RAPORT DÁNIEL SZAKDOLGOZAT

Átírás

1 RAPORT DÁNIEL SZAKDOLGOZAT

2

3 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR HIDRODINAMIKAI RENDSZEREK TANSZÉK RAPORT DÁNIEL SZAKDOLGOZAT Periodikus és kaotikus megoldások feltérképezése harmonikusan gerjesztett gázbuborék esetén, víz közegben Konzulens: Dr. Hegedűs Ferenc adjunktus Témavezető: Dr. Hegedűs Ferenc adjunktus Budapest, 2014

4 Szerzői jog Raport Dániel, Ez a szakdolgozat elzártan kezelendő és őrzendő, a hozzáférése a vonatkozó szabályok szerint korlátozott. A hozzáférés korlátozása és a zárt kezelés év 12. hónap 12. napján ér véget.

5

6 NYILATKOZATOK Elfogadási nyilatkozat Ezen szakdolgozat a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kara által a Diplomatervezési és Szakdolgozat feladatokra előírt valamennyi tartalmi és formai követelménynek, továbbá a feladatkiírásban előírtaknak maradéktalanul eleget tesz. E szakdolgozatot a nyilvános bírálatra és nyilvános előadásra alkalmasnak tartom. A beadás időpontja: témavezető Nyilatkozat az önálló munkáról Alulírott, Raport Dániel (CVB6JL), a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem hallgatója, büntetőjogi és fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem és sajátkezű aláírásommal igazolom, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem, és dolgozatomban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen, a hatályos előírásoknak megfelelően, a forrás megadásával megjelöltem. Budapest, Raport Dániel vi

7 TARTALOMJEGYZÉK Köszönetnyilvánítás... ix Jelölések jegyzéke... x Bevezetés Az oszcilláló rendszer bemutatása A buborék fizikája, periodikus viselkedése Változó méretű buborék és a közeg paraméterei A rezgés jellemzői és hatásai A kavitáció típusai Alkalmazások különböző technológiákban A dolgozat céljai A számítások módszere Az alkalmazott modell bemutatása Egyensúlyi buboréksugár a gerjesztetlen rendszerben Az elsőrendű rendszer A gerjesztett rendszer dimenziótlanítása A dimenziótlan egyenletrendszer linearizálása További ismertebb buborékmodellek A módszer validálása elvégzett mérések eredményeivel A nemlineáris oszcilláció vizsgálati lehetőségei Numerikus szimuláció kezdő lépései Periodikus és kaotikus tartományok megállapítása Kezdeti érték megoldó az y1-y2 fázissíkon Periodikus megoldások értelmezése bifurkációkon keresztül Kaotikus rendszerek mérőszáma, a Ljapunov-exponens Jelentős buborék-falsebességek keresése Maximális sebességek táguláskor, vizsgálat fázissíkon Mach-számok ábrázolása bifurkációs diagramon Vizsgálat a nyomásamplitúdó teljes tartományán Frekvencia bifurkációs diagramok konstans nyomásamplitúdón Alkalmazástechnikai optimum összefoglalása paraméterdiagramok felvétele Bifurkációs struktúrát kirajzoló kapcsolatok Kaotikus tartományok bemutatása kontúr diagramon Összefoglalás vii

8 Summary Felhasznált források viii

9 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Szeretnék köszönetet mondani tanáromnak és konzulensemnek, Dr. Hegedűs Ferencnek, aki megismertette velem a kavitációs gőz/gázbuborékok vizsgálati lehetőségeinek alapvető tudnivalóit, és témájával, ötleteivel minden esélyét megteremtette egy színvonalas munka létrejöttének. Köszönettel tartozom családomnak, különös tekintettel szüleimnek, akik tanulmányaimat már a középiskolai évektől kezdve ódaadóan és rendületlenül támogatják. Korántsem utolsósorban hálámat szeretném kifejezni azon kedves ismerőseimnek, akik a körülmények pillanatnyi kedvezőtlenné válásakor előzékenyen ajánlották fel saját segítségüket is néhány nélkülözhetetlen számítás befejezésére. Budapest, Raport Dániel ix

10 JELÖLÉSEK JEGYZÉKE A táblázatban a többször előforduló jelölések magyar nyelvű elnevezése, valamint a fizikai mennyiségek esetén annak mértékegysége található. Az egyes mennyiségek jelölése ahol lehetséges megegyezik hazai és a nemzetközi szakirodalomban elfogadott jelölésekkel. A ritkán alkalmazott jelölések magyarázata első előfordulási helyüknél található. Latin betűk Jelölés Megnevezés, megjegyzés, érték Mértékegység c L hangsebesség a folyadékban m s m G gáz tömege a buborék belsejében kg n politropikus kitevő 1 p nyomás a folyadéktérben, buboréktól távol bar p g0 referencia gáznyomás bar p ref referencianyomás dimenziótlanításhoz bar p A nyomásamplitúdó bar p G gáz parciális nyomása bar p L buborékfalra ható nyomás bar p V gőz parciális nyomása bar t idő s v max maximális falsebesség buborék tágulásakor m s y 1 dimenziótlan buboréksugár 1 y 2 dimenziótlan buborék-falsebesség 1 Ma Mach-szám 1 Ma max maximális Mach-szám 1 N periódusszám 1 P környezeti nyomás bar R buboréksugár 1 R 0 referencia buboréksugár m R E egyensúlyi buboréksugár m R buborék falsebessége m s R buborék falának gyorsulása m s 2 T közeghőmérséklet C T 0 gerjesztés periódusideje s R specifikus gázállandó J (kg K) x

11 Görög betűk Jelölés Megnevezés, megjegyzés, érték Mértékegység λ Ljapunov-exponens 1 μ L folyadék dinamikai viszkozitása Pa s μ ref, μ B ref, μ ref referencia viszkozitások Pa s ρ L folyadék sűrűsége kg/m 3 σ felületi feszültség N/m τ dimenziótlan idő 1 τ 0 gerjesztés dimenziótlan periódusideje 1 τ v állandósult válasz periódusideje 1 ω gerjesztési frekvencia 1/s ω E buborék csillapítatlan sajátfrekvenciája 1/s ω R gerjesztés relatív frekvenciája 1 Indexek, kitevők Jelölés Megnevezés, értelmezés ref referencia max legnagyobb érték A amplitúdó E egyensúlyi G gáz fázis L folyadék R relatív V gőz fázis xi

12 BEVEZETÉS Mozgást végző rendszerek viselkedésének befolyásolása többféleképpen történhet: csak a gyakran alkalmazott megoldások felsorolásával mechanikailag, hő hatására vagy éppen akusztikus úton, hangsugárzás segítségével. Ha buborékokat kis viszkozitású, folyékony halmazállapotú közegben valamilyen külső hatásnak vetünk alá, fizikai tulajdonságai látványos változásokat mutatnak. Ezt a hatást nevezzük gerjesztésnek, mely vonatkozásában pár lényeges adatot, paramétert gyakran ismerünk, és amelyre a rendszer egy megfigyelhető reakcióval, ún. válasszal rendelkezik. Nincs ez másként folyadékban keletkező buborékok esetében sem, amelyek a külső tényezők hatására megváltozott, rendszerint bonyolult eszközökkel leírható mozgással jelentkeznek. A kialakuló összetett folyamat mind hatásvizsgálati, mind alkalmazástechnikai szempontból tanulmányozandó, révén a mérnöki kutatásoknak egy igencsak újkori, még kevéssé alátámasztott szegmensét képezi. Ezek a lehetőségek adhatnak ötletet arra, hogy egy ismert anyagjellemzőkkel rendelkező folyadékban vízben vizsgáljuk az ultrahanggal stimulált buborékok bonyolult mozgásait. Különféle ipari tevékenységekkel kapcsolatban gyakran emlegetjük a kavitáció fogalmát, mely általános megállapítás szerint olyan fázisátmenet, amely során gázrészecskék (gőzbuborékok) alakulnak ki folyadékban, egészen pontosan annak kis nyomású tartományaiban. A kialakult emberi felfogás szerint a kavitáció főleg áramlástechnikában alkalmazott gépeket roncsoló, élettartamukat rövidítő jelenség, melyet ezen természetéből adódóan kerülni kell. A folyadékban keletkezett gőzbuborékok gerjesztés hatására kialakuló mozgása pulzáló, mely ismétlődő összeroppanások és tágulások váltakozásával jár. Ez a mozgásforma pedig bizonyos esetekben olyan fizikai következményekkel bír, melyek miatt a folyamatot számos technológiában felhasználják. Ilyen vizsgálandó körülménynek bizonyulnak a buborék oszcillációja során kialakuló extrém magas hőmérséklet és nyomás valamint az összeroppanással eredményezett lökéshullám. Jelen dolgozatban végzett elemzések egyik fő feladata az, hogy a gerjesztési nyomásamplitúdó és gerjesztési frekvencia, mint változtatható paraméterek függvényében megtaláljuk azon tartományokat, ahol a fentebb említett körülmények fennállnak. A felhasznált buborékmodell értelmében az elemzést egyetlen gömbszimmetrikus buborék viselkedésének feltérképezésére végeztük el. Az újszerűnek mondható témában végzett numerikus számítási módszer létjogosultságát, illetve a kiértékelési folyamat megbízhatóságát az utóbbi évtizedekben sokat fejlődött nemlineáris dinamika, továbbá az egyre növekvő számú publikációt felmutató kaotikus fizika tudományterületek felfedezései, modelljei biztosítják. 1

13 1. AZ OSZCILLÁLÓ RENDSZER BEMUTATÁSA 1.1. A buborék fizikája, periodikus viselkedése Ha megfigyelünk egy gerjesztett folyékony közeget, egyetlen apró buborék mely belseje gőzt és gázt egyaránt tartalmaz méretéhez képest meglepő, rendkívül számottevő volumenű hatások beindítására vagy kialakítására képes. Mindezek magyarázatához igen bonyolult matematikai és fizikai eszköztárhoz kell nyúlnunk, a viselkedés feltérképezése azonban elengedhetetlen tudásanyaggal szolgál a kavitációs roncsolást alkalmazó technikák számára. Az akusztikai zavarás spektrumának elvi tanulmányozása leginkább a modern fizika fejlődő ágazatait érinti és a gerjesztett nemlineáris rezgések problémáját veti fel, ahogy arra Parlitz et al. (1990) rávilágít. Egy buborék kialakulásához minden esetben legalább két fázis jelenléte szükséges, sosem létezhet mindössze egyfázisú anyagban (Lauterborn és Kurz, 2010). A folyadékban létrejövő buborékot egy folyékony halmazállapotú anyaggal körülvett, egyszerre gázt és gőzt tartalmazó testnek tekintjük. Buborék továbbá a természetben a legritkább esetben fordul elő egyedül mégis, egy önálló buborék viselkedésének leírása lehet a kiindulópont jóval összetettebb rendszerek, halmazok viselkedésének megértéséhez. Ennek segítségére számtalan kifejtett tudásanyag áll rendelkezésre, a szakirodalmi publikációk és új felfedezések száma pedig évről évre nő a témával kapcsolatban. Többségük kísérleti alapja a buborék viselkedésének tanulmányozására annak akusztikus csapdában való megfigyelése. Lauterborn et al. (2008) alapján a kísérlet során egyetlen kisméretű buborékot fogva tartanak egy hangtérben, melyben - valamilyen interferencia útján keletkezett állóhullám figyelhető meg. Ez magában hordozza, hogy a hangnyomás legnagyobb értéke minden pillanatban a tér egy adott pontjában figyelhető meg, ez az amplitúdópont (antinode), melyben a buborékot lebegtetik. A hangteret leíró állapotot egy külső, jellemzően szinuszos függvénnyel rendelkező hatás hozza létre, például a közeghatárról visszavert hullámok találkozásával. Ez a külső hatás egy tényleges mennyiséggel megadható hangnyomás-amplitúdóból és a trigonometrikus függvény argumentumában szereplő frekvenciából (tetszés szerint az ezzel kifejezhető periódusidőből) álló összefüggés. Alakjának köszönhetően periodikus ismétlődést gyakorol a rendszerre, az ilyen függvénnyel leírt hatást ekképp harmonikus gerjesztésnek nevezzük. Akusztikus csapda alkalmazásával kialakított közegben a buborék gyakorlatilag egy önszerveződő rendszernek tekinthető, vagyis méretét és alakját a beható frekvencia és nyomásamplitúdó nagyságához idomulva veszi fel. Többek között Young (2005) szerint a fizikai sajátosságokon túl egy egyedülálló gerjesztett buborék akusztikus térbe terelése olyan információkkal is szolgálhat, mint az oszcilláció fényemissziós hatása (szonolumineszcenciája). Utóbbi egy kavitációval összefüggésbe hozható jelenség, mely az ultrahangtérben előforduló fénykibocsátó üreg vagy éppen buborék jelenlétére utal. 2

14 VÁLTOZÓ MÉRETŰ BUBORÉK ÉS A KÖZEG PARAMÉTEREI Folyadékban lévő buborék általánosan rezgőrendszerként kezelhető. Mozgása során egy tetszőleges méretű buborék alakja számottevően változhat, ez pedig az oszcilláló mozgás fizikai hatásaira irányuló számításokat jelentősen bonyolíthatja. Ha azonban kis méretben gondolkodunk, Koch et al. (2011) szerint a gömbszimmetria feltételezése helyesnek bizonyulhat. Ennek magyarázata, hogy a buborékfalra, mint közeghatárra a buborékmérettel fordítottan arányos tényező, a felületi feszültség hat, mely a buborékot eredeti méretéhez képest is még inkább összehúzza. A kis méretet szem előtt tartva tekintsünk tehát egy gömbszimmetrikus buborékot: a leíró modellek felállításához a testet körülvevő folyadék és a belső gőz/gáztartalom jellemzőinek tisztázása szükséges. Gömbszimmetrikus esetben a méretet és formát meghatározó mérhető mennyiség szükségszerűen és elegendően a buboréksugár R, melynek időbeli változását keressük (R(t)). Gerjesztés hatására a buborék oszcilláló mozgást végez, vagyis egy egyensúlyi helyzete körül annál nagyobb méretűre tágul illetve kisebbre húzódik öszsze, ismétlődő jelleggel. Az 1.1. ábrán feltüntetett paraméterek tartalmazzák az egyensúlyi helyzetet reprezentáló R E egyensúlyi buboréksugárt, a modell megadásához szükséges anyagjellemzők mellett. Ilyen anyagjellemzők a buborék belsejében ideális gázként kezelt közeg állapotváltozásának (adiabatikus vagy politropikus) általánosan jelölt n kitevője valamint a folyadék ρ L sűrűsége és μ L dinamikai viszkozitása ábra: Buborék leírásához szükséges paraméterek (Lauterborn és Kurz, 2010) a később bemutatott buborékmodell szerint alkalmazott jelölésekkel Az ábrán továbbá jelölt mennyiségek közül a buborékon belül és kívül fellépő parciális nyomáskülönbség (p V + p G ) p a közegbeli buborékmozgásért felelős, σ pedig a buborék falán értelmezhető felületi feszültség. A nyomáskomponensek bővebb jellemzésére a felhasznált modell ismertetése tér ki a következő fejezetben. 3

15 A REZGÉS JELLEMZŐI ÉS HATÁSAI Oszcilláló buborék matematikai leírására a buboréksugárra, mint időben változó mennyiségre definiált mozgásegyenletek szolgálnak. Ezek megoldása a sugárra és annak idő szerinti deriváltjára, a falsebességre felírt kezdeti feltételek megadásával történhet, például Cramer és Lauterborn (1981) nyomán. A fejezetben már bevezetett harmonikus gerjesztés meghatározott periódusidővel rendelkezik, hatására az egyszerűség kedvéért mindaddig nyugalmi helyzetben megfigyelt buborék rezgőmozgást végez. A gerjesztésre a buboréksugár hirtelen megváltozásával reagál, majd a közeg csillapítóképességétől függő ideig ún. tranziens oszcillációkat produkál. Ezek lecsengése után a buborék is egy állandósult periodikus mozgást végez, mely során helyzete, vagyis sugarának mérete azonos időközönként ismétlődik. Ez az időköz a válasz periódusideje, mely nem feltétlenül egyezik meg a gerjesztés periódusidejével. A változó buboréksugár és az idő kapcsolatát egyszerűen szemlélteti az 1.2. ábra, mely egy perióduson belül a rezgőmozgás alapvető fázisait mutatja be. Az oszcillálást jól követő görbe sugallja, alkalmas gerjesztési és közegparaméterek mellett milyen hirtelenséggel roppanhat össze, majd tágul ismét a buborék felszíne ábra: Szabadrezgést végző gömbszimmetrikus buborék egy lehetséges R t kapcsolata állandósult állapotban Nemlineáris rezgést végző gömbszimmetrikus buborékok tipikus példája a fenti ábra, a hosszú, elnyújtott tágulási folyamatot meredek görbével leírható összeroppanás követi. Ez sejteti, milyen extrém lökéshullámokat generál a vibrálás azon szakasza, amikor a sugár maximum értékének nagyságrendjéből hirtelen gyakorlatilag mikroszkopikusan kicsi méretűre húzódik össze, majd ismét felduzzad. Az összeroppanás fázisában ugyanis a buborék falsebessége ugrásszerűen megnő, ami számottevő fizikai következményekkel jár: minimálisra zsugorodott buborék esetén a nyomás akár 1000 bar, a hőmérséklet pedig a 8000 K értéket is elérheti Brennen (1995) szerint. A rendkívül 4

16 magas hőmérséklet természetszerűleg kémiai reakciók beindítását eredményezi, valamint fúziós jelenségek létrejöttéért is felelős. Utóbbit többen mérésekkel igazolták, például Lahey et al. (2007) deutérium tartalmú acetonban végzett kísérleteknek köszönhetően. Taleyarkhan et al. (2002) pedig numerikus úton belátta, hogy a közvetlenül a fúziós folyamatban résztvevő, nagyon kis méretűre összeszorult buborékok belsejében a hőmérséklet felső határa K is lehet. Természetesen az 1.2. ábrán vázolt mellett számtalan olyan esetet vizsgálhatunk, amikor a válaszfüggvény időben sokkal kevésbé szabályos. Például nagyobb nyomásamplitúdó alkalmazásával állandósult állapotban is kialakulhat olyan jelalak, amikor a kicsi gömbszimmetrikus buborék sugara az egyensúlyi helyzet körüli kis amplitúdójú oszcillációkat követően hirtelen megnő, majd minimálisra húzódik, a periódus végére pedig a csillapításnak köszönhetően gyorsan az egyensúlyi helyzetbe kerül. Ilyenkor az ugrásszerű növekedés utáni összeroppanás is természetesen jóval meredekebb lehet (giant response, lásd Lauterborn és Kurz (2010)) A kavitáció típusai Az akusztikai zavarnak, egy egészen praktikus és a dolgozat témáját is érintő példát említve ultrahang-besugárzásnak kitett folyadékban üreg- vagy buborékképződés jön létre, írja Lőrincz (2006). Feltétele, hogy az akusztikai nyomás a folyadéktérben uralkodó teljes nyomást tekintve lecsökkenjen egy határérték, a kavitációs küszöb alá. A szükséges alkotóival az eddigiekben már jellemzett rendszerben kialakuló jelenséget akusztikai kavitációnak nevezik, amely természetbeni előfordulás és felhasználási lehetőségek alapján két típusra osztható, lásd Mason et al. (2003). Tranziens esetben a gázzal (vagy nagyon kis mennyiségben gőzzel) töltött kavitációs buborékok szabálytalan rezgéseket végeznek, a kavitációs üreg megnövekszik, majd hevesen összeomlik, magas helyi hőmérsékletet és nyomást, valamint a folyadékban komoly nyíróerőket és szabadsugarakat eredményezve (1.3. ábra). Erre a típusra ugyancsak használatos a tehetetlenségi vagy hard kavitáció elnevezés is, Lőrincz (2006) szerint. A másik eset a stabil kavitáció, amikor a buborékok több akusztikai cikluson keresztül rendezetten oszcillálnak az akusztikai tér elhagyása vagy összeomlás nélkül. A depresszió (a buborékfalra ható nyomás csökkenő fázisa) során méretük csökken, az ellenkező fázisban a bennük lévő gőztartalom miatt kitágulnak. 5

17 1.3. ábra: Kavitációs üreg megnövekedését követő összeomlási folyamat, tranziens kavitáció (Lőrincz (2006)) 1.3. Alkalmazások különböző technológiákban A kavitációs gőzbuborékok viselkedésének egyes szakterületeken kihasználható pozitív tulajdonságai ahogy a célkitűzést ismertető bevezetésben megemlítettem - jól ismertek, és beszámolhatunk régóta bevált vagy még kevésbé elterjedt, sőt jelenleg kísérleti stádiumban lévő alkalmazásairól. Az ultrahangos besugárzás mint gerjesztés nyomán kialakuló akusztikai kavitációs jelenség mérnöki jellegű felhasználási területei közül legfőképp az élelmiszeripar és anyagtechnológia érdemel említést. Rajtuk kívül pedig az orvostudomány és a biotechnológia ismert alkalmazásait is röviden jellemezni kívánom. Mindenekelőtt kifejezetten ezeket az eljárásokat ismertetve Lőrincz (2006) nyomán megjegyezhetjük, hogy az ultrahang a kibocsátott teljesítménye alapján W két osztályba sorolható: 1 (10000 W cm 2 m2) hangintenzitás alatt passzív, afölött pedig aktív ultrahangról beszélünk. Ultrahang alkalmazási területei közül eszerint passzív ultrahangos eljárást alkalmaznak például olajipari feltárásokra, kőzetek és talajrétegek analízisére, hajózásban a szonártechnológia gyakorlatában, vagy tengerészeti céllal halfalkák felkutatására. Egyre elterjedtebb a folyamatirányítást korszerűen szolgáló ultrahangos áramlásmérők és tartálybeli folyadékszintmérők gyártása. Ezen felhasználások legnagyobb része az ultrahang folyadékban mért sebességén és a közegben indukált lökéshullám megfigyelésén alapul, ám mivel a dolgozat tárgyát képező buborékképződéssel nem állnak szembetűnő kapcsolatban, a továbbiakban velük nem foglalkozunk. Az aktív ultrahangos gerjesztéssel operáló technológiák rendkívül széleskörűek, melyek legtöbbjének fő célja (vagy legalábbis közvetett kritériuma) az anyagáram és hőátvitel növelése, az impulzustranszport megvalósítása és gyorsítása két fázis között, lásd Hegedűs (2012). A következő felhasználások rávilágítanak arra, hogy bár a kavitáció a természetben egy valóban roncsoló jelenség, mégis, pontosan annak roncsoló hatásmechanizmusát felismerve alakulhatott ki számos esetben korszakos jelentőségű felfedezés alkalmazására. 6

18 Az élelmiszeriparban az egyre fejlődő és elterjedő felismeréseknek köszönhetően lassan nincs olyan munkafolyamat, amely nem használhatná fel az ultrahangos buborékképzést. Elsődlegesen tisztításra, hő- és anyagtranszport-folyamatok gyorsítására, szárításra, keverésre, húskészítményeknél a pácolási folyamat gyorsítására, szűrés elősegítésére és további számos szeparációs művelet elvégzésére alkalmazzák magát az aktív ultrahangot. Chemat et al. (2010) kategorizálta az élelmiszeripari tevékenységeket azok elvégzésére felhasználható hagyományos és valamilyen ultrahangos elvet magában foglaló módszerek összehasonlítása szerint. Kavitációs jelenséggel kapcsolatos alkalmazást említenek habzásgátlási (szénsavas italok és erjesztett termékek, konzervek) és oxidációs (alkoholok) műveletek, valamint emulziók képzése (ketchup, majonéz) és sérülékeny termékek veszteséggel járó vágása esetén. Az ultrahangos eljárás mindegyik esetben kevesebb időt vesz igénybe, növeli a késztermék összetételi stabilitását és a higiéniát, a keletkező veszteségek minimálisra csökkentése mellett. A habzás, mint egymáshoz nagyon közel elhelyezkedő buborékok diszperz (gázrészecskék folyadékban) rendszere, kiválóan kontrollálható a felesleges képződés megakadályozásával vagy éppen ellenkezőleg annak fokozásával. Az 1.4. ábrán vázolt elektronikus vezérlésű ultrahangos transzdúcer forgása közben a hozzá rögzített emitter hangkibocsátásának hatására bonyolult anyagmozgásokat hoz létre a kezelt termékben, megnövelve ezzel a habzó felületet. A buborékok nagy többsége a kiterjeszkedett rendszerben azonnal összeroppan és eltűnik az akusztikus besugárzás alatt, további részük a dinamikus mozgás során egymással való ütközések miatt robban szét. Az úgynevezett habtörési művelet optimalizálására persze nem csak a hangintenzitás mértéke, hanem egy minimális kezelési idő ismerete is szükséges, ahogy azt Rodríguez et al. (2010) a fenti folyamattal együtt részletezte ábra: Ultrahangos transzdúcer habtörésre (habzás csökkentése), forrás: De-Sarabia et al. (2006) 7

19 Friedrich (2008) összehasonlítást végzett a hagyományos, az úgynevezett tumbleres és az ultrahangos pácolási technológiák között, és azt találta, hogy az ultrahang egyenletesebb sóeloszlást és a húsminta teljes keresztmetszetében egyenletesen puhább állományt biztosított, mind a középső, mind a szélső rétegekben. Ennek fő oka, hogy az ultrahang az állományon belüli roncsolással lazítja a rostszerkezeteket, 3 4 cm 2 hangintenzitással már 1,5 órás kezelés alatt jelentős rosttávolság-növekedést tesz lehetővé. A pasztörizálási tevékenységbe is beszökő ultrahangos technológia komoly előrelépést jelentett a tejtermékek előállítása, kezelése szempontjából is. Cameron et al. (2009) sikeresen megmutatta, hogy az így alkalmazott technikával elért E. coli, Pseudomas fluorescens és Listeria monocytogenes baktériumok pusztításának nincs káros hatása a pasztőrözött tej protein- és tápanyagtartalmára. Ráadásul a hagyományos, legtöbbször körülbelül 70 C-on mintegy 30 percig tartó kezeléssel összevetve az ultrahangos pasztörizálás rövidebb idő alatt, mérsékeltebb hőmérsékleten (50 C) végbemehet, az UHT-eljárásokhoz viszonyítva pedig még hangsúlyosabb a különbség. A technológia során hangsúlyos hőmérsékletet ugyanis nem további közvetlen hőbesugárzással, hanem a baktériumok és szövetbuborékok összeroppanásával járó hőfejlődéssel is biztosítani lehet. Hővel párosítva az ultrahang növeli az élelmiszerek csírátlanításának sebességét, az önálló hőkezeléshez viszonyítva pedig csökkenti a ráfordítandó időt, az intenzitást és az okozott károkat, beleértve a termék ízének romlását, megváltoztatását, lásd Vercet et al. (2001). Az ultrahang ipari alkalmazásnak örvendő egyik legrégibb felhasználási példája a polimerek degradációja. A kavitáción keresztül megvalósított depolimerizáció jelenthet mechanikai (kavitációs buborék összeroppanása útján) és kémiai (a polimer és a kavitációval felszabaduló aktív molekulák, pl. hidroxil-gyökök reakciója útján) bomlást, írja Grönroos et al. (2004) tanulmányában. Az eljárás használatos keményítők lebontására, közvetve tehát az élelmiszeriparnak is komoly érdekeltsége, felfedezése pedig egészen 1933-ba nyúlik vissza Szent-Györgyi Albert nevéhez fűződően. Az anyagtechnológiában a polimerekkel kapcsolatos kutatások elsősorban új anyagok előállítását célozzák meg, sok esetben a polimerláncok tördelésének lehetőségét kihasználva, melyet ultrahang képes előidézni. A nagy intenzitású ultrahang egyik hamar ismertetett hatása ugyanis Flosdorf és Chambers (1993) valamint Gyorgi (1933) szerint a polimerláncok oldatban való tördelése volt amely egy hasadás következtében létrejövő irreverzibilis lánchosszredukciót jelent, melyet tehát nem feltétlenül kémiai folyamat indíthat be. Az oldatba két különböző típusú polimert helyezve a töredezés eredményeként szabadgyökök keletkeznek, és azok reakciójával hoznak létre új polimereket, valamint általánosan ez a folyamat felel meg láncvégi polimerek és blokkkopolimerek szonokémiai előállítására (Price (1996)). A biotechnológia ágazatát érintik azok az ultrahangos eljárások, melyekkel az emulziók és szuszpenziók szelektív akusztikai szeparációja illetve ülepítésének gyorsítása érhető el. A hozzáférhető berendezésekből fakadó költséghatékonysága miatt a technológiát elsősorban a szennyvíz-, környezet- és fermentációs iparban használják. 8 W

20 Szennyvíz kezelése során például nem kizárólag szemcseméreten alapuló leválasztás lehetséges: Mahvi (2009) számolt be a tisztítandó víz alga-, gomba- és oldott szervesanyag-tartalmának ultrahang-besugárzással történő eltávolítási lépéseiről. Az elmúlt pár évtized során szintúgy számos publikáció vizsgálta az ultrahang sejtbiológiai hatásmechanizmusát. Ahogy a kavitációs eljárásoknál általában, a sejtbiológiában is a roncsoló jelzővel illethetjük az alkalmazások különféle technikáját Hughes (1961) bizonyította, az akusztikai kavitáció során keletkező szabadgyökök is aktívan hozzájárulnak a mechanikai roncsolás kiváltotta sejtpusztuláshoz. Legáltalánosabban Morton et al. (1982) fogalmazta meg azt, hogy a szuszpenziókban lévő sejtek szétesnek, széttöredeznek ultrahangos besugárzás hatására. Specifikusabban Miller et al. (1995) ultrahangos gerjesztés segítségével történő DNS-fonal töredezéséről, Macintosh és Davey (1970) pedig kromoszómaszéttöredezésről beszélt. Ezekkel a felfedezésekkel is szorosan összefügg az ultrahang mutagén (genetikai károsodást okozó) hatásának felismerése: Thacker (1974) ennek bizonyítása mellett azt is belátta, hogy mutagén elváltozásokra való hajlandóság a hőmérséklet emelkedésével nő. Egy másik fontos közegparamétert vizsgálva pedig Cartensen et al. (1993) nyomán számolhatunk be arról, hogy a sejtroncsolás mértéke a közeg viszkozitásának növekedésével csökken, vagyis például vízben jobban garantálható a sejtek megfelelő oldódása, mint nehezebben folyó szuszpenzióban. Orvosi berkekben a kezdetben leginkább csak reumatológiára szolgáló terápiás alkalmazások mellett ma már sebészetben és urológiában, valamint rákos betegségek kezelésében is feltűnik az ultrahang. Reumatológiában végzett terápia lényege például, hogy az ultrahang mechanikus (mikromasszázs-hatás a rezgések miatt), termikus (szövetek és határrétegek melegítése révén) és kémiai hatása következtében izomlazító, értágító hatást érnek el, miközben a kezeléseket akár víz alatt is el lehet végezni, különböző hatóanyagok (gyógyszerek) kezelni kívánt területbe juttatásával, lásd Kovács et al. (2008). Urológiában az akusztikai kavitációval járó rendellenes lökéshullámok erejét használják ki, az úgynevezett extrakorporális lökéshullám-kezelés (ESWL) elterjedt módszer vese- és epekőzúzásra. Ennek során a követ vagy köveket radiológiai vagy ultrahangkontrollal nagy energiájú lökéshullámok fókuszában helyezik el, míg a terápiás fókuszban a nyomás bar lehet. Az eljárás alapja az, hogy a folyadékban (vagy lágyrész szövetekben) akadálytalanul terjedő lökéshullám két különböző halmazállapotú anyag így a kő és a folyadék határán megsemmisítést okoz, ezzel pár kezelés alatt több ezer lökéshullám lehetővé teszi a kövek felaprítását, szintén Kovács et al. (2008) szerint. A ma már sokat emlegetett MR eljárásra (mágneses magrezonancia) alapozva daganatok pusztítása érhető el oly módon, hogy több transzdúcer a test egy pontjára fókuszált sugarának hatására fehérjék csapódnak ki, és a daganatok nekik köszönhetően szívódnak fel. Hasonló eljárást jelent a magas intenzitású fókuszált ultrahang (HIFU) besugárzása, mellyel prosztata ultrahang-diagnosztikára alapozva a rákos szövetek kezelhetők. Lőrincz (2006) rámutatása alapján lényeges kü- 9

21 lönbsége az MR-berendezéshez képest csupán az, hogy a test átvilágítása nem mágneses rezonancia, hanem ultrahang segítségével oldható meg. Egy nagyon ígéretes válfaja az ultrahangos technológiáknak a génterápia (génmanipuláció), mely szintén rosszindulatú daganatok kezelésére szolgálhat. Az eljárás során egyfelől mikrobuborékokat, másfelől a betáplálandó géneket tartalmazó úgynevezett terapeutikumokat juttatnak a célsejtek közelébe. Az ide történő ultrahang-besugárzással a kavitációs buborékok felrobbannak, a megsérülő sejtmembránon keresztül pedig a gének bejutnak a célsejtbe, ezt követően a sejtek regenerálódnak. A gének sérthetetlenségének biztosításához mindenesetre a DNS-láncok védelme is szükséges, ugyanis a sugárzás következtében kialakuló kavitáció azok nyírásához és pusztításához vezethet. Wasan et al. (1996) erre azt találta, hogy a plazmid DNS megfelelő védettséget élvez a kavitációval szemben, ha a módszerhez kationos liposzómák (ezek szintén buborékszerű üreges golyók) sejtközelbe juttatását alkalmazzák A dolgozat céljai Ahogy az imént részletezett példák is rámutatnak, a kavitáció során létrejövő buborékok alkalmazástechnikailag kihasználható nagy előnye a szokatlan fizikai hatásokat produkáló viselkedésükben rejlik. Az egyes alkalmazások rendre a kavitációs buborékok összeroppanásával keletkező hirtelen lökéshullámok, az összeroppanás helyén észlelhető kiugróan magas hőmérséklet roncsoló mechanizmusán alapulnak. Ezen ultrahangos technológiák tanulmányozása megfelelő alapot nyújtott arra, hogy egy harmonikusan gerjesztett gőz/gáz buborékot vizsgáljunk kis viszkozitású vízben, mint hordozó közegben, mely anyagtulajdonságainak köszönhetően (viszkozitás, hangsebesség, sűrűség) lehetővé teszi nagyobb amplitúdójú és kis periódusidejű (gyorsan oszcilláló) lengések végbemenetelét is. Közvetlenül a viszkozitás azért is rendkívüli fontossággal bíró közegparaméter, ugyanis ennek nagysága befolyásolja a kavitációs folyamat során fellépő nyíróerőt és ezzel a kialakuló tranziens oszcillációk dinamikáját. A gerjesztési paraméterek vizsgálatával olyan tartományok keresése a cél, amelyek esetén minél nagyobb buborék-falsebességek jegyezhetők fel, a gyors összeroppanásért ugyanis közvetlenül ez felelős. Ez arra ösztönöz, hogy nagy Mach-számokat keressünk, ahol annak értéke ugyanis 1-nél nagyobb, ott a falat összenyomó áramlás sebessége átlépi a helyi folyadékbeli hangsebességet. Különböző típusú oszcillációk, ha úgy tetszik, válaszfüggvények keletkezhetnek a gerjesztett rendszerben a buborék nemlineáris mozgása miatt. További célunk tehát vizsgálni az eltérő jellegű periodikus (1, 2 és több periódusú) vagy kaotikus megoldásokat eredményező tartományokat, mivel azok különbözősége más-más körülményekben nyilvánul meg, például az indukált lökéshullám ereje is egymástól eltérhet, lásd Hegedűs (2012). A kaotikus tartományok feltérképezésére a feladatmegoldások során ismertetett nemlineáris dinamikai mérőszám, a Ljapunov-exponens értékét vizsgáljuk, 10

22 mely a nyomásamplitúdó relatív frekvencia paramétersíkra illesztve megfelelő információval szolgál a buborékmozgás fajtájáról. Az ebből levonható következtetések könnyedén elősegíthetnek bizonyos ultrahangot alkalmazó technológiákat, ugyanis megmutatja, hogy a kívánt erejű lökéshullámot a műszereken beállítható két fő paraméter hangintenzitás és frekvencia mely értékeinél érhetjük el. 11

23 2. A SZÁMÍTÁSOK MÓDSZERE 2.1. Az alkalmazott modell bemutatása Ahogy az előző fejezetben bevezetésre került, a buboréksugár időbeli alakulásának leírását mozgásegyenletekkel tehetjük meg. Ezek megoldása, tehát a buborékoszcilláció keresett jellemzőinek tetszőleges tartományon elvégzett számítása valamilyen, a rendelkezésre álló szakirodalmakból alkalmasan megválasztott buborékmodellel történhet. A feladat numerikus számításaihoz felhasznált modellt Keller és Miksis (1980) vezette be, melyet publikálóinak köszönhetően Keller-Miksis-modellnek hívnak. A választásnál már szem előtt kellett tartani, hogy a feladat megoldása során a folyadék összenyomhatóságát is figyelembevevő modell szükséges, ugyanis elsősorban a nagy buborékfal-sebességek feltérképezése érdekel. Lauterborn és Kurz (2010) alapján a mozgásegyenlet közönséges másodrendű differenciálegyenletként a (2.1) szerinti explicit időfüggést kiküszöbölő alakban írható. (1 R ) RR + (1 R ) 3 R 2 = 1 (1 + R c L 3c L 2 ρ L 12 c L ) (p L p (t)) + R d(p L p (t)) ρ L c L dt (2.1) Az egyenletben pedig ismerjük, hogy R(t) az időben változó buboréksugár, ρ L a folyadék sűrűsége, c L az adott folyadékban értelmezett hangsebesség, p L a buborék falára ható nyomás, a fal külső felületén a folyadék fázisban. A buboréktól távol értelmezett, szintén folyadéktéri nyomás p (t) egy gerjesztéstől független statikus és gerjesztési paraméterektől függő periodikus tag összegeként írható: p (t) = P + p A sin(ωt), (2.2) amelyben P a környezeti nyomás, p A és ω a gerjesztési nyomás amplitúdója illetve körfrekvenciája. Fontos továbbá vizsgálni a buborékfali nyomást, nevezetesen összehasonlítani a fal belső és külső felületén tapasztalható nyomásértékeket. A buborék belsejében ugyanis vízgőz és nem kondenzálódó, ideálisnak tekintett gáz keveredik. Ezen komponensek parciális nyomásaival tart egyensúlyt a külső falfelületen ható impulzusösszeg, melyet többek között az imént jellemzett p L mennyiség táplál. A határfelületre felírható impulzusegyensúly tehát az alábbi alakban érvényesül: p G + p V = p L + 2 σ R R + 4μ L, (2.3) R ahol p G a buborék belső nem kondenzálódó gáz komponensének, p V pedig a gőz komponensnek a parciális nyomása, σ a felületi feszültség továbbá μ L a folyadék dinamikai viszkozitása. A buborék belsejében időtől független állandónak tekinthetjük a kisebb tömeget képviselő gőz p V parciális nyomását, ugyanakkor függ T környezeti hőmérséklettől (a közeg hőmérséklete). A belső gáznyomás ideális állapotváltozást tekintő adiabatikus kapcsolattal jellemezhető:

24 p G = p g0 ( R 0 R )3n (2.4) amelyben p g0 és R 0 a referencia nyomás illetve a referencia sugár, n = 1,4 pedig a jelenleg érvényes adiabatikus állapotváltozás kitevője, hozzátéve, hogy általános esetben a jelölés politropikus (valós) állapotváltozásra utal. A buborékfalon kívül értelmezhető anyagjellemzők paraméterfüggéseit tekintve mindenekelőtt megállapíthatjuk, hogy a tiszta víz összes részletezett anyagjellemzője függ a közeg P nyomásától és T hőmérsékletétől. Jelen esetben azonban σ felületi feszültségnek csak hőmérsékletfüggését vettük figyelembe, minden más anyagjellemző, így ρ L, μ L és c L a közegnyomástól is függ, és értékük az egyes számítások során állandónak vehető. A vizsgált folyékony közeg víz lévén, a fenti anyagi tulajdonságok számszerű értékét Haar et al. (1988) szerint a Haar-Gallagher-Kell-állapotegyenlettel határoztuk meg EGYENSÚLYI BUBORÉKSUGÁR A GERJESZTETLEN RENDSZERBEN A buborék viselkedésének maradéktalan megértése és a modell ténylegesen determinisztikus megadása végett mindenekelőtt lényeges a gerjesztetlen rendszer áttekintése. Gerjesztetlen esetben a nyomásamplitúdó p A = 0, vagyis a rendszert jellemző hangtéri nyomásfüggvény p (t) a környezeti nyomással megegyező állandóként kezelhető. A referencia értékek meghatározásához egy, buborékot jellemző paraméter megadására még szükség van, ez lehet R E egyensúlyi buboréksugár vagy akár m G gáztömeg. A vizsgálódás első lépéseként keresendők a buborék nyugalmi helyzetét eredményező egyensúlyi megoldások. Ebben a stacionárius esetben a matematikai modell időfüggő tagjainak homogenitására való tekintettel (az idő szerinti deriváltak zérussal egyenlők) R E egyensúlyi buboréksugárra a határfelületre felírt (2.3) egyenletből egy újabb nemlineáris egyenlet írható fel, mégpedig: 0 = p g0 ( R 0 R E ) 3n + (pv P ) 2 σ R E. (2.5) A másik lehetőségünk éppen az, hogy az egyensúlyi sugár vagy gáztömeg helyett a p g0 és R 0 referencia értékeket adjuk meg tetszőlegesen, melyek a (2.6) egyenletben látható módon együttesen határozzák meg a buborék belsejében jelenlévő gáz tömegét az alábbi formulával: m G = 4 p g0 R 0 3 π 3 R T, (2.6) ahol R a specifikus gázállandó. (2.5) egyenletet tovább vizsgálva R E egyensúlyi buboréksugarat szabad paraméternek tekintve, valamint a referencia buboréksugarat R 0 = R E választva, a referencia gáznyomás kiadódik: p g0 = 2 σ R E (p V P ). (2.7) 13

25 AZ ELSŐRENDŰ RENDSZER Modellünket egy másodrendű differenciálegyenlet írja le, a matematikai megoldó célszerűbb leírása és egyben a számolás elvégezhetősége miatt azonban ezt elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerré kell alakítani. Ezt megtehetjük úgy, hogy a (2.1) modellben lévő deriválásokat a lehetséges módon elvégezzük, majd új változókat definiálunk. A rendszert jellemző időben változó nyomáskomponensek p G, p L és p (t) idő szerinti deriválásával az alábbi egyenletek írhatók fel: dp G = 3np dt g0 ( R 0 R R )3n = 3np R R G, (2.8) R dp L dt = dp G dt + 2 σ R + 4μ R R L ( R R )2 R 4μ L, (2.9) R dp (t) dt = ωp A cos(ωt). (2.10) Ezen kifejtett tagokat az eredeti modellbe behelyettesítve, a Keller Miksis-egyenlet (2.1) jobb oldala bővebben kifejthető. (1 R c L ) RR + (1 R 3c L ) 3 2 R 2 = ωp A cos(ωt)r c L ρ L 2σ+4μ LR ρ L R 4μ LR c L ρ L + (2.11) p G (1+(1 3n) R c L ) ρ L (P R +p A sin(ωt) p V)(1+ ) c L. ρ L A buboréksugár idő szerinti második deriváltjait együtthatóikkal bal oldalra rendezve: (1 R c L ) RR + 4μ L c L ρ L R = p L p (t) ρ L + R c L ρ L (p G (1 3n) p (t) + p V ) (2.12) ωp A cos(ωt)r c L ρ L (1 R 3c L ) 3 2 R 2. Az új változókat pedig a buboréksugárra és annak idő szerinti első deriváltjára, a falsebességre vezetjük be, a kiértékelés ábráin is megszokott betűzést (y) választva, nagybetűvel és a megfelelő indexszel jelölve azokat. Y 1 = R, (2.13) Y 2 = R, (2.14) melyek átírhatók kizárólag új változókat tartalmazó egyenletekké, amelyben N az angol terminológiából vett számláló megnevezése (Nominator), D pedig a nevezőt jelenti (Denominator). Ezzel a Keller-Miksis-egyenletből differenciálegyenlet-rendszer hozható létre. Y 1 = Y 2, (2.15) 14

26 Y 2 = N D, (2.16) N és D értéke a (2.12) egyenlet R = Y 2 mennyiségre való rendezésével kezelhető. N = p L p (t) + Y 2 (p ρ L Y 1 c L ρ L Y G (1 3n) p (t) + p V ) ωp A cos(ωt) (1 Y 2 ) 3 Y2 2, (2.17) 1 c L ρ L 3c L 2 Y 1 D = 1 Y 2 + 4μ L. (2.18) c L c L ρ L Y 1 Láthatjuk, hogy N és D megadásánál a tagokat Y 1 = R értékkel leosztottuk mind a számlálóban, mind a nevezőben A GERJESZTETT RENDSZER DIMENZIÓTLANÍTÁSA A vizsgált számítási paraméterek dimenziótlan mennyiségekké alakításával az előbb megalkotott elsőrendű rendszerré alakításon túl elérhetjük azt, hogy az esetlegesen több nagyságrendben változó paraméterek kisebb, jobban kezelhető tartományban legyenek érvényesek. Ekképpen új változóként bevezethető a dimenziótlan idő τ, a dimenziótlan buboréksugár y 1 és a dimenziótlan buborék-falsebesség y 2. A köztük fennálló összefüggésre természetesen igaz, hogy y 2 dimenziótlan falsebességet a dimenziótlan buboréksugár τ szerinti deriválásával kapjuk. Megjegyzendő, hogy az előző fejezetben az utóbbi két mennyiségre definiált új változók nagybetűs jelöléseivel ellentétben a dimenziótlan jellemzőket ezúttal kis betűkkel és ugyanúgy a megfelelő indexszel jelöljük. τ = t 2π ω = ω ( t 2π ) (2.19) y 1 = Y 1 R E (2.20) y 2 = Y 2 R E ω = Y 2 ( 2π ) (2.21) R E ω 2π Ezzel előáll a dimenziótlan elsőrendű differenciál-egyenletrendszer a korábbihoz nagyon hasonlóan: y 1 = y 2 (2.22) y 2 = N D (2.23) A második, (2.23) egyenletben kifejtett számláló és nevező képleteiben már szerepelnek a gerjesztett rendszer referencia mennyiségei illetve a pillanatnyi Mach-szám is. N = (p L p ) + y 2 p ref y 1 μ A ref (p y G (1 3n) p (t) + p V ) p A cos(2πτ) B (1 Ma 1 D = 1 Ma + A referencia értékeket sorba véve a referencianyomás μ ref 3 ) 3 2 y 2 2 y 1, (2.24) 4μ L μ ref y 1. (2.25) 15

27 p ref = ρ L R E 2 ( ω 2π )2, (2.26) a referencia viszkozitások pedig A μ ref μ ref = c L ρ L R E, (2.27) = c L ρ L R E ω 2π = μ ref B ω μ ref = c L ρ L R E = μ A 1 (2π) 2 ref 2π 16 ω 2π, (2.28) (2.29) egyenletekkel írhatók fel. A megjelenő fontos vizsgálati paraméter, a pillanatnyi Machszám formulájában a dimenziótlan rendszer miatt az egyensúlyi buboréksugár is szükségeltetik a buborék-falsebesség és a hangsebesség összehasonlítására: Ma = R E ω y 2 2πc L. (2.30) Változnak a buborék belsejére és környezetére felírható nyomáskomponensek alakjai is. Elsőként a buborékon belüli gáznyomás formulája p G = ( 2 σ R E (p V P )) ( 1 y 1 ) 3n, (2.31) a határfelületen a folyékony közegben, illetve a buboréktól távol a folyadéktérben ható nyomásfüggvények pedig kifejezhetők, mint: p L = p G + p V 2 σ R E y 1 4μ L ( ω 2π ) y 2 y 1 és (2.32) p (τ) = P + p A sin(2πτ). (2.33) Végül érdemes megnéznünk, hogy a modellt leíró változók dimenziótlanítása mellett a vizsgálati paraméterek között találunk-e olyat, mellyel hasonlóképpen szükséges eljárni. A gerjesztést meghatározó mennyiségek közül a kibocsátott hang frekvenciájának értéke széles skálán mozogva akár több nagyságrendet is változhat, ezért törekedni kell az intervallum lényeges szűkítésére többek között a kontrol paraméterek változtatásával kirajzolt bifurkációs diagramok jobb kezelhetősége végett. Ezért a gerjesztési frekvenciát eloszthatjuk egy szintén körfrekvencia dimenziójával rendelkező mennyiséggel, az egyensúlyi buboréksugárhoz tartozó csillapítatlan sajátfrekvenciával, melyet a modell paramétereivel Brennen (1995) határozott meg: ω E = 3n(P p V ) ρ L R E 2 Az ennek segítségével előállított relatív frekvencia alakja pedig: + 2(3n 1)σ ρ L R E 3. (2.34) ω R = ω ω E. (2.35) Így a gerjesztés frekvenciáját egy alacsony tartományban, mindössze egy nagyságrend változásban tudjuk vizsgálni, ω R határait 0,1 és 3 értékeknek választva. Az ultrahang frekvenciájának tartománya az akusztika tudománya szerint körülbelül 20 khz és 100 MHz közé esik. Ennek felsőbb részét az itt bevezetett dimenziótlan frekvencia nem

28 veszi számításba, a jelenlegi paraméterhatárokkal elérhető körfrekvencia ugyanis a mintegy 20 khz és közel 1000 khz határok között mozog - természetesen ezek már meghaladják a hallható hang tartományát. A gerjesztési relatív frekvenciát és a többi paramétert a számítás során alkalmazott értékeikkel a fejezet végi összefoglaló táblázat tartalmazza (2.1. táblázat) A DIMENZIÓTLAN EGYENLETRENDSZER LINEARIZÁLÁSA Ha röviden meg szeretnénk vizsgálni, hogy a tárgyalt rendszer miként reagál a harmonikus gerjesztésre, megfelelően megválasztott paramétersíkot kell felvennünk a kontrol paraméterek vizsgált tartományán. Fontos megállapítást tehetünk olyan paramétersíkot illetően, amikor az oszcilláció során összetartozó dimenziótlan buborékfalsebesség - buboréksugár (y 2 -y 1 ) eredménypárokat ábrázoljuk az idő (szükség szerint dimenziótlan) függvényében. Gerjesztett rendszerben igaz, hogy ilyen fázistérben a modellünkkel számított egymást követő megoldások a folytonosnak vélt ideális pálya körüli kisebb-nagyobb perturbációkkal, egymástól való távolodással jelentkeznek. A perturbációk, vagyis pálya körüli elcsavarodások mértékét jellemzi a csavarási szám (winding number), amellyel bővebben most nem foglalkozunk, helyette egy másik dinamikai mérőszám bevezetését alkalmazzuk. Annak érdekében, hogy az egymást követő konvergált, vagyis állandósult megoldások egymástól való távolodásának mértékét számítani tudjuk, a modell egyenletrendszerének egy linearizált alakját kell használnunk. Így a nem linearizált, perturbált pontokkal rendelkező meglévő megoldások körül lépésről lépésre linearizációt hajtunk végre. A linearizált modell y 1 L és y 2 L megoldása jelenti ugyanis azt, hogy a számítás során megjelenő stabilnak tekintett megoldások koordinátái milyen távolságba esnek a valós, perturbáló pontoktól. Segítségükkel határozható meg az ún. Ljapunov-exponens értéke, mely a térben való exponenciális távolodás mértékét jellemzi: exponenciális távolodásról a mérőszám 0-nál nagyobb értéke esetén beszélünk, míg ha a Ljapunov-exponens negatív, a távolodás mértéke kisebb. Az oszcilláló rendszer dinamikai jellegét jellemző mennyiségről és annak megfigyeléséről a következő nagy fejezet bővebben foglalkozik (lásd 3.3. fejezet). A linearizált modell előállítható, ha a leíró elsőrendű differenciálegyenletekből álló egyenletrendszer Jacobi-rendszerét létrehozzuk. A számítások során elsőként megkapott bekonvergált megoldásokat számszerűen ugyanis majd a megkapott 2x2-es Jacobi-mátrixba helyettesíthetjük be. A linearizált rendszer formális alakja a (2.36) egyenlet szerinti: L y 1 [ L] = [ y 2 f 1 f 1 y 1 y 2 f 2 f 2 y 1 17 y 1 L ] [ L y ], (2.36) 2 y 2 ahol L felső index a változókat a linearizált egyenletrendszerben értelmezi. A Jacobimátrixon belül a már definiált egyenletrendszer két külön egyenletéből, mint két-két

29 változós függvényekből parciális deriválással nyert tagok találhatók. Ezek az egyenletek a korábban már közölt y 1 = f 1 (y 1, y 2 ) = y 2 és (2.37) y 2 = f 2 (y 1, y 2 ) = N(y 1,y 2 ) D(y 1,y 2 ). (2.38) A parciális deriváltak a következőképpen alakulnak, jól láthatóan a mátrix második sorának tagjai rendelkeznek bonyolultabb kifejezéssel. f 2 y 1 = f 2 y 2 = f 1 y 1 = 0, (2.39) f 1 y 2 = 1, (2.40) N D D N y1 y1, (2.41) D 2 N D D N y2 y2. (2.42) D 2 Ekképpen az f 2 függvénynek a két külön változó szerinti parciális deriváltjainak számlálóiban szereplő kifejezések (2.24)-(2.25) egyenletekből kaphatók meg. N y 1 = N y 2 = p L y1 p ref y 1 (p L p ) + y 2 ( p G μ A ref y 1 p L y2 + 1 p ref y 1 μ ref p ref y2 y 2 1 μ ref A y 1 2 (p G (1 3n) p (t) + p V ) y 1 (1 3n)) + (1 Ma D 4μ L 3 ) 3 2 y 2 2 y 1 2, (2.43) =, (2.44) y 1 μ ref y 2 1 (p A y G (1 3n) p (t) + p V ) + (Ma 2) 3 (2.45) 1 2 y 1 D = Ma. (2.46) y 2 y 2 Az egyenletekben szereplő nyomáskomponensek parciális differenciáltjait (2.31) és (2.32) összefüggések alapján adhatjuk meg: p G = 3n ( 2σ (p y 1 R V p )) 1 3n+1 E y, (2.47) 1 p L = p G + 2σ + 4μ y 1 y 1 R E y 2 L ( ω ) y 2, (2.48) 1 2π y 2 1 p L y 2 = 4μ L ( ω 2π ) 1 y 1. (2.49) y 2 18

30 2.2. További ismertebb buborékmodellek A buborék periodikus vibrálásának leírására az imént ismertetett modellen túl természetesen számos, a fenti anyagjellemzőket ugyanúgy vagy csak kis eltéréssel magában foglaló buborékmodell alkalmas. Formuláik megadása és részletezése nélkül megemlítenék két olyan példát, melyek segítségével teljesen hasonló számítások végezhetők, mint amiket a Keller-Miksis-modellel a dolgozatban véghez kívánunk vinni. Ezeket a kapcsolódó szakirodalom is rendre elsőként említi meg, összehasonlítási alapot felállítva a további példák bevezetéséhez is. A legegyszerűbb és kronológiailag is talán az első gyakorta alkalmazott modell Rayleigh nevéhez köthető, mely ismeretes Lord Rayleigh (1917) alapján. Ez azonban bizonyos fizikai jellemzők hatását (így a folyadék viszkozitását és a felületi feszültséget) figyelmen kívül hagyja, az azokkal kiegészített formulát Plesset (1949) mutatta be, melynek alakja és az abból kisebb átalakítással származtatott néhány egyenlet elnevezése a Rayleigh Plesset-modell nevet kapta. Sajátos jelenség figyelembevételére is alkalmas a jóval több változót tartalmazó Gilmore-modell, mely magában foglalja a pulzáló buboréktól a közeg irányába értelmezett, akusztikai lökéshullámok formájában megvalósuló energiatranszportot is, lásd Gilmore (1952). Ez esetben a buborékra úgy tekinthetünk, mintha fala egy gömb alakú, működésben lévő hangszóró membránja volna. Ezekhez képest a rezgő buborék okozta hangsugárzást csakugyan figyelembe vevő Keller Miksis-modell a fenti (2.1) egyenlet alapján t R/c időpillanatban indított, időkésleltetéssel jellemezhető számítást végez Keller és Miksis (1980) formulájának megfelelően. A felsorolt buborékmodellek mindegyike egy közönséges másodrendű differenciálegyenletből áll, egymással való összehasonlításukat Prosperetti és Lezzi (1986, 1987) végezte összenyomható folyadékban. A köztük történő osztályozásnak azonban nem sok alá/felérendelést társíthatunk, mivel gömbszimmetrikus közelítésre mindegyik bizonyítottan megfelel és felhasználható a buborékokkal végzett kísérletek során, leginkább a gerjesztés intenzitásának ismeretében, illetve a közeg jellemzőinek lehetséges vagy éppen megengedhetetlen elhanyagolásai alapján dönthetünk egyik vagy másik mellett. Ehhez kapcsolódóan fontosnak vélem megjegyezni, hogy bár a természetben előforduló kavitációs jelenségek lezajlásakor az oszcilláló buborékok alakjáról egyáltalán nem mondhatjuk el, hogy szigorúan gömbszimmetrikus formát követnének, a levezetett és validált matematikai modellek általánosítása miatt azonban a számításokat gömbszimmetrikus esetre végezhetjük A módszer validálása elvégzett mérések eredményeivel Vízben vizsgált buborékok oszcillációjával a fentebb felsorolt modellek alkalmazhatóságának bizonyítására több mérést is végeztek, néhány ilyet Lauterborn és Kurz (2010) ismertetett részletesen. Ezek célja, hogy jól reprezentálható módon összevessék egy- 19

31 egy modell ismert paraméterekkel végigvezetett számítási eredményeit kísérletek útján meghatározott valós eredményekkel. Mind az általunk használt Keller-Miksis-modellre, mind pedig az ezzel könnyedén kimutatható kapcsolatban álló két említett modellre végeztek hasonló méréseket. Egyetlen buborék akusztikai hangtérbe terelését követően Geisler (2003) 21,4 khz gerjesztési frekvenciát alkalmazva figyelte meg a kialakuló oszcillációkat oly módon, hogy a térbeli pozícióját a csapdában megtartó buborékot egy jó felbontású mikroszkóp segítségével fényképezte a buborék rövid időközönként (500 ns) kialakuló fázisaiban. Egy világosabb háttéren az oszcilláció fényemissziós tulajdonságának köszönhetően feketén kirajzolódó buborék méretének sormintáját tekintve jól megfigyelhető a lengés gyors összeroppanási és azutáni jóval lomhább duzzadási fázisa (2.1. ábra). Kröninger (2008) szintén fotografikus sorozat előállításával mérte ki az oszcilláció fázisdiagramját, 10 μs mintavételezési időközzel és mindössze annyi különbséggel, hogy rövid hullámhosszú lézerfényt fókuszált a gömbszimmetrikusnak tekinthető buborékra. A) B) 2.1. ábra: Egyetlen buborék vízben kialakuló oszcillációjáról készített fotografikus sorozat, a buborék szonolumineszcenciás tulajdonságát kihasználva. Az A) ábrán Geisler kísérlete, a képsorozat egy akusztikai ciklust fed le (forrás: Geisler (2003)). A B) ábra Kröninger fotografikus sorozatát szemlélteti lézer keltette buborékról, az összeroppanást és gyors buboréknövekedést követő 10 μs elteltével kezdődően (forrás: Kröninger (2008)). Geisler mérését a Gilmore-, Kröninger eredményeit pedig a Keller-Miksis-modellel összevetve a 2.2. ábra megfelelően reprezentálja a tárgyalt modellek pontosságát. 20

32 2.2. ábra: Mérési eredmények összehasonlítása R-t (buboréksugár-idő) fázisdiagramon a buborékmodellek: a, Gilmore-modell; b, Keller-Miksis-modell számítási eredményeivel. Az ábrákon a folytonos vonallal húzott görbék a modellek eredményeit, az üres karikák pedig a kísérletekkel meghatározott fázispontok helyék szemléltetik (a: Geisler(2003); b: Kröninger (2008)) A nemlineáris oszcilláció vizsgálati lehetőségei A tárgyalt akusztikusan gerjesztett rendszer fizikailag egyszerű rendszernek tudható be, ugyanis kevés meghatározó összetevőből áll (a buborék mozgása mindössze egyensúlyi sugara körüli lengés, összezsugorodás és kitágulás ismétlődő folyamata). Ennek ellenére a buborék mozgása nem tekinthető szabályosnak, vagyis az állandósult periodikus viselkedés helyett egyes tartományokban kaotikus sajátosságokat mutat. Az állandósult rendszerekkel szemben a kaotikus mozgásra jellemző tulajdonságokra Tél és Gruiz (2012) írta, hogy az nem ismétli önmagát, a kezdeti feltételekre való érzékenysége miatt nem jelezhető előre és bonyolult geometriájú visszatérési szabállyal (trajektóriákkal) rendelkezik, amely ezzel együtt rendezett, úgynevezett fraktálszerkezetű. A következőkben elsősorban az imént említett kiadvány segítségével arra kívánok rávilágítani, hogy jelen rendszerben a más-más szabályszerűséggel vagy éppen kaotikusként jellemezhető mozgás milyen leképezésekkel, ábrákkal vizsgálható célszerűen. A bonyolult rendszerek állapotára az alapvető kitérés-idő vagy sebesség-idő kapcsolatok helyett a hely- és sebességváltozókat ábrázoló fázistér vizsgálatával következtethetünk. A fázistérben elhelyezkedő pontok vándorlása testesíti meg a rendszer mozgását, az így összeköthető pályát nevezzük trajektóriának. Előfordulhat, hogy a fázisteret 3 változójával szükséges leírni, esetünkben is az explicit időfüggés miatt a három dimenziótlan mennyiség (y 1, y 2, τ) kapcsolata írja le egyértelműen a mozgás pályáját a kétdimenziós y 1 -y 2 fázissík helyett, ahol a lengés során egyre konvergáló és az idő elteltét nem tükröző trajektóriák sokasága tűnik fel. A háromdimenziós fázistérből egy alteret, tetszőleges elnevezés szerint metszetet készíthetünk, és a kétdimenziós fázissíkon kirajzolódó trajektóriák pontjait csak ezen a metszeten értelmezzük. 21

33 Ekképp, ha ezt a metszetet valamilyen helyzet bekövetkeztére utaló feltétel teljesülésével definiáljuk, Poincaré-leképezést alkalmazunk, a metszetet pedig Poincaré-metszetnek nevezzük. Az említett helyzet akkor áll fenn, ha egy trajektória eléri a τ = T 0 időpillanatot illetve T 0 pozitív egész számú többszörösét, ahol T 0 a gerjesztés periódusideje. Ilyenkor a metszeten létrejövő pontoknak a τ = 0 időpillanatba tolt S fázissíkon való vetületei egyenként megadják a Poincaré-metszet pontjait, melyeket sorrendben összekötve láthatjuk, hogy a mozgás pályája hány lépést követően ugrik vissza a kezdeti feltétellel megadott pontba. Fontos kitétel a Poincaré-metszet kezeléséhez, hogy esetünkben a periódusidőt egységnyinek vesszük, T 0 = 1. A Poincaré-metszet alkalmazásával a válasz periódusidejére és így a megoldás periódusára következtethetünk. Utóbbi azt jelenti, hogy a válaszfüggvény hányszoros periódusidővel rendelkezik a gerjesztés T 0 periódusidejéhez viszonyítva, a 2.1. ábrán vázolt eset például egy 3 periódusú megoldást mutat ábra: A Poincaré-metszet előállítása a trajektóriák τ = kt 0 időpillanatbeli elmetszésével, k N. Forrás: Hegedűs (2012). A dolgozatban vizsgált buborékmozgás kézenfekvő leképezése a dimenziótlan buboréksugár dimenziótlan buborék-falsebesség fázissík. Kiemelt fontossággal bír tehát a következőkben a Poincaré-leképezés lehetőségének kihasználása, amely az említetteknek megfelelően az explicit időfüggés miatti 3 dimenziós megoldáshalmazt 2 dimenziós fázissíkon szemlélteti. Összegzésképpen el kell különítenünk, hogy az y 1 -y 2 fázissíkon egyértelmű Poincaré-pontok egy fix időközöket vizsgáló iterációs leképezés eredménye, míg az y 1 -y 2 -τ fázistérben egyértelmű trajektória a folytonos mozgás egész idejű lekövetése. A fázispontok pályája, a trajektória a fázistér egy vonzó halmaza, az attraktor felé közeledik. Ez a vonzó halmaz jelenleg is tárgyalt mozgások esetén lehet periodikus és kaotikus attraktor is, és a fázispont pályáját a válasz egy stabil megoldásába konvergáltatja. 22

34 2.2. ábra: Fázisdiagramok bemutatása: bal oldalon a dimenziótlan buborék-falsebesség a dimenziótlan idő függvényében, jobb oldalon a fázissíkon kirajzolt trajektóriák láthatók A fenti 2.2. ábrán a jelölt fekete pontok a fázispontok pillanatnyi helyzetét jelölik, melyek koordinátáit a Poincaré-leképezés nyomán a metszet pontjaiként ismerjük. Látható, hogy a trajektóriák sokasága fraktálszerkezetű alakzatot eredményez, és a vizsgált időintervallumon belül még nem tér vissza önmagába. Az ábrán a diagrampár egy rövidebb ideig értékelő számolás eredményeit mutatja, nagyobb időtartomány esetén a trajektóriák jelentősen sűrűsödnek, és a konvergencia a sűrűsödéssel megfigyelhető (lásd később) Numerikus szimuláció kezdő lépései A számításokat a fejezet korábbi részében bemutatott dimenziótlanított változókkal definiált Keller Miksis-modell MATLAB szoftverben való felhasználásával végeztük. A modell matematikai kódolása során a Haar-Gallagher-Kell-állapotegyenlettel megállapított vízre jellemző anyagi tulajdonságokkal dolgoztunk. A szabad paraméterekkel való numerikus számításokhoz a program eszköztárába beépített ode113 megoldót alkalmaztuk, mely egy szigorú toleranciákkal számolni képes, nem merev differenciálegyenletek megoldására használható függvény. Ily módon teljesítettük a futtatásokat a két szabad változó, az ultrahangos gerjesztés nyomásamplitúdójának és relatív frekvenciájának adott tartományán külön-külön, illetve kérdeztük le az egyszeri megoldásokat, a Poincaré-metszetek pontjait és a kirajzolható bifurkációs ábrákat a konstans paraméterek fix és a változók tetszőleges értéke mellett. A következő nagy fejezetben mindenekelőtt bemutatnám, miként állapíthatjuk meg a gerjesztésre adott válasz jellegét, hiszen fontos tudnunk, hogy a vizsgált paraméterek mely tartományán viselkedik a buborék kiszámítható módon periodikus lengéseket végezve, és melyek azok a gerjesztési paramétersávok, amikor káosz jellemző a rendszerben. A szimulációk során az előzőekben említetteknek megfelelően változtatható paramétereknek p A nyomásamplitúdót és ω R relatív frekvenciát választottuk. Előbbi értékét 0-5 bar között, utóbbiét pedig az alsóbb tartományokon sűrűbb számolásokat végezve 0,1-3 között változtattuk. A kontrol paraméterek mellett a vizsgált rendszer to- 23

35 vábbi jellemzőit konstansnak vettük minden számítás során, ezek az egyensúlyi buboréksugár R E =10 4 m, valamint a buboréktól távoli nyomás P és hőmérséklet T (1 bar illetve 25 C). Mennyiség p A [bar] ω R [-] R E [m] P [bar] T [ C] Paramétertípus szabad szabad fix fix fix Érték 0-5 0, táblázat: A számítások során alkalmazott szabad (kontrol) paraméterek tartományai és fix paraméterek konstans étékei 24

36 3. PERIODIKUS ÉS KAOTIKUS TARTOMÁNYOK MEGÁLLAPÍTÁSA A (2.3) fejezetben említést tettem arról, hogy a gerjesztett rendszer válaszfüggvénye milyen alakú lehet, tehát milyen különböző megoldásokat különböztethetünk meg a számítás tartományán. Eszerint léteznek könnyebben kezelhető, meghatározott periódusú stabil és valamilyen kaotikus attraktorhoz tartó (szintén stabil) megoldások. Periodikus megoldások felkutatásának legkézenfekvőbb módszere a mozgásegyenletet leíró dimenziótlanított állapotjellemzők (így egyenként a buboréksugár vagy falsebesség) szemlélése, akár a fázisteret alkotó többi jellemző kapcsolatában, akár a gerjesztési paraméterek függvényében bifurkációs diagramokon Kezdeti érték megoldó az y 1 -y 2 fázissíkon Ha a kezdeti érték számításokat (nemzetközi rövidítés szerint: IVP Initial Value Problem) y 1 és y 2 értékek vizsgálatával végezzük, a megoldásokra a 2.2. ábrán is vázolt fázissík segítségével következtethetünk. A számítás során a gerjesztett rendszert egy általunk deklarált kezdeti értékből (y 1 (0), y 2 (0); mely célszerűen a Poincaré-metszeten megjelenő első pont helye a síkon) indítva azt várjuk, hogy a trajektória önmagába záródjon, vagyis bekonvergáljon egy adott esetben periodikus megoldáshoz. A teljesen hasonlóan felépített 3.1. ábra bal oldalán a τ = 0 időpillanatban indított rendszerben a Poincaré-metszet pontjainak első koordinátái tetszőlegesen hosszú időtartomány elteltével láthatóan tartanak egy meghatározható y 1 értékhez. Ezzel együtt a trajektóriák (jobb oldal) egyre közelebb futnak egymáshoz, végül bezáródnak, miközben egyre a piros színnel jelölt, állandó megoldást jelképező szintvonal felé konvergálnak ábra: Stabil helyzetbe konvergáló megoldás: (y 1 (0)=2, y 2 (0)=0) kezdeti feltételekkel indítva, p A =1 bar és ω R =0,8 nyomásamplitúdó és relatív frekvencia mellett vizsgáljuk a rendszer válaszát. 25

37 A fázisdiagramokra ránézve a Poincaré-pontok első koordinátáinak konvergálása azt sejteti, hogy a kezdeti tranziensek után állandósult megoldás jelentkezik, melyet a trajektóriák egymáshoz való közeledése is mutat. Az ábrán fekete görbe jelöli a rendszer tranziens válaszát, megmutatva a buboréksugár változását az időben előrehaladva, míg pirossal a tranziensek lecsengése után beállt állandó megoldás figyelhető meg. Utóbbit úgy mutathatjuk be legegyszerűbben, ha a jelenlegi gerjesztési paraméterek (p A =1 bar, ω R =0,8) mellett lekérdezzük a Poincaré-metszet első pontjának koordinátáit, majd azokat adjuk meg kezdeti feltételként (itt y 1 (0)=2,1466; y 2 (0)=2,5856). Vagyis állandósult állapotban bizonyos időközönként a fázispont helyzete ismétlődik, ez periodikus viselkedést jelent, mégpedig az időközt a válasz τ v periódusidejeként értelmezve. Figyelembe véve, hogy a gerjesztés periódusideje a dimenziótlanított idő (3.19) formulája miatt τ 0 = 1, a 3.1. ábra szerinti példa 1 periódusú megoldáshoz vezet, ugyanis τ v = 1, és általános esetben írhatjuk, hogy τ v = N τ 0, ahol N Z\{0} a keresett periódusszám. Kézenfekvő megoldással szolgálhat a válaszfüggvények típusának megállapítására az a módszer, ha a szabad paraméterek kiragadott értékeinél a Poincaré-rajzolóval vizsgáljuk, hogy hány pontot vesz fel a konvergált megoldás az y 1 -y 2 metszetre. A Poincaré-leképezésnél ismertetettek értelmében a gerjesztés egységnyi (dimenziótlanított) periódusidejének elteltével mintavételezzük a fázispont pályájának koordinátáit, így könnyen belátható, hogy a válasz periódusa a kirajzolódó pontok számával egyezik meg. Ezzel a rövid vizsgálódással a megoldás jellegét gyorsan ismertté tehetjük, akár N periódusú stabil megoldásokat, akár kaotikus válaszfüggvényeket találunk, ilyenekre mutat példát a 3.2. ábra alább ábra: Periodikus és kaotikus megoldások megállapítása a Poincaré-metszeten kirajzolódó pontok száma alapján, a diagramterületen feltüntetett gerjesztési nyomásamplitúdó és relatív frekvencia értékek mellett. 26

38 A bal oldali ábrákon stabil 1 (felső) és 3 periódusú megoldások láthatók, míg jobb oldalon a fázispontokat a metszeten kék pontokkal feltüntetve kaotikus megoldást kaptunk. Utóbbi azt jelenti, hogy T 0 időközönként a metszet pontjai nagyon, akár végtelen sok különböző buboréksugárnál jelennek meg (valójában azonban az iterációk felső korlátja miatt beállított maximum 128 Poincaré-pont rajzolódik ki). Ezek a példák mind olyan esetre igazak, amikor a válasz, tehát a fázispontok pályája egy attraktorhoz tart. Abban az esetben, ha a térben több vonzási tartomány (basin of attraction) is megjelenik, a megoldások 2 vagy több attraktorhoz tartanak, ilyenkor a metszeten is különkülön megoldásokat figyelhetünk meg. Természetesen más-más színnel célszerű jelölnünk a pontokat, így tapasztalhatjuk, hogy két külön vonzási tartományhoz rendelhető megoldások eltérő periódusú vagy akár kaotikus megoldással rendelkezhetnek. Az együtt létező attraktorok rövidebb ismertetését a buborékképződés sebessége gyanánt a 4.1. fejezet tartalmazza. Stabil megoldások esetén a válasz periódusát mind az y 1 -τ, mind az y 1 -y 2 síkon szemléltethetjük. A 3.3. ábrán különböző gerjesztési paraméterpárokkal kialakuló állandósult N=1, 4 és 6 periódusú megoldások különíthetők el, melyek periódusideje a gerjesztés τ 0 dimenziótlan periódusidejéhez viszonyíthatóan N τ 0. Az ábra jobb oldalán az y 1 -y 2 fázissíkon ugyanezekhez a periodikus megoldásokhoz tartozó trajektóriák a megoldás periódusszámával megegyező számú Poincaré-ponttal rendelkeznek ábra: Periodikus buborékmozgások szemléltetése, a fázisgörbe és a trajektóriák N = 1, 4 és 6 periódusú megoldásokat mutatnak be. (A gerjesztési paraméterek N = 1 esetén: p A =1 bar, ω R =0,8 ; N = 4 esetén: p A =2,5 bar, ω R =1,8 ; N = 6 esetén p A =3 bar, ω R =2.) A dimenziótlan idő τ függvényében a konvergált megoldások abszolút értékeinek maximumát ( y 1 (τ) max, y 2 (τ) max ) is tárolhatjuk a későbbi elemzésekhez felhasználandó. Az így még dimenziótlan jellemzőkből (2.20) és (2.21) egyenletek felhasználásával lehetőségünk van visszaszámolni, és a buboréksugár valamint maximális sebesség értékeit SI mértékegységben megkaphatjuk például azok Poincaré-ábrán való feltüntetésekor. 27

39 3.2. Periodikus megoldások értelmezése bifurkációkon keresztül Fázisdiagramok alkalmazásán túl egy ultrahangos műszer állítható értékeivel kapcsolatba hozható paraméterek gerjesztő hatására adott válasza másképp is vizsgálható. Ha az előző alfejezetben írtak szerint a megoldás jellegének megállapítására törekszünk, a futtatásaink eredményeként felvehető bifurkációs diagramok is segítségünkre lehetnek. Ezek általánosan olyan diagramok, melyek a mozgást végző rendszerelem valamely kiragadott jellemzőjét tüntetik fel a kontrol paraméter függvényében. Az elsődleges szabad paramétert, a nyomásamplitúdót az előre rögzített feladat értelmében 0-tól 5 bar-ig, 0,01 bar lépésközzel változtatjuk a relatív frekvenciák konstans értéke mellett, majd a számolás eredményeit megjeleníthetjük oly módon, hogy a buborékmozgás valamely meghatározó mérőszámát ábrázoljuk az amplitúdó függvényében. Ilyen típusú diagramokkal olyan esetekben találkozhatunk, amikor a nemlineáris mozgás során egyszerre stabil és instabil állapotok lehetnek jelen a fázistérben, vagyis ha a tárgyalt rendszer bistabilitásra hajlamos. Tél és Gruiz (2002) szerint egy stabil rendszer külső körülmény hatására elbizonytalanítható, bistabillá tehető, ekkor az eredetileg egyetlen stabil állapot megszűnik, és két különböző, új stabil egyensúlyi állapot lép fel. Oszcilláló buborékot elemezve a külső hatásnak tekinthetjük például a besugárzott ultrahang nyomásamplitúdójának változását, miközben a hang frekvenciája változatlan. Amikor a rendszer instabillá válna, a mozgásnak két lehetséges továbbhaladási iránya adódik, a létrejövő egyik illetve másik stabil állapot. Az instabilitási pontot a paraméterváltozás tartományán bifurkációs pontnak, magát a kettőződést pedig úgynevezett bifurkációnak nevezzük. Bifurkáció alatt általánosan többféle átmenetet érthetünk, buborékok vizsgálata során jelen esetben ezek közül a stabil perióduskettőző és ún. nyereg-csomó bifurkációkat említjük meg. Mindkettőre láthatunk példát a fejezet további részében, különösen a 3.5. ábrán. Ahogy Parlitz et al. (1990) is írja, a bifurkációs diagramok legfőképpen az attraktorok természetének bemutatására alkalmasak különböző paraméterállások függvényében. Példaképpen, ha egy attraktor (nevezzük azonosan állandósult megoldásnak) 2 periódusú, tehát jellege a gerjesztő hangtér 2 lengésének időközével ismétlődik, abban az esetben a szabad paraméter azon értékénél két pont jelenik meg a diagramon. Ezt a törvényszerűséget szem előtt tartva gyorsan megállapíthatjuk bifurkációs ábrákon, hogy milyen különböző periodikus és adott esetben kaotikus attraktorok jellemzőek a nemlineáris rendszerben. Periodikus attraktorok mellett tehát ugyanúgy léteznek kaotikus megoldások is, a fejezet egyik feladata pedig ezek tartományainak feltérképezése is. A 3.4. ábra szemléletes magyarázatot nyújt a bifurkációs diagramokon rendre megjelenő perióduskettőzésekről, amely a korábban említett bifurkációs pont megjelenésével értelmezhető. Kaotikus tartományok vonatkozásában azért is érdemes megemlíteni a fogalmat, ugyanis az egyik leggyakoribb és minden bizonnyal legszemléletesebb káoszhoz vezető folyamat ezen perióduskettőzések sorozata. 28

40 3.4. ábra: Perióduskettőző bifurkációsorozat értelmezése, ahol az attraktor Poincaré-metszeten értelmezett egyik koordinátáját (x P ) ábrázolhatjuk egy szabad paraméter, jelen esetnek megfelelően az amplitúdó függvényében. A függőleges pontozott vonalak bifurkációs pontokon átmenő p A = áll. egyenesek, a szaggatott vonalak pedig a kettőződéssel megszűnő instabil pályákat követik. (Forrás: Tél és Gruiz (2002)) Általánosan az ábra alapján leszűrhetjük a perióduskettőződéseknél jellemző szabályszerűséget, vagyis a változó szabad paraméter p An értékének elérésekor 2 n periódusú ciklus jelenik meg. Az egyre magasabb rendű ciklusok már csak egyre rövidebb amplitúdó intervallumokban bizonyulnak stabilnak, egészen p A úgynevezett akkumulációs pontig, amelyet követően formálisan végtelen hosszúságú ciklus jöhet létre. Káosz, vagyis kaotikus mozgásállapot a p A > p A tartományban jelenhet meg, azonban az elméleti megállapítástól eltérően kaotikus tartomány után is tapasztalhatunk kialakuló stabil (sokszor egy periódusú, majd a periódusokat ismét többször kettőző) megoldásokat, erre a 3.5. ábrán láthatunk majd példákat. A nyomásamplitúdó, mint bifurkációs kontrol paraméter kapcsán meg kell jegyeznünk, hogy a számítások során egyre növekvő értéke mellett a folyadéktérben kialakuló nyomás negatív előjelű is lehet. Ez a (2.2) és egyben (2.33) egyenletek értelmében p A > P intervallumban fordulhat elő, amely elég széles tartománynak számít, tekintve, hogy a környezeti nyomás 1 bar. A problémával kapcsolatban többen végeztek alkalmazhatóságot vizsgáló méréseket, Lauterborn és Engelbert (1984) például egyetlen gázbuborék gerjesztésével kimértek egy úgynevezett spektrális bifurkációs diagramot. Ez alapján megállapították, hogy legfeljebb p A =14,8 bar amplitúdóra a buborék oszcillálása még észlelhető és leolvasható periódusú vonzó attraktorokkal rendelkezik, vagyis ezen az értéken a folyadék még kibírja a negatív abszolút nyomást. Az alábbiakban a buborékmozgás bifurkációit a dimenziótlan buboréksugár megjelenítésével mutatnám be, a vízszintes tengelyen változó paraméter a nyomásamplitúdó p A. Ezt a kapcsolatot a Poincaré-leképezéssel szoros kapcsolatban 29

41 vizsgálhatjuk, ugyanis P(y 1 ) tulajdonképpen nem más, mint az alább felfedezhető stabil periodikus vagy éppen kaotikus megoldások Poincaré-metszetén kirajzolódó első pontjának első koordinátája. A 3.5. ábra diagramjait különböző konstans relatív frekvenciákon ábrázoltuk, vagyis sorrendben az ω R = 0,2; 0,5; 2 és 3 mennyiségek eredményeit. Az állandó paramétereket (környezeti nyomást és hőmérsékletet, valamint egyensúlyi buboréksugarat) a 2.4. fejezetben ismertetett értékekkel adtuk meg. A négy frekvenciaérték közül kettő a vizsgálati tartomány alsó, kettő pedig a felsőbb részét képezi ennek magyarázata az a gyakorlati elképzelés, miszerint így jól elkülöníthető információhoz jutunk az oszcilláció jellegéről alacsonyabb és magasabb frekvenciákat összehasonlítva. Célunk azt megfigyelni, hogy milyen periódusú és mekkora hosszúságú állandósult megoldások léteznek egyes frekvenciákon, illetve hol számíthatunk szélesebb kaotikus sávokra. Az intervallum további karakterisztikus értékének számít ω R =1, amelyet egy későbbi összehasonlításra és tapasztalati megállapításra használunk fel (lásd 3.6. ábra) ábra: A nyomásamplitúdó egyenletes változtatásával elért bifurkációs diagramok kivétel nélkül a teljes tartományon, konstans ω R gerjesztési frekvenciákon; a síkra vetített buborékjellemző a dimenziótlanított buboréksugár y 1. A stabil görbeágakon feltüntetett számok az attraktorok periódusára utalnak, az üres piros körök pedig a nyeregcsomó bifurkációkat szemléltetik. 30

42 Kisebb frekvenciákon észrevehetően kevesebb perióduskettőzés és általában jóval kisebb periódusszámú megoldások sorozata jelenik meg. Az y 1 =1 egyensúlyi helyzettől (ilyenkor még gerjesztetlen állapotban a buborék mérete az egyensúlyi buboréksugárral jellemezhető, lásd (2.20) egyenlet) valamelyest távolodva az egyperiódusú stabil megoldás után a nyomástartomány alsóbb részén vagy olyan bifurkációt tapasztalunk, amely utáni periodikus ciklus meglehetősen rövid, esetleg perióduskettőző bifurkáció helyett máris kaotikus megoldás jelentkezik. A bal oldali ábrákon ekképpen kifejezetten alacsony nyomásamplitúdó mellett, mindkét frekvencián valamivel 1 bar alatt kaotikus tartományok alakulnak ki, ám ezek ciklusa is egyenként rövid. Ezzel egyetemben meg kell említeni, hogy 0,2 és 0,5 relatív frekvenciákon feltűnően sok nyeregcsomó bifurkáció történik. Ismérve, hogy egy bistabil ponton áthaladva gyors átmenet után az attraktor egy egyperiódusú stabil ágon halad tovább, míg egy másik instabil ág a folyadéktérben valamilyen egyéb stabil megoldás felé vándorol (ezt az ágat az ábrákon nem rajzoljuk ki). Ilyen típusú bifurkációra néhány példát piros karikával jelöl a diagram, legtöbbjük egy rövidebb kaotikus ablak után kialakuló egyperiódusú megoldás kezdeteként értelmezhető. Magasabb nyomásamplitúdón, megnövekedett buboréksugárnál ω R =0,5 relatív frekvencián jóval hosszabb ciklusú 1 és 2 periódusú megoldásokat, illetve rövidebb 4 és 8 periódusúakat, viszont alacsonyabb frekvencián ugyanúgy a bifurkációkat szinte rögtön követő szűkebb kaotikus tartományokat tapasztalunk. Lényeges információval bír az az észrevétel, hogy a magasabb frekvenciákon az előzőeknél jóval magasabb nyomásamplitúdón is periodikus megoldásokat, mégpedig rendre nagyobb periódusszámúakat találunk. Ezeket a 3 bar közeli és még afölött is jellemző intenzív, hosszabb ciklust eredményező bifurkációk és a nyomástartományon tulajdonképpen végig jelentkező együtt létező attraktorok magyarázzák, csakúgy, mint a kevésbé jellegzetes periódusszámok kialakulását (például 9 és 11). Noha alacsonyabb frekvenciákkal összevetve a kaotikus tartományok is szélesebbek és a buboréksugár jelentős szórásával jöhetnek létre, köztük azonban rövidebb-hosszabb ciklusú periodikus megoldások is jelentkezhetnek, akár nagyszámú együtt létező attraktorral, sokszor kifejezetten sok periódusú zónát eredményezve (ω R =3 esetén 4 bar körül). Az így felépített bifurkációs diagramok kapcsán egy újabb rövid vizsgálatot is tehetünk, ha megnézzük, hogy ω R =1 gerjesztési relatív frekvencián milyen megoldásokkal találkozhatunk, illetve a nyomásamplitúdó változásával növekvő dimenziótlan buboréksugár milyen maximum értéket vehet fel. Mindez azért bizonyul érdekesnek, ugyanis (2.35) és (2.36) egyenletek alapján ekkor a gerjesztési frekvencia nem más, mint a csillapítatlan rendszer sajátfrekvenciája (ω E ), vagyis más frekvenciákhoz képest nagyobb periódusszámú megoldás és több kaotikus attraktor, vagy akár nagyobb dimenziótlan buboréksugarak kialakulását várjuk. Maximális dimenziótlan buboréksugár y 1max ábrázolása is lehetséges, azonban a 3.5. ábráról következtethetünk, hogy 31

43 erre a mennyiségre a legkisebb frekvenciákon kapjuk a legnagyobb értékeket. Az öszszehasonlításra szolgáló y 1 -p A bifurkációs diagramokat (3.6. ábra) a tárgyalt csillapítatlan frekvencia közelébe eső további pontokon (ω R =0,8 és 1,2) vesszük fel ábra: Bifurkációs diagramok ω R =1, valamint ω R =0,8 és 1,2 konstans relatív frekvenciákon Az egyensúlyi sugárhoz tartozó csillapítatlan sajátfrekvenciának megfelelő ω R =1 relatív frekvenciával jellemezhető gerjesztés esetén a nyomásamplitúdó-tartomány közepén jellemző kaotikus válasz; több periódusú megoldások és egyszerre létező több attraktort követően p A =1,94 bar-nál alakul ki a kaotikus sáv. Mindkét másik környező frekvenciaértéken hosszabb ciklusú kaotikus válasz, így összetettebb válaszfüggvény figyelhető meg, és az ilyen típusú megoldásokkal elért dimenziótlan buboréksugár is rendre nagyobb, mint ω R =1 kaotikus tartományaiban. Azt azonban látjuk, hogy utóbbi frekvencián a kaotikus részt követően is képesek hosszú periodikus megoldások kialakulni, méghozzá stabil perióduskettőző bifurkációk következtében a gerjesztés legfelső tartományán 8 periódussal. A stabil mozgások jelenlétében elért dimenziótlan buboréksugár pedig nagyobb, mint az alsó ábrákon helyet kapó frekvenciákon jellemző. Abban az esetben, ha a relatív frekvenciát tekintjük szabad paraméternek, és konstans nyomásamplitúdókra lekérdezzük a buborék egy dimenziótlan méretét, a fenti 32

44 összevetést segítő paraméterkapcsolathoz jutunk. Ezúttal a relatív frekvencia függvényében ábrázolhatjuk y 1 -et vagy éppen y 1max -ot, a választás azért esett utóbbira, mert azzal az ún. nagyítási diagram áll elő. Felvételével folytonosságban is láthatjuk, hogy a rendszer miként viselkedik ω R =1 kitüntetett frekvencia körül valamint az egész frekvenciatartományon. A bifurkációs diagramokat egyrészt a környezeti nyomásnak megfelelő p A =1 bar-on, illetve a 3.6. ábra vonatkozásában a már kaotikus zónákat eredményező nyomás, p A =2,5 bar fix értékre vettük fel ábra: Nagyítási diagramok előállítása y 1max maximális dimenziótlan buboréksugár ω R szabad paraméter függvényében történő ábrázolásával A környezeti nyomással megegyező nyomásgerjesztés esetén kimondottan kaotikus tartományok a legalacsonyabb frekvenciákon léteznek, ahogy a nagyobb buboréksugarak is azokon állnak elő. Egy hiszterézis rajzolódik ki ω R = 0,5 körül (egészen pontosan 0,51-nél), melynek csúcsához rendelhetjük a legnagyobb y 1max értéket, míg innen ω R = 1 felé haladva az csak monoton csökken. 2,5 bar nyomásamplitúdó alkalmazásával ω R = 1 relatív frekvencia kaotikus sávba esik, a kaotikus zóna pedig alacsonyabb frekvencia felé haladva viszonylag széles ablakban jelenik meg. A fenti ábrák alapján összegzésképp elmondhatjuk, hogy a gerjesztési nyomásamplitúdó növelésével a Poincaré-metszet kiragadott pontját jellemző y 1 dimenziótlan buboréksugár nő. A beállított konstans frekvenciákat tekintve pedig az látszik, hogy nagyobb y 1 -et minél kisebb értékkel érhetünk el. Mindazonáltal a válaszok jellegének és eltérő stabilitásának bemutatásán túl a buboréksugár bővebb vizsgálatával foglalkoznunk nem érdemes, ugyanis a feladat szempontjából a dimenziótlan buborék-falsebesség alakulása (és a számítható sebességmaximumok megadása) a lényeges. A következő fejezetben ennek megfelelően járunk el, és keressük a vizsgált paraméterek azon tartományát vagy konstans értékét, amelyeken a lehető legnagyobb falsebességek kialakulnak. Előtte azonban érdemes a már korábban is érintett kaotikus jellegről beszámolnunk egy, a nemlineáris dinamika és a jelen számítások szempontjából is fontos káoszparaméteren, a Ljapunov-exponensen keresztül. 33

45 3.3. Kaotikus rendszerek mérőszáma, a Ljapunov-exponens Stabil dinamikai rendszerekkel összehasonlítva a 2.3. fejezetben már említettem a kaotikus rendszerek néhány lényeges vonását. Egy buborék oszcillációja során is ilyen tulajdonságoknak bizonyul a szabálytalan, előre ismeretlen jellegű mozgás vagy az egyensúlyi helyzettől való kis kezdeti eltérések gyors növekedése. A mozgásfajta eldöntésére vagy éppen a káosz mértékének megállapítására ismerünk különféle mérőszámokat, úgy, mint a gyakrabban emlegetett (topologikus) entrópia, melyet tekinthetünk egyszerűen a bonyolultság jellemzőjének. Tél és Gruiz (2002) alapján írhatjuk, hogy a rendszer dinamikai instabilitását, másképp a kezdőfeltételekre való érzékenységét egy másik számmal adhatjuk meg, általánosan megnevezve a Ljapunov-exponenssel, amelyet az előrejelezhetetlenség mérőszámának tekintünk. Értelmezésének alapja az a megfigyelés, miszerint a fázistérben két, egymáshoz közeli kezdeti értékkel indított fázispont pályája fokozatosan távolodik egymástól. Ezen exponenciális távolodás mértékét jellemző mennyiség a lokális Ljapunov-exponens. Ha a kezdeti fázistérbeli távolság r 0, akkor tetszőleges n 1 időlépést követően számítható távolság az alábbi alakú: r n (r) = r 0 e λ(r)n, (3.1) ahol az exponenciális tényező kitevőjében lévő λ(r) a lokális Ljapunov-exponens. Egy attraktoron a kiszemelt pontpárok távolodásának átlagával célszerű számolni, a pontpárok ugyanis közeledhetnek vagy stabil helyzetben is maradhatnak egymáshoz képest. Ilyen megfontolással beszélhetünk a λ átlagos Ljapunov-exponensről, melyre λ > 0 exponenciális távolodással jellemezhető kaotikus rendszerek és λ 0 nem kaotikus rendszerek (exponenciálisnál lassabb távolodás) esetén. Példaként a korábbi 3.2. fejezetben bemutatott nyomásamplitúdó bifurkációs diagramokon keresztül értelmezhetjük a számításokkor használt átlagos mérőszámot. A 3.5. ábrához visszanyúlva bármely konstans relatív frekvencián elvégzett számítás esetére hasonlóképpen ábrázolhatjuk a Ljapunov-exponenst is p A változásának függvényében. A kapott eredményekből világosan látszik, hogy a korábbi diagramokon megállapított kaotikus tartományok pontjai az újonnan előállított diagramon a λ = 0 értéknél húzható vízszintes fölé kerülnek (3.8. ábra). Megjegyezném, hogy a továbbiakban Ljapunov-exponens említésekor az átlagos mérőszám értendő, jelöléséhez pedig felülvonás nélkül λ-t használjuk. 34

46 3.8. ábra: A Ljapunov-exponens változása 0-5 bar nyomásamplitúdó-tartományon ω R =0,5 és 2 esetén (alul) összehasonlítva az ezekre a relatív frekvenciákra felvett P(y 1 )- p A bifurkációs diagramokkal. Kék szaggatott vonal jelöli azt az állandó vízszintest, ahol λ előjelet vált, vagyis a stabil periodikus és kaotikus attraktorok létezésének határát. A 3.5. ábrán láttuk, hogy ω R =0,5 relatív frekvencián 1 bar nyomásamplitúdó környékén találunk egy keskenyebb kaotikus sávot, illetve a tartomány végén, stabil perióduskettőző bifurkációk után egy szélesebb ciklusban. A 3.8. ábra bal alsó részén valóban feltűnik egy ilyen sáv pontosan atmoszférikus nyomásnak megfelelő amplitúdón, azonban egy önálló kaotikus attraktor már p A =0,77 bar-on is jelentkezett. A jobb oldalon feltüntetett ω R =2 relatív frekvencia esetén az első kaotikus attraktort p A =2,36 bar mellett rögzíthetjük, 3,2 bar fölött pedig a kaotikus zónák közti néhány többperiódusú attraktoron kívül gyakorlatilag végig kaotikus megoldásról beszélhetünk. Az eredmények kiértékelése során egyik feladatunk a kaotikus zónák megkeresése és annak szemléletes bemutatása a szabad paraméterek tartományán. Ehhez a gerjesztési paraméterek (p A, ω R ) kis lépésközzel vizsgált minden értékére megkeressük a maximális Ljapunov-exponenst, majd a két futó paraméter vonatkozásában egy 3 dimenziós ábrában tüntetjük fel ezeket a maximumokat, láttatva ezzel a kaotikus sávokat (5. fejezet). 35

47 4. JELENTŐS BUBORÉK-FALSEBESSÉGEK KERESÉSE Az előző fejezetben láttuk, hogy a szabad paraméterek függvényében változó buborékméretet bemutató bifurkációs diagramok megfelelő információval szolgálnak a folyadéktérben oszcilláló buborék viselkedésével, mozgásának válaszfüggvényével kapcsolatban. Periodikus és kaotikus tartományok feltérképezésén túl a buboréksugár alakulásának ismerete azonban nem elsődleges szempont számunkra; a minél erőteljesebb lökéshullámok eléréséhez, az összeroppanások gyors végbemeneteléhez nagy buborék-falsebesség elérése szükséges. Ennek vizsgálatára a számítások során y 2 dimenziótlan falsebességgel dolgozunk, amelyről a 2. fejezetben ismertetett modell áttekintéséből tudjuk, hogy y 1 dimenziótlan buboréksugár idő szerinti deriváltja ((2.22) egyenlet). Ha az előző fejezetben bemutatott egyes periodikus oszcillációk állandósult válaszait tekintjük, a bekonvergált megoldások maximális (dimenziótlan) sebességértékeit is meg tudjuk jeleníteni, az eredmények tárolása mellett pedig a programmal a (2.21) egyenlet alapján azok abszolútértékei átszámolhatók SI-mértékegység szerinti értékre: v max = y 2 (τ) max ( R Eω 2π ) [m s ]. (4.1) Sebességek számításának egyik lehetősége tehát az, hogy az egyébként szabad paramétereink fix értéke mellett tájékozódunk a megoldás jellegéről, és a Poincaré-metszeten kiírjuk az egy attraktorhoz tartozó maximális sebesség vagy akár buboréksugár értékét. Lényeges azonban megjegyezni, hogy ezzel a módszerrel kizárólag a buboréksugár növekvő fázisában elérhető maximális sebességek kérdezhetők le. Az összeroppanási fázisban nagy buborék-falsebességeket felmutató tartományok felkutatásának kizárólagos eredményre vezető módszere a bifurkációs diagramok további vizsgálata. A 3. fejezetben bemutatott dinamikai vizsgálattól eltérően a szabad paraméter változásával valamilyen sebesség jellegű mennyiséget is be tudunk mutatni. Ezt a legkézenfekvőbb módon a falsebesség és a közegbeli hangsebesség arányát megadó Mach-számmal tehetjük meg, miután az áramlástanban használatos dimenzió nélküli mérőszámot e két fizikai mennyiség kapcsolatával a (2.30) egyenletben kifejeztük Maximális sebességek táguláskor, vizsgálat fázissíkon Egy buborék kiragadott gerjesztési paraméterekre adott válaszát az előbbiekben már vizsgáltuk annak reményében, hogy gyors, egyértelmű információt kapunk dinamikai jellegéről, az állandósult megoldás periodicitásáról avagy kaotikus voltáról. A 3.2. ábrán periódusszámok megállapítása miatt ábrázolt Poincaré-metszeteken egyéb lényeges mennyiségek is kirajzolhatók, így például a buborékfal maximális sebessége adott periódusú attraktor jelenlétében. A metszeten lévő pontok száma természetesen 36

48 ugyanannyi lesz, mint az elsődlegesen létrehozott P(y 2 )- P(y 1 ) síkon. Ily módon az említett ábrán bemutatott megoldások állandósult oszcillálás során elért legnagyobb sebességét ismertté tehetjük, ha a metszet egyik tengelyén azt ábrázoljuk. A 4.1. ábrán az 1 és 3 periódusú megoldásokat a megszokott y 1 -τ fázissíkon vesszük fel, feltüntetve a mozgás során elért v max buborékfal-tágulási sebességet és az érdekesség kedvéért R max buboréksugárt. E két érték kapcsolatának szemléltetésére a kaotikus megoldást magán a Poincaré-metszeten ábrázoljuk ábra: Különböző típusú buborékoszcillálások maximális buborék-falsebességeinek számítása. Bal oldalon állandósult periodikus megoldások y 1 -τ fázissíkon: feketével 1 periódusú válasz (gerjesztési paraméterei p A =1 bar és ω R =0,8), piros színnel 3 periódusú (p A =3 bar és ω R =1,8). Az ábra jobb oldali részén egy kaotikus attraktorral jellemezhető mozgás v max -R max kapcsolata. Periodikus megoldások után érdemes olyan esetet jobban vizsgálnunk, amikor a fázistérben több együtt létező attraktor van jelen. Ilyenkor ugyanis a buborék sokkal kiszámíthatatlanabbul képes viselkedni, azt tekintve legalábbis mindenképp, hogy az oszcillálás időben különböző jellegű válaszai során a buborék növekedésével más-más maximális sebességek számíthatóak. Olyan paraméterállást, melyhez több attraktor rendelhető, az előző fejezetben ábrázolt bifurkációs diagramok segítségével kereshetünk. A 3.7. ábrán vázolt nagyítási diagram alapján például 1 bar-on ω R =0,5 körül találkozhatunk olyan megoldással, melynél a fázissíkon több vonzási tartomány van érvényben. Ezen a példán lehetőségünk van megnézni, hogy a maximális dimenziótlan buboréksugárt eredményező hiszterézis felső ága és további egyéni attraktorok egymástól mennyire különböző maximális sebességet képesek létrehozni a tágulás során. Ekképp a fent említett atmoszférikus nyomásnak megfelelő amplitúdóval és egészen pontosan ω R =0,51 relatív frekvenciával gerjesztett buborék oszcillációja során egy 1 periódusú pálya és egy kaotikus attraktor létezik együtt. A teljesség kedvéért érdemes keresnünk több együtt létező megoldással jellemezhető paraméterállást is, ezúttal válogathatunk a 3.5. ábra szerinti nyomásamplitúdó diagramokról. Az ω R =3 relatív frekvenciára vázolt eset p A =3,39 bar értékénél együtt jelentkezik egy 3, egy 8 és egy 12 periódusú attraktor, melyek maximális sebességeit ugyanúgy kirajzolhatjuk a Poincarémetszeten. 37

49 4.2. ábra: Együtt létező megoldások állandósult oszcillációja során kialakuló maximális buborékképződési sebességek. Látható, hogy a különböző attraktorok esetén tapasztalható maximumok mennyire eltérhetnek; a jobb oldali ábrán a 12 periódusú megoldással kisebb buboréksugarakon elért maximális sebesség ( 25 m/s) legfeljebb alig harmada a 8 periódusú megoldással járó maximális értéknek ( 77,5 m/s) Mach-számok ábrázolása bifurkációs diagramon Az összeroppanáskor közvetlenül elérhető jelentős buborék-falsebességek egész paramétertartományon kezelhető feltérképezésének közvetlen módja természetesen a bifurkációs diagrammal való ábrázolás. A gerjesztést jellemző szabad paraméterek változásával ezúttal a Mach-szám alakulásának bemutatására használjuk fel az ábrákat, mégpedig a dimenziótlan arányszámnak is maximumait rajzoljuk ki az egyes attraktorokat követve. Visszatekintve a modellben ismertetett kapcsolatra (2.30) egyenletből egy egyszerű hányadost kaphatunk: Ma max = ( R Eω ) y 2 max = R max. (4.2) 2π c L c L Az egyenletben a Haar-Gallagher-Kell-állapotegyenlettel meghatározott hangsebesség a számítások során a konstans környezeti nyomás és közeghőmérséklet mellett állandó, értéke: c L = 1497,3 m. s A Mach-számok keresésével tehát közvetve a bekonvergált megoldásokra számolható maximális falsebességeket kívánjuk számítani. Figyelembe véve, hogy állandó folyadékhőmérsékleten és környezeti nyomáson a hangsebesség állandó, a végleges formulában pedig már nem szerepel a gerjesztés valós értékű körfrekvenciája (az korábban a falsebesség dimenziótlanítása miatt jelent meg), a buborék-falsebesség nagysága egyenesen arányos a Mach-számmal. Az abszolútérték feltüntetése természetesen indokolt, ugyanis a buborék hirtelen összezsugorodó fázisában a falsebesség negatív VIZSGÁLAT A NYOMÁSAMPLITÚDÓ TELJES TARTOMÁNYÁN Az elsődleges szabad paraméter, a nyomásamplitúdó növelésével kiírt maximális Mach-számot tünteti fel a 4.3. ábra, melyben a kapcsolatot hat különböző relatív frekvencián a szokásos fix paraméterek mellett (2.1. táblázat) ábrázoljuk. 38

50 4.3. ábra: Maximális Mach-számok p A nyomásamplitúdó teljes vizsgálati tartományán, a relatív frekvenciák alsó és felső határába (ω R =0,1-3) eső hat értéken. A függőleges tengely értékei logaritmikus skálán jelennek meg, és ω R =2 és 3 esetén a legalacsonyabb nyomásokon 10 5 nagyságrendig nyúlnak vissza. A diagramokról elsődlegesen levonható az a következtetés, hogy a korábban a dimenziótlan buboréksugárra megállapított tendenciával egyetemben az elérhető maximális Mach-számok is nőnek a nyomásamplitúdó növelésével. Jelentős különbség fedezhető fel az alacsony és magasabb frekvenciákat összehasonlítva: az ω R = 1 alatt ábrázolt kiragadott relatív frekvenciákon jóval nagyobb maximális Mach-szám érhető el, mint a frekvenciatartomány felsőbb részein, ahol egyébként a rendszer bifurkációs felépítése is kaotikusabb jelleget mutat. Alkalmazástechnikailag azt mondhatjuk, hogy 39

51 a megfelelően erős lökéshullám generálásához több száz, sokszor több ezer m/s-os falsebesség elérésére kell törekednünk. Mivel a hangsebesség a megadott folyadékhőmérsékleten és környezeti nyomáson állandó a számítások során, ez egyben azt jelenti, hogy minél nagyobb Mach-számokat kell keresnünk. Az előző megállapítások értelmében a legalacsonyabb relatív frekvencián alakulnak ki a legnagyobb Mach-számok, a nyomásamplitúdó-tartomány felső határán Ma max =6,719, ez a (4.2) egyenlet értelmében mintegy m/s buborék-falsebességet eredményez. Érdemes azt is hozzátenni, hogy ω R = 0,1 esetén a maximális buborékfalsebesség már a környezetinél alig nagyobb nyomásamplitúdó alkalmazásával, p A =1,35 bar-on egy egyperiódusú megoldás kialakulását követően meghaladja a hangsebességet. Ez természetesen Ma max =1 elérésekor következik be, amelynek létezését bármely paraméterpár-esetén érdemes vizsgálni, ugyanis a kívánt lökéshullámok elérése szempontjából ez fizikailag elegendően nagynak bizonyulhat. A további öt ábrázolt esetben kettő lépi túl ezt a kritikus értéket, ω R = 1 relatív frekvencián a tartomány végéig hosszú ciklusban elnyúló stabil periodikus megoldások sem eredményezik a buborék-falsebesség ennyire meredek növekedését. Utóbbi megjegyzés kapcsán az az észrevétel említhető meg, miszerint az alacsony vagy közepes frekvenciákon (felső 4 ábra) a Mach-szám akkor mutat jelentősebb növekedést, amikor rendszerint az első hosszabb/rövidebb kaotikus tartomány utáni nyereg-csomó bifurkációkat követően ismét kis periódusszámú attraktor jellemzi a rendszert. A jobb felső ábrán ω R =0,3 esetén két ilyen hirtelen Mach-szám emelkedés is feltűnik, különösen az első kaotikus zónát követően, ω R =0,5 értéken pedig a keskeny kaotikus ciklus utáni hosszú, monoton növekvő szakaszon perióduskettőző bifurkációk eredményeként Ma max végül egy négy periódusú attraktorral lépi át az 1-et. Előbbi relatív frekvencián 3396 m/s, utóbbin pedig 1760,8 m/s falsebesség tartozik a vizsgálati tartomány végén jelentkező maximális Mach-számhoz. Még ω R =1 esetén is, ahol a szuperszonikus sebesség elérése ezen az amplitúdótartományon már nem valósulhat meg (Ma max < 1 mindig), 5 bar-on a bekonvergált nyolc periódusú megoldás 880,4 m/s maximális buborék-falsebességgel szolgál Ma max =0,588 mellett. A 4.3 ábrán az tehát feltűnik, hogy a dolgozatban még vizsgálat alá vetett legnagyobb nyomásamplitúdón jelentkezik a legnagyobb Mach-szám is, a másik szabad paraméter bármely konstans értékére. A logaritmikus ábrázolásmód alapján azonban olyan sejtésünk is lehet, hogy Ma max kétségkívül monoton növekedésének üteme lassul az amplitúdó növelésével, vagyis a bemutatott tartományon kívül eső nyomással a Mach-szám már csak egyre nagyobb lépésközzel emelkedik számottevő mértékben. Ennek igazolására megfelelőnek bizonyulhat, ha bizonyos gerjesztési frekvenciákra a számításokat a nyomásamplitúdó egy kiterjedtebb tartományára is elvégezzük. A 4.4. ábra 15 bar felső határig megmutatja a szűkebb tartományon is a legnagyobb értékeket produkáló ω R =0,1, valamint ω R =1 relatív frekvenciákon érvényes maximális Machszám lefutását. Utóbbi nem tartozik ugyan azon frekvenciák közé, melyekre a szűkebb 40

52 nyomástartományon feltűnően nagy Mach-számokat kaptunk, az előző fejezet 3.5. ábrájának bifurkációs struktúrája azonban rávilágít, hogy a nagyobb nyomásamplitúdókon hosszú periodikus attraktorokat eredményez. Érdekesnek tűnik tehát vizsgálni, meddig tarthat ez a tiszta periodikus jelleg, mivel a dolgozat reprezentatív eredményeit, a nagy falsebességeket kaotikus tartományok elkerülésével kívánjuk elérni ábra: A nyomásamplitúdó-tartomány kiterjesztése 15 bar felső határig. Konstans ω R =0,1 és 1 relatív frekvenciákon vizsgáljuk a maximális Mach-szám szűkebb amplitúdóhatártól (kék függőleges vonal) feljegyezhető növekedését. Az ábrán látszik, hogy a szűkebb nyomástartomány felső határáig hosszantartó periodikus mozgást végző rendszer nem sokkal 5 bar hangnyomás felett kaotikussá válik. Egy hosszabb ilyen ciklus után jelentkeznek ugyan rövid ideig tartó, 3 és 6 periódusú megoldások (p A =8,6 bar-on), ám az ezekkel elért maximális Mach-szám nem éri el az 5 bar-on adódó értéket. A bővített nyomásamplitúdó-tartomány utolsó harmadában az oszcillációk kizárólag kaotikusak. Ezzel szemben ω R =0,1 relatív frekvencián nem alakul ki kaotikus mozgás a tovább növelt nyomásamplitúdón sem. Egészen p A =8,2 bar nyomásamplitúdóig egyperiódusú attraktor van jelen, 10 bar környezetében pedig kétperiódusúak, miközben a maximális Mach-szám nem kiugróan ugyan, de monoton nő. A bővített tartomány legfelső részén, ahol az ábráról kevésbé kivehető módon sok periódusú együtt létező attraktorok találhatók, az elérhető maximális Mach-szám Ma max =11,79 (összevetésként: 5 bar-on Ma max =6,719) FREKVENCIA BIFURKÁCIÓS DIAGRAMOK KONSTANS NYOMÁSAMPLITÚDÓN A teljesség kedvéért szemléltethetjük a maximális Mach-szám alakulását a relatív frekvencia, mint bifurkációs paraméter teljes tartományán is. Fentebb a 4.3. ábra alapján úgy tapasztaltuk, hogy az amplitúdó tartományának legnagyobb határán alakulnak ki a keresett mennyiség maximumai. A 4.5. ábrán p A =5 bar mellett a környezeti nyomásnak megfelelő 1 bar-os amplitúdón is feltüntetjük a kapcsolatot. 41

53 4.5. ábra: Maximális Mach-szám alakulása a relatív frekvencia teljes tartományán, p A =1 és 5 bar-on, logaritmikus skálán Az ábra igazolja, hogy a műszerekkel még könnyebben elérhető és alkalmazható 5 bar nyomásamplitúdón érhető el kifejezetten nagy maximális Mach-szám. Valamint az is feltűnik, hogy Ma max =0,1-et csak 1-nél kisebb relatív frekvencián produkál a rendszer, a növekedés pedig annak csökkentésével az alacsonyabb frekvenciák felé haladva hangsúlyos. Érdekesség, hogy a jobb oldali ábrát nézve p A =5 bar-on a frekvenciatartomány jelentős részén kifejezetten szabályos kaotikus és ω R csökkenésével egyre csökkenő periódusszámú (8, 6, 4) periodikus ablakok követik egymást, mígnem a legnagyobb Mach-számok felé alacsony relatív frekvencián már egyperiódusú attraktor közelít. A másik vázolt esetben, p A =1 bar-on ezzel szemben a tartomány legalacsonyabb részein jellemzőek a kaotikus attraktorok, mintegy ω R =0,5 fölött együtt létező periodikus megoldások jelentkeznek, rendre olyan hiszterézissel, melyek felső ága feltűnően nagyobb alkalmazástechnikai szempontból azonban így is kevésnek bizonyuló maximális Mach-számmal rendelkezik ALKALMAZÁSTECHNIKAI OPTIMUM ÖSSZEFOGLALÁSA A kavitációs jelenséggel összeköthető ultrahangos technológiák alkalmazhatóságának és hatékonyságának érdekében a buborék mozgása során dinamikus összeroppanásokat kell elérni. Ezek indukálnak ugyanis a technológia gyakorlásához elegendően erős lökéshullámokat, melyek keletkezését akkor garantálhatjuk, ha nagy buborék-falsebességek lépnek fel. A 4.2. fejezet pontosan ezzel foglalkozik, a gerjesztési paraméterek kitűzött egész tartományán vizsgálva a maximális Mach-szám alakulását, amely a víz hangsebességének ismeretében közvetlenül átszámolható a fellépő buborék-falsebességek abszolútértékének maximumára. Bifurkációs diagramok segítségével megállapítottuk, hogy a relatív frekvencia ω R =0,1-3 tartományán a legalacsonyabb értékeken érjük el a legnagyobb maximális Mach-számokat. Ennek értelmében a legnagyobb buborék-falsebességet ω R =0,1 esetén rögzítettük (10060 m/s), és ugyan számértékileg nagy a különbség, mégis ennél valamivel nagyobb relatív frekvencián is a technológi- 42

54 ákhoz elegendően dinamikus összeroppanásokat biztosíthatunk (ω R =0,5-re a maximum 1760,8 m/s), nem kizárólag a legnagyobb nyomásamplitúdó hatására. A különbség leginkább abban nyilvánul meg, hogy az ilyen nagyságrendű falsebességek milyen gerjesztési nyomásamplitúdón jelennek meg, ezt átgondolva pedig hozzátehetjük, hogy alacsonyabb frekvencián kisebb nyomás alkalmazása is elegendő. Példaként ω R =0,1 relatív frekvencián már 2 bar-on 3947 m/s-mal számolhatunk, míg ugyanezen a nyomáson ω R =0,5 mellett 813,5 m/s a maximum, ω R =1 esetén pedig mindössze 183 m/s. A nyomásamplitúdó hatását tekintve egyértelmű, hogy bármely gerjesztési frekvencián a legnagyobb p A határérték adja a maximális Mach-számot, és így a legnagyobb buborék-falsebességeket is. Magasabb frekvencián, ahol a vizsgált nyomásamplitúdó tartományán Ma max nem éri el az 1-et, a sebesség növekedésének üteme még nagyobb. Hiába tehát 5 bar amplitúdó mellett a sebesség a fentiekkel összehasonlítva még nem számottevő (ω R =2 esetén R max =295,9 m/s), felvetődhet a kérdés, hogy érdemes-e ezt a nyomáshatárt jócskán meghaladva nagyobb falsebességeket elérni, akár az alsóbb frekvenciákon tapasztaltnál is. Szem előtt tartva, hogy a műszereken elérhető beállítások közvetlenül a gerjesztési frekvencia szabályozását teszik lehetővé, érdemesebb az esetleg kiterjesztett tartományú nyomásamplitúdó helyett inkább arra támaszkodni, hogy az optimálisan kisebb relatív frekvencia alkalmazását válasszuk. Továbbá a nyomásamplitúdó hatását a 3.2. fejezetben taglaltak szerint ismerve, nagyobb p A értéken a rendszer nemlinearitása meghatározóbb, a kaotikus jelleg közepes és nagyobb frekvenciákon előszeretettel jelentkezik. Így amíg nagy amplitúdójú összeroppanások és jelentős falsebességek kisebb nyomáson is elérhetők, célszerű inkább ezt az utat (alacsony frekvencia alkalmazása) választani főleg azzal szemben, hogy a kísérletileg megbízhatónak és hatékonynak bizonyuló 0-5 bar tartományt átlépjük. Ezzel együtt a 4.4. ábra bal oldali részét tekintve hozzá lehet tenni, hogy a lehető legkisebb gerjesztési frekvenciákon a megnövelt amplitúdó alkalmazása is periodikus stabilitással érhet el még nagyobb falsebességeket. 43

55 5. PARAMÉTERDIAGRAMOK FELVÉTELE A dolgozatban vizsgált dinamikai rendszer egy oszcilláló buborék, melynek alkalmazástechnikailag fontos fizikai tulajdonságait az ultrahangos gerjesztés jellemzőinek ismeretében számolhatjuk. Ezek a jellemzők olyan szabad paraméterek, melyek adott, előre optimálisan megválasztott tartományán kis lépésközzel számításokat végzünk azt keresvén, hogy hol alakulnak ki a hirtelen meredek összeroppanásokhoz szükséges maximális buboréksugarak és ennek következtében erős lökéshullámokat eredményező maximális buborék-falsebességek. Az alábbiakban úgynevezett paraméterdiagramokon olyan térben értelmezett kapcsolatokat mutatnék be, melyek az oszcilláló rendszer válaszának egy fontos jellemzőjét ábrázolják mindkét szabad paraméter, vagyis a gerjesztési nyomásamplitúdó és relatív frekvencia függvényében. Segítségükkel az eddigiekben külön-külön vizsgált nyomásamplitúdó- és frekvencialefutás egyben kezelhető, az ábrák alkalmas helyzetbe forgatásával a különböző jellegű megoldások tartománya, folyama szépen lekövethető. Ez természetesen szoros kapcsolatba hozható a 3. és 4. fejezetben is bemutatott bifurkációs diagramokkal, az ott kiragadott pár eredmény helyett itt a két kontrol paraméterre végzett összes lefutást vázolhatjuk. Egy ettől a megjelenítéstől eltérő módszerrel azonban további érdekes elemzést is lehetővé tesz a nyomásamplitúdó és relatív frekvencia együttes kezelése: 3 dimenziós kontúr diagram segítségével bemutatható a konvergált megoldások egyes jellemzőinek (tágulási sebesség, akusztikus energia, periódus, stb.) alakulása a teljes paramétertartományon. Minket a számítások során kigyűjtött jellemzők közül leginkább a Lyapunov-exponens érdekel a mérőszám minden egyes pontra (külön-külön a vizsgált relatív frekvenciákon, p A =0-5 bar között) kikeresett maximumát rávetíthetjük a p A - ω R paramétersíkra. Ekképpen a maximális Lyapunov-exponens összes megjelenő értékére alkalmazott színskála alapján kaphatunk információt a gerjesztéssel eredményezett kaotikus és nem kaotikus zónák szabad paraméterekkel megadott helyzetét illetően Bifurkációs struktúrát kirajzoló kapcsolatok Az előzőekben kétparaméteres bifurkációs diagramokon ábrázoltuk az y 1 dimenziótlan buboréksugár Poincaré-leképezéssel egyértelműsíthető alakulását pár konstans frekvencián a nyomásamplitúdó függvényében, vagy éppen ún. nagyítási diagramokat vettünk fel, amely a maximális buboréksugarat szemlélteti a relatív frekvencia változása mellett (3.2. fejezet). Ezeket tekintve adott paraméterállásokra egyenként megfigyelhettük, hogy az oszcilláló rendszerben milyen stabil megoldások alakulnak ki, feljegyezve egy- vagy több periódusú, akár együtt létező attraktorokat és kaotikus tartományokat. Az 5.1. ábra szintén a rendszer megoldásainak jellegét és közvetve az elérhető nagy buborékméretet hivatott bemutatni, a két gerjesztési paraméter 44

56 összefűzött eredményei alapján P(y 1 ) dimenziótlan buboréksugarat a Z tengelyen ábrázolva ábra: Dimenziótlan buboréksugár P(y 1 ) Poincaré-pontjának változása a két szabad paraméter teljes tartományát tekintve Ezen az ábrán mindenekelőtt az látható, hogy a dimenziótlan buboréksugár kiugró maximum értékei a legalacsonyabb relatív frekvenciákon, a legnagyobb nyomásamplitúdó felé haladva alakulnak ki. A két piros vonallal közbezárt területet tekinthetjük a nagy méretek kialakulásának szempontjából lényegesnek, vagyis ahol p A > 1(=P ) és ω R <0,5 egyszerre teljesül. Szembetűnőek az egybefüggő kaotikus tartományok az egyre magasabb frekvenciákon és nyomáson, melyek között ugyanúgy megtalálhatók szabályos periodikus ablakok - ezek láttatására jóval alkalmasabb a lentebbi 5.2. ábra. A frekvencia kezdeti növekedésével, mintegy p A =1,5 bar fölötti, további bifurkációs ciklusokat elindító szabályos perióduskettőződéseket azonban jól megfigyelhetjük. Az alkalmazott lineáris skálázással szemben érdemes egy, a buborék méretét jellemző mennyiséget logaritmikusan ábrázolni. Az 5.2. ábrán így tűnik fel ezúttal a bekonvergált megoldáshoz tartozó maximális buboréksugár R max a gerjesztési paraméterekhez rendelve. A kapott diagram az előzőtől struktúrájában nem, csak az értékkészlet számértékében tér el, így külön megjegyzések hozzáfűzésétől eltekinthetünk. 45

57 5.2. ábra: Maximális buboréksugár ábrázolása a paraméterdiagramon, logaritmikus skálán. A legnagyobb nyomásamplitúdón és ω R =0,1 relatív frekvencián a maximális buboréksugár: R max =2,48 mm. A 4. fejezet egy jelentős részét a nyomásamplitúdó (és érintőlegesen vizsgálva a relatív frekvencia) teljes tartományán felvett maximális Mach-szám legnagyobb értékeinek keresése töltötte ki. A két változó gerjesztési paraméterre vetítve természetesen ezt a dimenziótlan mérőszámot is érdemes feltüntetni 3 dimenziós ábrán. Segítségével a korábban több lépésben tett megállapítások gyakorlatilag egyetlen felületen bizonyíthatóak ábra: Logaritmikus skálán ábrázolt maximális Mach-szám a teljes paramétertartományon. A zöld pontokkal jelölt adatsorok az állandó relatív frekvencián, míg a kék pontok konstans nyomásamplitúdón végzett számítások eredményei (a tartományok legalsó és legfelső határán kapott görbék pontjait vastagabb jelöléssel ellátva). Dinamikai elemzés szempontjából az 5.3. ábra legszembetűnőbb részei egyrészt a diagramtérben keresztben húzódó egyperiódusú sáv, másrészt a frekvenciatartomány nagyobbik felében, ω R =0,5 fölött kialakuló tekintélyes kaotikus zónák. Az ábrát vi- 46

58 szont elsősorban az elérni kívánt buborék-falsebességeket jelentésében hordozó maximális Mach-szám, és annak tendenciája kapcsán vizsgáljuk. A diagram egészét adó hálós szerkezet lejtésének köszönhetően feltűnik, hogy magasabb relatív frekvenciák felé haladva Ma max monoton csökken, ez különösen p A =5 bar síkját megfigyelve tűnik fel. Ismét kijelenthetjük tehát, hogy a Mach-szám maximumai a lehető legkisebb frekvencia besugárzása esetén érvényesek a folyadéktérben. A technikai optimum megfogalmazásakor azt mondtuk, hogy elsősorban ilyen alacsony, vagy akár mérsékelten magasabb frekvenciát célszerű alkalmazni (ω R =0,5-0,6), egészen olyan tartományokig, ahol már számottevő kaotikus zónák bukkannak fel, ezek elkerülésére törekszünk ugyanis. Hasonló óvatossággal járhatunk el a nyomásamplitúdó optimalizálásakor is. Bár a tartomány legnagyobb értékén alakulnak ki a legnagyobb maximális Mach-számok, és az 5 bar-ra azt mondhatjuk, hogy még minden további következmény nélkül alkalmazható, egyre alacsonyabb frekvenciákon elegendő lehet, ha 1-2 bar-ral kevesebbet mérünk értékének. A közelítőleg 1500 m/s hangsebesség fölötti falsebesség ugyanis azon a nyomáson is elérhető, méghozzá a folyadéktérben alapvetően kerülendő kaotikus oszcillációk létrejötte nélkül Kaotikus tartományok bemutatása kontúr diagramon Korábban már láttuk, hogy kaotikus rendszerek tipikus mérőszáma a λ Ljapunov-exponens. Az egymáshoz közel indított fázistérbeli pályák egymástól való távolodását jellemzi: értéke pozitív, ha exponenciális távolodásról és ebből fakadóan kaotikus mozgásról beszélünk, míg 0-nál nem nagyobb exponenciálisnál lassabb távolodás esetén. Alapvetően arra törekszünk, hogy a nagy amplitúdójú lengéseket periodikus megoldásokkal érjük el, vagyis a kaotikus tartományok helyeit azért érdemes keresnünk, hogy tudjuk, melyek a kevésbé szerencsés gerjesztési paraméterállások az alkalmazás során. Erre egy olyan módszer végeredményét mutatja az 5.4. ábra, amellyel minden megvizsgált konstans relatív frekvencián, a nyomásamplitúdó végigszámított minden egyes pontján a programmal oszlopba szedett Ljapunov-exponensek egy-egy attraktorhoz tartozó maximumait gyűjtöttük ki. Ezeket a mennyiségeket a megfelelő szabad paraméterpárokhoz rendelve készíthető el a 3 dimenziós ábra, mely színskálájának megfelelően követi λ alakulását a teljes tartományon. 47

59 5.4. ábra: A rendszer kaotikus tartományainak eldöntésére ábrázolt λ Ljapunov-exponensek paraméterdiagramon. Ahol λ>0, ott értelmezhetjük a kaotikus attraktortok létezését. Az ábrán a pozitív Ljapunov-exponenssel rendelkező zónák sötétebb színnel jelöltek és a λ=0 sík fölé türemkednek. Ha erre a diagramra kizárólag a gerjesztési paramétereket tartalmazó X és Y tengelyt látva felülről ránézünk, a mérőszámra alkalmazott színskála segítségével könnyedén megállapíthatjuk, hol jellemzőek a kaotikus vagy - akár nagyon alacsony - Ljapunov-exponenssel rendelkező periodikus megoldások ábra: λ alakulásának felülnézeti ábrázolása, síkban. A legnagyobb, 0-t meghaladó Ljapunov-exponensek a mellékelt színmagyarázatnak megfelelően sötétebb színnel tűnnek fel, a kaotikus megoldások tehát azon paraméterállások esetén várhatók. 48