VINCZE MIHÁLY DIPLOMATERV

Átírás

1 VINCZE MIHÁLY DIPLOMATEV

2 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉNÖKI KA HIDODINAMIKAI ENDSZEEK TANSZÉK DIPLOMATEVEK

3 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉNÖKI KA HIDODINAMIKAI ENDSZEEK TANSZÉK VINCZE MIHÁLY DIPLOMATEV Buborékok radiális pulzálását leíró Keller-Miksis nemlineáris oszcillátor rezonanciagörbéinek feltérképezése Konzulens: Dr. Hegedűs Ferenc adjunktus Témavezető: Dr. Hegedűs Ferenc adjunktus Budapest, 2017

4 Szerzői jog Vincze Mihály, ZÁADÉK Ez a szakdolgozat/diplomaterv elzártan kezelendő és őrzendő, a hozzáférése a vonatkozó szabályok szerint korlátozott, a dolgozat tartalmát csak az arra feljogosított személyek ismerhetik. A korlátozott hozzáférés időtartamának lejártáig az arra feljogosítottakon kívül csak a korlátozást kérelmező személy vagy gazdálkodó szervezet írásos engedélyével rendelkező személy nyerhet betekintést a dolgozat tartalmába. A hozzáférés korlátozása és a zárt kezelés év 12. hónap 31. napján ér véget.

5 Ide kell befűzni az eredeti feladatkiírási lapot!

6 vi

7 NYILATKOZATOK Elfogadási nyilatkozat Ezen diplomaterv a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kara által a Diplomatervezési és Szakdolgozat feladatokra előírt valamennyi tartalmi és formai követelménynek, továbbá a feladatkiírásban előírtaknak maradéktalanul eleget tesz. E diplomatervet a nyilvános bírálatra és nyilvános előadásra alkalmasnak tartom. A beadás időpontja: témavezető Nyilatkozat az önálló munkáról Alulírott, Vincze Mihály (JPNEBK), a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem hallgatója, büntetőjogi és fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem és sajátkezű aláírásommal igazolom, hogy ezt a diplomatervet meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem, és dolgozatomban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen, a hatályos előírásoknak megfelelően, a forrás megadásával megjelöltem. Budapest, 2017 szigorló hallgató vii

8 TATALOMJEGYZÉK Köszönetnyilvánítás... x Jelölések jegyzéke... xi 1 Bevezetés... 1 Kavitációs buborékok... 1 Célkitűzések... 2 Áttekintés Irodalmi áttekintés... 4 Akusztikus kavitáción alapuló technológiák és kutatások... 4 Kavitációs buborékok kísérleti vizsgálata... 5 Kaotikus rendszerek feltérképezése Attraktorok Poincaré metszet Bifurkációs diagram és futó paraméter Fázisdiagram Ljapunov-exponens Csavarási szám A buborékmozgás numerikus szimulációjának lehetőségei Kezdetiérték-feladat megoldása direkt módszerrel Peremérték-feladat megoldása közelítő függvénnyel A buborékmodell egyenletének levezetése A ayleigh Plesset-egyenlet A Keller Miksis-egyenlet Nyomás a buborék falán Nyomás gerjesztés Anyagjellemzők és paraméterek összefoglalása A Keller Miksis-egyenlet kísérleti validációja A Keller Miksis-egyenlet számításhoz használt alakja Dimenziótlan egyenletrendszer Linearizált egyenletrendszer A peremérték-megoldóhoz használt egyenletrendszer A Kezdetiérték-feladat megoldó program (MATLAB) leírása A programfejlesztés célkitűzései viii

9 A program működése A Felhasználói felület Fájlnév készítő függvény Feladatkészítő modul (DefinitionGenerator) Szimulációs modul (ComputeFullProblem) Kimeneti fájlok Egyperiódusú megoldások feltérképezése A választott paraméterek A paramétertér attraktorainak előzetes feltérképezése Frekvencia válasz függvények Amplitúdó válasz függvények Egyperiódusú megoldások topológiája egy paraméter mentén Egyperiódusú megoldások topológiája két paraméter mentén A fázissík bifurkációs görbéinek jellemzői A fázissík bifurkációs görbéinek csavarási száma Fontosabb megállapítások összegzése Összefoglalás Summary Irodalomjegyzék Melléklet Frekvencia válasz függvények Amplitúdó válasz függvények ix

10 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Jelen dolgozat nem születhetett volna meg konzulensem, Dr. Hegedűs Ferenc nélkül, aki töretlen optimizmussal állt mögöttem és mindig segített, ha szükség volt rá. Nélkülözhetetlen segítséget nyújtott még Klapcsik Kálmán a MATLAB és AUTO használatában. Köszönettel tartozom még Dr. Paál Györgynek, aki sokat segített nekem a téma keresésben, és akkor is kiállt mellettem, amikor meg kellett hoznom egy nehéz döntést. Köszönöm édesanyámnak, aki az utolsó hetekben főzött és mosott rám, és bátyámnak, aki egy hálózatba kötötte laptopomat és asztali gépemet. Végül köszönöm páromnak, Dórinak, aki mindig jó kedvre tudott deríteni. Budapest, 2017 Vincze Mihály x

11 JELÖLÉSEK JEGYZÉKE A táblázatban a többször előforduló jelölések magyar és angol nyelvű elnevezése, valamint a fizikai mennyiségek esetén annak mértékegysége található. Az egyes menynyiségek jelölése ahol lehetséges megegyezik hazai és a nemzetközi szakirodalomban elfogadott jelölésekkel. A ritkán alkalmazott jelölések magyarázata első előfordulási helyüknél található. 1 x dimenziótlan buborékfal-sebesség 1 2 x lineáris torziós szög rad 3 x dimenziótlan lineáris trajektória távolság 1 4 y dimenziótlan segédváltozó 1 1 y dimenziótlan segédváltozó 1 2 Latin betűk Jelölés Megnevezés, megjegyzés, érték Mértékegység c hangsebesség m/s f gerjesztési frekvencia Hz n torziós szám 1 n politropikus kitevő 1 m tömeg kg m periódusszám 1 p nyomás Pa, bar P nyomás Pa, bar r sugár m buboréksugár m t eltelt idő s T hőmérséklet C v sebesség m/s w csavarási szám 1 x dimenziótlan buboréksugár 1 Görög betűk Jelölés Megnevezés, megjegyzés, érték Mértékegység torziós szög rad Ljapunov-exponens 1 dinamikai viszkozitás Pas sűrűség kg/m 3 felületi feszültség N/m dimenziótlan idő 1 feszültség Pa körfrekvencia rad/s torziós frekvencia rad/s xi

12 Indexek, kitevők Jelölés Megnevezés, értelmezés 0 referinca A B E G i L max r ref rr V amplitúdó belső, buborékon belüli egyensúlyi gáz jellemzője általános futó index folyadék jellemzője maximális érték radiális referencia érték radiális irányú, radiális síkon ható (feszültség) vízgőz jellemzője második gömbi szögkoordináta irányában irányú, síkon ható (feszültség) első gömbi szögkoordináta irányában irányú, síkon ható (feszültség) távoltéri Operátorok Jelölés P(x) d x x y d y x x Megnevezés, értelmezés Poincaré-metszet y szerinti totális derivált y szerinti pariciális derivált idő szerinti első derivált idő szerinti második derivált xii

13 1 BEVEZETÉS 1.1 Kavitációs buborékok A buborék különleges fizikai objektum. Akkor beszélünk róla, amikor egy anyag egyik fázisa (gáz, folyadék vagy szilárd) körülveszi ugyanannak vagy akár egy másik anyagnak a fázisát (Lauterborn és Kurz, 2010). Buborék a szappanos vízhártyával körbevett levegő, a habosított polimerbe záródott gáz, vagy a forró vízben úszó vízgőz. Jelen dolgozatban vízben kialakult gőzbuborékok viselkedéséről lesz szó, amelyek egy szintén különleges jelenség, a kavitáció által jönnek létre. Gőzbuborékok kétféleképpen keletkezhetnek egy folyadékban: a hőmérséklet forráspont fölé emelésével vagy a folyadék nyomásának csökkentésével a hőmérséklet változtatása nélkül. Ez utóbbit nevezzük kavitációnak. A jelenséget először hajócsavarok környezetében tapasztalták itt a víz sebességnövekedése okozza a nyomáscsökkenést és a buborékok kialakulását. Másik lehetőség nyomáscsökkentésre a környezeti nyomás csökkentése (pl. vákuumkamrában). Ha pedig nagynyomású ultrahanggal sugározzuk be a folyadékot, nyomás- és szíváshullámokat hozva létre, rövid időre elérhetjük a buborékok kialakulásához szükséges kritikusan alacsony nyomást ez az akusztikus kavitáció. A kavitáció számos alkalmazás esetében nemkívánatos jelenség. Egy eredetileg szinte összenyomhatatlan közeg (iparban az esetek túlnyomó többségében vízről van szó), a kavitáció hatására összenyomhatóvá válik, ami általában alkalmatlanná teszi azt munkavégzésre: a hajócsavarok tolóereje lecsökken, a szivattyúk szívóhatása megszűnik (Fűzy, 1991). Ennél is károsabb a kavitációs buborék összeroppanása. Amikor a buborék sugara csökkenni kezd, falának görbülete megnő, ami megnöveli a felületi feszültségből származó erőt, ami pedig további csökkenésre kényszeríti a buborék sugarát. Ez az öngerjesztő folyamat okozza, hogy a buborék sugara hatalmas sebességgel éri el a nullát. Ebben a pillanatban a buborék középpontjában K és 800 bar fölötti nyomás is előfordulhat (Tomita és Shima, 1977, Fujikawa és Akamatsu, 1980), így az energiasűrűség is óriási. A roppanás jól hallható hanggal jár. Szilárd fal közelében pedig az összeroppanás nem szimmetrikus, hanem a fal irányába lő ki nagy sebességű folyadéksugarat, ami jelentősen roncsolja a felületet. (Tomita és Shima, 1990). Ilyen instabil összeroppanásról készített fotósorozatot láthatunk az 1.1. ábrán. A kavitáció elkerülése napjainkban alapvető szempont turbinák és hasonló gépek tervezésénél (Molland et. al., 2004). 1

14 1.1. ábra: fotósorozat egy szilárd fal mellett összeomló buborékról. A képek között eltelt idő 10 s, a kép szélessége 1,4 mm. A fal a kép tetején látható. (forrás: Tomita és Shima, 1990) Az akusztikus kavitáció vizsgálata két okból is aktuális. Egyik, hogy léteznek és folyamatos fejlesztés alatt állnak technológiák, amelyek buborékkeletkezést vagy éppen az összeroppanás roncsoló hatását mint hasznos folyamatot használják fel. Az alkalmazások módja rendkívül szerteágazó (lásd 2.1 fejezet). A másik ok, hogy az akusztikus kavitáció kaotikus jelenség, és a káosz napjainkban mind fizikusok, matematikusok, biológusok és mérnökök körében kutatott témakör (Lauterborn és Parlitz, 1988). A káosz buborékok esetében a következőt jelenti: a folyadékot adott nyomásamplitúdóval periodikusan sugározzuk be, aminek a hatására azt várnánk, hogy a buborékok a nyomásváltozással megegyező frekvenciával keletkeznek és roppannak össze. Ezt a viszonylag szabályos mozgásfajtát egyperiódusú megoldásoknak is nevezik (Lauterborn és Kurz, 2010). Azonban rengeteg olyan nyomás és frekvencia párosítás létezik, ahol a buborék mozgása sokkal bonyolultabbá válik, néha pedig teljesen nélkülöz bármilyen szabályosságot: kaotikus lesz. A buborék viselkedését erősen befolyásolja az ultrahang nyomásamplitúdója és frekvenciája. Bármelyikük kis mértékű megváltozására is képes teljesen eltérően viselkedni a buborék. Erre látunk példát az 1.2. ábrán, ahol egy numerikusan szimulált buborék sugarának alakulását láthatjuk az idő függvényében. Az (a) és (b) eset között annyi a különbség, hogy a gerjesztés amplitúdója a (b) esetben 1 kpa-val kisebb, mégis jelentős a különbség a két függvény között. 1.2 Célkitűzések Jelen dolgozat célja, hogy feltérképezze, hogyan alakul egy vízben található gőzbuborék mozgása harmonikusan változó nyomástérben, az akusztikus gerjesztés nyomásamplitúdója és frekvenciája függvényében. A legegyszerűbb mozgásfajtára, az egyperiódusú megoldásokra fogok fókuszálni, és meg fogom vizsgálni, mikor válnak instabillá. A vizsgálat során áttekintem a kaotikus rendszerek topológiai vizsgálatainak 2

15 alapvető eszközeit, és eredményeimet összevetem a szakirodalomban fellelhető eredményekkkel. A feltérképezéshez numerikus szimulációt fogok végezni a MATLAB és AUTO programok segítségével. A MATLAB kód alapját a Hidrodinamikai endszerek Tanszéken készítették, ennek saját magam által továbbfejlesztett változatát használom. Másodlagos célja a dolgozatnak, hogy a numerikus szimulációt végző MAT- LAB program kódjáról egy olyan dokumentációt és használati utasítást írjak, aminek segítségével egy a téma iránt érdeklődő kutató vagy diák használni tudja azt, és így könnyebben be tud kapcsolódni a tanszéken folyó kutatásba. pa 80kPa A dolgozat első fejezetében röviden áttekintem az akusztikus kavitáció modern alkalmazásait, majd rátérek a kísérleti vizsgálati módszerekre, végül pedig a szimulációs módszerekre. A következő fejezetben végigveszem a kaotikus dinamikai rendszerek feltérképezésének legfőbb módszereit és mérőszámait: a Poincaré-metszetet, a bifurkációs diagramokat, a Ljapunov-exponenst és a csavarási számot. Ezután levezetem a buborék mozgását leíró ayleigh Plesset-egyenletet, annak továbbfejlesztett változatát, a Keller Miksis-egyenletet, amelyet a szimulációhoz használni fogok. Mivel a Ljapunov-exponens és csavarási szám számításához szükség van a modell egyenlet linearizálásához, ezért azt is röviden levezetem. Ezután részletesen bemutatom az általam fejlesztett MATLAB kód működését és használatát. A szimuláció módjának ismertetése után végül bemutatom a kapott eredmények diagramjait, amelyeken az egyperiódusú megoldások alakulását lehet látni a nyomásamplitúdó és a frekvencia függvényében, a vizsgált tartományon. Eredményeimet összevetem más, a szakirodalomban található kaotikus rendszerek topológiájával. A következtetéseimet ezekből fogom levonni. Összeroppanás pa 79kPa 1.2. ábra: szimulációval számított vízgőzbuborék sugarának alakulása az idő függvényében, hosszú idő eltelte után. A tömör vonal 80 kpa, a szaggatott vonal 79 kpa, nyomásamplitúdó mellett alakult ki. A többi paraméter azonos. (forrás: saját számítás) 1.3 Áttekintés 3

16 2 IODALMI ÁTTEKINTÉS 2.1 Akusztikus kavitáción alapuló technológiák és kutatások Az ultrahangon alapuló technológiák közül meg kell különböztetni az úgynevezett passzív és aktív ultrahangot alkalmazókat (Lőrincz, 2006). A passzív ultrahang 1 2 W / cm alatti hangintenzitású besugárzást jelent, ezt használják a kismamák magzatának megfigyelésére, olajmezők feltárására és víz alatti szonáros tájékozódásnál is. Ezek jellemzően képalkotási, feltérképezési módszerek, melyek a hang terjedési sebességét és visszaverődési tulajdonságait használják ki. Számunkra érdekesebbek a kavitációt kihasználó, nagy hangintenzitású aktív ultrahangos technológiák, melyek a buborék összeroppanásakor keletkező extrém körülmények valamelyikét próbálják egy konkrét célra felhasználni (Hegedűs, 2012). Ilyen a magas hőmérséklet, magas nyomás, a gyors hő- vagy impulzuscsere a gőz és folyadék fázis között. Gyakori alkalmazás, hogy valamilyen anyag irányított roncsolására használják fel a kavitáció mikroszkopikus pusztító hatását. Az elmúlt évtizedekben rengeteg ilyen technológia kutatása folyt, ezek közül a teljesség igénye nélkül emelnék ki néhány eredményt. Már a huszadik század derekán alkalmazni kezdték az ultraszónikus lánctördelést polimerek gyártásakor. A polimerek minőségét befolyásolja, hogy a molekulaláncok hossza mennyire homogén eloszlású. Hagyományosan hőt alkalmaznak ilyenkor, azonban az véletlenszerű helyeken bontja fel a molekulákat ezzel szemben a lökéshullámból származó mechanikai hullámok általában a láncokat középen szakítják el, ami sokkal jobban biztosítja a homogén eloszlást (Jellinek és White, 1951). Egy másik alkalmazási lehetőség, hogy a polimerizációs folyamatot ultrahang segítségével katalizátoranyag hozzáadása nélkül is elindíthatjuk. Cass et. al ben poliakril alapú hidrogélt nagy nedvszívó képességű polimert (Ahmed, 2013) gyártott ilyen módon. Az élelmiszerek pasztőrizálásának klasszikus módja a magas hőmérsékletű hőkezelés, amely során a baktériumok és mikrobák elpusztítása a cél (Harvey és Loomis, 1928). Ezt teljesen kiválthatja az ultrahangos kezelés, vagy kombiláható a kettő: ezt termoultraszónikus eljárásnak nevezik. Cameron et. al ben kezeletlen tejben található E. coli baktériumok 100%-át pusztította el egy 10 perces folyamat során, de megállapítja, hogy a folyamat viszonylag energiaigényes. Czank et al. (2010) mesterségesen fertőzött anyatejet sterilizált a kombinált technológia itt minden vizsgált baktériumtörzset nagyobb arányban pusztított el, mint a közönséges pasztőrizálás. Ugyanez a hatás szennyvíz kezelésében is alkalmazható, vegyi anyag hozzáadása nélkül, illetve annak csökkentése mellett pusztíthatók el az emberre veszélyes mikrobák. Mahvi (2009) foglalta össze az ezzel kapcsolatos eredményeket. A mikrobák sejtmembránja meggyengül a nagy nyomásingadozás fárasztó hatása miatt, valamint azért is, mert a vízben az összeroppanásokkor szabadgyökök (OH, OOH) keletkeznek, amelyek reakcióba lépve a sejtfallal, roncsolják azokat. A roncsolás nem csak élő szervek pusztítására, hanem fehérjeláncok irányított lebontására is alkalmas. Bystryak et. al. (2015) ultraszónikus technológiával nyert ki 4

17 egész fehérjéket élesztőből és más mikrobákból, amelyek így további élelmiszeripari kutásokra voltak alkalmasak. A gyógyszeriparban és kozmetikai iparban magas az igény nem elegyedő folyadékok emulziójának létrehozására, amire alkalmasak a buborékok összeomlásakor keletkező lökéshullámok. Ennek elméleti alapjait Canselier et. al. (2002) foglalja össze. Freitas et. al ban 0,5 m átmérőjű víz- és olajcseppek emulzióját hozza létre laboratióriumi méretben egy olyan módszerrel, ami az ultrahang sugárzó fém testet nem meríti a folyadékba, így kerülve el a fémmel való szennyezést. Peshkovsky és Bystryak (2014) már ipari skálán hozott létre víz-olaj nanoemulziót saját fejlesztésű sugárzótest segítségével. 2.2 Kavitációs buborékok kísérleti vizsgálata A buborékok a természetben ritkán jelentkeznek magányosan. Legtöbbször bonyolult térbeli szerkezetű csoportokban fordulnak elő, amelyeket a szaknyelv felhőknek, szöveteknek, halmazoknak, rajoknak nevez (Parlitz et. al., 1999). A buborékok közel vannak egymáshoz, képesek összeolvadni nagyobb buborékokká, szétválni, azaz egymással folyamatos kapcsolatban vannak és ez nagyon bonyolult viselkedést eredményez. Ezen rendszerek építőköve a magányos buborék, ennek megértése kulcsfontosságú a rendszerek egészének vizsgálatához. Magányos buborékot előállítani és a vizsgálat idejére egyhelyben tartani megoldott feladat. Vízben tartott gőzbuborékok esetében a leggyakoribb módszer az akusztikus csapda (Strasberg, 1959, Crum, 1980). (a) (b) 2.1. ábra: (a) akusztikus csapdával megfigyelt buborék kísérleti összeállítása, (b) a kísérletben vizsgált buborék mozgásáról készült fotósorozat. (Forrás: Lauterborn és Kurz, 2010, a képeket. Geisler készítette.) 5

18 A vízben a csapda megvalósításához egy álló hangteret kell létrehozni. A legegyszerűbb kísérleti elrendezésben egy vízzel teli átlátszó falú tartály aljára ragasztott egyetlen piezoelektromos sugárzó test hozza létre a teret. A folyadékba ezen felül egy vékony szálat kell helyezni, ami a buborékok generálására szolgál. A 2.1 ábra (a) részén látható egy ilyen módon létrehozott buborék, amely egy fényes kék pontként figyelhető meg. A jelenséget szonolumineszenciának hívják (Gaitan et. al. 1992, Young, 2005), a buborék összeroppanásakor keletkező hatalmas hőmérséklet miatt a buborék közepe fényt sugároz ki. Az akusztikus kavitáció során létrejött és vizsgált buborékok jellemzően a néhány száz mikrométeres átmérőjű tartományba esnek, faluk mozgásának frekvenciája pedig igen nagy. Ezek mozgásának vizsgálatához nagy térbeli és időbeli felbontásra van szükség. A buborékot egy nagy fókusztávolságú mikroszkóphoz kötött kamerával fényképezik. Egy ilyen felvételsorozatot mutat meg az 2.1. (b) ábra. Két szomszédos kép közötti időbeli eltérés 500 ns. A buborék a fényesebb háttér előtt feketének mutatkozik. A felvételen az látszik, ahogy a gerjesztés hatására a buborék először hosszú ideig nagy méretűre nő, majd gyors egymásutánban nagyon kis méretűvé roppan öszsze. A lebegtetett buborék legfontosabb mért jellemzője annak mérete az eltelt idő függvényében. Alakja is lényeges, de kontrollált körülmények között tartott kis méretű buborék esetén jó közelítéssel tekinthetjük azt tökéletes gömb alakúnak. Jól látható a képeken, hogy a buborék végig gömb alakú marad, a falának kontúrja pedig tökéletesen kivehető, és utólagos képfeldolgozással kiszámítható. A kísérleti vizsgálatok képezik a buborékkutatás alapjait. A kísérleti eljárás azonban körülményes, sok esetben költséges is, így jelen dolgozat keretein belül csak numerikus szimulációt végzek, és annak eredményeit vizsgálom. A dolgozat során kitérek az elvégzett szimuláció eredményeinek kísérletekkel történő validására. 2.3 Kaotikus rendszerek feltérképezése A magányos buborék mozgásának meghatározására számos modell létezik, amelyeknek közös tulajdonsága, hogy olyan differenciálegyenlet-rendszerekre vezetnek, amelyek csillapítottak és nemlineárisak. Az ilyen rendszerek összefoglaló neve: nemlineáris vagy kaotikus oszcillátor. Erre a rendszerre külső gerjesztést jelen esetben ultrahangot azaz periodikus nyomásgerjesztést adunk, így alakul ki a buborék mozgása az idő függvényében. A dolgozat során használt Keller Miksis-egyenlet sem kivétel ez alól, amit a 3. fejezetben le fogok vezetni, ám most csak egy tömörebb alakját mutatom meg, hogy néhány alapvető tulajdonságát áttekinthessem. 3 2 d pl, t p t cL 2 cl cl LcL dt L (2.1) 6

19 Az egyenlet a buborék sugarának és a buboréksugár időbeli megváltozásának (más néven buborékfalsebességnek) időbeni alakulását írja le, azaz az tés t függvényt. A változókat csak idő szerint deriváljuk, azaz egy közönséges differenciálegyenletről van szó. t a buboréksugár idő szerinti második deriváltja, emiatt az egyenlet másodrendű. Az egyenletben találhatóak továbbá tisztán az időtől függő tagok, ami miatt az egyenlet gerjesztett, valamint ahogy erre majd később rámutatok a c L hangsebesség jelenléte miatt csillapított is. Végül pedig deriváltak négyzete és egymással való szorzata is megtalálható benne, ezért az egyenlet nemlineáris. A következő részekben végigveszem, milyen fő módszerekkel lehet vizsgálni a kaotikus rendszereket és azon belül is a csillapított és gerjesztett oszcillátorokat ATTAKTOOK A két függvény (vagyis t és t ) által együttesen alkotott görbét trajektóriának vagy megoldásgörbének hívjuk (Tél és Gruiz, 2002). Bár közvetlen kapcsolatban állnak egymással - a buborékfalsebesség pontosan a buboréksugár idő szerinti deriváltja őket külön dimenzióként kell kezelni és így együtt egy kétdimenziós dinamikai rendszert alkotnak. Az összes lehetséges és így egy kétdimenziós térben helyezkedik el, amelynek neve állapottér. A buborék állapotának alakulását egy kétdimenziós grafikonon ábrázolhatjuk, amelyet állapottér-diagramnak hívnak (Lauterborn és Parlitz, 1988). A gerjesztett és csillapított rendszerekre igaz, hogy a megoldásaik általában konvergensek, azaz az állapottérben egy adott ponthoz, vagy görbéhez tartanak, amelyet az idő elteltével végtelenül megközelítenek. Az egyetlen pontot fixpontnak, a zárt görbéket attraktoroknak nevezzük, 2.2. ábrán két ilyet láthatunk. Ha a rendszernek egyetlen stabil attraktora van, bármilyen kezdeti feltételből is indulunk el, a megoldásgörbe kellően sok eltelt idő után rá fog simulni. (a) (b) 2.2. ábra: Két attraktor trajektóriája állapottér-diagramon ábrázolva. Bal oldalt periodikus, jobb oldalt kaotikus megoldás. A kilengések nagy mértékben eltérnek, így két grafikon tengelyfelosztása nem azonos. (forrás: saját számítás) 7

20 Az attraktorokat az alapján lehet kategorizálni, hogy a görbéjük mennyi idő elteltével tér vissza önmagába. Ha ez az idő megegyezik a gerjesztés periódusidejével, egyperiódusú megoldásról szokás beszélni (2.2. (a) ábra), ha a periódusidő kétszeresével, kétperiódusú megoldásról, és így tovább. A legtöbb attraktor beleesik ezekbe a kategóriákba. Az előbbiektől eltérően viselkednek a kaotikus, más néven különös attraktorok (Tél és Gruiz, 2002). Ezek ugyanis nem zárt görbék, soha nem térnek vissza önmagukba, azonban egy jól meghatározható térrészben helyezkednek el (2.2. (b) ábra). A kaotikus attraktorok létezése a kaotikus dinamikai rendszerek egyik legfőbb ismertetőjegye. A buborékok rezgésének vizsgálatakor is számos ilyen attraktort lehet találni. Nincs kizárva, hogy egy rendszernek több attraktorja is legyen. Ilyenkor a kezdeti feltételeken múlik, hogy a megoldásgörbe melyik attraktorhoz fog tartani. A kezdeti feltételeket az attraktorokhoz rendelve egybefüggő területeket kapunk ezek egy attraktor vonzáskörzete. Erre látunk példát a 2.3. ábrán. A területek geometriája szabálytalan, a főként fehér területben vékony fekete csíkok húzódnak. Analitikus módszerekkel a területek alakját nem lehet megkapni, kizárólag számítógépes szimulációval lehet egyenként ellenőrizni őket. A kezdeti feltételre való érzékenység a kaotikus rendszerek másik legfőbb ismertetőjegye. Az attraktorok egy másik csoportosítási lehetősége, hogy stabilak, vagy instabilak. Előbbiekben csak stabil attraktorokról volt szó. Az instabil attraktorok egy tulajdonságban térnek el a stabilaktól: a trajektóriák nem közelítenek hozzájuk, hanem folyamatosan eltávolodnak azoktól. A dinamikai rendszerek feltérképezése során egy tipikus szempont, hogy stabil megoldások hol válnak instabillá, é is megvizsgálom munkám során, az egyperiódusú megoldások stabilitását. / E 2.3. ábra: két együtt létező stabil attraktor vonzáskörzete egy gerjeszett buborék állapottérben. Az egyik attraktor vonzáskörzete a fehér terület, a másiké a fekete. Az attraktorok Poincaré metszete fekete és fehér pontként látszik. A vízszintes tengely az 10m egyensúlyi buboréksugárral van dimenziótlanítva. (forrás: Lauterborn és Kurz, 2010) E 8

21 2.3.2 POINCAÉ METSZET Ha egy, vagy akár több trajektóriát hosszan követünk az időben, és közös állapottérdiagramon ábrázoljuk őket, az zsúfolttá és átláthatatlanná válhat. A görbék bonyolultsága miatt az sem látszik feltétlenül, hogy hány periódusú attraktorról van szó, ugyanis egynél több hurok a pályagörbén nem jelent feltétlenül egynél több periódust. Felmerül az igény, hogy a görbéknek ne az egészét, csak kevesebb, de jellegzetes pontját ábrázoljuk, lehetőleg úgy, hogy eközben ne veszítsünk el lényeges információt. Henri Poincaré javaslata volt, hogy a görbének csak azon pontjait kell ábrázolni, amikor az egyik változó a rendszerben elér egy fix értéket (Lauterborn és Parlitz, 1988). Ezzel egy folytonos trajektória egy ponthalmazzá változik az állapottér-diagramon. Akusztikusan gerjesztett buborékoknál legpraktikusabb, ha a kitüntetett változó az eltelt idő, a fix érték pedig a gerjesztés periódusidejének egész számú többszöröse. Ezt a megjelenítési módot szokás stroboszkópikus leképezésnek is hívni (Tél és Gruiz, 2002). (a) (b) p 1,5 bar A p 1,7 bar A (c) (d) p 1,5 bar p 1,7 bar A A 2.4. ábra: Egy- és kétperiódusú megoldás, időfüggvénye ((a) és(b)) valamint görbéje és az azon képzett Poincaré-metszete ((c) és (d)). A Poincaré-metszeteket az összes ábrán fekete pont jelöli. A nyomásamplitúdó bal oldalt pa 1,5 bar, jobb oldalt pa 1,7 bar. A többi paraméter T 25 C, f 32.3 [khz], 100m és P 1bar, mindkét esetben. E 9

22 A 2.4. ábra mutatja meg a módszer hatékonyságát. A bal oldalon egy egyperiódusú, a jobb oldalon egy kétperiódusú megoldáshoz tartó pályagörbe időbeli függvényét látjuk, alatta a fázistérbeli folytonos görbéjét, és azalatt a Poincaré-metszetét. Látható, hogy a Poincaré-metszeten az attraktorok egy illetve két fixponttá válnak. Ezzel célt értünk: egy adott attraktor egy, vagy adott esetben több, de megszámlálhatóan sok ponttal jellemezhető, és így több attraktor együttes ábrázolása lehetségessé válik BIFUKÁCIÓS DIAGAM ÉS FUTÓ PAAMÉTE A Keller Miksis-egyenletben számos állandó, azaz paraméter található. Ilyen paraméter például gerjesztés nyomásamplitúdója vagy a gerjesztés frekvenciája. Az összes paraméter összes lehetséges értékének halmazát paramétertérnek nevezzük. Ha egy paramétert megváltoztatunk, a paramétertérnek egy másik pontjába jutunk. Bár a differencálegyenlet alakilag hasonló lesz az előzőhöz, valójában onnantól kezdve egy másik egyenletről van szó, amely egészen más alakú megoldásokkal rendelkezik. Ha a paraméterek hatását akarjuk megvizsgálni, praktikus úgy eljárni, hogy majdnem az összes paramétert fixen tartjuk, egy paramétert pedig fokozatosan változatunk. Ez utóbbit nevezzük futó paraméternek. Ha a futó paramétert változtatjuk, az egyenlethez tartozó attraktorok alakja és száma sok esetben azonos marad. Vannak azonban bizonyos értékek, ahol az attraktorok szerkezete drasztikusan megváltozhat, ez a jelenség a bifurkáció. Ilyenkor új attraktorok jelennek meg, régi attraktorok pedig instabillá válnak, vagy teljesen eltűnnek. A bifurkációs pont a futó paraméter azon értéke, ahol ez a jelenség megtörténik. Perióduskettőző bifurkáció Egyperiódusú attraktorok Hiszterézis Kétperiódusú attraktorok 2.5 ábra: gerjesztett buborék bifurkációs diagramja. P() a buboréksugár Poincaré-metszetét jelenti. A fix paraméterek értéke: T 25 C, f 32,3 [khz], 100m és P 1bar (forrás: saját számítás) E 10

23 Bifurkációs diagramnak nevezzük, ha a futó paraméter függvényében ábrázoljuk egy buborékjellemző (például a buboréksugár) Poincaré-metszetét. A 2.5. ábrán egy ilyet láthatunk. Az x tengelyen a futó paraméter a p nyomásamplitúdó, az y tengelyen a buboréksugár Poincaré-metszete látható. A bifurkációs diagram nem folytonos függvény, hanem diszkrét pontokból áll, amelyeket kellően sűrű felosztású futó paraméter mellett folytonosnak láthatunk. A diagram bal oldala felől indulva egyperiódusú attraktorok sorozatát láthatjuk, míg PA 0.48 bar körül egy újabb egyperiódusú attraktor bukkan fel, amelynek Poincaré-metszetéhez egy nagyobb buboréksugár tartozik, majd továbbhaladva PA 0.6 bar-nál a kisebb buboréksugarú megoldás hirtelen eltűnik. Ezt a bifurkáció típus a hiszterézis, más néven nyeregcsomó (angolul: saddle-node) bifurkáció. A diagramon még tovább haladva az egyperiódusú megoldás hirtelen kétperiódusúvá válik. Ezt perióduskettőző bifurkációnak (angolul: period-doubling) hívják. A kétperiódusú megoldás is kettőződhet, amivel négyperiódusúvá válik és így tovább. A perióduskettőződések sorozata elméletileg végtelenül nagy attraktor periódusszámú attraktorhoz vezet, azonban a tapasztalatok alapján egy ponton túl már elveszíti a periodikusságát és kaotikussá válik (Feigenbaum, 1988) FÁZISDIAGAM Megtehetjük, hogy egyszerre egynél több paramétert változtatunk, ennek ábrázolása azonban nem triviális feladat. Ha bifurkációs diagramokat vetítünk egymásra, vagy háromdimenziósan ábrázoljuk, nehezen átlátható grafikonhoz jutunk. Erre született megoldásként a paramétertér-diagram avagy fázisdiagram (Lauterborn és Parlitz, 1988), melyeken a két futó paramétert ábrázoljuk a tengelyeken, és magukat az attraktorokat, hanem a bifurkációs pontjaik összességét, a bifurkációs görbéket rajzoljuk ki. A bifurkációs görbék mutathatnak perióduskettőző bifurkációk vagy nyeregcsomók/hiszterézisek sokaságát. A 2.6. ábra megmutatja egy bifurkációs diagram és fázisdiagram kapcsolatát. Az (a) bifurkációs diagram egy 9,7 khz-en gerjesztett buborék egyperiódusú megoldásait, és bifurkációs pontjait ábrázolja: három perióduskettőződést és két nyeregcsomót. Az első két perióduskettőző bifurkációs pont, valamint a két nyeregcsomó között az egyperiódusú megoldás instabillá válik, erre utal a szaggatott vonal. A (b) fázisdiagram a frekvencia és nyomásamplitúdó függvényében mutatja ugyanazon buborék egyperiódusú megoldásainak perióduskettőző bifurkációs görbéjét. A görbén kívül stabil egyperiódusú attraktorok, a görbe által körbevett területen stabil két- és többperiódusú attraktorok vannak, az egyperiódusú megoldások pedig instabillá válnak. A fázisdiagramon nem minden bifurkációs görbe látszik: körülbelül 0,9 bar felett a nyeregcsomó miatt megjelenik egy új, m maximális buboréksugarú stabil egyperiódusú attraktor. Ezt a stabil megoldáshalmazt és a nyeregcsomó bifurkációs görbéjét az átláthatóság végett nem tüntettem fel. A 11

24 f 9,7 [khz] (a) Nyeregcsomók Stabil attraktorok Instabil attraktorok Perióduskettőző bifurkációk (b) f=9,7 [khz] Stabil egyperiódusú attraktorok Stabil két- és többperiódusú attraktorok 2.6. ábra: (a) vízgőzbuborék egyperiódusú megoldásainak bifurkációs diagramja f 9,7 [khz] gerjesztés mellett. Az x -ek perióduskettőző, a -k nyeregcsomó bifurkációkat jelölnek. (b) Ugyanazon buborék fázisdiagramjának részlete. A folytonos vonal a buborék egyik perióduskettőző bifurkációs görbéje, a többi bifurkációs görbe nincs ábrázolva. A szaggatott vízszintes vonal az (a) ábrán látható bifurkációs görbe helyét mutatja. A fix paraméterek értéke: T 25 C, E 100m és P 1bar (forrás: saját számítás) 12

25 2.3.5 LJAPUNOV-EXPONENS A kaotikus rendszerek érzékenyek a kezdeti feltételekre. Ez azt jelenti, hogy ha két trajektóriát egymáshoz nagyon közeli pontokból indítunk, azok egymástól folyamatosan eltávolodhatnak. Ez a buborékok esetében legtöbbször azt jelenti, hogy két különböző attraktorhoz fognak konvergálni (lásd 2.3. ábra) és emiatt kerülnek egymástól nagyon távol. A kutatás szempontjából érdekesebb, hogy jelentheti azt is, hogy a két trajektória egy kaotikus attraktorhoz tart, amelynek épp az a lényege, hogy bár egy behatárolható térrészben van, de az azt alkotó trajektóriák nem konvergálnak egy meghatározható görbéhez, és így egymáshoz sem. A kutatás során egyperiódusú megoldásokat és azok stabilitását vizsgálom, de a tájékozódásban nagyon sokat segít a kaotikus régiók felismerése. A Ljapunov-exponens annak mércéje, hogy két trajektória konvergál-e egymáshoz. Ez a mérce elsősorban lineáris rendszerekben értelmezhető (Eckmann és uelle, 1985) de Lauterborn és Parlitz (1988) javaslatot tesz annak kiterjesztésére, hogy nemlineáris rendszert is jellemezhessünk vele. Vegyünk egy T t, t (2.2) vizsgált pályagörbét, amelynek a kiindulópontja köré rajzoljuk egy infinitezimálisan kis ri () t sugarú gömbfelületet, amiről végtelen sok újabb, kitérített pályagörbét indítunk. Ha időben előre haladunk a vizsgált és kitérített pályagörbéken, ez a gömb folyamatosan egy ellipszoiddá torzul, amelynek tengelyei ri () t hosszúságúak (ahol a buborék esetében i=1,2, mivel kétdimenziós az állapottér). A folyamatot stilizáltan a 2.7. ábra mutatja. t 0 t 0 Vizsgált pályagörbe kezdőpontja r 0 1 r1 t Kitérített pályagörbék kezdőpontjai 0 r 2 0 t r2 t 2.7. ábra: Ljapunov-exponens szemléltetése. Ekkor a Ljapunov-exponenst a következőképpen definiálhatjuk: 0 1 ri t i lim lim log t ri 00t r i (2.3). 1 és 2 együttesen alkotják a Ljapunov spektrumot, és szokás szerint úgy rendezzük sorba őket, hogy 1 2 legyen. Fontos kitétel, amelyet a r 0 0 határérték garantál, i 13

26 hogy a vizsgált trajektória körüli gömb kezdetben infinitezimálisan kicsi legyen, ebben az esetben ugyanis linearizált, lokális dinamikát tételezhetünk fel. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a Ljapunov-exponens számításához a (2.1) egyenlet linearizált változatát használhatjuk majd. Látható továbbá, hogy a t határérték miatt a Ljapunovexponens a teljes görbén van értelmezve, tehát annak globális jellemzője. Csillapított rendszerekben a trajektóriák egy idő után egy stabil periodikus vagy kaotikus attraktorhoz fognak tartozni, így egy trajektória Ljapunov-exponense az attraktor jellemzésére is alkalmas: ha 1 negatív szám, akkor az attraktor periodikus, és a körülötte levő görbék konvergálnak egymáshoz, távolságuk folyamatosan csökken. Ha pozitív szám, akkor az attraktor kaotikus, és a körülötte levő görbék divergálnak 1 egymástól és kiszámíthatatlan mozgást végeznek. A teljesség kedvéért érdemes tisztázni, hogy a pozitív exponens korlátlanul távolodó trajektóriákat is jelenthet, de az általam vizsgált paramétertérben a buborék sugara soha nem fog korlátlanul növekedni, mivel kellően nagy a környezeti nyomás (Hegedűs, 2014). 2 olyan további, részletesebb információkat szolgáltat az attraktorról, amire most nincs szükség. A gyakorlatban tehát 1 értékére vagyunk kíváncsiak. Ennek kiszámításához elégséges, ha egyetlen, a vizsgált 0 trajektória mellől indított másik trajektória mozgását követjük, amit a,,, T T T 1 1 t 1 t 0 t 0 t t t (2.4) függvénnyel írhatunk le. Ekkor ugyanis a 2.7. ábrán is bemutatott ellipszoid főtengelyét a 2 2 t t t (2.5) kifejezés adja meg, ezt a (2.3) egyenletbe behelyettesítve: 0 1 t 1 lim lim log. (2.6) t 00t CSAVAÁSI SZÁM A szimuláció során kiszámítom az egyes attraktorokhoz tartozó általános csavarási számot (generalized winding number). A csavarási szám a Ljapunov-exponenshez hasonlóan globális jellemzője egy trajektóriának, amelyet Poincaré vezetett be (Lauterborn és Parlitz, 1988) eredetileg olyan speciális dinamikus rendszerekben, amelyek megoldásai kváziperiodikusak, azaz szabályos, ciklikus mozgást végeznek és a megoldásgörbéjük parametrizálható időtől függő szögekkel. Ezek felhasználásával definiálható a csavarási szám: 1 t t és 2 t t t w lim (2.7)

27 Amennyiben ez a szám racionális, a megoldást rezonánsnak nevezzük (Henon, 1983). Buborékok dinamikája esetén a megoldások nem ennyire szabályosak, így ezt a definíciót ki kell terjeszteni. Parlitz és Lauterborn (1986) tesz erre ajánlást, amelyet én is alkalmazni fogok. Tekintsük újra a Ljapunov-exponensnél bevezetett megoldásgörbéket, 0 -t és 1-t. Most azonban nem a távolságuk érdekes, hanem azt nézzük, hogy a vizsgált trajektória körül a másik valamilyen szabályos vagy szabálytalan csavarvonalú mozgást végez. A csavarvonal szögének alakulása az időben számítható az t t arctg t (2.8) inverz szögfüggvénnyel. A közelség miatt ismét lineáris dinamikával számolhatunk. Tekintsük ennek a szögnek az alakulását végtelen idő eltelte után, ezzel definiálhatjuk a torziós frekvenciát: t lim (2.9) t t Ezt felhasználva pedig kifejezhető az általános csavarási szám w, (2.10) ahol a gerjesztési körfrekvencia. Az általános csavarási szám is lehet racionális, ilyenkor a lineáris rendszerekkel analóg módon rezonáns megoldásról beszélünk. A racionális csavarási szám jellemzően bifurkációs pontoknál jelentkezik, ahogy ezt az eredményeknél is látni fogjuk. Egy másik, talán képiesebb lehetőség a csavarási szám definiálására, ha a n w (2.11) m képletet használjuk, ahol m a megoldás periódusszáma, n pedig a torziós szám, ami megmutatja, hogy m periódus alatt hányszor kerüli teljesen körbe a kitérített megoldás a vizsgáltat. A 2.8. ábrán Hegedűs (2012) illusztrálja ilyen módon a csavarási számot. A vizsgált megoldás kétperiódusú, a kitérített megoldás összesen háromszor csavarodik körbe körülötte ez alatt, így a csavarási szám w 3/ 2. 15

28 2.8. ábra: a csavarási szám jelentésének illusztrációja három dimenzióban. Fekete és piros görbe rendre a vizsgált és az attól kissé kitérítétt megoldás. A tengelyen az y 1 / E dimenziótlan buboréksugár, y2 2 / E dimenziótlan buborékfalsebesség és T t/ 2 dimenziótlan idő szerepel. (forrás: Hegedűs, 2012) 2.4 A buborékmozgás numerikus szimulációjának lehetőségei Az előző fejezetben nem tértem ki arra a problémára, hogy a differencálegyenletek megoldása egyáltalán nem triviális feladat. Elenyészően kevésnek ismerjük az analitikus megoldását, a többit ahogy a Keller Miksis-egyenletet is - numerikus módszerekkel kell közelíteni. Az egyenlet megoldása tehát kulcskérdés, és erre számos módszer létezik, amelyek közül kettőt fogok alkalmazni a dolgozat során. Az első, amikor a differenciálegyenletet kezdetiérték-feladatként (Initial Value Problem IVP) írjuk fel, a másik amikor peremérték-feladatként (Boundary Value Problem BVP). Alábbiakban tömören összefoglalom a két módszer általam alkalmazott változatait, rámutatok előnyeikre és hátrányaikra. Látni fogjuk, hogy a módszerek más-más feladatokban jeleskednek a dolgozat célja, az egyperiódusú megoldások feltérképezése szempontjából, ezért a velük kapott eredményeket együtt fogom értékelni KEZDETIÉTÉK-FELADAT MEGOLDÁSA DIEKT MÓDSZEEL Kezdetiérték-feladat az, amikor egy közönséges differenciálegyenlet megoldásának első, t 0-ban levő pontját megadjuk, majd diszkrét lépésenként előre haladva közelítjük sorban a megoldásgörbe pontjait. A kezdetiérték-megoldó programot MATLAB környezetben írtam meg, mivel abba be vannak építve kezdetiérték-megoldó algoritmusok. A programról részletesen a 4. fejezetben írok. A kezdetiérték-megoldó program előnye, hogy segítségével kiszámítható a Ljapunov-exponens, a csavarási szám, valamint hogy adott paraméterkombináció mellett több megoldást is találhatunk, mivel tetszőlegesen sok kezdeti feltételt indíthatunk, amelyek különböző megoldásokra vezetnek. 16

29 A program hátránya, hogy csak stabil megoldások keresésére alkalmas, mivel időben előre léptetve oldja meg az egyenletet. Elméletileg ugyan lehetséges időben hátrafelé integrálással instabil megoldásokat is találni vele, de ahogy arra Hegedűs (2012) rámutat, ez a gyakorlatban nincs mindig így, ezért az instabil megoldások hatékony feltérképezése lehetetlen. További hátrány, hogy a bifurkációs pontok keresése is nehézkes vele, és emiatt a bifurkációs görbék egyes pontjait viszonylag erőforrás-igényesen számítja ki. Ebből fakad, hogy a két paraméter mentén való feltérképezés különösen körülményes PEEMÉTÉK-FELADAT MEGOLDÁSA KÖZELÍTŐ FÜGGVÉNNYEL A peremérték-feladatnál kikötjük, hogy a megoldás periodikus és a két végén azonos értéket vesz fel, közötte pedig valamilyen, a megoldást közelítő függvény írható fel, amely közvetlenül adja meg a megoldást. Jelen kutatás során az AUTO nevű programot használom lásd: Doedel et al. (1997). Az AUTO pszeudo-ívhossz paraméterkövetési módszert alkalmaz, amivel egy futó paraméter mentén képes végigkövetni egy periodikus attraktor alakulását. A program jellegzetessége, hogy csak autonóm differenciálegyenlet rendszereket képes megoldani, azaz olyanokat, amelyek nem függenek explicit módon az időtől. Mivel a Keller-Miksis ilyen egyenlet, módosítani kell azt egy kiegészítő egyenletrendszerrel, amelyet a 3.5. fejezetben mutatok be. Az AUTO megoldójának előnye, hogy érzéketlen a megoldás stabilitására, így feltérképezhetők vele az instabil periodikus megoldások is. Ezzel a bifurkációs pontok keresése is egyszerűbb, mivel azok egyszerűen a stabilitás váltások helyén találhatók meg. További előny, hogy az AUTO képes bifurkációs pontok keresésére akár két paraméter változtatása mellett is, így fázisdiagramok készíthetők vele. Hátránya, hogy mivel periodikusságot feltételez, nem lehet vele kaotikus megoldásokat keresni. További probléma, hogy nem tud Poincaré-metszetet előállítani, csak a pályagörbék maximumait, emiatt kevésbé szemléletes bifurkációs görbéket ad, mint a kezdetiérték-megoldót használó MATLAB program. Végső hátrány, hogy az AUTOban nem számítható a Ljapunov-exponens és a csavarási szám. 17

30 3 A BUBOÉKMODELL EGYENLETÉNEK LEVEZETÉSE A dolgozat során numerikus szimulációt végzek. Ahhoz, hogy egy buborék mozgását számítógépesen szimuláljuk, szükség van annak mozgásegyenletére. Jelen dolgozat során a Keller Miksis-egyenlet egyik változatát használom. Ebben a fejezetben részletesen levezetem és bemutatom a használt egyenletet, kezdve annak elődjétől, a ayleigh Plesset-egyenlettől. 3.1 A ayleigh Plesset-egyenlet A kavitációs buborékok egyik első modell egyenletét Lord ayleigh (1917) dolgozta ki, aki egy végtelen, homogén, összenyomhatatlan folyadéktérben hirtelen megjelenő gömb alakú üregként tekintett a kavitációra és az üregben levő nyomás alakulását vizsgálta. Egyenletét később Plesset (1949) dolgozta át, aki kísérletekkel is alátámasztotta számítását. Az egyenlet megértéséhez Brennen (1995) mutatott be egy olyan levezetést, amely alapszintű áramlástani ismeretek mellett is követhető, ezen levezetés lépéseit követem nagy vonalakban. Buborék belseje pb t B t T t B t Folyadék vr Buborék határfelülete r, t T r, t p r, t L rt, L rt, Buboréktól távol T p r, t r, t rt, 3.1. ábra: a ayleigh-féle modell alapfeltevései A modell gőzbuborék tökéletes gömb alakú, középpontja az origóban van és egy végtelen folyadéktérben helyezkedik el. A buborék tökéletes gömb alakja általában nem helyes feltételezés kavitációs összeroppanások esetén, de a gömb alakot stabilizálja a kis méret és az akusztikus gerjesztés (Brennen, 1995). A buborék belsejében és azon kívül is homogén, kontinuum anyag található. A buborék középpontjától vett távolság r, a buborék falának középponttól vett távolsága t. A következő fizikai r jellemzőket ismerjük:t a buborékfaltól távoli hőmérséklet, p t a buborékfaltól távoli nyomás, L a folyadék sűrűsége, L a folyadék viszkozitása, T r, t a folyadéktér hőmérséklete a buborék közelében, p r, t a folyadéktér nyomása a buborék közelében, v r, t a folyadéktér radiális sebessége a buborék közelében, T t a buborékban található hőmérséklet, a buborékban található sűrűség. p t a buborékban található nyomás és t B B B 18

31 A fenti jellemzők közül állandónak tekintjük azokat, amelyek nem függenek az idő- t, homogénnek pedig azokat, amelyek nem függenek a buborék közepétől szá- től mított sugártól r. A térben változó jellemzők pedig mind gömbszimmetrikus eloszlásúak, azaz nem függenek a szögektől,. A buborékra felírható megmaradási tételek a tömegmegmaradás és az impulzusmegmaradás. A gömbszimmetria ezekre is igaz. Írjuk fel a buborék falára vonatkozó tömegmegmaradást. A buborék sugarú gömbfalán keresztül anyag áramolhat át, ami egy tetszőleges r sugarú gömbfelszínen való folyadék átáramlásával egyenlő. Ha a sűrűséget állandónak tekintjük, az egyenlet a következő: v, t 4 v r, t 4r. (3.1) r 2 2 r A sűrűségek azonban nem azonosak a gőz és a folyadék esetén, így tennünk kell néhány kikötést. A buborékfal mérete kondenzáció és párolgás miatt változik, azaz a 2 buborék térfogatának 4 megváltozása azonos a gőzképződés térfogatáramával. A gőz sűrűsége ( T ), ennek ismeretében a gőzképződés tömegárama, az egyenlet bal oldala így v B 2 v 4 v( B ) m T. A folyadék tömegáramát pedig r helyen érdemes tekinteni, ahol felírható a falhoz képesti relatív sebesség, v, t v, t együtt felírható a tömegáramok azonossága: Innen kifejezhető a radiális sebesség, v( TB ) 4 vr, t L 19. Ezzel. (3.2) v( T ) B vr, t 1. (3.3) L Mivel a gőz v( TB) sűrűsége általában lényegesen kisebb a L folyadék sűrűségénél, v( TB) 1 1 L, azaz, v t. Ezt visszaírva az (3.3) egyenletbe r 2 vr, t. (3.4) 2 r Folyadékokra nézve az impulzusmegmaradási tétel a Navier-Stokes egyenlet (Lajos, 2004). Ennek jelen esetben a gömbi koordinátarendszerben felírt változatára van szükség. Az egyenletben mindhárom gömbi koordináta szerinti deriváltak szerepelnek, azonban a buborék modelljében gömbszimmetria van feltételezve, így a szögek szerinti deriváltak kiesnek. Ezzel az egyenlet jelentősen leegyszerűsített alakját kapjuk: vr vr p L 1 2 L vr 2 r rr. (3.5) t r r r r r r

32 A rr és a folyadékban jelentkező feszültségtenzor főátlójának komponensei, (Lajos, 2004). Ezek kifejezhetőek a folyadéktér torzulásából, és azzal összefüggésben közvetlenül a folyadéktér sebességéből és a folyadék viszkozitásából: vr vr 1 vr rr L 2 2 rvr L 3 r 2 r r r 2 r vr vr 3 vr L 2 2 rvr L r 2 r r r 2 r (3.6) (3.7) A feszültségek ismeretében a (3.5) egyenlet átírható a 2 vr vr pl vr 1 vr 1 vr L v r L 2 2 t r r r r r 2 r (3.8) alakba, ahol v, r t ismeretében annak deriváltjai kifejezhetőek: vr 2 vr vr 2, 2, t r r r r r r. (3.9) Ezeket a deriváltakat behelyettesítve kapjuk az p L L L r r r r r r r r (3.10) egyenletet, melynek jobb oldalán a zárójelben levő tagok kiejtik egymást. Összegezzük a (3.10) egyenlet mindkét oldalát a teljes folyadéktérre, azaz integráljuk -től - ig, ezután osszuk el -lel: L, pl t p t r r 4r L (3.11) Így jutunk el a ayleigh Plesset-egyenlet általános formájához: A Keller Miksis-egyenlet 2 L, p t p t (3.12) A ayleigh Plesset-egyenlet nem veszi figyelembe, hogy a folyadék valójában nem összenyomhatatlan. Mivel a buborék rezgése során a falsebesség hatalmasra nőhet, a folyadék kompresszibilitása nem hanyagolható el, és szükség van a folyadékbeli c L hangsebesség hatásának modellezésére. Több javaslat született korrekciós tényezők L 20

33 bevezetésére (Herring, 1941, Schneider, 1949, Gilmore, 1952). Később Keller és Miksis (1980) javasolta a (3.12) egyenlet teljes körű módosítását: 3 2 d pl, t p t 3cL 2 cl cll LcL dt (3.13) Ennek a levezetése hosszadalmas, így erre nem fogok sort keríteni. Vegyük észre azonban, hogy ha összenyomhatatlan közeget és ezzel együtt cl -t feltételezünk, visszakapjuk a ayleigh Plesset-egyenletet. Ez az egyenlet még nem alkalmas számításra, szükség van pl t és p t nyomások kifejezésére és az anyagjellemzők meghatározására NYOMÁS A BUBOÉK FALÁN A buborék falán erőegyensúly van, a belső nyomás tart ellen a külső folyadék nyomásnak, a feszültségtenzor radiális tagjának és a felületi feszültségből származó nyomásnak: 2 pb t pl rr, t. (3.14) A (3.6) egyenletet felhasználva felírható a feszültségtenzor radiális eleme, 2 2 vr 1 vr 3 1 rr, t L 3 L L 2 r r 2 r r r (3.15) A p, L t folyadéknyomás így kifejezhető: 2 pl pb t 4L (3.16) A belső nyomás meghatározásához definiálni kell a buborékban található gőz viselkedését. Ennek a közegnek nem kell feltétlenül tisztán gőznek lennie, hanem feltételezhetünk valamilyen ideális gáz és gőz elegyét (Brennen, 1995). A buborék belső nyo- p t p t p t p t pedig a gázkeverék parciális mása így, ahol p t a gőz, B V G V nyomása. Tételezzük fel, hogy a gőznyomás kizárólag a T környezeti hőmérséklet függvénye, a gáz pedig a mozgás során politropikus állapotváltozáson megy keresztül: G G p p 3n 0 G0, (3.17) ahol pg 0 a referencianyomás, 0 a referencia buboréksugár, n a politropikus kitevő. p, t a következőképpen fejezhető ki: A fenti megfontolásokkal L 21

34 3n 0 2 pl pv T pg 0 4L. (3.18) A p G0 és 0 referencia értékek elméletileg szabadon megválaszthatók, azonban érdemes törekedni arra, hogy a buborékra természetes módon is jellemző értékek legyenek. Ehhez tekintsük a buborékot nyugalmi helyzetben és keressük annak egyensúlyi sugarát. Ha politropikus gázt tartalmaz, akkor ez a sugár nem lesz zérus, és a nyugalmi helyzet ki kell, hogy elégítse a (3.13) egyenletet. Helyettesítünk az egyenletbe a E, 0, 0 és pt P állandókat, melyekkel a következő algebrai egyenletet kapjuk: E 3n pv T pg0 P L E E. (3.19) Válasszuk az 0 referencia sugárnak E -t, és rendezzük az egyenletet, így megkapjuk a referencia gáznyomást: 2 pg0 pv P. (3.20) E NYOMÁS GEJESZTÉS A folyadéktér nyomása tartalmazza az akusztikus gerjesztést. A gerjesztés lehet tranziens (pl. dirac-delta, egység-ugrás-függvény) vagy periodikus függvények tetszőleges lineáris kombinációja. A kutatás során minden esetben tisztán harmonikus nyomásgerjesztést használok, azaz sin p t P p t, (3.21) ahol P a környezeti állandó nyomás, p A a nyomás amplitúdója, a gerjesztés körfrekvenciája. A buborékhoz tartozik Brennen (1995) szerint egy csillapítatlan sajátkörfrekvencia, A 3n P p 2 3n 1 E, (3.22) V 2 3 LE LE amelynek segítségével és a relatív körfrekvencia bevezetésével a körfrekvencia az alábbi egyenlettel fejezhető ki: (3.23) E 22

35 3.2.3 ANYAGJELLEMZŐK ÉS PAAMÉTEEK ÖSSZEFOGLALÁSA A (3.13) egyenletben már csak az anyagjellemzők hiányoznak. A közeg jelen kutatás során víz és vízgőz, amelyeknek anyagjellemzőit a Haar-Gallagher-Kell (Haar et. al., 1984) állapotegyenlet alapján határoztam meg. Az állapotegyenletben szükséges bemeneti paraméterek a P környezeti nyomás és T környezeti hőmérséklet, amelyek a szimulációk során állandók lesznek. Ezek segítségével számíthatók a buborékon kívüli folyadék jellemzői: f T,P, A folyadék sűrűsége, L a víz és vízgőz közötti felületi feszültség, f T a folyadék dinamikai viszkozitása, L f T,P, a folyadékbeli hangsebesség,,p, és a gőz jellemzői: a telített gőznyomás, p V f T. cl f T, Összefoglalásként elmondható, hogy Hegedűs (2014) szerint a Keller Miksisegyenlet összes paramétere meghatározható 5 fő paraméter alapján, amelyek a P környezeti nyomás, T környezeti hőmérséklet, E egyensúlyi buboréksugár, pa gerjesztési nyomásamplitúdó, és gerjesztési relatív körfrekvencia. 3.3 A Keller Miksis-egyenlet kísérleti validációja A dolgozat során numerikus szimulációval oldom meg a Keller Miksis-egyenletet. Ahhoz, hogy az eredmények hitelesek legyenek, a modellt kísérlettel kell validálni. Ezt Kröninger (2008) végezte el gőz és gáz elegyet tartalmazó buborék szabad lengésénél, azaz p t 0 gerjesztés mellett. A 3.2. ábra mutatja az eredményeit: a nagyjából 750 mkezdeti sugarú buborék 180 s idő elteltével kétszer roppan össze, és mint látszik, a kísérleti eredmények pontjai igen pontosan követik a modell alapján számított görbét. 3.2 ábra: Vízben kialakult gőzbuborék sugarának időbeli alakulása kísérlet és szimuláció alapján. Körök jelzik a kísérlet során mért pontokat és folytonos vonal a Keller Miksis-egyenlet segítségével számított függvényt. (forrás: Kröninger, 2008) 23

36 Hasonló kísérletet végzett Hegedűs et. al. (2013), aki glicerinben lézerrel előállított kavitációs buborékok szabadlengéseit vizsgálta. A mérés eredményeit a ayleigh Plesset-egyenlettel és a Keller Miksis-egyenlettel is összevetette. Arra jutott, hogy a vizsgált tartományon a kompresszibilitás hatása nem hanyagolható el, a ayleigh Plesset-egyenlet lényegesen nagyobb hibát mutatott, mint a Keller Miksis modell. Mérési és számítási eredményeit a 3.3. ábra foglalja össze ábra: glicerinben lézerrel előállított kavitációs buborék szabadlengéseinek mérési eredményei (fekete pontsorozat) összevetve a ayleigh Plesset és Keller Miksis modell által előrejelzett mozgásával (kék és piros vonal). Az utóbbi lényegesen kisebb eltérést mutat a kísérlethez képest. 24

37 3.4 A Keller Miksis-egyenlet számításhoz használt alakja A fenti megfontolásokkal együtt elvégezhető a (3.13) egyenlet jobb oldalának végén található időbeli derivált, amelynek tagjait egyenként deriválhatjuk: 2 dpl dpg 2 4 L dt dt (3.24) amelyben 3n 0 3npG0 3 dp G np G dt, (3.25) továbbá dp pa cost dt. (3.26) Ezeket (3.13)-ba helyettesítve kaphatjuk meg a Keller Miksis-egyenlet végső alakját: cL 2 cl pv T pv P L cl E L P pasin t L c L 2 2 3npG 4 L pa cos t. LcL 3n (3.27) DIMENZIÓTLAN EGYENLETENDSZE A (3.27) egy közönséges, másodrendű, nemlineáris és időfüggő differencálegyenlet. Nincs analitikus megoldása, kizárólag numerikus közelítő módszerekkel oldható meg. Számos diszkretizációs módszer létezik közönséges differencálegyenletekhez, azonban a legtöbb csak elsőrendű egyenleteket vagy egyenletrendszereket tud kezelni. A Keller Miksis-egyenlet átírható ilyen alakba, amennyiben elvégezzük a rajta a Cauchy-transzformációt: X1 X 2, (3.28) 25

38 Az egyenlet és eredmények kezelését lényegesen megkönnyíti, ha az egyenlet dimenziótlan alakját állítjuk elő. A dimenziótlanítás során pedig érdemes törekedni arra, hogy minél kevesebb konstans paraméter szerepeljen a végső egyenletben. A dimenziótlanításhoz definiáljunk az egyensúlyi buboréksugarat referenciaértéknek, valamint egy 2 / nagyságú referenciaidőt. A dimenziótlan idő ezzel a dimenziótlan buboréksugár E t t, (3.29) 2 2 x 1 X 1, (3.30) E a dimenziótlan buborékfalsebesség pedig (3.29) és (3.30) felhasználásával x X 1 d dx dx 2 2 X. (3.31) d dt E dt 2 1 E E Az elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer a dimenziótlan mennyiségekkel felírva: dx dx 1 d 2 x (3.32) N x, x, D x, x d Ahol a N és D függvények a következők:. (3.33) 1 2 3C x2 x x N C x C C x C C x x x x 1 sin 2 sin 2 cos 2 2 C7 C8 C2 C5 C9 x1 x1 (3.34) 1 D 1 x C C. (3.35) x1 Az itt szereplő 12 dimenziótlan konstans képlete: 26

39 p p P C C C C B ref V 2 4 L 1 A 2 A 3 A 4 A pref pref E pref 2 pref p p P C C n C C B pa ref V pa A A 7 A 8 A pref ref ref ref p p 4 C C C C n A A L 9 B 9 B ref ref ref (3.36) az ezekben szereplő egyszerűsített kifejezések pedig 2 A 2 B 2 ref L E ref V ref LL E 2 E p p p p c A B ref ref ref ref (3.37) LINEAIZÁLT EGYENLETENDSZE A Ljapunov-exponens és csavarási szám előállításához be kell vezetnünk egy linearizált segéd-egyenletrendszert, amely leírja a x x, x 1 2 pályagörbéjű megoldáshoz infinitezimálisan közel levő y x x ' megoldás pályagörbéjét. Az T 1 2 x ' x ', x ' függvényt leíró differenciálegyenlet rendszer az (3.32) és (3.33) egyenletekből álló rendszer linearizásából számítható. dx ' 1 f1 f1 d x1 x 2 x ' 1 dx ' f f x ', (3.38) d x1 x2 T ahol f f 1 2 dx d 1 (3.39) dx d 2 (3.40) A fenti mátrixban szereplő deriváltakat elő lehet állítani (3.39) és (3.40) egyenletek segítségével: f x 1 1 0, (3.41) f x 1 2 1, (3.42) 27

40 f2 1 N D D N g 2 1, x1 D x1 x1 (3.43) f2 1 N D D N g 2 2, x2 D x2 x2 (3.44) melyeket behelyettesítve (3.38)-be és a szorzást kibontva dx ' dx ' x ' 1 2 d, (3.45) g x ' g x ' d, (3.46) adódik. A (3.43) és (3.44) egyenletben szereplő deriváltak kifejtve: 3C x2 1 x2 1 3C12 C1 x2c6 C N x x x x 1 1 x x x x 2 2C3 x2c4 C2 C5 sin 2 C7 C8 sin D C x x1 (3.47) (3.48) 3C x2 x2 1 1 C6 C 2 4 C7 C x1 1 N 3 3 sin 2 x x x x x (3.49) D x 2 C 10 (3.50) Transzformáljuk x ' és 1 x ' 2 változót polárkoordinátákba: x' 1 x' 2 r cos, (3.51) r sin. (3.52) A transzformációs egyenleteket deriváljuk szerint, figyelembe véve, hogy mindegyik változó függ -tól: dx ' dr 1 cos r sin d, (3.53) d d d dx ' dr 2 sin r cos d, (3.54) d d d 28

41 majd ezek bal oldalára helyettesítsük be az (3.45) és (3.46) egyenlet jobb oldalát: dr d x' 2 cos rsin d d (3.55) dr d g1x ' 1 g2x ' 2 sin r cos d d. (3.56) A kapott egyenletekbe pedig helyettesítsük be a (3.51) és (3.52) transzformációs egyenleteket: dr d rsin cos rsin d d, (3.57) dr d g1r cos g2r sin sin r cos d d. (3.58) A kapott egyenletrendszert rendezzük dr / d -ra és d / d -ra. Ennek pontos levezetése hosszadalmas, ezért a lépéseitől most eltekintek. A rendezés után nevezzük át a polár változóinkat r x3 -ra és x4 -re, ezzel kapjuk meg a végső egyenleteket: dx dx 2 1 sin cos sin 3 x3 g1 x4 x4 g2 x4 d (3.59) 4 sin 2 x 2 4 g1 cos x4 g2 sin x4 cos x4 d (3.60) (3.32) és (3.33), valamint (3.59) és (3.60) együtt egy négy egyenletből álló közönséges differenciálegyenlet-rendszert alkot, amely numerikus számításra alkalmas az állandó paraméterek ismeretében. A MATLAB-ban írt program ezt az egyenletrendszert oldja meg. Figyeljük meg, hogy a nemlineáris egyenletet leíró x1 és x2 alakulása nem függ a linearizált egyenleteket leíró x 3 és x4értékétől, míg az utóbbi kettő g1-en és g2 -n keresztül az összes változótól függ. A linearizált rendszer tehát elcsatoltan működik az eredetitől. A linearizált egyenletrenszer változói segítségével definiálhatjuk a Ljapunov-exponenst a (2.6) egyenlet alapján, amelyben x3 0 határértéket már nem kell garantálni (mivel az a linearitást biztosította, ami most mindig érvényes): 1 x lim log x 3 Hasonlóan a (2.9) egyenlet alapján a torziós frekvencia:. (3.61) lim x 4, (3.62) 29

42 amellyel a csavarási szám ahol 2 a dimenziótlan gerjesztési körfrekvencia. w 2, (3.63) 3.5 A peremérték-megoldóhoz használt egyenletrendszer Ahogy azt korábban említettem, a peremérték-megoldót használó AUTO szoftver nem tud kezelni időfüggő differencálegyenlet-rendszereket. Ez probléma, ugyanis az (3.34) egyenlet explicit módon függ az időtől. A megoldás, hogy az időfüggő tagot egy autonóm differenciálegyenlet-rendszer megoldásaként kell bevezetni, amire Doedel 1 et. al (1997) tesz ajánlást. Vezessük be y és következő rendszert: dy d y2 változókat, és írjuk fel velük a y1 2 y2 y1 y1 y2, (3.64) dy d amely differencálegyenlet-rendszer megoldása y2 2 y1 y2 y1 y2, (3.65) Helyettesítsük be a (3.34) egyenletbe (3.67) jobb oldalát: y1 cos 2, (3.66) y2 sin 2. (3.67) 3C x2 1 x2 1 3C12 C1 x2c6 C N x x x x 1 1 x2 2C x C C C y C x x x C y (3.68) Ezzel a kiegészítéssel egy autonóm, négydimenziós egyenletrendszert kaptunk, melyet már képes az AUTO kezelni. 30

43 4 A KEZDETIÉTÉK-FELADAT MEGOLDÓ POGAM (MATLAB) LEÍÁSA A kezdetiérték-megoldó program a Hidrodinamikai endszerek tanszék kutatói által fejlesztett MATLAB kód általam továbbfejlesztett változata. A program alapja a Dr. Hegedűs Ferenc, Klapcsik Kálmán és Varga oxána által írt BruteForce_1D_v5p1.m elnevezésű program. A fejlesztésnek két célja volt: az első, hogy a korábbi verziókhoz képest új képességeket adjak a programnak, a másik pedig az volt, hogy elkészítsem az új programnak egy olyan részletes dokumentációját, amelynek segítségével egy érdeklődő kutató könnyebben elsajátíthatja a program használatát. A fejezet nagy részét ez a dokumentáció adja ki. Az általam fejlesztett kód neve BruteForce_1D_v6p0p12.m. A programot a CD mellékletben lehet megtalálni összes alfüggvényével és teljes mapparendszerével. A programot MATLAB-ban kell megnyitni, majd akár rögtön futtatni is lehet, mivel a bemeneti változói egy rövid példaszámításra vannak beállítva. 4.1 A programfejlesztés célkitűzései A program célja, hogy egy futó paraméter diszkrét értékei mentén minél több stabil megoldást találjon kezdetiérték-megoldó használatával. A programnak el kell tudnia dönteni, hogy egy megoldás kaotikus-e vagy periodikus, ha utóbbi akkor hány periódusú, ki kell számítania annak Ljapunov-exponensét és csavarási számát. A kapott eredményeket átlátható és követhető módon kell tárolni. Az előző verzióhoz képest a következőket kell tudnia a programnak: a csavarási számot a korábbi verzióhoz képest új, polárkoordinátás egyenletekkel számítsa ki, a számításokat hatékonyabban ütemezze, kezelje a váratlan katasztrofális leállást, amit pl. áramszünet okozhat. A program működésének magyarázata közben gyakran fogok használni két fogalmat, aminek a jelentését tisztáznom kell. Feladatnak nevezem azt, amikor a programnak megadunk egy pontot a paramétertérben és hozzá egy kezdeti feltételt az állapottérben, majd ezekből ki kell számítani egy pályagörbét és annak összes lényeges tulajdonságát. Iterációnak nevezem azt, amikor egy feladaton belül a pályagörbének csak egy, a gerjesztés periódusidejének megfelelő időtartamú szakaszát számolja ki a program, tehát k, k 1, k, ezután pedig a pályagörbe végpontjait elmenti, és kiértékeli. ahol 31

44 4.2 A program működése A program négy fő részből áll, amelyek a Felhasználói felület (User Inputs), Fájlnévkészítő függvény (FileNameFromParameters), Feladatkészítő modul (DefinitionGenerator), Szimulációs modul (ComputeFullProblem). Mindegyik önmagában értelmes egységet képez és a programkódon belül található, azonban a modulok meghívnak külső függvényeket is, amelyek a program gyökérmappáján belül a /private mappában vannak. A fő részek kapcsolatának áttekintése a 4.1. ábrán látható. A felhasználói felületen felhasználó az input (azaz bemeneti) változókat tudja megadni. Ez röviden összefoglalva a Parameters struktúra, amiben a Keller Miksisegyenlet öt fő paramétere található, valamint az OperationParamteres struktúra. A fájlnév készítő függvény a megadott paraméterek alapján összeállítja a kimeneti fájlok nevét. Felhasználói felület Modulok kapcsolata Bemeneti változók Paraméterek Paraméterek, feladatkészítő utasítások Futtatási változók Fájlnévkészítő függvény Feladatkészítő modul Teljes feladat Szimulációs modul Feladat fájlok Eredmények Adattároló mappa 4.1. ábra: program moduljainak egymással való kapcsolata 32

45 A feladatkészítő modul egy függvény, de meghív alfüggvényeket, ezért modulnak nevezem. Ez a Parameters struktúra elemeit és az OperationParameters struktúra azon elemeit használja fel, amelyek kifejezetten a feladatok listájának készítéséhez kellenek: a futó paraméter értékeinek listáját és a kezdetiértékek megadási módját. egy része alapján generál két szövegfájlt (*.def, *.log), amelyeket együttesen feladatfájloknak nevezek, mivel tartalmazzák a teljes elvégzendő feladatot. Ezeket az adattárolásra szolgáló Dataepository/BruteForce mappába menti el. A kiírt fájlokat csak biztonsági mentésként és a reprodukálhatóság miatt készíti el, azokat rögtön be is olvassa a AMba és tovább küldi a szimulációs modulnak. A szimulációs modul a feladatokat egyenként végzi el, illetve utasítható több feladat párhuzamos elvégzésére is. Egy feladat sikeres lefuttatása után összegyűjti annak eredményeit, és kiírja az eredményfájl (*.txt) utolsó sorába azaz az összes kapott eredményt egy fájlba menti el. Ezután rögtön beolvassa a soron következő feladatot, és ezt azok elfogyásáig megismétli. A következő három fejezetrészben először a felhasználói felület használatát magyarázom el, majd a három fő modul működését külön-külön A FELHASZNÁLÓI FELÜLET Ha megnyitjuk programkódot, akkor annak első szekciójában, az 1. USE IN- PUTS részben a felhasználónak kell megadnia a számításhoz szükséges változókat. Azokat a számokat és szövegeket, amiket konkrétan a programkódba kell írni, eltérő betűtípussal szerepelnek a szövegben, és számok tizedesjegyét a MATLAB szintaktikájának megfelelően. -tal jelölöm Parameters A program a Parameters struktúrában összesen 7 adatot tárol el. Ezek a futtatás legfontosabb változói, a program ezeket az értékeket fogja felhasználni a kimeneti fájlok nevének megalkotásakor. Az első öt bemeneti változó a Keller Miksis-egyenlet 5 fő paramétere: PressureAmplitude: a gerjesztés nyomásamplitúdója, p A [bar] elativefrequency: a gerjesztés relatív körfrekvenciája, [-] Equilibriumadius: az egyensúlyi buboréksugár, E [m] AmbientPressure: a környezeti nyomás, P [bar] AmbientTemperature: a környezeti hőmérséklet, T [ C] A fenti paraméterek közül pontosan egyet kötelező kiválasztani futó paraméterként. Ennek nem számértéket, hanem a CP szövegértéket kell megadni. A program nem tudja kezelni, ha nulla vagy egynél több futó paraméter van definiálva, ezért akkor is meg kell adni ezt, amikor csak egyetlen pontot szeretnénk kiszámítani a paramétertérben. Két további bemeneti változó továbbá: 33

46 PolytrophicIndex: a buborékban található gázelegy politrópikus kitevője, n. Bár ez is az egyenlet egyik paraméterének minősíthető, nem adható meg futó paraméterként. Értéke általában 1,4. Tag: ez a változó egy tetszőleges hosszúságú szöveg lehet, amely arra szolgál, hogy azonos paraméterekkel rendelkező futtatásoknak adott esetben egyedi azonosítót adjon (lásd még: Fájlnév készítő modul). Nem ajánlott ékezetet használni és szünet helyett _ alsó vonalat írjunk. Használjuk bártan ezt a változót saját logikánk szerint. Például egy futtatás során p a futó paraméter 0,1-5 között változik 0,1 lépésenként növekedve, ajánlott a Tag-et _0.1 -nek megadni, így később emlékezni fogunk rá. Szintén jó ötlet lehet feljegyezni itt az OperationParameters.NumberOfThreads bemeneti változó értékét, mert néhány ritka esetben erre szükségünk lehet OperationParameters Az OperationParameters struktúrában vannak azok a változók, amelyek nem közvetlenül az egyenlethez tartoznak, hanem a program futásához szükségesek Futás típusát definiáló változók Solver: megadja, hogy melyik egyenletet oldja meg a program. Jelen verzióban csak a PID02_MID01_BruteForce_1D_v6p0p1 adható meg itt. Ebben a stringben a PID02 ( Physics Identification ) jelenti, hogy a Keller Miksisegyenlet lesz megoldva, és a MID01 ( Material Identification ) jelenti, hogy a buborék anyaga víz és vízgőz. untype: megadja a futtatás módját. Három értéket adhatunk neki: o new ebben a megadott futó paraméter tartomány elejétől végéig elvégzi a számítást. Ellenőrzi, hogy létezik-e már ugyanolyan nevű output fájl, mint amit megadtunk, és ha igen, kitörli azt. Óvatosan használjuk, nehogy véletlenül értékes eredményt törüljünk ki így. o append hasonló futtatást végez, mint a new eset, azonban, ha már létezik ugyanolyan nevű output fájl, annak a végéhez írja az új számítási eredményeket. Ha még nem létezik a kérdéses output fájl, az append akkor is használható, egyszerűen megalkotja az üres output fájlt, és elkezdi feltölteni. o restart csak abban a speciális esetben használható, ha egy korábbi futtatást félúton megszakítottunk, és azt szeretnénk folytatni a megszakítás helyéről. Ekkor a program a Parameters struktúrában megadott értékek alapján keresi meg, hogy melyik feladatot kell folytatnia. Ha a Paramteres struktúrában megadott változók közül egy is eltér, a program nem fogja megtalálni a folytatandó feladatot. Fontos továbbá, hogy ha ezt az opciót választjuk, akkor a NumberOfThreads változó értéke is ugyanaz legyen, mint a megszakadt futtatásnál. NumberOfThreads: a program futását optimalizáló paraméter, megadja, hogy hány számítási feladatot oldjon meg a program párhuzamosan. Egy számítási 34 A

47 feladatnak minősül egy adott futó paraméterhez tartozó egyetlen kezdeti feltétel, azaz egy teljes kezdetiérték-feladat. A futtatás ideje akkor optimális, ha a NumberOfThreads megegyezik az InitialConditionNumberOf változó két értékének szorzatával, például [4 2] esetén 4*2=8. Kivételt képez ez alól az az eset, ha a számítógépünk AM- és processzorkapacitása túl kicsi, ekkor csökkentsük a NumberOfThreads értékét, de mindenképp az eredeti érték maradék nélküli osztója legyen az új érték, például 8 helyett annak fele, 4 az első választható érték. Ha a számítógépünk kellően erős, növelhetjük is a NumberOfThreads értékét, az eredetinek valamilyen egész számú szorzatára Futó paraméterek ControlParameter: ide ismét meg kell adni a számításhoz kiválasztott futó paramétert. Attól függően, hogy a feljebb található Parameters struktúra öt eleme közül melyikbe írtuk a CP szöveget, a következőt értéket adjuk meg ennek a változónak: o PressureAmplitude o elativefrequency o Equilibriumadius o AmbientTemperature o AmbientPressure ControlParameterange: ez a két elemű vektor adja meg, hogy a futó paraméternek mi legyen a minimális és maximális értéke. Mindig az első elem legyen a minimális érték és a második a maximális, tehát ügyeljünk rá, hogy a vektor első eleme kisebb legyen a másodiknál. ControlParameterGenerationMethod: ez a szöveges érték adja meg, hogy a futó paraméter milyen fajta felosztásban legyen a minimális és maximális értéke között. Két válaszási lehetőség van: o lin egyenlő osztásköz o log logaritmikus osztásköz ControlParameterIncrement: a futó paraméter lépésköze. Csak akkor van érvényben, ha a ControlParameterGenerationMethod= lin értéket adtunk meg. Ekkor definiálja, hogy a futó paraméter mekkora lépésekben haladjon a minimum értéktől a maximum felé. A lépésköz nem lehet akármekkora: maradék nélküli osztója kell, hogy legyen a futó paraméter minimuma és maximuma különbségének. ControlParameterNumberOf: a futó paraméterek száma. Csak akkor van érvényben, ha a ControlParameterGenerationMethod= log értéket adtunk meg. Ekkor definiálja, hogy a futó paraméter minimuma és maximuma között (azokat is beleértve) hány darab osztáspontot helyezzen le logaritmikusan növekvő lépésközzel. Például ha ControlParameterange=[0.1 10] mellett 3-at írunk ide, akkor a generált futó paraméterek 0.1, 1 és 10 lesznek. 35

48 Kezdeti feltételek A program minden egyes futó paraméterhez adott és egyenlő számú kezdeti feltételt generál. A kezdeti feltétel a korábbi fejezetben taglalt x, x, x, x számnégyes, amelyben x1a dimenziótlan buboréksugár, x2 a dimenziótlan buborékfalsebesség, x3 a (3.59) és (3.60) linearizált polárkoordinátás egyenletekben a dimenziótlan sugár, x4 pedig a szögelfordulás. A felhasználó csak az x 1 és x 2 értékeket tudja beállítani, a program a másik két kezdeti feltételnek automatikusan x3 1 és x4 0 értéket ad. A felhasználó a következőkben taglalt bemeneti változókkal tetszőleges mennyiségű x, x kezdetiérték számpárost adhat meg. A következő négy bemeneti változó szoros 1 2 összefüggésben van egymással, így érdemes azokat együtt elolvasni. InitialConditionX1ange: két elemű vektor, amely megadja, hogy az x1 kezdetiérték minimális és maximális értéke mekkora lehessen. Ajánlott értéke a feladattól függ, de az első eleme nem lehet 0, vagy annál kisebb. InitialConditionX2ange: két elemű vektor, amely megadja, hogy az x2 kezdetiérték minimális és maximális értéke mekkora lehessen. Ajánlott értéke a feladattól függ. InitialConditionNumberOf: két elemű vektor, amely befolyásolja az egy adott futó paraméterhez generált kezdeti feltételek számát. InitialConditionGenerationMethod: ez a szöveges érték adja meg, hogy milyen módszerrel generáljon a program kezdeti feltételeket. A generált kezdeti feltételek minden futó paraméter értékhez megszületnek. Két lehetőség van: o lin ekkor egy pontrács fog generálódni, aminek pontjai egyenközűen helyezkednek el x 1 és x2 változó mentén. A rács határolóvonalai egy téglalapot adnak, amelynek oldalvonalain helyezkednek el a legszélső pontok. A téglalap sarkainak értékét az InitialConditionX1- és - X2ange változók adják meg. A rácsban a pontok száma megegyezik az InitialConditionNumberOf vektor két elemének szorzatával: x1 irányban a vektor első elemével, x2 irányban a vektor második elemével megegyező számú pont keletkezik. o rnd ekkor egy pontfelhő fog keletkezni. A pontok száma megegyezik az InitialConditionNumberOf vektor két elemének szorzatával, a felhő pontja pedig nem esnek kívül az InitialConditionX1- és -X2ange által behatárolt téglalapon. 36

49 4.4. ábra: (a) lin és (b) rnd megadásával generált kezdeti feltételek. Az 4.4 ábrán egy példát láthatunk a két különböző módszerrel generált kezdeti feltételre. Az (a) részen InitialConditionGenerationMethod= lin, a (b) részen Initial- ConditionGenerationMethod= rnd van megadva. A másik három bemeneti változó mindkét esetben azonos, InitialConditionX1ange=[1 2], InitialConditionX2ange=[-1 1], InitialConditionNumberOf=[5 3]. Látható, hogy a lin esetben egy 3*4 osztáspontú rács keletkezik, rnd esetben pedig egy véletlenszerűen elhelyezkedő, 3*4=12 pontból álló felhőt kapunk. Ha mindemellett még például ControlParameterGenerationMethod= log és ControlParameterNumberOf=50 értéket állítottunk be, akkor a program összesen 12*50=600 számítási feladatot fog elvégezni Futtatási változók Ide tartoznak azok a változók, amelyek a számítások pontosságát befolyásolják. MaximumIteration: megadja egy attraktor kiszámításhoz használt lehetséges maximális iterációk számát. Egy iterációnak azt tekintjük, amikor a program egyetlen gerjesztési periódus alatt kiszámítja a differenciálegyenlet megoldását, majd a kapott végértékeket elmenti és feldolgozza. Ajánlott, hogy 2 N legyen az itt megadott érték. Gyorsan konvergáló periodikus megoldásokhoz általában elegendő, kaotikus megoldások pontosabb számításához 8196 is szükséges lehet. MaximumPoincareSections: megadja a maximálisan regisztrálható periódusszámot. A program mindenképpen megpróbálja meghatározni egy megoldás periódusszámát, tekintet nélkül arra, hogy az kaotikus vagy periodikus. Ez kaotikus megoldásoknál problémát jelent, mivel aperiodikusak, azaz végtelen az elméleti periódusszámuk. Emiatt meg kell adni egy maximálisan regisztrálható periódusszámot így a kaotikus megoldások olyan periodikus megoldásként jelennek meg, amelynek maximális a periódusszáma. Ajánlott értéke 128. LyapunovTolerance: a program a Ljapunov-exponenst minden iterációban kiszámolja, így egy számsorozatot hoz létre, aminek a konvergenciáját vizsgálja. 37

50 A toleranciával beállíthatjuk, hogy a sorozat két szomszédos tagja között mekkora eltérés megengedett, hogy az konvergáltnak számítson. Ajánlott értéke WindingNumberTolerance: a program a csavarási számot minden iterációban kiszámolja, így egy számsorozatot hoz létre, aminek a konvergenciáját vizsgálja. A toleranciával beállíthatjuk, hogy a sorozat két szomszédos tagja között mekkora eltérés megengedett, hogy az konvergáltnak számítson. Ajánlott értéke PoincareTolerance: a program a megoldás Poincaré-metszeteiből egy kétdimenziós számsorozatot hoz létre. Egy iteráció kiszámolja, hogy az utolsó tag milyen távol van az előző tagoktól. Ha bármelyik előző, a SeparationTolerance értékén belül eső tagtól való távolsága a PoincareTolerance érték alatt van, a megoldás 6 8 konvergáltnak számít. Ajánlott értéke SeparationTolerance: ha egy attraktor egynél több periódusú, akkor a Poincarémetszetének pontjai a fázistérben nem egy ponthoz, hanem többhöz fognak konvergálni. Ez a változó azt adja meg, hogy mekkora az a minimális távolság, ami felett egy megoldás két Poincaré-metszete két különböző ponthoz konvergálónak minősül. A program a periódusszámot ez alapján a változó alapján határozza meg. Ajánlott értéke PoincareTolerance*100, de esetenként változó lehet. Ha túl nagy értéket adunk meg, a program véletlenül egyperiódusúnak tekinthet egy több periódusú megoldást. Ha túl kis értéket adunk meg, akkor a kelleténél több periódust regisztrálhat. OdeTolerances.elTol: a MATLAB beépített differencáelegyenlet-megoldójának elative Tolerance értékét adja meg, azaz egy iteráció során megoldott egyenlet számítási pontosságát. A relatív toleranciát mind a négy változóra 7 9 x, x, x, x érvényesíti. Ajánlott értéke OdeTolerances.AbsTolOriginal: a MATLAB-ba beépített differencáelegyenletmegoldó Absolute Tolerance értékét adja meg, és az x, x változókra érvénye- 7 9 síti. Ajánlott értéke OdeTolerances.AbsTolLinear: a MATLAB-ba beépített differencáelegyenletmegoldó Absolute Tolerance értékét adja meg, és az x, x változókra érvényesíti. Ajánlott értéke AbsTolOriginal*100. StateSpaceLimit.X1: ha az x 1 változó átlépi ezt az értéket, a megoldás divergensnek minősül és az attraktor nem kerül mentésre. Ajánlott értéke [0 100]. StateSpaceLimit.X2: ha a x2 változó átlépi ezt az értéket, a megoldás divergensnek minősül és az attraktor nem kerül mentésre. Ajánlott értéke [ ] Diagnosztikai változók Ezek a változók elsősorban a fejlesztés során játszottak szerepet. Amennyiben a felhasználó szeretné a programot javítani, fejleszteni, érdemes tanulmányozni a hatásukat, egyéb esetben ne térjenek el az ajánlott értéktől

51 Plots: hat elemű vektor, amely diagnosztikai ábrák előállítását szabályozza. Ajánlott értéke [ ], ebben az esetben egy bifurkációs diagramot fog folyamatosan előállítani a futás alatt, amely a konvergált megoldások x1 Poincaré-metszetét rajzolja ki a futó paraméter függvényében. Használata ajánlott, de ha nem kívánjuk látni, adjuk meg a [ ] vektort. Diagnostics: szabályozza, hogy készüljön-e a futtatásról diagnosztika. Ajánlott értéke 0. Ha értéke 1, akkor az eredményeket tartalmazó *.txt fáj mellé generál egy ugyanolyan nevű *.run fájt, amely szintén egy szöveges fájl, és az egyes attraktorok futásáról ment el információkat. Amennyiben a program fejlesztésére merül fel igény, a *.run fájl adatstruktúráját a SaveData alfüggvény tartalmazza. esetplots: ajánlott értéke FÁJLNÉV KÉSZÍTŐ FÜGGVÉNY A dokumentálás egyszerűsítése és a könnyebb követhetőség érdekében a fájlok neve az egyenlet fő paraméterei alapján készül el: azok értékét egymás mögé teszi és egy _ jellel választja el őket. A fájlnév alakját a legegyszerűbb egy példán keresztül bemutatni. Tegyük fel, hogy a következő bemeneti változókat adtunk meg: PressureAmplitude=0.5 elativefrequency= CP Equilibriumadius=0.001 AmbientPressure=1 AmbientTemperature=25 PolythropicIndex=1.4 Tag= teszt Ekkor a fájlok neve a következő lesz: 0.5_CP_0.001_1_25_1.4_teszt.* ahol a * a fájlkiterjesztést jelöli. Összesen 4 fájlkiterjesztést használ a program, valójában mindegyik úgynevezett vesszővel elválasztott (comma delimited) adattáblázat: *.def a számítási feladatok listája (lásd még: Feladatkészítő modul) *.log az aktuális feladatok sorszáma (lásd még: Feladatkészítő modul) *.txt az eredményeket tartalmazó fájl (lásd még: Szimulációs modul) *.run az egyes számítási feladatok futásának diagnosztikai adatait tartalmazza (lásd még: Szimulációs modul) 39

52 4.2.3 FELADATKÉSZÍTŐ MODUL (DEFINITIONGENEATO) Az elvégzendő feladatok listáját a DefinitionGenerator nevű függvény készíti el a bemeneti változók alapján. A modul először is eldönti, hogy új feladatlistát kell-e készíteni. Ha nem (untype= restart ), a modul beolvassa a már meglevő feladatlistát és ezzel a programja véget ér. Ha igen (untype= new vagy append ), megkezdi a feladatlista készítést. Először megnézi, hogy mi a futó paraméter ( CP értékű bemeneti változó a Parameters struktúrában), majd definiált határok és felosztás alapján egy vektorban foglalja össze a futó paraméter összes értékét. Ezután megnézi a kezdeti feltételre vonatkozó beállításokat és minden egyes futóparaméter-értékhez készít ugyanannyi kezdeti feltételt. Attól függően, hogy lineáris rácsozást állítunk be (ControlParameterGenerationMethod= lin ) vagy véletlenszerű felhőt kérünk (ControlParameterGenerationMethod= rnd ), különböző módon készít a program kezdetiérték párokat. Első esetben azonos, utóbbi esetben teljesen egyedi és véletlenszerű értékpárok lesznek hozzárendelve az egyes futó paraméter értékekhez. Itt jegyzendő meg, hogy a linearizált egyenlet kezdetiértékei fixek és nem állíthatók be: x3 0 1 és x4 0 0 lesz minden esetben. Ezután történik a konstansok számítása: a program az összes feladat paraméterértékeit sorban elküldi a GetEquationProperties_MID01.m külső függvénynek, amely a Haar-Gallagher-Kell (Haar et. al., 1984) állapotegyenlet alapján kiszámítja az összes szükséges konstanst a modellegyenletben. Miután az összes feladathoz megvannak a konstansok, a program kiírja a *.def fájlt, amelynek adatstruktúráját a 4.1. táblázat tartalmazza, valamint egy *.log fájlt, ami 1,2 n számot tartalmaz, ahol n a NumberOfThreads értéke. A *.log fájlban található számok a *.def fálj sorait jelentik, azaz, hogy a szimulációs modul majd melyik feladatokat kezdje el kiszámolni párhuzamosan. Azért van szükség ilyen exportált fájlra, hogy ha a program valamilyen előre nem látható okból leáll (áramszünet, szoftverhiba), a felhasználó könnyedén folytathassa a számítást: egy új számítást kell csak indítania, amiben a untype= restart bemeneti változót adja meg. CP x kezdeti feltétel 12 konstans 2 0 x3 0 1 x4 0 0 C 1 C 2 11 x C táblázat: a *.def fájl oszlopaiban tárolt értékek. A CP a futó paramétert jelenti A modul végül be is olvassa a kiírt fájlokat és a FullProblem nevű mátrixban tárolja el a *.def fájlt ( az összes számítási feladatot), valamint a NextThreads vektorban a *.log fájlt. Így a modul kimeneti értékei alapján a szimulációs modul már el is kezdheti a számítást. C 40

53 Bemeneti változók Feladatkészítő modul Anyagtáblázatok Anyagjellemzők számítása Összes feladat C... C 1 12 untype new, append Futó paraméter generálás Kezdeti érték generálás Konstansok számítása restart Összes feladat C... C 1 12 Kimeneti változók FullProblem, NextThreads Fájlok beolvasása *.def és *.log fájlok mentése 4.2. ábra: a feladat készítő modul működésének folyamatábrája 41

54 4.2.4 SZIMULÁCIÓS MODUL (COMPUTEFULLPOBLEM) A szimulációs modul a program gerince, számos alfüggvényt hív meg egymás után. Bemeneti értékként fogadja az összes futtatási változót (OperationParameters struktúra) és a feladatok teljes listáját tartalmazó FullProblem mátrixot és NextThreads vektort. A modul működésében kiemelt szerepet játszik a NumberOfThreads=N értékű változó, amelynek értéke megadja, hogy egyszerre hány számítási feladatot kell párhuzamosan megoldania. A modul működésének megértéséhez érdemes sorra venni az összes meghívott alfüggvényt és a közöttük végrehajtott fontos parancsokat. Bemeneti változók Szimulációs modul Inicializáció Attraktor inicializáció Adattároló mappa Attraktor jellemzők *.log *.txt Differenciál egyenlet megoldás x Attraktor jellemzők számítása Attraktor jellemzők x0 C... C 1 12, : 0,1 x x0 Keller Miksis - egyenlet nincs x n Konvergens att- 1 0 xn 1 van Új feladat betöltése Adatok mentése Konvergencia vizsgálat Csavarási szám vizsgálat Poincaré metszet vizsgálat Ljapunov exponens Divergencia viszgálat While ciklus Beállított tolerancia értékek 4.3. ábra: a szimulációs modul működésének folyamatábrája 42

55 Initialization Ez a függvény létrehozza a differenciálegyenlet numerikus megoldásához szükséges feltételeket. N darab párhuzamosan számítandó feladat esetén létrehoz egy N*4 méretű oszlopvektort, amelynek első, második, harmadik és negyedik N eleme tartalmazza rendre az összes feladat x 1 0, 2 0 x, x és x továbbá egy mátrixot, ami tartalmazza az összes feladat 12 konstansát AttractorPropertiesInitialization kezdeti értékét. Létrehoz Ez a függvény létrehozza az egyes feladatokhoz szükséges változókat, amelyeket minden iteráció végén el kell menteni. Ezeket az UpdateAttractorProperties függvény alatt fogom részletezni While ciklus A program ezen a ponton elindít egy While ciklust, amely egy-egy iterációt jelent. A ciklus vége egyben program vége is lesz az összes feladat összes iterációjának elvégzése után leáll Solution A ciklus első lépéseként a program megoldja a 4*N méretű differenciálegyenlet-rend- 0,1 tartományon, tehát a gerjesztés egy periódusán, és a Solution nevű mát- szert rixban tárolja el a numerikus szimuláció összes számított pontját. A differencálegyenlet megoldó a PID02_MID01_BruteForce_1D_v6p0p1.m nevű külső függvény, amely a MATLAB ode113 rutinját használja, amely egy többlépéses Adams-Basforth- Moulton PECE direkt megoldó (Shampine és Gordon, 1975). Ennek oka, hogy az ode113 jól tud kezelni erősen merev rendszereket, tehát ahol a deriváltak hatalmasra tudnak nőni. Ez a buborékok összeroppanása esetén általában igaz UpdateAttractorProperties Ez a függvény dolgozza fel az egy iterációban megoldott differencálegyenletet. Minden új iterációból számított értéket megőriz a feladat végéig, az attraktor összes tulajdonságát egy tömbben, számsorozatként tárolja. Ez lehetővé teszi, hogy a tulajdonságok konvergenciáját a program később ellenőrizze. Elsőként a függvény elmenti az utolsó x 1 1 és x 1 2 értékét Poincaré-metszetként, valamint a trajektórián található maximális x1,max és x 2,max értékeket. Ezután kiszámolja a x 1 x 0 valamint a x 1 x különbséget, amelyeket rendre a Ljapunov-exponens és a csavarási szám számításához használ majd fel: mindkét különbséget összegzi a korábbi iterációk során számolt különbségekkel, és ezekből a (3.61) és (3.63) egyenlettel összhangban globális jellemzőket számol: 1 N log x 1 x 0 (4.1) 1 1, i 1, i N a a

56 1 1 w x x 2 N N 4, i 1 4, i 0 (4.2) a a ahol, N az aktuális legutolsó iteráció, i az egyes iterációkhoz tartozó értékek indexe, a pedig 2 egész számú hatványa. a célja a képletben bővebb magyarázatra szorul. Bár mind 1, mind w a trajektória globális jellemzője, tehát az összes iteráció alatt kapott értékekből kellene számítani, minket valójában a megoldásnak csak az a szakasza érdekel, amelyik már egy attraktor közelében van a végcél ugyanis az attraktor jellemzése, nem az egyes trajektóriáké. Ezt akadályozza, hogy a feladat elején definiált kezdeti feltételeket a felhasználó szúrópróbaszerűen fogja megadni és az nem lesz közel egyetlen attraktorhoz sem. A trajektória elejét tehát valahogy ki kell venni a számításból. Ezt hivatott elérni az a szám: levágja az első néhány iterációt. a aktuális értékét egy később taglalt függvény, a estartscales szabályozza CheckConvergence Az UpdateAttractorProperties által tömbökben tárolt tulajdonságok alkalmasak arra, hogy a konvergenciájukat megvizsgáljuk. A CheckConvergence valójában három konvergenciát, egy divergenciát vizsgáló függvény és egy segédfüggvény egy csokorba gyűjtve. A konvergenciavizsgáló alfüggvények közös pontja, hogy a MaximumPoincareSections= M változó értékét használják fel a konvergencia vizsgálatra: az utolsó és az utolsó előtt az is származik, hogy az P M -vel található iteráció alatt kiszámolt értékeket veti össze. Ebből CheckLyapunovConvergence P M P -edik iterációig nincs is konvergencia ellenőrzés. Csak kaotikus megoldások esetén érvényesül. Az utolsó M P iteráció Ljapunov-exponensei közül kiszámolja a maximális és minimális érték százalékos eltérését. Ha ez a megadott LyapunovTolerance érték alatt van, konvergáltnak minősíti CheckPoincareConvergence Csak periodikus megoldások esetén érvényesül. Kiszámolja az utolsó iteráció Poincaré-metszetéhez viszonyítva az összes korábbi M iteráció Poincaré-metszetének távolságát (azaz x x -t). Először megvizsgálja, hogy a kapott távolságok közül melyik nagyobb a SeparationTolerance által meghatározott értéknél: ha talál ilyet, átmenetileg feltételezi, hogy egy több periódusú attraktort számít éppen, és a távoli pontok az attraktornak egy másik Poincaré-metszetéhez tartanak. Ezután a tolerancia határon belül eső távolságok közül kiszámolja a maximális és minimális érték százalékos eltérését. Ha ez a megadott PoincareTolerance érték alatt van, konvergáltnak minősíti. Ezután megállapítja a periódusszámot: az utolsó iterációtól visszafelé számolva az első olyan Poincaré-metszet, aminek távolsága a SeparationTolerance alatt van, azonos ponthoz konvergál, vagyis az így megtalált pont és az utolsó pont iterációs számának különbsége lesz az attraktor periódusszáma. Ha az utolsó M iteráció egyike sem ilyen pont, akkor maximális periódusszámot regisztrál és kaotikusnak minősíti a megoldást. 44 P P

57 CheckWindingNumberConvergence Az utolsó M P iteráció csavarási számai közül kiszámolja a maximális és minimális érték százalékos eltérését. Ha ez a megadott WindingNumberTolerance érték alatt van, konvergáltnak minősíti CheckDivergence Ha az utolsó iteráció Poincaré-metszete kívül esik a StateSpaceLimitX1 és StateSpace- LimitX2 vektorok által határolt tartományon, a megoldás divergensnek minősül és a program eredmény nélkül befejezi a feladat megoldását estartscales Ez az alfüggvény hivatott az UpdateAttractorProperties függvény alatt említett a szám értékét növelni. Ha az iterációk száma eléri 2 n 2 -t, a értéke 2 n -re ugrik. Itt érdemes megjegyezni, hogy a mellett valójában létezik egy b 2a szám is, aminek ugyanez a funkciója, és a segítségével a program valójában folyamatosan két Ljapunov-exponenst és csavarási számot rögzít, amelyek eltérő számú iterációból vannak kiszámítva If függvény, kész feladat lezárása A konvergenciák után a program eldönti, hogy egy feladat elkészült-e. Ha a Ljapunovexponens és a csavarási szám, vagy a Poincaré-metszet és a csavarási szám konvergált, a teljesen feladat konvergáltnak minősül. A konvergált megoldást a program elmenti és utána új feladatba kezd SaveData Az eredmények mentését végző függvény. A kiszámított attraktor jellemzőit a korábban definiált *.txt kimeneti fálj végéhez írja, pontosan annyi sorba, amennyi az attraktor periódusszáma (kaotikus esetén ez a MaximumPoincareSections által megadott szám). A kimentett adatokat a Kimeneti fájlok struktúrája fejezetben részletezem efreshlog A program párhuzamosan számít attraktorokat. Ha egy elkészül, azonnal betölti a helyére a következő feladatot, és a következő iterációban már azt számítja. A efreshlog függvény ezt dokumentálja: felülírja a *.log fájl tartalmát, hogy az aktuális futó feladatok sorszáma legyen benne eiinitializeattractors Az Initialization és UpdateAttractor függvények feladatát látja el az új feladat számára: a régi, lefutott feladat helyére beolvassa az új feladat kezdeti feltételeit, és lenullázza az addig számított, és már mentett attraktor jellemzőket. Mindezt úgy csinálja, hogy a többi futó feladat adatstruktúrájába természetesen nem nyúl bele. 45

58 While ciklus lezárása A program egy ciklus lefutása után egyel növeli az iterációs számot minden feladathoz, és a fent látható módon számítja sorban a feladatokat. Ha minden feladat számítása elkészül, a program egyszerűen leáll. A program helyes leállását úgy lehet ellenőrizni, hogy megnyitjuk a *.log fáljt: ha abban kizárólag 0 értékek szerepelnek, az azt jelenti, hogy nincs több megoldandó feladat. 4.3 Kimeneti fájlok A program két kimeneti fájlt hoz létre, egy *.txt fájlt, ami a mentett attraktorok adatait tartalmazza, valamint opcionálisan egy *.run fájlt, ami a futás diagnosztikai adatait menti el. A diagnosztikai fájl magyarázatát ebben a dokumentumban mellőzöm. A kimeneti fájlokat a /Dataepository/BruteForce mappába menti el a program. A *.txt fájlban egy adattípus egy adott oszlopban helyezkedik el. Egy attraktor annyi sort foglal el, ahány periódusú, mivel a legtöbb adat változik. A struktúrát a 4.2. táblázat foglalja össze, ahol a jelölések a következők: CP a futó paraméter értéke, x 1,P a buboréksugár Poincaré-metszete, x 2,P a buborékfalsebesség Poincaré-metszete, x 1,max a maximális buboréksugár az adott periódus során, x2,max a maximális buborékfalsebesség az adott periódus során, x 2 a maximális abszolút buborékfalsebesség az max adott periódus során, n P a periódusszám, 1 a Ljapunov-exponens, w a csavarási szám. A négy adat, ami azonos minden periódusnál: CP, n P, 1 és w. Oszlop Adat CP x 1,P x 2,P x 1,max x 2,max x n 2 max P táblázat: a *.txt kimeneti fájl struktúrája w 46

59 5 EGYPEIÓDUSÚ MEGOLDÁSOK FELTÉKÉPEZÉSE A most következő fejezetben mutatom be a vizsgált paramétertartományt, a szimuláció gyakorlati megvalósítását és megvizsgálom a kapott eredményeket. A szimulációt két platformon (MATLAB és AUTO) párhuzamosan végeztem el, és az eredményeket is együtt mutatom be. 5.1 A választott paraméterek A 3.2. fejezet értelmében ahhoz, hogy a Keller Miksis-egyenlet konstansait pontosan meghatározzuk, a buborék anyagának típusát és ezen felül 5 jellemző paramétert kell megadni. Az buborékon kívüli anyag víz, a buborékban vízgőz és politropikus állapotváltozáson keresztül menő gáz keveréke található. Lauterborn és Kurz (2010) munkásságát követve a gáz politropikus kitevőjét n 1,4 -nek választom meg. A többi anyagjellemzőnél figyeltem, hogy könnyen reprodukálható környezeti jellemzőket válasszak, ennek értelmében T 25 C az állandó távoltéri hőmérséklet, P 1 bar a környezeti nyomás nyugalomban. Az egyensúlyi buboréksugár nagysága 100 m, amely a kísérletileg validált tartományon belül mozog. A maradék két paraméter ( p A nyomásamplitúdó és relatív körfrekvencia) futó változó lesz, ezeket olyan tartományon A határoztam meg, hogy eredményeim kvalitatívan összevethetőek legyenek Hegedűs (2012) ayleigh Plesset-egyenleten végzett vizsgálatával. A kezdetiérték-megoldóval és a peremérték-megoldóval egy paraméter mentén végeztem söpréseket p 0,1 2bar valamint 0,11,5 tartományban, majd a peremérték-megoldóval végzett két paraméteres vizsgálatnál ezt kiterjesztettem a p 0,01 5bar és 0,13 tartományra. A E 5.2 A paramétertér attraktorainak előzetes feltérképezése A A feladat első lépéseként tetszőleges periódusú stabil és kaotikus attraktorokat kerestem a paramétertérben a kezdetiérték-megoldó programmal. A futó paraméterek kétdimenziós síkján metszeteket készítettem, amelyeken egy paraméter mentén haladtam szabályos lépésközökkel. A metszeteket az 5.1. ábra foglalja össze. p futó paraméter mellett összesen hét fix értéket adtam meg, nagyjából logaritmikus felbontást követve: 1/10; 1/5; 1/4; 3/10; 1/2; 1 és 3/2. A futó paraméterrel a tartományon egyenközű, 0,01 bar lépésekben haladtam előre, ami 0,1 és 2 bar között összesen 191 pontot jelent. futó paraméter mellett pedig kilenc rögzített p értéket vá- lasztottam, lineáris felosztásban. A pontos értékek 0,1; 0,25; 0,5; 0,75; 1; 1,25; 1,5; 1,75 és 2 bar. A futó paramétert itt az előző logikát követve logaritmikus osztásközzel léptettem előre, 0,1-1,5 között összesen 151 pontot definiáltam. A söprések során a paramétertér egy pontján összesen 8 kezdeti feltételt indítottam véletlenszerűen az x 1 0 0,7 2 és x tartományokon, mivel bárhol feltételezhető egynél A 47

60 több stabil attraktor. A tartományok nagyságához Hegedűs (2012) munkásságát vettem alapul ábra: egy paraméter mentén végzett futtatások vázlata. Minden fekete vonal egy futtatást jelöl p illetve futó paraméter mentén. A FEKVENCIA VÁLASZ FÜGGVÉNYEK Az állandó p és futó paraméter mellett készített bifurkációs diagramok közül A A három az 5.2. ábrán látható, amelyeken a dimenziótlan buboréksugár Poincaré-metszetét ábrázolom. Ezt a mérnöki tudományokban elterjedt ábrázolási módot frekvencia válasz függvénynek is nevezik. A készült ábrák viszonylag durva felbontásúnak számítanak jól elkülöníthetőek a diszkrét pontok de így is megfigyelhető rajtuk néhány lényeges tendencia. Az első, hogy p 1 bar alatt főleg egyperiódusú megoldások léteznek, és több frekvencia mellett mutatnak csúcsokat. Mivel a csúcsok az 1 érték alatt vannak, azaz ahol a buborék sajátfrekvenciája magasabb, mint a gerjesztési frekvencia, ezek felharmonikus rezgések. A felharmonikusok csillapítatlan lineáris rendszerekben mindig a relatív frekvencia racionális tört értékeinél jelentkeznek (1, 1/2, 1/3, stb.). Jelen esetben azonban sem a csillapítatlanság, sem a linearitás nem érvényesül és már p 0,1 bar értéknél is a várt 1-hez tartozó csúcs valójában nagyjából 0,8 -nál van. A csillapítás itt kettős természetű: a folyadék viszkozitásából származó súrlódó erő adja az egyik részét, az összenyomható közegekben pedig akusztikus csillapítás is jelen van (Lajos, 2004). A 48

61 ezonancia csúcs és hiszterézs p A =0,1 bar (a) p A =1 bar 3 együtt létező megoldás (b) Kaotikus és periodikus ablakok Hiszterézis Giant esponse egion p A =2 bar (c) Kettőződések és káosz 5.2. ábra: frekvencia válasz függvények. (a) p A =0,1 bar (b) p A =1 bar (c) p A =2 bar 49

62 A A második megfigyelés, hogy p 1 bar feletti diagramokon (5.2. (c) ábra) a buboréksugár a relatív frekvencia csökkenésével egyre nagyobb értékeket vesz fel, akár a nyugalmi sugár tízszeresére is megnőhet. Ezt szakirodalomban az óriási válasz tartományának ( Giant esponse egion ) nevezik (Lauterborn és Kurz, 2010). Az óriási válasz tartománya a nyomásamplitúdó növelésével egyre inkább kiszélesedik, és a válasz mértéke is egyre nagyobb lesz. Szimulációs szempontból körülményes terület ez, mivel a hatalmas összeroppanások óriási buborékfalsebesség változásokat okoznak, ami miatt a rendszer merevsége igen nagy lesz, és ezek numerikus kezelése erőforrás igényes (Shampine és Gordon, 1975). A szimuláció relatív lassúságát ezekben a tartományokban én is tapasztaltam. A felharmonikusoknál jelentkező csúcsoknál hiszterézis, azaz két nyeregcsomó bifurkáció látható az 5.2. (a) és (b) ábrán. A hiszterézisek szélessége erősen változó. Thomas et. al. (2004) vízgőz buborékokon végzett kísérletei során szintén megfigyelt hiszterézist egyperiódusú megoldások esetében a nyomásamplitúdó változtatása mellett, amelyet a buborékban található gáz disszociációjával magyarázott. A rendszerben ezen kívül több periódus kettőző bifurkáció és azok sorozata is megfigyelhető, a leglátványosabb talán p 2 bar mellett van (5.2. (c) ábra), itt jól kivehe- A tőek a relatív frekvencia növekedésével együtt járó kettőződések sorozatának végén kialakuló kaotikus attraktorok. Pontos alakulásuk megvizsgálásához finomabb felbontás lenne szükséges, de ez nem képezi jelen kutatás tárgyát ábra: három együtt létező megoldás ( p A =1 bar, =1,30). Az egy-, két- és háromperiódusú megoldásokat rendre piros, zöld és kék szín jelöli. Az attraktorok Poincaré-metszetét pontok jelölik. 50

63 Végül megfigyelhetünk néhány jól kivehető, együtt létező attraktort. Az 5.2. (b) ábrán =1,30-nál együtt létezik stabil egy, kettő és háromperiódusú megoldás. Ezek- nek állapottér diagramját az 5.3. ábrán mutatom meg. A több periódusú megoldásoknál jól látszik, hogy a trajektóriák metszhetik egymást és saját magukat. Sok példát találunk együtt létező kaotikus és periodikus attraktorokra is, például p 1 bar -nál az alacsony frekvenciákon felváltva követik egymást periodikus és kaotikus ablakok, egyre finomabb felosztásban. Ezek kevésbé átláthatók, különböző attraktorok nem különülnek el jól, mivel a szimulációnál a kaotikus attraktorok 128 Poincaré-metszete van elmentve, és sokszor egy egybefüggő vonallá állnak össze a grafikonon. A többi frekvencia válasz diagram az Melléklet M.1.-M.9. ábráin látható AMPLITÚDÓ VÁLASZ FÜGGVÉNYEK A változó nyomásamplitúdó függvényében kirajzolt diagramot a frekvencia válasz függvényekkel analóg módon amplitúdó válasznak nevezzük. Három jellegzetes függvény látható az 5.4. ábrán, a többi megtalálható az 1. melléklet M.10-M.16. ábráin. Ezek alakja jellegében eltér a frekvencia válasz függvényektől. Míg az előbbi bizonyos frekvenciákban csúcsokat mutatott, itt általában igaz, hogy a nyomásamplitúdó növekedésével a válasz mértéke növekszik. 1 alatt (5.4. (a) és (b) ábra) ez a növekedés úgy történik, hogy 0-tól 1 bar-ig a dimenziótlan buboréksugár Poincaré-metszete nagyjából 1 marad, 1 bar-nál jelentkezik egy kaotikus szakasz, utána 1 bar felett meredek növekedésbe kezd. Ez egyértelműen összefüggésbe hozható azzal, hogy a környezeti nyomás is 1 bar, így ezeken a részeken kialakulhat akár negatív nyomás is a gerjesztés időtartamának egy részében. Ebből arra következtetek, hogy a negatív nyomás jelentősen hozzájárul a buborék méretének növekedéséhez. 1 felett (5.4. (c) ábra) ez a növekedési szakasz elmarad, feltehetően azért, mert a buborék sajátfrekvenciája itt már kisebb, mint a gerjesztés, azaz a buborék tehetetlensége akadályozhatja a nagy kilengések kialakulását. Az 1 bar környékén kialakuló kaotikus sáv is eltűnik. A stabil növekvő tendenciát megtörik a minden frekvencia mellett felbukkanó hiszterézisek (5.4. (a) és (b) ábra). A frekvencia válaszokhoz hasonlóan a hirtelen ugrás itt is látszik, azonban míg az előbbinél a buborék sugara fokozatosan csökkent a csúcs után, itt az megmarad, sőt általában tovább növekszik a nyomásamplitúdóval együtt. Találhatunk még hasonló struktúrákat, mint a frekvencia válaszoknál. A 5.4. (b) ábrán kaotikus és periodikus ablakok követik felváltva egymást. A (b) ábrán vehető ki a legtisztábban egy példa a perióduskettőzések sorozatán keresztül kialakuló káoszra. 1,4 és 1,6 bar között az is jól megfigyelhető, hogy mind csökkenő, mind növekvő mentén létrejönnek, és két oldalról veszik körbe a kaotikus régiót, azaz topológiailag szimmetrikus ablakokat alkotnak. Ez utóbbi különösen érdekes a számunkra, mivel az ablakot stabil egyperiódusú attraktorok veszik körbe, amelyek a két szélső perióduskettőződésnél válnak instabillá. A 51

64 (a) =0,1 Hiszterézisek Px ( ) 1 1 Kaotikus attraktorok Szimmetrikus ablakok (b) =0,3 Periódus kettőző sorozat Hiszterézisek Kaotikus attraktorok Kaotikus és periodikus ablakok (c) =1, ábra: amplitúdó válasz függvények. (a) =0,1 (b) =0,3 (c) =1,5 52

65 Az egy periódusú megoldások feltérképezéséhez fontos a perióduskettőző bifurkációk megkeresése, ugyanis ezek a pontok az attraktor stabilitásának határvonalai. A kezdetiérték-megoldó eszköztára ehhez limitált, a legjobb módszer a Ljapunov-exponens ábrázolása. Az 5.5. ábrán a 0,1 paraméter melletti amplitúdó válasz függvénye látható és alatta a hozzá tartozó Ljapunov-exponensek diagramja. A Ljapunovexponensek ugyanúgy diszkrét pontokként jelennek meg, de a topológiailag jól láthatóan összetartozó, perióduskettőző ablakokban található attraktorok exponenseit halvány kék törtvonallal kötöttem össze, hogy ezek alakulása jobban látható legyen. =0,1 (a) (b) 5.5. ábra: gőzbuborék (a) bifurkációs diagramja és (b) Ljapunov-exponensei. A topológiailag összetartozó attraktorok Ljapunov exponensei halvány kék törtvonallal vannak összekötve, a tényleges értékeket fekete pont jelöli. ( 0,1) A Ljapunov-exponensek jellemző értéke és a bifurkációs diagram képe között szoros kapcsolat áll fenn (Lauterborn és Kurz, 2010), amelynek több példáját én is megfigyeltem. A stabil és periodikus szakaszokon 1 negatív. A perióduskettőző bifurkációk kö- 53

66 zelében 1 0 értékhez közelítünk ha pontosan a bifurkációs pontnál lennénk, pontosan zérus értéket kapnánk. Ezeket a helyeket kék vonallal kötöttem össze a két diagramrészen. Érdekes jelenség, hogy a perióduskettőző ablakok bal szélén, például 1,43 bar és 1,55 bar között az első és második perióduskettőző bifurkáció között a Ljapunov-exponens ismét megközelíti a zérust, de ehhez nem párosul bifurkáció. Ezeket a jelenségeket kék szaggatott vonallal jelölöm. A kaotikus attraktoroknál, mely területeket zöld nyíllal jelölök, 1 0 értékeket olvashatunk le. Utolsó megfigyelés pedig, hogy a hiszterézisek közelében a Ljapunov-exponens negatív marad, és különösen nagy abszolút értéket vesz fel. A hiszterézisek területeit piros nyíllal jelöltem. 5.3 Egyperiódusú megoldások topológiája egy paraméter mentén A Mint az látható a kezdetiérték-megoldóval készített bifurkációs diagramokon, az egyperiódusú megoldások bifurkációs görbéit nehéz ott követni, ahol nagyon sok attraktor létezik egyszerre. A vonzáskörzetek kiszámíthatatlansága miatt sok esetben kerül az indított trajektória olyan attraktorra, amire éppen nem vagyunk kíváncsiak, ezek követése pedig sok számítási kapacitást emészt fel. A peremérték-megoldó program ezzel szemben egy bifurkációs görbét követ végig, az instabil tartományokon is. Az AUTO-n végzett számítások elindításához szükség volt arra, hogy egy adott paramétertérbeli pontban egy létező, konvergált attraktor időfüggvényét megadjam, mint bemeneti adatsort. Ennek előállításához készítettem egy söprést a kezdetiértékmegoldóval, rögzített p 0, 01 bar nyomásamplitúdó mellett, melynek 0,1 pontjában elmentettem a talált egyperiódusú attraktor teljes időfüggvényét. Az AUTO-val kizárólag p futó paraméter mellett végeztem söpréseket, először a A MATLAB megoldóval azonos p A tartományokon és értékeken. A kapott amplitúdó válasz függvényeken csak az x 1 dimenziótlan buboréksugár maximumát lehet ábrázolni, ez az AUTO sajátossága. A kapott görbék összevethetők a MATLAB-ban készített válaszfüggvényekkel, mivel ott is mentve lettek a maximális buboréksugarak. Az 5.6 ábrán látszik a két amplitúdó válasz függvény összevetése 0,3 mellett, a többi frekvencián összevetett diagram az 1. melléklet M.10.-M.16. ábráin látható. A kezdetiérték-megoldó eredményeiben a két és több periódusú megoldásoknál a minden periódusnál előforduló maximális érték látható, míg az AUTO görbéin csak az attraktor teljes egészén előforduló egyetlen maximum. Az 5.6. ábrán a stabil egyperiódusú megoldások tömör, az instabil megoldások szaggatott piros vonal mentén helyezkednek el. A bifurkációs pontokat piros jelölők mutatják, x jelzi a perióduskettőződéseket, tömör pont a nyeregcsomókat az egyperiódusú megoldáson. A bifurkációs pontok között az együtt létező megoldások száma állandó, így segítségükkel tartományokra lehet bontani fázisteret, amelyeket az 5.1. táblázatban összegeztem. Általánosságban elmondható, hogy a kezdetben egyetlen stabil megoldás után egyszerre két megoldás jelenik meg, majd ismét kettő tűnik el nincs olyan tar- 54

67 tomány, amelyben pontosan két együtt létező megoldás lenne. Ennek oka, hogy a párokban jelentkező nyeregcsomók által létrehozott hiszterézis stabil alsó és felső ága között mindig jelen van egy instabil megoldás is. 1,293 0,439 0,603 0,755 0,909 1,218 1,314 =0, ábra: amplitúdó válasz függvény 0,3 értéknél. A fekete pontok a kezdetiérték-megoldó, a piros vonal a peremérték-megoldó bifurkációs görbéje. A tömör vonal stabil, a szaggatott instabil megoldást jelent. Nyomás [bar] Attraktorok száma -tól -ig Stabil Instabil Összesen 0,000 0, ,439 0, ,603 0, ,755 0, ,909 1, ,218 1, ,293 1, ,314 2, táblázat: együtt létező attraktorok tartományai az 5.6. ábrán látható, 0,3 értéknél készített amplitúdó válasz függvényen Bifurkáció Helye [bar] 0,603 0,439 0,755 1,293 1,314 0,909 1,218 Típusa FL FL PD PD FL FL PD 5.2. táblázat: egyperiódusú attraktor bifurkációs pontjainak sorrendje az 5.6. ábrán kirajzolódó görbe mentén 0,3 -nál. 55

68 Érdemes a teljes bifurkációs görbét (5.6. ábra) topológiai szemlélettel is vizsgálni. Ennek értelmében nem a bifurkációknak a pontos helyét keresem a paraméterek függvényében, hanem azok típusát és sorrendjét határozom meg a bifurkációs diagram görbéje mentén. Ekkor elmondható, hogy a kezdetben stabil attraktorokat tartalmazó görbén párokba rendeződve helyezkednek el a perióduskettőző és nyeregcsomó bifurkációk. A párok között instabil, azokon kívül stabil a megoldás. 0,01 bar felől indulva felváltva követi egymást egy nyeregcsomó-pár, egy perióduskettőző-pár, egy újabb nyeregcsomó-pár, majd utánuk egyetlen perióduskettőző bifurkáció következik. Mindegyik bifurkáció pár között instabil megoldás húzódik. Ezt összefoglalva egy sokkal átláthatóbb képet kapunk a bifurkációk rendszeréről, amit az 5.2. táblázatban mutatok meg. A perióduskettőző bifurkációknak itt PD rövidítést adok az angol period doubling kifejezés után, a nyeregcsomóknak LF betűjelet az angol fold után (Lauterborn és Kurz, 2010). Következő lépésként megvizsgálom több bifurkációs görbe alakulását frekvencia függvényében. A számítások során p futó paramétert 0 és 3 bar között mozgattam, a A fix paraméterrel pedig =1,5-től indultam el, és 0,05 nagyságú lépésekben haladtam visszafelé, egészen =0,1-ig. Az 5.7. ábrán hat olyan diagramot mutatok meg, amelyen lényeges topológiai eltérést figyeltem meg egymáshoz képest. A legnagyobb frekvenciákon, azaz =1-nél és afölött egyetlen perióduskettőző bi- furkáció van, amely után az attraktor instabil (5.7. (a) ábra). A frekvencia mentén lefelé haladva =0,8-nál felbukkan egy nyeregcsomó-pár. =0,6-nál a két nyeregcsomó alatt két perióduskettőző bifurkáció jelenik meg. =0,4-nél újabb két nyeregcsomó bukkan fel és a bifurkáció párok ezután felváltva jelennek meg alacsonyabb frekvenciákon. A görbéken megjelenő bifurkációk rendszerét az 5.3. táblázatban foglalom össze. Azokat a bifurkációs pontpárokat, amelyek között a megoldás instabil, zárójellel kapcsolom össze. A táblázat alsó három sorának végén a jelölés arra utal, hogy ott a mintázat alapján úgy sejtem, hiányzik egy utolsó perióduskettőző bifurkáció. [-] Bifurkációk 1 PD 0,8 (FL-FL)-PD 0,6 (PD-PD)-(FL-FL)-PD 0,4 (FL-FL)-(PD-PD)-(FL-FL)- 0,35 (PD-PD)-(FL-FL)-(PD-PD)-(FL-FL)- 0,3 (FL-FL)-(PD-PD)-(FL-FL)-(PD-PD)-(FL-FL) táblázat: egyperiódusú attraktorok bifurkációs görbéin található bifurkációk sorozatai különböző relatív frekvenciák mellett 56

69 (a) =1 (d) =0,4 (b) =0,8 (e) =0,35 (c) =0,6 (f) =0, ábra: egyperiódusú attraktorok bifurkációs görbéi p A futó paraméter mentén, különböző relatív frekvenciák mellett. A tömör vonal stabil, a szaggatott instabil egyperiódusú megoldásokat jelöl. x a perióduskettőző, a nyeregcsomó bifurkációk helye. A bifurkációs görbék ehhez hasonló topológiai vizsgálatát Hegedűs (2012) is elvégezte a vízgőz buborékra felírt ayleigh Plesset-egyenlet esetében, amely mint azt a 3. fejezetben bemutattam annyiban tér el a Keller Miksis-egyenlettől, hogy nem veszi figyelembe a folyadék összenyomhatóságát. Eredményeinek egy részét az 5.8. ábrán mutatom meg. Hegedűs a víz és gőz anyagjellemzőit a Haar-Gallagher-Kell állapotegyenlet alapján határozta meg, azonban paraméterei némileg eltérnek, és az egyenlet dimenziótlanítását is máshogy végezte el, ezért eredményeink kvantitatív összevetése nem mondana sokat. Kvalitatív szinten azonban a hasonlóságok és különbségek szembetűnőek. 57

70 A ayleigh Plesset egyenlet esetén is igaz, hogy a bifurkációs görbéken felváltva követik egymást perióduskettőző és nyeregcsomó bifurkáció párok, amelyek között a kezdetben stabil megoldás instabillá válik. Ugyanígy igaz, hogy a frekvencia növelésével a nyeregcsomó párok fokozatosan kisimulnak, míg a végén egyetlen perióduskettőződés lesz csak a görbén. Érdekes különbség, hogy a hiszterézisek alakja egészen máshogy alakul. A aylegh Plesset-egyenletnél két nyeregcsomó között akkora a nyomásamplitúdó különbsége, hogy azok egymás fölé polcolódnak, valamint a bifurkációs görbén később jelentkezők egyre szélesebbek lesznek. A Keller Miksisegyenletnél két hiszterézis sohasem lóg egymás fölé, azaz soha nem lesz háromnál több együtt létező egyperiódusú megoldás a paramétertér egy pontjában. Végül fontos különbség, hogy míg a ayleigh Plesset-egyenletnél a bifurkációs pontok javarészt p = 1 bar alatt jelentkeznek, addig az én esetemben több is található 1 bar fölött. Mivel A a két modell között az összenyomhatóság és az abból származó akusztikus csillapítás jelenléte a lényeges különbség, a fenti eltérések mögött ezt a hatást feltételezem ábra: a ayleigh Plesset-egyenlet nyomásamplitúdó mentén számított bifurkációs görbéinek alakulása a relatív frekvencia függvényében. relatív frekvencia a kritikus frekvenciával dimenziótlanított jellemző. A tömör vonal stabil, a szaggatott instabil egyperiódusú megoldásokat jelöl. x a perióduskettőző, a nyeregcsomó bifurkációk helye. (forrás: Hegedűs, 2012) N c 58

71 5.4 Egyperiódusú megoldások topológiája két paraméter mentén A FÁZISSÍK BIFUKÁCIÓS GÖBÉINEK JELLEMZŐI A munkám utolsó lépéseként elkészítettem az egyperiódusú megoldások fázisdiagramját a kétdimenziós pa síkban. Ehhez az AUTO-t használtam, amely képes a paramétertér egy pontjában levő bifurkációból indulva szomszédos, hasonló típusú bifurkációkat találni. A futtatások elindításához az 5.7. ábrán bemutatott bifurkációs diagramokat, és az azokon található bifurkációs pontokat használtam fel. A kétdimenziós tartomány határait pa 05bar és 0,13 -nál húztam meg. A készített fázisdiagram az 5.9 ábrán látható. A kék görbék perióduskettőző bifurkációkat jelölnek, a pirosak nyeregcsomókat. A görbék által határolt fehér területeken csak instabil egyperiódusú megoldások léteznek, a szürke és sötétszürke területeken pedig rendre egy és két stabil megoldás található. Nincs olyan terület a vizsgált paramétersíkon, ahol három, vagy több stabil megoldás létezne egyszerre. A diagramon feltüntettem hat függőleges szakaszt, amelyek egybeesnek az 5.7. ábrán bemutatott bifurkációs diagramokkal, azaz állandó mellett futnak végig a nyomásamplitúdó mentén. A szakaszok A p =3 bar-nál megszakadnak, ugyanis a bifurkációs diagramokat is csak eddig készítettem el. Segítségükkel könnyebben megérthető a fázisdiagram jelentéstartalma. Az 1 -nél található szakasz mentén felfelé haladva egyetlen perióduskettőző bifurkáción haladunk át. 0, 8 -nál áthaladunk egy nyeregcsomó bifurkáción, amely felett már két stabil megoldás létezik, majd áthaladunk ismét ugyanazon a nyeregcsomó-görbén, ami után egy stabil megoldás eltűnik. A többi négy szakaszon hasonló módon be lehet azonosítani a fázistérben található metszéspontokat az 5.7. ábrán látható bifurkációs pontokkal. Most pedig vizsgáljuk meg magukat a bifurkációs görbéket a fázisdiagramon. A legnagyobb területet közrefogó perióduskettőző bifurkációs görbe csak viszonylag magas p -nál jelenkezik és 2 -nél kicsúcsosodik. Az összes többi bifurkációs görbe A ettől eltérő, elnyúlt alakú. A nyeregcsomók görbéi egy kés pengéjéhez hasonlíthatóak: keskeny területet fognak össze, és hegyes csúcsban végződnek. A perióduskettőződések görbéi ezeknél szélesebbek és lekerekítettebb végződésűek, leginkább egy karmos ujjhoz hasonlíthatóak. Ez a karmos ujj eltorzult formában az 2 -nél csúcsot mutató bifurkációs görbén is kivehető. Az összes görbe az ábrán balra görbül, azaz a gerjesztés relatív frekvenciájának csökkenésével azok fokozatosan egyre magasabb nyomásaplitúdóknál találhatóak meg. Az összes görbére igaz, hogy az tengelyen a kisebb értékek felé haladva egyre kisebb területeket fognak közre és egyre sűrűbben jelentkeznek, miközben alakjuk fokozatosan torzul, de jellegükben mégis nagyon hasonlítanak egymásra. Ez az önhasonló fraktálszerkezet a kaotikus rendszerekben általános, ezt a szabályszerűséget szinte minden kaotikus rendszereket vizsgáló más tanulmányban megtalálhatjuk (Lauterborn és Kurz, 2010). 59

72 A nyeregcsomók bifurkációs görbéin közös, hogy mindegyik hegyes csúcsa a buborék sajátfrekvenciájának egész számú osztójának (felharmonikus), vagy többszörösének (alharmonikus) közelében van, attól kissé balra, a csökkenő gerjesztési frekvencia irányába eltolódva. Ugyanez igaz a legnagyobb perióduskettőzés görbéjére. Ezeket a görbék melletti számok jelzik az 5.9. ábrán. Ez a megfigyelés és a 5.2. ábrán látott rezonanciacsúcsok közelében jelentkező hiszterézisek megerősítik azt a feltevést, hogy a bifurkációk szoros kapcsolatban vannak a buborék sajátfrekvenciáival. Felmerül a kérdés, hogy a többi perióduskettőző bifurkáció görbéjéhez nem tartozike valamilyen szabályos frekvencia, ugyanis azok csúcsai láthatóan nem a szabályos felharmonikusokhoz tartanak. Erre a választ a csavarási szám adja meg, amelyet a következő alfejezetben részletezek. 0,3 0,35 0,4 0,6 0,8 1 1/8 1/7 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1/1 2/ ábra: egy periódusú megoldások fázisdiagramja a pa síkban. A nyeregcsomókat piros, a perióduskettőződéseket kék görbe jelöli. A zérus, egy és két együtt létező stabil megoldást fehér, szürke és sötétszürke területek jelölik. A görbék melletti számok a nyeregcsomó görbékhez társítható fel- és alharmonikus rezonancia rendjét mutatják A FÁZISSÍK BIFUKÁCIÓS GÖBÉINEK CSAVAÁSI SZÁMA Mint láthattuk, a perióduskettőző és nyeregcsomó bifurkációk alakja a bifurkációs diagramokon (v.ö.: 5.2. és 5.4. ábrák) teljesen eltérőek, viszont a fázistérben látható görbéik alakja sokban hasonlít egymásra (5.9. ábra). Felmerül az igény, hogy valamilyen közös rendszerben osztályozzuk őket: ezt a w általános csavarási szám használatával tehetjük meg, amelyet a (2.10) és (2.11) képlettel kétféleképpen definiáltam. 60

73 Általános megfigyelés, hogy mind a nyeregcsomók, mind a perióduskettőző bifurkációk közelében az attraktorok általános csavarási száma (innentől: csavarási szám) racionális, valamint hogy a közös fázistérbeli görbén található bifurkációk csavarási száma azonos (Lauterborn és Kurz, 2010). A nemlineáris rendszerek általános csavarási szám alapján történő topológiai osztályozását számos más tanulmányban is elvégezték, például Parlitz és Lauterborn (1987) a van der Pol oszcillátorra, Kurz és Lauterborn (1988) a Toda oszcillátorra, Parlitz (1993) a Duffing oszcillátorra, valamint Hegedűs (2012) a ayleigh Plesset-egyenletre. Az attraktorok csavarási számát a MATLAB-ban végzett szimulációk során számítottam ki, majd azokat Ljapunov exponenshez hasonlóan a bifurkációs diagramokkal összevetve ábrázoltam. Egy ilyen párhuzamos ábrázolást mutatok be az ábrán, ahol az =0,1 fix paraméter mellett p futó paraméterrel söpörtem (a többi számítás A eredménye az 1. melléklet M.10.-M.16. ábráin látható). A két diagram lényeges pontjait piros vonalakkal kötöttem össze, a hozzájuk tartozó csavarási számoknak pedig feltüntettem a közönséges tört alakját is. A különböző bifurkációk csavarási számain a következő szabályosság figyelhető meg az ábra alapján: Nyeregcsomó bifurkációnál w egész szám Egyperiódusú attraktor kettőződésénél w egy egész szám fele Kétperiódusú attraktor kettőződésénél w egy egész szám negyede Az 1. melléklet ábráit tanulmányozva további felfedezéseket tettem, például háromperiódusú megoldás kettőződésénél a csavarási szám 11/6, azaz egy egész szám hatoda. Ezek alapján a következő szabályszerűséget lehet sejteni: a bifurkációk csavarási száma egy olyan racionális szám, amelynek számlálója tetszőleges N pozitív egész, nevezője pedig megegyezik az adott bifurkációnál előforduló nagyobb periódusszámmal. Ha a csavarási szám (2.11) képlet szerinti definícióját vesszük, azt így alakíthatjuk át: ahol a torziós számra az n N w, (5.1) max( m, m ) 1 2 közvetlenül szomszédos két periódusszámot jelenti. N azonosság érvényes, m 1 és m2 pedig a bifurkációval 61

74 (a) (b) 6/1 11/2 21/4 5/1 valós szám 9/ ábra: amplitúdó válasz függvény (a) és attraktorainak csavarási száma (b). Mindezek fényében kiszámítottam a kétdimenziós paramétertérben talált összes bifurkációs görbe csavarási számát. Ehhez a MATLAB kódot használtam: a görbéken egyetlen pont csavarási számát határoztam meg, a többit azonosnak vettem. Az eredményeket az (a) és (b) ábrán foglalom össze, amelyek az 5.9. ábra különböző mértékű felnagyításai. A görbék melletti számok a hozzájuk tartozó racionális csavarási számot jelzik. Látható, hogy mindkét bifurkáció típus csavarási számai szabályos sorozatban követik egymást. 62

75 (a) 7/2 5/2 3/2 1/2 4/1 3/1 2/1 1/1 1/4 2/7 1/3 2/5 1/2 2/3 13/2 11/2 9/2 (b) 9/1 8/1 6/1 7/1 9/2 5/1 1/9 17/2 1/8 15/2 1/7 13/2 1/6 11/ (a) és (b) ábra: egy periódusú megoldások fázisdiagramja a pa síkban (különböző nagyítások). A nyeregcsomókat piros, a perióduskettőződéseket kék görbe jelöli. A zérus, egy és két együtt létező stabil megoldást fehér, szürke és sötétszürke területek jelölik. A görbék melletti nagy számok a nyeregcsomó görbékhez társítható csavarási számot mutatják, a fekete függőleges szakaszok a görbe csúcshoz tartozó frekvenciákat, amelyek a csavarási szám reciprokánál találhatóak (kis számok). 63