértelm meghatározását adni, akkor a következ adatokra van szükségünk: a G frízcsoport és a G normálosztó típusára, G G absztrakt csoportra. -t tekinthetjük a színeken ható, tehát N-edfokú permutáció csoportnak. Ugyanis ha a G elemek -beli képe azonos, akkor a minden színt megtart, azaz és ugyanúgy permutálja a színeket, ezt tehát értelmezhetjük úgy, hogy -beli képük ennek a permutációnak feleljen meg. A színezett fríz szimmetria-csoportja G lesz. A színezést úgy tudjuk megadni, hogy megkeressük a H részcsoport típusát és indexét. Bizonyos G G esetek csak úgy fordulhatnak el, hogy G H ekkor könny dolgunk van. Vizsgáljuk meg, melyek a fennmaradó esetek és mit tehetünk ilyenkor. G mellékosztályainak segítségével G G osztályba tudjuk csoportosítani a cellákat úgy, hogy egy osztályba bizonyosan azonos szín cellák kerülnek. Az így keletkez osztályok száma azonban nagyobb, mint a színek száma, ha G H. H tehát az azonos szín osztályok megkereséséhez szükséges. 28

29 A színezett frízek osztályozása 29. oldal Az absztrakt csoportok részcsoportjainak és normálosztóinak táblázatát vizsgálva megállapíthatjuk, hogy pontosan akkor állhat el G nála b vebb H-ból, ha Dk vagy Dk D és k 2. Ha H G, akkor a színek száma 2k illetve 4k, azaz a -ban szerepl Dk reguláris reprezentációját kapjuk, ezt Dk(2k) -val fogjuk jelölni. Ha pedig H G, akkor a színek száma k illetve 2k. Ebben az esetben Dk szokásos reprezentációjával állunk szemben. Az ilyen eseteket azon H-k vizsgálatával egyszer kisz rni, melyek nem normálosztók. A következ eredményekhez jutunk ( k ugyanazt jelöli, mint a táblázatokban): m1-ben az m1 és 12-ben az 12 csak k 2 -re lesz normálosztó, különben egy 11 típusú normálosztót ad. mg-ben az m1 k -re lesz normálosztó, egyébként 11 típusú normálosztót eredményez, mg-ben még az 12 típusú részcsoportok sem normálosztók k -re, különben a konjugálással kapott normálosztó típusa 11 lesz. mg-ben az mg pedig soha nem lesz normálosztó, 1g típusú normálosztót ad. mm-ben az m1 és az 12 csak k 2-re normálosztó, különben 11 típusú normálosztót eredményeznek és végül szintén mm-ben az mg k -re normálosztó, nagyobb k-ra 1g típusú normálosztót határoz meg és az mm típusú részcsoportjai pedig k 2 -re lesznek normálosztók, a többi esetben 1m típusú normálosztót határoznak meg. A kapott normálosztók természetesen mint önálló részcsoportok is megjelentek, s ebben az esetekben maguk töltötték be a normálosztó szerepét is. Ezeket az eseteket szeretnénk megkülönböztetni, hiszen a következ táblázatból látható, hogy így más struktúrájú színezéseket eredményeznek. Amennyiben meg szeretnénk állapítani az el z eredmények alapján adott G és G esetén, hogy mi lehet a H részcsoport láthatjuk, hogy további két kétértelm esetünk maradt. Az mg 11 és mm 11 esetekben az 11 típusú G kétféle ( 12, m1 ) b vebb H-ból is származhat. A felfedezett különbségek is eltér típusú színezéseket eredményeznek. Ugyanis mg és mm szimmetria-csoportja tartalmaz mind függ leges, mind vízszintes tengely tengelyes tükrözéseket, de nincs megkötve, hogy tartalmazzanak-e vagy sem olyan tükrözést, mely (legalább) egy színt megtart. Így a két esetet megkülönböztetjük. A különbségek pontosan akkor jelentkeznek, ha G 11 típusú. m -mel jelöljük, ha van a csoportban olyan tükrözés, mely (legalább) egy színt megtart és m -vel, ha nincs. Ezen megkülönböztetések pontosan azokban az esetekben fordulnak el, amikor a H és G részcsoportot különböz ek. Összességében 30 féle színezett fríztípust különböztethetünk meg. Ezek összefoglalását adja az V. táblázat. A táblázatban az els oszlop mutatja a színek számát, második a frízcsoport adott színezéshez tartozó faktorcsoportját, s végül egy-egy példát kis k-ra. A táblázat is mutatja, hogy nagyobb megkülönböztetést azok az esetek igényelnek, ahol az egy színt megtartó részcsoportjai a frízcsoportnak nem normálosztók, azaz nem alkotják a színek szimmetria-csoportját is. Ezeket a részcsoportokból kiindulva külön meg kell említeni, illetve, ha a normálosztók fel l indulunk ki, akkor még egyéb megkötéseket kell tennünk a normálosztóról illetve annak faktorcsoportjáról, hogy egyértelm legyen a színek száma. A két megközelítés természetesen ugyanazon eredményt adja.

30 A színezett frízek osztályozása 30. oldal G H N G G Színezett típusminta k, 2 vagy 3-ra k C k 2 1g 11 2k 1g 11 C 2k 3 1g 1g 2k 1g 1g C 2k 4 m1 11 2k m1 11 D k 2k 5 m1 m1 2k m1 m1 D k 2 6 m1 11 D k k k D k 2k k C 2 k D k k 2 0 1m 11 2k 1m 11 D C k 1m 1g 2k 1m 1g D C k 2 1m 1m 2k 1m 1m C k 3 mg 11 4k mg 1g D 2k 4k 4 mg 1g 4k 2 mg 1g D 2k 4k 2 5 mg mg 2k mg 1g D 2k

31 A színezett frízek osztályozása 3. oldal G H N G G Színezett típusminta k, 2 vagy 3-ra 6 mg m1 2k mg m1 C 2 k 7 mg 11 C 2k m k 8 mg 12 2k mg 12 D k 9 mg 11 C 2k m k 20 mm 11 4k mm 11 D C k 2k 2 mm 1g 4k mm 1g D 2k 4k 22 mm m1 2k mm m1 D k k 2 23 mm 11 D D k m k 2 24 mm 12 2k mm 12 D k k 2 25 mm 11 D D k m k 2 26 mm 1m 2k mm 1m D k 2k 27 mm mg 2k mm mg D k 28 mm 1g D 2k k 29 mm mm k mm mm D k 2 30 mm 1m D k k 2 V. táblázat a színezett frízek típusai

32 4. A szimmetria és a frízek megjelenése a díszít m vészetekben A szimmetria bármely sz ken vagy tágan fogjuk is fel jelentését olyan fogalom, mellyel az ember hosszú korokon át igyekezett a rendet, a szépséget és tökéletességet megérteni és megalkotni. írja Hermann Weyl 5. A szimmetria nyugalmat és kötelmet fejez ki, az aszimmetria mozgást és oldódást, rendet és törvényt az egyik, a másik önkényességet és véletlenséget, formai szigort és kényszert amaz, ez életet, játékot és szabadságot. olvashatjuk Dagobert Frey szavait Weyl könyvében. Az el bbi, els ránézésre egymásnak ellentmondó gondolatok jól tükrözik, mennyire sok helyütt fölbukkan a szimmetria az ember életében, gondolatvilágában. Dagobert Frey-nél a szimmetria merevséget sugároz, míg Weyl-nél Polükleitosz gondolata köszönt vissza, miszerint a szépség, a harmónia, a tökéletesség egyik f megteremt je. Évezredeken keresztül minden kultúra m vészetében megtalálható a rendezett és rendezetlen motívumok sokasága más-más eszmét képviselve. Napjainkban legf képpen a díszít m vészetek, kézm ves mesterségek kedvelt eszköze. A IX. századi velencei dózsék palotája már-már a szimmetriák jelképe lehetne. Doge-palota, Velence. Az építését 309-ben kezdték meg oldal A díszít m vészetekben el forduló motívumok viszonylag nagy változatossága ellenére bizonyos alapvet motívumok figyelhet ek meg. Egyik legelterjedtebb díszít motívumok a szalagdíszek, azaz a frízek. Ezen motívumok f jellemz je a végtelen ismétl dés megjelenése véges m alkotásokon. 32

33 A színezett frízek osztályozása Szalagfonat-díszítmény. P8R 80. oldal 33. oldal Ión homlokpillér feje. P8R 76. oldal Megtalálhatóak képek, freskók szegélyein, mozaikok mintázatában, díszes homlokzatokon, korlátokon vagy akár hengeres felületeket körbefutva is. Az ismétlğdğ minták lehetnek akár geometriai elemek vagy élğlényeket ábrázoló figurák. Szarkofág a i.e. 400 körülrğl, Ayía Triadha. P R 77. oldal Részlet a babiloni királyi palota egy oszlopcsarnokának díszítésébğl, i.e. VI. sz. P 0R l96. oldal Halottsiratás geometrikus stílusú görög vázán, i.e. 700 körülrğl. P7R 5. oldal Állatfigurák ismétlğdğ motívumával díszített rodoszi váza, i.e. VIII-VI. századból P8R 39.oldal

34 A színezett frízek osztályozása 34. oldal A vonal mentén ismétl d minták egyik leggazdagabb lel helye a népm vészet. Népi motívumok szinte elképzelhetetlenek ritmikus ismétl désük nélkül. Meghatározó szerepet tölt be az állandóan jelenlév ritmus a sorminták között. Apró egységekre bontható fel akár egy hímzett ruhadarab, egy sz ttes vagy faragott tárgy mintázata. Nem kéne sokáig keresgélnünk ahhoz, hogy bemutatott 7 frízmintára szebbnél szebb példákat találjunk a fali sz ttesek között. S t nem csupán színes mintákat, hanem színezett motívumokat is találhatunk. Perzsa selyem imasz nyeg, készült 600 körül oldal A fenti ábrán a keretmintában mg m1 2 típusú színezett fríz látható. Legkorábbi példák a paleolitikum (i.e , magdalénium) és a neolitikum (i.e ) korából származnak. Már a magdalén korból el kerül leleteken találhatóak példák mind a 7 különböz fríztípusra. Afrikában, Ázsiában és Európa különböz területein egyaránt felelhet ek voltak ott, ahol a kései paleolitikus és neolitikus kultúrák kialakultak. Minthogy ezen távoli kultúrák között a kommunikáció minimális volt, feltehet, hogy a közös díszít elemek a természetben felelhet hasonló modellekb l, valamint a szimmetria törvényeib l erednek. Fríz típusú minták leggyakrabban különböz motívumok eltolásos ismétlésének eredményei, ahol az eredeti motívum szimmetriái határozzák meg a fríz szimmetria-csoportját, úgy, hogy az eredeti szimmetria-csoportot kombináljuk az eltolásokból álló (11 típusú) csoporttal. Másik módszer lehet a természetben el forduló szimmetrikus formák, növények m vészi sematizációja. A minták kezdetben mindig önálló jelentéssel bírtak. Az id folyamán leegyszer södtek és mára már csak díszít funkciókat töltenek be. Az eredeti szimbolikus jelentéseket

35 A színezett frízek osztályozása 35. oldal mutatnak például szarvasagancs ismétl déséb l el álló 11 típusú, táncoló alakból keletkez m1 és egy szigony ismétléséb l kialakuló 12 vagy mg típusú frízszer minták. Stilizált szarvasagancsok ábrázolása vonalmenti ismétl déssel, paleolitikumból ábra A kolo táncos különböz sematikus figurái, paleolitikum ábra A fríz ismétlésen alapuló szimmetriája lehet séget nyújt bizonyos periodikus természeti jelenségek ábrázolására is. Például: nappal és éjszaka váltakozása, a Nap naponkénti és évenkénti újraéledése, melyek ábrázolásával a frízek a naptár szerepét töltötték be. Különböz népcsoportoknál még ma is megfigyelhet ek az el z ekhez hasonló pontos szimbolikus jelentéssel bíró minták. a.) Fel és le; A Nap; A víz; Lélegzés Kongó b.) A víz ritmusa Kongó c.) A Nap a víz ill. a horizont alatt és fölött pueblo indiánoktól d.) A telihold napjai Celebesz e.) Az évek végtelen futása Celebesz f.) A Nap folyamatos mozgása Fiji g.) A Nap folyamatos mozgása Fiji h.) A Nap folyamatos mozgása Fiji ábra

36 A színezett frízek osztályozása 36. oldal Díszít motívumoknál különös jelent sége lehet egy fríz tengelyének az irányításának is. Ezt a fríz polaritásának nevezzük. Egy frízt polarizáltnak mondunk, ha szimmetria-csoportjának minden eleme megtartja a tengely irányítását. A tengely polaritásából származó irányított feszültség a mozdulatlan mozgás benyomását keltheti, id komponenssel ruházva fel a mintát. Átfedéseket alkalmazva a frízek gyakran jelenhettek meg olyan kultúrák (pl. Egyiptom) díszít m vészetében, ahol jellemz volt a mozgásban lév térbeli csoportok objektív, természetes axonometrikus ábrázolása. Hasonló dinamikus hatást hoznak létre az 1g, valamint az 1m típusú frízek, melyek tengelye polarizált. Köszönhet en bizonyos növények növekedésével, felépítésével való kapcsolatának az 1g típusú frízek jól alkalmazhatóak növényi díszít mintáknál. Egy 1g minta szimmetria-csoportja tartalmaz csúsztatva tükrözést, így igen alkalmas irányított, alternáló jelenségek geometrikus díszít mintákkal való ábrázolásához. 1m típusú frízek a neolitikumból, i.e. VI-III. sz ábra Az 12 típusú frízek szimmetriái között megtalálható középpontos tükrözések lehet séget nyújtanak ellenkez en irányított elemi szimmetrikus motívumok tengelymenti elhelyezéséhez vagy akár két ellentétes irányítású 11 típusú fríz kombinálásához is. Sok kultúrában el fordultak például spirális motívumok alkalmazásával. 12 típusú fríz az i.e. V-IV. századból, Irán 12 típusú frízminta Máltáról, i.e. III. század ábra