RAISZ PÉTERNÉ PÉLDATÁR Differenciálegyenletek

Átírás

1 RAISZ PÉTERNÉ PÉLDATÁR Differenciálegenletek témakörből a Matematika II c tárghoz Elméleti összefoglaló 50 kidolgozott feladattal

2 "Ez a példatár a TÁMOP-4B-0//KONV jelű projekt részeként az Európai Unió támogatásával az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg"

3 Tartalomjegzék Közönséges differenciálegenlet fogalma típusai megoldása 4 Elsőrendű differenciálegenlet Szétválasztható változójú differenciálegenlet megoldása 5 Szétválasztható változójúra visszavezethető differenciálegenletek megoldása 6 4 Görbesereg differenciálegenlete Trajektóriák 45 5 Lineáris elsőrendű és erre visszavezethető differenciálegenlet megoldása 6 6 Magasabb rendű differenciálegenletek Lineáris differenciálegenletekre vonatkozó általános tételek Wronski-féle determináns 95 7 Lineáris állandó egütthatójú homogén differenciálegenletek megoldása 7 8 Lineáris állandó egütthatójú inhomogén differenciálegenletek megoldása 9 Differenciálegenlet-rendszerek Állandó egütthatójú differenciálegenletrendszerek 57 0 Műszaki alkalmazás 78 Ajánlott irodalom 99

4 Közönséges differenciálegenlet fogalma típusai megoldása A műszaki tudománokban gakran alkalmazzák a matematikát azon belül a differenciálegenletek elméletét ezért először ismerkedjünk meg a differenciálegenletek elméletének legfontosabb alapfogalmaival A differenciálegenlet fogalma típusai DEFINÍCIÓ Differenciálegenlet olan egenlet amelben a meghatározandó ismeretlen függvén annak különböző rendű deriváltjai és az ismeretlen függvén független változójának (ill változóinak) ismert függvénei szerepelnek DEFINÍCIÓ A differenciálegenletet közönséges differenciálegenletnek nevezzük ha a benne előforduló ismeretlen függvén egváltozós és parciális differenciálegenletnek ha az egenletben az ismeretlen függvén többváltozós A differenciálegenleteket osztálozhatjuk alakjuk és a keresendő ismeretlen függvén deriváltjainak rendje szerint: DEFINÍCIÓ Ha a differenciálegenletben az ismeretlen függvén legmagasabb rendű deriváltja n-ed rendű akkor a differenciálegenletet n-ed rendűnek nevezzük DEFINÍCIÓ A differenciálegenletet eplicitnek nevezzük ha a differenciálegenlet egik oldalára kifejeztük az ismeretlen függvén legmagasabb rendű deriváltját vag ekvivalens átalakításokkal ilen alakra hozható A differenciálegenlet ellenkező esetben implicit alakú DEFINÍCIÓ A differenciálegenlet lineáris ha a differenciálegenlet az ismeretlen függvénre és a deriváltjaira nézve lineáris Ebben a példatárban csak közönséges differenciálegenletekkel foglalkozunk Jelöljük -szel az ismeretlen függvén független változóját míg magát a függvént - nal íg az ismeretlen függvén : ( ) alakú Írjuk fel ezek felhasználásával az n-ed rendű eplicit alakú differenciálegenlet általános alakját: ( n) ( n) f ( ) 4 ahol ( n) n d ( n ) n d

5 és f adott általában (n ) változós függvén Az n-ed rendű implicit alakú differenciálegenlet általános alakja ( F( n ) ) 0 n ( n) d ahol F adott általában ( n ) változós függvén és n d Az ( n ) ( n n a ( ) ) a ( ) a ( ) a ( ) b( ) ( a ( ) ) n n 0 n 0 differenciálegenletet az n-ed rendű lineáris differenciálegenlet általános alakjának nevezzük DEFINÍCIÓ Az n-ed rendű lineáris differenciálegenlet homogén ha b( ) 0 és inhomogén az egenlet ha b() nem azonosan nulla PÉLDA Osztálozzuk az alábbi közönséges differenciálegenleteket alakjuk rendűség és linearitás szempontjából: a) 6 4 ; b) sin ; c) (4) ( ) 4 0 ; d) e 4 ; e) e 0; f) ( 4) 0 MEGOLDÁS a) elsőrendű lineáris eplicit alakú differenciálegenlet; b) harmadrendű lineáris eplicit alakú differenciálegenlet; c) negedrendű nemlineáris implicit alakú differenciálegenlet; d) elsőrendű nemlineáris differenciálegenlet; e) elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegenlet; f) negedrendű lineáris homogén differenciálegenlet A differenciálegenlet megoldása 5

6 A differenciálegenlet megoldása az összes olan függvén melet az egenletbe behelettesítve azonosságot kapunk Ezeket a függvéneket a differenciálegenlet megoldásfüggvéneinek (megoldásainak) nevezzük DEFINÍCIÓ Legen ( ) az I intervallumon értelmezett és n-szer differenciálható függvén Eg n-ed rendű differenciálegenlet megoldásfüggvéne (megoldása) ezen az intervallumon az ( ) függvén ha a differenciálegenlet az ( ) függvén behelettesítése után azonossággá válik az I intervallumon Az ( ) megoldás grafikonját a differenciálegenlet integrálgörbéjének (megoldásgörbéjének) nevezzük DEFINÍCIÓ Eg differenciálegenletet azonosan kielégítő függvént az egenlet általános megoldásának nevezzük ha pontosan anni egmástól független tetszőleges állandót (paramétert) tartalmaz ahánad rendű a differenciálegenlet Ezek alapján az elsőrendű implicit alakban felírt differenciálegenlet általános megoldása a F ( ) 0 G ( C) 0 vag g( C) alakú függvén melnek a grafikonja egparaméteres görbesereg az síkban Az ( n) F( ) 0 n-ed rendű implicit alakú differenciálegenlet általános megoldása a G C C ) 0 illetve g C C C ) ( C n ( n alakú függvén melnek grafikonja szintén az síkban eg n-paraméteres görbesereg Ha a differenciálegenlet megoldható akkor általában végtelen sok megoldása van Fizikai mechanikai kémiai műszaki stb problémák megoldására felállított differenciálegenleteknél általában nem az összes hanem csak bizonos megadott feltételeket kielégítő megoldások érdekelnek bennünket 6

7 DEFINÍCIÓ Ha a differenciálegenlet általános megoldásába a benne szereplő állandóknak meghatározott értékeket helettesítünk akkor az egenlet partikuláris megoldását kapjuk Tehát a partikuláris megoldás kielégíti a differenciálegenletet és egetlen (integrációs) paramétert sem tartalmaz DEFINÍCIÓ A differenciálegenlet olan megoldását amel az általános megoldásból a paraméter semmilen választásával sem származtatható szinguláris megoldásnak nevezzük Partikuláris megoldás keresése A differenciálegenlet általános megoldásából a partikuláris megoldást adott mellékfeltételek esetén tudjuk előállítani Kétféle mellékfeltételt különböztetünk meg: kezdeti és kerületi (vag perem-) feltételt a) Ha a differenciálegenlethez mellékfeltételként még előírjuk a keresett megoldásfüggvénnek és deriváltjainak értékét eg adott pontban akkor kezdeti feltételt adunk meg b) Ha az elsőnél magasabb rendű differenciálegenlet esetén mellékfeltételként legalább két pontban előírjuk a megoldásfüggvén ill deriváltjainak értékeit akkor kerületi (perem-) feltételről beszélhetünk DEFINÍCIÓ Ha az n-ed rendű eplicit alakú differenciálegenlethez az ( n) ( n) f ( ) ( n ) ( ) ( ) z ( ) z n kezdeti feltételeket kielégítő ( ) megoldásfüggvént keresünk akkor kezdetiérték feladatról (Cauch-feladatról) beszélünk Ha van ilen ( ) függvén akkor a kezdetiérték feladat megoldható és pontosan eg ( ) megoldásfüggvén esetén a kezdetiérték feladat egértelműen megoldható MEGJEGYZÉS 7

8 A definíció alapján látható hog elsőrendű differenciálegenleteknél eg kezdeti feltétel megadása geometriailag eg P ( ) pont megadását jelenti A kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás megkeresése az adott ponton átmenő görbe kiválasztását jelenti a differenciálegenlet megoldásfüggvéneit ábrázoló görbeseregből Másodrendű differenciálegenleteknél a kezdeti feltételt eg érintő irántangensével tg 0 P 0 P0 0 (0) ponttal és ebben a pontban az ( 0 ) adjuk meg Tehát az általános megoldást ábrázoló görbeseregből kiválasztjuk az adott P ponton átmenő és ebben a pontban adott irántangensű érintővel rendelkező görbét 0 A mellékfeltételek lehetséges számát meghatározza a megoldásfüggvénben szereplő szabadon választható paraméterek száma azaz a differenciálegenlet rendje PÉLDA Ellenőrizzük hog a jobb oldalon álló függvén az adott differenciálegenletnek megoldása-e? du a) t u 0 t 0 Ct dt b) 0 ; 0 u R C ; d V c) 4V 0 V C cos t C sin t C C R dt MEGOLDÁS a) Mivel u Ct és du du Ct ezért a u 0 dt t differenciálegenletbe dt behelettesítve a t Ct Ct 0 azonosságot kapjuk vagis az adott kifejezés kielégíti a differenciálegenletet minden t R t 0 esetén tehát megoldása sőt általános megoldása az egenletnek Íg az b) Differenciáljuk az kifejezést és helettesítsük be az egenletbe 0 C azonosságot kapjuk Tehát az függvén megoldás és egetlen tetszőleges állandót sem tartalmaz valamint az inh ált nerhető ezért partikuláris megoldás általános megoldásból a C valós paraméter C értékénél 8

9 c) A V C cos t C sin t kifejezést kétszer deriváljuk ezért V C sin t C cos t és V 4C cos t 4C sin t Visszahelettesítve a differenciálegenletbe a 4C cos t 4C sin t 4C cos t 4C sin t 0 azonosságot kapjuk ezért megoldás Mivel a másodrendű differenciálegenlet megoldása két tetszőleges valós állandót tartalmaz ezért általános megoldása az egenletnek PÉLDA Igazoljuk hog az adott függvén megoldása az adott differenciálegenletnek Milen típusúak a differenciálegenletek és megoldásaik? d a) t 0 ; t t ; dt d d b) 0 d d d s c) s dt d) V V cos r sin r MEGOLDÁS ; C e C e R C ; C t t ; s st C e C e R r ; V V r cos r e C ; C a) A differenciálegenlet elsőrendű lineáris homogén típusú Az adott függvén megoldás mert behelettesítve az egenletbe bármel t t t 0 Az egenlet általános megoldása t Ct megoldásból C R t t t 0 esetén kielégíti azt: Mivel az általános C esetén kapjuk meg ezt a függvént ezért ez eg partikuláris megoldás b) Az egenlet másodrendű lineáris homogén típusú a megoldás pedig általános megoldás c) A differenciálegenlet másodrendű lineáris inhomogén típusú és az adott függvén általános megoldása az egenletnek d) Az elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegenletet kielégíti az adott partikuláris megoldás 4 PÉLDA Oldjuk meg az 4 differenciálegenletet! Válasszuk ki a megoldásseregből az ( ) 0 kezdeti feltételt kielégítő megoldást! 9

10 MEGOLDÁS Az 4 d határozatlan integrál kiszámításával megkapjuk a differenciálegenlet általános megoldását amel ált ( ) C C R alakú függvénsereg Differenciálással können ellenőrizhetjük hog ez valóban megoldása az adott differenciálegenletnek A függvénsereget derékszögű koordináta-rendszerben ábrázolva egbevágó parabolákat kapunk A sík minden pontján átmeg eg-eg ilen parabola A sík ( ) 0 kezdeti feltétellel kijelölt P 0 ( 0 ) pontján pontosan eg görbe halad át A kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldást úg kapjuk hog a kezdeti feltételt behelettesítjük az általános megoldásba Íg 0 C azaz C Ezt visszaírva az általános megoldásba megkapjuk az part partikuláris megoldást 5 PÉLDA Határozzuk meg az 4cos differenciálegenlet a) ( 0) 0 és ( 0) kezdeti feltételeket b) ( 0) 0 és ( ) peremfeltételt kielégítő partikuláris megoldásait! MEGOLDÁS A differenciálegenlet mindkét oldalát integrálva 4sin C majd ennek az újbóli integrálásával a differenciálegenlet ált ( ) 4cos C C általános megoldását kapjuk ahol C C tetszőleges valós számok a) A kezdeti feltételeket figelembe véve C és C 4 adódik Íg a kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás az 4cos 4 part függvén 0

11 8 b) A peremfeltételt felhasználva az általános megoldásból C és 4 C s ezek segítségével felírható a kerületi (vag perem-) feltételt kielégítő megoldás 8 4cos 4 perem 6 PÉLDA Válasszuk ki az 0 differenciálegenlet ált ( ) Ce Ce C C R általános megoldásából az ( 0) és ( 0) kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását MEGOLDÁS Differenciáljuk az adott megoldásfüggvént: Ce Ce Behelettesítjük az általános megoldásba és annak deriváltjába a kezdeti feltételeket mégpedig 0 esetén illetve 0 esetén Az íg nert C C C C egenletrendszerből C és C 5 Tehát a keresett partikuláris megoldás part 5 e e 7 PÉLDA Határozzuk meg az 6 differenciálegenlet ált ) C C C R ( C

12 általános megoldásából azt a partikuláris megoldást amel kielégíti ( ) 4 és ( ) 0 peremfeltételt MEGOLDÁS Felírjuk a és C ismeretlent tartalmazó lineáris egenletrendszert melet C az általános megoldásból a peremfeltételek behelettesítésével kapunk: 0 7C C 4 C C Innen C és C azaz a keresett partikuláris megoldás part ( ) 8 PÉLDA Keressük meg azokat az függvéneket amelek primitív függvénei az adott f függvéneknek azaz megoldásai a d f differenciálegenletnek: d f f a) 5 ; b) MEGOLDÁS a) A ; c) f sin d 5 differenciálegenletből integrálással megkaphatjuk a keresett d függvént amel általános megoldása az egenletnek: ált d C C R 4 b) A d d differenciálegenlet általános megoldása: ált d ln C R C d c) Megoldjuk a sin differenciálegenletet melnek általános megoldása: d ált cos sin d C R C

13 9 PÉLDA A primitív függvén segítségével keressük meg az alábbi differenciálegenlet általános megoldását: a) d d ; b) d d ; c) d d e MEGOLDÁS a) ált d d ln C R C C b) ált d d ln ln ln C ; R u u C v e c) e d e e d e e C ált C R v e 0 PÉLDA Határozzuk meg azokat az függvéneket amelek kielégítik az adott differenciálegenleteket és az adott mellékfeltételeket: d 8 a) d d 5 b) d d c) sin cos ; d ; d d) d 0 MEGOLDÁS Először megoldjuk a differenciálegenletet majd a kapott általános megoldásba behelettesítjük az adott mellékfeltételeket Az integrációs állandók kiszámított értékeivel felírjuk a keresett partikuláris megoldást

14 a) általános megoldás: ált d C R kezdeti feltétel: C C 0 ; partikuláris megoldás: part C ; 5 ált d C C R; ln b) általános megoldás: 0 kezdeti feltétel: 0 C C ; ln ln partikuláris megoldás: 0 ln ln part R c) sin cos d cos sin C ált C ; általános megoldás: C R ; C cos sin C d sin cos C C kezdeti feltétel: felhasználásával az 0 C C 0 C egenletrendszerből C 0 és C partikuláris megoldás: sin cos d) d C R; part C 0 általános megoldás: ált C d C C peremfeltétel: 0 R; melnek segítségével az 0 0 C 4 C alapján C és C adódik part partikuláris megoldás: C C 4

15 Elsőrendű differenciálegenlet Szétválasztható változójú differenciálegenlet A közönséges elsőrendű differenciálegenlet implicit alakja F ( ) 0 d ahol F adott háromváltozós függvén és d Az eplicit alakú differenciálegenlet általános alakja f ( ) () ahol f ( ) eg adott T síkbeli (nílt és összefüggő) tartománon értelmezett foltonos függvén DEFINÍCIÓ Eg I intervallumon értelmezett differenciálegenletnek ha a) ( ) differenciálható az I intervallumon b) ( ( )) T minden I -re c) ( ) f ( ( )) minden I -re teljesül ( ) függvén megoldása az f Ha az elsőrendű differenciálegenlet megoldható akkor megoldásul egparaméteres síkbeli görbesereget kapunk g( C) eplicit vag G( C) 0 implicit alakkal ahol C valós paraméter A speciális típusú elsőrendű differenciálegenletek között vannak olanok ameleknek megoldásai véges számú integrálással ún " kvadratúrával" megkaphatóak Ebben a fejezetben olan a műszaki alkalmazások szempontjából is fontos típusú differenciálegenletekkel foglalkozunk melek elemi integrálási módszerekkel megoldhatóak Szétválasztható változójú differenciálegenlet 5

16 A szétválasztható változójú differenciálegenlet speciális eplicit alakú elsőrendű differenciálegenlet (vag ilen alakra hozható) melnek jobb oldala eg csak -től és csak -tól függő függvén szorzataként is felírható DEFINÍCIÓ Eg elsőrendű differenciálegenletet szétválasztható változójúnak (más szóval szétválaszthatónak vag szeparábilisnak) nevezünk ha f ( ) g( ) () alakra hozható ahol az f az I és a g ( g 0 ) függvén pedig az I intervallumon foltonos Ha g( ) akkor a differenciálegenlet felírható h ( ) h 0 f ( ) h ( ) azaz h( ) d f ( ) () d alakban is Ha figelembe vesszük hog eg olan ( ) függvént keresünk amel kielégíti a fenti egenletet akkor a () egenlet bal oldalán felismerhetjük a H( ( )) összetett függvén differenciálhánadosát Uganis Integráljuk a () egenlet mindkét oldalát dh( ) dh( ) d H( ) d h ( ) d d d d d d d h ( ) d f ( ) d C () d ahol C eg tetszőleges valós állandó Az () differenciálegenlet általános megoldását kapjuk meg ha a kijelölt integrálásokat elvégezzük 6

17 MEGJEGYZÉS A () egenletben a C additív állandó a határozatlan integrálba is belefoglalható A C kiírásával hangsúlozzuk hog a differenciálegenlet általános megoldása tartalmaz eg tetszőleges valós állandót Ha az () egenletben szereplő g( ) intervallumon akkor ezekből olan újabb meleket az általános megoldás nem tartalmaz konstans megoldásokat is kaphatunk függvénnek vannak zérushelei az I Eg szétválasztható változójú differenciálegenlet általános megoldása megkeresésének algoritmusa a következő: a) Az f ( ) g( ) egenletet átírjuk g ( ) f ( ) azaz d g( ) d f ( ) alakra b) Formálisan átszorzunk d-szel azaz szétválasztjuk a változókat: g( ) d f ( ) d c) Az egenlet két oldalán szereplő differenciálokat illetve szerint integráljuk d g( ) f ( ) d íg megkapjuk a keresett általános megoldást Az () differenciálegenlet partikuláris megoldásának meghatározása ekvivalens az f ( ) g( ) ( ) 0 0 (Cauch-féle) kezdetiérték feladat megoldásával A partikuláris megoldás megkeresése úg történhet hog az () egenlet általános megoldásába behelettesítjük a P ( ) koordinátáit és a C állandót meghatározzuk Ezt visszaírjuk az általános megoldásba s megkapjuk a keresett partikuláris megoldást PÉLDA Oldjuk meg az pont 7

18 differenciálegenletet: MEGOLDÁS A szétválasztható típusú differenciálegenlet jobb oldala foltonos az ( ) és () intervallumokon és a megoldást a két intervallumon keressük a) Legen akkor d d a változókat szétválasztjuk d d Integráljuk mindkét oldalt d d ált ln C R C b) Ha akkor ahonnan d d Összefoglalva a két megoldást ált ln( ) C ( ) R ln C ( C ) ált R C függvénsereg lesz a differenciálegenlet általános megoldása PÉLDA Határozzuk meg az 8

19 differenciálegenlet ( 0) kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását! MEGOLDÁS Szétválasztjuk a változókat majd mindkét oldalt integráljuk: d d ( ) d d azaz a differenciálegenlet általános megoldása ln ált C ( C R) A differenciálegenletnek az is megoldása melet az általános megoldás nem tartalmaz Az 0 és helettesítéssel ahonnan ln 0 C C 0 tehát a keresett partikuláris megoldás ln part PÉLDA Oldjuk meg az e (0) 4 kezdetiérték feladatot MEGOLDÁS A változók szétválasztása után mindkét oldalt integráljuk: d d e d e d ( 0) 9

20 ahonnan az általános megoldás vagis e e C C R 4 ált ált 4 ( ) e 4C e 4C 0 Az 0 is megoldása a differenciálegenletnek Behelettesítjük a kezdeti feltételt az általános megoldásba 4 0 C 4 ahonnan C 0 Íg a differenciálegenlet partikuláris megoldása part e e 4 vag 4 PÉLDA Oldjuk meg a part 4 ( ) ( 0) e d ln 0 d Cauch-féle kezdetiérték feladatot MEGOLDÁS Először megkeressük a differenciálegenlet általános megoldását Szétválasztjuk a változókat és az egenlet mindkét oldalát integráljuk: d ln d Innen megkapjuk a differenciálegenlet általános megoldását: 0

21 ált ln C C R Az adott kezdeti feltételt behelettesítve az általános megoldásba differenciálegenlet partikuláris megoldása ln part C adódik Íg a 5 PÉLDA Oldjuk meg az Cauch-féle kezdetiérték feladatot d 0 d MEGOLDÁS Szétválasztjuk a változókat és mindkét oldalt integráljuk: d d A bal oldalon lévő integranduszt először résztörtekre bontjuk majd ezután integráljuk: d ln ln íg az integrálás után ln ln arctg C megoldása melből a differenciálegenlet általános ln ált arctg C ált C R Figelembe véve az kezdeti feltételt az ln arctg C egenletből adódik melnek a segítségével a Cauch-féle kezdetiérték feladat megoldása C ln 4 ln part arctg ln 4 part 6 PÉLDA Keressük meg a

22 d sin ln 0 d Cauch-féle kezdetiérték feladat megoldását MEGOLDÁS Szétválasztjuk a változókat és mindkét oldalt integráljuk: d ln d sin melből azaz ln ln ln tg ln C C 0 ált Ctg e C R A kezdeti feltételt figelembe véve C ln íg a keresett partikuláris megoldás part tg 7 PÉLDA Oldjuk meg az d d 0 differenciálegenletet MEGOLDÁS Válasszuk szét a változókat és integráljuk mindkét oldalt: d d A jobb oldalon lévő integranduszt először résztörtekre bontjuk majd ezután integráljuk: d ln ln C C 0

23 íg az integrálás után ln ln C Figelembe véve hog az adott differenciálegenletnek az 0 is megoldása ezért az egenlet általános megoldása ált Ce R C 8 PÉLDA Oldjuk meg az 0 differenciálegenletet MEGOLDÁS A differenciálegenlet nincs értelmezve ha 0 Az egenletet rendezve és a változókat szétválasztva kapjuk hog Az egenlet mindkét oldalát integráljuk: d d 0 d d ln ln ln C C 0 Innen ln ln ln C C 0 A további átalakítások megkönnítése céljából az integrációs paramétert célszerű ln C C 0 alakban írni A logaritmus definícióját és azonosságait felhasználva a differenciálegenlet általános megoldása C e C 0 A megoldás során az 0 kikötést tettük de behelettesítéssel meggőződhetünk arról hog az 0 is kielégíti az egenletet ez az általános megoldásból C 0 kapható meg ezért az általános megoldás C e C R

24 9 PÉLDA Oldjuk meg az alábbi differenciálegenleteket: d a) sin ; b) d d d ; c) d cos 0 ; d d) d d d ; e) 0 0 0; d d f) sin cos 0 d MEGOLDÁS a) általános megoldás: 0 0 u v sin ált d sin cos cosd u v cos sin cos C 9 C R b) Szétválasztjuk a változókat és integráljuk mindkét oldalt: d d C Tehát a differenciálegenlet általános megoldása: ált C C R c) általános megoldás: u v cos d d ált cos sin sin u v sin sin 4cos C R kezdeti feltétel: C C ; C part partikuláris megoldás: sin 4cos 4

25 d) Szétválasztjuk a változókat és integráljuk mindkét oldalt: d d C általános megoldás: C R ált kezdeti feltétel: C C ; C ; partikuláris megoldás: part e) Szétválasztjuk a változókat és integráljuk mindkét oldalt: d d d d d ln ln ln C általános megoldás: e ált C C 0 C 0 ; f) Szétválasztjuk a változókat és integráljuk mindkét oldalt: d sin cos d ln d cos sin d lnsin lnc 0 általános megoldás: C sin 0 ált kezdeti feltétel: C C ; partikuláris megoldás: sin part 5 C ; C ;

26 Szétválasztható változójúra visszavezethető differenciálegenletek megoldása Ismerkedjünk meg olan eplicit alakú differenciálegenletekkel melek egszerű helettesítéssel szétválasztható változójú differenciálegenletekre vezethetők vissza Változókban homogén típusú differenciálegenlet DEFINÍCIÓ Az ( ) alakú egenletet változókban homogén típusú differenciálegenletnek nevezzük ha a ( ) függvén tetszőleges t R \ 0 esetén kielégíti a összefüggést Legen t íg ( ) ( t t) ( ) Ezért eg változókban homogén differenciálegenlet mindig felírható alakban Vezessük be az új u u( ) ismeretlen függvént az összefüggéssel ahonnan f ( 0) ( ) u u 6

27 Ekkor u u majd ezt a ( ) egenletbe visszahelettesítve u u f ( u) amel már szétválasztható változójú differenciálegenlet az u u( ) ismeretlen függvénre nézve: u f ( u) u ( ) Az egenletet megoldjuk az u u( ) függvénre majd a megoldást visszahelettesítve a transzformációba megkapjuk az eredeti differenciálegenlet általános megoldását MEGJEGYZÉS A változók szétválasztása után ha az u u valós számok megoldásai az f ( u) u 0 egenletnek akkor megoldásai a ( ) egenletnek is Felhasználva az u helettesítést azt kapjuk hog az u u uk ( 0) függvének is megoldásai az ( ) differenciálegenletnek Ezek a függvének az síkban félegenesekkel szemléltethetők melek feldarabolják a differenciálegenlet értelmezési tartománát Azaz két szomszédos u j és megoldásgörbe u j PÉLDA Oldjuk meg az differenciálegenletet félegenes által határolt szögtartománból sem ki sem be nem lép 0 0 MEGOLDÁS A differenciálegenlet változókban homogén típusú Az új ismeretlen függvén bevezetésével u u u u u 7 u k

28 miatt az eredeti differenciálegenlet u u u 0 azaz u u alakba írható fel amel már szétválasztható típusú egenlet A változókat szétválasztva du u d u 0 és integrálva mindkét oldalt ln u lnc R ln C amiből C u ( C R \ 0 ) Az u visszahelettesítésével C 0 adódik amelből átrendezés után az ált C C 0 ( C R \ 0 ) Ha a szétválasztható típusú egenletben u 0 akkor íg u vagis 0 8

29 is megoldása az eredeti differenciálegenletnek amel behelettesítéssel ellenőrizhető Az általános megoldásból ez a függvén (megoldás) a befoglalható az előbb felírt általános megoldásba általános megoldása C 0 határesetként nerhető íg C 0 esetén Tehát a differenciálegenlet ált C C 0 R C PÉLDA Határozzuk meg annak a görbének az egenletét amel átmeg az ponton és az pontjához tartozó érintőjének a meredeksége MEGOLDÁS Mivel a keresett görbe pontjához tartozó érintőjének a meredeksége ezért a differenciálhánados értelmezésének felhasználásával d d differenciálegenlet írható fel A felírt egenlet megegezik a Példában szereplővel tehát az általános megoldása azaz alakba is írható Mivel a keresett görbe átmeg az általános megoldásba: C 0 C ponton ezért a pont koordinátáit behelettesítjük az 6 C Íg a partikuláris megoldás azaz a keresett görbe egenlete PÉLDA Számítsuk ki az 7 0 9

30 differenciálegenlet általános megoldását MEGOLDÁS A differenciálegenlet megoldását az síkon keressük de 0 és 0 Az egenlet alakjából látható hog a differenciálegenlet változókban homogén típusú Uganis ha az egenlet jobb oldalába helébe t-et és helébe t-t helettesítünk t R t 0 az nem változik meg tehát a jobb oldal homogén függvén íg -nek a függvéne Ezt az eredmént közvetlenül is megkapjuk ha elosztjuk a jobb oldal számlálóját is és nevezőjét is -tel: Vezessük be az u u változót az u helettesítéssel melből u u és íg az u u u u alakú Átrendezés után az du d u u u u u u szétválasztható típusú differenciálegenletet kapjuk Szétválasztjuk a változókat és integráljuk mindkét oldalt: udu u d 0

31 ln u ln ln C R C Felhasználjuk a logaritmus függvén tulajdonságait és az u helébe visszaírjuk -et íg megkapjuk az eredeti differenciálegenlet általános megoldását: C ( R \ 0 ) C 0 4 PÉLDA Oldjuk meg a 0 0 differenciálegenletet MEGOLDÁS Ha a differenciálegenlet mindkét oldalát elosztjuk változókban homogén típusú egenletet kapunk: 0 -val látható hog 0 Vezessük be az u u transzformációt és helettesítsük be az ebből a deriválással nert u u összefüggéssel egütt az egenletbe íg a u u u u 0 differenciálegenletet kapjuk Látható hog összevonás és rendezés után a u u szétválasztható típusú egenlet adódik Szétválasztjuk a változókat és mindkét oldalt integráljuk: du d u u 0 u ln ln ln C u ( C R \ 0 ) vagis

32 u C u Visszahelettesítve az u helére az függvént és egszerűbb alakra hozva megkapjuk a keresett megoldást implicit alakban: C 0 C 0 A differenciálegenlet általános megoldását felírhatjuk eplicit alakban is: C C 0 0 C A megoldás során az u azaz kikötést tettük Behelettesítéssel meggőződhetünk arról hog az és függvének is kielégítik az egenletet ezek szinguláris megoldások 5 PÉLDA Keressük meg az differenciálegenlet általános megoldását sin cos cos 0 0 MEGOLDÁS A differenciálegenlet változókban homogén típusú Az egenletet végig osztjuk az u u 0 -val és bevezetjük az u u felhasználásával a differenciálegenlet összevonások után du cosu sin u d alakba írható amel már szétválasztható típusú A változókat szétválasztva és integrálva mindkét oldalt cosu du sin u d sin u 0 u ismeretlen függvént Az

33 ln sin u ln ln C ( C R \ 0 ) amiből Az u visszahelettesítésével a C sin u ( C R \ 0 ) C sin ( C R \ 0 ) megoldássereget kapjuk Ha a szétválasztható változójú differenciálegenletben sin u 0 akkor u k k vagis Z k íg k is megoldása az eredeti egenletnek Ezt a megoldást az általános megoldás C 0 esetén tartalmazza Íg a differenciálegenlet általános megoldása implicit alakban: 6 PÉLDA Határozzuk meg a ált differenciálegenlet általános megoldását C sin R d d C MEGOLDÁS Nem szétválasztható változójú differenciálegenlet Uganakkor az egenlet átrendezése után d d 0 és a jobb oldalon a számláló és nevező homogén és elsőfokú -ben és -ban ezért osszuk le a számlálót és a nevezőt 0 -val:

34 Alkalmazzuk az d d d u helettesítést és vegük figelembe hog ebből u u íg d Átrendezés és közös nevezőre való hozás után u u u u du 4u u d u Szétválasztjuk a változókat és mindkét oldalt integráljuk: u 4u u du d 4 u 0 u 0 ln 6u 4 d du 4u u C 4u u ln ln C 0 ln C 4u u ln A logaritmus és az abszolút érték elhagása után C 4u u 0 C azaz visszaírva az u helettesítést C 4 Íg a differenciálegenlet általános megoldása 4

35 4 C C 0 Külön megvizsgáljuk hog az 4u u 0 egenlet megoldásából adódó gökök 7 7 u segítségével felírt függvének kielégítik a differenciálegenletet és az általános megoldás C 0 esetén tartalmazza ezt a két függvént Ennek a figelembe vételével a differenciálegenlet általános megoldása 4 C C R 7 PÉLDA Oldjuk meg az (ln ln ) differenciálegenletet MEGOLDÁS A változókban homogén típusú differenciálegenletre átalakítható egenlet értelmezési tartomána 0 és 0 Az egenletből kifejezzük az hog valóban változókban homogén típusú: Vezessük be az differenciálegenlet u u -t és alkalmazzuk a logaritmus azonosságát íg már látható ln d du u transzformációt melből u Ezek segítségével a d d du u u lnu d alakú szétválasztható típusú egenlet lett Szétválasztjuk a változókat du u ln u d ( u 0 u e) és integrálás után 5

36 C e u u ált ( C R \ 0 ) Visszaírva a transzformációt u helére megkapjuk a differenciálegenlet általános megoldását C e ált ( C R \ 0 ) Az u lnu u 0 egenlet megoldásából adódó e függvénről belátható hog megoldása a differenciálegenletnek és C 0 -nál az általános megoldás tartalmazza ezt Tehát az eredeti differenciálegenlet általános megoldása 8 PÉLDA Oldjuk meg a differenciálegenletet C e ( C R) ált d d MEGOLDÁS A differenciálegenlet szétválasztható változójú egenletre visszavezethető Uganis az egenlet jobb oldalán tört számlálója és nevezője homogén és másodfokú -ben és d -ban Legen u ekkor u u és ezek felhasználásával az egenlet d du u u d u u alakra hozható Rendezzük az egenletet majd szétválasztjuk a változókat: du u u u u d u u u u u u u u du d Integrálás az u transzformáció visszahelettesítése után megkapjuk a differenciálegenlet általános megoldását: és az abszolút érték elhagása 6

37 ln u u ln ln C C 0 C u u C 0 C C C 0 II Az f ( a b c) elsőrendű eplicit alakú differenciálegenlet A differenciálegenletben az abc adott állandók az f pedig foltonos egváltozós függvén a) Ha a 0 akkor az egenlet f ( b c) alakú mel változóiban szétválasztható típusú Általános megoldása az d ( ) d f b c ( f ( b c) 0 ) integrálokkal nerhető b) Ha b 0 akkor f ( a c) alakú egenletet kapunk amel szintén szétválasztható típusú és az integrálással közvetlenül meghatározható: f ( a c) d c) Ha ab 0 akkor a differenciálegenletet az u a b c u u( ) új ismeretlen függvén bevezetésével oldjuk meg Innen szerinti differenciálással melből átrendezéssel u a b 7

38 u a b Ezek felhasználásával az eredeti differenciálegenlet az szétválasztható típusú lett: u u( ) ismeretlenre nézve u a b f (u) Ennek a differenciálegenletnek az általános megoldása a változók szétválasztása után az du bf ( u) a d ( bf ( u) a 0) integrálegenletből származtatható MEGJEGYZÉS Külön vizsgálatot igénelnek az bf ( u) a 0 egenlet u u u k gökei Az a b c u a b c u a b c uk egenesek megoldásai lesznek a differenciálegenletnek melek az általános megoldás függvénseregét szétválasztják 9 PÉLDA Oldjuk meg az differenciálegenletet MEGOLDÁS Az új ismeretlen függvén bevezetésével és miatt () u ( u u( )) u u 8

39 Ezek segítségével az () differenciálegenlet u u vag u u alakba írható A változókat szétválasztjuk és integrálunk du u d u innen u ln u C R C Visszaírva az eredeti változókat az () differenciálegenlet általános megoldása C ln C R Az u egenlet megoldása u íg is megoldása az () differenciálegenletnek 0 PÉLDA Határozzuk meg az differenciálegenlet P ponton áthaladó partikuláris megoldását 4 4 MEGOLDÁS A differenciálegenlet szétválaszthatóra vezethető vissza az u u u transzformációval melből u Ezek felhasználásával az eredeti egenletet u u alakú szétválasztható típusú differenciálegenletre transzformáltuk Válasszuk szét a változókat és mindkét oldalt integráljuk: 9

40 du u d arctgu C ahonnan Visszaírva az u u tg C R C helettesítést tg C Íg a differenciálegenlet általános megoldása tg C ált C R Az általános megoldásba behelettesítjük az adott kezdeti feltételt: 4 4 tg C melből C Íg a keresett partikuláris megoldás 4 part tg 4 PÉLDA Oldjuk meg az sin differenciálegenletet MEGOLDÁS Az u új ismeretlen függvén bevezetésével és 40 u u

41 u miatt a differenciálegenlet u sin u alakú mel szétválasztható típusú egenlet A változókat szétválasztjuk és integrálunk: du sin u d u t tg t dt dt dt du sin u C sin u t t t t t t t dt du t t C u tg Ennek az integrálnak a felhasználásával megkapjuk a szétválasztható típusú differenciálegenlet általános megoldását: C u tg C R Visszaírva az eredeti változókat és átrendezéssel az eredeti differenciálegenlet általános megoldása tg ált C C 0 C R alakú A sin u 0 egenlet megoldásából adódó k Z k egenesek szintén megoldásai a differenciálegenletnek Ezt a megoldást C határátmenetnél megkapjuk az általános megoldásból PÉLDA Keressük meg az 4

42 cos differenciálegenlet kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását 6 MEGOLDÁS Az szétválaszthatóvá válik: u u u változó bevezetésével a differenciálegenlet u cosu u cosu du cosu d du cosu u t tg t cosu t dt du t dt t t t dt t C u tg C Ennek felhasználásával tg u C azaz a differenciálegenlet általános megoldása tg ált C C R A partikuláris megoldás meghatározásához behelettesítjük az általános megoldásba a kezdeti feltételt: tg 6 C melből C Íg a keresett partikuláris megoldás: 4

43 tg part PÉLDA Oldjuk meg az differenciálegenletet MEGOLDÁS A megoldást a 0 feltételből nert két félsíkon uganazzal a számítással nerjük Vezessük be az u u u helettesítést majd szerint differenciáljunk: u Mindezt behelettesítve az egenletbe u u u majd a du d u u szétválasztható típusú differenciálegenlet adódik A változókat szétválasztva u 0 u du u d innen u ln u C C R Visszaírva a régi változókat a differenciálegenlet általános megoldását kapjuk implicit alakban: 4

44 ln C de Külön meg kell vizsgálni az u 0 esetet Az is megoldása az egenletnek 4 PÉLDA Keressük meg az 4 differenciálegenlet általános megoldását MEGOLDÁS Az u típusúvá válik Uganis u u helettesítés bevezetésével az egenlet szétválasztható u 4 u Mivel u 4 u u u du u 4 d u u 4 4 du du u u 4 4 u 4 du du 4 u u u ln u ln u C ezért a szétválasztható változójú egenlet általános megoldása u ln u ln u C C R Visszaírva a változókat és átrendezéssel megkapjuk az eredeti differenciálegenlet általános megoldását: ln ln C ált ln C C R Ellenőrizhető hog a differenciálegenletnek megoldása még az is 44

45 4 Görbesereg differenciálegenlete Trajektóriák Görbesereg differenciálegenlete Mint az előző fejezetekből ismeretes ha megoldunk eg elsőrendű differenciálegenletet akkor annak végtelen sok megoldása van és ezek a megoldásfüggvének egparaméteres görbesereggel (ún megoldásgörbékkel) ábrázolhatók az síkban eg n- ed rendű differenciálegenlet általános megoldásának grafikonja pedig n-paraméteres görbesereg Feltehetjük azt a kérdést ha adott eg görbesereg hogan lehet felírni az adott görbesereg differenciálegenletét? DEFINÍCIÓ n-paraméteres görbesereg azon síkgörbék összessége amele k a GC ( ) () C n 0 közös egenlettel adottak a derékszögű koordinátarendszerben ahol a C i -k ( i n) egmástól független valós paraméterek Tehát n-paraméteres görbeseregről akkor beszélünk ha az () egenletből a paraméterek alkalmas választásával a görbesereg minden elemét megkapjuk illetve az () egenletbe a paraméterek megengedett értékeit helettesítve a görbesereg valamelik elemét kapjuk meg Az () implicit függvénben az a független változó és az a függő változó Ha az ()-beli G implicit függvén és szerint legalább n-szer foltonosan differenciálható és a C i -kben mint változókban foltonos akkor a görbesereg általában paraméter nélküli differenciálegenletét a következőképpen írhatjuk fel: a) az () összefüggéssel adott görbesereg egenletét az változó szerint n-szer differenciáljuk és íg a görbesereg egenletével egütt n+ darab egenletet kapunk; b) az n számú paraméter bizonos feltételek teljesülése esetén az és változókkal valamint deriváltjaival kifejezhető; 45

46 c) a paraméterek kiküszöbölése után eg n-ed rendű paraméterek nélküli ( n) F( ) 0 differenciálegenletet kapunk mel az () egenlettel adott görbesereg differenciálegenlete MEGJEGYZÉS Az n-paraméteres görbesereg és az n-ed rendű differenciálegenlet között kölcsönös kapcsolat van: Bármel közönséges n-ed rendű differenciálegenlethez tartozik eg n-paraméteres görbesereg amelnek minden eleme a differenciálegenletnek megoldásgörbéje Ez az n- paraméteres görbesereg az n-ed rendű differenciálegenlet általános megoldása (Lehetnek azonban olan megoldásgörbék is amelek nem elemei a görbeseregnek Ezek a szinguláris megoldások) Az általános megoldásból bizonos feltételek teljesülése alapján eg konkrét megoldás kiválasztása a görbesereg eg elemének a kiválasztásával egenértékű Ezt partikuláris megoldásnak nevezzük Bármel n-paraméteres görbesereg meghatároz eg n-ed rendű differenciálegenletet melnek ez a görbesereg az általános megoldása 4 PÉLDA Határozzuk meg az C ( C R ) görbesereg differenciálegenletét! MEGOLDÁS A görbesereg egenletét szerint differenciáljuk: C A C paraméterre kapott összefüggést visszahelettesítjük a görbesereg (körsereg) egenletébe ezzel megkapjuk a görbesereg differenciálegenletét: azaz egszerűsítés után 4 PÉLDA Írjuk fel az 46

47 görbesereg differenciálegenletét! C sin C ( C C ) R MEGOLDÁS A görbesereg differenciálegenlete másodrendű mert két paraméter található az egenletében Az adott egenletet differenciáljuk az változó szerint: majd újbóli differenciálással C cos C C sin C Ez utóbbit hozzáadjuk a g örbesereg egenletéhez s a paraméterek kiesnek Íg megkapjuk a görbesereg differenciálegenletét: 0 4 PÉLDA Írjuk fel az alábbi görbesereg differenciálegenletét: a) C ( ) C R ; b) C ; ( C R) ; c) C (C R ); d) C C C e) e C C C R ; f) C R C C C g) C ( C R ); h) C e C e C C ; 4 C C C R ; C R C i) a a 0 ; j) C r C r 0 MEGOLDÁS a) A görbesereg egenletét differenciáljuk amel C Ebből kifejezzük a C paramétert és behelettesítjük a görbesereg C egenletébe íg megkapjuk a görbesereg 0 differenciálegenletét 47

48 b) ; c) ; d) ; e) A görbesereg kétparaméteres egenletét differenciáljuk az változó szerint majd a görbesereg egenletét felhasználva Ezt az egenletet ismét differenciáljuk C e e C C C e C e Az előző két egenletből mint egenletrendszerből a C paraméter kiiktatása után megkapjuk a kétparaméteres görbesereg másodrendű differenciálegenletét f) ; g) 0 0 i) ; j) ; h) 0 ; 0 r 44 PÉLDA Írjuk fel az sík összes egségsugarú köreinek a differenciálegenletét MEGOLDÁS A körsereg egenlete az u v u v R kétparaméteres egenlettel írható le A görbesereg egenletét differenciáljuk szerint: u v 0 Egszerűsítünk és ismét differenciálunk szerint: v 0 48

49 A differenciálással kapott második egenletből kifejezzük az u 49 v -t míg az elsőből az -t és visszahelettesítjük a körsereg egenletébe Íg az összevonások után a körsereg differenciálegenletére az másodrendű differenciálegenletet kapjuk 45 PÉLDA Határozzuk meg az tengellel párhuzamos tengelű parabolák differenciálegenletét melek átmennek az origón és a P 0 0 ponton MEGOLDÁS Először a parabolasereg egenletét írjuk fel felhasználva azt hog a parabolák két adott ponton mennek át és a tengelük párhuzamos az tengellel: C Mivel a görbesereg egenlete eg paramétert tartalm az ezért elsőrendű differenciálegenletet kapunk majd A görbesereg egenletét differenciáljuk az változó szerint: C Innen a C-t kifejezzük és a parabolasereg egenletébe visszahelettesítjük: C ahonnan átrendezés után megkapjuk a görbesereg differenciálegenletét 0 46 PÉLDA Írjuk fel azoknak a köröknek a differenciálegenletét ameleknek a középpontja az tengelen van valamint érintik az és az egeneseket MEGOLDÁS Először fel kell írni a körsereg egenletét amel a feladat feltételeit figelembe véve

50 C C A görbesereg differenciálegenletét megkapjuk ha ezt az egenletet differenciáljuk szerint: C 0 és a két egenletből kiküszöböljük a C paramétert Mivel az utóbbi egenletből C ezért visszahelettesítve ezt a körsereg egenletébe a differenciálegenletet kapjuk mel átrendezés után 0 meggőződni arról hog az egenletnek megoldása az alakú lett Ennek a differenciálegenletnek a körsereg általános megoldása Könnű is Trajektóriák A differenciálegenletek fontosabb geometriai alkalmazásai közül kiemeljük az ún trajektóriák megkeresését DEFINÍCIÓ Eg F ( C) 0 egenletű görbeseregnek a G( K) 0 egenlettel adott görbesereg tagjai izogonális trajektóriái ha ezek az eredeti görbesereg minden tagját azonos szögben metszik Ha eltekintünk a metszésszög előjelétől akkor ez a tulajdonság a két görbeseregnél kölcsönös DEFINÍCIÓ Ha eg F ( C) 0 egenletű görbesereg minden tagját a G( K) 0 egenletű görbesereg tagjai derékszögben metszik akkor a trajektóriákat ortogonális trajektóriáknak nevezzük Például eg időben állandó sebességgel síkban áramló foladék áramvonalai merőlegesen metszik azokat a görbéket ahol a sebességpotenciál konstans A derékszögű 50

51 koordináta-rendszerben ábrázolt polár koordinátaháló r konstans és konstans görbeseregei szintén ortogonális trajektóriái egmásnak A kérdés tehát az hogan lehet felírni adott görbesereg izogonális ill ortogonális trajektóriáinak egenletét a szög és az F ( C ) 0 görbesereg ismeretében? Mivel eg F ( C ) 0 egparaméteres görbesereget eg f ( ) 0 elsőrendű differenciálegenlettel tudunk jellemezni ezért a trajektóriák megkeresését elsőrendű differenciálegenletek megoldására vezethetjük vissza Első lé pés tehát a trajektóriák differenciálegenletének felírása Jelölje h az adott F ( C) 0 görbesereg eg tagját g pedig a görbét a P pontban szög alatt metsző izogonális trajektóriát Legen a h görbe P pontbeli érintőjének az tengellel bezárt szöge Mivel a h és a g görbék P pontbeli érintői szöget zárnak be egmással íg a g görbe ezen érintője szöget zár be az -tengellel azaz az adott görbesereg érintőjének irántangense tg tg t tg tg tg tgtg tg t ahol t az izogonális trajektória differenciálhánadosa a P pontban Mivel az adott görbeseregnél az és között fennáll az f ( ) 0 egenlet (azaz a görbesereg differenciálegenlete) íg az izogonális trajektóriák differenciálegenlete t f tg 0 tg t t Tehát ha megoldju k ezt a differenciálegenletet akkor megoldásai az eredeti görbesereg izogonális trajektóriái lesznek Ha akkor a merőleges érintők irántangensei egmás negatív reciprokai azaz 0 t ahol az adott görbesereg érintőjének az irántangense 0 t pedig az ortogonális trajektória differenciálhánadosa a közös P pontban Íg a görbesereg ortogonális trajektóriáinak a differenciálegenlete: f 0 t 0 0 t 5

52 47 PÉLDA Határozzuk meg az m egenletű egenesek ortogonális trajektóriáit MEGOLDÁS Az origón átmenő egenesek differenciálegenlete: d d m azaz d d Helettesítsük differencálegenletét: d -et a negatív reciprokával íg megkapjuk az ortogonális trajektóriák d d d azaz d d A szétválasztható változójú differenciálegenlet általános megoldása az K K 0 egenletű origó középpontú körsereg 48 PÉLDA Írjuk fel az C egenletű hiperbolák ortogonális trajektóriáinak az egenletét MEGOLDÁS Az adott görbesereg differenciálegenletét megkapjuk ha differenciáljuk a görbesereg egenletét szerint: 0 Az ortogonális trajektória differenciálegenletét a görbesereg egenletéből úg kapjuk meg ha helébe -t írunk: 0 Ez eg szétválasztható típusú differenciálegenlet melnek általános megoldását a változók szétválasztása után integrálással kapjuk: 5

53 d d d d K K R Tehát az K egenletű ortogonális trajektóriák ugancsak hiperbolák (valamint K 0 esetén az egenletű egenespár is a keresett görbesereghez tartozik) 49 PÉLDA Határozzuk meg az C görbesereget szög alatt metsző izogonális trajektóriák egenletét MEGOLDÁS A görbesereg differenciálegenlete 0 Ha akkor az adott görbesereg differenciálegenletében az kifejezés kerül Íg az helébe az változókban homogén típusú differenciálegenlet lesz a trajektóriák egenlete Ennek megoldása az K görbesereg amel az C egenlettel adott görbesereg minden tagját szögben metszi 40 PÉLDA Írjuk fel az 5

54 körsereget C C ( C R \ 0 ) szög alatt metsző izogonális trajektóriák differenciálegenletét 6 MEGOLDÁS A körsereg differenciálegenletének felírásához deriváljuk a görbesereg egenletét az változó szerint C 0 C Ennek felhasználásával a körsereg egenletéből kiküszöböljük a C paramétert és íg megkapjuk a körsereg differenciálegenletét ( 0 ) Mivel 6 ezért differenciálegenletébe tg 6 helébe az íg az izogonális trajektóriák esetén a körsereg t t kifejezést kell írni: t t Átrendezés és az inde elhagása után az izogonális trajektóriák differenciálegenlete: 54

55 4 PÉLDA Határozzuk meg az tengelt az origóban érintő körök ortogonális trajektóriáit MEGOLDÁS A szóban forgó körök egenlete r r ahol ( r R \ 0 ) vagis r A körsereg egenlete megegezik a 40 Példában szereplőével ezért az egenlete is uganaz: átrendezés után ( 0 ) Felírjuk az ortogonális trajektóriák differenciálegenletét ol módon hog a körsereg egenletébe helébe kerül: Ha ezt a differenciálegenletet megoldjuk akkor megkapjuk az ortogonális trajektóriák egenletét Innen kifejezzük -t: 0 Osszuk el a jobb oldalon álló tört számlálóját is és nevezőjét is 0 -val: Ez eg változókban homogén típus ú differenciálegenlet mel az u helettesítéssel szétválasztható változójúvá transzformálható: 55

56 du u u d u Rendezzük az egenletet du d u u u u u u majd szétválasztjuk a változókat és a bal oldalon parciális törtekre való bontással integrálunk: u u u du d du u d du u u ln u u ln ln C C 0 ln Innen a logaritmus és abszolút érték elhagása valamint a helettesítés visszaírása után u u C 0 C C C C K ( K R \ 0 ) Ebből látható hog a keresett ortogonális trajektória az K tengelt az origóban érintő körsereg K egenletű az 4 PÉLDA Írjuk fel az 56

57 C ( C R) egenessereget szög alatt metsző izogonális trajektóriák egenletét 4 MEGOLDÁS Mivel az adott egenessereg differenciálegenlete 0 ezért az izogonális trajektóriák differenciálegenlete t t t Innen átrendezés és az inde elhagása után az változókban homogén típusú differenciálegenletet kapjuk Az u u u új változó bevezetésével a differenciálegenlet az u u u u szétválasztható típusú differenciálegenletre vezethető vissza A változók szétválasztása u u du d és integrálás után u u du u u u du d 57

58 a szétválasztható típusú differenciálegenlet általános megoldását kapjuk: arctgu ln u ln C ( C R) Visszahelettesítve az differenciálegenlet általános megoldása u összefüggést a változókban homogén típusú arctg ln ln C Innen átalakításokkal a arctg Ce ( C R ) megoldást nerjük a keresett izogonális trajektóriára Ha trajektóriák egenletét az r cos r sin polár koordinátákkal írjuk fel akkor az izogonális trajektóriák egenlete polár koordinátarendszerben r 0 C e C R ) és ez az egenlet spirálissereget jelent A geometriai szemléltetéshez az illetve 0 egenesekre eső spirális pontokat is figelembe vehetjük 4 PÉLDA Határozzuk meg az ( 0 C ( C R \ 0 ) görbesereg ortogonális trajektóriáinak az egenletét MEGOLDÁS Az adott körsereg differenciálegenlete 58

59 0 melből az differenciálegenlete t összefüggés felhasználásával a keresett ortogonális trajektóriák Elhagjuk az t 0 t -ből a t indeet és átrendezés után látható hog a differenciálegenlet szétválasztható típusú amelnek az általános megoldása K ( 0) ( K R \ 0 ) alakba írható Tehát a körsereg ortogonális trajektóriái az origón átmenő egenessereg tagjai Ez a feladat a 47 Példa megfordítása mert ott egenessereg ortogonális trajektóriáit kerestük 44 PÉLDA Határozzuk meg az C ( C R) görbesereg ortogonális trajektóriáinak az egenletét MEGOLDÁS A parabolasereg differenciálegenlete ( 0) Felhasználjuk hog a merőleges érintők irántangenseinek szorzata - ezért a keresett ortogonális trajektóriák differenciálegenlete Az egenlet általános megoldása K K 0 tehát a parabolasereg ortogonális trajektóriái eg ellipszissereg tagjai 59

60 45 PÉLDA Írjuk fel az Ce ( C ) R görbesereg ortogonális trajektóriáinak az egenletét MEGOLDÁS A görbesereg differenciálegenlete 0 melből a keresett ortogonális trajektóriák differenciálegenlete 0 Az egenlet általános megoldása K K 0 tehát az eponenciális függvénseregnek az ortogonális trajektóriái az tengelű parabolasereg tagjai 60

61 5 Lineáris elsőrendű és erre visszavezethető differenciálegenletek megoldása Elsőrendű lineáris differenciálegenlet DEFINÍCIÓ Az a( ) b( ) r( ) () alakú differenciálegenletet elsőrendű lineáris differenciálegenletnek nevezzük ahol az a( ) és a b( ) egütthatófüggvének és az r( ) zavarótag (zavarófüggvén) foltonosak és az a( ) 0 eg közös I intervallumon Az () differenciálegenlet ezen az I intervallumon homogén ha r( ) 0 és inhomogén ha r( ) nem azonosan nulla Az () differenciálegenlet normál alakja b( ) c ahol p ( ) és g( ) a ( ) ( ) a ( ) I p( ) g( ) () A () normál alakú elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegenlet általános megoldása az inhomogén differenciálegenlet megfelelő homogén egenlete általános megoldásának és az inhomogén differenciálegenlet eg inhom part partikuláris megoldásának az összege: Y in hom ált hom ált in hom part Az elsőrendű lineáris homogén differenciálegenlet megoldása Az Y 0 Y p () homogén differenciálegenlet általános megoldása a változók szétválasztása után az 6

62 Y ált Y C ep p d hom függvén tetszőleges valós C paraméter mellett Az elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegenlet eg megoldásának megkeresése in hom part partikuláris A megoldás megkeresésére leggakrabban a Lagrange-től származó "állandók variálása" módszert (vag más néven "konstansvariálás" módszert) használjuk Legen Y( ) az inhomogén differenciálegenlet megfelelő homogén egenletének általános megoldása A () inhomogén differenciálegenlet általános megoldását keressük in hom part C Y alakban ahol C eg tetszőleges differenciálható de egelőre ismeretlen függvén Innen in hom part CY CY és a () differenciálegenletbe behelettesítve ezeket a C()-re nézve a C Y CY pc Y g elsőrendű differenciálegenletet nerjük C() kiemelése után a C Y CY py g differenciálegenletben C() egütthatója azonosan 0 mert differenciálegenletnek Íg a C() ismeretlen függvént a Y megoldása a homogén C Y g szétválasztható típusú differenciálegenletből kapjuk: g( ) C( ) d C ( C R ) Y ( ) 6

63 Mivel egetlen partikuláris megoldást keresünk (a partikuláris megoldás nem tartalmaz tetszőleges állandót!) ezért integrációs állandót tehát C -et 0-nak választjuk azaz a C() meghatározásakor nem írunk g C d Y Ezt a kifejezést behelettesítjük az inhomogén egenlet partikuláris megoldásába íg az in hom part Y g Y d alakú lesz Mivel a lineáris inhomogén differenciálegenlet általános megoldása az alábbi két megoldás összege ezért Y in hom ált hom ált in hom part azaz in hom ált CY Y g Y d alakban írható ahol az összeg első tagja a homogén egenlet általános megoldása míg a második tagja az inhomogén egenlet eg partikuláris megoldása Látható hog a megoldást két kvadratúrával kaptuk meg 5 PÉLDA Oldjuk meg az ctg sin 0 elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegenletet MEGOLDÁS Először a differenciálegenlethez tartozó Y Yctg 0 homogén egenlet megoldását keressük meg A változókat szétválasztjuk dy ctgd Y 6

64 majd innen integrálással megkapjuk a homogén egenlet Y ált Y C sin C R hom általános megoldását Az inhomogén egenlet eg partikuláris megoldását az "állandók variálása" módszerével az in hom part Csin függvén segítségével állítjuk elő Innen sin Ccos C in hom part Behelettesítjük az előbbieket a megoldandó inhomogén differenciálegenletbe sin Ccos Csin sin C Összevonások után C ezért partikuláris megoldása míg az általános megoldása in hom ált 5 PÉLDA Határozzuk meg az C Íg az inhomogén differenciálegenlet eg in hom part sin C sin sin C R d 0 0 d 0 differenciálegenlet általános megoldását majd keressük meg az 5 kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását! MEGOLDÁS A megfelelő homogén egenletben szétválasztjuk a változókat dy d Y majd mindkét oldalt integrálva 64