TORZULÁSÚ PÓLUSVONALAS KÉPZETES HENGERVETÜLETBEN. Összefoglalás

Átírás

1 AZ EGÉSZ FÖLD OPTIMÁLIS ÁBRÁZOLÁSA ÁLTALÁNOS TORZULÁSÚ PÓLUSVONALAS KÉPZETES HENGERVETÜLETBEN GYÖRFFY JÁNOS Összefoglalás Az átlagos torzultságok szerinti legjobb vetületeket határoztuk meg a pólusvonalas képzetes hengervetületek alábbi csoportjaira, meleket a vetületi egenletek alapján alakítottunk ki: xcarcλ (valói hengervetület); xc()arcλ, ahol c() páros függvén (a szélességi körök ekviisztánsak); xc()f(λ), ahol c() páros, f(λ) páratlan függvén (a meriiánok minen szélességi kört uganolan aránban osztanak fel); xx(,λ) -ben páros, λ-ban páratlan függvén (a meriiánok a szélességi köröket tetszõlegesen változó aránban osztják fel). Minen eges csoporton belül alcsoportokat képeztünk az () vetületi egenlet alapján: arc (vagis a középmeriián hossztartó); arc (vagis a középmeriián ekviisztáns); () -ben páratlan függvén. A vetületi egenletek alkotó függvéneit polinomokkal közelítettük, és a többváltozós szimplex mószer nevû minimalizáló eljárással határoztuk meg azokat az egüttható értékeket, amelek a vizsgált átlagos teljes torzultsági hiba-kritériumokra (ereeti Air, Air Kavrajszkij stb.) a minimális értékeket aták. A vizsgálatok ereménei: A különbözõ torzultsági kritériumok eltérõ vetületeket ereméneztek; a fölrajzi szemlélettel, az esztétikai érzékkel és a térképészeti hagománokkal az Air Kavrajszkij és a móosított Air kritériumból származó vetületek állnak összhangban. Az x vetületi egenlet szerinti csoportok sorrenjében a hiba általában jelentõsen csökken, különösen a valói és az ekviisztáns képzetes hengervetületek között, valamint az utolsó (a változó aránban felosztott parallelkörû) csoportnál. Az vetületi egenleteket közelítõ polinomok fokszámának növelésével a hiba többnire csak kis mértékben csökkenthetõ tovább. Min az ekviisztáns parallelkörû, min a változóan felosztott parallelkörû legjobb képzetes hengervetületek az átlagos torzultság szempontjából lénegesen kevezõbbek, mint a hagomános képzetes hengervetületek, ezért a teljes Föl ábrázolására hangsúlozottan javasolhatók. REPRESENTING THE WHOLE EARTH IN BEST PSEUDOCYLINDRICAL PROJECTIONS WITH POLE LINE Abstract The minimum mean overall error projections were prepare in some groups of pseuoclinrical projections with pole lines. These groups were forme on the grouns of the mapping equation xx(,λ):

2 xcarcλ (clinrical projection); xc()arcλ, where c() is even function (i.e. the parallels are equiistant); xc()f(λ), where c() is even function, f(λ) is o function (i.e. the meriians ivie all parallels into the same proportions); xx(,λ) even function of an o function of λ (i.e. the meriians space parallels into arbitrar proportions). In all groups subgroups were forme on the grouns of the mapping equation (): arc (i.e. scale is true along the central meriian); arc (i.e. the central meriian is equiistant); () is o function. The constituent functions of the mapping equations were approximate b polnomials, an their coefficients giving minimal values of the stuie mean overall error criteria (original Air, Air Kavraski, etc.) were compute b the multiimensional ownhill simplex metho. The results of the examination: The ifferent error criteria effecte iverse projections; the projections erive from the criteria of Air- Kavraski an moifie one of Air correspon most of all to the geographical approach, aesthetic sense an cartographical traitions. The error in general significantl ecreases in orer of the above groups accoring to the mapping equation xx(,λ), especiall between the groups of clinrical projections an pseuoclinrical ones with equiistant parallels, an b the last group (with into arbitrar proportions space parallels). Conversel, the error can be onl ecrease slightl b stepping up the grae of the polnomials approximating mapping equation (). Both the best pseuoclinrical pojections with equiistant parallels an with arbitraril space parallels are substantiall more favourable from the point of view of the mean error than the traitional pseuoclinrical projections, an therefore the can be efinitel recommene for representing the whole Earth. A világtérképek vetülete a XX. száza elejére kialakult hagománoknak megfelelõen, amelek a torzulások mérlegelésén, az övezetes fölrajzi jelenségek kihangsúlozásán, szemléletességi és esztétikai követelméneken alapultak többnire képzetes hengervetület. A térképészet története folamán igen sok képzetes hengervetület keletkezett, az ezek közötti minõsítés és válogatás a fenti szempontok alapján történik, különös tekintettel a torzulási viszonokra. A szélességi köröket párhuzamos egenesként megjelenítõ képzetes hengervetületek között az ábrázolt témától függõen min területtartó, min általános torzulású változatok elõforulnak, e a korábban omináns területtartó vetületekkel szemben napjainkban a kontinensek alakjának kisebb torzulása miatt az általános torzulású vetületek kerülnek elõtérbe. A pólust, ahol a torzulások eg része végtelen naggá válik, a képzetes hengervetület vag eg pontra, vag eg egenes szakaszra (az úgnevezett pólusvonalra) képezi le. A póluspontos változat általában szemléletesebb és esztétikusabb; a pólusvonalas változat megértése absztrakciós képességet kíván, viszont a pólusvonal körnékén a torzulások csökkenthetõk.

3 Eg az egész Fölet min az x, min peig az tengelre nézve szimmetrikusan ábrázoló térkép vetületét akkor tekintjük eg bizonos torzulás szempontjából legjobbnak, ha az aott torzulás, pontosabban torzultságot jellemzõ mérõszámnak a 85 és 85 szélességi körök közé esõ területen (azaz a pólusok körnékétõl eltekintve az egész Fölön) számított átlaga a lehetõ legkisebb. Esetünkben vagis az általános torzulású vetületek körében az ún. teljes torzultság ε lokális mérõszámainak átlagát kell minimálissá tenni. Ezek a torzultsági mérõszámok (l. []) az aott pontban fellépõ maximális a és minimális b hossztorzulás függvénei: ε AJ 0.5[ a + b (Air, James és Clarke mérõszáma [] és [6] alapján); ( ) ( ) ] a ( ) + ( a ) b ( a ) + ( max{ a b, } ) ε Ae b (Air ereeti mérõszáma a [] alapján); ε (Air móosított mérõszáma [5] alapján); Am b ab ( Ln( a) ) ( Ln( b) ) ] ε AK 0.5[ + (Air Kavrajszkij féle mérõszám [7] alapján). (A szakiroalomban elõforul, hog ε Ae és ε Am fenti kifejezésében is szerepel a 0.5-ös szorzó, másrészt a másik két mérõszámban a 0.5-ös szorzót néha elhagják.) Az a és b extremális hossztorzulásokat a fokhálózatmenti torzulásokból: a h parallelkörmenti és k meriiánmenti hossztorzulásból, valamint a fokhálózati vonalak által bezárt θ szögbõl számítjuk az h + k + hksinθ + h + k hksin θ θ h + k + hksinθ h + k ksin a és b h képletekkel. Legenek () és xx(,λ) a képzetes hengervetület egenletei; ezekbõl a fokhálózatmenti torzulások a h x, λ cos x ctgθ és k x + sinθ képletekbõl számíthatók minen (, λ) koorinátájú pontban (l. []). (A továbbiakban tetszõleges fokban megaott ξ szög raiánban megaott értékét arcξ -vel jelöljük.) Az egész Fölre az átlagos teljes torzultság (globális) E mérõszámát az E ε T µ ( T ) T felületi integrálból vont négzetgök aja, ahol T a 85 és 85 szélességi körök közé esõ gömböv (l. []), µ(t) peig e gömböv felszíne az egség sugarúnak tekintett gömbön. Minthog ε a-n és b-n keresztül -tõl és λ-tól függ, E az alábbi alakban írható fel: E sin ε cos λ A fenti ε mérõszámok alapján íg kapjuk az E AJ (Air James Clarke féle), az E Ae (Air ereeti), az E Am (Air móosított) és az E AK (Air Kavrajszkij féle) torzultsági

4 kritériumokat. Általános torzulású vetületeket tehát a teljes torzultság szempontjából úg hasonlíthatunk össze, hog valamelik kritérium értékét minen összehasonlítanó vetületre kiszámítjuk, és a kisebb kritérium-értékû vetületet tekintjük jobbnak. Legjobbnak ( optimálisnak ) azt a vetületet nevezzük, amelnek kritérium-értéke a vizsgált vetülethalmazon belül a legkisebb (l. [0], []). A pólusvonalas képzetes hengervetületeknek a meriiánvonalak jellegétõl független, matematikai szempontú osztálozását a vetületi egenletek alapján végezzük, éspeig a valói hengervetületekbõl kiinulva. Az osztálozás elsõleges szempontja az xx(,λ) vetületi egenlet, mivel öntõen ez aja meg a vetület jellegét megszabó kontúrvonalat. (Az () a kontúrt csak kis mértékben befolásolja.) A valói hengervetületeknél az x vetületi egenlet csak λ-tól függ, ezért a parallelkörök képei min egenlõ hosszúságúak: hosszuk xarcλ esetén a hossztartó egenlítõ hosszával, x carcλ (c<) esetén peig két hossztartó parallelkör hosszával egenlõ. A képzetes hengervetületeknél az x vetületi egenlet λ-n kívül -tõl is függ: A legegszerûbb típusú képzetes hengervetület x vetületi egenlete xc()arcλ alakú, ahol c() páros függvén. A parallelkörök ebben az esetben ekviisztánsak. Ez a legelterjetebb vetülettípus, ie sorolhatók pl. Eckert, Mollweie, Kavrajszkij vetületei, valamint Barani II. vetülete (l. [], []). Ennél bonolultabb típus az, ahol xc()f(λ) alakú, vagis felírható eg páros c() függvén és eg páratlan f(λ) függvén szorzataként. Ezeknél a meriiánok minen parallelkört uganolan aránban bontanak fel részekre. A gakorlatban használt vetületek közül Barani IV. vetülete tartozik ie. A legáltalánosabb esetben az xx(,λ) tetszõleges -ben páros, λ-ban páratlan függvén. Itt a parallelköröket a meriiánok tetszõlegesen változó aránban osztják fel. A () vetületi egenlet jellege képezi a képzetes hengervetületek másolagos osztálozási szempontját: A legegszerûbb alakban arc (vagis a középmeriián hossztartó). A következõ lépésben bevezetve a paramétert, kapjuk a lineáris arc alakot. (Itt a középmeriián mentén a hossztorzulás értéke, tehát a középmeriián ekviisztáns.) () -ben páratlan, nemlineáris függvén. A legjobb képzetes hengervetületeket az xx(,λ) vetületi egenlet fenti csoportjaihoz határoztuk meg, és minen csoporton belül vizsgáltuk az () függvén szerint képzett alcsoportokhoz tartozó vetületeket. Az xx(,λ) alkotó függvéneit, valamint az () függvént, illetve λ polinomjaival közelítettük, éspeig -t -ben páratlan kitevõs, x alkotó függvéneit peig -ben páros, λ-ban páratlan kitevõs hatvánokat tartalmazó polinomokkal. A tapasztalat szerint az egész Fölet ábrázoló legjobb képzetes hengervetületeknél egütthatós polinom minen függvénhez elegenõ pontosságú közelítést ereménezett, sõt a harmaik tag figelembevételére sem minig volt szükség.

5 A számításokhoz a gömbfelület 85 és 85 szélesség közötti részét -os fokhálózattal bontottuk fel, maj a fokhálózati metszéspontokban kiszámoltuk a h parallelkör menti és a k meriián menti hossztorzulásokat, valamint a θ térképi fokhálózati szög kotangensét, ezekbõl peig az a és b extremális hossztorzulásokat a fentiekben megaott képletek segítségével. Végül a lokális teljes torzultság ε ε (a,b) mérõszámainak a fokhálózati metszéspontokra kiszámított értékei a kétváltozós Simpson-formulával (l. [8]) összegezve és az alapfelületi felszínnel osztva kapjuk az átlagos torzultság E AJ, E Ae, E Am és E AK kritériumok értékeit. Látható, hog a E menniségek az integrált ε ε (a,b) menniségeken keresztül függnek a vetületi egenletekben szereplõ egütthatóktól. A minimális E értékeket szolgáltató egüttható-értékeket a variációszámítás irekt mószerével, a szimplex mószer nevû közelítõ minimalizáló eljárás segítségével határoztuk meg (l. [9], []). A valói, maj a képzetes hengervetületek xx(,λ) szerint efiniált osztálaiban és () szerinti alosztálaiban az itt következõ ereméneket kaptuk. I. Legjobb valói hengervetületek hossztartó egenlítõvel xarcλ esetén h, a fokhálózat merõlegessége miatt ctgθ0. A variációszámítás cos egszerû alkalmazásával kimutatható (l. [5]), hog min a nég vizsgált kritérium szerinti legjobb valói hengervetület meriiánban hossztartó. Az vetületi egenlet tehát ebben az esetben minig arc alakú, vagis k. A kritériumok értékei:. táblázat E AJ 0,767 E Ae,565 E Am,565 E AK 0,55 (h k, emiatt itt E Ae E Am ) II. Legjobb valói hengervetületek két hossztartó parallelkörrel xcarcλ (c<) esetén két hossztartó parallelkör van (± n ); cos n cos h és ctgθ0. Ekkor az E AJ, E Am és E AK kritériumok szerinti legjobb hengervetület továbbra is meriiánban hossztartó (vagis arc és k), azonban a hossztartó parallelkörök optimális helzete kritériumonként különbözik. Más a helzet az E Ae szerinti legjobb hengervetülettel. Ha itt is a meriiánban hossztartó (k) változattal számolunk, akkor az eremének az alábbi táblázatban foglalhatók össze:

6 . táblázat Optimális c n E AJ 0,870 0,777 ±6,7 E Ae 0,8998 0,5960 ±5,66 E Am 0,9559 0,6 ±50,78 E AK 0,78 0,70 ±,00 Az E Ae értéke azonban csökkenthetõ, ha az -t háromparaméteres, ötöfokú polinomnak tekintjük ( arc+ arc + arc 5 ). Direkt mószerrel ekkor a következõ eremént kapjuk: E Ae 0,786, c0,60 ( n 6,60 ); 0,5700, 0,7995, 0,09. A variációszámításból ismert Euler Lagrange féle ifferenciálegenlettel (l. [9]) kimutatható, hog az E Ae kritérium szerinti legjobb, két parallelkörben hossztartó valói hengervetület a normálparallelkörökön kívül meriiánban hossztartó, azok között viszont az vetületi egenletet az cos cos n + cos n cos sign ( ) cos + cos 0 n tg q i [ Ln ( tg q tg q ) q ] q i i i i arc tg q 5 i sign( ) qi 8 q i 7 képlet aja meg, ahol sign() a fölrajzi szélesség elõjelét jelenti (melet az É-i félgömbön tekintünk pozitívnak). Ha az egész Fölet akarjuk ábrázolni, akkor a q ij (i,j,,8) értékeket a. táblázat szerint kell megani, és normálparallelkörnek a ±6,8 szélesség választanó. Ekkor E Ae 0,7867, és a valói hengervetületek körében ez a kritérium-érték tovább már nem csökkenthetõ (l. [5]).. táblázat q ij j j j j j5 j6 j7 j8 i 0,6,978 0,5506-0,5967-0,05 0,6989 0,95,8 i -0,6 -,978 0,5506-0,5967-0,05-0,6989 0,95 -,8 i 0,6,5869,865 0,5967 0,05,695 0,568,8 i -0,6 -,5869,865 0,5967 0,05 -,695 0,568 -,8 i5 0,06,978 0,5506-0,5967 0,9 0,6989 0,95,8 i6-0,06 -,978 0,5506-0,5967 0,9-0,6989 0,95 -,8 i7 0,06,5869,865 0,5967-0,9,695 0,568,8 i8-0,06 -,5869,865 0,5967-0,9 -,695 0,568 -,8

7 A Föl képe az E Ae kritérium szerinti legjobb valói hengervetületben az. ábrán látható. III. Legjobb pólusvonalas képzetes hengervetületek ekviisztáns parallelkörökkel Az xc()arcλ vetületi egenlettel leírt legegszerûbb típusú képzetes hengervetületnél a c() függvént c +c arc +c arc alakú polinommal közelítjük: x ( c + c arc + c arc ) arcλ. (A polinom fokszámának növelése az E értékét elenészõ, 0.0%-nál kisebb mértékben csökkentené.) Ekkor a fokhálózat menti torzulások: c + c arc + c arc h ; cos ( ) [( ) ] + c arc + c arc arcλ ( c arc + c arc ) arcλ k ; ctgθ ahol értéke a közelítõ () polinom fokszámától függ: arc esetén ; arc esetén ; arc+ arc + arc 5 esetén + arc + arc. ; 5 Meghatároztuk az optimális vetületi paramétereket arc, valamint elsõ-, harma- és ötöfokú közelítõ polinom esetében. Hasonlítsuk össze az arc (. táblázat) és arc+ arc + arc 5 (5. táblázat) által szolgáltatott ereméneket az E kritériumok értékei alapján!. táblázat E c c c E AJ 0,080 0,6987-0,50 E Ae 0,759 0, ,0896-0,07 E Am 0,75 0,758-0,0995-0,089 E AK 0,86 0, , , táblázat E c c c E AJ 0,077 0,60-0,505 0,008, ,0977 0,006 E Ae 0,6809 0,605-0,00-0,0866 0,778 0,57-0,097 E Am 0,7609 0,786-0,0975-0,076 0,985 0,059-0,008 E AK 0,80 0, ,076-0,0950, ,07-0,008

8 Látható, hog az E AJ és az E AK kritériumok tekintetében csak igen csekél, 0,0% körüli csökkenés érhetõ el az fokszámának emelésével. Az E Am valamivel nagobb mértékben, 0,7%-kal csökkent. Következésképpen az E AJ és E AK szerinti legjobb, ekviisztáns képzetes hengervetületet célszerû középmeriiánban hossztartónak tekinteni, sõt még az E Am szerinti legjobb, ekviisztáns képzetes hengervetülethez is elfogaható közelítés az arc. Igen jelentõs mértékben: 7%-kal csökkenthetõ viszont E Ae az ötöfokú bevezetésével, ami a középmeriián menti hossztorzulás változó voltát mutatja. A középmeriián tehát itt nem ekviisztáns, az osztásközök az egenlítõtõl a pólusok felé halava a ±7,86 szélességig fokozatosan nõnek, onnan a pólusokig kissé csökkennek. A Föl képe az E AK kritérium szerinti legjobb, ekviisztáns parallelkörû pólusvonalas képzetes hengervetületben a. ábrán látható. IV. Területtartó pólusvonalas képzetes hengervetület elõállítása a legjobb, ekviisztáns parallelkörû képzetes hengervetületbõl a szélességek átszámozásával Ismeretes (l. []), hog képzetes hengervetületeknél a τ területi moulus az alábbi alakban számítható: x τ h k sinθ sinθ. λ cos sinθ Tekintsünk most eg területtartó (τ ) képzetes hengervetületet. Ekkor fennáll a x x cos x egenlet, ahonnan következik. Vagis csak a λ cos λ λ szélesség függvéne, tehát az xx(,λ) vetületi egenlet λ-nak lineáris függvéne. Ebbõl aóóan a területtartó képzetes hengervetületek parallelkörei minig ekviisztánsak. Az állítás forítva természetesen nem igaz, azaz eg ekviisztáns parallelkörû képzetes hengervetület nem feltétlenül területtartó (l. pl. Eckert III. és V. vetületét). Ha viszont eg ekviisztáns parallelkörû képzetes hengervetület az egész Fölfelületet eg vele megegezõ területû síkiomra képezi le, akkor a szélességi körök átszámozásával ( móosított fölrajzi szélesség bevezetésével) a vetület minig területtartóvá alakítható. Ez a transzformáció a meriiánokat (és ezzel a kontúrvonalat) nem változtatja meg, viszont megváltozhat a parallelköröknek az egenlítõtõl vett távolsága. Tegük fel, hog eg középmeriiánban hossztartó, parallelkörökben ekviisztáns képzetes hengervetület arc és xx(,λ) egenleteit eg alkalmasan megválasztott aránossági ténezõvel beszorozva, az egész Föl képére vonatkozó területegenlõség már fennáll. Alkalmazzuk erre a vetületre a ψ() szélesség-átszámozást (arcψ és x(ψ,λ) ) úg, hog minen az ellipszis és a szélességi kör által határolt gömböv sin

9 felszíne legen egenlõ a megfelelõ térképi iom területével (l.. ábra). Képletben ez az alábbiakat jelenti: ) ( ) ( ) ( 80 ), ( sin ψ λ λ λ ψ ψ ψ G x x x arc arc arc (Megjegzenõ, hog ebbõl a ) ( sin ψ G alakú egenlet által meghatározott ψ() implicit szélesség-átszámozási függvénbõl a ψ nem minig fejezhetõ ki.) Az átszámozott arcψ és x(ψ,λ) egenletekkel meghatározott vetület már területtartó, mert (felhasználva az implicit függvén eriválására vonatkozó formulát): ( ) ψ ψ λ ψ ψ λ θ θ λ τ G x x x cos cos cos sin sin cos cos cos λ λ x x. (Ha a parallelkörökben ekviisztáns képzetes hengervetületben a középmeriián nem hossztartó, akkor elõször vezessük be a ζζ ( ) móosított szélességet a ( ) ( ) ξ képlet segítségével. Az átszámozott (ζ) a ζ-ra nézve hossztartó; most már alkalmazhatunk eg újabb, ψ(ζ) átszámozást (ζ) -ra a fenti ψ() átszámozás mintájára. A két egmás utáni átszámozás és az esetleges -szeres hasonlósági transzformáció egüttes alkalmazásával tehát területtartó vetülethez jutunk.) A fenti gonolatmenetet követve készítsünk a szélességi körök átszámozásával területtartó képzetes hengervetületet pl. az E Am kritérium szerinti legjobb képzetes hengervetületbõl, melnek parallelkörei ekviisztánsak, középmeriiánját peig hossztartónak tekintjük. Elõször is határozzuk meg a hasonlósági transzformáció konstansának értékét, melnek négzete a gömb felszínének és a teljes Föl képét megaó síkiom területének hánaosa: ( ) ( ) ( ) , c c c x x λ λ, ,089 0,0995 0, c c c A vetületi egenletek: 0,95586arcψ; x0,95586(0, ,07086arc ψ 0,0880arc ψ)arcλ.

10 A ψ() szélesség-átszámozási függvént meghatározó egenletet az egenlítõ által határolt gömböveknek uganakkora területû síkiomra való leképezése aja: arcψ x c c 5 sin ( ) c ψ + ψ + ψ, λ vagis sin ( 0,758 ψ 0,005 ψ 0,00778 ψ ). A. ábrán az E AK kritérium szerinti legjobb, ekviisztáns parallelkörû pólusvonalas képzetes hengervetületbõl származtatott területtartó vetület látható. V. Pólusvonalas képzetes hengervetületek uganolan aránban felosztott parallelkörökkel Az xc()f(λ) vetületi egenlettel leírt képzetes hengervetületnél a c() függvént c +c arc +c arc alakú polinommal, az f(λ) függvént a arcλ+f arc λ polinommal közelítjük: ( c + c arc + c arc ) ( arcλ + f λ) x. arc Ebben a vetületosztálban az ekviisztáns vetületekhez képest az E kritériumok értéke csak szerén mértékben csökkenthetõ tovább. Általánosan elmonható, hog itt a meriiánban hossztartó közelítést már nem tekintjük elég pontosnak, az vetületi egenletet harma- vag ötöfokú polinommal közelítjük: arc+ arc (+ arc 5 ). A fokhálózat menti torzulások: c + c arc + c arc h ( + f arc λ) ; cos k ( + arc ( + 5 arc) ) + [( c arc + c arc) ( arcλ + f arcλ) ] ( c arc + c arc ) ( arcλ + f arc λ) ctgθ. + arc ( + 5 arc ) Az eges kritériumok szerinti legjobb képzetes hengervetületek paramétereit az alábbi táblázat tartalmazza: 6. táblázat E c c c f E AJ 0,07 0,6607-0,80 0,008 0,0075 0,996-0,00760 E Ae 0,680 0, ,050-0,079 0,006 0,70 0,576-0,099 E Am 0,799 0,690-0,0078-0,060 0,00 0,9876 0,09-0,06 E AK 0,79 0,760-0,070-0,000 0,0065,008 0,00686 ;

11 A parallelkörök mentén az osztásközök a középmeriiántól távolova kissé növekenek, a határoló meriiánnál minteg %-kal nagobbak, mint a középmeriiánnál. Ez ellentétben van a Barani IV. vetületénél tapasztalható osztásköz-csökkenéssel. Az E AJ kritérium szerinti legjobb pólusvonalas képzetes hengervetület, uganolan aránban felosztott parallelkörökkel az 5. ábrán látható. VI. Legjobb pólusvonalas képzetes hengervetületek A legjobb képzetes hengervetületeknél megengejük a parallelkörök tetszõleges aránban való felosztását. Ezek vetületi egenletét -ben páros, λ-ban páratlan kitevõs polinommal közelítjük: xf λ+f λ +f λ+f λ. Ekkor f + f arc λ + f arc + f arc arc λ h cos ( ) + [ f arc arcλ + f arc arc λ ] k ; f arc arcλ + f arc arc λ ctgθ. ; Kiszámítottuk ebben a vetületosztálban is a legkisebb átlagos hibát ereménezõ vetületi egütthatókat arc, maj elsõ-, harma- és ötöfokú közelítõ polinom választása esetén. Hasonlítsuk össze itt is az arc (7. táblázat) és arc+ arc + arc 5 (8. táblázat) által szolgáltatott ereméneket az E kritériumok értékei alapján. 7. táblázat E f f f f E AJ 0,978 0,5608 0,0-0, ,00 E Ae 0,6960 0,6795 0, ,058-0,0090 E Am 0,7007 0,6608 0,0089-0, ,0085 E AK 0,60 0,7895 0,0076-0,0085-0,06 8. táblázat E f f f f E AJ 0,95 0,5656 0,07-0, ,000,000-0,000 0,000 E Ae 0,666 0,5676 0,005-0,0085-0, ,7697 0,88-0,0756 E Am 0,768 0,665 0, , ,008 0,9886 0,00-0,008 E AK 0,58 0,79 0, ,0069-0,09 0, ,005-0,0096 Az E értékek az V. vetületosztálhoz képest több %-kal tovább csökkentek. Az E AJ és E AK kritérium-értékek az () fokszámának növelésével éremben nem javultak, viszont

12 E AJ és E AK 8. táblázatban szereplõ értékei lénegesen kevezõbbek, mint a 7. táblázatbeliek. Ezért hasonlóan a III. osztál vetületeihez az E AJ és E AK szerinti legjobb képzetes hengervetületet meriiánban hossztartó vetületnek tekintjük. A 6. ábra mutatja a Föl képét az E Am kritérium szerinti, a 7. ábra az E AK kritérium szerinti legjobb pólusvonalas képzetes hengervetületben. Az egenlítõ mentén az osztásközök a középmeriiántól távolova kissé növekszenek, a pólusvonalnál viszont erõsen csökkennek. Hasonló osztásköz-struktúra mutatkozik a többi kritérium szerinti legjobb pólusvonalas képzetes hengervetületeknél is. Következtetések A nég különbözõ átlagos teljes torzultsági kritérium (E AJ, E Ae, E Am és E AK ) segítségével foltatott vizsgálat ereménei lehetõséget anak általános következtetések levonására, e a kapott térképek kritériumonként léneges különbségeket mutatnak. A korábbi vizsgálatok (l. [], [5]) ereméneivel egbecsengõen megállapítható, hog leginkább az E Am és E AK kritérium szerinti legjobb vetületek állnak összhangban a szemlélettel, az esztétikai érzékkel és a hagománokkal, míg ez legkevésbé az E AJ kritérium szerinti legjobb vetületekre monható el. Ez is alátámasztja azt a megállapítást, hog az utóbbi kritérium nag kiterjeésû területek ábrázolásának torzulási vizsgálatára nem igazán alkalmas. Az eremének általánosságban a következõkben foglalhatók össze: A legjobb pólusvonalas képzetes hengervetületek átlagos teljes torzultsága lénegesen kisebb, mint a valói hengervetületeké. A legjobb pólusvonalas képzetes hengervetületek parallelkörei a fentiekben leírt móon változó felosztásúak. Az x vetületi egenlethez nég egütthatót választva az optimális vetületeknek kielégítõen pontos közelítését kapjuk. A legjobb pólusvonalas képzetes hengervetületekre az E AJ és E AK kritérium esetében a meriiánban hossztartó (arc) változat már elegenõen pontos közelítést a, viszont elsõsorban az E Ae kritériumnál (és kisebb mértékben az E Am kritériumnál) az fokszámának növelésével az átlagos torzultság még számottevõen csökkenthetõ. A legjobb pólusvonalas, ekviisztáns parallelkörû képzetes hengervetületekbõl a szélességek átszámozásával elõnös torzulású területtartó vetületeket konstruálhatunk. Min az ekviisztáns parallelkörû, min a változóan felosztott parallelkörû legjobb képzetes hengervetületeknek elsõsorban az E AK, e az E Am (és esetleg az E Ae ) kritérium szerinti változatai is torzulási szempontból kevezõbbek, mint a hagomános képzetes hengervetületek, ezért a teljes Föl ábrázolására hangsúlozottan javasolhatók.

13 Iroalom [] Air, G. B.: Explanation of a Projection b Balance of Errors for Maps appling to a ver large extent of the Earth's Surface; an Comparison of this projection with other projections, In: Philosophical Magazine an Journal of Science. S.. Vol.. No o. [] Barani J. Görff J.: A Föl újszerû ábrázolása a mai magar atlaszokban, In: Fölrajzi Közlemének / o. Buapest. [] Bugaevski, L. M. Sner, J. P.: Map Projections A Reference Manual, Talor & Francis, Lonon 995. [] Franula, N.: Die vorteilhaftesten Abbilungen in er Atlaskartographie, Doktori isszertáció, Bonn 97. [5] Görff J.: Anmerkungen zur Frage er besten echten Zlinerabbilungen, In: Kartographische Nachrichten /990. Kirschbaum Verlag, Bonn. [6] James, H. Clarke, R. E.: On Projections for Maps appling to a ver large extent of the Earth's Surface, In: Philosophical Magazine an Journal of Science. S.. Vol.. No o. [7] 7"&D"6F86,æ%.æ%.:æ$D">>Z,æHDJ*Zæ EI%;K, ;@F8&"æ958. [8] Korn, G. A. Korn, T. M.: Matematikai kézikönv mûszakiaknak, Mûszaki Könvkiaó, Buapest 975. [9] Kósa A.: Variációszámítás, Tankönvkiaó, Buapest 970. [0] ;,V,Db8@&,.!.: <"H,<"HR,F8@6 8"DH@(D"L.,*D", ;@F8&" 968. [] Press, W. H. Teukolsk, S. A. Vetterling, W. T. Flanner, B. P.: Numerical Recipes, Cambrige Univ. Press 986. [] Stegena L.: Vetülettan, Tankönvkiaó, Buapest 988.

14

15

16

17

18

19

20