3. gyakorlat Variációszámítás és Fermat-elv
|
|
|
- Alfréd Kerekes
- 3 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 3. gyakorlat Variációszámítás és Fermat-elv Elméleti mechanika A Emelt csoport gyakorlata Kapás Kornél EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
2 Brahisztokron probléma 1. feladat 1. feladat Homogén gravitációs térben gurul egy test egy lejtőn. Milyen alakú legyen a lejtő, hogy P (x 0, y 0 ) pontból P (x 1, y 1 ) pontban a legrövidebb idő alatt elérjen? EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
3 Brahisztokron probléma 1. feladat Írjuk fel először a minimalizálandó idő formuláját: ds S = dt = v (1) Homogén gravitációs térben az energiamegmaradás az alábbi: mgy 0 = mgy + m 2 v2 v = 2g(y 0 y) (2) Az ívhosszt pedig felírhatjuk a koordináták differenciáljaival: ( ) dy 2 ds 2 = dx 2 + dy 2 ds = dx 1 + (3) dx EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
4 Brahisztokron probléma 1. feladat Ezekkel már egy y(x)-től függő funkcionált kapunk: S[y(x)] = 1 + y (x) 2 dx (4) 2g(y0 y) Mivel az integrandus nem függ expliciten x-től, ezért a kanonikus energia megmarad: ( E = py L = L 1 y (x) 2 y y L = 2g(y0 y) 1 + y (x) ) 1 + y (x) 2 2 (5) Néhány átalakítás után: 1 1 E = (6) 2g(y0 y) 1 + y (x) 2 EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
5 Brahisztokron probléma 1. feladat Ez már egy elsőrendű szeparálható differenciálegyenlet: y 1 (x) = ± 2gE 2 (y 0 y) 1 dy dx = ± 1 2gE 2 (y 0 y) 1 (7) Az integrál elvégzéséhez végezzünk el néhány változócserét: ỹ = 2gE 2 (y 0 y), dy = dỹ Ezekkel: 2gE 2 x x 0 = 1 2gE 2 dỹ = 1 ± 1 ỹ 1 2gE 2 ỹdỹ ± 1 ỹ (8) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
6 Brahisztokron probléma 1. feladat Újabb változócsere: ỹ = sin 2 ( ( t 2), dỹ = sin t ( 2) cos t 2) dt (t [0 : 2π]): x x 0 = 1 sin ( ) t ( ) ( ) 2 t t 2gE 2 1 sin 2 ( ) sin cos dt t A előjel az y (x) derivált előjeléből jön, ami pont ott vált, ahol a teljes integrandus (t = nπ-nél), így: x x 0 = 1 ( ) t 2gE 2 sin 2 dt = 1 2 4gE 2 (1 cos(t)) dt EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
7 Brahisztokron probléma 1. feladat Elvégezve az integrált: x x 0 = 1 (t sin(t)) (9) 4gE2 Továbbá az y koordinátára: y = y 0 ỹ ( t 2gE 2 = y 0 2) sin2 2gE 2 y y 0 = 1 (cos(t) 1) (10) 4gE2 EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
8 Brahisztokron probléma 1. feladat Egy t-vel paraméterezett görbét kapunk. Már csak a végpontok rögzítése van hátra. Könnyebbség kedvéért induljon a test az origóból: y(t = 0) = 0 x(t = 0) = 0 (11) Ehhez egyből látszik, hogy x 0 = y 0 = 0 szükséges. Tehát az így kapott görbe paraméteres alakja: ( ) x(t) = 1 ( ) t sin(t) y(t) 4gE 2 (12) cos(t) 1 EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
9 Brahisztokron probléma 1. feladat A végpont rögzítése általában transzcendens egyenlethez vezet. Legyen t -nél a görbe vége. Erre kívánjuk kiróni, hogy legyen x 1,y 1 pontban. Tehát megoldandó egyenletrendszer: y(t ) = y 1 = 1 4gE 2 ( cos ( t ) 1 ) x(t ) = x 1 = 1 ( t 4gE 2 sin ( t )) (13) Mi van, ha a végpontból, csak az egyik koordináta rögzített? Legyen ez az x 1. Ekkor, mint láttuk, a kanonikus impulzusnak el kell tűnnie a végponton: 1 y (x) p(x 1 ) = = 0 (14) 2g(y0 y) 1 + y (x) x=x1 Ez csak akkor lehetséges, ha y (x) x=x1 = 0, tehát a lejtő merőleges fut be a függőleges x 1 egyenesbe. EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
10 Brahisztokron probléma 1. feladat Nézzük meg, hogy ez a görbe konkrétan hogyan néz ki: dy = 1 sin tdt (15) 4gE2 dx = 1 (1 cos t)dt (16) 4gE2 Tehét az x szerinti derivált (aminek zérusnak kell lennie a végpontban): dy dx = sin t cos t 1 Ez ott lesz zérus, ahogy sin zérus, de a nevező nem: (17) t = (2n + 1)π (18) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
11 Brahisztokron probléma 1. feladat Most ezt írjuk vissza görbe egyenletébe: ( ) x1 = 1 ( ) (2n + 1)π 4gE 2 2 y 1 (19) x 1 = (2n + 1)π 4gE 2 2gE 2 = π 2n + 1 (20) 2 x 1 y 1 = 1 2gE 2 = 2x 1 (2n + 1)π ( ) x(t) = y(t) x 1 (2n + 1)π ( t sin(t) cos(t) 1 ) (21) (22) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
12 Brahisztokron probléma 1. feladat EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
13 Didó-királynő 2. feladat 2. feladat Adott hosszúságú kötéllel akarjuk a legnagyobb területet körbeölelni úgy, hogy a két végpont egy egyenesen helyezkedik el. Milyen alakú a görbe? EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
14 Didó-királynő 2. feladat A maximalizálandó funkciónál természetes maga a terület, ami mellett megjelenik a kötél hossza, mint kényszer. Ezt Lagrange multiplikátorral vesszük figyelembe: x1 ( L ) x1 x1 S = y(x)dx+λ ds l 0 = y(x)dx+λ 1 + y (x) 2 dx x 0 0 x 0 x 0 (23) Itt kihasználtuk az ívhosszra vonatkozó összefüggést (ds 2 = dx 2 + dy 2 ) A hosszt el lehet hagyni, hiszen az egy konstans, ne befolyásolja a variálás eredményét. Így a Lagrange függvény: L = y(x) + λ 1 + y (x) 2 (24) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
15 Didó-királynő 2. feladat Ez nem függ expliciten x-től, így a kanonikus energia állandó: E = py L = L y (x) 2 ( y y L = λ 1 + y (x) y(x) + λ ) 1 + y (x) 2 2 E = y(x) λ 1 + y (x) 2 (25) Ez egy szeparálható differenciálegyenlet: y λ (x) = 2 (E + y(x)) 2 1 (26) dx = 1 dy (27) λ 2 1 (E+y(x)) 2 EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
16 Didó-királynő 2. feladat Vezessünk be egy új változót: ỹ = y + E λ dy = λdỹ (28) Így az integrál: x + c = λ ỹ 1 ỹ 2 dỹ = λ 1 ỹ 2 (29) Vegyük észre, hogy mind a két oldal határozatlan integrál, melyek konstansait egy konstansba (c) sűrítettük. A megoldás tehát: (x + c) 2 = λ 2 ( 1 ỹ 2) (x + c) 2 + (y + E) 2 = λ 2 (30) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
17 Didó-királynő 2. feladat Az összes paraméter rögzítéséhez kell két peremfeltétel, illetve a kényszerre vonatkozó egyenlet megoldása. De vegyük észre, hogy a kör egyenletéből: λ a kör sugara c a középpont x koordinátája E a középpont y koordinátája Legyen a kezdőpont az origóban, míg a végpont egy (x 1, y 1 = 0) pontban. Így c 2 + E 2 = λ 2 (31) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
18 Didó-királynő 2. feladat Ebben az esetben (pl c = 1 és E = 0.5 esetén): EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
19 Didó-királynő 2. feladat Pusztán geometriai megfontosálokból (x 0 = y 0 = y 1 = 0 és véges rögzített l 0 és x 1 mellett): c = 1 2 x 1 2πλ = l 0 c 2 + E 2 = λ 2 (32) Így a paraméterek a végpontok rögzítése után: c = 1 2 x 1 E = ± λ 2 x2 1 4 (33) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
20 Didó-királynő 2. feladat Most már csak λ és l 0 kapcsolata van vissza. Az ábráról: tg ϕ 2 = c ( c ) ϕ = 2arctg E E (34) ( c ) l 0 = λϕ = 2λarctg E (35) Például E = 0 esetén: l 0 = 2λ π = λπ 2 (36) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
21 Didó-királynő 2. feladat Eddig úgy néz ki, hogy minden rendben van. De előfordul, hogy a kapott függvény többértékű lesz: EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
22 Didó-királynő 3. feladat 3. feladat Oldjuk meg az előző problémát multiplikátor használata nélkül! A végpont y koordinátája legyen y 1! EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
23 Didó-királynő 3. feladat Mivel a kényszer a kötél hossza, ezért ha átírjuk ívhosszra a problémát, akkor az integrálási határ automatikusan tartalmazza a kényszert: ds 2 = dx 2 + dy 2 dx = ds 1 y (s) 2 (37) Így avfunkcionál: l 0 y(s) 1 y (s) 2 ds (38) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
24 Didó-királynő 3. feladat Tehét a Lagrange-függvény: Kanonikus energia itt is állandó: L = y(s) 1 y (s) 2 (39) E = py y (s) 2 L = y(s) 1 y (s) y(s) 1 y (s) 2 y(s) = 2 1 y (s) 2 (40) ( ) y(s) 2 y (s) = 1 (41) E ds = 1 ) dy 2 (42) 1 ( y(s) E EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
25 Didó-királynő 3. feladat Vezessünk be új változót: y(s) = E sin u dy = E cos udu (43) Így az integrál: s s 0 = E ( y ) du = Eu = Earcsin E (44) ( s ) y(s) = E sin E Az s 0 -át zérusnak lehet venni. Az x(s)-re: dx ds = ( s ) ( s ) 1 y (s) 2 = 1 cos 2 = sin E E (45) (46) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
26 Didó-királynő 3. feladat Tehát az ívhosszal paraméterezett változók: ( s ) ( s ) y(s) = E sin x(s) = E cos + c (47) E E Ebből: (x c) 2 + y 2 = E 2 (48) Ha a kezdőpont az origóban van, akkor c 2 = E 2. Így: (x ± E) 2 + y 2 = E 2 (49) Végpont rögzítése: ( ) l y(l) = y 1 = E sin E (50) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
27 Didó-királynő 3. feladat Így a lehetséges megoldások (különböző y 1 -ek, rögzített hossz) és a hozzájuk tartozó hatás: S E EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
28 Fermat-elv 4. feladat 4. feladat Milyen pályán halad a fénysugár, ha a törésmutató n(r) = n 0 d y EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
29 Fermat-elv 4. feladat A Fermat elv: S = n(r)ds (51) ds 2 = dx 2 + dy 2 ds = dx 1 + y (x) 2 (52) Így: S = A Lagrange-függvény: x1 x 0 n 0 d 1 + y y (x) 2 dy (53) L = n 0d 1 + y y (x) 2 (54) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
30 Fermat-elv 4. feladat Kanonikus mennyiségek: E = py (x) L = n 0d y p = L y = n 0d y (x) (55) y 1 + y (x) 2 F = L y = n 0d y y (x) 2 (56) y (x) y (x) n 0d 2 y 1 + y (x) 2 = n 0d y y (x) 2 (57) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
31 Fermat-elv 4. feladat Az energia megmarad, így abból a képletből ki tudunk indulni: dx = y 2 (1 + y (x) 2 ) = n2 0 d2 E 2 (58) y (x) = dy dx = ± n 2 0 d2 1 E 2 y 2 1 (59) 1 dy = n 2 ± 0 d E 2 y 2 y dy (60) n ± 2 0 d2 y E 2 2 EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
32 Fermat-elv 4. feladat Elvégezve az integrálokat: x + c = ± Átrendezés után az eredmény: n 2 0 d 2 E 2 y2 (61) (x + c) 2 + y 2 = n2 0 d2 E 2 (62) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
33 Kis rezgések frekvenciája 5. feladat 5. feladat Egyenesen csúszó tömegpont rugóhoz kötve, kis frekvenciák EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
34 Kis rezgések frekvenciája 5. feladat A minimalizálandó hatás: S = t1 t 0 L(x, ẋ)dt (63) ahol L = m 2 ẋ2 V (x) = m 2 ẋ2 k 2 ( ) 2 x 2 + d 2 l (64) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
35 Kis rezgések frekvenciája 5. feladat Kanonikus mennyiségek, amik immárom már a valós fizikai mennyiségek: p = L ẋ F = L x = k ( x 2 + d 2 l ) = mẋ (65) x x 2 + d 2 = kx (1 ) l x 2 + d 2 Vizsgáljuk az egyensúlyi helyezet körüli mozgást (l > d esetén): Így a gyökös kifejezés: (66) x = x 0 + x x 2 0 = l 2 d 2 (67) l (x0 + x) 2 + d 2 = l l 2 + x l 2 d 2 x (68) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
36 Kis rezgések frekvenciája 5. feladat l (x0 + x) 2 + d = x2 l (d/l) 2 x l Nézzük meg, hogy a kis rezgések esetén mi történik! Ekkora a x mindenképpen kisebb, mint az l: (69) l (x0 + x) 2 + d (d/l) 2 l 2 x = 1 l 2 d 2 x l 2 (70) Így az erő: ( F = kx 1 ) ( l = k(x 0 + x) 1 x 2 + d 2 ) l (x0 + x) 2 + d 2 (71) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
37 Kis rezgések frekvenciája 5. feladat Sorfejtés után: l F kx 2 d 2 0 l 2 x = k És akkor az Euler-Lagrange egyenlet (ṗ = F ): ẍ = k m (1 d2 l 2 (1 d2 l 2 ) x (72) ) x (73) Harmonikus rezgőmozgás, melynek frekvenciája: ( ) k ω = 1 d2 m l 2 (74) EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
38 Kis rezgések frekvenciája 5. feladat Mi a helyzet akkor, ha l < d? Ekkor mindenképpen x 0 = 0. Ekkora a képleteket x = 0 körül lehet sorbafejteni: l x 2 + d 2 l d (75) Így az erő lineáris rendig triviálisan: F = kx ( 1 l ) d (76) Ami egy sima ω = k m ( 1 l d) frekvenciájú rezgősmozgáshoz vezet. EMA - Emelt csoport (KK) 3. gyakorlat / 38
A brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
ANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
Lagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
Határozatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
Matematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I. rész
Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I rész evezetés rugalmas láncgörbe magyar nyelvű szakirodalma nem túl gazdag Egy viszonylag rövid ismertetés található [ 1 ] - ben közönséges ( azaz
Analízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
A Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
r a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.
Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba
Elméleti mechanika A
Elméleti mechanika A Feladatsor és gyakorlati anyag Kapás Kornél Legutóbbi frissítés: 018. december 6. 15:49 Tartalomjegyzék 1. Matematikai bevezetés 3 1.1. Komplex számkör...................................
A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
Differenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
6. A Lagrange-formalizmus
Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 6. rész 1 6. A Lagrange-formalizmus A Lagrange-formalizmus alkalmazásával bizonyos fizikai rendszerek mozgásegyenleteit írhatjuk fel egyszerű módon. Az alapvető
2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések
. REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
6. Differenciálegyenletek
312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon
Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.
Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg
Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét
Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Az F erő által végzett munka, ha a test adott pályán mozog az r 1 helyvektorú P 1 pontból az r helyvektorú P pontba, az alábbi vonalintegrállal számolható:
Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Polinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
PÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE
PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,
Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
Matematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.
1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi
A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
Koordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
Differenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, 2017. október 10.. CHFMAX NÉV: Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 Előadó: Márkus / Varga Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1) Az l hosszúságú
2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
Szélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
Matematika A1. 8. feladatsor. Dierenciálás 2. Trigonometrikus függvények deriváltja. A láncszabály. 1. Határozzuk meg a dy/dx függvényt.
Matematika A 8. feladatsor Dierenciálás Trigonometrikus függvények deriváltja. Határozzuk meg a dy/d függvényt. a) y = 0 + 3 cos 0 3 sin b) y = sin 4 + 7 cos sin c) y = ctg +ctg sin )+ctg ) d) y = tg cos
I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve.
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek 1 (BMETE93AM15) Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban Mindkét csoport Rövidítve 1 gyakorlat 017 szeptember 7 T01 csoport Elsőrendű közönséges
Differenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
Az éjszakai rovarok repüléséről
Erről ezt olvashatjuk [ ] - ben: Az éjszakai rovarok repüléséről Az a kijelentés, miszerint a repülés pályája logaritmikus spirális, a következőképpen igazolható [ 2 ].. ábra Az állandó v nagyságú sebességgel
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika
Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika 1. előadás Vonatkoztatási rendszer Hely-idő-tömeg standardok 3-dimenziós
Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek
Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk
Matematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
Matematika M1 Gyakorlat
Matematika M Gyakorlat BME - Gépésmérnök MSc Gyakorló Feladatsor. Zh. Határoa meg a α paraméter értékét úgy hogy a vx y = αx y xy 4y 3 3 kétváltoós függvény egy reguláris komplex függvény képetes rése
Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin
Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. 1.-2. Gyakorlat 1 / 42 Numerikus differenciálás
7. feladatsor: Laplace-transzformáció (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyésmérnöki, Biomérnöki, Környeetmérnöki sakok, 017/18 ős 7. feladatsor: Laplace-transformáció (megoldás) 1. A definíció alapján sámoljuk ki a követkeő függvények Laplace-transformáltját.
1. Az előző előadás anyaga
. Az előző előadás anyaga Egy fiú áll az A pontban és azt látja, hogy a barátnője fuldoklik a B pontban egy tóban. Milyen plyán kell a fiúnak mozognia, hogy a leggyorsabban a barátnőjéhez érjen, ha a parton
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Szökőkút - feladat. 1. ábra. A fotók forrása:
Szökőkút - feladat Nemrégen Gyulán jártunk, ahol sok szép szökőkutat láttunk. Az egyik különösen megtetszett, ezért elhatároztam, hogy megpróbálom elemi módon leírni a ízsugarak, illete az általuk leírt
MATLAB. 8. gyakorlat. Differenciálegyenletek
MATLAB 8. gyakorlat Differenciálegyenletek Menetrend Kis ZH Differenciálegyenletek általában Elsőrendű differenciálegyenletek Másodrendű differenciálegyenletek Kis ZH pdf Differenciálegyenletek Diffegyenlet:
Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
Számítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
Határozott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Az elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű
2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
2.4. Coulomb-súrlódással (száraz súrlódással) csillapított szabad rezgések
58. FEJEZET. EGY SZABADSÁGI FOKÚ LENGŐRENDSZEREK.4. Coulomb-súrlódással (száraz súrlódással) csillapított szabad rezgések.4.1. Súrlódási modell A Coulomb-féle súrlódási modellben a súrlódási erő a felületeket
Hurokegyenlet alakja, ha az áram irányával megegyező feszültségeséseket tekintjük pozitívnak:
Első gyakorlat A gyakorlat célja, hogy megismerkedjünk Matlab-SIMULINK szoftverrel és annak segítségével sajátítsuk el az Automatika c. tantárgy gyakorlati tananyagát. Ezen a gyakorlaton ismertetésre kerül
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben
Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma
Egy kötélstatikai alapfeladat megoldása másként
1 Egy kötélstatikai alapfeladat megoldása másként Most megint egyik kedvenc témánkat vesszük elő. Bízunk benne, hogy az itt előforduló ismétlések szükségesek, ámde nem feleslegesek. A más módon való megoldás
Matematika A3 1. ZH+megoldás
Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő