SZAKDOLGOZAT. Kivés Miklós

Átírás

1 SZAKDOLGOZAT Kivés Miklós 214

2 Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Elméleti Fizikai Tanszék Kísérleti Fizikai Tanszék Szakdolgozat Galaktikus Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag halók stabilitása Kivés Miklós Fizika BSc szakos hallgató Témavezet : Dr. Keresztes Zoltán Szeged 214

3 Tartalmi összefoglaló Dolgozatomban a Bose-Einstein-kondenzátumot (BEC) vizsgáltam, mint lehetséges sötét anyag jelöltet. A dolgozat f ként a [1] és [2] irodalmakra támaszkodik. A 2. fejezetben a Bose-Einstein-kondenzátum zikai alapjainak ismertetése után a Gross-Pitaevskii egyenletet származtatom. Ennek megoldására a Madelung hidrodinamikai reprezentációt használom, majd a Thomas-Fermi közelítést alkalmazva származtatom a stacioner, gömbszimmetrikus Bose-Einstein-kondenzátum s r ségeloszlását. A 3.4 fejezet tartalmazza az önálló eredményeket. E fejezetben a kondenzátum id beli stabilitását vizsgálom a modell paramétereinek függvényében. Az alkalmazott numerikus módszerek ismertetését a függelék tartalmazza. 1

4 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. A Bose-Einstein kondenzátum Átlagtér közelítés A Madelung hidrodinamikai egyenletek A Thomas-Fermi közelítés A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag haló A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag halók stabilitása Az energia sztatikus esetben A stabilitás vizsgálata A mennyiségek átskálázása numerikus számításokhoz BEC haló stabilitás numerikus vizsgálata Összefoglalás Függelék A Crank-Nicolson-féle véges dierenciák módszere Egyenesek módszere Tridiagonális egyenletrendszer megoldása A Woodbury-Sherman-Morrison formula A Numerov-módszer Integrálás Simpson módszerrel

5 1. fejezet Bevezetés A Planck- rszonda mérései alapján az Univerzum összetételének 5%-a látható (baronikus) anyag, közel 27%-a sötét anyag és valamivel több mint 68%-a sötét energia [3]. A sötét anyag legvalószín bb összetev i nyomással nem rendelkez, hideg, a többi anyagkomponenssel csak gravitációsan (esetleg gyengén) kölcsönható részecskék. A jelenlegi modellek szerint a magon és a korongon kívül egy gömbszimmetrikus, sötét anyagból álló haló is körülveszi a galaxist, és tömegének meghatározó része ebben található. Néhány galaxis esetén a haló tömegeloszlása nem lehet gömbszimmetrikus, hanem inkább ellapult. A spirálgalaxisok vizsgálata rámutatott arra, hogy a ΛCDM modell nem alkalmazható kielégít en galaktikus méret objektumok esetén, ugyanis a haló számított és meggyelt tömegeloszlása különbözik. A tömegs r ség ugyanis a ΛCDM modell szerint a mag központi részében kiugrást mutat [4]. Ezt az eloszlást a szerz k N-test szimuláció segítségével határozták meg. A Navarro-Frenk-White prol 1/r szerint változik a centrumhoz közeli térrészben. A meggyelt forgás görbék alapján azonban a törpe és LSB galaxisok esetén a sötét anyag eloszlása sokkal ellapultabb, azaz a tömegs r ség a központi részen közel állandó [5], attól távolodva pedig lassan csökken. A dolgozatban a sötét anyagot Bose-Einstein kondenzátum formájában feltételezem. A kritikus h mérséklet alatt a bozonok ugyanabban a kvantum állapotban találhatók és összefügg anyaghullámot alkotnak, amelyet Bose-Einstein kondenzátumnak nevezünk. 3

6 2. fejezet A Bose-Einstein kondenzátum Termikus egyensúlyban egy V = L 3 térfogatban lév nem-kölcsönható bozon gáz a Bose-Einstein-eloszlást követi: 1 f = [ ], (2.1) ε µ exp 1 k B T ahol ε = p2 a bozonok energiája, p az impulzusa, m a tömege, µ a kémiai potenciál, 2m a Boltzmann-állandó és T a h mérséklet. A p hármas impulzus a q csak egész k B érték komponensekkel rendelkez vektor segítségével a következ alakba írható fel: p = 2πħ q, ahol ħ a redukált Planck-állandó. A legalacsonyabb energiájú állapotban L p =. A kondenzálatlan bozonok száma T h mérsékleten: N T = p exp [ p 2 1 2m µ k B T ] 1. (2.2) Ha az energiaszintek egymást elég s r n követik, valamint az energia jóval nagyobb, mint a legels gerjesztett állapot energiája: k B T 2π2 ħ 2, (2.3) mv 2/3 akkor az impulzusra való összegzés átírható integrállá, azaz 1 V dp p (2πħ) 3, ahol (2πħ) 3 az elemi fáziscella térfogata, így N T = V ( )] µ g λ 3 3/2 [exp, (2.4) T k B T ahol 2π λ T = ħ mk B T 4 (2.5)

7 A Bose-Einstein kondenzátum a termikus de Broglie hullámhossz és g 3/2 (z) = 2 x dx π e x (2.6) z 1 ( ) µ egy speciális Bose függvény, amiben z = exp és x = p2 k B T 2mk B T. A legalacsonyabb energiájú állapotban, ahol n számú részecske tartózkodik, a kémiai potenciál ) µ = k B T ln (1 + 1n k BT. (2.7) n Termodinamikai határesetben, ha n, N, V, n = N V, n V állandó: ( ) 3/2 n T V = 1 (T T c ). (2.8) T c A kritikus h mérséklet: ( ) 2/3 T c = 2πħ2 n, (2.9) mk B g 3/2 () ahol g 3/2 () = 2, 612. A kritikus h mérsékleten, amely általában alacsony, kezdenek a bozonok a legalacsonyabb állapotba kondenzálódni. A termodinamikai határeset nem érhet el véges számú részecske esetén, ezért a kritikus h mérséklet korrekcióra szorul. Ennek egyik lehet ségét a [6] cikk mutatja meg, melyben a szerz k N = 1 részecske esetén 7%-kal alacsonyabb kritikus h mérsékletet állapítanak meg. A részecskék számának növekedésével a különbség egyre kisebbé válik. További példa a korrekcióra a [7] cikk, melyben harmonikus oszcillátort vizsgálnak a szerz k, és az izotróp és anizotróp eset között valamivel több, mint 1% eltérést számítanak ki. A kritikus h mérséklet alatt a bozonok közötti l = 3 V/N = n 1/3 átlagos távolság és a de Broglie hullámhossz között a következ összefüggés kapható (2.5) és (2.9)-b l: l < λ T ζ 1/3, 73λ T, (2.1) ahol ζ a Riemann-féle zéta-függvény. A bozonokat kvantummechanikai hullámcsomagokként tekintve a kondenzáció akkor kezd kialakulni, amikor a de Broglie hullámhosszuk átfedésbe kerül. Valós Bose gázban két részecske egymással való kölcsönhatásuk eredményeképpen molekulákat alkothat, így a gáz a Bose-Einstein kondenzációnál stabilabb állapotba kerülhet. Híg gázt feltételezve ez az eset elkerülhet, így a BEC kialakulhat a kritikus h mérséklet alatt. A gáz akkor tekinthet hígnak, amennyiben a bozonok közötti karakterisztikus l int kölcsönhatási távolság jelent sen kisebb, mint a bozonok közötti l átlagos távolság, azaz l 3 intn 1. Híg gázban a bozonok két-részecske kölcsönhatása a meghatározó. A BEC kialakulhat híg, nem-ideális Bose gázban is, azonban a kondenzáció mértéke és a kritikus h mérséklet az ideális esethez képest módosul. 5

8 A Bose-Einstein kondenzátum 2.1. Átlagtér közelítés Kölcsönható bozonok esetén, melyek V ext küls potenciálban helyezkednek el, a Hamilton operátor: Ĥ = ] dr ˆΨ+ (r ) [ ħ2 2m + V ext (r ) ˆΨ (r ) dr dr ˆΨ+ (r ) ˆΨ + (r ) V self (r r ) ˆΨ (r ) ˆΨ (r ). (2.11) A kalappal jelölt operátorok a Schrödinger képben értend k. A ˆΨ (r ) és ˆΨ + (r ) bozon mez operátorok, amelyek keltenek és eltüntetnek egy részecskét az r helyen. a 3-dimenziós Laplace operátor az r koordinátákban. A taszító jelleg, két részecske kölcsönhatási potenciál a következ : ahol a λ = 4πħ2 a m V self = λ δ (r r ), (2.12) állandó a kölcsönhatás er sségét paraméterezi, és a a szóráshossz. A ˆΨ (r) mez operátor megadható az egyrészecske â α eltüntet operátor segítségével: ˆΨ (r) = Ψ α (r) â α, (2.13) α ahol Ψ α egy részecske α állapotának hullámfüggvénye. Ha a részecskék számát valamilyen állapotban n α -val jelöljük, akkor n α = â + α â α. A Hamilton operátor nem függ az id t l, ezért a Heisenberg képbeli ˆΨ (r, t) az alábbiak szerint fejezhet ki: [ ] [ ] ˆΨ (r, t) = exp iĥt ˆΨ (r) exp iĥt ħ ħ [ ] Bevezetve az â α (t) = exp iĥt â α exp ħ = α [ iĥt ħ Ψ α (r) exp ] [ ] iĥt ħ â α exp [ jelölést, ezt így is írhatjuk: iĥt ħ ]. ˆΨ (r, t) = α Ψ α (r) â α (t). (2.14) Az átlagtér közelítés segítségével a bozon mez operátort szétválaszthatjuk két részre: ˆΨ (r, t) = Ψ (r) â (t) + ˆΨ (r, t), (2.15) ahol a index jelöli az alapállapotot és ˆΨ (r, t) a gerjesztett állapotot. A Bose-Einstein kondenzátum akkor alakul ki, amikor az alapállapotban lév részecskék n (t) száma nagyon naggyá válik, ekkor n (t) n (t)+1, illetve â (t) â + (t) n (t). A Bose- Einstein kondenzátum járulék várható értékét az alábbi hullámfüggvénnyel adhatjuk meg: ψ (r, t) = n (t) Ψ (r). (2.16) 6

9 A Bose-Einstein kondenzátum A gerjesztett állapotban lév bozonok járuléka kicsi, ezért ˆΨ (r, t)-t perturbációként vehet gyelembe. A valószín ség s r ségfüggvény: amit normálva a ϱ (r, t) = ψ (r, t) 2, (2.17) dr ψ (r, t) 2 = 1 választással kapjuk, hogy n (t) = dr ϱ (r, t). (2.18) A Heisenberg egyenlet: iħ ] t ˆΨ (r, t) = [ ħ2 2m + V ext (r) + λ ˆΨ + (r, t) ˆΨ (r, t) ˆΨ (r, t), (2.19) amelyb l a gerjesztett állapotú részecskék elhanyagolásával megkapjuk az alábbi Gross- Pitaevskii egyenletet: iħ [ ] t ψ (r, t) = ħ2 2m + V ext (r) + λ ϱ (r, t) ψ (r, t). (2.2) Ez az egyenlet írja le a Bose-Einstein kondenzátumot átlagtér közelítésben A Madelung hidrodinamikai egyenletek A (2.2) egyenlet megoldásához a komplex hullámfüggvény Madelung reprezentációja használható fel: ψ (r, t) = [ ] i ϱ (r, t) exp S (r, t) ħ, (2.21) ahol S (r, t) valós fázis. A (2.21) behelyettesíthet (2.2)-ba: ( [ ] i ϱ iħ exp ħ S + ϱ i [ ] ) i S t ħ exp ħ S t { ( [ ] = ħ2 i exp 2m ħ S ϱ + ϱ iħ [ ] )} iħ exp S S [ ] i +V ext ϱ exp ħ S + λ ϱ [ ] i ϱ exp ħ S, (2.22) [ i iħ exp [ i + exp ħ S ] ϱ ħ S t [ i ϱ exp ] { [ ] S t = ħ2 i i exp 2m ħ S ħ S ϱ ħ S ] ϱ + iħ [ ] iħ exp S ϱ S + ϱ i [ ] i i ħ exp ħ S ħ ( S)2 7

10 A Bose-Einstein kondenzátum + ϱ i [ ] } [ ] i ħ exp ħ S iħ S + V ext ϱ exp S + λ ϱ [ i ϱ exp [ ] i ezt elosztva az exp ħ S tényez vel ] ħ S, (2.23) iħ ϱ t ϱ S { t = ħ2 i 2m ħ S ϱ + ϱ + i ħ ϱ S 1 ϱ ( S) 2 + i } ϱ S + V ħ 2 ext ϱ + λϱ ϱ. (2.24) ħ A (2.2) egyenlet valós részére a S t + 1 2m ( S)2 + λϱ + V ext + V Q = (2.25) összefüggés áll el, amiben a V Q kvantum korrekciós potenciál V Q = ħ2 2m ϱ ϱ. (2.26) A (2.2) egyenlet komplex része egy kontinuitási egyenletet ad: ϱ t + 1 2m { S ϱ + ϱ S + ϱ S} =, ϱ + 1 t m ϱ S + 1 ϱ S =, 2m 1 2 ϱ ϱ t + 1 2m 1 ϱ S + ϱ S =, ϱ 2m ϱ t + 1 m ϱ S + 1 m ϱ S =, ϱ t + 1 (ϱ S) =, m ϱ + (ϱv) =. (2.27) t A (2.25) egyenlet gradiensét véve az alábbiakat kapjuk: ( S t + m ) 2 v2 + λϱ + V ext + V Q =, (2.28) S + mv v + λ ϱ + V ext + V Q =, (2.29) t [ ] v mϱ + (v ) v + ϱλ ϱ + ϱ V ext + ϱ V Q =, (2.3) t [ ] v mϱ + (v ) v = p ϱ V ext ϱ V Q. (2.31) t 8

11 A Bose-Einstein kondenzátum S (r) Az összefüggésekben v = m és p = λ 2 ϱ2. A (2.31) egyenlet utolsó tagjának i-edik összetev jét így írhatjuk fel: ϱ i V Q = j σ Q ij, (2.32) j ahol σ Q ij = ħ2 4m ϱ i j ln ϱ. (2.33) A (2.27) és (2.31) egyenletet Madelung hidrodinamikai egyenleteknek nevezzük A Thomas-Fermi közelítés Stacioner állapotban ψ (r, t) = [ ] iµ ϱ (r) exp ħ t, (2.34) ahol µ konstans. A kontinuitási egyenlet ekkor automatikusan teljesül, míg a (2.25) egyenlet alakja az alábbi lesz: V ext + V Q + λϱ =. (2.35) A Thomas-Fermi közelítés szerint a V Q potenciál elhanyagolható a λϱ taghoz képest. A közelítésnek az az alapja, hogy V Q jelent s járulékot a kondenzátum határához közel ad [1]. Feltesszük, hogy V ext potenciált a Bose-Einstein kondenzátum öngravitációja hozza létre. Ekkor V ext (r) potenciál teljesíti a Poisson-egyenletet: m ahol ϱ BEC = mϱ és G a gravitációs állandó. V ext m = 4πGϱ BEC, (2.36) A (2.35) és (2.36) egyenletek Laplace operátorát véve a következ t kapjuk: ϱ BEC + 4πGm2 ϱ BEC =. (2.37) λ Gömbszimmetrikus esetben ϱ BEC = ϱ BEC (r), így az alábbi egyszer bb egyenlethez jutunk: d 2 (rϱ BEC ) + 4πGm2 (rϱ dr 2 BEC ) =. (2.38) λ Ennek a megoldása: ϱ BEC (r) = ϱ (c) sin kr BEC, (2.39) kr Gm 3 ahol k = és ħ 2 ϱ(c) BEC a ϱ BEC () a középpontban lév s r ség. 9

12 A Bose-Einstein kondenzátum A Thomas-Fermi közelítés igazolására vegyük a (2.26) kvantum korrekciós potenciált, amit átírva polár koordinátákba és behelyettesítve a (2.35) egyenletbe egy konstans és egy ϱ 2 BEC -nal arányos tagot kapunk, míg az önkölcsönhatási tag ϱ BEC-mal arányos. Az R BEC ( határhoz ) közel a Thomas-Fermi közelítés nem alkalmazható. A 2 ϱ BEC (2.35) összefüggést -tel megszorozva és ϱ BEC (2.39) kifejezését behelyette- ϱ (c) BEC sítve, valamint integrálva az r [, R BEC ] intervallumon, erre az összetev re ħ 2 /km, míg az önkölcsönhatási összetev re ħ 2 an érték kapható. A Thomas-Fermi közelítés ezek alapján akkor alkalmazható, ha n 1/ka [1] A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag haló A sötét anyag haló méretét a ϱ (R BEC ) = összefüggés segítségével deniáljuk. Ekkor k = π és R BEC ħ2 a R BEC = π Gm. (2.4) 3 A tömegeloszlás a következ képpen számolható: r m BEC (r) = 4π ϱ BEC (r) r 2 dr = 4πϱ(c) BEC k 2 r ( sin kr kr ) cos kr. (2.41) 1

13 3. fejezet A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag halók stabilitása Az átlagtér közelítés szerint a BEC energiája [8] E = Ĥ = K + W + I, (3.1) ahol Ĥ a Hamilton operátor, K a kinetikus, W a potenciális és I a kölcsönhatási energia. Az energia tehát a Hamilton operátor várható értéke, id beli stabilitás csak abban az esetben várható, ha E <. A viriál tétel szerint sztatikus eloszlásra 2K + W +3I = [2] [9], így a teljes energia (3.1) összefüggése alapján E +K +2I =. Mivel a kinetikus és a kölcsönhatási energia is pozitív, ezért a teljes energiának negatívnak kell lennie egyensúlyi helyzetben. A kinetikus energia pontos értékét az alábbi integrál adja meg: ( K = ħ2 ψ 2 ψ d 3 r = 2πħ2 ψ 2 ψ 2m 2 m 2 r + 4 ψ ) 2 r 2 r 2 dr, (3.2) a potenciális energia kifejezése: W = V m ψ 2 d 3 r = 4π V m ψ 2 r 2 dr, (3.3) végül a kölcsönhatási energiára vonatkozó egyenlet: I = 2πħ2 a ψ 4 d 3 r = 8π2 ħ 2 a m 3 m 3 ψ 4 r 2 dr. (3.4) A teljes energia ezek összegével adható meg: ( E = 2πħ2 ψ 2 ψ m 2 r + 4 ψ ) r 2 dr + 4π V m ψ 2 r 2 dr + 8π2 ħ 2 a 2 r 2 m 3 ψ 4 r 2 dr. (3.5) 11

14 A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag halók stabilitása 3.1. Az energia sztatikus esetben A [8] cikk szerint a kölcsönhatási energia a következ képpen határozható meg, ha a haló R sugarán belül a zérus a s r ség: I = 2πħ2 a m (2.39) képlet adja meg a BEC s r séget, azon kívül pedig ψ 4 d 3 r = 8π2 ħ 2 a m 3 RBEC ( ϱ (c) BEC ) 2 sin kr r 2 dr kr = 8π2 ħ 2 a ( ) 2 RBEC ϱ (c) sin 2 kr m 3 BEC dr = 8π2 ħ 2 a ( ) [ ] 2 RBEC ϱ (c) 1 r sin 2kr k 2 m 3 BEC k 2 2 4k = 8π2 ħ 2 a ( ) 2 ϱ (c) RBEC 2 R BEC m 3 BEC = 4 ħ2 a ( ) 2 ϱ (c) π 2 2 m 3 BEC R 3 BEC. (3.6) A kölcsönhatási energia el jele csak a el jelét l függ, és mivel a > ezért pozitív. A (2.41) képlet segítségével kiszámolhatjuk a haló teljes tömegét: M BEC = 4πϱ(c) BEC R k 2 BEC ( sin krbec kr BEC cos kr BEC ( ) = 4ϱ(c) BEC R3 BEC sin π π π cos π = 4 π ϱ(c) BEC R3 BEC. (3.7) A gravitációs mez a következ függvény segítségével számolható ki: Gm ( ) BEC(r) = 4πGϱ(c) BEC sin kr cos kr ha r < R g (r) = r 2 k 2 BEC r kr GM BEC = 4 R r 2 π Gϱ(c) BEC 3 BEC ha r R r 2 BEC ), (3.8) ahol m BEC (r) az r sugáron belül található részecskék tömege. A gravitációs potenciál így V (r) = r g (r ) dr = 4πGϱ(c) BEC = 4πGϱ(c) BEC k 3 k 2 4 π Gϱ(c) BEC R3 BEC [ sin kr r ] RBEC r RBEC r ( sin kr kr 2 R BEC 1 r 2 dr = 4 π Gϱ(c) BEC R3 BEC ) cos kr r [ 1 r ] R BEC = 4πGm ψ r 2 4 k 2 π Gϱ(c) BEC R2 BEC, (3.9) ahol ψ kiértékelése az r helyen történik. A gravitációs mez potenciális energiája megadható az alábbiak szerint: RBEC RBEC ( 4πGm W = V m ψ 2 d 3 2 r = 4π ψ ) k 2 π Gmϱ(c) BEC R2 BEC ψ 2 r 2 dr dr 12

15 A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag halók stabilitása ( ) 2 16π 2 G ϱ (c) BEC = k 2 16π 2 G = ( ϱ (c) BEC k 2 ( ) 2 16π 2 aħ 2 ϱ (c) ( [ BEC 1 r = m 3 k 2 2 ( 16π 2 aħ 2 ϱ (c) BEC = m 3 ) 2 RBEC ( sin 2 kr ) 2 RBEC k 2 r 2 ] RBEC sin 2kr 4k ( RBEC 3 2π 2 sin 2π 4k 3 + k2 π 2 R2 BEC ( sin 2 kr + k 2 [ r cos kr k 2 ) sin kr r 2 dr kr ) sin kr r k ] RBEC R BEC cos π k 2 + ( ) 2 16π 2 aħ 2 ϱ (c) BEC 3RBEC 3 = = 24 ħ2 a ( m 3 2π 2 m 3 azaz W = 6I (ami korrigálja a [8] cikk (2) egyenletét). ϱ (c) BEC + dr RBEC [ sin kr k 3 ] RBEC cos kr k 2 ) dr ) ) 2 R 3 BEC, (3.1) A kinetikus energia kiszámítására numerikus közelítés használható [8]. A cikk szerz i az alábbi eredményt kapták a kinetikus és kölcsönhatási energiák viszonyára: η = K 3I m a ϱ (c) BEC R2 BEC. (3.11) A teljes energia akkor negatív, ha η 1, egyébként pozitív [8]. A 3.1 ábra alapján meghatározható a bozon tömegének és a szóráshossznak ismeretében a várható id beli stabilitás ábra. Az a m paraméterek alapján az energia ábrázolása. A szürkén jelzett részen az energia pozitív, a fehér részen negatív. A szaggatott vonalak közötti sáv jelöli a haló sugarának, 1 1kpc közé es tartományát [8]. A kerületi sebesség az r-sugarú körpályán a Newtoni mechanika alapján: v(r) = G m(r) r. (3.12) 13

16 A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag halók stabilitása 3.2. A stabilitás vizsgálata A sztatikus anyageloszlások stabilitása két módon vizsgálható. Perturbáció számítás segítségével, amikor megengedünk kis eltéréseket az eredeti eloszlástól, ekkor azt határozzuk meg, hogy a kezdetben kis eltérések id ben növekednek vagy csökkennek. Egy másik módszer szerint valamilyen kezdeti id pontban elfogadjuk a sztatikus esetben származtatott anyageloszlást, majd a sztatikusságot nem megkövetelve fejlesztjük az eredeti egyenletrendszert id ben. Ezek közül az utóbbit választottam. A Gross-Pitaevskii-Poisson (GPP) csatolt egyenletrendszer a következ : iħ ψ t = ħ2 2m 2 2 ψ + V ψ + 2πħ2 a m 3 ψ 2 ψ, 2 V = 4πGm 2 ψ 2. (3.13) Gömbszimmetrikus tömegeloszlást tekintve a GPP egyenletrendszert átírhatjuk az alábbi formába: iħ ψ ( t = ħ2 2 ψ 2m 2 r + 4 ψ ) + V ψ + 2πħa ψ 2 ψ, 2 r 2 m 3 2 V r + 4 V 2 r = 2 4πGm2 ψ 2, (3.14) ahol kihasználtuk, hogy 2 r r = 4 r, a deriválást tehát 2 r2 szerint végezzük, ezzel az r = pontban lév szingularitást ki tudjuk küszöbölni a numerikus számítások folyamán. A Gross-Pitaevskii egyenlet numerikus megoldásához a Crank-Nicolson-féle véges dierencia módszert használtam, a határokon az egyenesek módszerének alkalmazásával. Ez utóbbi miatt a keletkez lineáris egyenletrendszer nem teljesen tridiagonális, ezt az eltérést a Woodbury-Sherman-Morrison formula [12] segítségével küszöböltem ki. A Poisson-egyenlet megoldásához hatodrendben pontos Numerov-módszert [13] használtam, megfelel határfeltételt kiróva. Az integrálási tartományt úgy választottam meg, hogy a s r ség változása a határon zérus legyen az eltelt id t követ en. Az id fejl dés hosszára 1 millió évet állítottam be, ez elegend nek bizonyult a stabilitás eldöntéséhez. A felhasznált numerikus módszerekr l leírás a függelékben található. A rendszer kezdeti hullámfüggvényét összhangban (2.33)-tel, az alábbi módon adhatjuk meg: ϱbec (r), ha r < R, ψ (r, t = ) = m, ha R r, (3.15) ahol R a haló kezdeti sugara. A vizsgált mennyiségeket (a haló tömegét, energiáját, a gravitációs potenciált és a kerületi sebességet) gyelembe véve elegend, ha a kezdeti hullámfüggvénynek csak valós részt tulajdonítunk, a képzetest pedig zérusnak vesszük. 14

17 A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag halók stabilitása A s r ség és hullámfüggvény t = id pontban történ meghatározása után a Poisson-egyenlet megoldásával megkapjuk a V potenciált, amit behelyettesítve a Gross- Pitaevskii-egyenletbe kiszámolhatjuk a t = dt id pontban a hullámfüggvényt, ebb l pedig a s r séget, amivel a Poisson egyenletet ismét megoldhatjuk. A két egyenlet ciklikus alkalmazásával a rendszer id fejl dése vizsgálható A mennyiségek átskálázása numerikus számításokhoz Numerikus számítások elvégzéséhez SI egységek helyett érdemes más mértékegységrendszert választani. Az átszámításhoz a [14] cikkben használt módszert alkalmaztam. Az összefüggésekben a redukált Planck-állandóra [ħ k ] = 1 programbeli értéket véve (k a programban használt mennyiséget jelöli) az alábbit írhatjuk: ħ = 1, m2 kg s = [ħ k ] ([L k] m) 2 ([M k ] kg) ([T k ] s), (3.16) ahol [L k ] a hosszúság, [M k ] a tömeg és [T k ] az id programbeli egységének mér száma. A szögletes zárójelben a mér szám, utána a mértékegység szerepel. állandó kódbeli egységét G k -val jelölve a következ egyenl séget írhatjuk: G = 6, m 3 kg s 2 = [G k] A gravitációs ([L k ] m) 3 ([M k ] kg) ([T k ] s) 2. (3.17) A hosszúság egységére 1kpc = 3, m-t, [G k ]-nak 1 1 értékeket választva a következ ket kapjuk az id egységére: illetve a tömeg egységére: T k = [T k ] s = 3 Gk L 5 k ħ G = 7, s = 2, 34 millió év, (3.18) M k = [M k ] kg = ħ Gk L k G T k = 8, kg. (3.19) Ezekkel az értékekkel számolva, a bozon tömegét m = 1 23 ev/c 2 -nek véve, a programbeli tömege m k = 2, 2kg, a sebesség egysége 399km/s. A fenti mértékegységeket felhasználva, az együtthatókat átszámolva kódbeli egységekre a Gross-Pitaevskii egyenletre az alábbi formát kapjuk: i ψ ( 2 t =.2273 ψ r + 4 ψ ) + V ψ a ψ 2 ψ. (3.2) 2 r 2 15

18 A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag halók stabilitása 3.4. BEC haló stabilitás numerikus vizsgálata Ha kiszámítjuk a rendszer teljes energiáját, és az nagyobb, mint zérus, akkor azt várhatjuk, hogy a részecskék a halóból kifelé fognak mozogni. Ugyanis ahhoz, hogy egy részecske el tudjon szakadni, a kinetikus és kölcsönhatási energiájának összege nagyobb kell legyen, mint a potenciális energiájának abszolút értéke. A numerikus számítások során a kezdeti haló sugáron belüli tömeg változásának vizsgálatával a részecskék kiáramlása nyomon követhet. A kezdeti haló sugáron belüli M BEC (R) tömeg meghatározásához az alábbi összefüggést használtam fel: R M BEC (R) = 4π ϱ BEC (r, t) r 2 dr. (3.21) A numerikus számítások folyamán a (3.5) integrállal határoztam meg a rendszer összenergiáját a kezdeti haló sugáron belül. A számításokat két galaxis esetén végeztem el. Az egyik az ESO359, mely halójának sugara a meggyelések szerint R ESO359 = 4, 81kpc, a másik az ESO18751, ennek sugara R ESO18751 = 2, 93kpc, a centrumbeli anyags r ség a két galaxist tekintve ϱ (c) ESO359 =, 217M /kpc 3 és ϱ (c) ESO18751 =, 329M /kpc 3. A szóráshosszra a (2.4) összefüggés felhasználásával az els galaxist tekintve a ESO359 = 7, m, a második esetén a ESO18751 = 2, m értéket kapunk. A részecskék száma a halókban N ESO359 = 3, és N ESO18751 = 1, , a halók tömege M ESO359 = 3, M és M ESO18751 = 1, M. A (2.39) összefüggés alapján meghatározott s r ségeloszlások a t = id pontban a 3.2 ábrán láthatóak..25 az ESO359 BEC haló s r ségeloszlása.4 az ESO18751 BEC haló s r ségeloszlása.2.3 ( ϱbec M /kpc 3) ( ϱbec M /kpc 3) r (kpc) r (kpc) 3.2. ábra. A kezdeti s r ségeloszlás a két galaxis esetén. 16

19 A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag halók stabilitása Az eredmények a 3.3 és a 3.4 ábrákon láthatóak. Az ábrákon M ini a t = id pontban a haló kezdeti sugarán belüli teljes tömeget, M a haló kezdeti sugarán belüli tömeget, E ini a t = id pontban a haló kezdeti sugarán belüli teljes energiát és E a haló kezdeti sugarán belüli energiát jelöli. A BEC haló eredeti sugarán belül található részecskék össztömege a számítások szerint id vel csökken, azaz a részecskék folyamatosan kifelé mozognak a halóból. Ennek eredményeképpen a részecskék összenergiája csökken az id vel, ahogy ezt a relatív energiát ábrázoló ábra mutatja. Az ábrákról az is látható, hogy a gravitációs potenciál csökken az id vel, illetve a kerületi sebesség is hasonlóképpen változik. Ezen eredmények azt mutatják, hogy az általam vizsgált galaxisok BEC halója id ben nem stabil. 1 relatív tömeg 1 relatív energia 8 8 M/M ini (%) 6 4 E/ E ini (%) t (millió év) t (millió év).1 potenciál a távolság függvényében t= t=4 millió év t=6 millió év 6 5 kerületi sebesség a távolság függvényében t= t=4 millió év t=6 millió év V, (1 1 J/kg) r (kpc) v, (km/s) r (kpc) 3.3. ábra. A numerikus számítások eredménye az ESO359 galaxis esetén. Az ábrákon az eredeti haló sugáron belüli tömeg- és energiaarány id beli változása látható a kezdeti állapothoz képest, valamint a potenciál és kerületi sebesség alakulása a centrumtól való távolság függvényében, 3 id pontban. A grakonokról megállapítható, hogy a kezdeti konguráció id ben nem stabil. 17

20 A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag halók stabilitása A [2] cikkben található ábrákkal összehasonlítva meggyelhet, hogy a BEC haló eredeti sugarán belül található tömeg és energia id vel való csökkenése lassabban történik. Ennek oka az lehet, hogy a [2] cikkben a szerz k a gravitációs potenciál centrumban lév nagyságát mindkét galaxis esetén ugyanakkorának vették, ez, 358 kódbeli értékük alapján 1, J/kg. Ellenben én gyelembe vettem, hogy a végtelenben a potenciálnak nullának kell lennie, ezért a centrumbeli potenciálra az ESO359 galaxis esetén 5, J/kg, az ESO18751 esetén pedig 3, J/kg adódik. A két általam vizsgált galaxis esetén η > 1, tehát nem tekinthet k stabilnak. A bozon tömegére és a szóráshosszra m = 1 6 ev és a = 1 29 m értékeket választva η < 1, a numerikus számítások is azt mutatják, hogy ez a konguráció stabil. 1 relatív tömeg 1 relatív energia 8 8 M/M ini (%) 6 4 E/ E ini (%) t (millió év) t (millió év).5 potenciál a távolság függvényében t= t=1 millió év t=2 millió év 6 5 kerületi sebesség a távolság függvényében t= t=1 millió év t=2 millió év V, (1 1 J/kg) v, (km/s) r (kpc) r (kpc) 3.4. ábra. A numerikus számítások eredménye az ESO18751 galaxis esetén. Az ábrákon az eredeti haló sugáron belüli tömeg- és energiaarány id beli változása látható a kezdeti állapothoz képest, valamint a potenciál és kerületi sebesség alakulása a centrumtól való távolság függvényében, 3 id pontban. A grakonokról megállapítható, hogy a kezdeti konguráció id ben nem stabil. 18

21 A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag halók stabilitása További számításokat végeztem olyan galaxisokra, amelyeknek a központi anyags - r sége megegyezik a Tejútrendszerével: ϱ (c) BEC =, 47GeV/cm3 [8]. Az eredményeket a 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 és 3.9 ábrák valamint a 3.1 és 3.2 táblázatok tartalmazzák. Jól látható, hogy η < 1 esetén az energia negatív el jel, ekkor a haló össztömege az eredeti sugarán belül ugyan csökken valamennyit, de egy bizonyos határon túl további tömegvesztés már nem tapasztalható. A 3.6 grakonon az eredeti haló sugáron belüli tömegarány változása látható 2 milliárd évre vonatkozóan a kezdeti állapothoz képest. A 3.6 ábra azt mutatja, hogy a csökkenés egy id után növekedésbe vált át, majd hosszú periódusú oszcilláció jön létre [9]. A (2.4) összefüggés szerint R, a és m függenek egymástól, ezért a táblázatokban feltüntettem a különböz a m párokhoz tartozó R haló sugarat is. A paraméterek kiválasztásához felhasználtam a 3.1 ábrát. A bozon tömegére az m = ev/c 2 és a szóráshosszra az a = 1 77 m nagyságrend értékeket választottam. A táblázatokban E a BEC haló t = id pontban kiszámított összenergiáját jelöli, R a haló kezdeti sugarát, η a (3.11) egyenlettel kiszámítható kezdeti energiaviszony. 1 8 relatív tömeg az id függvényében 2 4 relatív energia az id függvényében m = 4, ev/c 2 m = 5, 1 23 ev/c 2 m = 5, ev/c 2 m = 6, 1 23 ev/c 2 M/M ini (%) 6 4 E/ E ini (%) , ev/c 2 5, 1 23 ev/c 2 5, ev/c 2 m = 6, 1 23 ev/c id (millió év) id (millió év) 3.5. ábra. A numerikus számítások eredménye ϱ (c) BEC =, 47GeV/cm3 esetén, a szóráshossz a = 1 77 m, η < 1. Az ábrákon az eredeti haló sugáron belüli tömeg- és energiaarány id beli változása látható a kezdeti állapothoz képest. 19

22 A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag halók stabilitása 1 relatív tömeg az id függvényében 8 M/M ini (%) id (millió év) 3.6. ábra. A numerikus számítások eredménye ϱ (c) BEC =, 47GeV/cm3 esetén, a szóráshossz a = 1 77 m, a bozon tömege m = 5, ev/c 2, η < 1. Az ábrán az eredeti haló sugáron belüli tömegarány id beli változása látható a kezdeti állapothoz képest. Meggyelhet, hogy 25 millió év után a tömegarány csökkenése növekedésbe vált át, majd hosszú periódusú oszcilláció jön létre. 1 8 relatív tömeg az id függvényében 1 8 relatív energia az id függvényében m = 6, ev/c 2 m = 7, 1 23 ev/c 2 m = 7, ev/c 2 m = 8, 1 23 ev/c 2 m = 8, ev/c 2 m = 9, 1 23 ev/c 2 M/M ini (%) 6 4 E/ E ini (%) 6, ev/c 2 7, 1 23 ev/c 2 2 7, ev/c 2 2 8, 1 23 ev/c 2 8, ev/c 2 m = 9, 1 23 ev/c id (millió év) id (millió év) ábra. A numerikus számítások eredménye ϱ (c) BEC =, 47GeV/cm3 esetén, a szóráshossz a = 1 77 m, η > 1. Az ábrákon az eredeti haló sugáron belüli tömeg- és energiaarány id beli változása látható a kezdeti állapothoz képest. megállapítható, hogy a kezdeti konguráció id ben nem stabil. A grakonokról 2

23 A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag halók stabilitása m(1 23 ev/c 2 ) 4,5 5, 5,5 6, 6,5 7, 7,5 8, 8,5 9, E(1 46 J) -39,52-14,31-4,611 -,769,729 1,25 1,359 1,3 1,179 1,43 R(kpc) 5,784 4,939 4,281 3,757 3,332 2,981 2,688 2,44 2,228 2,45 η,35,458,671,95 1,38 1,76 2,319 3,2 3,826 4, táblázat. A különböz bozon tömegekhez tartozó paraméterek a numerikus számítások alapján, a szóráshossz a = 1 77 m. A kezdeti energia a (3.5), a haló kezdeti sugara a (2.4) és t = id pontban η meghatározása a (3.11) összefüggés felhasználásával történt. 1 8 relatív tömeg az id függvényében 2 4 relatív energia az id függvényében a = 1, 1 77 m a = 1, m a = 1, m a = 1, m M/M ini (%) 6 4 E/ E ini (%) , , , a = 1, m id (millió év) id (millió év) 3.8. ábra. A numerikus számítások eredménye ϱ (c) BEC =, 47GeV/cm3 és m = ev/c 2 bozon tömeg esetén, ekkor η < 1. Az ábrákon az eredeti haló sugáron belüli tömeg- és energiaarány id beli változása látható a kezdeti állapothoz képest. 21

24 A Bose-Einstein kondenzátum sötét anyag halók stabilitása 1 8 relatív tömeg az id függvényében 1 8 relatív energia az id függvényében a =, m a =, m a =, m a =, m a =, m a =, m M/M ini (%) 6 4 E/ E ini (%), , , , , a =, m id (millió év) id (millió év) ábra. A numerikus számítások eredménye ϱ (c) BEC =, 47GeV/cm3 és m = ev/c 2 bozon tömeg esetén, ekkor η > 1. Az ábrákon az eredeti haló sugáron belüli tömeg- és energiaarány id beli változása látható a kezdeti állapothoz képest. A grakonokról megállapítható, hogy a kezdeti konguráció id ben nem stabil. a(1 77 m),4,5,6,7,8,9 1, 1,1 1,2 1,3 E(1 46 J) 2,875 2,811 2,543 2,59 1,352,413 -,769-2,197-3,889-5,852 R(kpc) 2,376 2,657 2,91 3,143 3,36 3,564 3,757 3,94 4,116 4,284 η 5,937 3,8 2,639 1,939 1,484 1,173,95,785,66, táblázat. A különböz szóráshosszakhoz tartozó paraméterek a numerikus számítások alapján, a bozon tömege m = ev/c 2. A kezdeti energia a (3.5), a haló kezdeti sugara a (2.4) és t = id pontban η meghatározása a (3.11) összefüggés felhasználásával történt. 22

25 4. fejezet Összefoglalás A dolgozatban galaktikus méret Bose-Einstein kondenzátumokat vizsgáltam. Bose- Einstein kondenzátumok megfelel en alacsony h mérsékleten, híg gázokban alakulhatnak ki. Az átlagtér közelítés segítségével kiszámítható a valószín ség s r ségfüggvény, a Heisenberg egyenletb l pedig levezethet a Gross-Pitaevskii egyenlet, amely leírja a Bose-Einstein kondenzátumot átlagtér közelítésben. A Gross-Pitaevskii egyenlet megoldásához a komplex hullámfüggvény Madelung reprezentációját alkalmaztam, amelynek felhasználásával hozzájutottam a Madelung hidrodinamikai egyenletekhez. Ezután stacioner állapotban vizsgáltam a Bose-Einstein kondenzátumot. A Thomas-Fermi-közelítés szerint a kvantum korrekciós potenciál elhanyagolható, megadtam ennek szükséges feltételét. Gömbszimmetrikus tömegeloszlás feltételezésével meghatároztam a BEC haló sztatikus s r ségeloszlását. Ezt követ en a haló stabilitását vizsgáltam. Az irodalom alapján felírtam a kinetikus, potenciális és kölcsönhatási energiák kiszámításához szükséges összefüggéseket, majd ezeket felhasználva sztatikus esetre származtattam az értéküket. A kinetikus és kölcsönhatási energiák viszonyából meghatározható a BEC haló id beli stabilitása a [8] cikk szerint, ami alapján felírtam az ehhez szükséges összefüggést. A 3.1 ábrán jól látható a várható id beli stabilitás a bozon tömegének és a szóráshossznak függvényében. A szaggatott vonalak közötti sáv az ismert galaxisok radiális méretét jelöli (, 1 1kpc). Az ebben a sávban található galaxisok esetén az ábra alapján egyértelm id beli stabilitás akkor várható, ha a > 1 74 m, vagy m > 1 2 ev/c 2. Id ben nem stabil a rendszer, ha a < 1 78 m vagy m < 1 23 ev/c 2. Egyéb esetekben a bozon tömegének és a szóráshossznak függvényében határozható meg az id fejl dés. A továbbiakban a sztatikus anyageloszlás stabilitását vizsgáltam, visszatérve az eredeti Gross-Pitaevskii-Poisson csatolt egyenletrendszerre, melynek az irodalom alapján megadtam gömbszimmetrikus tömegeloszlásra vonatkozó formáját. A Gross-Pitaevskii egyenlet numerikus megoldásához Crank-Nicolson-féle véges dierencia módszert hasz- 23

26 Összefoglalás náltam, míg a Poisson egyenlethez a Numerov módszert. Az egyenletek megoldásához peremfeltételek szükségesek, valamint a kezdeti állapot megadása. Kezdeti állapotként olyat választottam, ami összhangban áll a stacioner feltevéssel, Thomas-Fermi közelítéssel kapott tömegeloszlással. szükséges mértékegységrendszer átskálázást ismertettem. Az önálló eredményeket a 3.4 fejezet tartalmazza. Ezt követ en a numerikus számítások elvégzéséhez A vizsgálatokhoz két ismert galaxist, az ESO359-et és az ESO18751-et használtam fel. Ezen galaxisok halójának sugara és központi tömegs r sége ismert, segítségükkel kiszámoltam a szóráshosszat, a halóban lév részecskék számát és a haló össztömegét, valamint felrajzoltam a kezdeti tömegeloszlást. A numerikus számítások eredményeit a 3.3 és 3.4 ábrák tartalmazzák. Ezeken a kezdeti haló sugáron belüli össztömeghez képest ábrázoltam az össztömeg id vel való változását a kezdeti haló sugáron belül. A tömegarány folyamatosan csökken, ez azt mutatja, hogy a rendszer id ben nem stabil. Másik grakon ábrázolja a kezdeti haló sugáron belüli energia arányát a t = id pontbelihez képest, ez is meger síti azt, hogy ezek a halók id ben nem stabilak. További grakonokon ábrázoltam a potenciál és a kerületi sebesség id vel való változását, ezek is jelzik az id beli stabilitás hiányát. További számításokat végeztem a Tejútrendszer központi anyags r ségével megegyez galaxisok esetére. A bozon tömegét és a szóráshosszat úgy választottam meg, hogy a 3.1 ábrán olyan tartományba essenek, ahová az ismert galaxisok átmér je található, illetve az összenergia 4 esetben negatív, 6 esetben pozitív legyen. Ezen számítások eredményeit a 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 és 3.9 ábrák valamint a 3.1 és 3.2 táblázatok tartalmazzák. Abban az esetben, ha a kezdeti energia pozitív, a számítások egyértelm en jelzik, hogy a rendszer id ben nem stabil. Negatív kezdeti összenergia esetén azonban nem látható egyértelm id beli stabilitás, a kezdeti haló sugarán belüli össztömeg csökken, bár sokkal lassabban, mint E > esetén. A 3.6 ábrán az látható, hogy a kezdeti haló sugáron belüli össztömeg 25 millió év után növekedésbe vált át, majd hosszú periódusú oszcilláció jön létre. 24

27 5. fejezet Függelék A programkódot C-ben kezdtem el fejleszteni, azonban Python-ban folytattam két okból kifolyólag: az eredmények grakus ábrázolása egyszer bben megoldható Python-ban, ami a fejlesztést el segíti, mivel a program futása során vizuálisan ellen rizhet ek az aktuális eredmények, C-ben a leghosszabb adattípus a long double, mely 8 bitet használ fel, ebb l 63 bit áll rendelkezésre a tizedesjegyek kijelzésére, ami 19 darab értékes tizedesjegyet jelent, viszont Pythonban ez paraméterezhet (én 5-et állítottam be). Az általam használt módszereket (a Crank-Nicolson módszert leszámítva) leteszteltem ismert megoldással rendelkez függvényekre, minden esetben megkaptam a pontos megoldást az értékes tizedesjegyek utolsó 2-3 értékét l eltekintve A Crank-Nicolson-féle véges dierenciák módszere Parciális dierenciálegyenletek numerikus megoldására sokféle módszer létezik. Az FTCS (Forward Time, Centered Space) és BTCS (Backward Time, Centered Space) módszerek átlagolásával kapjuk meg a Crank-Nicolson módszert [15], mely másodrend pontossággal rendelkezik id ben, és általában stabil eljárásnak tekinthet. El nye egydimenziós esetben az, hogy a keletkez lineáris egyenletrendszer tridiagonális, ezért hatékonyan megoldható. Hátrányaként az id beli és térbeli lépésköz nem megfelel megválasztása esetén tapasztalható oszcillációt lehet megemlíteni. A Neumann-féle stabilitás analízis szerint oszcilláció akkor nem lép fel, ha t x < 1. Ekkor azonban megfelel pontosság eléréséhez igen hosszú számítási id társul, ami a módszer

28 Függelék hátrányaként jelentkezik. A 5.1 ábrán látható a parciális dierenciálegyenletek megoldására felhasználható numerikus módszerek közül az FTCS, BTCS és Crank-Nicolson módszer. Az FTCS esetén a t n = ndt id pontban, az r j 1 = (j 1) dr, r j = jdr és r j+1 = (j + 1) dr térbeli pozíciókban kiszámított függvényértékek alapján tudjuk meghatározni a t n+1 = (n + 1) dt id pontbeli r j = jdr térbeli pozícióhoz tartozó függvényértéket. BTCS esetén a t n+1 = (n + 1) dt id pontbeli valamint r j 1 = (j 1) dr, r j = jdr és r j+1 = (j + 1) dr térbeli pozíciókban lév függvényértékekb l határozzuk meg a t n = ndt id pontbeli r j = jdr térbeli pozícióhoz tartozó függvényértéket. A Crank-Nicolson módszer esetén a t n = ndt id pontban, az r j 1 = (j 1) dr, r j = jdr, r j+1 = (j + 1) dr térbeli pozíciókban, valamint a t n+1 = (n + 1) dt id pontban, az r j 1 = (j 1) dr és r j+1 = (j + 1) dr térbeli pozíciókban kiszámított függvényértékek alapján határozható meg a t n+1 = (n + 1) dt id pontbeli és r j = jdr térbeli pozícióhoz tartozó függvényérték. n + 1 FTCS n + 1 BTCS n + 1 Crank-Nicolson n j 1 j j + 1 n j 1 j j + 1 n j 1 j j ábra. Az FTCS, BTCS és Crank-Nicolson módszer. A Gross-Pitaevskii egyenletet az FTCS módszer segítségével az alábbi formában írhatjuk le: iħ ψn+1 j ψj n δt ( = ħ2 ψ n j+1 2ψj n + ψj 1 n 2m 2 (δr) ψn j+1 ψj 1 n ) 2 δ (r 2 ) +V j ψj n + 2πħ2 a ψ n m 3 j 2 ψ n j, (5.1) a BTCS módszer pedig a következ : iħ ψn+1 j ψj n δt = ħ2 2m 2 ( ψ n+1 j+1 2ψn+1 j + ψ n+1 j 1 (δr) ψn+1 j+1 ) ψn+1 j 1 2 δ (r 2 ) +V j ψ n+1 j + 2πħ2 a ψ n+1 2 m 3 j ψ n+1 j, (5.2) ahol j a térbeli, n az id beli pozíció sorszámát jelöli. Ha az általunk vizsgált térbeli tartományt egyforma nagyságú dr, az id fejl dés hosszát dt hosszúságú intervallumokra osztjuk, akkor például ψ n+1 j a jdr helyen és (n + 1) dt id pillanatban jelöli a 26

29 Függelék hullámfüggvény értékét. A kett átlagolásával és némi egyszer sítéssel megkapjuk a Crank-Nicolson-féle összefüggést: [( iħ ψn+1 j ψj n = 1 ħ2 ψ n+1 j+1 2ψn+1 j + ψ n+1 j 1 δt 2 2m 2 (δr) 2 + ( ħ2 2m 2 ψ n j+1 2ψ n j + ψ n j 1 (δr) 2 +V j ψ n+1 j ) + 2πħ2 a ψ n m 3 j 2 ψ n+1 j ħ2 j+1 ψn+1 j 1 2m 4 ψn δ (r 2 ) ħ2 2m 4 ψn j+1 ψj 1 n + V 2 2 δ (r 2 j ψj n + 2πħ2 a ψ n ) m 3 j 2 ψ n j )]. (5.3) Ez láthatóan az els és utolsó pozícióban nem számolható ki, ezért szükségünk van egy olyan módszerre, melyhez a rendelkezésre álló adatok elegend ek. A megoldást az egyenesek módszerének alkalmazásával találtam meg Egyenesek módszere Deriváltak numerikus kiszámítására a következ másodrendben pontos formulát használtam: du (x i ) = u (x i+1) u (x i 1 ) + O ( x 2), (5.4) dx 2 x ahol u(x) a deriválandó függvény, i a térbeli pozíció sorszáma és x a térbeli lépésköz. Az i. pozícióban szükség van az i + 1. és i 1. pozícióbeli függvényértékekre, amik az els és utolsó pozícióban nem állnak rendelkezésre. A függvény Taylor-sorba való fejtésével kiküszöbölhetjük az általunk megadott határokon kívüli pozíciókban lév függvényértékek szükségességét. Az els pozícióban legyen i = 1, az utolsóban i = N. Vegyük a második és harmadik függvényértékek Taylor-sorát: u (x 2 ) = u (x 1 ) + du (x 1) dx x d 2 u (x 1 ) dx 2 ( x) (5.5) u (x 3 ) = u (x 1 ) + du (x 1) (2 x) + 1 d 2 u (x 1 ) (2 x) (5.6) dx 2 dx 2 Ha a (5.5) egyenletet beszorozzuk néggyel és kivonjuk a (5.6) egyenletb l, akkor a másodrend derivált kiesik, így a következ t kapjuk: 4u (x 2 ) u (x 3 ) = 3u (x 1 ) + du (x 1) dx (2 x) +... (5.7) Az egyenletet átrendezve megkapjuk az els pozícióban való deriváltat: du (x 1 ) dx = 4u (x 2) 3u (x 1 ) u (x 3 ) 2 x. (5.8) 27

30 Függelék Hasonlóan vezethetjük le az utolsó pozícióban való deriváltat: du (x N ) dx = 3u (x N) 4u (x N 1 ) + u (x n 2 ) 2 x. (5.9) A második deriváltat is meghatározhatjuk az els deriváltakból, például az els pozícióban a következ képpen: d 2 u (x 1 ) dx 2 = d du (x 1 ) dx dx = d 4u (x 2 ) dx 2 x d 3u (x 1 ) dx 2 x d u (x 3 ) dx 2 x = 4u (x 3) 4u (x 1 ) 3 (4u (x 2) 3u (x 1 ) u (x 3 )) u (x 4) u (x 2 ) 4 x 2 4 x 2 4 x 2 = 4u (x 3) 4u (x 1 ) 12u (x 2 ) + 9u (x 1 ) + 3u (x 3 ) u (x 4 ) + u (x 2 ) 4 x 2 = 5u (x 1) 11u (x 2 ) + 7u (x 3 ) u (x 4 ) 4 x 2, (5.1) illetve az utolsó pozícióban az eredmény: d 2 u (x N ) dx 2 = 5u (x N) 11u (x N 1 ) + 7u (x N 2 ) u (x N 3 ) 4 x 2. (5.11) 5.3. Tridiagonális egyenletrendszer megoldása A (5.3) összefüggés segítségével, az együtthatók átrendezése után egy tridiagonális egyenletrendszert kapunk, mely hatékonyan megoldható numerikus módszerrel [16]. Tridiagonálisnak azért nevezzük, mert a mátrix alakban felírt egyenletrendszer együtthatóit tartalmazó mátrixának csak a f átlójában és csak közvetlenül az alatt illetve felett találhatóak nullától különböz elemek. Tekintsük például az alábbi lineáris egyenletrendszert: b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 a N 2 b N 2 c N 2 a N 1 b N 1 c N 1 a N b N x 1 x 2 x 3 x N 2 x N 1 x N = d 1 d 2 d 3 d N 2 d N 1 d N, ahol x i -k ismeretlenek. Vezessünk be segédváltozókat úgy, hogy x i+1 = g i x i + h i (5.12) legyen. A segédváltozókat felhasználva az alábbit írhatjuk: d i = a i x i 1 + b i x i + c i x i+1 = a i x i 1 + b i x i + c i (g i x i + h i ) 28

31 Függelék = a i x i 1 + (b i + c i g i ) x i + c i h i = a i x i 1 + (b i + c i g i ) (g i 1 x i 1 + h i 1 ) + c i h i = [a i + g i 1 (b i + c i g i )] x i 1 + (b i + c i g i ) h i 1 + c i h i. (5.13) Ez az egyenlet akkor teljesíthet, ha = a i + g i 1 (b i + c i g i ), (5.14) d i = (b i + c i g i ) h i 1 + c i h i, (5.15) azaz a i g i 1 =, (5.16) b i + c i g i h i 1 = d i c i h i b i + c i g i. (5.17) A segédváltozókat el tudjuk állítani index szerint visszafelé haladva. A kezd érték c N = miatt Az els egyenlet ezért a következ képpen írható fel: amiben x 2 kifejezhet a (5.12) összefüggés segítségével: ebb l pedig meg tudjuk határozni x 1 -et: g N 1 = a N b N, (5.18) h N 1 = d N b N. (5.19) b 1 x 1 + c 1 x 2 = d 1, (5.2) b 1 x 1 + c 1 (g 1 x 1 + h 1 ) = d 1, (5.21) x 1 = d 1 c 1 h 1 b 1 + c 1 g 1. (5.22) Miután a g i és h i értékek rendelkezésre állnak, indexben el re haladva a (5.12) formula segítségével kiszámolhatjuk a keresett x i értékeket A Woodbury-Sherman-Morrison formula Az egyenesek módszerének alkalmazása miatt az egyenletrendszer nem teljesen tridiagonális, az együttható mátrixban a c 1 -hez képest jobbra lév két elem, illetve az a N -hez képest balra lév két elem különbözik nullától. Ebben az esetben az egyenletrendszer megoldására a Woodbury-Sherman-Morrison formula használható. Ha a tridiagonális rendszerhez képest a mátrixban a f átlón és a közvetlenül alatta és felette található pozíciókon kívül is található nullától különböz elem, például a c 1 - hez képest jobbra lév elem, illetve az a N -hez képest balra lév elem nem nulla, akkor 29

32 Függelék az egyenletrendszer megoldása a következ. Legyen A tridiagonális mátrix, u és v egy olyan oszlop- és sorvektor, melyek szorzata el állítja a tridiagonális mátrixhoz képesti különbséget. Az általunk vizsgált mátrix inverzét megadhatjuk az alábbi módon [12]: ( A + u v T ) 1 = ( 1 + A 1 u v T ) 1 A 1 ahol = ( 1 A 1 u v T + A 1 u v T A 1 u v T... ) 1 A 1 = A 1 A 1 u v T A ( 1 1 λ + λ 2... ) ( A 1 = A 1 u ) ( v A 1) T, (5.23) 1 + λ λ v A 1 u. (5.24) A (5.23) összefüggést Sherman-Morrison formulának hívjuk. Ha az inverz mátrix kiszámítása id igényes vagy a tárolása problematikus, akkor az alábbi egyenletre: ( A + u v T ) x = d, (5.25) a következ algoritmust használhatjuk. A tridiagonális egyenletrendszerhez használható módszer segítségével meghatározzuk y-t és z a következ egyenletekb l: A y = d, A z = u, (5.26) majd ezek segítségével kiszámolhatjuk a keresett x-et: [ ] v y x = y z. (5.27) 1 + (v z) Ha a tridiagonálishoz mátrixhoz viszonyítva az el z esethez képest több eltérés is található az együttható mátrixban, akkor a Sherman-Morrison formula blokkmátrix verzióját használhatjuk: ( A + U V T ) 1 = A 1 [A 1 U (1 + V T A 1 U ) 1 VT A 1 ], (5.28) melyet Woodbury, vagy Woodbury-Sherman-Morrison formulának hívnak. Ebben az esetben a megoldandó egyenletrendszer a következ : ( ) P 1 A + u k v T k x = d, (5.29) k= ahol P a korrekciók száma. El ször az alábbi egyenletrendszereket kell megoldani a z i vektorokra: A z 1 = u 1 A z 2 = u 2., (5.3) A z P = u P 3

33 Függelék majd a z i vektorokból oszloponként össze kell rakni a Z vektort: Z z 1... z P. (5.31) Következ lépésként ki kell számolni a P P mátrix inverzét: H ( 1 + V T Z ) 1, (5.32) majd egy újabb y változóra az alábbi egyenletrendszert megoldani: A y = d, (5.33) végül a keresett x vektor így határozható meg: x = y Z [H (V T y )]. (5.34) 5.4. A Numerov-módszer A Poisson-egyenlet megoldására gömbszimmetrikus esetben jól használható ez a módszer. alkalmazni: Ahhoz, hogy használni tudjuk ebben az esetben, az alábbi helyettesítést kell A Poisson-egyenlet így egyszer bb alakba írható át: ( ) ( ) 2 1 r 2 r φ (r 2 ) r φ = r azaz = 1 r 2 r φ + φ 1 r r + 2 r φ 1 r r + 1 r = 1 r 2 r φ + φ 2 r r 2 = 1 r V (r) = 1 φ(r). (5.35) r ( φ 1 r r + 1 r 2 r 2 φ + 2 r r φ + 1 r 2 φ r = m 2 ψ 2, ) r φ + 2 r ( φ 1 r r + 1 r ( ) 1 r r φ ) 2 φ r r φ 1 r r 2 r φ r φ 2 φ r 2 = rm ψ 2 = S(r). (5.36) A Numerov-módszer [13] a következ képpen származtatható. Vegyük a második derivált hárompontos formuláját [13]: φ n+1 2φ n + φ n 1 h 2 = φ n + h2 12 φ n + O ( h 4), (5.37) 31

34 Függelék ahol φ n második, φ n negyedik derivált az r n pontban, h pedig a térbeli lépésköz. A negyedik deriváltat felírhatjuk a következ képpen is ( (5.36)-ból): φ n r S(r) 2. (5.38) r=rn = 2 S (r n )-t S n -nel jelölve az alábbi formát kapjuk: φ n = S n+1 2S n + S n 1 h 2 + O ( h 2), (5.39) melyet behelyettesítve a (5.37) összefüggésbe a következ t kapjuk: φ n+1 2φ n + φ n 1 h 2 = S n + h2 12 S n+1 2S n + S n 1 h 2 + O ( h 4), (5.4) az egyszer sítések elvégzése és az átrendezést követ en megkapjuk a Numerov formulát: mely hatodrendben pontos. szerint is. φ n+1 = 2φ n φ n 1 + h2 12 (S n+1 2S n + S n 1 ) + O ( h 6), (5.41) Ez a módszer felhasználható növekv vagy csökken n Növekv n választással azt a problémát tapasztalhatjuk, hogy az r = pontban nem tudjuk kiszámítani a potenciált, ami a rekurzió elkezdéséhez szükséges. A megoldás numerikus kvadratúra alkalmazása lehet. Az r pontban a potenciált meg tudjuk határozni az alábbi integrál segítségével: V (r) = 4πGm Az integrál kiszámítására jól használható a Simpson formula. r ϱ r dr. (5.42) Ha csökken n mellett döntünk, akkor a potenciálra határfeltételként azt választhatjuk, hogy a végtelenben zérus lesz. Így a potenciál egy gömb alakú testen kívül a következ képpen határozható meg: V (r) = GM r, (5.43) ahol M a test tömege. Ezzel a módszerrel elkerülhet az r = helyen a potenciál el re való kiszámítása, azonban a nullával való osztás miatt itt is egyéb módszert kell alkalmazni. Ha ismerjük a potenciált az r = dr, r = 2dr és r = 3dr helyeken, akkor az egyenesek módszerét alkalmazva kiszámolhatjuk az r = pontban is: = 4πGm 2 ψ 2 = 2 V r V r 2 5V () 11V (1) + 7V (2) V (3) 4V (1) 3V () V (2) 4 ( r) (r) 2 32

35 ( 5 = 4 ( r) (r) 2 ( 5 = 4 ( r) 2 6 (r) 2 Függelék ) 11V (1) + 7V (2) V (3) V () + 4 ( r) V (1) 4V (2) 2 (r) 2 ) 11V (1) 7V (2) + V (3) 8V (1) 2V (2) V () 4 ( r) 2 + (r) 2. Átrendezést követ en: ( 5 4 ( r) 2 6 ) (r) 2 V () = 4πGmϱ () + Mivel az els pozícióban ( r) 2 = (r) 2 = (dr) 2, ezért: 11V (1) 7V (2) + V (3) 8V (1) 2V (2) 4 ( r) 2 (r) 2. (5.44) 19V () = 4πGmϱ () 4 (dr) V (1) 7V (2) + V (3) 32V (1) + 8V (2), amit átrendezve az alábbi összefüggéshez jutunk: V () = 21V (1) V (2) V (3) 16πGmϱ () (dr)2 19. (5.45) 5.5. Integrálás Simpson módszerrel A programkódban a különböz integrálok kiszámításához ezt a módszert alkalmaztam. Alapfeltétele, hogy az integrálandó tartományt páros számú, egyenl hosszúságú részre kell osztani. Ez a módszer az integrálandó görbét egy parabolához próbálja illeszteni a megadott pontok alapján. A Simpson-szabály [17] egy lépés esetén a következ : b a f(x) dx h 3 [f (x ) + 4f (x 1 ) + f (x 2 )], (5.46) ahol h = b a. Az integrálandó tartományt 2n részre osztva az integrál az alábbiak 2 szerint számítható ki: b a f(x) dx h 3 [f (x ) + 4f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + 4f (x 3 ) + + 4f (x 2n 1 ) + f (x 2n )], (5.47) ahol h = b a. Ez megfelel számú n esetén jó közelítést ad, továbbá akkor alkalmazható jó eredményességgel, ha a függvény elegend en 2n sima. 33

36 Irodalomjegyzék [1] Dwornik, M., Keresztes, Z., Gergely, L.Á., 213, Rotation curves in Bose-Einstein Condensate Dark Matter Halos, a Kinjo, Niro, Nakajima, Akira, Recent Developments in Dark Matter Research, 214, Nova Publishers, New York könyv 6. fejezete [2] Guzmán, F.S., Lora-Clavijo, F.D., González-Avilés, J.J., Rivera-Paleo, F.J., Stability of BEC galactic dark matter halos, JCAP 9, 34 (213) [3] Planck Collaboration, Planck 213 results. XVI. Cosmological parameters, publikálásra elfogadva Astronomy & Astrophysics-ban, 213, caltech.edu/pub/213results/planck_213_results_16.pdf [4] Navarro, J.F., Frenk, C.S., White, S.D.M., 1996, ApJ 462, 563 [5] Burkert, A., 1997, Aspects of Dark Matter in Astro-and Particle Physics [6] Ketterle, W., van Druten N.J., Bose-Einstein condensation of a nite number of particles trapped in one or three dimensions, 1996, Phys. Rev. A 54, 656 [7] Kristen, K., Toms, D.J., 1996, Bose-Einstein condensation of atomic gases in a general harmonic oscillator conning potential trap, Phys. Rev. A 54, 4188 (1996) [8] de Souza, J. C. C., Pires, M. O. C., Discussion on the energy content of the galactic dark matter Bose-Einstein condensate halo in the Thomas-Fermi approximation, JCAP 3, 1 (213) [9] Chavanis, Pierre-Henri, Mass-radius relation of Newtonian self-gravitating Bose- Einstein condensates with short-range interactions: I. Analytical results, Phys. Rev. D 84, (211) [1] Mass-radius relation of Newtonian self-gravitating Bose-Einstein condensates with short-range interactions: II. Numerical results, Phys. Rev. D (211) [11] Toth, Viktor T., Self-gravitating Bose-Einstein condensates and the Thomas-Fermi approximation [arxiv: 142.6v2] 34