Az exploratív faktoranalízis célja a faktorsúlyok (loading) minél egyszerűbb

Átírás

1 ROÁCIÓ AZ EGYSZERŰ FAKORSRUKÚRÁÉR DR. HAJDU OÓ A tanulány egyfelől áttekinti az analitikus rotációs kritériuok lényegét, segítve ezzel a egfelelő eljárás kiválasztását, eellett a standard (statisztikai szoftverekben hozzáférhető) ódszerek ellett beutatja az irodaloban napjainkig kidolgozott és nevezetessé vált ortogonális és oblique eljárásokat is. Felhívjuk továbbá a figyelet a faktorsúlyok egyszerűségének, illetve koplexitásának a érhetőségére, részletesen tárgyaljuk a releváns egyszerűségi indexeket, és kitérünk a súlyozott rotáció probléájára is. ÁRGYSZÓ: Exploratív faktoranalízis. Rotáció. Egyszerűségi index. Az exploratív faktoranalízis célja a faktorsúlyok (loading) inél egyszerűbb struktúrájának feltárása posztulált faktorok egfigyelt indikátoraiból kiindulva. A legegyszerűbb a struktúra, ha egy indikátort csak egyetlen faktor agyaráz nezéró súlylyal. Az ilyen indikátor koplexitása egységnyi. A faktorsúlyok eghatározására többféle ódszer is rendelkezésre áll. Bárelyik ódszert is tekintjük, az extrahálás 1 célfüggvénye sose valaely egyszerűségi kritériu optiálása, hane valaely becslési kritériu (agyarázott variancia, hiba-négyzetösszeg, inta-likelihood) javítása. Így kezdeti egoldásként nehezen értelezhető faktorsúly-struktúra várható (egynél nagyobb koplexitású indikátorokkal). Mindeellett, ha ár egy egoldás rendelkezésre áll, akkor ennek végtelen száú rotációja is kielégíti a faktorodellt. Ezért az egyszerű struktúra kialakítása (ha kialakítható egyáltalán) egy ásodik, rotációs lépés feladata. Az egyszerűség sajnos ne definiálható egyértelűen, száos kritériu entén javítható, és ennek eredénye többféle indexszel jelleezhető. Léteznek ortogonális technikák korrelálatlan faktorok esetére, és ún. oblique, ferdeszögű eljárások korrelált faktorok feltevése ellett. Egy részük elérhető standard statisztikai szoftverekben, ásrészük az elélet fejlődését szolgálja. Mindenesetre kritériurendszerük szövevényes, és az egyes kritériuok akár lényegesen eltérő eredényre is vezethetnek. Látható, hogy az exploratív faktoranalízis kulcslépése a rotáció, ert a végső faktorsúly-átrix próbálkozások sorozatának az eredénye. 1 Factor extraction. Statisztikai Szele, 8. évfolya, szá

2 DR. HAJDU: ROÁCIÓ AZ EGYSZERŰ FAKORSRUKÚRÁÉR 979 MEGSZORÍÁSOK A FAKORMODELLBEN Feltevésünk szerint a vizsgálatunkba vont egfigyelt változók korrelációs rendszerét kevés száú, közvetlenül eg ne figyelhető latens változó, faktor indokolja. A egfigyelt változó alakulását valaely latens tulajdonsághoz való igazodás ozgatja, ezért a egfigyelt változót a vonatkozó faktor indikátoraként kezeljük. A faktorodell paraetrikus forában x( p, 1) = Λ( p, ) f(, 1 ) + u( p, 1 ), /1/ ahol az x=[x 1,x,...,x p ] vektor tartalazza a p száú indikátort, az f=[f 1,f,...,f ] vektor az száú közös faktort (aelyek indegyike okozhatja bárelyik indikátor alakulását) az u=[u 1,u,...,u p ] vektor pedig az egyedi faktorokat, elyek egyedileg csak a saját indikátorukat agyarázzák. A (p,) éretű Λ pattern súlyátrix tartalazza a (loading) faktorsúlyokat. Magasabb abszolút értékű faktorsúly fontosabb faktort jelez az illető indikátor alakulása szepontjából. Az /1/ azonosság alapján az indikátorok (p,p) éretű C kovariancia átrixa kifejezhető a faktorközi kovarianciák és a faktorsúlyok felhasználásával: ff uu fu uf C= ΛC Λ + C + ΛC + C Λ. // Az exploratív faktorodell feltevése szerint az egyedi faktorok inden ás faktorral korrelálatlanok. Ekkor C uu diagonális és C fu =0. E egszorítások eredényeképpen a egfigyelt változók kovariancia átrixának dekopozíciója az alábbi forát ölti: λ C= ΛΦΛ + Ψ, /3/ ahol Φ és Ψ egszokott jelölései a közös, illetve az egyedi faktorok kovariancia átrixainak. Korrelálatlan (ortogonális, vagy derékszögű) faktorokat tekintve Φ diagonális, és ha a faktorok standardizáltak, akkor egyben egységátrix is. Egy nediagonális Φ korrelált oblique (ásképpen ferdeszögű) faktorokat jelent. Exploratív analízist végezve alapvetően a Λ, Φ, Ψ paraétereket becsüljük a /3/ egyenletben, annyi egszorítással, hogy a közös faktorok standardizáltak, vagyis Φ korrelációs átrix. Vegyük észre, hogy ha egy egoldás adott, akkor bárely (,) neszinguláris transzforáció ellett /1/ továbbra is teljesül: 1 ( )( ) x= Λ f + u. /4/ Elvégezve az * * f = f és Λ = Λ 1 helyettesítéseket oblique azaz ferdeszögű rotációt hajtunk végre, és a transzforált faktorok kovariancia átrixa Φ = Φ, tehát a * reprodukált kovariancia átrix változatlan arad: * * * ΛΦΛ = ΛΦΛ.

3 980 DR. HAJDU OÓ Speciálisan ortogonális forgatást végzünk akkor, ha a faktorok korrelálatlanok és ortonorált: = 1. Ilyenkor a kounalitások változatlanok aradnak az ortogonális forgatás során. Végső célunk egadni a Λ faktorsúlyok intázatának lehető legegyszerűbb, leginkább értelezhető struktúráját. A struktúrában adott faktor világosan nagy súllyal kötődik néhány (kevés) indikátorhoz és zéróközeli súllyal a többi indikátorhoz. Az ilyen struktúra hivatkozásunkban egyszerű struktúra. Az egyszerű struktúra feltárása több lépésben történik. Előbb induló egoldást adunk a faktorsúlyokra, ajd forgatási technikával (ferdeszögűvel, vagy ha elég, akkor ortogonálissal) vizsgáljuk, hogy ennyire tehető ég egyszerűbbé a struktúra. A inél egyszerűbb struktúra kialakításához száos stratégia áll rendelkezésre. A legisertebb ortogonális forgatási eljárások a Variax, Quartiin, Quartiax és az Equaax technikák. Ezzel szeben az oblique eljárások egengedik a faktorok korreláltságát, hogy éginkább képesek legyenek reprezentálni az indikátorok egfelelő klasztereit. A rotációs eljárások befolyásolják a faktorsúlyok értelezését. ekintsük ugyanis az f k faktor és az x j indikátor közötti kovarianciát, elyek rendszerét (átrixát) faktorstruktúrának nevezünk: ( x j fk) = (( λ j f +λ j f + +λ j f + uj) k) cov, cov , f. /5/ Világos, hogy korrelálatlan és standardizált faktorok esetén a λ faktorsúly egyben struktúrát is jelent, viszont inden ás esetben a struktúra jellezésekor a faktorközi kovarianciákat és varianciákat is figyelebe kell venni. AZ OROGONÁLIS ROÁLÁS KRIÉRIUMAI Adott A (p,) kezdeti súlyátrixból kiindulva keressük azt az ortonorált (,) transzforációs átrixot, elyre a B=A transzforált súlyátrix a lehető legegyszerűbb struktúrát utatja. Mivel nincs egyértelű kritériua annak, hogy ikor érjük el a legegyszerűbb struktúrát, ezért választanunk kell az alkalazandó analitikus kritériuok között, attól függően, hogy ilyen célfüggvény entén akarunk haladni az egyszerűbb struktúrák felé. Definiáljuk a Q=B*B átrixot, ahol * az eleenkénti (Hadaard) szorzást jelöli, és legyen q = b az általános elee a Q átrixnak: b 11 b1 L b1 = b1 b b Q. M O bp1 bp bp Ekkor Q k-adik oszlopát q k (k=1,,...,), íg j-edik sorát q j (j=1,,...,p) jelöli. Így az

4 ROÁCIÓ AZ EGYSZERŰ FAKORSRUKÚRÁÉR 981 oszlopok egyszerű összeadásával a q j kounalitások q oszlopvektorát kapjuk, aelynek q j eleei (int láttuk korábban) ne változnak forgatásról forgatásra: ahol q j k = 1 q1 q1 q = [ ] = q q = q 1 q q, M M q p q p 1 = q az x j indikátor átlagos kounalitása a q = [ q, q,..., q ] 1 p vektorba foglalva. A kounalitások változatlanságából következően az összegük is változatlan, tehát a négyzetes faktorsúlyok valaennyi eleének az átlaga is konstans arad: q 1 p = p j = 1k = 1 q. /6/ ovábbenve, az alábbi ennyiségek szintén invariánsak az ortogonális forgatásra, iközben felírhatók nevezetes analitikus forgatási kritériuok valaely kobinációjaként. 1. A kounalitások varianciája konstans, és lévén oszlopok összege kifejezhető az oszlopok varianciáinak és páronkénti kovarianciáinak az összegeként: ( q + q + + q ) Var( q) = Var 1 = Var( qk ) + Cov( qk, q g ). /7/ k1443 = 1 k g variax covariin. Az átlagos kounalitások varianciája konstans, de ivel ez a variancia egyben külső varianciája a sorok szerint csoportosított négyzetes faktorsúlyoknak, ezért felírható a totális és a belső variancia különbségeként: ( ) = ( ) = ( ) ( ) Var q Var Q Var Q Var Q = K B p 1 = q q p k = j = quartiax VarB ( Q). /8/ Ha a Var(.) függvény arguentuában egy vektor vagy egy átrix szerepel, akkor ezzel a vektoron (átrixon) belüli valaennyi ele szórásnégyzetére hivatkozunk. Hasonlóan, ha a Cov(.) függvény arguentuában két vektor szerepel, akkor a két vektor egfelelő eleei közötti kovarianciára hivatkozunk.

5 98 DR. HAJDU OÓ A kounalitások négyzetösszege konstans, ely a következő forában bontható fel: p j = q j = 1 = 1 q q = ( Q1) ( Q1) = 1 ( Q Q) 1 = qk qk + qk q g. /9/ k1 443 k g 1443 quartiax quartiin A Variax kritériu (Kaiser [1958]) a Q oszlopain belüli varianciák összegét axiálja, következésképpen az oszloppárokhoz tartozó kovarianciák összegét iniálja. Míg a Variax kritériu konvergált axiált értékének előjele pozitív, addig a Covariin kritériu iniált értéke negatív (negatív korreláció). E stratégia eredényeképpen a transzforált súlyok abszolút értékei egyhez vagy zéróhoz közelivé válnak, de adott oszloppárt tekintve ellentétesen alakulnak. 3 Az eljárás kiegészítője a ten Berge algoritus [1995] ely egakadályozza a Variax ódszert abban, hogy lokális axiuhoz konvergáljon. Az ún. Quartiax kritériuot alkalazva (Neuhaus Wrigley [1954]) a faktorsúlyok negyedik hatványainak (ásképpen a q értékeknek) az összegét axiáljuk. A /8/ dekopozícióból látható, hogy ez akkor valósul eg, ikor a totális Var(Q) variancia axiált, és ekkor a belső, átlagos soron belüli variancia is axiált. A /9/ felbontásból pedig az olvasható ki, hogy a Quartiax kritériu axiálja a Q Q átrix nyoát (trace), így a sajátértékeinek az összegét is. A nyo axiálása viszont kevés száú nagy sajátérték kialakulásához, következésképpen (tipikusan) egy általános közös faktor feltárásához vezet. Hasonlóan a Variax-Covariin esethez, a Quartiax kritériu optializálása egyben a Quartiin kritériu (Caroll [1953]) optializálását is eredényezi. A fent tárgyalt kritériuok indegyike speciális esete az általános, paraéteres G(γ) egyszerűségi kritériunak, aely indig inializálandó: p p p γ G ( γ) = q q jg q q jg in. k g j = 1 p j = 1 j = 1 /10/ Látható, hogy G(1) a Covariin és egyben a Variax kritériuokat jelenti, íg a pozitív G(0) a Quartiin és ugyanakkor a Quartiax kritériuokat nyújtja: G() 0 = q q in. k g A γ paraéter ortogonális forgatáshoz ajánlott értékei a 0 γ 1 intervalluban vannak. Végül a G(γ) kritériu a G(0) és a G(1) kritériuok súlyozott átlaga: ( ) ( ) k G γ = G() 0 γ G() 0 G() 1 = ( 1 γ ) G() 0 +γg() 1. g 3 Ez a agyarázata annak, hogy néely statisztikai progracsoag Variax opció ellett negatív egyszerűségi kritériu sorozatot közöl, ert analitikusan a covariin kritériuot optiálja.

6 ROÁCIÓ AZ EGYSZERŰ FAKORSRUKÚRÁÉR 983 Ortogonális forgatáskor γ alacsony értéke a súlyátrix sorait, agas értéke pedig az oszlopait egyszerűsíti. Egyenlő súlyok ellett a G(1/) Biquartiax kritériuot kapjuk, íg G(/) az Equaax kritériuot adja. Ez utóbbi kritériuok ne hangsúlyozzák külön se az oszlopok, se a sorok egyszerű struktúráját. Annak egítélésére, hogy az egyszerű struktúra ennyire vált a forgatás hatására egyszerűvé, Kaiser [1974] az alábbi IFS indexet (index of factorial siplicity) javasolta, a quartiin kritériuból kiindulva: IFS = quartiin 1 ax quartiin { } = p q j = 1 k = 1 = p ( 1) j = 1 = q k 1. q k 1 Perfekt egyszerűségi struktúra esetén az IFS index értéke 1 (perfekt egyszerűségi struktúránál inden indikátor egységnyi koplexitású, azaz csak egy faktorban szerepel zérótól különböző súllyal quartiin=0). Ugyanakkor az IFS=0, aikor a struktúra a legkevésbé egyszerű, vagyis adott indikátor egyenlő súllyal tartozik valaennyi faktorhoz. Mindazonáltal hátránya az IFS indexnek, hogy értéke a faktorok skálájának is függvénye. Az ún. Orthosi technika (Bentler [1977]) ár eleve egy skálafüggetlen egyszerűségi index optializálásán alapul. 4 ekintsük a = diag ( Q ) D Q ódon képzett diagonális átrixot. Az egyszerűségi indexet Bentler int axiálandó általánosított varianciát (generalized variance) definiálja, a következők szerint: ( ) 1 / 1 / GV = D Q Q D ax. E deterináns értéke 0 és 1 között változik, lévén egy szietrikus, nenegatív definit átrixhoz tartozik, elynek valaennyi diagonális elee egységnyi. Hangsúlyozandó, hogy GV invariáns arra az esetre, ha B oszlopait egy diagonális átrixszal átskálázzuk. Az index értéke GV=1, ha a faktorintázat faktoriálisan egyszerű (Kaiser [1974]), aikor is egységátrix deterinánsát száítjuk. Ugyanakkor GV=0 indenkor, aikor Q oszlopai lineárisan összefüggők. Ez a helyzet akkor is, ha valaennyi indikátor azonos súllyal szerepel valaennyi faktorban (vagyis inden egyes indikátor koplexitása a lehető legnagyobb ()), de akkor is ha a faktorsúly-átrix oszlopai proporcionálisan száraznak egyásból, vagy az oszlopok egy előjeltől eltekintve azonosak. Sajnos, a GV=0 érték ne föltétlenül az egyszerűség hiányához (a koplexitáshoz) kötődik. Mindazonáltal GV axiálása végett egy ortonorált tekintetében a következő feltételnek kell teljesülni (Bentler [1977]): C Q Q Q 1 A ( B* C) = M, ahol = ( ) 4 Az orthosi eljárás korántse közisert. Mint exploratív technika, hozzáférhető az EQS szoftverben.

7 984 DR. HAJDU OÓ és M Lagrange-szorzók szietrikus átrixa. Ekkor az Eckart Young-féle szinguláris érték felbontást (SVD) alkalazva: ( * ) = ( )( ) A B C UVU UW, ahol U a bal oldali, W a jobb oldali szinguláris vektorokat tartalazó átrixok (eleget téve definíció szerint az U U = I, és W W = I feltételeknek), és V a szinguláris értékek diagonális átrixa. Ekkor a = UW transzforációs átrix láthatóan ortonorált. Kiindulva egy kezdeti becslésből, például az egységátrixból, az eljárás új becslést száít a B és C átrixokra, ajd új SVD készül, és a folyaat akkor áll le, ikor stabilizálódott. Végül egelítjük, hogy az ortogonális forgatás egy igen általános és egyszerű ódszerét nevezetesen a BSV (basic singular value) eljárást javasolja Jennrich [001] ely a f / +α átrix SVD felbontásán alapul, ahol f() tetszőleges, axiálandó egyszerűségi függvény. Bár az eljárás a vizsgált esetek indegyikénél konvergált, a konvergencia eléletileg ne igazolt, és a egfelelő a szorzó egválasztása is nehézkes. OBLIQUE ROÁCIÓ KORRELÁL FAKOROKÉR Még egyszerűbb faktorstruktúrát nyerhetünk, ha föloldjuk a korrelálatlan faktorok követelényét. Például, ha a GV kritériu axiálásakor egengedjük, hogy korrelált faktorokat eredényezzen, akkor az ún. Oblisi ódszert kapjuk (Bentler [1977]). A továbbiakban a következő eljárásokat tárgyaljuk részletesen: Direct obliin (Quartiin), Proax és a független klaszterek ódszerét. Az előbbi kettő elérhető elérhető standard statisztikai progracsoagokban. A Direct obliin eljárás Az ún. direct obliin ódszer (Jennrich Sapson [1966]) szintén a G(γ) kritériuot iniálja, de a γ < 0,8 intervalluon. Növekvő gaa éginkább korrelált (oblique) faktorokat eredényez, de pozitív gaa értékek (különösen, ikor γ > 0,8) konvergencia probléákhoz vezetnek. Oblique esetben a G(0) kritériuot speciálisan Direct quartiin kritériunak nevezzük. E ódszer elei rotációk sorozatán át halad. Egy közbülső lépésben tekintsünk két (standardizált) faktort: f 1 és f. Egy elei rotálás abból áll, hogy rotáljuk az f 1 faktort az f 1 és f faktorok síkjában úgy, hogy az eredényül kapott faktorsúlyok inializálják a G(0) kritériu értékét. A rotált f 1 faktor ost: ahol a f1 = t1f1+ t f, ( ) Var( f ) = t + t t Cov f, f + t = 1

8 ROÁCIÓ AZ EGYSZERŰ FAKORSRUKÚRÁÉR 985 standardizálást egköveteljük. Jelölje a 1 és a a rotálás előtti, íg a 1 és utáni faktorsúlyokat. Így ajd egyszerű átalakítások után kapjuk af+ af = a ( tf+ tf) + af , a = a / t 1 1 1, a = t a / t + a 1 1. a a rotálás Az 1/t 1, és a t /t 1 értékeket G(0) inializálása útján kapjuk. A korrelációt a két faktor között az alábbi egyenletből száítjuk: ( ) (, ) (, ) Cov( f, f ) = Cov ( t f + t f ), f = t Cov f f + t Cov f f Ezzel egy elei rotáció véget ér. Minden lehetséges faktorpárt figyelebe véve a rotálást addig folytatjuk, íg G(0) konvergál. Itt eeljük ki, hogy a Direct quartiin eljárás feltárja a perfekt egyszerű struktúrát, ha az a valós helyzet. A Proax ódszer Egy ásik elterjedt technika a Proax ódszer (Hendrickson White [1964]) ely az eredeti A súlyátrix V Variax rotációjából indul ki. ekintsük az Y átrixot, elynek eleeit a következők szerint definiáljuk: κ 1 y = ν ν, ahol k >1 integer. Így y előjele ugyanaz, int ν előjele, íg abszolút értéke ν abszolút értékével azonos. Keressük a b koefficiensek legkisebb négyzetek (OLS) becslését az t yk = Vbk + e regresszióban, ahol Y k-adik oszlopa y k. A jólisert OLS becslést alkalazva 1 1 Y [ ] ( ) B(, ) = b, b,..., b = V V V és a rotált súlyátrix: VB. A B átrix hatása általában az, hogy az abszolút értékben relatíve nagy faktorsúlyokat tovább növeli, a relatíve kicsiket pedig tovább csökkenti. A gyakorlatban érdees úgy átskálázni B oszlopait, hogy a transzforált faktorok varianciája egységnyi legyen. Ennek érdekében helyettesítjük a B átrixot az M = BD átrixszal, ahol 1 D = diag ( B B). Ezáltal a /4/ azonosságot tekintve a rotált fak- k κ

9 986 DR. HAJDU OÓ torok korrelációs átrixa: = ( ) Φ M M 1. A κ paraéter értékének javasolt intervallua: [,4]. úl agas κ torokat eredényez. A Sipliax algoritus p ( a k = 1j = 1 w éginkább egyszerűsíti a struktúrát, de túlságosan korrelált fak- A Sipliax eljárás (Kiers [1994]) a Proax egy ódosított forája, aely az egyszerűség axiálása érdekében alábbi diszkrepancia kritériuot iniálja S = A = p w l ) k = 1j= 1 1 a p k= 1 j= 1 ( 1 w ) a + w ( a l ). l ( 1 ) * S = w a in R * ( pp, ) L in, ahol A a rotálandó ortogonális loading-átrix és L az n 0 száú zérót tartalazó célátrix. Így L nezéró eleeinek a száa p n 0. Az n 0 értékét előre rögzíteni kell, de a zérók pozíciói az eljárás során, annak eredényeképpen alakulnak ki. A zéró pozíciók egjelölésére a (p,) éretű W bináris, indikátor átrixot használjuk, ely w =0 eleeket tartalaz a zéró-pozíciókon és w =1 eleeket egyébként. Jelölje a az A szorzatátrix általános eleét. Ekkor S = ( V ) k = 1j = 1 A kifejezés jobb oldalán az első tag L zéró, a ásodik tag pedig L nezéró eleeihez kötődik. Mivel = esetén az = választással a ásodik tag zéróvá válik, ezért L eliinálódik a feladatból és a inializálás ost ár csak az első tag tekintetében történik: = VL L = VL V,. Az S * kritériuot w tekintetében akkor iniáljuk, ha egkeressük az n 0 száú legkisebb értéket, és a W átrixban az ő pozíciójukhoz zérót, inden ás pozícióhoz a pedig 1-et rendelünk. Ezt követően az S * kritériuot tekintetében iniáljuk, ajd az eljárást iteratív ódon folytatjuk. A lokális iniu elkerülése érdekében az eljárást száos induló átrixból kiindulva végrehajtjuk, ajd a iniális célfüggvény-érték alapján választunk közülük. Az Orthoblique eljárás Jelölje R * ( pp, ) a indenkori faktorizálandó átrixot, ely szietrikus, és rangja (<p). Ekkor R * spektrális felbontása: p

10 ROÁCIÓ AZ EGYSZERŰ FAKORSRUKÚRÁÉR 987 ahol az L (, ) diagonális átrix diagonális eleei a nezéró sajátértékek, V oszlopai pedig a egfelelő sajátvektorok. Az orthoblique rotálás lényege, hogy kiindulva a VL faktorsúlyokból, vagy azok valaely tetszőleges ortogonális forgatásával nyert faktorsúlyokból, kizárólag ortonorált transzforációkon át végül korrelált faktorokra vonatkozó faktorsúlyokhoz jussunk. Általában R * = VL V = ( VLDD 1) ( D1 D L LL D D1 ) ( DDLV 1 ) = = ff = AR A, ahol A, R ff és A a egfelelő zárójelben lévő szorzatokat tööríti, továbbá a átrix ortonorált ( = =I) és valaennyi D átrix pozitív definit diagonális. Mivel egyszerűbb alakban a faktorközi korrelációk átrixa: R ff = D1 D D /11/ ezért, ha 1 és D rögzített, akkor D 1 is eghatározott. A D 1 átrix egyedüli szerepe, hogy az inverzével való noralizálás az R ff korrelációs átrix átlóján egységnyi diagonális eleeket biztosít. A /11/ rotálás ortogonális, és ne ortogonális faktoregoldásokat is agában foglal. Az ortogonális egoldások körét a D =D 1 =I egszorítás eredényezi. Ha D I, akkor oblique egoldáshoz, korrelált faktorokhoz jutunk. A rotálás végrehajtása 1 és D rögzítését igényli. Ez többféle eggondolás alapján történhet. Egyféle egoldáshoz a független klaszterek esete vezet el. Ennek lényege a következő (Harris Kaiser [1964]): Az indikátorok független klasztert alkotnak, ha a faktorsúlyok átrixában inden sorban csak egyetlen zérótól különböző érték van, ás szavakkal, a átrix perfekt egyszerű struktúrát utat. Ekkor viszont A A biztosan diagonális. Ennek biztosítása tehát racionális követelény. Ez pedig teljesül akkor, ha LD =D 3 =I. (Vegyük észre, hogy ortogonális esetben D 3 =L.) Ugyanis E választással = 1 1 = 1 1 = 1. A A D DLV VLDD DDLDD D AR ff A = 1 1 ( VD ) ( D L D ) ( VD ) = A fenti rotált faktorsúlyok és faktorközi korrelációk birtokában a faktorstruktúra: xf ff 1 1. R = AR = VL D

11 988 DR. HAJDU OÓ A végső ozzanat a átrix egválasztásának a kérdése. Vegyük észre, hogy a átrix ost ne VL, hane csak V rotálására szolgál. Ennek egfelelően azt a transzforációs átrixot választjuk, aely valaely Orthoax kritériu (Quartiax, Variax, Equaax) szerint V optiális forgatását eredényezi. A LOADING SIMPLICIY INDEX A Kaiser-féle IFS és a Bentler-féle GV egyszerűségi indexek hátrányait kiküszöbölendő, Lorenzo Seva [003] a következő eljárást javasolja a faktoriálisan egyszerűség jellezésére: ahol { w} { w} w in 0 LS = 1, 1 in 1 w= + ( w ) p 10w p j = 1k = 1 és w a sorai tekintetében noralizált loading átrix általános elee: az eleek négyzetösszege inden sorban 1. Látható, hogy LS=1, ha kizárólag w =1, és w =0 értékek vannak a noralizált faktorsúly-átrixban. A legkevésbé egyszerű loading-átrix esetén 10/ w = 1 /, ezért in { w} = ( 1/ ). A kitevőben szereplő konstans 10 szorzó azt a célt szolgálja, hogy az index a perfekt egyszerű struktúra közelében is láthatóvá tegye a struktúrák különbözőségét, gyorsabban távolodva az 1-től, ahogy a struktúra koplexebbé válik. 5 A loading átrix noralizálása két lépésben történik. Előbb a loading-átrix oszlopait noralizáljuk azért, hogy az LS érzéketlen legyen az oszlopok átskálázására, ajd az így noralizált átrix sorait noralizáljuk azért, hogy az LS axiális értéke 1 legyen: ahol 1 / 1 /, W = H LC ( ) C= diag L L, 1 / 1 / ( )( ) H = diag LC LC. A SÚLYOZÁS SZEREPE A ROÁCIÓBAN A tárgyalt rotációs eljárások egyike se képes értelezhető faktorstruktúrát nyújtani akkor, ha az indikátorok többsége koplex abban az érteleben, hogy több faktorhoz tartoznak ne zéró súllyal, illetve, ha jelentős száú indikátor (több int a faktorok 5 A konstans nuerikus okból szerepel csak a forulában, helyére ás kicsiny pozitív szá is írható.

12 ROÁCIÓ AZ EGYSZERŰ FAKORSRUKÚRÁÉR 989 száa) zéróközeli súllyal bír egy faktorban (tipikusan az elsőben). Ezen esetek akkor fordulhatnak elő, ikor az indikátorok koplexitása nagyobb int 1. A jelenségre Cureton és Mulaik [1975] hívta fel a figyelet a Variax forgatással kapcsolatban, és a probléa kezelésére az indikátorok egfelelő súlyozását javasolták. A súlyozott Variax úgy forgatja a tengelyeket, hogy a tengelyek végső pozícióját leginkább az egyszerű indikátorok, és legkevésbé a koplex indikátorok határozzák eg. A súlyozott rotáció tehát egkívánja az indikátorok koplexitásának a érését, ajd a egfelelő súlyok hozzárendelését. A koplex indikátorok azonosítása az alábbiak szerint történik (lásd Cureton Mulaik [1975]) és Lorenzo Seva [000]). Legyen a rotálandó ortogonális súlyátrix A, ellyel a reprodukált korrelációs átrix R*=AA. Hajtsuk végre az R* átrix főkoponens analízisét, ely az F ortogonális faktorsúlyátrixot adja. Noráljuk az F átrix sorait egységnyi hosszúvá, és ha egy sor első elee negatív, akkor a sor előjelét váltsuk át. Így végül a G átrixhoz jutunk, elynek első oszlopában az eleek rendere: g j1 (j=1,,...,p). Ha a faktorok száa, akkor a legkevésbé koplex változót g j1 =(1/) 1/ jelzi, és hozzá rendeljük a legnagyobb súlyt, ely egységnyi. Az általános w jj súlyt pedig úgy definiáljuk, hogy ebből a helyzetből elozdulva a g j1 =0 és g j1 =1 esetekben az illető indikátorhoz zéró súlyt kapjunk. A w jj súlyokat a W diagonális átrixba foglalva a rotálást a WG átrixon hajtjuk végre. A Variax(WG)=V rotálás a súlyozott Variax eljárást jelenti, elynek végső L egoldását úgy kapjuk eg, hogy V sorainak eredeti előjelét visszaállítjuk, és sorait denoralizáljuk. Korrelált faktorok kiszűrése érdekében az eljárást egy Proax forgatás zárhatja. Súlyozott oblique forgatást közvetlenül is végrehajthatunk például az Obliin(WG) forgatást végrehajtva (Lorenzo Seva [000]). Ilyenkor a transzforációs átrix ( ) 1 = P P P L. IRODALOM BENLER, P. M. WINGARD, J. A. [1977]: Function invariant and paraeter scale-free transforation ethods. Psychoetrika. 4. évf.. sz old. BENLER, P.M. [1977]: Factor siplicity index and transforations. Psychoetrika. 4. évf.. sz old. CAROLL, J. B. [1953]: An analytical solution for approxiating siple structure in factor analysis. Psychoetrika old. CLARKSON, D. B. JENNRICH, R. I. [1988]: Quartic rotation criteria and algoriths. Psychoetrika old. CUREON, E. E. MULAIK, S. A. [1975]: he weighted variax rotation and the proax rotation. Psychoetrika. 40. évf.. sz. HARRIS, C. W. KAISER, H. F. [1964]: Oblique factor analytic solutions by orthogonal transforations. Psychoetrika. 9. évf. 4. sz old. HAYASHI, K.-BENLER, P. [000]: On the relations aong regular, equal unique variances, and iage factor analysis odels. Psychoetrika. 65. évf. 1. sz old. HENDRICKSON, A. E. WHIE, P. O. [1964]: Proax: A quick ethod for rotation to oblique siple structure. British Journal of Statistical Psychology old. JENNRICH, R. I. - SAMPSON, P. F. [1966]: Rotation for siple loadings. Psychoetrika. 31. évf. 3. sz old. JENNRICH, R. I. [1979]: Adissible values of γ in direct obliin rotation. Psychoetrika. 44. évf.. sz old. JENNRICH, R. I. [001]: A siple general procedure for orthogonal rotation. Psychoetrika. 66. évf.. sz old. KAISER, H. F. [1958]: he variax criterion for analytic rotation in factor analysis. Psychoetrika old. KAISER, H. F. [1974]: An index of factorial siplicity. Psychoetrika. 39. évf. 1. sz old. KAISER, H. F. [1990]: Outline of EPIC, a new ethod for factoring a reduced correlation atrix. Paper presented at Society of Multivariate Experiental Psychology. Providence, RI. KIERS, H. A. L. [1994]: SIMPLIMAX: Oblique rotation to an optial target with siple strucrure. Psychoetrika. 59. évf. 4. sz old. LORENZO-SEVA, U. [000]: he weighted obliin rotation. Psychoetrika. 65. évf. 3. sz old.

13 990 DR. HAJDU: ROÁCIÓ AZ EGYSZERŰ FAKORSRUKÚRÁÉR LORENZO-SEVA, U. [003]: A factor siplicity index. Psychoetrika. 68. évf. 1. sz old. NEUHAUS, J. O. WRIGLEY, C. [1954]: he quartiax ethod: an analytic approach to orthogonal siple structure. British Journal of Statistical Psychology old. NEVELS, K. [1986]: A direct solution for pairwise rotations in Kaiser s variax ethod. Psychoetrika old. EN BERGE, J. M. F. [1984]: A joint treatent of VARIMAX rotation and the proble of diagonalizing syetric atrices siultaneously in the least-squares sense. Psychoetrika. 49. évf. 3. sz old. EN BERGE, J. M. F. [1995]: Suppressing perutations or rigid planar rotations: A reedy against nonoptial variax rotations. Psychoetrika old. WHERRY, R. J. [1984]: Contributions to correlational analysis. Acadeic Press. New York. SUMMARY he article gives a coprehensive overview of the syste of the factor rotation technics, siplicity criteria and indices, including both the orthogonal and the oblique procedures. Besides, the weighted algoriths (weighted Variax and Obliin) are also discussed.