¾

Átírás

1 ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö ÃÖ Ø È ÒÒ ÇÔØ Ñ Ð ØÐ Ò Ö Ö Ó Ò ËÞ ÓÐ ÓÞ Ø Ð ÐÑ ÞÓØØ Ñ Ø Ñ Ø Ù ÅË ËÞ Ñ Ø ØÙ ÓÑ ÒÝ Þ Ö ÒÝ Ì Ñ Ú Þ Ø Ð Ø Ñ Ú Þ Ø ÖÞ ¹ÃÓÚ Ö ÇÔ Ö ÙØ Ø Ì Ò Þ Ã Ð Ø Ñ Ú Þ Ø Ì ÔÓÐ Â ÒÓ Å Ì Ú ÞÐ Å Ò ÓÖÑ Ø Ì Ò Þ Ù Ô Ø ¾¼½

2 ¾

3 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Ú Þ Ø Ú ½º ØÐ Ò ½ ½º½º Ð Ø Ñ Ó ÐÑ Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½º ÅÓØ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º¾º Ð Ø Ö Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º½º º ÇÔØ Ñ Ð Þ Ð Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ØÐ Ò Ô Ö Ö Ð Ð ÓÒØ Ð s¹t Ö Ò Þ Ð º º º º º º º º º º º ½º¾º½º ØÐ Ò Ô Ö Ð Ø Þ ¾¹ Þ Ö Ó Ò º º º º º º º º º º º º ½º¾º¾º Ð Ð ÓÒØ Ó Ñ Þ Ö ÞÙ ÓÔØ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Þ ÓÔØ Ñ Ð Þ Ð Ð ØÓ ØÙÐ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º º½º Ý Ð ÓÖÐ Ø Þ ÓÔØ ÑÙÑÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º º¾º ÆÈ¹Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º º º Å Ü Ñ Ð ÐØ Ö Ý Ò Ð Ð Ö Ú ØÔ Ö ÓÞ Ô Ø º º º º ½ ¾º Ä Ö Ú ØÔ ÖÓ Ö ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ½ ¾º½º Ð Þ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º º Ì Ö Ò Ø Þ Ö Þ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½º Ä Ô Þ Ñ Ð ÑÞ Ö Þ ØÚ Þ Ð Ò Ð º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½º ÈÓÒØ Þ ÙÒ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º¾º ÁÖ ÒÝ Ø ØÐ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º º ÅÙÐØ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º º Æ Ø Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ÐØ ò ØÐ Ò Ô Ö Ö Ö º½º ÇÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ Ø ÁÄÈ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º À ÙÖ ÞØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½º À ÙÖ ÞØ Ð Ö Ú ØÔ ÖÓ Ð Ô Ò º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾º Ê Ð ÓÖ ØÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

4 Ì ÊÌ ÄÇÅ à º¾º º ÙÖ ÞØ Þ ÓÒÐ Ø Ø Ô Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º À Ú Ø ÓÞ Ó ¼

5 Ã Þ Ò ØÒÝ ÐÚ Ò Ø ËÞ Ö ØÒ Ñ Ñ Þ ÒÒ Ø Ñ Ú Þ Ø ÑÒ ÞØ Ö Ò Ø Þ Ñ Ñ Ö Ø ÑÓ¹ Ø Ø Ñ Ø Þ Ú ÓÖ Ò Þ ÓÐ ÓÞ ØÓÑ Þ ÐÐ Ø Ò Ð ÔØ Ñ ÖÞ ¹ÃÓÚ Ö Ò Ð Ø Ñ Ø ÔÓÒØ Ò ÑÓ Ø Ø ÐÑ Ø Ö ÐÑ Ú Ð Ú Ú Ð ÔÖ Ð ¹ Ó ÓÒ Ó Ú Ð Ø Ø ØØ Ò Þ Ò Þ ÙØÓÐ Ô ÐÐ Ò Ø Ø ÐÑ Ò Ö Ð Ø ØØ Ø ÓÒ ÓÐÒ ÒÝÞ Ö ÞÐ Ø Ø Ì ÔÓÐ Â ÒÓ Ò Þ Ò Ó ÓØØ ÙØ Ø ÓÔÓÖØ Ý Ñ Ö ÌÅÁÌ Ø Ò Þ Ò ÓØØ ÓÒ ÖÞ Ñ Ñ Ñ Ñ Ò Ú Ò Ý Ò Ô Ö Ð ØÐ Ø Ú Ý Ý Ú Þ Ú º Æ ÝÓÒ ÐÑ ÒÝ ÚÓÐØ Ý ØØ ÓÐ ÓÞÒ º

6 Ú

7 Ú Þ Ø ÓÐ ÓÞ ØÓÑ Ø Ö Ý Ñ Ò Ð ÐÝ ØÐ Ò Ô Ö Ö Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò ÐÝÓÞÓØØ Ö Ó Òº ÒÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ú Ð Ð ÒØ Ú Ò Ø Ú ÞÐ Ð Þ ØÓ Ú ÐÑ ¹ Òº ÓÐ ÓÞ Ø Ö Ò Ø ½¼ ¾¼½ ¹ Á ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò ÓÒ Æ ØÛÓÖ ÈÖÓØÓÓÐ ÓÒ Ö Ò Ö Ú Ð ÞØÓØØ Ð ÓØ Ñ Ò ÑÙÒ ÓÐÝ Ñ Ø Ò Ø Ñ ¹ Ú Þ Ø ÑÑ Ð Ý ØØ ÚÓÐØ Ð ÐÑ Ñ Ö ÞØ Ú ÒÒ º Þ Ð Þ Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÑÙØ Ø Þ ÐÑ Ð Ø Ö Ñ ÒÝ ØØ ÒØ Ø ÖØ ¹ Ò º Ñ Ó Þ Ø Ø ÔÓÒØ Þ ØØ Ñ Ò Ñ Ð Þ ÐÝ ØÔ ÖØ Ö ËÙÙÖ ÐРй ÓÖ ØÑÙ ÐØ Ð ÒÓ Ú ÐØÓÞ Ø Ø Ý ÓØØ r Ñ Ò Ò Ñ Þ ØØ Ý Þ ÖÖ ÐÝ Ò ØÔ ÖØ Þ ÑÓÐ ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ö ÞÐ Ø Ð Ö Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ì Ö Ò Ø¹ Þ Ö Þ Ø Ò Ñ ÖØ Ø Ú Ð ÐÝ ÞÓÒÝ Ø Ú Ð Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ ÝÞ Ð Ö Ð Þ ØÚ ÞÓÒÝ Ø Ð Ô Ø Ö ÞÐ Ø Ò Ø Ö Ý ÐÚ º Þ Þ ÖØ Þ ÓÐ ÓÞ Ø Ø Ö Þ Þ Ñ ÖØ º Þ Ø Ò Ñ Ò Ð ÐÝ ØÐ Ò Ô Ö Ö ¹ Ö ÓØØ Ý Ð ÓÖ ØÑÙ Ù Ý Ò ÞÙ ÖÙØ Ò ÒØ ÞÒ Ð ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Þ ÙØ Ô Ð ÓÐÚ Ñ ØØ ÙØ ËÙÙÖ ÐÐ ÐØ Ð ÓØØ Ø ÐÞ ÞÓÒÝÓ ØÙÐ ÓÒ Ò Ñ Ð º Î Ð ÖÑ Þ Ø Ò Ø ÒÝÐ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ø Ð Ø ØÙÒ Ð Ø Ð Ö Ø Þ ÖØ ò Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö Ñ ÒØ Ñ Ò Ñ ÓÐ ÓÔØ Ñ Ð ÞØ Ñ ÓÐ Ò Ò ¹ ÝÓ Ö Ó Ö Ö Ñ ÒÝØ Ð Ò Ð Ð Ò ÒÝ ÝÓÖ ÙÖ ÞØ Ø Ñ Ð Ð ÓÒØ Ð s¹t Ö Ò Þ Ð Ô ÞÒ Ô ÖØ Ý Ö Þ ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ö Ñ ÒÝ Ø ÞÒ Ð Ðº Ú

8 Ú

9 ½º Þ Ø ØÐ Ò ½º½º Ð Ø Ñ Ó ÐÑ Þ ½º½º½º ÅÓØ Ú Ñ ÖÒ Ý ÓÐ Ø Ò ÐÑ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ý Ó Ý Ò Ð Ø Ý ÒØ ÖÒ ØÔÖÓØÓ ÓÐÐ Áȵ Ð Þ Ø Ò ÓÐÝ Ò Ñ Þ Ø ÓÖ ÐÓÑ Ö ÒÝ Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ø ÖÚ ÞÒ Ó Ý Ý Ú Þ Ø Ú Ý ÓÑ ÔÓÒص Ñ Ó Ø Ò Ô Ð Ý Ò ÓÑÑÙÒ ÐÒ Þ Ñ Ø ¹ Ô º ÖÖ Ñ ÓÐ Ð Ø Ý Þ ÖÖ Ø Ð Ø Ð Þ ÙÒ Ø ØÚÓÒ ÐÓÒ Ð ÓÑ Ó Ø Ú Ý Ø Ò Ø Ô ÓÐÙÒ Ý ÐØ ÖÒ Ø Ú ØÚÓÒ ÐÖ ÑÙÐØ Ô Ø ÖÓÙØ Ò µ Ý Ò Ñ ÐÐ Ð ÓÖ ÙÐ ÓÖ Ñ Ú ÖÒ Ñ Ö ÐØ Ö Ô ÞÞ Ð Þ ØÓØ Ö Þ ÑÓÐÙÒ Ñ Ò Òغ À Ò Ñ ÓÖ ÙÐ Ð Þ Ñ Þ Ö ÓÖ ÒØ Ø Ð ÐØ Ø Øº ÁÐÝ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ñ Ö Ð ÞØ Ð ØØ ÐÐÒ Ñ Þ ÖÓ ÞÙÐ Ð Þ Ò Ò Ý ¹ Ð Þ ØÓ Ò Ó Ð Ò Þ ØÚÓÒ Ð Þ ÑÓÒØ ÖØ Ò ÝÓÒ Ó ÐÝ Ø Ó Ð Ð Ô Ð ÙÐ Ñ Ò Ò ÖÓÙØ Ö Þ ÑÓÒØ ÖØ Ñ Ò Ò Ø Öع Ð ÓÞ Ð Ò¹ Ð Ò k Ö ØÚÓÒ Ð Ø ÓÖ k n 2 ÝÞ Þ ÓÐ n Ó Þ Ñ µº ÇÐÝ Ò Ñ Ö Ð ÐÑ ÞÓØØ ØÓÚ Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ö Ô Ø Ò Ø Ò Ø ÓÒ¹ ÓÔ¹ ݹ ÓÔ ÓÖÛ Ö Ò µ ÓÐ ÖÓÙØ Ò Ø Ð Ð Ô Ò Ð Ö ÓØØ Þ ØÚÓÒ Ð Ð Þ Ø Ö Ò Ý ÓØØ r ÓÑ ÔÓÒØ Ð ØØ Ñ Ò Ò ÓÑ ÓØ Ý Ò Ð Ø Ò Þ Þ Ð Ñ Ò Ò x ÖÓÙØ Ö ØÙ Ó Ý Þ Þ r ÓÑ ÔÓÒØ Ñ Þ ØØ ÓÑ Ó Ø Ñ ÐÝ f(x) Ö ÒÝ ÐÐ ØÓÚ Ð Ò Þ Þ Ò Ý ¹ ÒÝ Ø Ø ÖÓÞÒ Ñ ÔÖ Ø Ù Ò Ð Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ð Ö Ú ÙØ ÒÝ Øµº Þ ØÐ Ø Þ Ó Ý k Ð Ò Þ ÐÝ Ò Ø Ø ÖØÙÒ Þ ÑÓÒ Ñ Ò Ò Ð ÓÞ Ñ ÐÝ Ý Ñ Ò Ò Ø ÖØ Ð k ØÚÓÒ Ð Ø Ø ¹ ÖÓÞÒ Ñ Ð º Ý Ñ Ò Ò ÖÓÙØ ÖÒ Ð Ð Ð k n Ð Ð Ø ØÓÚ Ø Ø Ñ Ý ÞÒ Ñ Ð Ò Ö Þ Ñ Ò Þ Ñ Ò ÒØ Ò ÝÞ Ø Ðµº ØÓÚ ¹ Ò k = 2 Ø Ø Ú Þ Ð Ù º Ì Ø Ú Þ Ó Ý Ø Ø Ý Ú Ð ÞÙ Ñ Ó Ý Þ ÓØØ Ð Ñ Ò¹ Ò Ñ Ð Ò ÙØ Ý¹ Ý ØÚÓÒ Ð Þ ÙÒ Ø Ð Ý Ò Þ Ò ÝÖ ÞØ ½

10 ¾ ½º ØÐ Ò Ò Ð Ý Ò Þ Ý ÔÓØØ ØÚÓÒ Ð Ó Ð Ó Þ Ð Ø Ð Ö Ú ØÒ Ð Ñ Ö ÞØ Ø Þ Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑÙ ¹ Ø Ö ÒÝ Ð Ñ Ð ÒØ Ò Ð Ö ¹ Ú ÙØ Ø Þ Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑ٠غ Þ Ð Ô Ò Ö ÐÑ Ð Ø Þ Þ Ð Ú Þ Ð Ø Ö Ø ÔÙÒ º ½º½º¾º Ð Ø Ö Ó Ò Ä Ý Ò G = (V,E) Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ý Þ Öò Ö V = n E = mº Ñò Þ Ö Ð Ú Ø Þ Ò Ú Ø Þ ÞÚ ØÐ Ò Ð ½º½º Ò Ê ÙÒ Ò µº Ä Ý Ò T 1,T 2,...T k k Ö G¹ Ò r V(G) Ý Ð ÐØ º Ì Ý Ð Ó Ý Ñ Ò Ò v V Ð Ð Ø Þ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò r¹ Ú Þ Ø Øº ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Þ r Ý Öò Ö ÙÒ Ò ÖÑ ÐÝ Ð Ø Ð ÝÚ Ö Ð ØÓÚ Ö Ð Þ Ø Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ð Þ r¹ Ð Ð Þ Ý Òº ÌÓ¹ Ú ÔÓÒØÖ ÙÒ Ò Ò Ò Ú ÞÞ Ø ÖÑ ÐÝ v r ÔÓÒØÓØ Ö ÐÐ Þ Ð Øµ Ð ÝÚ Ö Ð ØÓÚ Ö Ð Þ Ø ÖÑ ÐÝ ÔÓÒØ Ð Þ r¹ Ð Ð Þ Ý Òº ËÔ Ð Ò k = 2 Ø Ò ÔÓÒØµÖ ÙÒ Ò Ô ÖÖ Ð Þ Ð Ò º Å Ú Ð k = 2 Ø Ø Ó Ù Ú Þ ÐÒ Ø ÒØ Ú Ø Þ Ò Ø ½º¾º Ò ØÐ Ò Þ Ø µº Ä Ý Ò T 1 T 2 Ø Þ Ø G¹ Ò r V(G) Ý Ð ÐØ º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý T 1 T 2 r¹ е ØÐ Ò G Ñ Ò Ò r¹ø Ð Ð Ò Þ v Ø Ò v¹ Ðr¹ T 1 ¹ Ò ÐÐ ØÚ T 2 ¹ Ò Ú Þ Ø Ý ÖØ ÐÑò ÙØ Ð Ð Ðµ Þ ÙÒ Ø º È Ð ÙÐ Ø ÒØ Þ ½º º½º Þ Þ Ò Þ ½º¾ º Ö Ò Ð Ø Ø Ô ÖÓ Ð ÐÐ ØÚ Ð Ð ÐØ ØÐ Ò Ô Öغ ½º º ýðð Ø º Ä Ý Ò T 1 T 2 Ø G¹ Ò r V(G)º ÓÖ T 1 T 2 ÓÖ ÓÖ Ö ÙÒ Ò Ô Ö Ð ØÐ Ò Þ Ø Ô Ö ÓÖ ÓÖ ÔÓÒØÖ ÙÒ Ò Ô Ö ØÐ Ò Þ Ø Ô Öµº Å Ú Ð Þ Ó ÞÓÖ ÒÝ ÐÑ ØÐ Ò Ô Ö Ò Ú Ð Ó ÙÒ ØÓÚ ÓÐ ÓÞÒ º ½º º Å ÝÞ º Þ Ð ØÐ Ò Ý Ò ÐØ Ø Ð Ñ ÒØ Þ Ø Ð Þ ÙÒ Ø ¹ Ø Ú Ø ÐÒ Ò Ñ Ôк Ð Ý Ò G Ý Ó Þ Ö Ò Ð Ø Þ Ð ØÐ Ò Þ Ø Ô Ö Ò Ñ Ð Ø Þ Ð Þ ÙÒ Ø Þ Ø Ô Öº À ÞÒÓ Ð Þ Ú Ø Þ ÞÖ Ú Ø Ð ½º º ýðð Ø º Ì Ý Ð Ó Ý (T 1,T 2 ) r¹ е ØÐ Ò Ô Öº ÁÖ ÒÝ Ø Ù T 1 T 2 Ð Ø r Ð º ÓÖ Ò Ñ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò uv Ð Ñ T 1 ¹ Ò T 2 ¹ Ò Þ Ö Ô Ð Ù Ý Ò ÞÞ Ð Þ Ö ÒÝ Ø Ðº

11 ½º½º Ð Ø Ñ Ó ÐÑ Þ ÞÓÒÝ Ø ÁÒ Ö Ø Ø Ý Ð Ó Ý uv T 1,T 2 º ÓÖ u Ð T 1 T 2 Ð u r Ø Ð Ð uv Ñ ÖØ Ñ Ò Ò Ð Ý T 1 ¹ Ð Ý T 2 ¹ Ð Ð ÑÙØ Ø Ø Ð º Ì Ø Þ u r ÙØ Ò Ñ Þ ÙÒ Ø Ø Ò Ñ Ð Þ ÙÒ Ø Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ô Ö Ðµ ØÐ Ò Ò º ½º º Ò Ð Ø Ý Ö µº ÓØØ r Ý Öò T Þ Ø Ò ÖÑ ÐÝ v Ð Ý ÖØ ÐÑò Ø Ú Þ Ø Ð Ð µ r¹ º ÞØ v¹r ÙØ Ø Ð Ð P(T,v)º À ÐØ ÒØ Ò Þ ØÚÓÒ Ð Ó Þ Ò Ð Ö Ú Ø Ø Ð ÓÖ Ñ Ö Þ Ò Ø Ð Ø¹ Ð Ò Ú Ð Ð Ø ÓÐÝ Ò ÖÓÙØ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐØ Ð ØÖ ÓÞÒ Ñ Ò Ò Ð Ñ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÐÐ Ý Ð Ò º ½º º ÈÖÓØÓ ÓÐÐ Ã Ø ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ð Ö µº Ä Ý Ò (T 1,T 2 ) Ý r¹ Ð ØÐ Ò Ô Öº Þ Ò Ø Ð u Ð v ½º u Ð Ð Þ Þ Ò Ø Ø r Ý ÖÒ Ð Ð µ Ñ Ò Ø Ò Þ Ð Ñ Ò Ò v Ò Ø Ñ Ò Ø Ð Þ Ð Ø Ñ ÖÒ µ ¾º Ñ ÓÖ Ý Ö Ñ Ô Þ Þ Ò Ø Ø ÓÖ Ð Ð Ð Ð µ P(T 1,v) P(T 2,v) ØÓÒ v¹ò Ú Ý Ö Ñ Ò Ò Þ Ø Ð Ñ Ò Ø Ò Ý Ò Ò Ò Ñ ÐÐ Ñ ÖÒ v¹ Ú Þ Ø P(T i,v) ÙØ Ø Ø Ý Ö Ø Òµº Å Ú Ð Þ ½º½º Ò Þ Ö ÒØ ÐØ ØØ Ó Ý Ð Ð Ý Ð Ö Ð Ñ Ð Ð Ð Ð Ð Ú Ö Ð Þ Þ Þ Ò Ø ØÓÚ Ø Ð Ð Þ Ý ØÓÒ Ø Ø Ú Ð Ò Ý Ð¹ Ú ÐÑ Ø ÞØÓ Ø ÔÖÓØÓ ÓÐк È Ö Þ Þ Ó Ý Ý ØÐ Ò ÓÒ Ñ Ò Ò Þ Ò Ø Ø Ð ÝÖ ÞØ Ö Ð ÒÒÝ Ø Þ Ð Þ ØÓØ Ñ Ö ÞØ Ö Ò Ø Ö Ð Þ r ÓØ Ö ÙÐ Þ Ø Ó Þ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð Ø Ò Þ ÒØ ÞØÓ Ò ÞÙ ÓÔØ Ñ Ð Ö Þ Ò Ø Ò ÒØ Ý O(n) Ö Þ Ò Ø Ð Ø ÖØ Ò ÓÖ Ð Ð Þ Þ Þ Ø Ð Þ Þ Ò Ø Ø Ñ Ò Ò Ð Ò Ð Ð ¾ Ö µº Î ÞÓÒØ Ý ÐØ Ð Ò Ñ Ò Ò Ò Ú Ò ÓÖÑ Ø ÐÐ Ø ÖÓÐÒ Ñ ÒØ Þ ½º½º½º Þ Þ Ò ÐÚ ÞÓÐØ Ñ Þ ÖÒ Ð Ñ ÓÖ Ñ Ò Ò r Ð Ö Ð Ò Ô ÖØ Ø ÖØÙÒ Þ ÑÓÒº Å ÒØ ÞØ Þ ½º¾º½º Þ Þ Ò Ð ØÒ Ó Ù ¾¹ е Þ Ö Ò Ðµ ØÐ Ò Ô Ö Ö Ð Ø O(m) Ò Ò Ñ ¾¹ Ð Þ Ò Ô Ò Ñ Ð Ø Þ µº ÓÐ ÓÞ Ø Ø Ñ Ú ÞÓÒØ ÐÝÓÞÓØØ Ø Ò Ñ Ò Ð Ó Ô Ö Ñ Ø Ð Ð Ñ Ñ Ö ÓÒÝÓÐÙÐØ ÔÖÓ Ð Ñ º ½º½º º ÇÔØ Ñ Ð Þ Ð Ð ØÓ Ì ÒØ G Ð Ò c : E R + ÐÝ Ú ÒÝØ Þ Ð ÐÑ Þ Ò Þ Ð Þ Ø Þ ÓØØ Ð µº Í Ý Ò ¾¹ Þ Ö Ò Ñ Ò Ð Ø Þ ØÐ Ò Ô Ö ÑÓ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ÖØ Ð Ñ Ò Ð ÐÝ Ô ÖØ Þ Ö ØÒ Ò Ñ Ø Ð ÐÒ º Ý Ô Ö ÐÝ Ø Ø Ð Ñ ÓÒ Ð Ø Ò ÐÒ Ñ Ñ Ñ ÓÔØ Ñ Ð Þ Ð Ð ØÓ ÓÞ Ú Þ ØÒ º

12 ½º ØÐ Ò ½º º Ò ÈÓÒØ Ð Ø Ò ÐÝ µº Ý v Ö T ÞØ Ò P(T,v) v¹r Ø Ð Ò Þ ÐÝ Ø Ð Ð c T (v) = c(e)º e P(T,v) Þ ½º½º½º Þ Þ Ò ÙØ ØÓØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ½¼ ÐÙÒ Þ Ó Ý Ó Ø Ð r¹ Ú Þ Ø ØÔ ÖÓ Ó Þ Þ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ð Ý Ò Ý ÒØ Ú Þ ÐØ Ð Ú ÒÝ Ò Þ Þ Ø Ø ÒØ º ½º º Ò ØÐ Ò Ô Ö Þ ÐÝ µº Ý (T 1,T 2 ) Ô Ö Þ ÐÝ Ð Ý Ò c(t 1,T 2 ) := (c T1 (v)+c T2 (v))º v V \{r} ÐÙÒ ÞØ c(t 1,T 2 ) Ñ ÒÒÝ Ø Ñ Ò Ñ Ð Þ ÐÒ Ø Ø ÓÐ Ò Ñ ÑÓÒ Ù Ð Ò ÓØØ ÖÖ ÓÔØ Ñ Ð Þ ÐÙÒ µº Þ Ò Ú Ð Ú Þ ÐÙÒ Ñ Ý Ñ Ð Ú ÒÝØ Ñ Þ Ð Þ Ö Ú Þ Ø Ò Ñ Ø Ó ÐÑ Øº ½º½¼º Ò Ð Ö Ú ØÔ Ö Ò Þ ÐÝ µº  РРv V\{r} Ö d 2 (v) := min{c(p 1 )+c(p 2 ) : P 1,P 2 Ð Ð Þ ÙÒ Ø v¹r ÙØ } ÓÐ c(p) = e P c(e)µº ½º½½º Ò ÐØ Ö Ò Ð Ö Ú ØÔ Ö ÓÞ Ô Øµº Ä Ý Ò T 1,T 2 µr¹ ØÐ Ò Ô Ö ÓÖ Ý v V\{r} Ö Ð Ý Ò Gap T1,T 2 (v) := c T 1 (v)+c T2 (v) º d 2 (v) ÑÓ Ø Ú Ø Þ Ð Ú ÒÝ ÞØ Ñ Ö Ó Ý Ý Ð Ð Ñ ÒÒÝ Ö Ö Ø ÖÓ ÞÙÐ ÞÞ Ð Gap ÖØ Ð Ñ ÖÚ º ½º½¾º Ò Ä Ò ÝÓ Ð Ø Ö Ð Ö Ú ØÔ Ö ÓÞ Ô Øµº Ý Ô Ö Ø Ò Ð Ò ÝÓ Ð Ø Ö Ð Ö Ú ØÔ Ö ÓÞ Ô Ø MaxGap(T 1,T 2 ) = max v V \{r} Gap T 1,T 2 (v)º ÁØØ Ñ Ò Ñ Ð Þ ÐÒ Ý Þ Ò Ð Ú ÒÝغ ÒØ Ò Ø ÔÓÒØ ØÐ Ò Ð ÑÓÒ ØÙ Ð ØÐ Ò Ð Ø ÖÑ Þ Ø Ò ÒÐ Ò Ò Ð Ø º ØÓÚ Ò Ð ÔÓÒØ ØÐ Ò Ô ÖÓ Ö Þ ÙÒ Ø ÙØ Ö ÓÒ ÒØÖ ÐÙÒ º

13 ½º¾º ØÐ Ò Ô Ö Ö Ð Ð ÓÒØ Ð s¹t Ö Ò Þ Ð ½º¾º ØÐ Ò Ô Ö Ö Ð Ð ÓÒØ Ð s¹t Ö Ò Þ Ð ½º¾º½º ØÐ Ò Ô Ö Ð Ø Þ ¾¹ Þ Ö Ó Ò Ò Þ Þ Ò Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ñ ÒÒÝ Ò Ð Þ ØÙÒ ¾¹ Þ Ñ Þ ÐØ Ø Ð Ð Þ ½º½ º ýðð Ø Øµ ÓÖ Ð Ø ÞÒ ØÐ Ò Ø Ø Þ ÓÔØ Ñ Ð Þ ¹ Ð Ö ÖØ ÐÑ º Þ ØØ Ú Þ Ø ØØ Ó ÐÑ ÞÓÒÝ Ø Ò ÞÒ ÐØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Þ Ð Ô Ø º¾º½º Þ Þ Ð ØÐ Ò Ô ÖØ Ö Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ò º Ð Þ Ö ÞÞ Ò Ð Ò ÒÝ ÙÐ ÓÒØÓ Ó ÐÑ Øº ½º½ º Ò º Ý G ¾¹ Þ Ö Ð Ð ÓÒØ ÓÐÝ Ò (P 0,P 1,...,P k ) ÓÖÓÞ Ø ÓÐ P 0 Ý Ö P i 1 i kµ Ô ÓÐÝ Ò u i ¹v i Ø Ñ ÐÝÖ V(P i ) (V(P 0 ) V(P 1 ) V(P i 1 )) = {u i,v i } G = P 0 P 1 P k º ÐÒ Ò Ú ÞÞ P 1,...,P k ÙØ Øº ýðø Ð ÒÓ ØÓØØ Ð Ð ÓÒØ Ø Ò Ñ Ò Ó Ý P i Ø Ú ÔÓÒØ Ý Ò Ñ ÒÝ ÐØ Ð Ð ÓÒØ Ø Ò Ñ Ú Ø Ð Ó Ý Ð Ò ÞÞ Ò º Ð Ð ÓÒØ Ó Ú Ø Þ Þ Ñ ÖØ Ø Ø Ð Ñ ØØ ÓÒØÓ º ½º½ º Ì Ø Ðº Ý Ö ÓÖ ÓÖ ¾¹ Ð Þ Ú Ò ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ Ð Ð ÓÒ¹ Ø ÓÖ ÓÖ ¾¹ Þ Ú Ò ÒÝ ÐØ Ð Ð ÓÒØ º Ë Ø Ö Ó Ý Ò Ñ ¹ Ú Ð ÞØ Ø Ù P 0 ÖØ ÐØ Ð Ò ÖÑ ÐÝ Ò Ñ Þ ØØ (P 0,...,P l ) Ö Þ¹ Ð Ð ÓÒØ Þ Ø Ø Þ Þ Ö Ð Ð ÓÒØ Ú º ½º½ º ýðð Ø º À G Ö Ò Ð Ø Þ (T 1,T 2 ) ØÐ Ò Ô Ö ÓÖ G ¾¹ Þ º ÞÓÒÝ Ø Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ G¹ Ò Ú Ð Ñ ÐÝ r V(G) Ý ÖÖ Ò ÞÚ (T 1,T 2 ) r¹ ØÐ Ò Ô Öº Ð Ð Þ Ø Ø G¹Ò Ý ÒÝ ÐØ Ð Ð ÓÒØ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Òº Ã Þ Ø Ò Ð Ý Ò ØØ ÐÑ Þ {r} Ñ Ñ Ú Ò ØÐ Ò Ý ÙÒ Ð Ð ÓÒØ ÓÞ Ð Ø Ø ÒØ Ø Ø Þ Ð ØÐ Ò v V\{r} Ö P(T 1,v) P(T 2,v) Þ ÙÒ Ø ØÔ ÖØ Ñ Ò Ø ØÖ Ú ÞÞ Ð Ú Ø Þ Ø v¹ Ð Ò ÙÐÚ Ð ¹ ÙÒ Þ ØÓÒ Ú Ý Þ Ø Ð Ø Ð Þ Ñ ØØ ÓÞ Ò Ñ Ö Ò Þ Ð Þ Ð Ý Ú ÔÓÒØ º Å Ú Ð Ô Ö ÔÓÒØ ØÐ Ò ÚÓÐØ Þ ÖØ P(T 1,v) P(T 2,v) ÙØ ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø Ø Ø Þ Ý ÔÓØØ Ð Ð ÓÒØ ÒÝ ÐØ Ñ ½º½ º Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ ÞÓÒÝ Ø Ö ¾¹ Þ Øº ÑÓ Ø Ú Ø Þ Ó ÐÓÑ Ñ Ð Ô Ð Ñ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò ØÒ º Ã Ø Ú Ú Ð Ò Ú Ð¹ ØÓÞ Ø Ò Ñ Ó ÐÑ ÞÞÙ º ½º½ º Ò s¹t Ö Ò Þ µº Ä Ý ÒG(V,E) ¾¹ Þ Ö st E к Ý Ö Ò Þ Ó ÓÒ ÓÖ s¹t Ö Ò Þ v s,t¹ö s v t Þ Þ s Ñ Ü Ñ Ð t Ñ Ò Ñ Ð µ v¹ò Ð Ø ÞÒ ÓÐÝ Ò u w ÞÓÑ Þ Ó Ý u v wº

14 ½º ØÐ Ò Þ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Ú Ú Ð Ò Ú Ø Þ Ú Ð ½º½ º Ò s¹t Þ ÑÓÞ µº Ä Ý Ò G(V,E) ¾¹ Þ Ö st E к G Ò Ý g : V {1,...,n} Þ ÑÓÞ s¹t Þ ÑÓÞ µ ½ g(t) = n v s,t Ò Ð Ø ÞÒ ÓÐÝ Ò u w ÞÓÑ Þ Ó Ý g(u) < g(v) < g(w)º ÓÒ Ö Ø Ð ÐÑ Þ Ø Ð Ó Ý s¹t Þ ÑÓÞ Ø Ú Ý s¹t Ö Ò Þ Ø Ö Ñ ÞÒ Ð¹ Ò Þ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÔÖ Ø Ù Þ ÑÓÞ Ñ Ò Ú Ò Ñ Þ ÖØ Ø µ Ú ÞÓÒØ Ö Ò Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø Ö Þ Ò Ö Ò Þ Ñ Ù Ý Ò Ò Þ Ò Þ Ð Ø ÒÓÑ Ñ Þ Ö Ò Ø Ö Ø Ô Ð ÙÐ º¾º½º ÙÖ ÞØ Òº ½º½ º Ò s¹t Ö Þ ÒÖ Ò Þ µº Ä Ý Ò G(V,E) ¾¹ Þ Ö st E к Ý Ö Þ ÒÖ Ò Þ Ó ÓÒ ÓÖ s¹t Ö Þ ÒÖ Ò Þ v s,t¹ö s v t v¹ò Ð Ø ÞÒ ÓÐÝ Ò u w ÞÓÑ Þ Ó Ý u v wº Ö Þ ÒÖ Ò Þ Ð Ú Ú Ð Ò Ó ÐÓÑ Ú Ø Þ º ½º½ º Ò s¹t Ö ÒÝ Ø µº ÝG(V,E) Ö Ð Ò Ý Ð Ù Ö ÒÝ Ø s¹t Ö ÒÝ Ø s Þ Ý ØÐ Ò ÓÖÖ t Þ Ý ØÐ Ò ÒÝ Ð º ½º¾¼º ýðð Ø º Ý s¹t Ö ÒÝ Ø Ñ Ð ÐØ Ø Ø Ý s¹t Ö Þ ÒÖ Ò Þ Ò º ÞÓÒÝ Ø Ä Ý Ò x y Ð Ø Þ x y Ø ÒÝ ØÓØØ Øº Þ s¹t Ö ÒÝ Ø Ð Ý Ò ÐØ Ö Ð Ú Ð Ò Ö Ü Ú ÒØ Þ ÑÑ ØÖ Ù Ñ ÖØ Ö Ð Ù µ ØÖ ÒÞ Ø Úº Å Ö ÞØ Ö Þ ÒÖ Ò Þ ÓÖ Ñ Ö ÒÝ Ø Ù Ö Ð Ø Ý Ó Ý uv Ð u¹ Ð v¹ ÑÙØ ÓÒ u v ÓÖ s¹t Ö ÒÝ Ø Ø ÔÙÒ º ½º¾½º Å ÝÞ º Ý s¹t Ö ÒÝ Ø Ð Ö Ò Ð Þ Ö Ø Ø Þ Ð ØÓÔÓÐÓ Ù ÓÖÖ Ò Ý s¹t Ö Ò Þ Ò Ð Ð Ñ Ú Ý ÞÖ Ó Ý Þ Ù Ý Ò Ý Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ý ÖØ Ð¹ Ñò Ñ ÒØ Ö Þ ÒÖ Ò Þ Þ Ø Ø Ð Ö Ò Þ µº Þ Þ Ø Ø Ð Ú Ø Þ ÓÒØÓ Ø Ø Ð Ñ ÐÝ ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý ¾¹ Þ Ö Ò ÖÑ ÐÝ Ý ÖÖ Ò ÞÚ Ø Ð Ð ØÙÒ ØÐ Ò Ô Öغ ÞÓÒÝ Ø Ð Ñ º¾º½º Þ Þ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ð Ô Øº ½º¾¾º Ì Ø Ð ÁØ ÊÓ µº ¾¹ Þ G = (V,E) Ö Ò ÖÑ ÐÝ r V ¹Ö Ð Ø Þ r¹ ØÐ Ò Þ Ø Ô Öº ÞÓÒÝ Ø Ã Ø Ð Ô Ò ÞÓÒÝ ØÙÒ Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý ÒÝ ÐØ Ð Ð ÓÒØ Ð Ó Ý Ò Ô Þ Ø s¹t Ö Ò Þ Ð Ô ØÐ Ò Ô Öº

15 ½º¾º ØÐ Ò Ô Ö Ö Ð Ð ÓÒØ Ð s¹t Ö Ò Þ Ð ½º¾ º Ä ÑÑ º À G = (V,E) ¾¹ Þ st E Ø Ø Þ Ð Ð ÓÖ Ð Ø Þ G ¹ Ò s¹t Ö Ò Þ º ÞÓÒÝ Ø Î Ý G¹Ò Ý ÓÐÝ Ò (P 0,P 1,...,P k ) Ð Ð ÓÒØ Ø ÓÐ P 0 Ð Ô Ö Ø Ö¹ Ø ÐÑ ÞÞ Þ st Ð Ø Þ Þ P 0 = (v 0 =s,v 1,v 2,...,v q 1 =t,s)º Ä Ý Ò Ö Ñ ÒØ Ò v i 1 v i i = 1,...q 1µ Þ P 0 ¹ÓÒ Ý s¹t Ö Ò Þ Ø Ò Ö Ðº ÁÒÒ Ò Ò Ù Ú Ð Ø Ý Ð Ó Ý (P 0,P 1,...,P j 1 ) Ö Þ¹ Ð Ð ÓÒØ Ò Ñ Ö ÓØØ Ý s¹t Ö Ò Þ ÓÖ P j = (u 0,...,u m ) ÐÖ Þ Ö Ò Þ Ò u 0 u m w Þ u 0 ¹Ö Ö Ú Ø Þ Ð Ñ Þ Ö ÒØ ÓÖ Ð Ý Ò u 0 u 1 u m 1 w u m Ú Ý = u m µ Ñ Ñ Ö (P 0,P 1,...,P j ) Ö Þ¹ Ð Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ö Ð s¹t Ö Ò Þ Ø Ô u m u 0 ÓÖ ÓÒÐ Ò ÓÖ ØÚ µº ½º¾ º Å ÝÞ º Ð ÑÑ ÞÓÒÝ Ø Ð ÒÝ Ö Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ø O(m) Ò Ð¹ Ð ÓÒØ Ð s¹t Ö Ò Þ Ø Ô Þº ½º¾ º Ä ÑÑ º Ì Ý Ð Ó Ý ÓØØ Ý ¾¹ Þ G Ö s¹t Ö Ò Þ º Ð O(m) Òµ Ð ÐÐ Ø Ø Ý s¹ ØÐ Ò Þ Ø Ô Öº ÞÓÒÝ Ø ÁÖ ÒÝ Ø Ù Ñ G Ð Ø Ý Ó Ý uv Ð u¹ Ð v¹ ÑÙØ ÓÒ u v ¹ ÓÖ s¹t Ö ÒÝ Ø Ø ÔÙÒ µ Ú Ú Þ st ÐØ Ñ Ô t¹ Ð s¹ º Þ Ý ÔÓØØ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ö Ò Þ º Ã Ö Ò Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ò Ý s¹ Ð Ð Ö ÒÝ ØÓØØ Þ Ø ¹ ÒÝ Ø Þ Ð Þ T 1 Ý Ð Ö ÒÝ ØÓØØ Ø Þ Ð Þ T 2 º Ý T 1 T 2 Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ö Ò s¹ ØÐ Ò Ñ ÖØ Ý Ø Ø Þ Ð v Ð T 1 ¹ Ð Ø ÓÐÝ Ò u Ó ÓÒ Ð Ö ÞØ Ð Ñ ÐÝ Ö u v T 2 ¹ Ð Ô ÓÐÝ Ò w Ó ÓÒ Ñ Ö v w Ú Ú s¹ Ø ts T 2 µº Ì Ø ÓØØ s Ö Ð Ý Ø Ø Þ Ð s¹ö ÐÐ Þ st ÐÖ Ú ÒÒ G Ò Ý s¹t Ö Ò Þ Ø Ñ Ý Ð ÔÞ ØØ s¹ ØÐ Ò Þ Ø Ô Öغ ÒØ ÞÓÒÝØ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ ÒÝ Ö Ø Ñ ÐÝ Ý ¾¹ Þ Ö Ý ÓØØ ÒÝ ÐØ Ð Ð ÓÒØ Ð s¹t Ö Ò Þ Ø» Þ ÑÓÞ Ø Ö ÒÝ Ø Ø Ñ ØÐ Ò Ô ÖØ Ò Ö Ð O(m) Òº ÖÖ Ð Ñ Ò Ñ Þ ÐØ Ò Ó Ý Ð Ð ÓÒØ Ø Ó Ý Ò ÐÐ ØÙÒ Ð ÖÖ Ð º¾º Þ ¹ Þ Ò Ð Þ Þ ºµ Ñ Þ Ö Ý Þ Öò ÝÓÖ Ñ ØØ º¾º Þ Þ Ò Ñ ÖØ Ø ØØ ÙÖ ÞØ Ñ Ò ÖÖ Ô ÐÒ º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ý Þ Öò Ò Ø Ð Ø Ø ÞÚ ØÐ Ò Ð Þ Ð ØÐ Ò ØÖ º ½º¾ º Ì Ø Ð ÁØ ÊÓ µº Ä Ý Ò G Ý ¾¹ Ð Þ Ö r G Ý Ø Ø Þ Ð º ÓÖ G¹ Ò Ð Ø Þ Ø r¹ Ð ØÐ Ò Þ Ø º ÞÓÒÝ Ø À G ¾¹ Þ ÓÖ ÔÓÒØ ØÐ ÒÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Þ Ò Ú ÝÙÒ º À Ò Ñ ÓÖ ¾¹ Þ ÐÓ ÓÒ ÒØ Ð ØÙÒ ÓÒÐ Ò Ú Ø Þ Ô¹ Ô Òº Î Ý Ö Ñ Ü Ñ Ð ¾¹ Þ ÐÓ Ó Ö Ú Ð r B 0,B 1,...,B k Ð ÓÒØ Ø Þ O(m) Ò Ñ Ø Ø µº Å Ú Ð G ¾¹ Ð Þ Þ ÖØ Ò Ñ Ð ÞÒ ÐÚ Ð

16 ½º ØÐ Ò Ý Ó ÐØ Ð ÐÚ Ð ÞØÓØØ ÐÓ Ó Þ Ö Þ Ø Ö Ò Þ Ò º B 0 ÐÓ ÓØ Ý ÖÒ Ø ÒØÚ Ñ Ö ÒÝ Ø Ø Ù ÐÓ ¹ Ø B 0 ¹ Ð Ý Ñ Ò Ò B i i > 0µ ÐÓ Ò Ð Þ Ý B j Þ Ð Ñ Þ Ý r i ÐÚ ÔÓÒØØ Ð ØÐ ÓÞ º Ä Ý Ò r 0 := rº Ä Ý Ò Ñ Ò Ò B i ÐÓ Ò (T1 i,ti 2 ) ÔÓÒØ ØÐ Ò Þ Ø Ô Ö Ñ Ø ÒØ Ð Ô Ò ØÙ ÙÒ Ö Ò µº Þ Þ ÐÐ ÞØ Ð Ð ÐÐ Ø Ø T 1 = m i=0 Ti 1 T 2 = m i=0 Ti 2 Ñ r¹ Ð ØÐ Ò Þ Ø Ð ÞÒ º ½º¾º¾º Ð Ð ÓÒØ Ó Ñ Þ Ö ÞÙ ÓÔØ Ñ Ð Ø Ò Þ Þ Ò ØÐ Ò Ô Ö Ð Ø Þ Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞØÙÒ ÐÝÓÞ ØÐ Ò Ø Ò ÓÒØÓ ÞÓÒ Ò Ñ Ý ÞÒ Ó Ý ÐÝÓÞÓØØ Ð Ø Ò ÓÔØ Ñ Ð Ô Ö Ò Ñ Ñ Ò ÐÐ Ð Ð Ð ÓÒØ Ð Ðк s¹t Ö Ò Þ Ðµ Ø ÒØ Ô Ð ÙÐ Þ ½º½º Ö Ò Ö Óغ v 7 v 2 v 5 ½¼ ½¼¼ v 6 ½¼ ½¼ v 3 ½¼ v 4 ½¼ v 8 ½¼ ½¼ ½¼¼ ½¼ v 10 v 9 v 12 v 1 v 11 v 13 v 14 r µ ÇÔØ Ñ Ð Ô Öº Ó ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ð ØÔ Ö Ñ Ò Ò Ò Ð Ö Ú º r µ Ð Ó Ð Ð ÓÒØ Ð Ð ÐÐ Ô Ö Ó Ö ÖØ s¹t Þ ¹ ÑÓÞ Ò Ö Ð µº v 10 v 6 Ó Ð ØÔ Ö ½¼¹Þ Ð Ó Þ Ñ ÒØ Ó Ð Ö Ú ØÔ Ö º ½º½º Ö º È Ð ÖÖ Ó Ý Þ ÓÔØ Ñ Ð Ô Ö Ò Ñ Ñ Ò ÐÐ Ð Ð Ð ÓÒØ Ðº Þ Ö Ð ÐØ ¼º ½¼ ½º¾ º ýðð Ø º Þ ½º½º Ö Ò Ð Ø Ø Ö Ò Ý ÓÔØ Ñ Ð Ô Ö Ñ ÐÐ Ð Ð Ð ÓÒØ Ðº ÞÓÒÝ Ø Þ ½º½ º Ö Ò Ð Ø Ø Ô Ö ÓÔØ Ñ Ð Ñ ÖØ Ñ Ò Ò v ÓÞ ÓÐÝ Ò ØÔ Ö Ø ÖØÓÞ Ò Ñ Ò Þ Þ ÐÝ Ñ Ò Ñ Ð Ö Òº Ë Ø Ó Ý Ñ Ò ÖØ Ñ ¹

17 ½º¾º ØÐ Ò Ô Ö Ö Ð Ð ÓÒØ Ð s¹t Ö Ò Þ Ð ÑÙØ Ø Ù Ð ÒÝ Ò Þ Ý ÖØ ÐÑò ÐÝ Òº Î ÞÓÒØ Ò Ñ ÐÐ Ð Ð Ð ÓÒØ Ð Þ Ò (v 7,v 8,v 10,v 4,v 3,v 6 ) Ö Ø Ò Ö Ð s¹t Ö ÒÝ Ø Ò Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ð ÒÒ Ý s¹t Ö ÒÝ Ø Ð Ù Ð Ø Ñ ÖØ s¹t Ö Ò Þ Þ Ø ÖØÓÞ º ÅÓ Ø ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ñ Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ô Ö Ò Ù Ý Ò Þ ÓÒ Ð ÓÖ ÙÐ (v 7,v 8,v 10,v 4,v 3,v 6 ) ÖÖ Ðº ÞØ Ý Ó Ù Ð ØÒ Ó Ý Þ Ý Ó Ö Ñ Ú Þ Ð Ù ÓÐ Ð Ø Ö Ò Ð Ö Ú ØÔ Ö Ù r¹ Ú Þ ÞÓ Ø Þ Ð Ø Ñ Ò Ñ Ò Ò Ð Ø Ð Ö Ú ØÔ Ö Ò ÒÒ Ú ÒÒ Ý Ð Ñ Ú Ú Ñ Ö Ö Þ Ø ØØ Ð Ø µº Þ Ð Þ Ò ÓÖÑ Ð Ð Ô Ø Ô ÖØ ÞÒ ÐÚ Þ ½º º ýðð Ø Øº ½º Ð Þ Ö Ú Ý v 1 Óغ ÒÒ Ð Ö Ú ØÔ Ö ÙÔ ¼ Ð Ò Ú Þ Ø Ñ Ø Ð ÔÔ Ò Ð ÐÝ Þ ØÒ Þ Þ Ð Þ Ò Ú ÞÞ Ô ÖÓ Ò ÞØ Ø Ñ v 1 r Ð Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ Ø Ò µ ÓÖ v 14 r Ð ÓÞ Ø ÖØÓÞ v 11 v 13 Ô ÖÓ ÓÖ ØÓØØ º ¾º v 2 ØÔ Ö ¼ ÐØ ò ØØ Þ Ð Þ Ø Ý Ð Ñ Ú Ú Ü Ð v 2 v 1 Ô ÖÓ v 3 v 2 Ô ÖÓ ÓÖ ØÓØØ v 3 v 11 º º v 12 Ò Ð ÓÒÐ Ò v 12 v 14 v 12 v 10 ÓÖ ØÓØØ Ô ÖÓ v 10 v 13 Ô ÖÓ º º ÅÓ Ø Ø ÒØ v 4 ¾¼ Þ Ó Þ Ø Øº ÒØ Ò Ö Þ Ø ØØ Ð Ñ ØØ v 4 v 3 Ô ÖÓ v 4 v 10 Рغ º Ã Ú Ø Þ v 5 ØØ Þ ØÔ Ö ½½¼ Ó Þ Ð Þ Ø Ø v 6 Ð Ò ÙÐ Ø Ò Ñ Ö ÒØ Ø v 7 ÓØ Ø Ø v 3 Ð Ð Ø ØÓÚ v 2 Ð Ò ÙÐ Ø Ø Ø v 1 Ð º Ý Þ Ð Þ Ñ ØØ v 5 v 2 Ô ÖÓ v 5 v 6 v 6 v 3 º º À ÓÒÐ Ò v 9 Ò Ð v 9 v 12 v 9 v 8 Ô ÖÓ v 8 v 10 Ô ÖÓ º º v 7 Ò Ð Ñ Ò Ñ Ð ØÔ Ö Þ ÐÝ ¾¼ Ø Ø Þ ÙØ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø v 6 v 8 Ó Ø Ý v 2 v 12 Ð Ñ ØÒ º Å Ö ØÙ Ù Ó Ý v 13 v 11 Ô ÖÓ ÓÖ ØÓØØ º Î ÞÓÒØ Ò Ñ Ð Ø Ó Ý Ô ÖÓ Ø v 7 v 12 v 10 v 13 v 11 ØÚÓÒ ÐÓÒ Ò ÙÐ Ñ ÖØ ÓÖ v 7 v 2 v 3 v 11 v 13 Ð Ò ÙÐÒ Ø Ø Ò Ñ Ð ÒÒ Ò Ð Þ ÙÒ Ø º Ì Ø v 7 v 2 Ô ÖÓ v 7 v 12 º º v 6 Ð Ö Ú ØÔ Ö ¼ Þ ÐÝ Ø Ø Ý Ø Ñ Ú Þ Ø Ø v 5 Ð º Å Ú Ð ØÙ Ù Ó Ý v 6 v 3 Þ ÖØ v 6 v 7 Ô ÖÓ Ð Þº º À ÓÒÐ Ò v 8 Ò Ð v 8 v 7 Ð Þº Ì Ø (v 7,v 8,v 10,v 4,v 3,v 6 ) Ö Ð Þ Ö Ò Ð Ø Ø Ñ ÓÒ Ð ÞÒ Ò Ø Ø Ö Ó Ý Ò ÓÐÝØ Ø Ù Ô Ö Ô Ø Ø Ñ Ö ¼ ÐÝ µ Ð Ò Þ Ö Ñ ÒÝ Ò Ñ Ó Ð ÐÐÒ Ð Ð ÓÒØ Ðº

18 ½¼ ½º ØÐ Ò Þ ÓÒÐ Ø ÔÔ Ò Ø ÒØ Þ ½º½ º Ö Ò Ñ ÓÔØ Ñ Ð µ Ô Ö Ø Ñ Ô Ð ÐÐ Ð Ð ÓÒØ Ð s¹t Ö Ò Þ Ð Ó Ý ÞØ Þ Ö Ò Ð Ú s¹t Þ ÑÓÞ ÑÙØ Ø Ø Ð Ø Ø Ó Ý Ð ÐØ ò ÐÝ Ò Ô Öº ½º º Þ ÓÔØ Ñ Ð Þ Ð Ð ØÓ ØÙÐ ÓÒ Þ Ð Ø Ð Þ Þ c(t 1,T 2 ) Ð Ú ÒÒÝ Ð ÖÑ MaxGap(T 1,T 2 ) Ð ¹ Ú ÒÒÝ Ð Ó Ð Ð ÓÞ º ½º º½º Ý Ð ÓÖÐ Ø Þ ÓÔØ ÑÙÑÖ Ð Ö Ú ØÔ ÖÓ Þ ÐÝ Ð Ð Ð Ø Ô ØÙÒ c(t 1,T 2 )¹Ö º ½º¾ º ýðð Ø º d 2 (v) (c T1 (v)+c T2 (v)) = c(t 1,T 2 )º v V \{r} v V \{r} Þ ÓÐÝ Ò Ð ÓÖÐ ØÓØ Þ ÓÔØ ÑÙÑÖ Ñ Ò Þ ÖØ O(mlog (1+ m n ) n) Ò Þ ÑÓÐ Ø ¾º Þ Ø Ò ÑÙØ Ø Ö Ö Ð ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ð º Þ Ð Ð Ø Ð Þ Þ Ú ÒÒ ÓÐÝ Ò Ö Ó ÓÐ ØÙ ÙÒ ÑÙØ ØÒ ÓÐÝ Ò ØÐ Ò T 1 T 2 Ø Ñ ÐÝ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ó Ð r¹ ÙØ Ñ Ò Ñ Ð Þ ÐØ ò Þ ÙÒ Ø ØÔ ÖÓ Ø Ô Ð ÙÐ Þ ½º½ º Ö Òµº Þ Ú ÞÓÒØ Ò Ñ Ñ Ò Ø Ð Ð Ø Ñ ÒØ Þ ÆÈ¹Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ð Ö Ðµ ÒÒ Ð ÒØ Ó Ý Ý Ö ÐÝ Ò¹ ÆÈ¹Ø Ð º Ë Ø Þ Ò Þ Ñ Ò Ò Ú Ð Ñ Ø Ò Ñ Ò Ò k N¹Ö Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò Ö Ó Ý Ð Ö Ú ØÔ ÖÓ Ò Ñ Ø Ð k Ö Ö ÙÒ Ò Ú Ð Ð Ö Ò Ð Ô Ð Ø Ò ¾ µº Þ ÖØ Ö Ñ Ú Þ ÐÒÙÒ Ó Ý Þ Ð ÐØ Ð Ò Ñ ÒÒÝ Ö Þ Ð Ø Ð Þ ÓÔØ Ñ Ð ØÐ Ò Ô Ö ÐØ Ø Þ Þ Ñ ÒÒÝ Ö Ð Ý ÐØ Ð Ò ÓÔØ Ñ Ð ØÐ Ò Ø Ö Ò º ½º¾ º Ò ýøð Ó Ø Ó Þ ÐØ Ö Ð Ö Ú ØÔ ÖÓ ØÐ ÓÞ Ô Øµº  РРG = (V,E)¹Ö r V Ý ÖÖ Ð Ý Ò Gap(G,r) := c(t 1,T 2 ) v V \{r} d 2(v) ÓÐ (T 1,T 2 ) ÓÔØ Ñ Ð ØÐ Ò Þ Ø Ô Öº Gap(G,r) ÖØ Ø Ø Ö ØÙÐ ÓÒ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý ÒØ Ð Ð Ò ÒÝ ÞÓÖÓ Ð Þ Þ ÓÔØ Ñ Ð Ô Ö ÖØ º ½º ¼º Ë Ø º Gap(G,r) Ò Ñ Ð Ø Ò ÝÓ 5 3 ¹Ò к

19 ½º º Þ ÓÔØ Ñ Ð Þ Ð Ð ØÓ ØÙÐ ÓÒ ½½ ËÓ Ð Ö ÓÒ Ú Ð Ð Þ ØÓ ÓÒ ½¼ µ ÐÐ Þ Ø ÐÑ Ð Ø Ô Ð ÓÒ Ú Ð Ø¹ Ð ÒÒ Ð Ò Ö ÐØ Ö Ó ÓÒ ¼¼ µµ Ú Þ ØØ ÖÐ Ø Ð Ô Ò ½¼ Þ Þ Ö ÒÝ Ñ Ò 5 3 ½ Ð ØØ Ñ Ö Ø Ø Þ ½ ÖØ Ø Ñ Ð Ø Ñ º Þ 5 3 ¹Ó Ö ÒÝ Þ Ð Ø Ö Þ ½º¾º Ö Ò Ð Ø Ø Ô Ð Ó Ý ÞØ Ú Ø Þ ÐÐ Ø ÑÙØ Ø º M v 10 v 7 v 11 M M v 2 v 5 v 8 v3 v 6 v 9 M v 1 v 4 r µ G M Ö Ý ÐØ Ð Þ M¹Ñ Ð Ð ÐØ Ð Ý¹ Ý M Ó Þ ÙØ Ø Ð ÐÒ µº v 10 v 7 v 11 v 10 v 7 v 11 v 10 v 7 v 11 v 2 v 5 v 2 v 5 v 2 v 5 v 8 v 3 v 6 v 9 v 8 v 3 v 6 v 9 v 8 v 3 v 6 v 9 v 1 v 4 v 1 v 4 v 1 v 4 r µ v 7 Ð Ö Ú ØÔ Ö º r µ v 5 Ð Ö Ú ØÔ Ö º r µ ÇÔØ Ñ Ð ØÐ Ò Ô Öº ½º¾º Ö º È Ð ÓÐÝ Ò Ö Ð Ö ÓÐ Þ Ñ Ò Ú Ð Ú Ð Gap(G M,r) 5 3 º ½¼ ½º ½º ýðð Ø º  РРG M ÞØ Ö ÓØ Ñ ÐÝ Ò Þ ½º¾º Ö Ò Þ M¹Ñ Ð Ð ÐØ Ð Ø ¹ Ö Ð Ý¹ Ý M Ó Þ ØÖ º ÓÖ Þ M Ò Ú Ð Ú Ð ÞÓÒÝ Ø lim M Gap(G M,r) = 5 3 º Þ r¹ Ú Þ Ø Ð Ö Ú ØÔ Ö Þ Ó Þ v 1 v 3 v 6 v 4 Ó Ð v 8 ¹v 2 Ø v 9 ¹v 5 Ø Ð Þ Ò 2M Ö µ M+6 v 2 ¹v 10 Ø v 11 ¹v 5 Ø Ø Ð v 7 ¹ Ð Þ Ò 2M 1 Ö Þ Ø Þ ÒØ Ð Ò Ú ÞÞ Ð Ó Ò µ Ô 2M +8º Þ Þ 12M 2 +30M +36º ½º ¾º ýðð Ø º Þ ½º¾ º Ö Ò Ð Ø Ø Ô ÖÓ T 1 µ T 2 µ ÓÔØ Ñ Ð º ÞÓÒÝ Ø ÁÒ Ö Ø Ø Ý Ð Ó Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò (F 1,F 2 ) r¹ ØÐ Ò Þ Ø Ô Ö Ñ Ö c(f 1,F 2 ) < c(t 1,T 2 )º ÐØ Ø Ó Ý v 1 r Ð Ý v 4 r Ô ÖÓ º Ý Ð Ñ Ó Ý ÓÖ Ð Ó Ø v 2 ¹Ò Ö ÞØ Ð Ö Ø Ð Ñ ÖØ v 5 ¹ Ò Ö ÞØ Ð ÖÒ Ð Ø ÓÖ v 4 r Ô ÖÓ Ñ Øص v 11 v 5 v 6 v 3 v 1 r Ú Ð ÒÒ Ý ÐÚ Ò Ô ÖÓ Ø Ø Ð Ó Ð º

20 ½¾ ½º ØÐ Ò Å Ú Ð (T 1,T 2 )¹ Ò Ð Ó Ð ØÔ Ö Ó Þ G M ¹ Ð Ð Ö Ú ¹ Ò Ð Þ ÖØ Þ (F 1,F 2 )¹ Ò Ð Ð Þ Ý Ò Ö Ú ØÔ Ö Ú Òº Î ÓÒ ÓÐ ¹ Ø Ó Ý Þ Ý ØÐ Ò Ð Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø v 11 v 7 v 10 v 2 v 3 v 1 r Ñ Ú Ð Þ Ò (2M 1)(M 1) = 2M 2 3M +1¹ Ð Ò Ð Ó ØÔ Ö Ò Þ ÐØ (T 1,T 2 )¹ Ð Þ Ô Øº ÓÖ Ú ÞÓÒØ v 2 ¹v 8 Ø Ð Ô ÖÓ Ò Ð Ó ÓÒ Ö ÞØ Ð Ú Þ Ø Ø Þ Ø ÓÒÐ Ò v 5 ¹v 9 Ø ÓÞ Òµ Ñ Ñ Ö Þ Ò Ð Ð (2M 2)(3M +7 (M +6)) = 4M 2 2M 2¹Ú Ð Ò ¹ Ú Ð Þ ÐÝ Ø Ñ Ò ÝÓ Ñ ÒØ Ò Ñ ÖØ Ø Ø c(f 1,F 2 ) > c(t 1,T 2 ) ÐÐ ÒØÑÓÒ º Ì Ø (T 1,T 2 ) Ú Ð Ò ÓÔØ Ñ Ð º c(t 1,T 2 ) = 20M 2 +26M +32 Ø Ø lim Gap(G 20M 2 +26M +32 M,r) = lim M M 12M 2 +30M +36 = 5 3 º ½º º¾º ÆÈ¹Ø Ð Þ ÆÈ¹Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ÓÞ ½¼ Ú Ø Þ Ð Ò Ð Þ Öò Ð ÖÒ Ð ØÓØ ½º º Ò Å Ò ÑÙÑ Ä Ò Ø Ê ÙÒ ÒØ ÌÖ ÅÄÊ̵ ÔÖÓ Ð Ñ µº ÓØØ G(V,E) c : E R + Ð ÐÝ r k > 0º Ä Ø Þ ¹ ÓÐÝ Ò (T 1,T 2 ) r¹ е ØÐ Ò Ô Ö Ñ ÐÝÖ c(t 1,T 2 ) k ½º º Ì Ø Ðº Þ ÅÄÊÌ Ð ÒØ ÆÈ¹Ø Ð Þ Ð¹ ÔÓÒØÚ ÖÞ µº ÞÓÒÝ Ø Þ ÅÄÊÌ ÔÖÓ Ð Ñ Æȹ Ð Ñ ÖØ Ý Ñ Ð Ð (T 1,T 2 ) Ô Ö ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ø Ø Ò Þ Ò c(t 1,T 2 ) Þ ÑÓÐ ØÐ Ò ÐÐ Ò ÖÞ Ñ Ø Ø O(mn) Òµº Ì Ø Ð Ð ØÒÙÒ Ó Ý ÆÈ¹Ò Þ Þ Ú Þ Ú Þ Ø Ö Ú Ø Þ Ñ ÖØ ÆÈ¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ½º º Ò Æ ¹ Ë Ì ÔÖÓ Ð Ñ µº Ë Ì¹ ÓÞ ÓÒÐ Ò ÆÓع Ðй ÕÙ Ð ¹Ë Ø Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ Ò Ò Ð Þ ÔÓÒØÓ Ò Ð Ø Ö ÐØ Ø ÖØ Ð Ñ Þ Ú ÞÓÒØ ØØ ÞØ Ø ÒØ Ð Ø Ñ ÓÐ Ò ÓÐ Ñ Ò Ò Ð Þ Ø ÖØ ÐÑ Þ Þ Ñ Ð Ø Ö ÐØ º Ä Ý Ò(X,C) Ý Æ ¹ Ë Ì Ô Ð ÒÝ ÓÐX = {x 1,...,x n } Ú ÐØÓÞ C = {c 1,...,c n } Ð ÞÓ ÐÑ Þ º Þ Þ Ø Ò Ý G = (V,E) Ö ÓØ ÓÐ Ó r Ý Ö Ñ Ò Ò x i X Ú ÐØÓÞ ÓÞ x i t x i f Ò Ð ÐÒ Ñ µ Ñ Þ Þ Øµ ÐÐ ØÚ Ñ µ ÖØ ¹ Ñ Ò Ò c j C Ð Þ ÓÞ c j

21 ½º º Þ ÓÔØ Ñ Ð Þ Ð Ð ØÓ ØÙÐ ÓÒ ½ Þ Ð Ñ Ò Ò x i X Ú ÐØÓÞ ÓÞ x i t x i f Ó Ø Þ Ø r¹ö Ð ÝÑ Ð Ñ Ò Ò c j C Ð Þ ÓÞ x i c j ÓÖ (x i t,c j ) Ð Þ Ð x i c j ÓÖ (x i f,c j) Ð Þ Ðº ÐØ Ñ Ò Ò Ð Ò Ð Ý Ò ½ºµ ½º º Å ÝÞ º Ý v = x i t ÐÐ ØÚ x i f Ø ÔÙ Ó Ö d 2(v) = 3 v = c j Ø ÔÙ Ö Ô d 2 (v) = 4º ½º º ýðð Ø º ÓÖ ÓÖ Ð Ø Þ Ñ ÓÐ Þ (X,C) Æ ¹ Ë Ì Ô Ð ÒÝÒ G¹ Ò Ú Ò ÓÐÝ Ò ÓÔØ Ñ Ð µ T 1 T 2 µ Ô Ö ÓÐ c(t 1,T 2 ) = v r d 2(v) Þ ÞGap(G) = 1µº ½º º Å ÝÞ º ÁØØ Ø Ø Þ ÅÄÊÌ Ò Ò Ñ Ð Ò k = v r d 2(v) Ñ Ð Ð µº ÞÓÒÝ Ø Ä Ý Ò a : X {t,f} Ý ÖØ (X,C)¹ Þ ā Ô Þ ÐÐ Ò Þ ÓÐ ā(x i ) = t a(x i ) = fµº Â Ð Ð Ò Ñ Ò Ò c i C Ð ÞÖ x t(i) Ý ÓÐÝ Ò Ð Ø Ö ÐØ c i ¹ Ò Ñ Ò Þ ÖØ Þ Ð Þ a ÖØ Ñ ÐÐ ØØ Þ Þ Ú Ý x t(i) c i a(x t(i) ) = t Ú Ý x t(i) c i a(x t(i) ) = fµ ÓÒÐ Ò x f(i) Ý ÓÐÝ Ò Ð Ø Ö ÐØ c i ¹ Ò Ñ Ñ º Þ Ð Ô Ò Þ Ø Ð T 1 T 2 Ø T 1 = {(x j a(x j ),r),(xj ā(x j ),xj a(x j ) ) x j X} {(c i,x t(i) a(x t(i) ) ) c i C} T 2 = {(x j ā(x j ),r),(xj a(x j ),xj ā(x j ) ) x j X} {(c i,x f(i) ā(x f(i) ) ) c i C} ÓÐ Ø Ø x j a(x j ) Þ x j Ú ÐØÓÞ a Þ Ö ÒØ ÖØ Ø Ð Ò x j t Ú Ý xj f Þ xt(i) a(x t(i) ) Ô c i Ð Þ Ò Ý a Þ Ö ÒØ Þ Ð Ø Ö Ð ÓÞ Ø ÖØÓÞ x q Ú ÐØÓÞ a¹ Ð ÖØ Þ Ö ÒØ x q t Ú Ý xq f x f(i) ā(x f(i) ) ÓÒÐ Ò c i Ð Þ Ò Ý a Þ Ö ÒØ Ñ Ð Ø Ö Ð ÓÞ Ø ÖØÓÞ x q Ú ÐØÓÞ a¹ Ð ÖØ Ò ÐÐ Ò Þ Þ Ö ÒØ x q f Ú Ý xq t µµº Ì Ø T 1 Ø ÖØÓÞ Þ a ÖØ Þ Ö ÒØ Þ Ð Ø Ö ÐÓ ÓÞ T 2 Ô Ñ ÓÞº

22 ½ ½º ØÐ Ò c 1 c 2 x 1 t x 1 f x 2 t x 2 f x 3 t x 3 f x 4 t x 4 f r ½º º Ö º (X = {x 1,x 2,x 3,x 4 },C = {c 1 = {x 1,x 2,x 4 },c 2 = {x 1,x 2,x 3 }}) Æ ¹ Ë Ì Ð Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ö º Ý ÖØ x 1 = 1,x 2 = 0,x 3 = 0,x 4 = 1 Þ Ö Ò Þ Þ Ø ÖØÓÞ Ø Ð Ø Ù º ½¼ Þ ØÐ Ò Ñ Ò Ò Ö Ð Ö Ú ØÔ ÖØ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ ÖØ c i ¹ Ð r¹ {(c i,x t(i) a(x t(i) ) ),(xt(i) a(x t(i) ),r)} = P(T 1,c i ) {(c i,x f(i) ā(x f(i) ) ),(xf(i) ā(x f(i) ),r)} = P(T 2,c i ) Ð Ö Ú Ó Þ µ ØÔ Ö Þ ÙÒ Ø Ñ ÖØ x t(i) a(x t(i) ) x f(i) ā(x f(i) ) Ñ ÖØ t(i) f(i) ÓÖ Ó Ð Ò Ü Ð Ò Þ Ô t(i) = f(i) ÓÖ ā(x f(i) ) a(x t(i) )µ t(i) f(i) Ð Ø ÞÒ Ñ Ò Ò i¹ö Ñ ÖØ a ÖØ x i t x i f Ó Ð r¹ Ô Ñ Ð Ð Ó Þ ØÔ ÖÓ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º Ñ Ö ÒÝ ÓÞ Ð Ý Ò (T 1,T 2 ) ÓÐÝ Ò ØÐ Ò Ô Ö Ñ Ö T 1,T 2 Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ Ò¹ Ò Ö Þ Ý ÖØ ÐÑò Ð Ö Ú ØÔ Ö Ý¹ Ý Ø Ø Ô º x i f xi t Ó Ö µº Ý Ñ Ò Ò x i X¹Ö Þ {(x i t,x i f ),(xi f,r)} xi tr¹ùø Ø Ø ÖØ Ð Ñ ÞÞ Þ Ý Ñ Þ {(x i f,xi t),(x i t,r)} x i f r¹ùø Ø Ñ Þ Ò (xi t,x i f ) Ð Ò Ý ÓØØ Ð ÙØ Þ Ý Ö ÒÝ Ñ ØÒ µº Ì Ø ÖØ ÐÑ Ú Ø Þ ÖØ { t (x i a(x i ) := t,r) T 1 f (x i f,r) T 1 c i Ð Ö Ú ØÔ Ö Ò Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ ØØ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò x j Ú ÐØÓÞ Ñ Ö Ú Ý x j c i (x j t,r) T 1 Ú Ý x j c i (x j f,r) T 1 Ñ Ú Ð c i T 1 ¹ Ð Ø Ú Ý x j t Ú Ý xj f Ø ÔÙ ÓÒ Ö ÞØ Ð Ú Þ Øµº Ì Ø Ú Ò ÓÐÝ Ò Ð Ø Ö Ð c i¹ Ò Ñ Ò Þ ÖØ Þº À ÓÒÐ ÔÔ Ò c i Ñ Ø Ø Ô Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ T 2 Ø Ø Ú Ò ÓÐÝ Ò Ð Ø Ö Ð c i ¹ Ò Ñ Ò Þ ÖØ Ñ º Ì Ø a Ý ÖØ Ð Þ Æ ¹ Ë Ì Ð Ø ÓÞ Ý Ñ Ö ÒÝØ Ð ØØÙ º º Ì Ø Ñ Ú Ð Æ ¹ Ë Ì ÆÈ¹Ø Ð Þ ÖØ Þ ÅÄÊÌ Ú Ð Ò ÆÈ¹Ò Þ Ø Ø ÆÈ¹Ø Ð

23 ½º º Þ ÓÔØ Ñ Ð Þ Ð Ð ØÓ ØÙÐ ÓÒ ½ ½º º º Å Ü Ñ Ð ÐØ Ö Ý Ò Ð Ð Ö Ú ØÔ Ö ÓÞ Ô Ø Ö Ö Ó Ý MaxGap(T 1,T 2 ) ÖØ Ð Ð Ñ ÓÖ Ð Ø Þ ÖÖ Ò ÞÚ ÓÔØ Ñ Ð Ô Ö Òº ÆÝ ÐÚ Ò min T1,T 2 ØÐ Ò MaxGap(T 1,T 2 ) Gap(G,r)º ½º º Ë Ø º Þ ÓÔØ Ñ Ð Ô Ö Ò MaxGap(T 1,T 2 ) 2º ÒÒ Ð Ú ÒÝÒ Þ ÓÔØ Ñ Ð Þ Ð Ö Ù Ý Ò Ò Ñ Þ ÐØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ö ÓÖ Ò Ñ Ñ c(t 1,T 2 ) Ð Ú ÒÝÖ Ò ÞÚ ÓÔØ Ñ Ð Ô Ö Ò Ñ Ð Ø Ñ MaxGap Ö Ø ¼ ¾ ¹ Ø Ñº MaxGap(T 1,T 2 ) = 2 ÖØ Þ Ð Ø Ö Ø ÒØ Þ ½º º Ö Ò Ð Ø Ø Ô Ð Øº ½º ¼º ýðð Ø º Þ ½º º Ö Ò Ð Ø Ø G k Ö Ò v i v i+1 Ð ÐÝ 2 i Ð Ð ØÐ Ò Ð Ò Ô ¼ Ðݺ ÔÓÒØÓ Þ Ñ Ø Ò Ú ÐÚ G k ¹ Ò lim min k T 1,T 2 ØÐ Ò MaxGap(T 1,T 2 ) = 2º ÞÓÒÝ Ø Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ r¹ ØÐ Ò Ô ÖÓ Ý ÓÐÝ Ò (T1 k,tk 2 ) Ð Ó Ý G k ¹ Ò Ñ Ò Ò v Ö Gap T1,T 2 (v) < 2º Ð Ø Ù Ó Ý Þ Ý Ð ÔÔ Ò Ø Ð ØÖ Ñ ÓÖ Ú ÞÓÒØ v k Ö lim k Gap T1,T 2 (v k ) = 2º Å Ò Ò u i ¹Ö d 2 (u i ) = 0 Ø Ø Þ u i Ó Ð Ö Ú ØÔ Ö Ò Ý ÖØ ÐÑò Ñ ØØ rv 0 v 0 u 1 u 1 u 2...u k 1 u k u k r Ð Ò Þ ½º º Ö Ò Ð Ø Ø Ñ ÓÒ ÐÝ Þ ØÒ Ðº Ä Ý Ò v k r Ð Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ T 1 Ô ÖÓ v 0 r¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ T 2 Ô ºµ Î Þ Ð Ù Ñ ÓÖ Ò Þ u i v i Рغ Å Ò Ò ÐÝ Ò Ð Ò Ð Ð Þ Ý Ð ¹ Ø Ø Ý Ö Ð v i u i Ö ÒÝ Òº Å Ú Ð v 1 Ð Ö Ú ØÔ Ö ½ Þ ÐÝ ÐØ Ú Ò Þ Ö ÒØ Ò Ñ Ð Ø Ð ØÔ Ö Ø Þ Ö Ð Ö Ú ØÔ Ö Þ ÐÝ Ò Þ ÖØ v 1 Ô ÖÓ Ð Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø v 1 v 2 ÐØ Ø Ø v 1 u 1 ÐÒ Ô ÖÓ Ò ÐÐ Ð ÒÒ º À ÓÒÐ Ò Ò Ù Ú Ð Ø Ý Ð Ó Ý Ñ Ò Ò j < i¹ö v j u j Ð Ô ÖÓ Ñ Ú Ð v i Ð Ö Ú ØÔ Ö 2 i 1 Þ ÐÝ Ø Ø v i Ô ÖÓ Ð Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø 2 i ÐÝ v i v i+1 ÐØ Ø Ø v i u i Ð Ô ÖÓ Ð Øº Ý Ñ Ô Ù Þ Þ Ô ÖÓ Ø Ñ Ð Ú Ø Þ Ó Ý Þ ½º º Ö Ò Ð Ø Ø Ð Øº Þ Ý ÔÓØØ Ô Ö Ò k 1 c T1 (v k )+c T2 (v k ) = 2 i = 2 k 1 v k Ð Ö Ú ØÔ Ö Ò Þ ÐÝ G k ¹ Ò 2 k 1 Ø Ø i=0 lim Gap T 1,T 2 (v k ) = 2º k

24 ½ ½º ØÐ Ò 1 2 º º º 2 k 1 v 1 v 2 ººº v k v 0 u 1 u 2 ººº u k r µ Ä Ô Ö 2 i ÐÝÓÞ Ð v 1 v 2 ººº v k v 0 u 1 u 2 ººº u k r µ lim k Gap T1,T 2 (v k ) = 2 ½º º Ö º ÇÐÝ Ò G k Ö ÓÐ lim k MaxGap(T 1,T 2 ) = 2º

25 ¾º Þ Ø Ä Ö Ú ØÔ ÖÓ Ö ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Å Ú Ð ÙÖ ÞØ Ý Ö Þ Þ r¹ ÙØ Ð Ö Ú ØÔ ÖÓ Ð Ô Ò Ô Ø Þ Ö¹ Ñ Ð ÞÒ Þ Ø Ñ Ø Ð Ð Ð ÓÖ ØÑ٠غ Ð Þ Ö Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ò Ò ÑÒ Ø Ú Ð ÐØ Ö Ð Þ ÙÒ Ø ØÔ ÖÓ Ö Ø ÒØ Ð ØÓØ Ñ ÞØ Ð ØÒ Ó Ù ¾º º Þ Þ Ò Ó Ý Ò Ð Ø Ø Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò ÓÒÞ ÖÚ Ø Ú Ð ÐØ ò ÐÐ ØÚ ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø ØÖ º Þ Þ Þ Ò ÝÖ ÞØ Ð Ô Ø Ø Ú Ø Ã Ö ÐÝ ÓÐØ Ò Ð Ò Ø Ú Ð Ø ÓÐ ÓÞÚ Ø Ñ Ý Ö Þ ØÓ Ð Þ ØÚ Ð Ð Ò ÓÐ ÓÞ Ø Ø Ö Þ Þ ÞÓ º Ð Ø Ø Ú Ø Þ Ð Þ ½º ÈÖÓ Ð Ñ º ÓØØ G(V,E) Ö Ò Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ò ÑÒ Ø Ú c : E R + 0 Ð ÐÝÓ Ð r V Ý Ö n = V m = E µº Ã Ö Ò Ñ Ò Ò t r Ö Ø Ð Þ ÙÒ Ø ÙØ Ø r¹ Ð t¹ Ý Ó Ý Ô ÖÓÒ ÒØ Þ Þ ÐÝÙ Ñ Ò Ñ Ð Ð Ý Òº ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ Ì Ö Ò Ø Þ Ö Þ Ø Ú Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ ÐÚ ÞØ Ð ØÓØ O(D) Ò O(m) Ø ÖÖ Ð Ñ ÓÐ ÓÐ D = mlog (1+m/n) n ØÖ Ð ÓÖ ØÑÙ ÙØ Ø Ð Ð d¹ Ó ÙÔ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ ÐÚ º  РРd(a,b) Ð Ö Ú a b Ø Ó Þ Ø G¹ Òº ¾º½º Ð Þ Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ÐÝ Ñ ÖØ ÐÝ ÞÓÒÝ Ø Ö Ò Ð Þ Ö Ø ÒØ Ý Ö t Ð Ö Ð ØÓØ ¾º ÈÖÓ Ð Ñ º ÓØØ G(V,E) Ö Ò Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ò ÑÒ Ø Ú c : E R + 0 Ð ÐÝÓ Ð r,t V º Ã Ö Ò A B Ð Þ ÙÒ Ø r¹t ÙØ Ø Ñ ÐÝ Ö c(a) + c(b) Ñ Ò Ñ Ð º ½

26 ½ ¾º Ä Ö Ú ØÔ ÖÓ Ö ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ú Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ö Ð ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Þ ÓÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ Ø ÐÐ Ø Ð ÖÖ Þ Ý Þ Öò Ð ØÖ Ð ¾º¾º ýðð Ø Øµº ¾º½º Ð ÓÖ ØÑÙ Ý ØÐ Ò Ö A B ØÔ Ö Ñ Ø Ð Ð Ú Ø ØØ Ð ¹ Ð Ú ÐØÓÞ Øµº ½º Ã Ö Ò A Ð Ö Ú ÙØ Ø r¹ Ð t¹ ØÖ µ ¾º G t Ö Þ A Ð Ø Ñ ÓÖ Ø Ù ÐØ Ø Ò Ð Ù Ö ØÙ º G t ¹ Ò Ö Ò Ý B Ð Ö Ú ÙØ Ø r¹ Ð t¹ º Þ A B Þ ÑÑ ØÖ Ù Ö Ò Ð Þ Þ Þ Ñ Ñ Ò ÐÔ ÖÓ Ø Ð ÝÚ A B ¹ е Ô Ù A B¹Øº ¾º¾º ýðð Ø º ¾º½º Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ Ø ¾º ÈÖÓ Ð Ñ Ö º ÞÓÒÝ Ø ¾º ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ñ Ð ÐØ ò ÓÐÝ Ñ Ð Ø Ô Ð Ø ÓÐ ÓØØ Þ Ð Ò Ô Ø Ñ ÐÐ ØØ Ñ Ý ÐÝ Ú ÒÝ Ð Ø Ñ Ò Ð Þ ØÓÒ Ý x ÔÓÒØ Ð y¹ Ö ÒÝÙÐ ÓØØ k Ò Ý ÓÐÝ ÑÓØ Ý Ó Ý ÓÐÝ Ñ ÐØ Ñ Ò Ñ Ð Ð Ý Òµº Í Ý Ò Ð Ý Ò Ô Ø Ú ÒÝ ÖØ G Ñ Ò Ò Ð Ò ½ ÐÝ Ú ÒÝ c x := r y := t Ò Ð Þ Ø Ò Ñ Ò Ñ Ð ÐØ ò k := 2 ÖØ ò ÓÐÝ Ñ ÔÔ Ò Þ ÐØ ÐÙÒ Ö ØØ ØÔ ÖØ Ð Ð º Å Ò Ñ Ð ÐØ ò ÓÐÝ Ñ ÒØ Ø ÒØÚ Ð ØÓØ ¾º½º Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÔ Ò Ú Ø ÙØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ½ Ð Ð Ñ Ñ ÓÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ Ø º Å Ú Ð ØÖ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÑÒ Ø Ú ÐØ Ò Ñò Þ ÖØ Ñ Ó Ø Ù Ý ¾º½º Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ó Ý ¾º Ð Ô Ò Ò Ð ÐÝ ØØ Ò ÔÓØ Ò Ð¹ ÐØÓÐ Ø Ú Þ Ò π(v) Ñ Ò ØØ ÔÓØ Ò Ð Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ò Ð Ý Ò d(r,v) Ñ Ø Þ ½º Ð Ô Ò ÙØØ ØÓØØ ØÖ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ÓØص c (uv) := c(uv)+π(u) π(v) Ð Ý Ò Þ ÐØ Ú ÒÝ Ý ÐØ Ñ Ò Ò ÓÐ Ò ÑÒ Ø Úº Ý º Ð Ô Ò Ð ÐÑ Þ Ø Ù ØÖ Ð ÓÖ ØÑ٠غ Ì Ø Þ Ý Þ Öò Ð ÓÖ ØÑÙ ÙÒ Ú Ð Ú ÐØÓÞ Ø ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ Ý ØÐ Ò Ö A B ØÔ Ö Ñ Ø Ð Ð Ú Ø ØØ Ð ¹ Ú Ð Ú ÐØÓÞ Øµº ½º Ã Ö Ò r¹ Ð Ñ Ò Ò Ý Ð Ö Ú ÙØ Ø ØÖ µ t¹ Ú Þ Ø Ð Ö ¹ Ú ÙØ Ø Ò Ú ÞÞ A ¹Ò ¾º G t Ö Þ A Ð Ø Ñ ÓÖ Ø Ù c (uv) := c(uv)+d(r,u) d(r,v) º G t ¹ Ò Ö Ò B Ð Ö Ú ÙØ Ø r¹ Ð t¹ ØÖ µ º Þ A B Þ ÑÑ ØÖ Ù Ö Ò Ð Ô Ù A B¹Øº

27 ¾º½º Ð Þ Ø ½ 2 v 2 0 r ½ 1 v 1 ½ ½ 2 v 4 ¾ ½ 3 d ½ 1 v 3 ½ µ ½º Ð Ô Ã Ö Ò Ð Ö Ú ÙØ Ø Ñ Ò Ò d¹ Ú Þ Ø A = r v 1 v 4 dº Þ Ð Ò Ö Ø c Ð ÐÝÓ Ð Ø Ø Ñ Ò Ò v Ñ ÐÐ ØØ Ô d(r,v) ÖØ º v 2 ¼ ½ r ¼ v 1 ¼ v 4 ¼ d ¼ ¼ v 3 µ ¾º Ð Ô G d Ö ÓÖ Ø ÙÒ Ñ Ñ Ò Ò Ð Ø Þ A Ø Ñ ÒØ Ò Ñ Ó Ø Ù Þ Ð ÐÝÓ Ø Ö Ò c (uv) := c(uv)+d(r,u) d(r,v)º v 2 r v 1 v 4 d v 3 µ º Ð Ô Ã Ö Ò G d ¹ Ò Ð Ö Ú ÙØ Ø d¹ Þ Ð Þ Ú Ø Øµ B = r v 3 v 4 v 1 v 2 dº ¾º½º Ö º ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ ÙØ Ý d Ð Ö º Ð Ö Ú ØÔ Ö A B Þ Ñ¹ Ñ ØÖ Ù Ö Ò Ð A = r v 1 v 2 d B = r v 3 v 4 dº ÁÒÒ ÒØ Ð G t Ð ØØ Ñ Ò ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ò ÐØ Ö ÓØ ÖØ º  РРd t (u,v) Ð Ö Ú u¹v Ø Ó Þ Ø G t Ö Òº ¾º º ýðð Ø º ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ Ø Ø Ð Ðº ÞÓÒÝ Ø ÝÖ ÞØ Ñ Ý Ð Ø Ó Ý Ý Ø Ø Þ Ð P v¹w ØÖ c (P) = c(p) d(r,w)+d(r,v)º Ì Ø Ñ Ò Ò ÓØØv,w¹Ö Ñ Ò Òv Þ ÔÓÒØ wú ÔÓÒØ Ø ÐØ Ù Ý Ò ÒÒÝ Ú Ð d(r,v) d(r,w)¹ú е Ú ÐØÓÞ ÔÓØ Ò Ð¹ ÐØÓÐ ÓÖ Ø Ø Ø ÓØØ ÔÓÒØ Þ ØØ c Þ Ö ÒØ Ð Ö Ú Ø c Þ Ö ÒØ Ð Ö Ú Ñ Ö º Å Ö ÞØ ÔÓØ Ò Ð¹ ÐØÓÐ ÙØ Ò Þ r¹ Ð Ò ÙÐ Ð Ö Ú ÙØ Ò Ñ Ò Ò Ð Ò Þ Þ A Ð Ö Ú Ø Ð Ò µ ¼ Ð Þ Þ ÐØ Ø Ø Þ A Ð Ò c ÐØ Ò ÐØ ½ Ñ Ò Ñ Ð ÐØ ò ÓÐÝ ÑÓ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ú Ø ÙØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ø Ð Ð Ø Ô Ð ÙÐ Ò º

28 ¾¼ ¾º Ä Ö Ú ØÔ ÖÓ Ö ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ñ Ý Þ c ¹Ú к Ì Ø ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ Ù Ý Ò ÞØ Ñ ÓÐ Ø Ø Ð Ð Ñ Ñ ÒØ ¾º½º Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ¾º¾º ýðð Ø Þ Ö ÒØ ÓÔØ Ñ Ð Þ Þ ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ Ø Ø Ð Ðº ¾º º Å ÝÞ º Å Ú Ð Ñ Ò Ò r¹t Ø ÐØ d(r,t)¹ú Ð Ò ÔÓØ Ò Ð¹ ÐØÓÐ ÓÖ Þ ÖØ d 2 (t) := c(a)+c(b) = d t (t)+2d(r,t)º Î Ò Ñ Ý Ô ÐÐ ÒØ Ø ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ ÙØ Ö º ½º Ð Ô O(D) ¾º Ð Ô O(m) º Ð Ô O(D) º Ð Ô O(n)º Ì Ø Þ Ò O(D) òº ¾º¾º ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ ËÙÙÖ ÐÐ ÞÖ Ú ØØ Ó Ý Þ Þ t Ð Ö Ý Þ ÖÖ Þ ÑÓÐ Ø Ù Þ ØÔ ÖÓ¹ Ø O(D) Ò O(m) Ø ÖÖ Ðµ Ý ØÐ Ò ØÖ ¹ Þ Öò Ð ÓÖ ØÑ٠к Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø ÓÒÝ Ò ÓÒØÓ Ð Ñ Ì Ò ÐØ Ð Ð ÞØ ØØ Ø Þ Ö Þ Ø Ñ Ø Ñ Ö¹ Ø Ø Ò ¾º º Þ Þ Òº ÓÒ ÒØ Ñ Ú Þ ÐÚ ÑÓ Ø Ú Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÙØ Ø ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÞ ÓÒÐ Ñò Ø Ø Ô ÞØ Ð ØÙÒ Ó Ý ÞØ ¾º½½º Å ÝÞ Ò ¾º½ º ýðð Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ð ØÒ Ó Ù º ¾º º Å ÝÞ º ÓÒØÓ Ñ Ý ÞÒ Ó Ý Þ Þ O(D) Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Þ ØÔ Ö Ø ÒÝÐ ÓÐÚ Ø Ø ÒØÚ Ó Ý ÓÖ Ñ Ö Þ ÓÙØÔÙØ O(n 2 ) Ñ Ö Øò Ð ÒÒ µ Ø ÐÞ Ø Þ ÑÓÐÙÒ Ñ Ð Ô Ò ÓÒ ÒØ O(n) Ò ÓÐÚ Ø Þ ØÚÓ¹ Ò Ð Ý Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ñ ÓÒº Ý Þ Þ ØÔ Ö ÓÐÚ O(n 2 ) Ø Ú Þ ÒÝ ÖÖ Ò Ñ Ñ Ò Ú Ò Þ Ô Ð ÙÐ º¾º½º Þ Þ Ò ÑÙØ ØÓØØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ò Ó Ý Ö Þ Þ Ø ÖØÓÞ ØÔ ÖÓ Ò Ý¹ Ý Þ Þ Ð Ø Ò Þ Ñ Ø Ø ÖØ Ò Ñ º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Þ Ö Þ Ø Ú Ø Þ º ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ ËÙÙÖ ÐÐ µº ½º Å Ò Ò ÔÓÒØ Ð Ö Ú Ö ÒÝ ØÓØØ Ø Ö r¹ Ð ØÖ µ Þ Ý ÔÓØØ ÒÝ Ø Ð Ð T ¾º c ÐÝ Ú ÒÝ ÔÓØ Ò Ð¹ ÐØÓÐ ÔÓØØ ÖØ Ð c (uv) := c(uv)+d(r,u) d(r,v) Ý ÐØ T Ð Ò ¼ Ñ Ò Ò ÓÐ Ò ÑÒ Ø Úµ º Ñ Ò Ò ÓÞ Ý Þ ÖÖ p(v) q(v) Ø ÐÞ Þ Ñ Ø ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ Ð O(D) Òµº ÞÙØ Ò Ø Ø Þ Ð v Ö Þ ØÔ Ö ÓÐÚ Ø Þ Ø ÐÞ Ð O(n) Ð ØØ Ð Ò ÒØ O(1)µ ¾º º Ð ÓÖ ØÑ٠к Ý Ñ Ò Ò Ö Þ ØÔ ÖÓ ÓÐÚ O(n 2 ) Ø Ú Þ ÒÝ º

29 ¾º¾º ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ ¾½ ÅÓ Ø Ð Ù Ð Þ Ö Ö ÞÐ Ø Ò º Þ Ø Ñ ÓÐÚ Ø ÙØ Ò Ò ÒÝ ÖØ ÐÑ Þ Ø Ø Ú Ý ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Þ Ñ ÝÞ Ø Ú Ð Ô ÐÝ ÞÓÒÝ Ø Øº Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖ Ò ÒÒØ ÖØÙÒ d(v) Ð Ò Ø ÚÓÐ Ñ Ø Ñ Ò Ò Ö Ñ ÒØ ØÖ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ð Þ Ó Ý Ú Ò Ñ Ò Ò v¹ö Þ ÔÔ Ò G v ¹ Ð Ð Ö Ú r¹t Ø Ó Þ Ð Ý Òµ Ú Ð Ø ØØ Ó S ÐÑ Þ Ø T ¹Ò Ò Ñ Ú Ð Ø ØØ Ó Ð ÐÐ Ö Þ Øº ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ p(v) q(v) Ø ÐÞ Þ Ñ Ø µº ½ ÁÒ Ð Þ Ð ¾ d(r) := 0 v V\{r}¹Ö d(v) := S := Û Ð S v V : d(v) < Ó Ú Ð Ø ½¼ ½½ Ð Ý Ò v V\{r} Þ Ñ Ö d(v) Ú Ñ Ò Ñ Ð Ð Ý Ò T v Þ Ò Ñ Ú Ð Ø ØØ Ö Þ Ñ Ò ÒÒ Ú Ò v Ò v Ò Ñ ÐØ Ø¹ Ð Ò Ð Ý Öµ S := S {v} T v ¹Ø Ð Ö Ð ÞÓ Ö Ö Þ Ö Ñ Ö Þ Ø v Ð Ý Ú Ð Ã ßÓÐÝ Ò uw / T Ð Ú Ý u = v Ú Ý u,w T v Þ ØÚ ÙØ Ò u w Ð Ò Þ Ö Þ Ö ÐÒ Ð ÑÓ Ø Þ Ø Ò Ñ Ð ÐÑ Þ ½¾ ÓÖ uw K Ó ÑÓ Ø Þ Ø Ò Ñ Ð Ð ÓÐ ÓÞ ½ d(v)+c (uw) < d(w) Ø Ò Ú Ø ÐÐ Ú Ý Þ Ø Ò Ñ d(u)¹ ÓÞ Ò Ñ d(v)¹ Þ ÙÒ c (uv)¹ø µ ½ ½ ½ ½ ½ d(w) := d(v)+c (uw) p(w) := u q(w) := v Ò Ò ÓÖ ½ Ò Û Ð Þ Ø ÐÞ Þ Ñ Ø Ò ÙØ Ñ Ò Ò Ð Ð Ð Ý Þ Ö Ö Ð Ø K й Ñ Þ Ø Ø Ð Ð Ý Þ Ö ÐÐ Ð ÓÐ ÓÞÒ Ø Ø Ú Ø Þ Ò O(m) Ò Ñ ¹ Ø ÖØ Ò Ð d(v)¹ú Ð Ö Ò Ð Þ Ú Ð ÞØ Ô Ñ Ð Ð ÙÔ Ð ÑÔ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÚ Þ Ò O(nlogn) Ø Ø Þ Ò O(D) Ø ÔÙÒ º Ú Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÐÚ Þ Ø ÐÞ Ð Ô Ò Þ ØÔ ÖÓ Ø Þ ÓÐÝ Ò t Ó Ö Ñ ÐÝ Ö d(t) º Â Ð Ð Þ Ð (x) Þ x T ¹ Ð Þ Ð Øº

30 ¾¾ ¾º Ä Ö Ú ØÔ ÖÓ Ö ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ Þ ØÔ ÖÓ ÓÐÚ p q ÖØ Ð Ý t Ö µº ½ Ã Þ Ø Ò Ñ Ò Ò x V ¹Ö Ð Ý Ò Ð Ð (x) := 0 Ø ØÔ Ö Ø ÓÐÚ Ù ÓÖ Ð Ý Þ Ö ÐÐ Ø Ò ¾º½ º Ã Ú Ø ÞÑ Òݵº ¾ Ø ÐÞ q¹ Ñ Ð Ð Ö Ò Ö q(t) q(q(t)) º º º r ÔÓÒØÓ Ø Ð Ð Ñ ¾ µ x := t Û Ð x r Ó Ð Ð xµ ½ Ü Õ Üµ Ò Û Ð ½¼ t¹ø Ð r¹ Ú Ð Ô ØÚ ÓÐÚ Ù Ø ÙØ Ø ÝÑ ÙØ Ò ÙØ Ð Ð P 1 P 2 µ ½½ ÓÖ i = 1,2 Ó Ø ØÖ ½¾ P i := x := t Ò Ð Þ Ð ½ Ð Ð (x) = 1 Ø Ò x Ø ÐÞ ÚÓÐØ Ñ Ñ Ú Ò Ð ÐÚ ÓÖ p(x) Ð Ð Ô Ò ØÓÚ ½ Ð Ð (x) := 0 ÑÓ Ø Ð ÞÒ ÐØ Ø ÐÞ Ð Ð Ø Ø Ö Ð ½ P i := {p(x)x} P i p(x)x Ð Ø P i Ð Ö òþþ ½ x := p(x) ØÓÚ Ð Ô Ò p(x) Ð ½ Ð x Ò Ñ Ø ÐÞ Ú Ý Ñ Ö ÞÒ ÐØÙ ÓÖ T ¹ Ð Þ Ð Ð Ð Ô Ò ØÓÚ ½ P i ß Þ Ð (x)x} P i Þ Ð (x)x Ð Ø P i Ð Ö òþþ ½ x := Þ Ð (x) ØÓÚ Ð Ô Ò Þ Ð (x) Ð ¾¼ Ò ¾½ Ò ÓÖ ¾º½¼º Å ÝÞ º ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Þ Ò Ð Þ Ð Ð Ú Ø Þ Ó Ý Þ Ð Ú ¹ Ð Ø ØØ ÔÓÒØ Ñ Ò r Ð Þ Ó Ý Ò ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ Ò G t ¹ Ò B Ú Ø Ø Ö Ö ÙØØ ØÓØØ Ñ Ó ØÖ ÙØØ Ø Þ r Ñ Þ Ú Ð Ú Ð Ø Ú Ðµ Þ¹ µº ¾º½½º Å ÝÞ Þ Ø ÐÞ Ú Ø ÙØ Ú Ð ØÔ Ö Ô ÓÐ Ø µº Ý Ð Ñ Ó Ý ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ú Ø Ð Ô Ñ Ð Ð G w ¹ Ò Ý w¹ Ú Þ Ø Ó Ú Ø Ø Ö Ò v u ØÓÒ Þ uw Ð Ò Ö ÞØ Ð Ñ ÒØ ÞØ Ñ ¾º½ º ýðð Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ø Ø Ù µº ÁØØ ÞÒ Ð Ù Ó Ý v¹ Ðu¹ ¼ ÐØ ò Ø Ú Þ Ø T w ¹ Òº Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ú Ò Ý x ÔÓÒØÖ p(x)x Þ Þ Ð Ñ Ò Ö ÞØ Ð ÙØÓÐ Ö Ú ØÓØØÙÒ q(x) Ô Þ Ñ Ò Ö ÞØ Ð p(x)¹ Ö p(x)x¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Ø Ø G x ¹ Òº Å ÔÔ ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ Þ Ñ Þ Ð q(x) Þ Ñ Ò Ú Ð Ø Ó ÓÞØ p(x)x Ð Ð ÓÐ ÓÞ Ø Ñ ¾º½ º ýðð Ø Þ Ö ÒØ Þ ÓÔØ Ñ Ð ØÔ Ö Ý Ø Ò ¾ Î Ð Ò Ð ÙØÙÒ r¹ q(t) q(q(t)) º º º Ð Ô Ø Ð ¾º½ º Å ÝÞ Ñ Øغ

31 ¾º¾º ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ ¾ ÙØÓÐ Ð Ð Þµ Þ Þ Þ Ð Þ Ö Ú Ð Ø ØØ Ø Ø Ð d ÖØ òµ ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ñ Ø Ð ÝÚ T ¹ Ð x p(x) Ð Ò Þ Ö Þ Ö Ð Ø Ø Ð d¹ ÖØ ò ÔÓÒØ Þ x p(x) Þ ØØ Ý ÖØ ÐÑò T ¹ Ð Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò ÖØ Ð Ñ Ò Ú ØØ ØÓÒº ÓÐÚ ÓÖ q(x) Ú Ý ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý x¹ Ð Ú Ý Ó Ý p(x)¹ Ð Ò ÙÐÚ Ð Ö Ú ØÔ Ö Ø Ò Þ r Ð ÓÐ ÐÐ Ð Ø ÖÒ T ¹ Ð ØÖ Ð Þ ØÙ Ð p¹ Ò Ö ÒÝ º Þ Ò Þ Þ Ø Ý Ð Ø Ø Ù T ¹ Ð x¹p(x) ØÓÒ Ò Ò Ö Ø Þ r ÓÖ T ¹ Ð P(T,x) Ø r¹ Ð x¹ T ¹ Ð P(T,p(x)) Ø r¹ Ð p(x)¹ Ý z ÔÓÒØ Ñ Ý ÞÒ ÙØ Ò Þ ÙÒ Ø ÓÐ z T ¹ Ò Þ x¹ò p(x)¹ò Þ r¹ø Ð Ð Ø ÚÓÐ Þ µº Þ ÖØ Þ ÙÒ Ø ØÔ Ö Ø Ø x¹ Ð Ú Þ Ð Ú ØÚ Ú Ð ÓÐ Ð ÐÐ Ø ÖÒ Ò P(T,x) P(T,p(x)) ÙØ Ú Ð Ñ ÐÝ Ö Ðº Ð Ð Ø Ö ÔÓÒØÓ T ¹ Ð x¹p(x) Ø ÔÓÒØ Þ Þ Ð Ô Ñ Ò Ñ Ð d ÖØ òø Ó Ù Ú Ð ÞØ Ò Ñ ÖØ d(w) Ñ Ò Ñ Ð Ú Ø Ø ÐØ w¹ µº G x ¹ Ð Ú Ø Ø q(x)¹ò T ¹ Ð x¹p(x) ØÓÒ Ð Ð Ð ÐÝ Þ Ø Ð Ò ¹ ÖÓÑ Ð ÔÔ Ò Ú Ð Ø Þ Ø Þ Ø Ø ¾º¾º Ö Ò Ð Ø Ø Ù º Þ Ö Ú ÞÐ Ø Þ r¹z Þ Þ Þ r¹p(q(x)) Þ Þ ÓÒÐ Ñ ÓÒ Ú Ö Ð Øºµ x x x q(x) p(x) p(x) p(x) p(q(x)) z = q(x) q(x) z p(q(x)) z p(q(x)) r µ q(x) Ö Ø Ú Ò T ¹ Ð z¹x ØÓÒº ÓÖ G x¹ Ð Ú Ø Ø ÞØÓ Ò Ø Ö¹ Ø ÐÑ Þ P(T,x)¹ Ð Ñ ÓÖ ØÓØØ Ð Øº r µ z = q(x)º ÓÖ Ø Ø ÞØÓ¹ Ò Ò Ñ Ð Þ Þ ÙÒ Øº r µ q(x) Ö Ø Ú Ò T ¹ Ð z¹p(x) ØÓÒº ÓÖ p(x) Ð Ò ÙÐ ØÓÒ Ð Þ Ñ p(v)v Ø ÔÙ Ð Ñ Ð ØØ ¹ Ö Ð Ö P(T,x) ÙØ Øº ¾º¾º Ö º Ú Ø Ø Þ Ø ÐÞ Ô ÓÐ Ø º À ÖÓÑ Ø Ð Ø q(x) Ð ÐÝ Þ ¹ Ø Ð Ò T ¹ Ð x¹p(x) ØÓÒº  РРz T ¹ Ò Þ x¹ò p(x)¹ò Þ r¹ø Ð Ð Ø ÚÓÐ Þ Øº Þ Ð Ð Ð Þ Ð Ú Ø µ T Ð Ô ÖÓ Ú ÓÒݵ p(x)x Ð Ô ØØÝ Þ Øص Ú Ø Ø G x ¹ Òº ¾º½¾º ýðð Ø º q(x) Ø ÐÞ Ñ Ò Ö Ø Ú Ò Ð Ö Ú Ð Þ ÙÒ Ø r¹x ØÔ Ö Ð Ú Ð ¹ Ñ ÐÝ ØÓÒº ÞÓÒÝ Ø ÁÒ Ö Ø Ø Ý Ð Ó Ý q(x) Ò Ò Ö Ø Ý ØÓÒ Ñº ÓÐÚ Ð ÓÖ Ø¹ ÑÙ Ñ ØØ Þ Ý ÓÖ ÙÐ ØÒ Ð Ð ÒÒ Ý ÓÐÝ Òq k (x) := q(q(...(q(x)))) q(x)

32 ¾ ¾º Ä Ö Ú ØÔ ÖÓ Ö ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ñ Ö Ø Ú Ò Ú Ý T ¹ Ð q(x)¹x ØÓÒ Ú Ý T ¹ Ð q(x)¹p(x) ØÓÒº Ì Ø q k (x) Ö Ø Ð ÒÒ T ¹ Ð p(x)¹x ØÓÒº Î ÞÓÒØ ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ú Ð Ø q k (x)¹ Ø Ñ ÒØ q(x)¹ Ø Ñ ÖØ q(x)¹ò Ð Ð Ú Ð Ø q(q(x))¹ Ø Ñ Ò Ð Ð q(q(q(x)))¹ Ø Ø ºµº Ì Ø q k (x) Ú Ð Ø Ø Ð Ð Ò Ö Þ Ö ÐÒ Þ x p(x) Þ Þ q k (x) = q(x) Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ º ¾º½ º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ ¾º½¾º ýðð Ø Ñ ØØ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ ØÔ ÖÓ ÓÐÚ ÓÖ ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ð Ð (x) Ð Ð Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ò Ò Ø Ò Ð Ð Ò Ò Ð ¹ Þ ÐÒ ¼¹Ö Ñ ÖØ Þ ØÔ Ö ÓÐÚ Ò Ú Ö Þ ½¹Ö ÐÐ ØÓØØ Ø Ø Ñ Ò Ú Þ ÐÐ Ø Ù º ¾º½ º ýðð Ø º Ì ÒØ Ú Ø Þ Ð ÐÑ ÞØ {(q(x),x) : x r,d(x) } ÓÐ (q(x),x) Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð G¹ Рк Þ Ý r Ý Öò ÒÝ Ø Ø ÖÓÞÒ Ñ º ÞÓÒÝ Ø (q(x),x) Ú ÖØÙ Ð Ð ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Q(V,E q ) Ö Ò Ñ Ò Òx V\{r} d(x) < Ò Ó ½º ÇÐÝ Ò y Ö Ñ Ö d(y) = Ò Ñ ÐÐ Þ Ø (q(x),x) Ð Ñ ÖØ Ó Ò Ñ Ú ØÓØØÙ d(y) ÖØ Ø Ý Ñ ÓÒ Ö Þ Ð Ø Ø q(y) Ò Ñ Ô ØÓØØ ÖØ Ø Ý Ó Ò Ñ Ú Ð Ø ØØ Ø Ø y = q(x) Ñ Ð Øº Ì Ø Þ Ø Ó Ø Ð Ý Ø Ù Q¹ к Å Ö ÞØ ØÙ Ù Ó Ý Q Ð Ù Ñ ÖØ q(x)¹ Ø Ð Ú Ð Ø ØØ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ÒØ x¹ Ø Ø Ø Ú Ð Ø ÓÖÖ Ò Q Ò Ý ØÓÔÓÐÓ Ù ÓÖÖ Ò º Ì Ø (q(x),x) Ð r Ý Öò ÒÝ Ø Ð ÓØÒ º Î ÞÓÒØ ÓÒÐ Ò ÔÞ ØØ (p(x),x) Ð ÐÑ Þ Ñ Ö Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ð Ù Ô Ð ÙÐ ¾º º Ö Ò Ð Ø Ø Ö Ò Ñ Þº r ¾º º Ö º Ý Ö c ÐÝ Ú ÒÒÝ Ð ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ö Ñ ÒÝ Ú Ðº Ó Ö ÖØ Þ ÑÓ Ú d ÖØ º Þ Ð Ð Ð Þ Ð Ú Ø µ T Ð Ô ÖÓ Ú ÓÒݵ p(x)x Ø ÔÙ Ð Ò Ö Ò Ö Þ ØÓØص (q(x),x) Ú ÖØÙ Ð Ð º Þ Ý Ò Ñ Ú Þ Ø Ö ÒÝ ØÓØØ ØÔ Öº Ý Ð Ñ Ó Ý Ô ÖÓ Ð Ö ÒÝ ØÓØØ ÖØ Ð ÓØÒ º

33 ¾º¾º ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ ¾ ¾º½ º Å ÝÞ º Å Ú Ð Ñ Ò Ò r¹t Ø ÐØ d(r,t)¹ú Ð Ò ÔÓØ Ò Ð¹ ÐØÓÐ ÓÖ Þ ÖØ ¾º º Å ÝÞ Þ ÓÒÐ Òµ Þ r¹ Ð t¹ ÙØ Ð Ö Ú ØÔ Ö d 2 (t) Þ ÐÝ Ñ Ø d 2 (t) = d(t)+2d(r,t) Ð Ò Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÐØ Ð Þ ÑÓÐØ ÖØ Ð Þ ØÔ ÖÓ Ø ÒÝÐ ÓÐÚ Ò Ð Ðº Ú Ø Þ ÐÐ Ø Ñ Ö ÞÓÒÝ ØÓØØ Ò ÓÔØ Ñ Ð µ v V\{r} ÓÒ ÒØ G v ¹ Ò Ú Ø ÙØ Ø Ö ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ ¾º º ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ Ô ÓÐ Ø Ø ÑÙØ Ø º ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ Ò Ò v¹ö Ð Ò¹ Ð Ò ÝÑ Ñ ÐÐ ØØ ÙØØ ØÙÒ Ý ¾º º Ú Ø Ø Ö ØÖ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø G v Ö ÓÒ c ÐÝ Ú ÒÒÝ Ðµ Ý ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø G Ö ÓÒ c ÐÝ Ú ÒÒÝ Ð Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý v Ø Ò Þ ÑÔÓÒØ Ð Ù Ý Ò ÞÓ Ø Ð Ô Ø Ú Þ º ÞÓÒÝ Ø Þ Ö Þ Ø Ñ Ý Þ Ð Ú Ð Þ Ø ØØ Ñ Ò ÒÝ ÓÒ ÓÐ ØØ Ðºµ ¾º½ º ýðð Ø ËÙÙÖ ÐÐ Ì Ö Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ºµº ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ Ú Ò Þ Ú Ø Þ ½º d(v) = d v (r,v) Ñ Ò Ò v Ö Ò Ñ Ð Ø Þ Ð Þ ÙÒ Ø ØÔ Ö r¹ Ð t¹ ÓÖ Ú Ø Ð Òµ ¾º Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò v V\{r}¹Ö Ñ Ö d(v) Ú Ð Ø Þ G v ¹ Ò Ý ÓÐÝ Ò r¹v Ø Ñ Ò c Þ Ö ÒØ µ Ó Þ d(v) Þ ÙØÓÐ Ð p(v)vº ÞÓÒÝ Ø Ä Ý Ò v V\{r} Ø Ø Þ Ð ÓØØ º ÅÓ Ø Ð Ø Ù Ó Ý v¹ö Þ Þ ÐÐ Ø º ¾º½ º Ò º ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ÙØ Ò Ò Ú ÞÞ Ò v Þ ÑÔÓÒØ Ðµ Ð ÒÝ Ò Ý l ÓØ Þ l ËÙÙÖ ÐÐ ¹ Ð Ú Ð Ø ÓÖ Þ l Ù Ý Ò Ò Ò Ñ Ú ¹ Ð Ø ØØ Ö Þ Ò ÚÓÐØ Ñ ÒØ vº Ð ÒÝ Ó Ø Ø Ñ Ò v¹ú Ð Þ Ò Ñ Ú Ð Ø ØØ Ö Þ Ò Ñ ¹ Ö Ò Ñ Ò Ñ Ú Ð Ø Ø Ø Ø Ô Ð ÙÐ v ÙØ Ò Ú Ð Ø ØØ Ó Ò Ñ Ð ÒÝ µº ÞØ Ó Ù Ð ØÒ Ó Ý G v ¹ Ò ÙØØ ØÓØØ ØÖ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ÒÝ Ó ÓÒ Ù Ý ÒÓÐÝ Ò Ð Ô Ø Ú Þ Ñ ÒØ ËÙÙÖ ÐÐ Þ Þ Ù Ý ÒÓÐÝ Ò ÓÖÖ Ò Ò Ú Ð Ø Ð ¹ ÒÝ Ó Ø Ù Ý ÒÓÐÝ Ò Ú Ø Ð Ô Ø Ø Þ d p ÖØ Ò Ò Ñ Ð ÒÝ Ø Ô ØÐ Ñ Ö Ú Ð Ø Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ý ÞÒ Ñ Ñ Ð Ð ÖØ µº Å v Ð ÒÝ Ñ ÖØ ÒÑ Ú Ð ÓÖ ÓÖ Ú Ò Ù Ý Ò Ò Ò Ñ Ú Ð Ø ØØ Ö Þ Ò Ñ Ò Ñ Ú Ð Ø ØØ Øº ¾º½ º Ò º  РРÞÓÒÝ Ø ÓÖ Ò G v ¹Ò ÙØØ ØÓØØ ØÖ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Þ Ð Ò Ø ÚÓÐ ¹ ÐÐ ØÚ Ñ Ð Þ ÔÓÒØ Ú ÒÝ ØÙ Ð ÖØ Ø d v p v Ñ Þ ØØ Þ Þ Ú Ð Ø Øص ÔÓÒØÓ ÐÑ Þ Ø Ô S Gv º

34 ¾ ¾º Ä Ö Ú ØÔ ÖÓ Ö ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ÅÓ Ø G Ö ÓÒ ÙØØ ØÓØص ËÙÙÖ ÐÐ Ú Ð Ø Ð Ô Ò ÒØ Ð Ú Ò Ù ¹ Þ Öò Ò Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ó Ý Ò ÙØØ Ø Ø Ú Ð Ô Ö ÓÞ ÑÓ Ò Ý ØÖ Ð ÓÖ Ø¹ ÑÙ G v Ö ÓÒ Ó Ý Þ Ð Ý Ò Þ Ð ÁÒÚ Ö Ò ØÙÐ ÓÒ Ó º ¾º½ º ÁÒÚ Ö Ò º ½º Å Ò Ò x Ö ÓÖ ÓÖ x / S Gv Þ Þ Ñ Þ ØÐ Ò ØÖ Ð ÓÖ ØÑÙ Òµ x v ÞÓÒÓ Ö Þ Ò Ú ÒÒ ËÙÙÖ ÐÐ ¹ Òº ¾º À x / S Gv ÓÖ d v (x) = d(x) p v (x) = p(x) Þ Þ ØÖ ËÙÙÖ ÐÐ Þ Ö ÒØ Ð Ò Ø ÚÓÐ Ñ p¹ Ñ Ý Þ µ ÐØ Ú Ó Ý ÔÓØØ Ñ Ö ÖØ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ º º À x S Gv ÓÖ Ô d v (x) = d(z) ÓÐ z Þ Ñ Ò ËÙÙÖ ÐÐ ¹ Òµ Ú Ð Ø Ñ ØØ Ö ÐØ x v Ð Ò Þ Ö Þ x = z ÓÖ p v (x) = p(z) = p(x)º Ã Þ Ø Ò Þ Þ ÒÚ Ö Ò Ñ ÖØ Ñ Ò Ò x Ö x / S Gv x T Ö Þ d(x) p(x) Ñ Ý Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ñ ÔØ Ú µ ÖØ Øµº ÁÒ Ù ÐØ Ø Ð Þ ÒÚ Ö Ò Ø Ð Ð Ýy ËÙÙÖ ÐÐ ¹ Ò Ú Ð µ Ú Ð Ø º ÅÓ Ø Ð Ø Ù Ó Ý ØÖ Ñ Ð Ð ÙØ Ñ ÐÐ ØØ Þ y ËÙÙÖ ÐÐ ¹ Ð Ú Ð ¹ Ø ÓÖ Ñ Ø ÖØ Ò Ú ÐØÓÞ º Ã Ø Ø Ð Ø Þ Ö ÒØ Ó Ý y¹ø Ñ ÞØ ¹ Ñ Ö ØÖ µ ½º Ø y S Gv Þ ÒÚ Ö Ò Ò Ù ÐØ Ø Ðµ ½º Ö Þ Ñ ØØ y v Ñ Ö Ð Ò Þ Ö Þ Ò ÚÓÐØ Þ Þ y Ò Ñ Ð ÒÝ µº Ì Ø y Ú Ð Ø Ò Ò Ø Ð T v ¹ Ð Ó Ñ Ö Ñ Ú Ð Ò Ñ Ú Ð ÞØ Ø Þ Ø Ó Ú Þ Ø Ð Øµ Ý Ò Ñ ÖÓÒØ Ø Ð Þ ÒÚ Ö Ò Øº Þ y ËÙÙÖ ÐÐ ¹ Ð Ú Ð Ø Ú Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ò Ø Ø G v ¹Ò ÙØ ØÖ Ò Ñ Ø Þ ÑÑ Øº ¾º Ø y / S Gv Þ ÒÚ Ö Ò ½º Ö Þ Ñ ØØ y v ÞÓÒÓ Ö Þ Ò ÚÓÐØ Ô ÐÐ Ò Ø Þ Þ y Ð ÒÝ µ Ð Ð F Ö ÒÒ Ö Þ Ò ÐÑ Þ Øº Ä Ý Ò F Ô ÒÒ Ö Þ Ò ÐÑ Þ Ñ v Ö Ð y Ú Ð Ø ÙØ Ò y = v ÓÖ F Ö µº Þ y ËÙÙÖ ÐÐ ¹ Ð Ú Ð Ø Ò Ñ Ð Ð Ð Ô ÓÖÓÞ Ø ÒØ G v ¹Ò ÙØ ØÖ Ð Þ Ö Ñ Þ Þ y ÓØ Ñ Þ F Ö F ÐÑ Þ Ñ Ö Ø Þ Þ ÑÓ Ø Ð Ø Þ Ö Þ Þ Ð Þ Þ v¹ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ò Þ Þ Øµ Ñ Ð Ð ÓÖÖ Ò Òº ÅÓ Ø Ø ÓÐ ÓØ ÐÐ Ð ØÒÙÒ ÝÖ ÞØ Ó Ý ØÖ Ú Ð Ò Ñ Þ Ø Þ Ø Ó Ø Ñ Ö ÞØ Ó Ý Þ ÒÚ Ö Ò ÒÒÑ Ö º

35 ¾º¾º ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ ¾ ¾º¾¼º ýðð Ø º Þ y ØÖ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ñ Þ ØÐ Ò ÔÓÒØ Þ Þ d v (y) = min{d v (x) : x / S Gv }º ÞÓÒÝ Ø ØÖ Ñ Ò Ò ÓØ Ú Ý Ù Ý Ò ÓÖ Ú Ý Ð Ñ Þ Ñ ÒØ ËÙÙÖ ÐÐ ÑÓ Ø y / S Gv º Þ ÒÚ Ö Ò ¾º Ö Þ Þ Ö ÒØ y Ú Ð Ø Ñ Ò Ò x / S Gv ¹Ö d(x) = d v (x)º Ì Ø Ñ Ú Ð ËÙÙÖ ÐÐ Ñ Ò Ñ Ð d ÖØ Ð Ö Ò Ð Þ y ÓØ Ú Ð ÞØ Ú Ð Ø Ö Ý Þ Þ ÐÐ Ø º ¾º¾½º ýðð Ø º Å Ò Ò F Ö F ÐÑ Þ Ð Ð Ö Ø G v ¹ Ò y¹ Ð ¼ ÐÝ ØÓÒº ÞÓÒÝ Ø G v ¹ Ò T ¹ Ð r¹v ÙØ Ø Ñ ÓÖ ØÓØØÙ Ø Ø Þ Ý ÔÓØØ T Ý v Ý Öò ÒÝ º Ì Ø T ¹ Ò Þ F Ö F Þ Þ y Ð Þ ÖÑ ÞÓØØ Ð Þ Ñ Ø Ø Ð Ö Ø T Ð Ò ¼ ÐÝ ØÓÒº ËÙÙÖ ÐÐ Ú Ø Þ Ð Ø ÓÐ ÓÞÞ Ð Þ y Ú Ð Ø ÓÖ y¹ Ð Ò ÙÐ Ò Ñ Ð Ø Þ F Ö F Þ F Þ ØØ Ð Ø F Ö F Ö Þ Þ ØØ ÙØ Ð Øº Å Ò Ò ÒØ uv Ð Ð ÓÐ ÓÞ ÓÖ Þ Ø ÖØ Ò d(v) < d(y)+c (uv) ÓÖ d(v) := d(y)+c (uv)º ÞÞ Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ò ØÖ Ú Ø Þ Ð Ô Ø Ú Þ º Þ y Ñ Ò Ñ Ð Ø ¾º¾¼º ýðð Ø µ Ñ ØØ Ð Þ Ö Ñ Þ Ø Þ y ÓØ Ú Ø Þ yv Ð Ò d v (v) < d v (y)+c (uv) ÓÖd v (v) := d v (y)+c (uv)º ËÔ Ð Ò T Ð Ò c = 0 Ø Ø Þ y¹ò Ñ Ò Ò T ¹ Ð g Ý Ö Ö d v (g) := d v (y)º Á Ñ Ø Þ y Ñ Ò Ñ Ð Ø Ñ ØØ ÑÓ Ø Þ Ð d v (y) ÖØ Ø ÔÓØØ Ó Ø Ñ Þ Ø ÓÖ Ò Ñ Ò Ò ÐÝ Òg Ö Ú Ø Ñ Ò gv Ð Ò d v (v) < d v (y)+c (gv) ÓÖ d v (v) := d v (y)+c (gv)º Ì Ø g¹ò T ¹ Ð Ý Ö d v (y) ÖØ Ø ÔÒ º º º º Ý ØÓÚ Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò ÓØ ÓÖ Ò Ñ Ñ Þ Ø Ñ Ð Ö Þ y¹ Ð ¼ ÐÝ ØÓÒ Ø Ø ¾º¾½º ýðð Ø Þ Ö ÒØ Ñ Ò Ò F Ö F ÐÑ Þ Ð u ÓØ Ñ Ñ Þ Ø Ñ Ò Ý Ð Ñ Ò uv Ð Ò Ú Ø d v (v) < d v (y)+c (uv) ÓÖ d v (v) := d v (y)+c (uv)º Ý Þ ÒÚ Ö Ò ØÓÚ Ö ÒÒ ÐÐ Ñ ÖØ ÔÓÒØÓ Ò ÞÓ Ø Ó Ø Ñ Þ ØÖ Ñ ËÙÙÖ ÐÐ ¹ Ò v¹ø Ð Ð Ò Þ Ñ Þ ØÐ Ò Ö Þ Ö ÐØ

36 ¾ ¾º Ä Ö Ú ØÔ ÖÓ Ö ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Þ y¹øµ Þ Ó Þ ÒÚ Ö Ò º Ö Þ Þ Ö ÒØ d v p v ÖØ Ø Ô Ñ Ñ Þ ØÐ Ò Ó Ø Ô Ù Ý Ò ÞÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò Ù Ý Ò ÞÓ Ö Þ ÖØ Ö Ú Ø ØÖ Ñ ÒØ ËÙÙÖ ÐÐ Ø Ø Þ Ö Ó Ö Ô Þ Ð Þ Þ ÒÚ Ö Ò ¾º Ö Þ º Ý Ð ØØÙ Ó Ý Þ ÒÚ Ö Ò Ú ÒÒÑ Ö º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ú Ò Þ Þ Ñ Þ ØØ Ð Þ ØÖ Ò Ø Ø Ñ Ò Ý Ö Þ ÁÒÚ Ö Ò º Ö Þ Ó Ø Ð ÐÒ º Ì Ø Ð ÒÝ Ó Ö d p ÖØ Ñ Ý ÞÒ Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Þ Ö ÒØ Ñ Ú Ð ÐÝ Ò ÓÖ Ø Ð Ð Ó Ý x = zµ Ò Ñ Ð ÒÝ Ö Ô Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ðº ËÔ Ð Ò v Ð ÒÝ Ø Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ú Ò d(v) = d v (v) p(v) = p v (v)º G v ¹Ò ÙØØ ØÓØØ ØÖ Ð ÓÖ ØÑÙ Ö Ð Ñ Ö Ð ØØÙ Ó Ý ÓÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ d v (v) p v (v) ÖØ Ø º Ì Ø Ø Ð Ð Þ ÐÐ Ø º ¾º¾¾º Å ÝÞ º v Ø Ò q Ø ÔÙ Ø ÐÞ v Þ Ö ÒØ Ð ÒÝ Ó Þ Ð Ö ÐÒ º ¾º¾ º Ì Ø Ðº ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð ØÔ ÖØ Ø Ð Ðº ÞÓÒÝ Ø Å Ú Ð ¾º º ýðð Ø Þ Ö ÒØ Ú Ø ÙØ ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ Ø Þ ÖØ ¾º½ º ýðð Ø Ð Ñ Ö ¾º½½º Å ÝÞ Ñ ØØ Ú Ø Þ Ó Ý q Ø ÐÞ Ø¹ Ú Ð ÓÐÚ Ø Þ ÓÔØ Ñ Ð ØÔ ÖÓ Ø Ø ËÙÙÖ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ Ø Ø Ð Ðº ¾º º Ì Ö Ò Ø Þ Ö Þ Ø ¾º º Ð ÓÖ ØÑÙ ÙØ Ò Þ Ñ Ø ÓÖ Ò ÐØ ÒØ ØØ Ò ØØ Ð ÓÒØÓ Ö Þ¹ Ð ØØ Ð Ó Ý Ó Ý Ò Ú Ð ÞØ Ù K ÐÑ Þ Ö Ð Ð ÓÐ ÓÞ Ò Ð Øº Å Ò Ò Ð Ø Ñ Ú Þ ÐÒ O(m) Ð ÒÒ Ñ Ñ Ö ÐÖÓÒØ Ò ÙØ Ø Ý Ì Ö Ò ËÙÙÖ ÐÐ ÓÐÝ Ò Ø Þ Ö Þ Ø Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ ÐØ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ñ Ú Ð ÙØ ÒØ Þ Ñ ØÓØØ Ñ Ö Ó Ý ÞØ Ð ØÒ Ó Ù ÒÒ Þ ÞÒ Ú Òº Ñ Ø Ø ÖÓÐÒÙÒ ÐÐ Å ÐÝ Þ Þ ÑÓ º ÙØØ ÙÒ Þ Ò Ð Þ Ð Þ Þ Ò Ý Ñ ÐÝ Ö Ø T Ò Ñ Ò Ò x Ö Ý ÞÞ Ñ Ñ ÐÝ Þ Þ Ð Ö µ Þ Þ ÑÓ Ø M(x) B(x)º ÒÒ O(n) Ð Ý Þ Ö ÙØØ ØÒ Þ Ð¹ ÓÖ ØÑÙ Ð Òº Ì Ö ÐÝ ÒÝ O(n)ºµ Þ Þ ÖØ ÞÒÓ Ñ ÖØ O(1) Ò Ð ÒØ Ø Ó Ý Ý x Ð Þ ÖÑ ÞÓØØ ¹ v Ò ÓÖ Ð Þ ÖÑ ÞÓØØ M(x) > M(v) B(x) < B(v) Ð Þ ÖÑ ÞÓع Ø ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ Ð ÓØÒ M Þ Ö Òغ

37 ¾º º Ì Ö Ò Ø Þ Ö Þ Ø ¾ Æ Ñ Ú Ð Ø ØØ Ö Þ º Å Ò Ò x Ö Þ Ø Ø ÖÓÐ Ù Þ Ð (x) x Ý Ö Ö Þ Ò ÓÖ nilµ Ý Ö (x) Ý Ö Ó ¹Ú Þ Ð Ù Ò Ð ÒÓÐØ Ð Ø Ý Ý Ý Ö Ø ÖÐ O(1) Ò Ð Ø µº ÁÒ Ð Þ Ð Þ Þ T Ð ÐÐ Ø Ò ÓÖÑ ØÙÑ Ò O(n) Ø Öµº Ã Ö ÒØ ÖØ v Ø ÖÐ ÓÖ v Ø ÖÐ Ý Ö Þ Ð (x)µ Ð Ø Ð v Ý Ö Ò Þ Ð ¹ÔÓ ÒØ Ö Ò Ø ÐÐ Ø nil¹ö º Þ Þ Ò Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖ Ò O(n) Ø Ú Þ ÒÝ µº ÐÐ Ø º Þ Ó ¹Ú Þ Ð ÒÓÐØ ÐÐ Ø Ñ Ò Ò v Ö Ñ Ò Ñ Ð ÓÐ ÓÞÓØØ Ò Ñ T ¹ Ð v¹ö ÐÐ Þ ¹ Ñ Ò µ Ð º Å Ò Ò Ð Ø Þ Ð Ñ Ú ¹ ÔÓÒØ Ò M(x) ÖØ Þ Ö ÒØ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ÓÖÖ Ò Ò Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Ð Øº ÁÒ Ð Þ Ð Ö Ü Ö Ò Þ O(m) Ò Ñ Ú Ð {M(x) : x V} = [1..n]µº Þ Ø Þ Ö Þ Ø Ö ÒØ ÖØ Ð ÓÐ ÓÞ Ò Ð Ñ Ø Ð Ð Ý v Ú ¹ Ð Ø ÓÖ ½º v¹ö ÐÐ Þ Ð Ø Ø Ö Ð Þ Þ Ð Ñ Ò Ø Ð ÓÐ ÓÞÞÙ º Þ Ò Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò O(m) ºµ ¾º Þ Ò Ñ Ú Ð Ø ØØ Ö Þ Ò Ð v Þ Ð Þ Ø ÖØÓÞ Ö Þ Ò Ñ Ò Ò x Ö Ñ Ò ÞÞ Þ x¹ö ÐÐ Þ¹ Ð Ø Ñ ÐÝ ÞÓÑ Þ Ð Þ ÖÑ ÞÓØØ v¹ò ÞØ Þ Ð Ø Ð ÓÐ ÓÞÞÙ Ø Ö Ð Þ ÐÐ Ø Ðº Ñ ÐÝ Ò Ñ Ð Þ ÖÑ ÞÓØØ v¹ò ÞÞ Ð Ò Ñ ¹ Ò ÐÙÒ ÑÑ Ø Þ ÐÝ Ò Ò Ñ Ð ÓÐ ÓÞ Ò ÖÓ Þ Ð Ú Þ Ð Ø Ø Ò Ú ÞÞ ÐÚ ÞØ Ø ØØ Ð Ô Ò º Å Ú Ð v Ð Þ ÖÑ ÞÓØØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ Ð ÓØÒ Þ Ð Ò Ñ¹Ð Þ ÖÑ ÞÓØØÒ Ð Þ Ø Ö ÐÐ Þ Ð Ú Þ Ð Ø Øº v¹ò Ñ Ò Ò y Ý Ö Ö Þ y¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ö Þ Ò Ñ Ò Ò x Ö ÓÒ¹ Ð Òº ÁØØ x ÐÐ Ø Ò Ò Ñ Ð ÓÐ ÓÞ Ò Ð Ð ÓØÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ Ñ ¹ Ò Ñ Þ ØÙ Ð Ö Þ Ò Ú Ò Þ Þ y Ð Þ ÖÑ ÞÓØØ µ Ø Ø Ý Ö Ù Ð Þ Þ Ð Ú Þ Ð Ø Ø Ð Ø Ð Ö Ð ÓÐ ÓÞÞÙ Ð Ø Ö Ð Þ Ð Ø Ñ y Ð Þ ÖÑ ÞÓØØ Ò Ñ Ø Þ Ò ÓÖ Ð Þ Ð Ø Ú Ö Ð ÓØØ Ð ÙÒ ØÓÚ Ñ ÖÓ Þ Ð Þ Ò Ñ Ö Ò º Î Ý Ñ ÐÝ Ö Þ Ò Ñ ÓÖM(x) ÓÖÖ Ò Ò Ú Þ ÓÖÖ ÔÓÒØÓ Ø Ñ Ò Ý xôóòøò Ð ÐÚ Ø Þ x¹ö ÐÐ Þ Ð Ø Ñ Ú ÔÓÒØ ÐÐ Ø Ò Ú Ö Þ O(m)¹ Ò ÐÝ ØØ Ø Ö Ò Þ Øº

38 ¼ ¾º Ä Ö Ú ØÔ ÖÓ Ö ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ¾º¾ º Ò º Æ Ú ÞÞ Ö Þ Ð ÓÐ ÓÞ ÓÖ Ò Ä Ô Ò Ú Ø Þ Ø ¹ ÓÐ ÓÞÞÙ Ð ÓÖ Ò Þ Ð Ø Þ ØÙ Ð Ò Ú Þ ÐØ ÐÐ Ø Ò Ñ Ú Ý Ý ÐÚ ÞØ Ø ØØ Ð Ô Ø Ø Þ Ò Ú Ý Ð Ø Ò Ú Ö Ö Ò º Ö Þ Ð ÓÐ ÓÞ Ø Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ò Ú ÞÞ ÓÖ Ò Ñ Ò Ò Ò Ý¹ Ý Ä Ô Ø Ø Þ Ò º Ý Þ ÙØÓÐ Ò Ñ Ö Ø Ð Ò ÝÓ µ Ø Ò Ñ ÐÐ ÞÒ Ñ ÖØ Þ ÓÒÒ Ò Ý Ñ ØÐ Ô Ð Ø Ñ Ö Ñ Ø Ð ÐØÙ Ñ Ú Ò Ðµº Ú ÐØÓ Ø Ñ ØØ Ú ÞÓÒØ Ó ÐÐ Ý ÐÒ Ó Ý Ñ ÓÖ Ø ÖÐ Ò Ý uw Ð Ø Ñ Ò Ø Ú ÔÓÒØ Ð Ø Ð ÓÖ Þ Ý Ð Ø Ð Ò Ú Þ Ð Ø Ò Ò Ñ ÔÔ Ò ÓØØ Ø ÖØÓØØÙÒ ¹ Ñ ÖØ ÓÖ Þ Ð Ñ Ø ÖÐ ÓÖ ÓÒ Ó Ó ÒÙÒ ÐÐ Ö ÑÙØ Ø ÔÓ ÒØ ÖÖ Ð Ø ÐÐ ÐÝ ÞÒ Ø ÖÐ Ò Ð Ñ Ð ØØ Ú Ý ÙØ Ò ÔÓÒØÖ ØØ Ð Ò Ó Ý Ð Ö Ú Ý ØÖ Ð ÙÒ ÔÔ Ò Þ ÓØØ Ð Ø Òµº Ý Ð Ø ÖÐ Ý ÐÐ Ø Ð ÞÞ Ð Ý ØØ O(1) º ¾º º½º Ä Ô Þ Ñ Ð ÑÞ Ö Þ ØÚ Þ Ð Ò Ð Þ Ý ØÐ Ò Ñ Ò Ñ Ò Ñ ÐÐ Ô ØÓØØÙ Ñ Þ Ø Ý Ú Ð Ø ÓÖ Ð Ø Þ ØØ Ö Þ Ò Ð Þ ÐÐ Ø ØÚ Þ Ð º Ö Þ Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ð ÓÐ Ó¹ Þ Ò Ñ Ð Ó Ý Þ Ò Ø ÓÒÝ Ð Ø ÔÙÒ ÖÖ º Ý Ä Ô O(1)+O(1) ( Ð ÓÐ ÓÞÓØØ Ð Þ Ñ )º Ì Ø Ö Þ Ú Þ Ð Ø Ò Ø Ð O(m)+Ä Ô Þ Ñ º Ý Ú Ø Þ Ò Ä Ô Ø Ó Ù Ñ Þ ÑÓÐÒ Þ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Òº Æ ÞÞ Ñ Ñ Ø ÖØ Ò Ý v Ú Ð Ø ÓÖº  РРS v¹ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Þ Ø v Ú Ð Ø Ð ØØ S 0,S 1,...S k ÞÓ Ø Ö Þ¹ Ø Ñ Ö S Þ Ø v Ú Ð Ø Ú Ð Ñ Ô Ý Ó Ý Þ Ð (v) S 0 S 1 S 2 S k º Þ S 0 Ö Þ Ò Ñ Ò Ò ÐÐ Ø Ð ÓÐ ÓÞ ÐØ Ö Ø Ð Ø Ð Þ ÖØ Ö Ñ Ð Ò Þ ÐÒ ºµ Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ð ÓÐ ÓÞ Ñ ØØ Ð Ò ÝÓ Ø Ò Ñ ÐÐ ÞÒ Ò Ø Ø Ð Ò ¹ ÝÓ Ò Ù Ý Ò ÒÒÝ Ð Ô Ø Ú Þ Ò Ñ ÒØ Ñ Ó Ð Ò ÝÓ Ò Ø Ø Ñ Ò Ò Ò Ð Ð Ð Ô Ð Ø Ú ÞÞ º Þ ÖØ Þ Ý Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ð Ò ÝÓ µ Ò Ø ØØ Ä Ô Ñ Þ ÑÓÐ Ø Ð ÐØ ÒØ Ò ÓÖ Ð Ð Ð Ö Ò Ñ ¹ Þ ÑÓÐØ Ä Ô Þ Ñ Ú Ð Ä Ô Þ Ñ ÓÞ Ô Øº Ì Ø Ý Ò Ñ Ú ¹ Ð ÞØÓØØ Ø Ó ÙÒ ÝÒ Ä Ô Þ ÑÓÐ Ð Ú Ò Þ Ý ÔÓØØ Ä Ô Þ ÑÓØ Ñ ÞÓÖÓÞÞÙ ¾¹Ú к Þ Ò Ú Ð Ú Ð Ø Ø ÐÐ Ñ Ñ Þ ÑÓÐÒ Þ Þ Ò Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ð Ð L := n Ö º ÓÒ ÓÐ Ø Ñ Ò Ò ÓÐ Þ Ð Þ Ó Ý Ý Ø ÖÓÞÞÙ Ñ ÞØ Ó Ý Ñ ÐÝ Ø Ð Ø Ò¹ Ø Ò Ð Ó Ý Þ ÐØ Ð Ý Ð Ð Ø ÔÙÒ Þ S i S ÖØ Ö Ð Þ S i ¹Ú Ð ÞÓÒÓ Ø ÔÙ Ò Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖ Ò Ø ØØ Þ Ä Ô Þ Ñ Ö º Ì ÒØ Ð Þ Ö Þ S 2,...,S k غ Þ Ò Ñ Ò Ò x ÐÐ Ø Ò Ð Ð

39 ¾º º Ì Ö Ò Ø Þ Ö Þ Ø ½ ¾ Ä Ô Ð ØØ Ú Ñ Ý Ò Ý Ð Ö Ð Þ Ð ÐÚ ÞØ Ø ØØ Ð Ô Ý Ú Þ Ð ÓÒÐ Òµº ÌÙ Ù Ó Ý i = 2...k¹Ö µ S i S 2 Ñ ÖØ Þ Ý Ò ÝÓ Þ Ö Ø Ð Ò Ð ÓÖ Þ Ð ÒÒ Þ S 1 Ø Ø Ò Ñ Þ Ö Ô ÐÒ Þ Þ Øغ Ì Ø Ý ÓØØ x ÓØ Ý ÐÚ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖ Ò Ñ ÓÖ ÐÝ Ò Ø ÔÙ Ò Ä Ô Ø Ú Þ Ò Ö Ø ÓÖ Ñ Ö Ø Ð Ð Ð Ö ÒØ ½¹Ò Ð Ò Ñ Ð Ø Þ Ñµº Ì Ø Þ Ò Ð Ð 2logn Ä Ô Ø Ú Þ Ø Ò Ý ÓØØ x Ò Ð ÞÓ Ø Þ Þ ÑÓÐÚ Ñ ÓÖ ÐÝ Ò Ø ÔÙ Ö Ðº Ì Ø Þ Ò Þ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ð Ð 2nlogn =: L 2 Ö Ä Ô Ø Ú Þ Ò Þ S 2,...,S k Ø ÔÙ Ò Ðº ÅÓ Ø Ø ÒØ S 0 S 1 غ  РРÖØ Øº Ã Ø Ø Ð Ø S 0 Ñ Ö Ø Ø Ø ÒØÚ ( ) m α := max 2, nlog(1+ m n ) ½º S 0 α S 0 S º ÓÖ S 1 Ö Þ Ø Ð Ø ÒØ Ò Ð Ø Ø Ð Þ S 0 Ð Ô Ø Þ ÑÓÐÒ º Å Ò Ò x S 0 Ò Ð Ð Ð m(x)+1 Ä Ô Ø Ú Þ Ò ÓÐ m(x) Þ x¹ö ÐÐ Þ¹ Ð Þ Ñ µº Þ Þ Ø ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ý x T 0 ÓØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Þ Ñ Ö Ø v Ú Ð Ø Ò Ø Ö Ð Ð Þα¹ Ö Þ Ö ÒØ Ø Ø ÒØ Þ ÓÒÐ Òµ Ñ Ò Ò ÓØØx ÓÞ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖ Ò Þ ÐÝ Ò Ö Þ Ò Ð Ð (m(x)+1)log α n Ä Ô Ø ÖØÓÞ Þ Þ Þ Ò Ñ Ò Ò Ö (2m+n)log α n =: L 0 Ö Ä Ô Ñ Ú Ð x V m(x) = 2mµº ¾º S 0 Ò Ý α S 0 S º ÓÖ S 0 ¹Ø Ð Ø ÒØ Ò Ð Ø Ø ÑÓ Ø Þ S 1 Ð Ô Ø Þ ÑÓÐ Ù º Å Ò Ò x S 1 ¹Ò Ð Ð Ð ¾ Ä Ô Ø ÖØ Ò º Ý ÓØØ x¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Þ Ñ ¹ Ö Ø ÐÝ Ò ÓÖ Ð Ð α/(α 1)¹ Ö Þ Ö Ò Ø Ø Þ Ò Ñ Ò Ò Ö Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖ Ò Ð Ð 2nlog α/(α 1) n =: L 1 Ö Ä Ô Ø Ú Þ Ò ÐÝ Ò Ø ÔÙ Òº Ý Þ S 0 S 1 Ò Ø ØØ Ä Ô Þ Ñ Ö ÔØÙÒ Ð Øº Ì Ø Þ Ò Þ Ð Ú Ø Þ Ð Ô Þ ÑÓØ Ô Ù L +2(L 2 +L 0 +L 1 ) = n+4nlogn+(4m+2n)log α n+4nlog α/(α 1) n ÓÐ Þ ÙØÓÐ Ø ( ) nlogn O log[α/(α 1)] ( ) nlogn = O = O(αnlogn) log[1+1/α]

40 ¾ ¾º Ä Ö Ú ØÔ ÖÓ Ö ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ø Ø Þ Þ logα = max(1,log(m/n) loglog(1+m/n)) = Ω(log(1+m/n)) O(nlogn+mlog (1+m/n) n) = O(mlog (1+m/n) n) = O(D)º Ì Ø Ú Ð Ò Þ ÖØ ÙØ Ø ÔØÙ º ¾º º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ò Å Ú Ð º¾º Þ Ø Ò Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ö Ö ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø ØÔ ÖÓ Ö Ö Þ Ö ØÒ Ò ÞÒ ÐÒ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø ÑÓ Ø Ñ Ö Ò Ñ Þ ÐÝ Ò Ö ÒÝ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ð Ø ¹ Ð Ò ÒÝ ØÓÚ Ú Ðº ¾º º½º ÈÓÒØ Þ ÙÒ Ø Ø ÈÓÒØ Þ ÙÒ Ø ØÔ ÖÓ Ö Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ò Ý Ð Ñ ÖØ ØÖ Ø Ú Ð Ú Þ Ú Þ Ø Ø Þ Ð Þ ÙÒ Ø ØÖ Ñ Ò Ò G¹ Ð v ÓØ Þ Ø ÞÙÒ Ý v ki Ý v be Ö Ñ Þ ØØ Ý ¼ ÐØ ò v be v ki Ð ÙØ v Ð ÑÙØ Ø Ð v be Ö Ð ÑÙØ Ø Ô v ki Ö Ó Ò ÐÐ Þ Ò Þ Ø Ð ØÓØØ G e Ö Òº Þ r Ý ÖÒ Ð Þ Ñ Ó Ø Ð Ý Ø ºµ Ý Ñ Ò Ò v ÓÒ Ø Ð G¹ Ð Ø G e ¹ Ð Ñ Ð Ð ÞÒ ÐÒ Ó v be v ki Ð Ø Ø Ø Ø ÐÝ Ò Ò Ñ Ð Ø Ð Þ ÙÒ Ø Þ Þ ÖÑ ÐÝ G e ¹ Ð Ð Þ ÙÒ Ø Ñ ÓÐ G¹ Ò ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø Ð Þ Ú Þ Ð Ñ Ò Ò G¹ Ð ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø Ñ ÓÐ Ò Ñ Ð Ð Ý G e ¹ Ð Ð Þ ÙÒ Ø Ñ ÓÐ º Ý n Ö n Ö Ð Ð Ø Þ Þ Ö O(m) Ò Ð Ð¹ Ð Ø Ø Ø Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÙØ Ö Þ Ø ÖÖ Ø ØØ Ð Ò Ò Ñ Ñ Ó Ùк ¾º º¾º ÁÖ ÒÝ Ø ØÐ Ò Ø Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ø Ø Ú Þ Ú Þ Ø Ø Ý Ý Þ Öò ÓÒ ØÖÙ Ú Ð Ñ Ò Ò Ö ÒÝ ¹ Ø ØÐ Ò uv Ð Ø Ö Ð Ò Ø ÐÐ ÒØ Ø Ö ÒÝ Ø ÐÖ uv vuµº Þ Ù Ý Ò Ó ÓÞ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ ÖØ Ý Ð Þ ÙÒ Ø ØÔ Ö Ý ÓØØ Ð Ø Ö Ñ Ò Ø Ö ÒÝ ÞÒ Ð Ø Ý Þ ÖÖ Ô Ð ÙÐ ¾º º Ö Ò Ð Ø Ø Ö Ò Ò Ñ Ð Þ Ð Þ ÙÒ Ø Þ r a b t Þ r b a t Ø Ñ Ð Ð Ú Þ Ð ØÓØØ Ö Ò Þ Ñ Ò Ò ØÔ ÖÒ Ð Ú Ø Ø Ú Ý Þ ÙØ Þ ÑÑ ØÖ Ù Ö Ò Øµº Ú Þ ÐØ Ð Þ ØÓ Ò Þ Ò Ñ Ó ÓÞÓØØ ÓÒ ÓØ Ñ ÖØ Ð Ö Ú Ø Ö Ñ ØØ Þ Þ Ø Ò Ñ ÓÖ ÙÐ Ø Ð ÔÓÞ Ø Ú Ð ÐØ Ñ ÐÐ ØØ Ñ Þ Öò ÐÚ Ö Ð Ø Ý Ú Ð Ð Þ ØØ Ð Þ Ñ Òµ Þ ÐØ ÐÙÒ ÒØ Ú Þ ÐØ ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø Ø Ò Ñ Ð Ø ÐÝ Òº Ý m Ð Ð Ø Þ Ø Ø ÙØ Ò Þ Ø Ò Ñ Ú ÐØÓÞ º

41 ¾º º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ò a s t b ¾º º Ö º Æ Ñ Ð Þ ÙÒ Ø ÙØ Þ Ó ¹Ú Þ Ñ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Òº ¾º º º ÅÙÐØ Ö Ó ÁÖ ÒÝ ØÓØØ ÑÙÐØ Ö Ó Ö ÞÚ ØÐ Ò Ð Ø Ð Ø Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÐ Ø Ø Ñ Ò ¹ Ò Ø Þ Ö Ö Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ö ÒÝ ØÓØØ Ð Ø Ñ Ò Ô Ð Ø Þ Ö ¹ ÒÝ Ø ØÐ Ò Ö Ú Þ Ú Þ Ø ÓÖ ÔÓØØ Ó ¹Ú Þ Ñ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö µº Ð p(v) Ó ÐÑ Ø Ø Ñ Ó Ý Ò Ò ÐÒ ÑÓ Ø Ò Ñ v¹ø Ñ Ð Þ Ð Þ Þ ØÓÒ Ò Ñ v¹ Ú Þ Ø ÙØÓРк ¾º º º Æ Ø Ú Ð Ý ØÓÚ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ð Ø Ó Ý c ÐÝ Ú ÒÝ Ò Ñ Ò Ò Ò Ø Ú ÖØ Ø º À ÐÝ Ú ÒÝ ÓÒÞ ÖÚ Ø Ú ÓÖ Ð ØÖ Ð ÙØ ÐÝ ØØ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ð ÐÑ ÞÒ Ñ Ð ÒØ Ó Ý c ÓÒÞ ÖÚ Ø Ú¹ µ Ñ Ú Ð Ñ Ó ÙØ ÓÖ Ñ Ö Ò ÑÒ Ø Ú c ÐÝ Ú ÒÒÝ Ð ÓÐ ÓÞÙÒ º Þ Ò Ñ Ð ÙÐ Ø Ö Ñ ÒÝ Þ Ø Ñ Ú Ð Ð Ö Ú ÙØ Ö Ø ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ð ÓÖ ØÑÙ O(nm) Ò Ú Þ º À Ú ÞÓÒØ c Ò Ñ ÓÒÞ ÖÚ Ø Ú ÓÖ Ð Ø ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ø Ó ÐÑ Þ ÆÈ¹Ø Ð Ó Ý ÞØ Ú Ø Þ Ò Ð Ø Ø Ù º º ÈÖÓ Ð Ñ Ä Ö Ú Ø Ô Ö Ð Ø Þ ÔÖÓ Ð Ñ ÄËÄȵµº Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ G(V,E) Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ò Ò Ø Ú Þ ÐØ ò Ö ÒÝ ØÓØØ Öº ÒØ Ð Ó Ý ÓØØ s t ÔÓÒØÓ ÓÞ Ð Ø Þ ¹ Ð Þ ÐÝ Ø Ð Þ ÙÒ Ø s¹t Ø Ú Ý Ø Ø Þ Ð Ò ÐÝ Ø Ø Ð Ð ØÙÒ µº ¾º¾ º Ì Ø Ðº Ð Ö Ú Ø Ô Ö Ð Ø Þ ÔÖÓ Ð Ñ ÆÈ¹Ø Ð º ÞÓÒÝ Ø Ð Ø Æȹ Ð Ñ Ú Ð Ý k¹ò Ð ÐØ ò Ø Ñ Ð Ð Ø Ò º Þ ÆÈ¹Ò Þ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ú Þ Ú Þ Ø Ò Ö Ý Ø Ø ÖÑ ÓÐÝ ÑÓ ÐÑ Ð ¹ Ø Ðµ Ñ ÖØ ÆÈ¹Ø Ð Ð ØÓØ º ÈÖÓ Ð Ñ Ã Ø¹ Ø Ð Øµº ÓØØ G(V,E) Ö ÒÝ ØÓØØ Ö s 1,s 2,t 1,t 2 V Ð Ò¹ Þ Ó º Ä Ø ÞÒ ¹ ÓÐÝ Ò s 1 ¹t 1 s 2 ¹t 2 ÙØ Ñ ÐÝ Þ ÙÒ Ø Ì Ý Ð Ó Ý ÓØØ Ø¹ Ø Ð ØÒ Ý Ô Ð ÒÝ G Ö Ò Ð Ð ÐÐ Ø ØÙÒ Ý G Ö Ò Ý ÄËÄÈ Ô Ð ÒÝØ Ú Ø Þ ÔÔ Òº Ð Þ Ö Þ ÙÒ Ø¹ Ð Þ ÙÒ Ø

42 ¾º Ä Ö Ú ØÔ ÖÓ Ö ËÙÙÖ ÐÐ ¹Ì Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ú Þ Ú Þ Ø Ö Ò Ð ÐÑ ÞÞÙ ÒØ ÑÐ Ø ØØ ¹ Þ Ø Þ Ø Ý Ñ Ò Ò ¹ Ð Ý v be Ý v ki Ô Ð ÒÝ Ð Ø Þ Ú Ú s 1,s 2,t 1,t 2 Ó Ð Ñ Ø Ò Ñ Þ ¹ ØØ ÓÒØ Ò º Å Ú Ý Ò Ð Ø ÔÓÒØÓØ s¹ Ø t¹ø Ð Ø ss 1 ss 2 t 1 t t 2 t t 1 s 1 º Ä Ý Ò c Ð ÐÝ Ñ Ò Ò Ð Ò 0 Ú Ú Þ t 1 s 1 ÐØ ÓÐ 1º 1 s 1 t 1 r t s 2 t 2 ¾º º Ö º ع Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ú Þ Ú Þ Ø Ð Ö Ú Ø Ô Ö Ð Ø Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ö º c(t 1 s 1 ) = 1 Ñ Ò Ò Ñ Ð ÐÝ ¼º ¾º¾ º ýðð Ø º G¹ Ò ÓÖ ÓÖ Ð Ø Þ Ú ÒØ Þ ÙÒ Ø ØÔ Ö G ¹ Ò Ò Ñ Ð Ø Þ Ð Ö Ú Ø Ô Ö Þ Þ Ø Ø Þ Ð Ò ÐÝ Ø Ô Ö Ø Ð Ð Ø s¹ Ð t¹ º ÞÓÒÝ Ø ÐØ Ø Ó Ý G¹ Ò Ð Ø Þ Ø s 1 ¹ Ð t 1 ¹ Þ Þ G ¹ Ò Ð Ø Þ Ò Ø Ú Öº Ì Ý Ð Ó ÝG¹ Ò Ð Ø Þ Ø Þ ÙÒ Ø Ø Ò Ú ÞÞ Þs 1 ¹t 1 ÙØ ØP 1 ¹Ò Ñ Ø P 2 ¹Ò º ÓÖ G ¹ Ò s¹ Ð t¹ ÖÑ ÐÝ Ò ÐÝ Ø Ø Ð ÓØ ØÙÒ Ý Ó Ý P 1 Ø t 1 s 1 Ð ÐØ Ð Ð ÓØÓØØ ÖØ Ð Ó ÞÓÖ ÓÞÞ Ú Þ Þ (ss 1,P 1,t 1 t) Ø ÓÞº ÓÖ ØÚ Ò ÐÝ Ø ÓÖÓÞ Ø Þ Ð ÑÐ Ø ØØ Ñ ÓÒ Ø Ð ØÖ Ñ ÖØ Ò Ò Ñ Ò Ø Ú Ð Ö Ò Ø Ø Ð Ø Þ Ø Ø Þ Ð Ò ÐÝ Ð Þ ÙÒ Ø Ø Ô Ö ÓÖ ÞÓ Ý Ö Þ G¹ Ò ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø ØÔ ÖØ Ø ÖÓÞ Ñ º

43 º Þ Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ÐØ ò ØÐ Ò Ô Ö Ö Ö Ò Þ Ø Ò ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ð Ñ Ö Ò Ñ Ñ Ñ Ò Ð ÐØ ò ØÐ Ò Ô ÖØ Ö Ò º Ð Þ Ö Ý ÓÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ Ø Ñ Þ ÖØ Ø ÒØ Ò Ñ Ú ÞÓÒØ Ö Ñ ÒÝØ Ð Ò Ð Ð Ò ÙØ Ñ Ø ÝÓÖ ÙÖ ÞØ Ø Ö ÙØ Ø Ö Ñ ÒÝ Ð Ñ Þ ÓÒÐ Ø ÔÔ Ò Ý Ö Ú Ð Ð ÐØ Ð Ò Ó Ö Ñ ÒÝØ ÙÖ ÞØ Øº º½º ÇÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ Ø ÁÄÈ Ð Ø ÑÓ ÐÐ Þ Ø Þ ÖØ ò Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÓÞ Ð ØØ Ð Þ Ð Ò Ú ÞÓÐØ Ñ ÓÒº Ì ÒØ ÞØ D(V, E) Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ÓØ Ñ Ø Ý ÔÙÒ Ó Ý G¹ Ò Ñ Ò Ò uv E Ð ÐÝ ØØ Ý uv Ý uv Ö ÒÝ ØÓØØ Ð Ø Ú Þ Ò Ñ Ò ÐÝ c(uv)º Ò Ø Ø ÓÐÝ Ò r Ð Ö ÒÝ ØÓØØ T 1 T 2 ÒÝ Ø Ö Ò Ñ ÐÝ ØÐ Ò º Ñ ÓÐ Ò Ý x s,t i e ØÚ ÐØÓÞ ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý Þ s¹ Ð r¹ ÙØ T i ¹ Ð Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ ¹ Þ e Ð Ø y T i e Ú ÐØÓÞ Ô ÞØ Ó Ý T i Ò Þ Ö Ô Ð¹ Þ e к Þ Ý ÒÐ Ø Ð ÒØ º½º ÞØ ÞØÓ Ø Ó Ý Ñ Ò Ò Ú ÐØÓÞ Ò ØÓÖÚ ÐØÓÞ Ð Ý Òº ÍØ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ý ÒÐ Ø º¾º Ý ÒÐ Ø ÓÐÝ Ñ¹ØÙÐ ÓÒ ÓØ Ö ÒØ Ð Ñ ¹ØÙÐ ÓÒ Ð Ý ØØ Ø¹ØÙÐ ÓÒ ÓØ Ö Ñ ÒÝ Þµ º º Þ ØÔ ÖÓ Ð Þ ÙÒ Ø Ø Þ Þ Ó Ý Ý Ð Ò Þ s¹ Ð Ò ÙÐ ÙØ Þ Ð Ð Ð Þ Ý Ð Ð Ø Ø Þ Ý Ö ÒÝ µº Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ý ÒÐ Ø