A Markov-láncokat nagyon sok tudományágban használnak. A Markovi rendszerek a statisztikus

Átírás

1 5. fejezet Markov-lánc Gyakran találkozunk olyan problémákkal, hogy egy valószín½uségi változóval jellemzett mennyiség miként alakul az id½o múlásával. Például megvizsgálhatjuk, hogy egy cég piaci részesedése, vagy egy részvény árfolyama hogyan alakul az elkövetkez½o id½operiodusban. Az id½oben véletlenszer½uen változó folyamatokat sztochasztikus folyamatoknak nevezzük. Ebben a részben a sztochasztikus folyamatok egy szpeciális részterületét az úgynevezett Markov-láncokkal kapcsolatos feladatokat tárgyaljuk. A Markov-lánc egy olyan diszkrét sztochasztikus folyamatot jelent, amely Markov-tulajdonságú. Nevét egy orosz matematikusról, Andrej Markovról () kapta, aki hírnevét a tudomány ezen ágában végzett kutatásaival szerezte. Markov-tulajdonságúnak lenni röviden annyit jelent, hogy egy folyamat korábbi állapotai a kés½obbi állapotokra csak a jelen állapoton keresztül gyakorolhatnak befolyást. Adott jelen mellett, tehát a jöv½o feltételesen független a múlttól. Semmi, ami a múltban történt, nem hat, nem ad el½orejelzést a jöv½ore nézve, a jöv½oben minden lehetséges. Alapvet½o példa erre az érmedobás ha fejet dobunk els½ore, másodikra ugyanúgy 5/5%-kal dobhatunk írást vagy fejet egyaránt. Ha pedig -szor dobunk fejet egymás után, akkor is ugyanannyi a valószín½usége, hogy fejet kapunk.-re, mint annak, hogy írást, az el½oz½oekhez hasonlóan-a múlt tehát nem jelzi el½ore a jöv½obeli eredményt. A jelen állapot az, hogy van egy érménk (nem cinkelt), fejjel és írással a két oldalán. Szabályos kereteket feltételezve semmi más nem befolyásolhatja a jöv½obeni dobás alakulását. A Markov-láncokat nagyon sok tudományágban használnak. A Markovi rendszerek a statisztikus mechanikának és a dinamikus makroökonómiának is nélkülözhetetlen eszközei. A statisztika egyes folyamatainak modellezésére is Markov-láncokat alkalmaznak. Úgyszintén hatékonyak lehetnek az állapot értékelés, és a minta felismerésben is. A világ mobil telefon rendszereinek hibaelhárítása a Viberth-algoritmustól függ, míg rejtett Markov modellek állnak a beszédfelismerés és a bioinformatika (például, a gének el½orejelzésében) illetve a tanulás egyes folyamatainak hátterében is. A Markov-láncok újabb felhasználási területe a biológiai modellezés. Kiváltképp a népesedési folyamatoké. A Leslie mátrix is egy alkalmas példa erre, annak ellenére, hogy egyes értékei nem valószín½uségek (lehetnek -nél is nagyobbak). Másik fontos példa a sejtek osztódása közbeni alakok modellezése. Az alakok eloszlása, hosszú ideig rejtély volt, mind addig, míg azt meg nem határozták egy egyszer½u Markov-modell segítségével. Ebben a modellben egy sejt állapota, annak oldalainak számát jelenti. A békákon, legyeken és hidrákon tapasztalati úton szerzett információk azt sug-

2 2 5. Markov-lánc allják, hogy a sejt alakjának stacionárius eloszlása bizonyíthatóan minden többsejt½u állatra ugyanaz. Az emberi agy m½uködése a tanulási folyamatok során is Markov-láncokkal magyarázható. Egy honlap PageRank mutatója, amelyet a Google is használ, is Markov-lánc által van értelmezve. Markov-láncokat használunk egyes szerencsejátékok és társasjátékok modellezésére is. Markov-láncokat alkalmaznak az úgynevezett algoritmikus zenei összeállítások készítésére. Markov folyamatokat arra is használhatjuk, hogy egy minta dokumentum alapján látszólag értelmesnek t½un½o szövegeket generáljunk. Ezeket különböz½o szórakoztatási célú szoftvereknél, úgynevezett "paródia generátoroknál" használják 5.. Alapfogalmak Tételezzük fel, hogy tetsz½oleges id½opontban a sztochasztikus folyamat véges számú állapotok egyikében lehet. A lehetséges állapotokat jelöljük ; 2; :::; N-nel. Ekkor egy X ; X 2 ; X 3 ; : : : valószín½uségi változó sorozatot Markov-láncnak nevezünk, ha P (X t+ = i t+ jx t = i t ; X t = i t ; :::; X = i ) = P (X t+ = i t+ jx t = i t ) : Az összefüggés azt állíja, hogy a t + id½oponthoz tartozó állapot valószín½uségi eloszlása csak a t id½oponthoz tartozó valószín½uségi eloszlástól függ, és nem függ azoktól az állapotoktól amelyen kereszt½ul a folyamat eljutott a t id½opontbeli állapotba. A Markov-láncok típusai: Stacionárius átmenet-valószín½uség½u (homogén) Markov-láncról beszélünk, ha az átmenetvalószín½uségek nem függnek az id½ot½ol, azaz: P (X t+ = jjx t = i) = p ij ; ahol p ij olyan és közötti állandók, amelyre p i + p i2 ::: + p in = : m-edrend½u Markov-láncok az olyan Markov-láncok, melyekre (véges m esetén): minden t-re. nevezzük. P (X t+ = i t+ jx t = i t ; X t = i t ; :::; X = i ) = P (X t+ = i t+ jx t = i t ; X t = i t ; :::; X t m = i t m ) Az m = esetén a sztochasztikus folyamatot egyszer½u Markov-láncnak Mi a továbbiakban csak a stacionárius átmenet-valószín½uség½u (homogén) Markov-láncok tárgyalásával foglalkozunk. Itt a p ij annak valószín½usége, hogy a folyamat egy id½operiódus alatt az i állapotból a j állapotba lép át, ezért ezeket átmenet-valószín½uségeknek nevezzük. Egy homogén Markov-lánc id½obeli viselkedését csak akkor tudjuk megadni, ha ismerjük a folyamat kezdeti eloszlását az X -et, és a p ij értékeket összefoglaló P = (p ij ) i;j=;n átmenetvalószín½uség mátrixot. 5.. mintapélda (piaci részesedés) Egy terméket egy adott helyszínen három márkanév alatt forgalmazzák. Jelöljük ezeket A-val, B-vel és C-vel. A terméket összesen 5-an vásárolják és ezek megoszlását a januári hónapra az alábbi táblázat tartalmazza: A vásárlók megoszlása januárban Cég Abszolut Relatív A 72 48% B 35 24% C 43 28% Összesen 5 %

3 Egy piackutatás során felmért márkah½uséget az alábbi táblázat tartalmazza: Cég A B C A 6% 3% % B 5% 8% 5% C % 4% 5% 5. Markov-lánc 3 A táblázatban feltüntetett százalékos arányokat úgy kell érteni, hogy az A márkához az eddigi A márkát vásárlók továbbra is h½uek maradnak, de a következ½o hónapban 3%-a átpártol a B márkához és %-a a C márkához. Úgyanígy értelmezhet½o a táblázat B illetve C sora is, amelyek szerint a következ½o id½oszakban a vásárlók 8%-a h½u marad a B-hez, 5%-a az A-hoz és 5%-a a C-hez pártol. A C márka vásárlói 5%-a h½u marad a C-hez, %-a az A-hoz és 4%-a pedig a B-hez pártol. a. Adjuk meg a feladat átmenet-valószín½uség mátrixát és rajzoljuk meg az átmenet-valószín½uségi gráfját. b. Határozzuk meg a február hónap eleji piaci részesedéseket. c. Hogyan alakul a piaci részesedés az elkövetkez½o egy évben? d. Határozzuk meg a piaci részesedés egyensúlyi eloszlását? e. Várhatóan mennyi id½o elteltével pártol át az egyik márka vev½oinek % egy másik márkára? Megoldás a. A példa márkah½uséget megadó táblázata egyben a folyamat átmenet-valószín½uségi mátrixa is, mivel megmutatja, hogy egyik hónapról a másikra milyen valószín½uséggel marad h½u egy vásárló a márkához, vagy pártol át egy másikhoz, tehát ebben az esetben az átmenetvalószín½uség mátrix: :6 :3 : P :5 :8 :5 A : :4 :5 Az átmenet-valószín½uségi mátrix felépítése olyan grá al szemléltethet½o, amelyben minden csúcs egy-egy állapotnak feleltethet½o meg, s az (i; j) él a p ij átmeneti valószín½uséget szemlélteti. Az 5.. mintapélda átmenet-valószín½uségi gráfját tartalmazza 5.. ábra. b. Mivel a januári piaci eloszlás ezért a február elején az eloszlás így alakul: Q () = Q () P Tehát február elején a piaci részesedés Cég A B C Q () :48 :24 :28 = :48 :24 = :352 :448 :2 : Cég A B C Q () :352 :448 :2 :6 :3 : :5 :8 :5 : :4 :5 A

4 4 5. Markov-lánc 5.. ábra. A 5.. mintapélda átmenet-valószín½uségi gráfja. c. Az el½obbiekben bevezetett P ámenet-valószín½uségi mátrix jól használható, ha annak a valószín½uségét akarjuk kiszámítani, hogy a folyamat az i állapotból n lépésben a j állapotba jusson. A Chapman-Kolmogorov-egyenletek szerint számíthatjuk ki ezeket az n lépéses valószín½uségeket: p ij (n) = NX p ik (t) p kj (n t) ; minden i; j; n és t n esetén. (5.) k= Ezek az egyenletek azt mutatják, hogy az i állapotból n lépésben a j állapoba való jutás közben a folyamat pontosan t lépés után valamely k állapotban lesz. Tehát a p ik (t) p kj (n t) éppen annak a feltételes valószín½usége, hogy a folyamat az i állapotból indulva t lépés után a k állapotba jut. Sajátos esetben, ha n =, akkor p ij () = p ij. A p ij (2) kiszámítására alkalmazzuk az (5.) Chapman-Kolmogorov-egyenletet: p ij (2) = NX p ik p kj, (5.2) k= azaz összeszorozzuk a P mátrix i-edik sorát a P mátrix j-edik oszlopával, tehát a p ij (2) a P 2 mátrix i-edik sorának j-edik eleme. A gondolatmenetet folytatva kapjuk, hogy p ij (n) = a P n mátrix i-edik sorának j-edik eleme. (5.3) Ha az 5.. mintapélda átmenet-valószín½uség mátrixára alkalmazzuk a fenti összefüggést, akkor :6 :3 : :6 :3 : P 2 = P P :5 :8 :5 :5 :8 :5 A : :4 :5 : :4 :5 :45 :46 :25 :25 :75 :8 :7 :55 :28 A.

5 Tehát két hónapra el½orevetítve (március elején) a márkah½uséget mutató táblázat: Cég A B C A 4.5% 46% 2.5% B 2.5% 7.5% 8% C 7% 55% 28% 5. Markov-lánc 5 A gondolatmenetet folytatva, három hónapra el½orevetítve a márkah½uség alakulását az alábbi P 3 mátrix adja meg: P 3 = P 2 P :45 :46 :25 :25 :75 :8 :7 :55 :28 :33 5 :542 5 :27 : :66 5 :96 75 :22 5 :63 :84 5 A. :6 :3 : :5 :8 :5 : :4 :5 Több hónapra el½orevetítve az alábbi márkah½uség (átmenet-valószín½uségi) mátrixokat kapjuk: P 3 P 5 P 7 P 9 P :33 5 :542 5 :27 : :66 5 :96 75 :22 5 :63 :84 5 : :64 34 :2 27 :259 2 :63 53 : 27 :249 2 : :26 46 : :68 89 :6 45 :26 88 :624 4 :3 72 :259 5 : :6 5 : :622 :5 2 : :623 2 :4 53 :26 59 : :4 96 : : :4 86 :262 3 : :4 7 :262 4 :623 9 :4 76 A ; P 4 A ; P 6 A ; P 8 A ; P A : : :23 68 :254 4 : :5 68 :236 4 :69 95 :43 65 A ; P 2 :267 9 :64 2 :7 89 :26 2 : :2 58 : : :9 37 : :62 9 :5 63 :262 6 : :4 27 :26 79 : :5 39 : : :4 97 : :623 6 :4 65 :26 97 : :4 8 : : :4 8 :262 3 : :4 73 : :623 2 :4 75 Észrevehet½o, hogy nagy n értékekre a mátrixok már nem sokat változnak és a sorokban lassan úgyanazon számokat kapjuk. Például, ha az els½o sor els½o elemét három tizedes pontossággal tekintjük, akkor az alábbi sorozatot kapjuk: n p (n) :6 :45 :33 :292 :275 :267 :264 :263 :262 :262 :262 :262 Ez azt jelenti, hogy a kezdeti eloszlástól függetlenül :262 az esélye annak, hogy az A céghez h½u személyek hosszabb távon is h½uek maradjanak az A márkához. Most vizsgáljuk meg az 5.. mintapélda c. alpontjában felvetett kérdést: ismerve a januári piaci eloszlást határozzuk meg, hogyan alakul a piaci részesedés az elkövetkez½o egy évben? A A A A A

6 6 5. Markov-lánc A b. pontban, a piaci részesedésre megadott képlet általában is igaz, azaz ha ismerjük a kezdeti id½oszakban a Q () eloszlást és a P valószín½uség-átmenet mátrixot, akkor az n-edik lépésben az eloszlás Q (n) = Q () P n : (5.4) Felhasználva a (5.4) képletet (három tizedes pontossággal) a piaci részesedésre az alábbi táblázatot kapjuk: n A B C A táblázatból kiolvasható, hogy a piaci eloszlás a nyolcadik hónap elejét½ol kezd½od½oen lényegesen nem változik. Azt lehet mondani, hogy ha a m½urkah½uség állandó, akkor hosszabb távon a piaci részesedés A: 26.2%, B: 62.3%, C:.5% eloszlásnál stabilizálódik. d. Ebben a mintapéldában az n-lépéses átmeneti valószín½uségek megtalálásával foglalkoztunk és megállapítottuk, hogy hosszabb távon ezen valószin½uségek alig változnak. Felvet½odik az a kérdés, hogy ez mindig így van-e? A kérdés emezéséhez szükség van néhány fogalom bevezetésére. Az i-b½ol j-be vezet½o úton olyan átmenetek sorozatát értjük, amelyek i-b½ol indulnak és j-be érkeznek, és a köztes átmenetek során minden valószín½uség pozitív. Például az 5.. mintapéldában -b½ol a 3-ba vezet½o utak (lásd a 5.. ábrát):! : 3, vagy! :3 2 :5! 3, vagy! :3 2! :8 2 :5! 3, stb. A nyílak feletti szám az átmenet-valószín½uségeket mutatja. A j állapotot az i állapotból elérhet½onek mondjuk, ha megadható olyan út, amely az i-b½ol indul és a j-be érkezik. Az i és j állapotok kommunikálnak egymással, ha i-b½ol elérhet½o a j és j-b½ol is elérhet½o az i. A 5.. grafon meg gyelhet½o, hogy minden állapot minden állapottal kommunikál, mivel az állapotok bármelyikéb½ol bármelyikbe vezet egy út. A Markov-lánc állapotainak S halmaza zárt halmaz, ha az S halmazon kívüli egyetlen állapt sem érhet½o el az S-b½ol. Ha belépünk egy zárt halmazba, akkor azt már nem tudjuk elhagyni. Az i elnyel½o állapot, ha p ii =. Ha elnyel½o állapotba jutunk, akkor örökké ott maradunk. Minden elnyel½o állapot egyben zárt halmaz is. A mintapéldában csak az összes állapotot tartalmazó S = f; 2; 3g halmaz zárt. Az i állapot tranziens, ha létezik olyan j állapot, amely elérhet½o az i-b½ol, de az i állapot nem érhet½o el a j-b½ol. Más szavakkal az i tranziens, ha ki lehet oly módon lépni az i- b½ol, hogy soha oda vissza nem térhetünk. Ha az állapot nem tranziens, akkor visszatér½o állapotnak nevezzük. A mintapéldában minden állapot visszatér½o. Az i állapot periodikus k > periódussal, ha k az a legkisebb szám, hogy az i-b½ol kilép½o lánc visszatérési idejének hossza a k egész számú többszörösse. Más szavakkal i állapot

7 5. Markov-lánc 7 periodikus k > periódussal, ha a k az a legkisebb szám, amelyre a P k mátrix i-edik sorában minden elem nulla, kivéve a p ii -t, amelynek értéke. A nem periodikus visszatér½o állapotot aperiodikusnak nevezzük. Másképpen megfogalmazva, egy i állapot aperiodikus, ha létezik egy olyan n szám, amelyre a P n mátrix i-dik sorának egyetlen eleme sem nulla. Ha az összes állapot visszatér½o aperiodikus, és az állapotok kommunikálnak egymással, akkor a láncot ergodikusnak mondjuk. Az 5.. mintapélda (5.) gráfját elemezve láthatjuk, hogy minden állapot minden állapottal komunikál, minden állapot visszatér½o (azaz bármely állapotból ha kilépünk vissza is tudunk jutni oda) és aperiodikus, mivel P mátrix egyetlen eleme sem nulla. Következésképpen a P átmenet-valószín½uség mátrix ergodikus. Tétel Ha P egy N állapotból álló ergodikus Markov-lánc átmenet-valószín½uség mátrixa, akkor létezik egy olyan x = [x ; x 2 ; :::; x N ] vektor, hogy x x 2 x N lim P n x x 2 x N = B C. A : x x 2 x N A Tétel azt mondja ki, hogy a P n mátrix határértéke egy olyan mátrix, amelynek sorai azonosak. Ez a tulajdonság meg gyelhet½o az 5.. mintapélda esetében is. Ez másképpen fogalmazva azt jelenti, hogy hosszú id½o elteltével a Markov-lánc viselkedése kiegyenlít½odik, és annak valószín½usége, hogy a rendszer valamely j állapotba lesz x j, ahol x j értéke nem függ az i kezdeti állapottól. A x = [x ; x 2 ; :::; x N ] vektort a Markov-lánc stacionér eloszlásának vagy egyensúlyi eloszlásnak nevezzük. Ha a (5.) Chapman-Kolmogorov-egyenletekben a t paramétert n -nek választjuk, akkor p ij (n) = NX p ik (n ) p kj : Feltételezve, hogy a P ergodikus és a fenti egyenletben határértékre térve kapjuk: NX lim p ij (n) = p kj lim p ik (n ) ; n! n! ahonnan következik, hogy k= k= x j = NX p kj x k : (5.5) k= Mátrix jelölést használva a (5.5) a következ½o alakot ölti: x = xp: (5.6) Mivel x + x 2 + ::: + x N = és a x j (minden j = ; 2; :::; N esetén), ezért az ergodikus Markov-láncok esetén az egyensúlyi eloszlások az 8 NX >< x j = p kj x k ; ahol j = ; 2; :::; N >: k= x + x 2 + ::: + x N = ; x j minden j = ; 2; :::; N esetén (5.7)

8 8 5. Markov-lánc egyenletrendszer megoldásai. Amint már megállapítottuk a P átmenet-valószín½uség mátrix ergodikus. Így alkalmazható a tétel kijelentése, azaz a folyamatnak van egyensúlyi eloszlása, ami egyben a (5.7) egyenletrendszer egyetlen megoldása. Tehát 8 >< >: x = :6x + :5x 2 + :x 3 x 2 = :3x + :8x 2 + :4x 3 x 3 = :x + :5x 2 + :5x 3 x + x 2 + x 3 = x ; x 2 ; x 3 Az egyenletrendszer megoldása: x = :262; x 2 = :623; x 3 = :5: Meg gyelhet½o, hogy ez megegyezik az el½obb kiszámított hosszú távú piaci részesedéssel ( A: 26.2%, B: 62.3%, C:.5%). Ezek alapján azt mondhatjuk, ha a folyamatot jellemz½o valószín½uség-átmenet mátrix ergodikus, akkor a folyamat nagy számú lépés után az egyensúlyi eloszláshoz tart, függetlenül a kezdeti valószín½uség-eloszlástól. Például, az 5.. mintapéldában ha nem a kezdeti (48%, 24%, 28%) kezdeti eloszlásból indultunk volna ki, akkor is több lépés után az ( A: 26.2%, B: 62.3%, C:.5%) egyensúlyi piaci részesedéshez jutottunk volna. e. Az el½oz½oekben az egyensúlyi valószín½uségek meghatározásával foglalkoztunk, azonban igen gyakran szükséges, hogy valószín½uségi kijelentést tegyünk arra vonatkozóan, hogy a folyamat az i állapotból indulva hány lépésben éri el el½oször a j állapotot. Ezt a lépésszámot (id½otartamot) a j állapot i állapotból való elérési idejének nevezzük. Ha i = j, akkor az i állapotba való visszatérési id½or½ol beszélünk. Általában az elérési id½ok valószín½uségi változók, így valószín½uségi eloszlások tartoznak hozzájuk. A továbbiakban jelölje f ij (n) annak valószín½uségét, hogy az i állapotból a j állapot elérési ideje n. Kimutatható, hogy ezen valószín½uségek eleget tesznek a következ½o rekurzív összefüggéseknek: f ij () = p ij () = p ij ; (5.8) f ij (2) = p ij (2) f ij () p ij f ij (3) = p ij (3) f ij () p ij (2) f ij (2) p ij (). f ij (n) = p ij (n) f ij () p ij (n ) f ij (2) p ij (n 2) f ij (n ) p ij Ilusztrációként számítsuk ki az 5.. mintapéldában az -es állapotból a 3-as állapotba való elérési id½oket az n = ; 2; 3; 4; 5; 6 értékekre. Alkalmazzuk a (5.8) rekurzív képleteket és a

9 5. Markov-lánc 9 feladat P n valószín½uség-átmeneti mátrixait: f 3 () = p 3 () = p 3 = : f 3 (2) = p 3 (2) f 3 () p 3 = :25 : : = :5 f 3 (3) = p 3 (3) f 3 () p 3 (2) f 3 (2) p 3 = :27 : :25 :5 : = :3 f 3 (4) = p 3 (4) f 3 () p 3 (3) f 3 (2) p 3 (2) f 3 (3) p 3 = :23 68 : :27 :5 :25 :3 : = :863 f 3 (5) = p 3 (5) f 3 () p 3 (4) f 3 (2) p 3 (3) f 3 (3) p 3 (2) f 3 (4) p 3 = :2 27 : :23 68 :5 :27 :3 :25 :23 68 : = :68 f 3 (6) = p 3 (6) f 3 () p 3 (5) f 3 (2) p 3 (4) f 3 (3) p 3 (3) f 3 (4) p 3 (2) f 3 (5) p 3 = :7 89 : :2 27 :5 :23 68 :3 :27 :863 :25 :68 : = :697 Észrevehet½o, hogy ezek a számok mind pozitívak és az is igazolható, hogy X f ij (n) : n= Ha ez az összeg szigorúan kisebb mint, akkor azt jelenti, hogy az i állapotból nem érhet½o el a j álapot, ha pedig az összeg értéke pontosan akkor az f ij (n) (n = ; 2; :::) úgy tekinthet½o, mint egy valószín½uségi változó eloszlása. Ez a valószín½uségi változó az elérési id½o. Látható, hogy nehézségbe ütközik az f ij (n) nagyon sok értékének a kiszámítása, ezért az elemzésekben inkább az elérési id½o m ij várható értékét szokták meghatározni, amelyet a 8 X >< ; ha f ij (n) < n= m ij = X X >: nf ij (n) ; ha f ij (n) = n= kifejezés értelmez. Tegyük fel, jelenleg az i-dik állapotban vagyunk és p ij a valószín½usége, hogy átlépjünk a j állapotba. Ennek várható értéke m ij. Ha k 6= j, akkor p ik valószín½uséggel átlépünk a k állapotba, majd innen a j állapotba. Ez utobbi várható értéke m kj. Ilyenkor átlagban +m kj lépés szükséges ahhoz, hogy az i állapotból a j állapotba érjünk. A várható értékek közti összefüggés alapján m ij = p ij + X k6=j n= p ik ( + m kj ) : Mivel p ij + X k6=j p ik = ;

10 5. Markov-lánc ezért az m ij várható elérési id½ok megoldásai az m ij = + X k6=j p ik m kj minden i; j = ; 2; :::N esetén (5.9) egyenletrendszernek. llusztrációként kiszámítsuk az 5.. mintapéldában a várható elérési id½oket. Felírjuk a (5.9) egyenletrendszert a P valószin½uség-átmeneti mátrixra 8 m = + p 2 m 2 + p 3 m 3 m 2 = + p m 2 + p 3 m 32 m 3 = + p m 3 + p 2 m 23 >< m 2 = + p 22 m 2 + p 23 m 3 m 22 = + p 2 m 2 + p 23 m 32 m 23 = + p 2 m 3 + p 22 m 23 m 3 = + p 32 m 2 + p 33 m 3 m >: 32 = + p 3 m 2 + p 33 m 32 m 33 = + p 3 m 3 + p 32 m 23 azaz m = + :3 m 2 + : m 3 m 2 = + :6 m 2 + : m 32 m 3 = + :6 m 3 + :3 m 23 8>< m 2 = + :8 m 2 + :5 m 3 m 22 = + :5 m 2 + :5 m 32 m 23 = + :5 m 3 + :8 m 23 m 3 = + :4 m 2 + :5 m 3 m >: 32 = + : m 2 + :5 m 32 m 33 = + : m 3 + :4 m 23 Az egyenletrendszer megoldásai: m = 3:868; m 2 = 3:579; m 3 = 4:286; m 2 = 6:875; m 22 = :65; m 23 = 5:74; m 3 = 7:5; m 32 = 2: 63; m 33 = 8:6957: Meg gyelhet½o, hogy az m, m 22, m 33 várható visszatérési id½ok reciprokai az x ; x 2 ; x 3 egyensúlyi eloszlásoknak: azaz m = = x :262 = 3:868; m 22 = x 2 = :623 = :65; m 33 = x 3 = :5 = 8:6957: Kimutatható, hogy ez a tulajdonság általában is érvényes, azaz ha P egy ergodikus valószin½uség-átmeneti mátrix akkor a Markov-lánc átlagos visszatérési idejei és az egyensúlyi eloszlások között fennáll az alábbi összefüggés: m ii = x i : Mit is mutatnak meg ezek a számok? Például az m azt, hogy egy olyan vásárló aki az A cég termékéb½ol vásárolt várhatóan még 3:868 hónapig ennél a cégnél fog vásárolni, miel½ott áttérne a B vagy a C termék vásárlására.. Az m 2 = 3:579 pedig azt mutatja, hogy

11 5. Markov-lánc 5.2. Markov-láncok tanulmányozása a WinQSB segítségével Az el½obbi paragrafusban bemutatott számításokat a WinQSB Markov-folyamat eszköztára (Markov Process) automatikusan elvégzi. Alkalmazásképpen tanulmányozzuk az alábbi feladatot a WinQSB segítségével mintapélda (Részvényárfolyam) Részvényárfolyam elemzésekor nagyon sokszor csak az érdekel, hogy az illet½o részvény árfolyama n½o vagy csökken. Egy általunk vizsgált részvény árfolyama az elmúlt 3 napon a következ½o változást mutatta: N C C N N C C N C C N C C C N C N C C N C N N C N C C N C C, ahol az N azt mutatja, hogy az illet½o napon n½ot, a C pedig, hogy csökkent az árfolyam. a. Adjuk meg a feladat átmenet-valószín½uség mátrixát és rajzoljuk meg az átmenet-valószín½uségi gráfját feltéve, hogy csak a legutolsó változás befolyásolja a következ½o napi árfolyamot. Ergodikus-e az átmenet-valószín½uségi mátrix? Tegyünk becslést az árfolyam következ½o napi és hosszú távú változásával kapcsolatosan. Határozzuk meg a várható elérési id½oket és magyarazzuk meg az eredményt. b. Adjuk meg a feladat átmenet-valószín½uség mátrixát és rajzoljuk meg az átmenet-valószín½uségi gráfját feltéve, hogy az utolsó két napi változás befolyásolja a következ½o napi árfolyamot. Ergodikus-e az átmenet-valószín½uségi mátrix? Tegyünk becslést az árfolyam következ½o napi és hosszú távú változásával kapcsolatosan. Határozzuk meg a várható elérési id½oket és magyarazzuk meg az eredményt. Megoldás a. Meg gyelhetjük, hogy az utolsó állapotot leszámítva összesen 2 darab "N" és 7 darab "C" állapotunk van, amib½ol N! N átmenet, azaz "NN" szekvencia 2 darab, N! C, azaz "NC" szekvencia darab, C! C átmenet, azaz "CC" szekvencia 8 darab és C! N, azaz "CN" szekvencia 9 darab található. Ezért az átmenet-valószín½uségeket (átmenetgyakoriságokat) megadó táblázat: N C Az átmenet-valószín½uségi mátrix P = N 2 2 C 9 7 = :66 67 : :529 4 :47 59 Tudjuk a mai napon az árfolyam csökken½o ugrást mutatott (mivel a sorozatban az utolsó bet½u C). Tehát a kezdeti eloszlás Q () = (; ) : A mátrix alapján elkészített átmenet-valószín½uségi gráfot tartalmazza a 5.2 ábra. Az (5.2) átmenet-valószín½uségi gráfot elemezve láthatjuk, hogy minden állapot minden állapottal komunikál, minden állapot visszatér½o (azaz bármely állapotból ha kilépünk vissza is tudunk jutni oda) és aperiodikus, mivel P mátrix egyetlen eleme sem nulla. Következésképpen a P átmenet-valószín½uség mátrix ergodikus. A WinQSB Markov-folyamat (Markov Process) eszköztárát használva az Új alkalmazás (New Problem) menupont kiválasztásával betöltjük az eszköztár 5.3 kezd½otábláját. Itt megadjuk a feladat megnevezését (Problem Title) és az állapotok számát (Number of States). Az OK gombra való kattintás után betölt½odik a feladat 5.4 adattáblája. Itt megadjuk a P :

12 2 5. Markov-lánc 5.2. ábra. A 5.2. mintapélda átmenet-valószín½uségi gráfja ábra. A Részvényárfolyam mintapélda a. alpontjának kezd½otáblája ábra. A Részvényárfolyam mintapélda a. alpontjának adattáblája. átmenet-valószín½uségi mátrixot, a Q () kezdeti eloszlást (Initial Prob.) és az egyes állapotokhoz rendelt költséget (State Cost). Mivel ebben a feladatban az állapotok költségei nem érdekelnek, ezt a sort ½uressen hagyjuk. Az els½o feladatunk meghatározni, hogy a következ½o napon milyen valószín½uséggel fog n½oni, illetve csökkeni az árfolyam. A lépcs½o ikkonra kattintás után megjelenik az eszköztár elemz½o 5.5 ablaka. Itt beírjuk a Kezdeti állapottól való lépés számát (The number of time periods from initial) mez½obe, hogy melyik napra szeretnénk becslést tenni. Mivel minket a következ½o nap érdekel, ezért ide -et írunk. Az OK-ra kattintva megkapjuk a következ½o hónapi becslést. Ez a Becsült állapot valószín½uségek (Resulted State Probability) oszlopból olvashatók ki. Ennél a lépésnél a WinQSB tulajdonképpen a Q () = Q () P = (:5294; :4759) mátrixszorzást végzi el. A kapott eredmények azt mutatják, hogy a következ½o nap az árfolyam 52.94% valószín½uséggel n½oni, és 47.59% valószín½uséggel pedig csökkenni fog. Ha a két napra el½ore becslést akarunk tenni, akkor a Következ½o lépés (Next Period) gombra kattintunk, ha pedig az egyensúlyi eloszlást szeretnénk meghatározni, akkor a Egyensúlyi állapot (Steady State) gombra kell kattintani. Hosszabb periódusra is becslést tudunk tenni, és egy el½orejelz½o gar kont is el tudunk készíteni, ha tarpéz vonalat mutató ikonra kattintunk. Ekkor megjelenik a 5.6 ábra, ahonnan kiválasztjuk, hogy melyik állapot érdekel minket. Mondjuk, ha a növekv½o állapot (N-State ), akkor az -es állapot valószín½uségi eloszlását (Probability of State State) választjuk ki.

13 5. Markov-lánc ábra. A részvényárfolyam mintapélda a. alpontjának lépésenkénti elemz½o ablaka ábra. A részvényárfolyam mintapélda a. alpontja állapotainak valószín½uség változását elemz½o ablak.

14 4 5. Markov-lánc 5.7. ábra. A részvényárfolyam mintapélda a. alpontja növekv½o állapotainak valószín½uségeit tartalmazó eredménytábla ábra. Becslés a részvényárfolyam a. alpontja mintapélda növekv½o állapot valószín½uségeinek változására az elkövetkez½o napra. Az OK-ra kattintva betölt½odik az 5.7 eredménytábla. A táblázatból kiolvasható, hogy a következ½o napban milyen valószín½uséggel fog n½oni az árfolyam. Ennek a táblázatnak az elkészítéséhez a 4.. mintapélda c. alpontjában bemutatott számításokat végzi el a WinQSB, azaz kiszámítja a Q (n) = Q () P n mátrixszorzat els½o elemét, amikor n = ; 2; 3; :::: A táblázat harmadik oszlopa (Probability of State State) az árfolyam növekedés valószín½uségeit tartalmazza az elkövetkez½o napra. Ha a változás gra konját is meg akarjuk jeleníteni, akkor az Eredmények (Results) menupontból kiválasztjuk a Jelenítsd meg az id½o szerinti elemzés gra konját (Show Time Parametric Analysis-Graph). A WinQSB által készített gra kont tartalmazza az 5.8 ábra. Az 5.8 gra konról leolvasható, hogy az árfolyam növekedés valószín½usége az elkövetkez½o 5 napban nagyobb ingadozásokat mutat. Hosszabb távon látható, hogy ez a valószín½uség a :3885 állandó értéket veszi fel. Ez természetes is, mivel az átmenet-valószín½uség mátrix ergodikus tulajdonságú.

15 5. Markov-lánc ábra. A részvényárfolyam mintapélda a. alpontja csökken½o állapotainak valószín½uségeit tartalmazó eredménytábla. 5.. ábra. Becslés a részvényárfolyam mintapélda a. alpontja csökken½o állapot valószín½uségeinek változására az elkövetkez½o napra. Úgyanez a vizsgálat elvégezhet½o a csökkenés valószín½uségeinek a megállapítására is. Ebben az esetben a 5.6. ablakból a 2-es állapot valószín½uségi eloszlását (Probability of State State2) választjuk ki. Az eredménytáblát a 5.9 ábra tartalmazza. A csökken½o állapot valószín½uségeinek 5. gra konját hasonlóan jelenítsük meg ahogyan az el½obbiekben a növekv½o állapotoknál eljártunk. Az 5. gra konról leolvasható, hogy az árfolyam csökkenés valószín½usége az elkövetkez½o 5 napban nagyobb ingadozásokat mutat. Hosszabb távon látható, hogy ez a valószín½uség a :65 állandó értéket veszi fel. Mivel az átmenet-mátrix ergodikus van a folyamatnak egyensúlyi eloszlása. Amint már a 4.. mintapélda d. alpontjában láttuk, ennek meghatározására meg kell oldani a (5.7) egyenletrendszert. A WinQSB meghatározza az egyenletrendszer megoldásait, és az eredményt a 5. táblában jeleníti meg ha a síz½o emberke ikonra kattintunk.

16 6 5. Markov-lánc 5.. ábra. A részvényárfolyam mintapélda a. alpontja egyensúlyi eloszlásai és várható visszatérési idejei ábra. A részvényárfolyam mintapélda a. alpontja várható elérési idejeit tartalmazó eredménytábla. Az egyensúlyi eloszlások a táblázat harmadik oszlopából (State Probability) olvashatók ki: x = (:3885; :65) : Ezek a számok megmutatják, hogy ha az átmenet-valószín½uségi mátrix a következ½o id½operiódusban is állandó marad, akkor hosszabb távon (7-8 nap után) annak valószín½usége, hogy a részvény ára n½ojön 38.85% és annak valószín½usége, hogy csökkenjen 6.5%. Ha meg gyeljük ugyanezt az erdeményt mutatják a 5.8., 5.. gra konok illetve a 5.7., 5.9 eredménytáblák is. A 5.. tábla utolsó oszlopa az m = 2:574; m 22 = :6353 várható visszatérési id½oket tartalmazza. Amint már a 4.. mintapélda e. alpontjában bemutattuk az egyensúlyi eloszlások és a várható visszatérési id½ok között az m ii = =x i (i = ; 2) összefüggés áll fenn. Ezek a számok azt mutatják meg, hogy ha a mai napon az árfolyam n½o, akkor várhatóan legközelebb 2.574nap után fog újra n½oni, ha pedig az árfolyam a mai napon csökken, akkor várhatóan legközelebb.6353 nap után fog újra csökkenni. A többi várható elérési id½oket az m 2 -t és m 2 -t megkapjuk ha megoldjuk a 4.. mintapélda e. pontjában megadott (5.9) egyenletrendeszert. A WinQSB meghatározza ennek az egyenletrendszernek a megoldásait, és az eredményt a 5.2 táblában jeleníti meg, ha az Eredmények (Results) menupont Add meg az els½o elérési id½oket (Show First Passage Times) fejlécére kattintunk. A 5.2 táblából kiolvasható, hogy az m = 2:574; m 2 = :2, m 2 = :6353; m 22 = :6353: Az m és m 22 jelentését már az el½obb bemutattuk. Az m 2 jelentése, hogy ha a mai napon az árfolyam n½o, akkor várhatóan legközelebb.2 nap múlva fog csökkenni. Az m 2 jelentése pedig, hogy ha a mai napon az árfolyam csökken, akkor várhatóan legközelebb.6353 nap múlva fog n½oni. b. Az 4.2. mintapélda b. pontjában a pontosabb el½orejelzés érdekében feltesszük, hogy az utolsó két változás eredménye befolyásolja a kimenetelt. Ekkor négy állapotot veszünk fel: NN (2 darab), NC ( darab), CN (9 darab), CC (7 darab). A 28 vizsgált átmenetben 2-szor fordult el½o az NNC szekvencia, ami azt jelenti, hogy az NN! NC átmenet relatív gyakorisága 2 :Úgyszintén például a CNC szekvencia a sorozatban 7-szer fordul el½o, ezért a 2 CN! NC átmenet relatív gyakorisága 7. Az átmenet-valószín½uségi mátrix a következ½o: 9

17 5. Markov-lánc ábra. A 5.2. mintapélda b. alpontjának átmenet-valószín½uségi gráfja. NN NC CN CC NN NC 3 CN CC 6 7 A mátrixok alapján elkészíthetett átmenet-valószín½uségi gráfokat tartalmazza a 5.3 ábra. Tudjuk a mai és a tegnapi napon az árfolyam csökken½o ugrást mutatott (mivel a sorozatban az utolsó két bet½u C). Tehát a kezdeti eloszlás Q () = (; ; ; ) : Legel½oször is meg kell vizsgéljuk, hogy az átmenet-valószín½uségi mátrix ergodikus-e. Az (5.3) átmenet-valószín½uségi gráfot elemezve láthatjuk, hogy minden állapot minden állapottal komunikál, minden állapot visszatér½o (azaz bármely állapotból ha kilépünk vissza is tudunk jutni oda). Az ergodikusság érdekében még azt kell megnézni, hogy a P aperiodikuse? Itt már nem azonnal látszik ennek a tulajdonságnak a teljesülése, mert a mátrix soraiban vannak nulla elemek. Az elemzés érdekébe számítsuk ki a P 2 ; P 3 mátrixokat.azt találjuk, hogy P = B A ; P = B A : Az aperiodikusság értelmezése szerint ha találunk egy olyan n hatványkitev½ot, amelyre P n mátrix egyetlen eleme sem nulla, akkor a P aperiodikus. A mi esetünkben P 3 egyetlen eleme sem nulla, következésképpen a P valószín½uség-átmenet mátrixa aperiodikus lesz. Összegezésként kijelenthetjük, hogy a P ergodikus tulajdonságú. A továbbiakban hasonlóan járunk el mint az a. alpontban. A WinQSB Markov-folyamat (Markov Process) eszköztárát használva az Új alkalmazás (New Problem) menupont kiválasztásával betöltjük az eszköztár 5.3 kezd½otábláját. Itt megadjuk a feladat megnevezését (Problem Title: Részvényárfolyam b. ) és az állapotok számát (Number of States). Ebben az esetben ez 4. Az OK gombra való kattintás után betölt½odik a feladat 5.4 adattáblája. Itt megadjuk a P átmenet-valószín½uségi mátrixot, a Q () kezdeti eloszlást (Initial Prob.) és az

18 8 5. Markov-lánc 5.4. ábra. A Részvényárfolyam mintapélda b. alpontjának adattáblája. egyes állapotokhoz rendelt költséget (State Cost). Mivel ebben a feladatban az állapotok költségei nem érdekelnek, ezt a sort ½uressen hagyjuk. Az állapotok megnevezéseit (State, State2,State3, State4) könnyebben felismerjük, ha a Szerkesztés (Edit) menupont Állapotok megnevezése (State Names) ablakban ezeket lecseréljük az általunk megadott (NN, NC, CN, CC) azonosítókra.az els½o feladatunk meghatározni, hogy a következ½o napon milyen valószín½uséggel fog n½oni, illetve csökkeni az árfolyam. Hasonlóan mind az a. alpontban a lépcs½o ikkonra kattintás után megjelenik az eszköztár elemz½o 5.5 ablaka. Itt beírjuk a Kezdeti állapottól való lépés számát (The number of time periods from initial) mez½obe, hogy melyik napra szeretnénk becslést tenni. Mivel minket a következ½o nap érdekel, ezért ide -et írunk. Az OK-ra kattintva megkapjuk a következ½o hónapi becslést. A Becsült állapot valószín½uségek (Resulted State Probability) oszlopának tartalma Q () = (; ; :8574; :4286). Mivel jelenlegi állapotunk C, ezért minket csak a holnapi napi eloszlás a Q () harmadik és negyedik eleme érdekel. Tehát a CN állapot bekövetkezésének valószín½usége :8574 a CC állapoté :4286: Következésképpen a holnapi becslésünk: 85.7%-os valószín½uséggel az árfolyam n½oni és 4.28%-os valószín½uséggel pedig csökkenni fog. Emlékezzünk, az el½oz½o alpontban, amikor csak a mai napi árfolyam alapján becsültük a holnapi árfolyamot azt találtuk, hogy a holnapi az árfolyam 52.94% valószín½uséggel n½oni, és 47.59% valószín½uséggel pedig csökkenni fog. Látható, hogy az utolsó két napi változás eredményére alapozott becslés jóval nagyobb esélyt ad az árfolyam növekedésének. Ha több napra el½ore szeretnénk becsülni, és egy el½orejelz½o gra kont is szeretnénk készíteni a trapéz vonalat mutató ikonra kell kattintanunk. Ekkor megjelenik a 5.6 ábrán bemutatott ablak, csak itt már négy állapot lesz felsorakoztatva. Innen szere kiválasztjuk az állapotokat és az utolsó id½opontot (Ending time period). Legyen ez a mi esetünkben 5 nap. A következ½o napokra kapott valószín½uségi eloszlásokat az alábbi táblázatba foglaltuk össze:

19 5. Markov-lánc ábra. Valószín½uségi becslés a részvényárfolyam NN állapotának (egymásután két nap növekszik az árfolyam) változására a következ½o 5 napra. Nap NN NC CN CC A táblázat által megadott adatok alapján a WinQSB által készített gra konokat mutatják a 5.5, 5.6, 5.7, 5.8ábrák. A gra konokról leolvasható, hogy az árfolyam állapotainak valószín½uségei az elkövetkez½o 5 napban nagyobb ingadozásokat mutatnak, de ezután már kiegyensulyózodnak és egy bizonyos értékhez konvergálnak. Ez természetes is, mivel a P átmenet-valószín½uség mátrix ergodikus tulajdonságú. Mivel az átmenet-mátrix ergodikus van a folyamatnak egyensúlyi eloszlása. Amint már a 4.. mintapélda d. alpontjában láttuk, ennek meghatározására meg kell oldani a (5.7) egyen-

20 2 5. Markov-lánc 5.6. ábra. Valószín½uségi becslés a részvényárfolyam NC állapotának (egyik nap n½o s a rákövetkez½o nap csökken az árfolyam) változására a következ½o 5 napra ábra. Valószín½uségi becslés a részvényárfolyam CN állapotának (egyik nap csökken s a rákövetkez½o nap n½o az árfolyam) változására a következ½o 5 napra. letrendszert. Ha a síz½o emberke ikonra kattintunk a WinQSB kiszámítja az egyenletrendszer megoldásait, és az eredményt a 5.9 táblában jeleníti meg. Az egyensúlyi eloszlások a táblázat harmadik oszlopából (State Probability) olvashatók ki: x = (:73; :329; :329; :2678) : Ezek a számok megmutatják, hogy ha az átmenetvalószín½uségi mátrix a következ½o id½operiódusban is állandó marad, akkor hosszabb távon annak valószín½usége, hogy a részvény árfolyama egymásután kétszer n½ojön 7.3%, hogy irányt

21 5. Markov-lánc ábra. Valószín½uségi becslés a részvényárfolyam NN állapotának (egymásután két nap csökken az árfolyam) változására a következ½o 5 napra ábra. A részvényárfolyam mintapélda egyensúlyi eloszlásai és várható visszatérési idejei. váltson 32.9%, és hogy egymásután két nap csökkenjen 26.78% Meg gyelhetjük ugyanezt az erdeményt mutatják a 5.5., 5.6., 5.7., 5.6. gra konok illetve az összefoglaló táblázat is. A 5.7. tábla utolsó oszlopa (Rekurence Time) az m = 3:675; m 22 = 3:389; m 33 = 3:389; m 44 = 3:72 várható visszatérési id½oket tartalmazza. Amint már a 4.. mintapélda e. alpontjában bemutattuk az egyensúlyi eloszlások és a várható visszatérési id½ok között az m ii = =x i (i = ; 2; 3; 4) összefüggés áll fenn. Ezek a számok azt mutatják meg, hogy ha a tegnapi és a mai napon az árfolyam n½ot, akkor várhatóan legközelebb nap után fog újra egymásután kétszer n½oni, ha az árfolyam a tegnapi napon n½ot a mai napon pedig csökkent, akkor várhatóan legközelebb nap után fog újra ez az állapotváltozás lejátszani, ha pedig a tegnapi és a mai napon az árfolyam csökkent, akkor várhatóan legközelebb 3.72 nap után fog újra egymásután kétszer csökkenni. A többi várható elérési id½oket az m 2 -t, m 3 -t, m 4 -t, m 2 -t, m 23 -t, m 24 -t, m 3 -t, m 32 - t, m 34 -t, m 4 -t, m 42 -t és m 43 -t, megkapjuk ha megoldjuk a 4.. mintapélda e. pontjában megadott (5.9) egyenletrendeszert. Ha az Eredmények (Results) menupont Add meg az els½o elérési id½oket (Show First Passage Times) fejlécére kattintunk a WinQSB meghatározza ennek az egyenletrendszernek a megoldásait és az eredményt a 5.2 táblában jeleníti meg,.

22 22 5. Markov-lánc 5.2. ábra. A részvényárfolyam mintapélda várható elérési idejeit tartalmazó eredménytábla. A 5.2 táblából kiolvasható, hogy:m = 3:675 m 2 =, m 3 = 2:876, m 4 = 2:9524, m 2 = 2:675, m 22 = 3:389, m 23 = :867, m 24 = :9524, m 3 = :8585, m 32 = :2222, m 33 = 3:389, m 34 = 3:746, m 4 = 2:25, m 42 = 2:3889, m 43 = :667, m 44 = 3:72: Az m ii jelentését már az el½obb bemutattuk. Az m 2 jelentése, hogy ha a tegnapi és a mai napon az árfolyam n½ot, akkor várhatóan legközelebb nap múlva fog újra árfolyam n½oni. Az m 4 jelentése pedig, hogy ha a tegnap és a mai napon az árfolyam csökkent, akkor várhatóan legközelebb 2:25 nap múlva fog egymásután két nap n½oni Kit½uzött feladatok 5.. Egy tejtermékeket termel½o és forgalmazó cég részesedése a helyi piacból 25%. A cég marketing osztálya egy felmérés alapján megállapította, hogy az elmúlt évhez viszonyítva a vásárlók 88% h½uséges maradt a céghez ebben az évben is, 2%-a pedig elpártolt másik, hasonló termékeket forgalmazó cégekhez. Úgyszintén azt is megállapították, hogy a konkurens cégekhez is a vásárlók 88%- h½uséges maradt és csak 5% pártolt át hozzájuk. Ha ez a tendencia fennmarad, akkor egy év múlva, két év múlva és hosszú távon milyen piaci részesedéssel számolhat a cég? 5.2. A székelyföldi lakosság három csoportba sorolható, aszerint, hogy városban, falún vagy a városok vonzáskörzetében élnek. Egy adott évben a városlakó családok %-a átköltözik vonzáskörzetébe, és 5%-a falúra költözik. Ugyanakkor a városok vonzáskörzetében él½ok 3%- a városokba és 4%-a falúra költözik. Végezetül a falusi lakósok 2%-a városokba és 4%-a a városok vonzáskörzetébe költözik. Ha valaki városban lakik, mi annak a valószín½usége, hogy két év múlva szintén városban fog lakni? Ha ez a tendencia megmarad év múlva a székelyföldi lakosság hány százaléka fog városban élni, tudva azt, hogy jelenleg a lakosság 3%-a városokban, 55%-a falún és 5%-a a városok vonzáskörében él? 5.3. Három személy közül szeretnénk egyet igazságosan kiválasztani. E célból mindhárman feldobnak egy szabályos kockát. Ha a legnagyobb számot közülük csak egy dobja, akkor ½ot választjuk ki. Ha mindhárman egyforma számot dobnak, akkor megismételjük a dobásokat. Ha a legnagyobb számot ketten dobják, akkor a harmadik személy kiesik a választásból; a másik kett½o addig folytatja, amíg különböz½ot nem dobnak, és ekkor az nyer, aki a nagyobbat dobja. Igazságos-e ez a sorsolás? Várhatóan hány dobássorozatra kerül sor?

23 5. Markov-lánc Egy országban a választásokon mindig csak két párt gy½ozhet: vagy az A, vagy a B. Az utolsó 3 választás eredményei a következ½ok: A A B A A B B A B B A B B B A B A B B A B A A B A B B A B B. a. Tegyünk becslést a választások kimenetelével kapcsolatosan feltéve, hogy csak a legutolsó választás eredménye befolyásolja a következ½o választás kimenetét. b. Tegyünk becslést a választások kimenetelével kapcsolatosan feltéve, hogy az utolsó két választási eredmény befolyásolja a kimenetelt Három herceg, A, B és C egyaránt szerelmes Bergengócia királylányába. Elhatározzák, hogy egyetlen pisztolypárbajban eldöntik, melyikük legyen a kér½o. Egyszerre körbeállnak és bármelyikük l½ohet bármelyikükre. Tudják egymásról, hogy ha l½o, akkor A, B,8 és C,5 valószín½uséggel talál, ezért abban állapodnak meg, hogy el½oször l½o C, utána (ha életben van) B, végül A. Ha nincs vége a párbajnak, akkor még egy kört l½onek azonos sorrendben. Mikor a királylány meghallotta a feltételeket, a párbaj el½otti este titokban kicserélte C els½o golyóját vaktöltényre. Kibe szerelmes a királylány? 5.6. Egy patkány kezdetben az ábra szerinti A ketrecben van. A patkányt beidomították: ha cseng½oszót hall, egy járaton keresztül átmegy valamelyik szomszédos ketrecbe. Amikor tehát a cseng½o megszólal, a patkány véletlenszer½uen, egyforma valószín½uséggel kiválaszt egy járatot; a döntését nem befolyásolja az sem, hogy el½oz½oleg merre ment. Mekkora a valószín½usége annak, hogy 23 cseng½oszó után a patkány a B ketrecben lesz? 5.7. Egy Chumpi nev½u csimpánz leül a számítógép elé, és elkezdi lelkesen püfölni a billenty½uzetet. A billenty½uzet az angol ábécé 26 nagybet½ujét tartalmazza; Chumpi pedig teljesen rendszertelenül (véletlenszer½uen) üti le egymás után a bet½uket. a) Igazoljuk, hogy ha Chumpi elég kitartó, akkor el½obb-utóbb leírja a nevét! b) Ehhez átlagosan hány leütésre van szüksége? (El½oször becsüljük meg, hogy ha egy leütés átlagosan másodpercig tart, akkor várhatóan mennyi id½o alatt írja le Chumpi a nevét!) c) Chumpi stratégiát változtat. Most is véletlenszer½u a bet½uválasztása, de arra ügyel, hogy az éppen leütött karaktert nem ismétli (bár két lépés múlva persze már megint leütheti). Ezzel a módosítással átlagosan hány leütésre van szüksége, amíg a nevét véletlenszer½uen kiírja? (Több vagy kevesebb leütés kell, mint a b) esetben?)