MECHANIKA III. gépészmérnököknek

Átírás

1 PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLCK MIHÁLY MŰSZKI KR Gépéze Inéze Gépzerkezen Tnzék MECHNIK III. gépézérnököknek Péc 4 ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon PD creed wh pdfcory Pro rl eron

2 Szerző: Dr. Orbán erenc Kézro lekorál: Dr. Néeh él Kdó: Péc Tdoányegyee Pollck Mhály Műzk őkol Kr Péc Mechnk III. gépézérnököknek jegyze ERP-DD-HU--.z Phre pályáz lpján kézül ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon PD creed wh pdfcory Pro rl eron

3 Trlojegyzék. Knek. old Töegpon knekáj... Sebeég... Gyorlá..3. körozgá..4. Hronk rezgőozgá..5. Hjlíá..6. áolág gy ege ú eghározá ere e knekáj... Sebégállpo... Gyorlá állpo..3. Ele özee ozgáok..4. ere e íkozgá..5. Klzá hjóű knekáj..6. Ellenörző kérdéek Knek.. Töegpon knekáj... Iplz éel... Perdüle-éel..3. nkéele..4. Teljeíény z nyg ponrendzer knekáj Mere eek knekáj.3.. zbd engely.3.. perdüle-éel.3.3. Mere eek eeén.3.4. ere onkozó nkéel. old. 3. old. 7. old.. old.. old. 4. old. 6. old. 7. old. 8. old. 8. old. 9. old.. old. 3. old. 5. old. 6. old. 6. old. 6. old. 8. old. 9. old. 9. old. 3. old. 33. old. 35. old. 38. old. 4. old. 4. old. 3. Üközé 44. old z üközé jelenée, egyzerüíéek z üközéek ozályozá z üközé foly Rézben rgl üközé k üközé ényező kíérle eghározá Ellenörző kérdéek Irodlojegyzék 44. old. 45. old. 45. old. 47. old. 5. old. 5. old. 53. old. ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 3 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

4 . KINEMTIK. Töegpon knekáj knek echnkánk z z ág, ely ozgáoknk ck leíráál fogllkozk nélkül, hogy ozgáok kelekezéé, oká zgálná. kneká (é kéőbb kneká ) ozgó nyg e jellege zern ozályozhjk, bezélünk z nyg pon z nyg ponrendzer é ere e ozgááról. ozgó ee kkor eknjük nyg ponnk (öegponnk), h éree ozgá éreehez képe elhnygolhón kcnyek. Ilyenkor z egéz e ozgáá egyelen ponjánk ozgáál jelleezhejük. Hogy egy e nyg ponnk eknheő-e, z ehá zgál ozgáól függ. Példál egy bolygó Np körül ozgáá ekne nyg ponnk eknheő, de engelye körül forgáá zgál ár ne. hldó e egyelen ponl helyeeíheő, h e egy ponjánk ozgáá erjük, kkor z egéz e hldó ozgáá erjük. knekábn z nyg pon é ere e ozgázony árgyljk, z nyg ponrendzerekkel ck knekábn fogllkoznk. z nyg pon helyzeé é ozgáá érben ndg lely koordnárendzerhez képe kell egdn, lleőleg zgáln. űzk gykorlbn öldhöz köö koordnárendzer hználjk. Vlely ezőlegeen egálzo koordnárendzerben z nyg pon pllnny helyzee r ( ) r ekor-klár függénnyel dhó eg. (. ábr) r OP + yj + zk ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 4 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

5 z P r() y. ábr z nyg pon ozgá kneklg eghározo, h z r ekor n z dő függényé erjük, pl. derékzögű koordnáákkl kfejeze; z r ( ) ( ) ; y y( ) z z( ) ; r özefüggé ozgáörénynek neezzük. Ez függény folyono. ozgó pon áll befo folyo görbé pályánk neezzük. Mek zezögéből néze ( ) r r függény érgöbe préere egyenlee. ozgáok leíráánk egy oább leheőége, hogy egdjk pályá é z, hogy lely ponjából ndl ekkor f be dő l. Így ozgá z () lkú ozgáörény jellez. z ú előjele klár ennyég. pály ábr ozgáok pály lkj zern ozályozhók. Így bezélünk egyene onlú ozgáról, körozgáról, íkozgáról. z nyg pon ozgá háro dl jelleezheő, háro zbdágfok n. (pl., y, z) z nyg pon ozgáánk gen fono jellezője z dőegyég l befo ú, ebeég. Előzör zgáljk eg közepe ebeég foglá. öegpon ozgá orán dőponbn legyen z ponbn, + dőponbn pedg ponbn. (.3 ábr) ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 5 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

6 z r r r y ké pon helyzeé z é r.3 ábr r ekorok hározzák eg. ( ) pon ozgáár jellező r r r ekor elozdlá ekornk neezzük. k r hánydo közepe ebeégnek neezzük. Denzój [ ]., dőzkbn öeg- közepe ebeég párhzo z elozdlá ekorrl. k közepe ebeég z zkzon égbeenő ozgáról ck közelíő képe d. H éréké nden háron úl cökkenjük, úgy k közepe ebeég háréréke hú képe d ozgáról dőponbn, llee z ponbn... Sebeég közepe ebeég háréréke l k l r ekor ozgá ebeége dőponbn. dr d r H ozgáörény z íkoordná egíégéel do: r ( ); r ( ) r l l r e dr e, z érnő egyégekor d d pályebeég. d ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 6 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

7 ebeégekor pály érnőjéel párhzo. álozááról zelélee képe kpnk, h ebeégekorok közö ponból felérjük. ebeégekorok égponj egy görbé hároz eg z ún. hodográfo. (.4 ábr) pály hodográf y r r + + r+ r.. Gyorlá.4 ábr H ebeég z dőben ne állndó, kkor álozó ozgáról bezélünk. l gyorlá hodográf érnője. d d d r r& d H ozgáörény z íkoordná függényében do, gyorláekor köekező lkbn írhó. e e ( ) l e l e+ e+ l e + nn Mel: e n ρ ρ pály görbüle gr, egegyezk ló kör grál pályen gy ngencál gyorlá öegpon egy do helyén z n norál gyorlá ndg pály görbüle középponj felé. z egyene onlú ozgá n ρ z egyene onlú ozgá pályáj egyene onl, zononk eknheünk koordnárendzer engelyéel, így ozgáörény ( ) ( ) ( ) ( ) r ; lkbn írhó. ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 7 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

8 ezélheünk egyene onlú é álozó ozgáról..5 ábr Egyenlee ozgá eeén ebeég ngyág állndó, ehá d con; d knek zgálok célj ozgá háro jellezőjének előállíá z dő függényében. háro dőfüggény köekező: ú, ebeég, é gyorlá. Egyenlee ozgá eeén: () +. () con () háro függény grfkn zoká ábrázoln, ezeke knek gy foronó görbének neezzük. ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 8 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

9 .6 ábr Egyenleeen álozó, egyene onlú ozgánál ebeégálozá z dőel rányo, így () con ozgáörény köekező lkú lez: ebeég-függény: z egyenleeen álozó ozgá foronó görbé egy péld kpcán nlányozzk.. Péld eró-zerelény ké, k áolágbn leő egálló közö áodpercg gyorí, llee lí. gyoríá, llee líá éréke /. közbenő 3 áodpercben egyenleeen ozog zerelény. Rjzoljk eg foronó görbéke zázerű érékek eghározáál. gyoríá é líá új 3 ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 9 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

10 () (/) () (/ ) ábr - z egyenlee ebeég: 6 3 / ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon PD creed wh pdfcory Pro rl eron

11 ..3 körozgá H egy nyg pon lely íkbn úgy égz ozgáá, hogy közben egy kjelöl ponból zono r áolágr rd, kkor körozgá égez. ozgá pályáj egy középponú é r grú kör. z ú-dő függény befo íen () lkbn dhjk eg. r ϕ r + ϕ n.8 ábr H ozgó pon körpály ponjából ponb j, közben z íen ez eg. Egyenlee körozgáról kkor bezélünk, h ozgá orán pályebeég ngyág ne álozk, ehá d con d d dϕ r rω d d ozgá háro dőfüggénye felírhó kerüle é polár jellezőkkel ( ) + ϕ ϕ( ) () con ω ω() α ϕ + ω con zöggyorlá körozgá ozgáörénye felírhó ég köekezőképpen : ( ϕ) R( coϕ j n ϕ) r + ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon PD creed wh pdfcory Pro rl eron

12 y áll R ϕ r n.9 ábr ( ) R[ co( ϕ + ω ) + j ( ϕ + ω ) ] r n ϖ - zögebeég, ekorennyég pályíkr erőlege é z ponhoz köheő, érékegyége: /. ϖ r öegpon gyorlá: kpo gyorlá érék pály középponj elé ponbel noráll párhzon. körozgá egyenleeen gyorló, h zöggyorlá α áll. Ebben z eeben ϕ ϕ + ω + α ngencál gyorlá o ne, hne r α ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon PD creed wh pdfcory Pro rl eron

13 ..4 Hronk rezgőozgá hronk rezgőozgá érelezheő, n körozgá eülee. ω y ω.. ábr Egyzerű kíérleel gzolhó, hogy függőlege íkbn egfelelő fordlzáú egyenlee körozgá égző ponzerű e eülee é rgór függeze golyó rezgée egyfor. y r n ω Legyen r, legngyobb kéré így: y n ω rezgő e ebeégé korozgá ebeégének eülee dj n ω norálrányú gyorlá eülee pedg: -ω nω -ω y Rezgédőnek gy peróddőnek neezzük z z dő, ely l z y éréke egegyezk kéré kezde érékéel. π T ω frekenc pedg rezgédő recprok: f T ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 3 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

14 ..5 Hjíá ferde hjíá ké ozgá eredőjekén foghó fel. Vízzne ránybn n egyenlee ozgá, kor öegpon ebeégéel hld, függőlege ránybn pedg egyenleeen álozó ozgáról bezélheünk, kor z ndló ebeég y é gyorlá pedg g z ún. nehézég gyorlá. y y α g c C prbol H h y L. ábr ízzne, llee függőlege ozgáegyenleek: y h ( coα) + ( n α ) g H z elő egyenleből éréké ákb helyeeíjük, pálygörbe egyenleé kpjk. y gα + co α g Ez z özefüggé egy prbol egyenlee. ozgápály l g ekorok íkjáb eő prbol lez. ozgápályár onkozó leezeéünk ck légüre érre érénye, h légellenállá fgyelebe ennénk kkor ún. bllzk görbé kpnk. hjíá feldok egoldáánál köekező kérdéekre kell álzolnk. Menny deg r ozgá, lyen gr eelkedk z nyg pon é ekkor ege ú ízzne áolág. h ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 4 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

15 Előzör hározzk eg z eelkedé dejé é z eelkedé H gágá. e ddg eelkedk, íg függőlege rányú ebeégkoordná zér ne lez. y n α g z eelkedé deje: n α g legngyobb eelkedé gágár írhó z egyeneonlú, egyenlee ozgá képlee lpján: H h + y g h + n C ponból ponb nny dő l ér le z nyg pon, nh függőlegeen leene. Így z eé deje: g α H g ozgá deje ehá + ozgá ízzne áolág ezek án eghározhó: L coα. Péld ízzne lj fölö h gágbn léő ponból nyg pono hjínk el ízzneel α 3 -o zöge bezáró 8 /ec ebeéggel (. ábr). Hározz eg z eelkedé é z eé dejé. Mlyen gr (H) eelkedk z nyg pon? Mekkor hjíá ízzne áolág (L)? záíáokbn g / Megoldá ebeég özeeők: y z eelkedé deje: n α 69,8 / n α 3 / y g 4 ec legngyobb eelkedé gág: ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 5 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

16 z eé deje: H h y ozgá deje: H g 36 + ec hjíá ízzne áolág: 6 ec L 69,8 69, 8 Sok eeben ozgá ebeég dő függénye er, nézzük eg egy egyeneonlú ozgá eeén, hogyn hározhó eg ege ú...6 áolág gy ege ú eghározá. H egyenlee ozgál n dolgnk, öegpon ebeége é z elel dő lpján ege ú záolhó Nehezebb feld, h ebeég álozk. H pl. egy gépkoc áll ege krjk eghározn, kkor percenkén gy félpercenkén leolk ebeégérő. Így ege ú záolhó: ( ) záíá ne d pono eredény, er dő l ebeég álozk egy kc. cökkenée réén ponoág fokozhó, pono érék l ( ) ek erre hárérékre dfferencálhoz honlón egy zbólo ezeek be, ez pedg z negrál jel. () d fenek z jelenk, hogy () dgr l erüle ege úl rányo, h () >. de pl. z.. ábránk egfelelően ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 6 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

17 () d. ábr kezdőponól ló elozdlá, de ege ú. ere e knekáj ()d ere e olyn képzel e, ely lkjá é éree ozgá orán ne álozj. ere e knekájánk feld ere e ozgáánk, helyze álozáánk leírá. Álláno eeben e ozgáá háro, ne egy egyenebe eő ponjánkozgá eghározz. háro pon koordnáájánk nden dőponbn ló eree erézeeen e klenc erelen eghározáá feléelez (klenc koordná). ponok áolág ozgá orán állndó. ere e ozgáá 6 függelen d egyérelűen eghározz, ezér ondjk, hogy ere e zbdágfok: 6. z r r C r D C y.3 ábr ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 7 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

18 z.3 ábrán láhó háro pon egy ezőlegeen kjelöl D pon helyzeé egyérelűen eghározz bárely dőponbn. ponok relí áolág ne álozk. Gondoljnk rr, hogy négy pon eréder hároz eg é h egy lpjá kjelölő hározög er, eréder negyedk ponj egyérelűen eghározo. Mel ere e ké ponjánk áolág ne álozk ozgá orán, így áolág négyzee e. d d r fen feléel ké eeben eljeül, h Ekkor legyen ϖ r ( ) r r llee h é re. ' z elő eeben hldó ozgáról bezélünk, ák eeben engely körül forgó ozgáról... Sebeégállpo legállánobb ee, h ere e egy do gy: + ϖ r ebeéggel ozgó engely körül forog, H erjük ere e öze ponjánk ebeégé, kkor erjük ebeégállpoá. fen képle lpján é ϖ ereében bárely pon ebeége eghározhó, erézeeen ere e geoerájá ernek éelezzük fel... Gyorlá állpo H z pon ozgájellező erjük, bból pon gyorláá eghározhjk. z ω r r r α ω α y.4 ábr ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 8 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

19 pon gyorlá z lábbk zern írhó (leezeé nélkül) α α + α r + ϖ ( ϖ r ) ere e ele ozgá. ere e ozgá égelen k ozgáok oroz. z lyen röd deg ró égelen k ozgá ele ozgánk neezzük. lóágbn eek ége ozgáok égeznek. ere ele ozgá hldó é forgó ozgáok. hldó ozgá zoká ég rnzlácónk neezn. H egy ere e hldó ozgá égez, kkor ezőlegeen kálzo ké ponj áll eghározo egyene onldrb ozgá közben öngál ndg párhzo rd. hldó ozgá égző e ozgáánk leíráához elegendő egyelen ponjánk ozgáá ern. ere eről kkor ondjk, hogy helyálló (f) engely körül forgó ozgá égez, h ké ponjánk ozgá orán ndégg nyglob rd...3 Ele özee ozgáok. Hldó ozgáok özeéele. H e egydejűen öbb hldó ozgá égez, kkor z eredő ozgá é hldó ozgá lez, é z eredő ozgá ebeégekor koponen ozgáok ebeégekornk eredője. z ele hldó ozgáok özeéelének probléáj jelenkezk folyón ló ákelénél. z egyk ele hldó ozgá íz égz, ely gál odorj hjó ebeéggel, ák ele hldó ozgá hjó égz, elynek ebeége e.5 ábr ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 9 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

20 Ele forgó ozgáok özeéele. Ké egyá ező engely körül égbeenő egydejű forgá eredő ozgá forgá, forgá zögebeégé é ezzel engelyé ekor prlelogr álój dj. forgáok özeéelére z.6 ábrán nk be példá. R ω r ω.6 ábr ω z ábrán ázol kerék ízzne engely körül ω zögebeéggel é gynkkor z O pon körül ω zögebeéggel forog. z eredő zögebeége zögebeég ekorok ekorál özege dj. köekezőkben árgyl íkozgá z ele hldó é forgó ozgáok özeéeléből zárzhó le...4 ere e íkozgá H egy ere e úgy ozog, hogy nden ponj íkgörbé ír le é ezen görbék íkj nd párhzok z lpíkkl, kkor ozgá íkozgánk neezzük. íkozgá égző ere enek ozgáállpo egyérelűen eghározo, h erjük ké ponjánk egyáól függelen ozgáá. Mel z elegendő ezeke klár ennyégkén kezeln. ϖ é α ekorok z lpíkr erőlegeek, ezér z y íkkl párhzo ozgá eeén ϖ ωk ; α αk y r ω r o V ω r r.7 ábr ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon PD creed wh pdfcory Pro rl eron

21 Egy ezőlege pon ebeégekor + ϖr fen ekoregyenlee z.7 ábrán eg zerkezeük. Kereünk olyn P pono, ely hldó ozgá ne égez, ehá Ilyen pon ndg n, hzen r ϖ P P + ϖr P. P pono eghározó helyekor erőlege r. pllnny forgáengely P döféponjá ebeégpólnk neezzük. Sklár özefüggé lpján: r P ω íkbel ozgá egdáához háro dr n zükég. háro d köekező: P y y P y ω ω háonl 3. Péld do z.8 ábrán léő rúd lkú ere e. ponjánk ebeége / é ϕ3, ln zögebeég ω /. Hározzk eg pllnny forgáengely helyzeé é rúd ponjánk ebeégé, h, 5. α N N P.8 ábr ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon PD creed wh pdfcory Pro rl eron

22 P r NP r N ω r coϕ N N,5 r rn coβ gβ ωr N r N,73 co4,865, /,3 péld kpcán egfgyelheő, hogy rúd rányáb eő ebeég-özeeők ngyág é rány egegyezk. Ez rúdrányú ebeégek éele. Egyzerű özefüggé írhó fel íkozgá égző ere e ponjnk gyorlá közö. z előzőekben felír özefüggé: α α + α r b ω r Gyorlápólnk neezzük íkozgá égző ere zon ponjá, elynek gyorlá zér. 4. Péld z.9. ábrán láhó r grú korong íkjár erőlege engely körül forog. kerüleén léő ponjánk ebeége é gyorlá er. y r 45 r P P,5/ /.9 ábr ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon PD creed wh pdfcory Pro rl eron

23 Hározzk eg forgápono (P), ln jelöl pon ebeégé é gyorláá. Mel korong P pon körül forog P pon ebeégpól. ebeégpól helye: r P ω gyorlá ké özeeője, ngencál é norál gyorláok ngyág egegyezk: n r n P ebeégpól helye: n ωrp ω n,44 ω,94,5 ω r P, 59 n / forgá zöggyorlá: α r P,44,889,59 Pon gyorlá: r l + lj + αr ω [ ] r (,44,44 j) +,889( + j),3 +,46,364,44 j..5 Klzá hjóű knekáj zerkezeek knek zgál ngy fonoágú gépézeben. zerkeze defncój: Kényzerekkel lkl ódon egyához é z álló környezehez kpcol eek özeége, elyek erőfeléelre gy erő oábbíár lklk. o zgál zerkeze lbl é egy zbdágfokú. ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 3 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

24 ϕ ω r ϕ. ábr klzá hjóű forgó ozgá egyene onlúá lkíj á. Hározzk eg pon ozgájellező, h forgyú kr állndó zögebeéggel forog. pon ebeége: onϕ rω n ω gyorlá: d rω coω d z ú dő függény negrálál állíhó elő: () dr r ω n ω d r ω coω r( coω ) b ω fenek lpján rjzoljk eg klzozgá knek dgrj (foronó görbé). ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 4 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

25 r r ϕ ω rω ϕ ω -rω rω π π 3π π -rω. ábr ϕ ω..6 Ellenőrző kérdéek. Ieree z nyg pon helyzeének egdá ódj.. Ieree ebeég foglá. 3. Ieree gyorlá foglá. 4. M hodográf görbe? 5. Mlyen kpcol n foronó görbék közö? 6. Ieree körozgá jellező. 7. Ieree ferde hjlíá. 8. Mekkor zbdágfok ere e álláno ozgáánk. 9. ere e íkozgá lyen dokkl oldhó eg egyérelűen.. M ebeégpól?. Írj fel egy ezőlege pon gyorláá h z egyk pon gyorlá é ere e zögebeége é zöggyorlá er. ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 5 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

26 . KINETIK.. Töegpon knekáj knek (dnk) élyebben hol ozgáok zgáláb, n knek, er ozgá oká kj, é célj, hogy ozgá okánk ereében ozgá eghározz. kneká néhány lpéelre épíhejük fel. Ezeke Newon fogll egyége rendzerbe l687-ben, zó Newon-örények zokáo egneezéük. I. Mnden e egrd nygó gy egyene onlú, egyenlee ozgó állpoábn, íg egy ráhó erő ozgáállpoá eg ne álozj. II. ozgá álozá egyeneen rányo ozgó erőel, é bbn z egyene onlbn örénk, elyben z erő h. III. Ké enek z egyár gykorol há ndg egyenlők é ellenée érelűek. ozgáálozá Newon z I zorzl ér, örény ozgáennyég álozáár onkozk. ozgáennyége zoká ég plznk gy lendülenek neezn... Iplz éel knek lpörénye ehá, h állndó: I öegpon z (,... n) erők együe háár úgy ozog, n egyelen, z erőkkel egyenérékű erő háár. Ez z özefüggé plz-éelnek híjk.. Péld G, kn úlyú erhe köéllel 4 / gyorlál bocájk le. Mekkor erő ébred köélben? g / ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 6 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

27 K ( G> K ) G. ábr Megoldá: G + K G K K g g,6 6, kn Mérnök gykorlbn knek lpörényé z lább lkbn írjk: ( ) kfejezé eheelenég gy nerc erőnek zoká neezn. z nerc-erő foglánk beezeée án D lber ele ehá: öegponon lóbn űködő erők eredője é képzelebel nerc-erő egyenúly r. R n Példál, h egy öegű nyg pono fonlhoz rögzíünk é z körpályán ozog, öegponr (h úly elhnygoljk) ck fonlerő h. Ez cenrpeálerőnek híjk. CP cp. ábr ké erőrendzer eredője egyenérékű! D lber ele érelében: C cf n R hol n gárrányú, kör középponjából kfelé ó egyégekor. ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 7 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

28 z nerc-erő cenrfgál erőnek híjk. knek lpörényének egy ák lkj: ( ) ( ). Péld onn öegű ndló on K 6 kn onóerő háár é E kn onr hó ellenállá eeén enny dő l gyorl fel / 36 k/h ebeégre? gyoríó 4kN 3 5 ec 3 4 H knek lpegyenleé r helyekor kezdőponól érjük, kkor z egyenle jobb oldlán z ponr záío nyoéko kpjk. Legyen plz nyoéke perdüle egálozá: z elő g, er r M Π r, á néen perdüle. ( r ) r ( ) r Π.. Perdüle-éel M D - perdüle derál gy D + r M gy Π Π M öegpon ezőlege ponr e perdüleének álozá z dőegyég l öegponr hó erőnek gynrr ponr záío nyoékál egyenlő. ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 8 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

29 ..3 nkéel: P r ϕ z öegponr hó erőnek nkáj W. W r co ϕ P z erőnek ck z elozdlá rányáb eő koponene égez nká. T N r r+ r r T T coϕ r( r ) r ( r ) T. ábr ( ) ( + ) Mer [ ] [ + ] z nkéel ehá: r W T r ennyég ozgá gy knek energ. Jelölée: T öegpon knek energájánk álozá öegponr hó erő nkájál egyenlő. T T W,..4 Teljeíény: ebeéggel ozgó öegű z ponr erő h. eljeíény: P nkéel á lkbn ír z Energéel kpjk: P r op P P y.3 ábr ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 9 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

30 P öegpon ozgá energájánk z dő zern derálj (zz egálozá) öegponr hó erők eljeíényéel egyenlő. z erő [ ] 3. Péld dőzkzbn égze nkáj:, W, P öegpon kényzerek háár egyene onlú ozgá égez. dok: Kérdé: M. g 3 N ϕ? g /? 3,4 / ázerő Súrlódá nnc. y ϕ α α g α.4 ábr Megoldá. Iplzéellel: G + gn ϕ S α hol S úrlódá erő, o S α gcoϕ + α ϕ 4. Péld Szbdozgá α 9 5' é 8, N dok: / ; α 6 ; h,8 ; G 4 N; g / Kérdéek: becpódá ebeég? ; H? nkéelből: ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 3 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

31 ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 3 H H g gh h G W T T c 3,75 / 8 36, α G H C H h.5 ábr V 5. Péld Mek ng z ng öegű öegponból é Súlyln rúdból áll.? ϕ ϕ n n g g R R M D g n e ϕ.6 ábr lr PD creed wh pdfcory Pro rl eron

32 .. z nyg ponrendzer knekáj z nyg (öeg) ponr eger örényzerűégek ké állánoíhók, h egy dőben öbb öegpono zgálnk. zgál ponrendzerek egyk coporj különálló (dzkré) öegponok álláno ponrendzere. öegponok állábn zbdon ozoghnk, egyár zonbn lféle erő fejenek k, é éppen ezek z erők fűzk öegponok ponrendzerré. rendzernek állndón gynzon ponokból kell álln. Ilyen ponrendzer, példál Nprendzer bolygól é holdjl. ponrendzer ák coporj z álláno ponrendzer egyk egyzerű eee: ere e. ere eek eeében képzelebel öegponok közé ere, de elhnygolhó öegű rdk kell képzeln. z n öegponból álló ponrendzer nden ponjár írhó: r k + b hol ezőlege öegpon öege, külő erők eredője k, belőké pedg z egyenleeke özed: r k belő erők eredője elűnk, er belő erők egyenúlybn léő erőrendzer lkonk. ponrendzer ozgáá öeg középponjánk ozgáál jelleezhejük. öegközéppon, n egy úlyozo álg köekező képleel záolhó: n TKP n r rtkp - öegközéppon (úlypon) helyekor. r öegponr felír plz-éel lklzhó öegponrenzerre, h z egyk oldlon öegponrendzerre hó erők eredőjé ezük, ák oldlon pedg z özöege é öegközéppon (úlypon) gyorláá. M k M TKP. ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 3 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

33 öegponr felír perdüle- é nkéel állánoíhó ponrendzerre, de ezek éelek ere ere felír éelekhez honlók, ezér o ne árgyljk..3. Mere eek knekáj ere e ozgá ndg előállíhó egy hldó é egy forgó ozgá eredőjekén. hldó ozgá e öegközépponjánk ozgáál leírhó é így zgál eg- egyezk öegpon knekájál. Vzgáljk eg ere e forgó ozgáá (.7 ábr) gy klárn ωr k ω ω z k r knek energ: z.7 ábr T k ω k Iz I z z-engelyre záío eheelenég nyoék. eheelenég nyoék érékegyége: [ ] [ ] [ ] I ω M k kg. ere e álláno ozgáá úlypon ebeégéel hldó é egy úlypon engely körül forgó ozgá eredőjekén eknjük. T M + I ω Hároféle eheelenég nyoéko zokk Megkülönbözen.. íkr záío: z I y b. engelyre záío: I r ω ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 33 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

34 c. ponr záío : I r r r + r y + r z d. z r y r z r y.8 ábr Néhány egyzerű e eheelenég nyoék úlypon engelyekre: l/4 3/8l S p 4 n k 3 p l l 8 l 8 l,8 l/ l/ rúd I l ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 34 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

35 henger R I R R göb I 5 R Sener- éel: S d I I + d.3. zbd engely ezőlege álló engely körül forgó ere e engelyére különböző erők hnk. Ezek z erők rézben ere hó külő erőkből, rézben e öegének eheelenégének réén, n öegerők hnk. Mg fordlzánál, különöen h e öege jelenő, ezek öegerők gen ngyok lehenek. köekezőkben zgál ere e eeében hnygoljk el z kí erőke (ég úlyerő ) é pzí erőkől eleknheünk, h cpágyzá rlódáenenek eknjük. engelyre lyen körülények közö ck öeg forgáából zárzó öegerők hnk. Mnden ere e eeén lálhó olyn engely (özeen háro), ely körül forg ere eféle erő ne h. z lyen engely zbd engelynek neezzük..9 ábrán felünee ere e egy önkényeen álzo, y, z derékzögű koordná rendzerben z engely körül forog. ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 35 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

36 ω z S z y z ϕ z ϕ z y y y.9 ábr z öegpon forgáából öegponr hó öegerő: Ennek koponene: c r ω c cy rω rω coϕ n ϕ ω y ω z ele erők nyoék z, y engelyekre: íy cy c z z y z ω z ω fenekben eghározk z öegpon háá engelyre, o nézzük eg z egéz öeg háá. z eredő erő pedg: c cy c c c cy cy ω y ω ω y ω + ω + y rω z eredő cenrfgál erő ngyágbn kkor, nh elje öeg ponzerűen úlyponbn hn. Nézzük eg o nyoékok özegé: M y ω y z ω J yz ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 36 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

37 J yz - z n. íkpályár záío eheelenég nyoék. M y ω z y ω J z Ezek án eghározhjk cenrfgál erő háonlá. cenrfgál erők eredője n. erőkerez. z cy eeében: z y ω cy J yz z c eeében: z ω J c z árgyl ee legállánobb, zonbn egí egéren z ény, hogy egy forgó e kegyenúlyozá ké íkbn örénhe. Állábn egy forgó e eeében z zerenénk elérn, hogy forgá engely n. zbd engely gy á néen eheelenég főengely legyen. problé öeg hozzádál, gy eléellel leheége. z eljárá öeg kegyenúlyozánk neezzük. gépkoc kerekek kegyenúlyozá öeg hozzádáál z n. feln ké oldlán leheége. Rögzíe engely körül forgá: Π r r r I r ω r ω Π I z ω dőegyég l perdüle álozá: Márézről: Π I z ϖ α ; zöggyorlá Π I r r M r z ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 37 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

38 .3. perüle-éel: I z α M z fen özefüggé dnk lpörényé kfejező 6. Péld zk ng (. ábr) ízzne engely körül lengő, úlyponj fele felfüggeze ere e d: G N g / S, ϕ 6 ω 4 l/ I,5 kg Hározz eg:?? z plz-éel lklzáál: n N n Gcoϕ ω 8 N perüle-éel lklzáál: D I I M G + + N n y n (, 6 3, / képlehez honlíhó. ϕ S S G. ábr I +,5 +,4, 55 kg α M n n G G n ϕ α I,,55 α, 6,3 / 3 3,45 Újr z plz-éel lklzhjk: ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 38 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

39 7. Péld T G + G n ϕ ,6 + 8 n N 6,3 + 3,n közö engely körül forgó hengerek együe eheelenég nyoék: I N kg Hározz eg zöggyorlá é köélerőke! G 3 N G 4 N K K G G M K K r α + R K, K r I α R α R G r G α G G I + r + R g g 36, 75 N,8 + 3 T 3,6 N α R, R,3 G K K. ábr G 8. Péld z engely körül forog egy henger. Hározz eg zöggyorlá! M z y R,4 g / M 8 N S R,4 5 kg α?. ábr ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 39 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

40 ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 4 perdüle-éel felíráál: z z z I M I M α α 4 8 4,4 5 kg R I z α 9. Péld Hározz eg rendzer zöggyorláá! M,5 kn G,5 kn I 3 kg R,5 dőpllnbn, / R,5 M ω G. ábr nkéel z lábbk zern álkíhó: T P W T W T, R I G M P + ω PD creed wh pdfcory Pro rl eron

41 ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 4 4 R G R M α.3.3 Mere eek eeén: Iplz (gy úlypon)-éel ( ) z jelen, hogy e úgy ozog külő erőrendzer háár, nh z egéz e úlyponjáb koncenrálódn. Perdüle-éel: M Π.3.4 ere onkozó nkéel: k W T T I T + ω ere e ozgá energájánk álozá külő erők nkájál egyenlő.. Péld z egyenlee öegelozláú úlyo rúd z egyk égén léő ízzne engely körül forogh. Hározz eg égpon ebeégé, h z z -ból -be lendül! g l S.3 ábr l g l g l l l l I l g T T ω PD creed wh pdfcory Pro rl eron

42 ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 4 rúd kezde energáj kfejezheő ég: ω + I T lkbn.. Péld Gördülé úrlódáo pályán. y S R g K y K.4 ábr y I R K I R K M K g g K K α α µ H α r cúzáene gördüléről bezélünk. Henger é golyó gördülée lejőn. S R g k P α ϕ.5 ábr α α α α α n n n g I R R g R I R M I R k p p pz p Sener-éel lklzáál n α + g I R R PD creed wh pdfcory Pro rl eron

43 Így hoogén göbnél é öör hengernél Egy üre hengernél (cőnél) cő lbbn gördül öör hengernél. 5 h n α 7 g n α 3 g n α ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 43 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

44 3. Üközé 3. z üközé jelenége, egyzerűíéek. z feléelezzük, hogy z üközében rézeő eek ere eek, elyek z üközé folyán ck z érnkező é ponok környezeében zenednek lkálozá. z üközében rézeő ere eek z üközé elő egyenlee hldó ozgá égeznek. n n S üközé norál ló ík 3. ábr z üköző eek érnkezé ponjábn éreleze ló ík érnkezé ponon áenő norálá üközé norálnk neezzük. Érele pozí, h eből kfelé. Üközé kkor jön lére, h ké e érnkezé ponj ebeégere fennáll n n z üközé folyá ké zkzr bonjk: özenyoódá zkz áglá zkz Özenyoódá (koprezó) zkz Üközékor ké e echnk kölcönháb kerül, z érnkezé ponbn erők lépnek fel. ké e fellépő erők háár deforálódk, é gynkkor z érnkező ponok ebeége álozk. z l. e ebeége cökken,. eé nő, ez foly ddg r, íg ebeégek norálb eő koponene egegyezk. H eek képlékenyek, zz ökéleeen rgllnok, z üközé foly befejeződk. Táglá (epnzó) zkz lóágo nygú eek z erőhá egzüne án öbbé-keébé znyerk erede lkjk. Ennek eredényekén ké e z érnkezé ponbn ég ndg kölcönhábn rd, közöük léezk oábbr erőhá. Ezér z. e érnkezé ponbel ebeégének norál rányú özeeője oább cökken,. eé oább nő. Ez ddg folyódk, íg z lkálozá rgl réze eg ne zűnk, zz íg eek érnkeznek. ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 44 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

45 3. z üközéek ozályozá ké e egyához ló zony lpján bezélünk cenrk é ecenrk üközéről. Cenrk üközé kkor jön lére, h z üközé norál háonl llezkedk ndké e úlyponjár. jegyze ck ez z eee árgylj. Toábbá bezélheünk ég: egyene é ferde üközéről. Egyene üközékor é ebeégek z n norálb enek. erde üközékor é ebeégek ne enek norálb, lád..ábr. 3.3 z üközé foly echnk zgál. Előzör z üközé legegyzerűbb álozá z egyene cenrál üközé árgyljk. z üközé pllná ábrázolj 3. ábr y S 3. ábr z üközé. zkz deg r. z öegű e ebeéggel üközk z öegű enek, ely ebeéggel hld. z elő zkz égén ké enek közö ebeége n. z üközében rézeő eek nyg ponrendzer lkonk, ezek ozgáennyégének özege ne álozh. d d n + állndó z elő zkz égén közö ebeég: ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 45 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

46 ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 46 Ugynerre z eredényre jnk, h z plz éel lklzzk. z öegre lklz éel d z re lklz éel ké egyenlee özed é fgyelebe ée, hogy,, ( ) H z egéz üközé foly deg r, áodk peród hoz: ( ) áodk zkz zzl kezdődk, hogy ké e ebeéggel hld, jd ké e deforácój eljeen (k ), gy ck rézben (k < ) zűnk eg. z üközé ényező: k elynek éréke: < k < lklzzk z plz éel. zkzr. z üközé án ebeégek ll..,, d d ké egyenlee özed ( ) z. zkzr kpo eredények lpján: relí ebeég különbégek gynkkorák üközé elő é án. PD creed wh pdfcory Pro rl eron

47 3.4 Rézben rgl üközé. peródbn z plz z. peródbn záol k zoro., d k z plzok érékenek helyeeíééel, d k k öegek ebeége. peród égén: ( + k) k ( + k) k z óbb ké egyenle konáából köekezk: ( ) k ( ) ( ) üközé án ebeég különbég k üközé előlőebeég különbég kpo eredények könnyen állánoíhók ferde üközére, h eggondoljk, hogy z üközé elő ebeégek norálb eő özeeője fog ck álozn. z üközé án ebeégek zerkezéel eghározhók Mwell-féle üközé dgr egíégéel. dgr zerkezéé köekezők egík. ké eből álló rendzerre onkozó plzéel zern külő erő hány írhó: di d gy I hol + rendzer öege, pedg rendzer S úlyponjánk ebeége, ely ne álozk z üközé folyán. dő pllnbn: + ebeég köekező ódon zerkezheő eg, érjük fel egy ponból é ebeégekorok é ekorok égponjábn helyezzük öegeke. öegek úlyponj egdj ebeége. áll ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 47 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

48 ábr + ebeégek álozá z üközé norálábn örénk. + n C S n C 3.4 ábr ebeég álozá z n rányábn örénk. k C Honlóképpen. e ebeégálozá z n rányábn örénk. C k z üközé án ebeégek ekornk égponj C ll. C pon. ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 48 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

49 . Péld z 3 kg é kg öegű golyók cenrkn egyáb üköznek z üközé elő ebeégek: + 9 / ; 5 / 8 / z üközé ényező: k,6 Hározzk eg golyók üközé án ebeégé zerkezéel é záíál. 3.5 ábr S 3.5 ábr Megoldá. Hározzk eg előzör közö ebeége / 4 4 n,6 7,6 4 /,6 7 +,6 8 6, / z üközé án ebeégek ehá: Szerkezéel: / 6,4 / ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 49 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

50 y C S 9 C ábr Köekezőkben z zgáljk eg, hogy z üközében réz eő eek özenergáj kén lkl. z elő zkzbn deforácó nk: W d elje deforácó nk: W d + ( + ) + ( ) ( + ) ( )( k ) h eek eljeen rglk k l, kkor W d, gy z elő zkzbn deforácó r fordío energ zérül, eek znyerk erede lkjk. - H eek ökéleeen rgllnok (k ) kkor W d W d, gy z. zkzbn deforácór fordío energ álozln rd, eek egrdk deforál lkjkbn. ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 5 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

51 3.5 k üközé ényező kíérle eghározá. H z öegű golyó H gágból z öegű nygó ere ejjük, kkor z üközé án h gágr pn z. 3.7 ábr. h H hjíá eléleéből er, hogy golyó k ényezőre korábbn felír özefüggé: 3.7 ábr gh ebeégre ez zer. k k negí előjel zér dódk, er ebeégek különböző rányúk. k ényező ehá: gh k h H ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 5 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

52 Ellenőrző kérdéek. M ozgáennyég, z plz, perdüle?. Ieree z plz, é perdüleéel. 3. Ieree D lber ele. 4. Ieree nkéel. 5. Ieree eheelenég nyoékok. 6. Ieree Sener éel. 7. Ieree z plz é perdüleéel ere ere. 8. Ieree nkéel ere ere. 9. M zbd engely?. Ieree ké e üközéének lefolyáá.. Mlyen üközéeke er?. Hogyn hározhó eg kérleleg z üközé ényező(k) éréke? ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 5 PD creed wh pdfcory Pro rl eron

53 Irodlo jegyzék Dr Slberdorff Lázló: Mechnk III. Tnköny Kdó dpe l967. Mnyánzky Ádá: Knek é Knek. Tnköny Kdó dpe l965. M. Czd él, Nádor Ernő: Mechnk érnököknek Neze Tnköny Kdó dpe, l997. ERP DD HU PROJECT 4. MODUL Ipr háerű lernáló képzé előkézíée Gépézérnök zkon 53 PD creed wh pdfcory Pro rl eron